विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

10आवेश, धाराएँ और चालन

स्विच दबाइए और लैंप तुरंत जल उठता है; फिर भी ताँबे के तार में इलेक्ट्रॉन उसकी ओर मिलीमीटर के अंश प्रति सेकंड से बहते हैं और पहुँचने में घंटों लगाते। बिजली की कोई कड़क उँगली भर चौड़ी नाली से तीस हज़ार ऐंपियर ले जाती है; और जो तंत्रिका उस उँगली को हिलाती है वह पिकोऐंपियर ले जाती है। वर्ष 1 के खंड ने धाराओं को तारों में अंक मानकर लिया था, $I = U/R$ ; यह अध्याय उन्हें एक क्षेत्र की तरह वर्णित करता है — अर्थात् पदार्थ के हर बिंदु पर एक धारा घनत्व — वह नियम लिखता है कि आवेश न कभी बनता है न नष्ट होता, और किसी धातु में इलेक्ट्रॉनों की धक्का-मुक्की से ओम का नियम निकालता है: अर्थात् प्रतिरोधक, फ़्यूज़ और हॉल संवेदक के पीछे का सूक्ष्म चित्र।

ताँबा, वैद्युत संसार का चालक: इस केबल की लड़ियों में प्रति घन मीटर लगभग 1029 इलेक्ट्रॉन मिलीमीटर के अंश प्रति सेकंड से बहते हैं। — ताँबा, वैद्युत संसार का चालक: इस केबल की लड़ियों में प्रति घन मीटर लगभग $10^{29}$ इलेक्ट्रॉन मिलीमीटर के अंश प्रति सेकंड से बहते हैं।

10.1 आवेश और धारा के घनत्व

परिभाषा 10.1 (आवेश घनत्व; धारा घनत्व)

मध्यदर्शी पैमाने पर पदार्थ कोई आयतन आवेश घनत्व $\rho(M, t)$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$ ) ढोता है: अर्थात् आवेश $\rho\,\dd\tau$ , जो $\dd\tau$ में है। कोई पृष्ठ कोई पृष्ठ घनत्व $\sigma$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ) ढो सकता है, और कोई तार कोई रैखिक घनत्व $\lambda$ ( $\mathrm{C}/\mathrm{m}$ )। यदि जाति $i$ के वाहक (आवेश $q_i$ , संख्या-घनत्व $n_i$ ) माध्य वेग $\vect v_i$ से चलें, तो धारा घनत्व

\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,

होता है, और किसी दिष्ट पृष्ठ $S$ से होकर धारा अभिवाह $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$ है: अर्थात् प्रति एकांक समय $S$ को पार करता आवेश। किसी एक ही जाति के लिए $\vect j = \rho_m\vect v$ , जहाँ $\rho_m = nq$ गतिशील आवेश का घनत्व है।

उपपत्ति. $\dd t$ में जाति $i$ के जो वाहक $\dd S$ पार करते हैं वे वही हैं जो $\dd S$ आधार और $\vect v_i\dd t$ जनक वाले तिरछे बेलन में हैं: संख्या $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ , और आवेश उसका $q_i$ गुना। ∎

उदाहरण 10.2 (इलेक्ट्रॉन कितने धीरे बहते हैं)

ताँबे में प्रति परमाणु एक चालन-इलेक्ट्रॉन होता है: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M = 8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ । $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ के तार में $10\,\mathrm{A}$ की धारा $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ है, और अपवाह वेग $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — अर्थात् प्रति मीटर दो घंटे। लैंप तुरंत इसलिए जलता है कि जो क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों को धकेलता है वह पूरे तार पर नैनोसेकंडों में खड़ा हो जाता है (वह लगभग प्रकाश की चाल से चलता है, जैसा अध्याय 8 की केबल ने दिखाया): अतः सारे इलेक्ट्रॉन एक साथ चल पड़ते हैं, जैसे भरी नली में पानी।

बाएँ: धारा की कोई नलिका — स्थायी दशा में हर काट से वही धारा गुज़रती है। दाएँ: किसी धातु में कोई इलेक्ट्रॉन संघट्टों के बीच लगभग 106 m/s से टेढ़ा-मेढ़ा चलता है; और क्षेत्र उसमें E के विपरीत, मिलीमीटर के अंश प्रति सेकंड का धीमा अपवाह जोड़ देता है। — बाएँ: धारा की कोई नलिका — स्थायी दशा में हर काट से वही धारा गुज़रती है। दाएँ: किसी धातु में कोई इलेक्ट्रॉन संघट्टों के बीच लगभग $10^6$ m/s से टेढ़ा-मेढ़ा चलता है; और क्षेत्र उसमें $\vect E$ के विपरीत, मिलीमीटर के अंश प्रति सेकंड का धीमा अपवाह जोड़ देता है।

उदाहरण 10.3 (परिमाण की कोटियाँ)

बिजली की कड़क, $1\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की नाली में $30\,\mathrm{kA}$ : $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ । घर का तार: $10^6$ – $10^7$ । किसी कैथोड-किरण नलिका में इलेक्ट्रॉन-पुंज, $1\,\mathrm{mm}^{2}$ पर $1\,\mathrm{mA}$ : $10^3$ । कोई तंत्रिका-रेशा, $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ से होकर $1\,\mathrm{nA}$ : $10^2$ । किसी कण-त्वरक का पुंज, $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$ के धब्बे में $1\,\mathrm{A}$ : $10^7$ — और वह भी निर्वात में, बिना किसी संघट्ट के।

10.2 आवेश का संरक्षण

प्रमेय 10.4 (आवेश का स्थानिक संरक्षण)

हर बिंदु पर,

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;

होता है; और किसी स्थिर आयतन $V$ पर, जो बंद पृष्ठ $\Sigma$ से घिरा हो, समाकलित करने पर $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{निर्गम}}$ : अर्थात् भीतर का आवेश केवल उतना बदलता है जितना सीमा को पार करता है। किसी स्थायी दशा ( $\partial_t\rho = 0$ ) में $\operatorname{div}\vect j = 0$ : अतः $\vect j$ का अभिवाह किसी धारा-नलिका के अनुदिश संरक्षित रहता है, तार की हर काट से वही धारा गुज़रती है, और किसी संधि में घुसती धाराएँ निकलती धाराओं के बराबर होती हैं (किरखोफ़ का संधि नियम)।

उपपत्ति. शब्दशः प्रमेय 2.8 वाला द्रव्यमान-संतुलन, जिसमें $\rho$ आवेश घनत्व है और $\vect j$ उसकी धारा: किसी स्थिर संदूक के छह फलकों से बाहर जाता आवेश का कुल निर्गम, प्रति एकांक आयतन, $\operatorname{div}\vect j$ है, और कोई आवेश बनता नहीं। समाकल रूप संदूकों का योग है (भीतरी फलक कट जाते हैं)। दो काटों $S_1$ , $S_2$ के बीच की किसी नलिका के लिए, जिसके पार्श्व से कोई अभिवाह न हो, $I_1 = I_2$ ; और कोई संधि कई तारों वाला कोई छोटा आयतन है: $\sum I_{\text{आगम}} = \sum I_{\text{निर्गम}}$ । ∎

टिप्पणी 10.5 (धारा कहाँ रुकती है: संधारित्र)

संधारित्र की किसी प्लेट को खिलाता तार धारा की ऐसी नलिका है जो समाप्त हो जाती है: प्लेट में $\vect j$ का अभिवाह $I = \dd Q/\dd t$ है, और आवेश जमा होता जाता है — अतः वहाँ $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ , और दशा स्थायी नहीं। फिर भी वही धारा $I$ दूसरी ओर के तार में बहती है: अतः कुछ तो होगा जो शेष को अंतराल के पार ले जाता है। अध्याय 11 उसका नाम लेता है — विस्थापन धारा — और आवेश-संरक्षण को मैक्सवेल के समीकरणों की आधारशिला बना देता है।

10.3 ड्रूडे प्रतिरूप और ओम का नियम

प्रतिज्ञप्ति 10.6 (ड्रूडे प्रतिरूप; स्थानिक ओम नियम)

किसी धातु के चालन-इलेक्ट्रॉनों को मुक्त कण मानिए (द्रव्यमान $m$ , आवेश $-e$ , घनत्व $n$ ), जो क्षेत्र $\vect E$ अनुभव करते हैं और, औसतन, हर $\tau$ सेकंड में जालक से संघट्टों द्वारा अपना अपवाह-संवेग खो देते हैं — अर्थात् माध्य वेग पर कोई घर्षण बल $-m\vect v/\tau$ :

m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .

किसी स्थायी क्षेत्र में अपवाह कुछ ही $\tau$ में $\vect v = -e\tau \vect E/m$ पर ठहर जाता है, और धारा घनत्व

\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :

हो जाता है: यही स्थानिक ओम नियम है, जिसमें $\gamma$ चालकता है ( $\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; और उसका व्युत्क्रम $\rho_e = 1/\gamma$ प्रतिरोधकता, $\Omega\,\mathrm{m}$ )। क्षेत्र से अपवाह-चाल का अनुपात $\mu = e\tau/m$ गतिशीलता है ( $\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ )। $L$ लंबाई और एकसमान काट $S$ वाले किसी चालक के लिए, जो एकसमान $\vect j$ ढोता हो, $E = j/\gamma$ को लंबाई के अनुदिश समाकलित करने पर $U = EL = (L/\gamma S)I$ मिलता है: अर्थात् वर्ष 1 के खंड का प्रतिरोध $R = L/\gamma S = \rho_eL/S$ ।

उपपत्ति. $\vect v = -e\tau\vect E/m$ लेकर, $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$ । क्षणिक दौर $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ $\tau \sim 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ चलता है, जो हर परिपथीय काल-पैमाने पर तात्क्षणिक है। प्रतिरोध सिरों के बीच $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ से निकलता है। ∎

उदाहरण 10.7 (ताँबा, नापी गई चालकता से)

ताँबा: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ : अतः $\tau = m\gamma/ne^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — अर्थात् संघट्टों के बीच पच्चीस फ़ेम्टोसेकंड। धातु में इलेक्ट्रॉनों की यादृच्छिक चाल लगभग $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ होती है (यह कोई क्वांटम प्रभाव है, न कि ऊष्मीय $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), अतः माध्य मुक्त पथ $\ell = v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$ है, अर्थात् सौ परमाणु-अंतराल: इलेक्ट्रॉन स्वयं परमाणुओं से नहीं टकराते (कोई पूर्ण क्रिस्टल उनके लिए पारदर्शी है) बल्कि उसके दोषों और ऊष्मीय कंपनों से — और इसीलिए धातु को गरम करने या मिश्रित करने पर $\gamma$ गिर जाता है। गतिशीलता $e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ : अर्थात् $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ प्रति वोल्ट प्रति मीटर।

प्रतिज्ञप्ति 10.8 (ऊँची आवृत्ति पर ओम का नियम)

किसी ज्यावक्रीय क्षेत्र $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ के लिए ड्रूडे समीकरण $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ देता है, जहाँ

\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :

अर्थात् चालकता तब तक वास्तविक और अपने दिष्ट मान के बराबर रहती है जब तक $\omega\tau \ll 1$ , अर्थात् ताँबे के लिए लगभग $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ तक — यानी पूरे रेडियो और सूक्ष्मतरंग परास में; और अवरक्त तथा दृश्य में ( $\omega\tau \gg 1$ ) वह काल्पनिक हो जाती है, $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : तब इलेक्ट्रॉन क्षेत्र से कला-बाहर, स्वतंत्र रूप से दोलन करते हैं और धातु अध्याय 14 के प्लाज़्मा जैसी बरतती है।

उपपत्ति. $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$ , जिससे $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ और $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ । ∎

बाएँ: के सामने ड्रूडे चालकता — नीची आवृत्ति पर वास्तविक और अचर, और 1/ से आगे काल्पनिक। दाएँ: किसी चालक पट्टी में हॉल प्रभाव — वाहक क्षेत्र से बग़ल में धकेले जाते हैं, किनारों को आवेशित करते हैं, और अनुप्रस्थ हॉल क्षेत्र चुंबकीय बल को संतुलित कर देता है। — बाएँ: $\omega\tau$ के सामने ड्रूडे चालकता — नीची आवृत्ति पर वास्तविक और अचर, और $1/\tau$ से आगे काल्पनिक। दाएँ: किसी चालक पट्टी में हॉल प्रभाव — वाहक क्षेत्र से बग़ल में धकेले जाते हैं, किनारों को आवेशित करते हैं, और अनुप्रस्थ हॉल क्षेत्र चुंबकीय बल को संतुलित कर देता है।

टिप्पणी 10.9 (चालक, अर्धचालक, विद्युत्-अपघट्य)

वही नियम $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ हर चालक के लिए चलता है; जो बदलता है वह $n$ और $\mu$ है। धातुएँ: $n \sim 10^{29}$ , $\gamma \sim 10^7$ S/m। अर्धचालक: $n \sim 10^{16}$ – $10^{23}$ , जो अपमिश्रण से तय होता है और ताप के साथ तेज़ी से चढ़ता है, तथा दो प्रकार के वाहक (इलेक्ट्रॉन और कोटर) — और यहीं से थर्मिस्टर तथा डायोड आते हैं। विद्युत्-अपघट्य: दोनों चिह्नों के आयन, $\mu \sim 10^{-8}$ – $10^{-7}$ m $^2$ /(V s); समुद्र का पानी $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , नल का पानी $10^{-2}$ , शुद्ध पानी $10^{-5}$ । विद्युतरोधी (काँच, बहुलक): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ S/m। वर्ष 1 के खंड का हॉल प्रभाव, जिसका स्थानिक रूप $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$ है, $n$ और $q$ का चिह्न नापता है: ऐलुमिनियम या ज़िंक में वाहक धनात्मक निकलते हैं — अर्थात् कोटर — और कोई चिरसम्मत प्रतिरूप इसे समझा नहीं पाता।

10.4 ऊर्जा: स्थानिक जूल नियम

प्रतिज्ञप्ति 10.10 (स्थानिक जूल नियम)

विद्युत क्षेत्र वाहकों को प्रति एकांक आयतन और प्रति एकांक समय शक्ति $\vect j\cdot\vect E$ देता है; और किसी ओमी चालक में यह

p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,

है, जिसका सारा भाग संघट्टों से ऊष्मा में बदल जाता है (अपवाह की गतिज ऊर्जा नगण्य और अचर है)। किसी तार पर समाकलित करने पर $\int j^2/\gamma\,\dd\tau = (L/\gamma S)I^2 = RI^2$ ।

उपपत्ति. हर वाहक पर बल $q\vect E$ दर $q\vect E\cdot\vect v$ से कार्य करता है; और $n\,\dd\tau$ वाहकों पर योग लेने पर: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot \vect E\,\dd\tau$ (चुंबकीय बल कोई कार्य नहीं करता)। ड्रूडे की स्थायी दशा में यह शक्ति उसी के बराबर है जो घर्षण-पद से क्षय होती है, अर्थात् जालक को सौंप दी जाती है। ∎

उदाहरण 10.11 (गरम होता तार)

$10\,\mathrm{A}$ पर $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ का तार: $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 = 7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , अर्थात् प्रति मीटर $1.1\,\mathrm{W}$ — जिसे चारों ओर की हवा आसानी से निकाल ले जाती है। अपने हाल पर छोड़ दिया जाए (कोई शीतलन नहीं) तो ताँबा ( $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ से गरम होता। उसी तार में $100\,\mathrm{A}$ पर दर सौ गुना बड़ी, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ , हो जाती है: और वह मिनट भर में पिघल जाता है — यही फ़्यूज़ का सिद्धांत है, जिसका पतला तार पहले पिघलने के लिए ही बनाया जाता है।

प्रतिज्ञप्ति 10.12 (किसी चालक में आवेश का शिथिलन)

किसी ओमी चालक में कोई आयतन आवेश घनत्व $\rho(t) = \rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ की तरह क्षय होता है, जहाँ

\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :

है: अर्थात् ताँबे के लिए $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ , समुद्र के पानी के लिए $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ , काँच के लिए $10\,\mathrm{s}$ । $1/\tau_r$ कोटि की आवृत्तियों तक कोई चालक कोई आयतन आवेश नहीं ढोता: कोई भी अतिरिक्त आवेश उसकी सतह पर दौड़ जाता है। अतः शब्द “चालक” काल-पैमाने पर निर्भर करता है: समुद्र का पानी रेडियो-तरंगों के लिए चालक है और दृश्य प्रकाश के लिए विद्युतरोधी।

उपपत्ति. आवेश-संरक्षण, $\vect j = \gamma\vect E$ और गाउस का नियम स्थानिक रूप में, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (अध्याय 11): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ । ∎

विधि 10.13 (स्थानिक से समाकल नियम तक)

किसी मनमाने आकार के चालक का प्रतिरोध निकालने के लिए: (1) $\vect j$ लिखने के लिए सममिति काम में लीजिए (स्थायी दशा में उसका अभिवाह संरक्षित है, अतः किसी नलिका में $j \times$ काट $= I$ ); (2) $\vect E = \vect j/\gamma$ ; (3) किसी एक इलेक्ट्रोड से दूसरे तक किसी रेखा के अनुदिश $\vect E$ समाकलित कीजिए: $U = \int\vect E\cdot \dd\vect l$ , और $R = U/I$ ; (4) जूल शक्ति $\int j^2/\gamma\, \dd\tau = RI^2$ से जाँचिए। यही क़दम किसी केबल का रिसाव, किसी तड़ित-चालक के चारों ओर की ज़मीन का प्रतिरोध, या किसी शंक्वाकार स्पर्श का प्रतिरोध दे देते हैं।

10.5 अभ्यास

अभ्यास 10.1 ★

$2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ का कोई ताँबे का तार $16\,\mathrm{A}$ ढोता है। धारा घनत्व, अपवाह चाल ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ), किसी इलेक्ट्रॉन को किसी प्लग तक की $20\,\mathrm{m}$ तय करने में लगा समय; तार में विद्युत क्षेत्र ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), $20\,\mathrm{m}$ पर वोल्टता-गिरावट और खोई शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 10.1.

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{m}$ के लिए $4.3 \times 10^4$ सेकंड, अर्थात् बारह घंटे। $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $U = 2.1\,\mathrm{V}$ ; $P = UI = 34\,\mathrm{W}$ ।

अभ्यास 10.2 ★

धारा-घनत्व: बिजली की कोई कड़क ( $30\,\mathrm{kA}$ , त्रिज्या $1\,\mathrm{cm}$ ); कोई इलेक्ट्रॉन-पुंज ( $2\,\mathrm{mA}$ , $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ); कोई तंत्रिका-तंत्रिकाक्ष ( $1\,\mathrm{nA}$ , त्रिज्या $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ); पृथ्वी के चुंबकमंडल की वलय धारा ( $1\,\mathrm{MA}$ , लगभग $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ से होकर)। इनमें से कौन पिछले अभ्यास के तार से ऊपर हैं?

हल

हल — अभ्यास 10.2.

बिजली $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; पुंज $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; तंत्रिकाक्ष $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; वलय धारा $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ । केवल बिजली तार के $6 \times 10^6$ से ऊपर है।

अभ्यास 10.3 ★

$20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर प्रतिरोधकताएँ: ताँबा $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , ऐलुमिनियम $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , लोहा $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$ , नाइक्रोम $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$ । हर एक के $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ के $100\,\mathrm{m}$ का प्रतिरोध; ताँबे के $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ के तुल्य ऐलुमिनियम की काट, और द्रव्यमानों का अनुपात (घनत्व $8900$ और $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); और $1\,\mathrm{kW}$ , $230\,\mathrm{V}$ के किसी तापक के लिए $0.5\,\mathrm{mm}$ नाइक्रोम तार की लंबाई।

हल

हल — अभ्यास 10.3.

$R = \rho_eL/S$ : $0.68$ , $1.1$ , $4.0$ , $44\,\Omega$ । ऐलुमिनियम: $2.5 \times 2.8/1.7 = 4.1\,\mathrm{mm}^{2}$ , और द्रव्यमान-अनुपात $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — अर्थात् आधा द्रव्यमान। तापक: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$ , $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$ , $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 10.4 ★

ड्रूडे: $\tau$ , गतिशीलता और माध्य मुक्त पथ (यादृच्छिक चाल $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), ताँबे ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) और चाँदी ( $\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) के लिए; $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ वाले किसी सिलिकॉन नमूने की चालकता; और उस नमूने में $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ पर अपवाह चाल।

हल

हल — अभ्यास 10.4.

$\tau = m\gamma/ne^2$ : ताँबा $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ ; चाँदी $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $61\,\mathrm{nm}$ । सिलिकॉन: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ; $v = \mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 10.5 ★★

$S$ प्लेटों का कोई संधारित्र किसी तार से $I(t)$ द्वारा आवेशित किया जाता है। (क) किसी एक प्लेट को घेरते किसी बंद पृष्ठ पर समाकल संरक्षण-नियम लगाइए: $I$ और प्लेट-आवेश $Q$ का संबंध। (ख) प्लेट पर $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ क्यों है? (ग) किसी चालक माध्यम में $a$ त्रिज्या का कोई गोलीय इलेक्ट्रोड त्रिज्यीय धारा $I$ छोड़ता है: $\vect j(r)$ ; और $\operatorname{div} \vect j = 0$ जाँचिए, $r > a$ के लिए (त्रिज्यीय क्षेत्र के लिए $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ लीजिए)। (घ) तो फिर आवेश-संरक्षण कहाँ “टूटता” है?

हल

हल — अभ्यास 10.5.

(क) धारा भीतर, बाहर कोई नहीं: $\dd Q/\dd t = I$ । (ख) आवेश जमा होता है: $\partial_t \rho \ne 0$ । (ग) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$ : $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2} \partial_r(I/4\pi) = 0$ । (घ) केवल इलेक्ट्रोड पर, जहाँ धारा तार से भीतर डाली जाती है — अर्थात् अभिवाह का कोई स्रोत।

अभ्यास 10.6 ★★

किसी समाक्ष केबल का रिसाव। चालकों के बीच के विद्युतरोधी (त्रिज्याएँ $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $b = 3.5\,\mathrm{mm}$ ) का $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ है; उनके बीच वोल्टता $U$ लगाई जाती है, और कोई त्रिज्यीय रिसाव-धारा $I$ प्रति लंबाई $L$ बहती है। (क) $\vect j(r)$ और $\vect E(r)$ । (ख) दिखाइए कि किसी $L$ लंबाई का प्रतिरोध $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$ है; प्रति किलोमीटर मान। (ग) $1\,\mathrm{kV}$ पर प्रति किलोमीटर रिसाव-धारा और शक्ति। (घ) प्रति लंबाई धारिता $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$ से तुलना कीजिए: दिखाइए कि $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ और शिथिलन काल से उसका अर्थ बताइए।

हल

हल — अभ्यास 10.6.

(क) $j = I/2\pi rL$ , $E = j/\gamma$ , त्रिज्यीय। (ख) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/ 2\pi\gamma L$ : अतः प्रति किलोमीटर $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ । (ग) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$ , $0.5\,\mathrm{mW}$ । (घ) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ , जब $\varepsilon_r = 2.3$ : अर्थात् आवेशित और अलग की गई केबल अपने ही विद्युतरोधी से होकर उसी विद्युतरोधी के शिथिलन काल के साथ विसर्जित होती है।

अभ्यास 10.7 ★★

ताँबे ( $\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ ) की सम्मिश्र चालकता। (क) $50\,\mathrm{Hz}$ , $10\,\mathrm{GHz}$ (सूक्ष्मतरंग), $30\,\mathrm{THz}$ (अवरक्त), $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (हरा प्रकाश) पर $\omega\tau$ । (ख) हर दशा में $\underline\gamma/\gamma_0$ का मापांक और कला। (ग) किस आवृत्ति तक ओम का नियम $1\%$ तक ठीक है? (घ) दृश्य में $\underline\gamma$ लिखिए और दिखाइए कि $\underline{\vect j}$ $\underline{\vect E}$ के समपाद-अंतर पर है: माध्य जूल शक्ति?

हल

हल — अभ्यास 10.7.

(क) $\omega\tau$ : $8 \times 10^{-12}$ , $1.6 \times 10^{-3}$ , $4.7$ , $79$ । (ख) $|\underline\gamma|/\gamma_0 = 1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ : $1$ , $1$ , $0.21$ , $0.013$ ; और कला $-\arctan\omega\tau$ : $0$ , $-0.09{}^{\circ}$ , $-78{}^{\circ}$ , $-89{}^{\circ}$ । (ग) $\omega\tau \le 0.14$ : अर्थात् $f \le 0.9\,\mathrm{THz}$ । (घ) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$ : अतः $\underline{\vect j}$ $\underline{\vect E}$ से $90{}^{\circ}$ पीछे रहता है, $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ : कोई जूल तापन नहीं — इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र रूप से दोलन करते हैं, जैसे किसी प्लाज़्मा में।

अभ्यास 10.8 ★★

$0.20\,\mathrm{mm}$ का कोई ताँबे का फ़्यूज़-तार (ताँबा: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ , $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर पिघलता है, गुप्त ऊष्मा $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ )। (क) $10\,\mathrm{A}$ पर धारा घनत्व और प्रति एकांक आयतन जूल शक्ति। (ख) यदि कोई ऊष्मा न निकले तो $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ से पिघलने में लगा समय (ताप के साथ प्रतिरोधकता का चढ़ना छोड़ दीजिए)। (ग) $30\,\mathrm{A}$ पर वही। (घ) वास्तव में तार हवा को ऊष्मा देता है: इससे किसी फ़्यूज़ की नामित धारा कैसे तय होती है, और फ़्यूज़ बालू भरे कारतूस में बंद क्यों किए जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 10.8.

(क) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ , $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ । (ख) प्रति एकांक आयतन पिघलाने की ऊर्जा $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times 10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : अतः $3.2\,\mathrm{s}$ । (ग) नौ गुना तेज़: $0.36\,\mathrm{s}$ । (घ) नामित धारा वही है जिसके जूल तापन को हवा गलनांक से नीचे ही निकाल ले जाती है; और बालू उस चाप को बुझा देती है जो तार के पिघलने के बाद अंतराल के पार चालन जारी रख सकती।

अभ्यास 10.9 ★★

शिथिलन। (क) $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ निकालिए, आवेश-संरक्षण, ओम के नियम और $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ से। (ख) $\tau_r$ , ताँबे, समुद्र के पानी ( $\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), नल के पानी ( $5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), काँच ( $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ), पीटीएफ़ई ( $1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) के लिए। (ग) हर एक किस आवृत्ति तक “अच्छा चालक” है (अर्थात् आवेश किसी आवर्तकाल के भीतर शिथिल हो जाए)? (घ) कोई आवेशित काँच की छड़ अपना आवेश मिनटों तक थामे रखती है: क्या यह संगत है?

हल

हल — अभ्यास 10.9.

(क) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/ \varepsilon_0$ । (ख) $\varepsilon_0/\gamma$ : $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ , $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ , $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ , $9\,\mathrm{s}$ , $9 \times 10^4$ सेकंड। (ग) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$ : $10^{18}$ Hz (ड्रूडे प्रतिरूप इससे बहुत पहले विफल हो जाता है), $90\,\mathrm{GHz}$ , $0.9\,\mathrm{GHz}$ , $0.02\,\mathrm{Hz}$ , $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$ । (घ) कोई काँच की छड़ अपना आवेश मिनट भर में अपने आयतन से होकर खो देती; पर असली सूखा काँच $10^{-14}$ S/m के पास है (घंटे), और उसे प्रायः सतह की नमी विसर्जित करती है — अतः परिमाण की कोटि में संगत है।

अभ्यास 10.10 ★★★

भू-संयोजन। $a = 0.50\,\mathrm{m}$ त्रिज्या का कोई अर्धगोलीय इलेक्ट्रोड $\gamma = 0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ चालकता की मिट्टी की सतह के बराबर गाड़ा गया है; उसमें कोई धारा $I$ घुसती है और अर्ध-आकाश में त्रिज्यीय रूप से फैल जाती है। (क) $\vect j(r)$ , $\vect E(r)$ , और विभव $V(r)$ , जहाँ $V(\infty) = 0$ । (ख) भू-संयोजन का प्रतिरोध, $R = 1/2\pi\gamma a$ ; मान। (ग) $20\,\mathrm{kA}$ की कोई बिजली छड़ पर गिरती है: छड़ का विभव; $r = 10\,\mathrm{m}$ और $10.7\,\mathrm{m}$ पर विभव; और वहाँ खड़े किसी व्यक्ति के पैरों के बीच “पग-वोल्टता” (पैर $0.7\,\mathrm{m}$ दूर, त्रिज्या के अनुदिश)। (घ) पास गिरती बिजली से गाय-भैंस, जिनकी चारों टाँगें दूर-दूर होती हैं, लोगों की अपेक्षा अधिक क्यों मरती हैं?

हल

हल — अभ्यास 10.10.

(क) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$ , $E = I/2\pi\gamma r^2$ , $V = I/2\pi\gamma r$ । (ख) $R = V(a) /I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$ । (ग) $V_{\text{छड़}} = 640\,\mathrm{kV}$ ; $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$ , $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$ : अतः पैरों के बीच $2.1\,\mathrm{kV}$ । (घ) अगली और पिछली टाँगें त्रिज्या के अनुदिश $1.5\,\mathrm{m}$ दूर: $4$ – $5\,\mathrm{kV}$ , और धारा का पथ हृदय से होकर जाता है।

अभ्यास 10.11 ★★★

हॉल संवेदक। $t$ मोटाई और $w$ चौड़ाई की कोई पट्टी $I$ ढोती है, $x$ के अनुदिश, और क्षेत्र $B$ में, जो $z$ के अनुदिश है। (क) $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B /nq$ से दिखाइए कि चौड़ाई के पार हॉल वोल्टता $V_H = IB/nqt$ है। (ख) ताँबे की पट्टी, $t = 0.10\,\mathrm{mm}$ , $1\,\mathrm{A}$ , $1\,\mathrm{T}$ : $V_H$ । (ग) उसी ज्यामिति का $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ वाला कोई अपमिश्रित अर्धचालक: $V_H$ ; और संवेदक अर्धचालक क्यों काम में लेते हैं। (घ) $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ वाला कोई संवेदक $1\,\mathrm{mA}$ से खिलाया जाता है और $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ पढ़ता है: नापा गया क्षेत्र। $V_H$ का चिह्न क्या बताता है?

हल

हल — अभ्यास 10.11.

(क) $E_H = jB/nq$ , जहाँ $j = I/wt$ : अतः $V_H = E_Hw = IB/nqt$ । (ख) $1/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$ । (ग) $6.3\,\mathrm{mV}$ : क्योंकि $V_H \propto 1/n$ , और अर्धचालकों में $10^6$ गुना कम वाहक होते हैं। (घ) $B = V_Hnqt/I = 10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$ ; और $V_H$ का चिह्न वाहकों का चिह्न बताता है (ज्ञात $\vect B$ के लिए), या $\vect B$ की दिशा (ज्ञात संवेदक के लिए)।

अभ्यास 10.12 ★★★

विद्युत्-अपघट्य। पानी में Na $^+$ और Cl $^-$ आयनों की गतिशीलताएँ $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ और $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ हैं। (क) दिखाइए कि $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ , जब प्रति एकांक आयतन $n$ आयन-युग्म हों। (ख) समुद्र का पानी, $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ सोडियम क्लोराइड: $\gamma$ ; नापे गए $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ से तुलना कीजिए। (ग) $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ पर अपवाह चालें; कौन-सा आयन धारा का अधिक भाग ढोता है? (घ) समुद्र के पानी का कोई स्तंभ, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ का और $10\,\mathrm{cm}$ लंबा, $1\,\mathrm{A}$ ढोता है: वोल्टता, शक्ति, और उसे $10\,\mathrm{K}$ गरम करने में लगा समय ( $c = 4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); वैद्युतकणसंचलन के जेल ठंडे क्यों रखे जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 10.12.

(क) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$ : अर्थात् दोनों जातियाँ विपरीत दिशाओं में बहती हैं और धारा एक ही दिशा में ढोती हैं। (ख) $n = 0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (इस सांद्रता पर आयन एक-दूसरे को रोकते हैं: नापा गया $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )। (ग) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : Cl $^-$ $60\%$ ढोता है। (घ) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$ , $U = 200\,\mathrm{V}$ , $P = 200\,\mathrm{W}$ , और वह $10\,\mathrm{g}$ पानी में: अर्थात् $2\,\mathrm{s}$ में $10\,\mathrm{K}$ — इसीलिए वैद्युतकणसंचलन के टंकों में शीतलन-पट्ट लगते हैं।

10.6 समस्या: ताँबे का तार, परमाणु से ग्रिड तक

समस्या 10.1

सप्ताहांत समस्या — घर के तार का एक मीटर, चार पैमानों पर जाँचा गया: इलेक्ट्रॉन, स्थानिक नियम, परिपथ, और विद्युत-लाइन

ताँबा: मोलर द्रव्यमान $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ , घनत्व $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , प्रति परमाणु एक चालन-इलेक्ट्रॉन, $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर चालकता $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , और चढ़ती प्रतिरोधकता $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 + \alpha(T - 20)]$ , जहाँ $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ ; $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ । तार: काट $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ , लंबाई $1\,\mathrm{m}$ , धारा $16\,\mathrm{A}$ ।

भाग I — इलेक्ट्रॉन।

चालन-इलेक्ट्रॉनों का संख्या-घनत्व $n$ ।
धारा घनत्व और अपवाह वेग; किसी इलेक्ट्रॉन को वह मीटर पार करने में कितना समय चाहिए।
ड्रूडे का $\tau$ और गतिशीलता; $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की यादृच्छिक चाल के साथ माध्य मुक्त पथ; वह कितने परमाणु-अंतराल ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) है, और इससे यह क्या पता चलता है कि इलेक्ट्रॉन किससे टकराते हैं?
ऊष्मीय कंपन $T$ के साथ बढ़ते हैं, अतः मोटे तौर पर $\tau \propto 1/T$ : कमरे के ताप के पास इसे $\alpha$ से जाँचिए ( $\dd\rho_e/\rho_e = \dd T/T$ से $\alpha = 1/293$ मिलता)।
तार में विद्युत क्षेत्र; उस मीटर पर कुल वोल्टता; और प्रति इलेक्ट्रॉन अपवाह की गतिज ऊर्जा की $k_BT$ से तुलना — क्या इलेक्ट्रॉन-गैस धारा से विचलित होती है?
प्रति सेकंड तार की किसी काट को पार करते इलेक्ट्रॉनों की संख्या।
तार के उस मीटर में चालन-इलेक्ट्रॉनों का आवेश; उन सब पर मिलकर क्षेत्र जो बल लगाता है; और उसकी तार के भार से तुलना। वह बल कहाँ जा पहुँचता है (संघट्ट सोचिए)?

भाग II — स्थानिक नियम।

प्रति एकांक आयतन और प्रति मीटर जूल शक्ति।
हवा में तार प्रति एकांक पृष्ठ $h(T - T_a)$ दर से ऊष्मा खोता है, जहाँ $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (संवहन): साम्य में ताप-वृद्धि; और जाँचिए कि प्रतिरोधकता का सुधार मायने रखता है या नहीं।
वही तार ऐसे विद्युतरोधन में गड़ा हो जो केवल $h = 2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ जाने दे: प्रतिरोधकता का सुधार जोड़कर नई ताप-वृद्धि (संतुलन हल कीजिए)।
बिना किसी शीतलन के छोड़ दिया जाए तो $16\,\mathrm{A}$ पर और $160\,\mathrm{A}$ (कोई लघु-परिपथ) पर ताप-वृद्धि की दर; दूसरी दशा में गलनांक ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) तक पहुँचने का समय; और संस्थापन की रक्षा कौन करता है?
$50\,\mathrm{Hz}$ पर $\omega\tau = ?$ क्या ओम का नियम प्रभावित होता है? (अध्याय 14 का त्वचा-प्रभाव अलग बात है।)
ताँबे का शिथिलन काल $\varepsilon_0/\gamma$ लिखिए; तार के भीतर आवेश घनत्व के लिए इसका क्या अर्थ है, और वह आवेश कहाँ बैठता है जो तार के भीतर क्षेत्र $E$ बनाता है?

भाग III — परिपथ में आवेश का संरक्षण। तार किसी स्विच से होकर किसी संधारित्र $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ को खिलाता है; और धारा $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ है, जहाँ $I_0 = 16\,\mathrm{A}$ , $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$ ।

प्लेट तक पहुँचता आवेश; और अंतिम वोल्टता।
प्लेट के चारों ओर किसी बंद पृष्ठ पर $\dd Q/\dd t = -I_{\text{निर्गम}}$ लगाइए: कौन-सी ओर चालन-धारा ढोती है और कौन-सी नहीं? अतः अंतराल में किस राशि का बदलना आवश्यक है?
$t = 0.5\,\mathrm{ms}$ पर प्लेट-आवेश के बदलने की दर; और यदि प्लेटें $1\,\mathrm{cm}^{2}$ की हों तथा हवा में $0.1\,\mathrm{mm}$ दूर, तो उनके बीच क्षेत्र के बदलने की दर।
दिखाइए कि $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ प्लेट-क्षेत्रफल तार की धारा के बराबर है — अर्थात् वही राशि जिसे अध्याय 11 ऐंपियर के नियम में जोड़ता है।
तार काट दिया जाता है और दोनों सिरे हवा में $1\,\mathrm{mm}$ दूर हैं: कौन-सी धारा बहती है (हवा का $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )? किस क्षेत्र पर हवा का भंजन होता है ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ): अंतराल पर कौन-सी वोल्टता चिंगारी देती है?

भाग IV — लाइन। $10\,\mathrm{mm}^{2}$ ताँबे की कोई $230\,\mathrm{V}$ लाइन, $500\,\mathrm{m}$ लंबी (जाना और लौटना: तार का $1\,\mathrm{km}$ ), किसी खेत को $40\,\mathrm{A}$ देती है।

लाइन का प्रतिरोध, वोल्टता-गिरावट और खोई शक्ति; तथा पहुँचाई गई शक्ति का अंश।
दोनों सिरों पर परिणामित्र लगाकर वही शक्ति $20\,\mathrm{kV}$ पर: धारा, गिरावट और हानि; और इससे निष्कर्ष निकालिए कि संचरण ऊँची वोल्टता पर क्यों होता है।
खंभों पर ऐलुमिनियम ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) काम में लिया जाता है: ताँबे के $10\,\mathrm{mm}^{2}$ जितने प्रतिरोध के लिए काट; दोनों के लिए प्रति किलोमीटर द्रव्यमान; और ऊपर ऐलुमिनियम तथा दीवार में ताँबा क्यों जीतता है।
लाइन के चारों ओर कसा कोई हॉल संवेदक उसका क्षेत्र पढ़ता है: किसी क्लैंप मापी के लिए, जिसमें $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ हो, जो $5\,\mathrm{mA}$ से खिलाया जाए और लोहे के क्रोड से संकेंद्रित $0.1\,\mathrm{T}$ क्षेत्र में हो, हॉल वोल्टता।
किसी गरम दिन के भार के बाद तार $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर बैठता है: तब उसका प्रतिरोध, और अतिरिक्त हानि।
लाइन पर बिजली गिरती है: $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ के लिए $20\,\mathrm{kA}$ । तार के $1\,\mathrm{km}$ में क्षयित ऊर्जा; कुछ भी न निकले तो ताप-वृद्धि; और धारा घनत्व — भाग I से तुलना कीजिए।
सार दीजिए: वे पाँच राशियाँ ( $n$ , $\tau$ , $\gamma$ , $j$ , $E$ ) जो हर पैमाने पर तार का वर्णन करती हैं, और वह नियम जो हर युग्म को जोड़ता है।

हल

हल — समस्या 10.1.

1. $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ।

2. $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; अर्थात् प्रति मीटर $35\,\mathrm{min}$ ।

3. $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ , $\ell = 40\,\mathrm{nm}$ , अर्थात् $150$ अंतराल: इलेक्ट्रॉन दोषों और ऊष्मीय कंपनों से टकराते हैं, परमाणुओं से नहीं।

4. $\rho_e \propto T$ से $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$ मिलता है, जो नापे गए $4 \times 10^{-3}$ के पास है।

5. $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $U = 0.11\,\mathrm{V}$ ; और $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ , जबकि $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$ : अतः इलेक्ट्रॉन-गैस धारा को भाँपती तक नहीं।

6. $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।

7. $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ ; $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$ , जबकि भार $0.2\,\mathrm{N}$ । क्षेत्र धनात्मक जालक को उल्टे बल से खींचता है; और इलेक्ट्रॉन अपना संवेग संघट्टों से जालक को सौंप देते हैं: अतः तार समग्र रूप से कुछ अनुभव नहीं करता।

8. $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ , $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ।

9. प्रति मीटर पृष्ठ $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ : $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$ ; प्रतिरोधकता $12\%$ चढ़ती है और शक्ति $1.9\,\mathrm{W}$ हो जाती है: अतः $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$ ।

10. $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$ : $\Delta T(1 - 0.6) = 150$ , $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — अर्थात् ऊष्मीय भगदड़ के पास: अतः गड़ी केबलों की क्षमता घटाकर आँकनी पड़ती है।

11. $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ ; और $160\,\mathrm{A}$ पर $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$ : अतः लगभग मिनट भर में पिघलाव ( $\rho_e$ चढ़ने से और जल्दी); और वियोजक मिलीसेकंडों में खुल जाता है।

12. $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$ : अतः ओम का नियम अछूता है।

13. $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ : अतः भीतर कोई आवेश नहीं; और तार में क्षेत्र उसकी सतह के आवेशों से बनता है, जिनका घनत्व तार के अनुदिश बदलता जाता है।

14. $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$ , $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$ ।

15. तार वाली ओर $I$ ढोती है, अंतराल वाली ओर कोई चालन-धारा नहीं: अतः आवेश बढ़ता है, और उसके साथ अंतराल में विद्युत क्षेत्र।

16. $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$ ; $E = Q/\varepsilon_0A$ , अतः $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A = 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ।

17. $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$ : अर्थात् विस्थापन धारा।

18. $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , और काट से $10^{-14}$ A: अर्थात् कुछ नहीं; और उस मिलीमीटर पर $3\,\mathrm{kV}$ पर भंजन।

19. $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$ ; $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$ ; $P = 2.7\,\mathrm{kW}$ , अर्थात् पहुँचाई गई $9.2\,\mathrm{kW}$ का $29\%$ ।

20. $I = 0.46\,\mathrm{A}$ , $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$ , $0.35\,\mathrm{W}$ : अर्थात् ऊँची वोल्टता पर संचरण हानि को $(U_2/U_1)^2$ से बाँट देता है।

21. $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$ ; ताँबे के $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ के सामने ऐलुमिनियम के $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ : अतः खंभों पर हलका और सस्ता; जबकि दीवार में ताँबे की छोटी काट नलिकाओं और संधियों में समा जाती है।

22. $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 3.1\,\mathrm{mV}$ ।

23. $+24\%$ : $2.1\,\Omega$ , और $3.3\,\mathrm{kW}$ की हानि।

24. $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ , और वह $89\,\mathrm{kg}$ में: $2\,\mathrm{K}$ । $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , अर्थात् घर के मान का तीन सौ गुना।

25. $n$ (पदार्थ) और $\tau$ (संघट्ट) $\gamma = ne^2\tau/m$ देते हैं; $\gamma$ $j$ और $E$ को जोड़ता है (ओम); $j$ समाकलित होकर $I$ देता है और $E$ $U$ (यही परिपथ); और $j^2/\gamma$ ऊष्मा है।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

आवेश घनत्व; धारा घनत्व

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