विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

4श्यान प्रवाह

शहद का मर्तबान उड़ेलिए और वह धीमी, गाढ़ी धार में गिरता है; पानी का मर्तबान उड़ेलिए और वह पलक झपकते ख़त्म। दोनों में चम्मच चलाइए: शहद रोकता है, और हर चाल पर रोकता ही रहता है; पानी तब तक कुछ नहीं कहता जब तक आप तेज़ न चलें, और फिर वह भँवर बनाने लगता है। यह अंतर श्यानता है — तरल का आंतरिक घर्षण — और श्यानता तथा जड़त्व की यह लड़ाई, जो एक ही संख्या में सिमटती है, रेनल्ड्स की संख्या में, तय करती है कि कोई प्रवाह सुव्यवस्थित परतों में रेंगेगा या विक्षोभ में उलट-पुलट जाएगा। यह अध्याय ऑयलर समीकरण में श्यान बल जोड़ता है, हर अभियंता के काम आने वाले दोनों स्तरीय प्रवाह हल करता है, और समझाता है कि ऊँची रेनल्ड्स संख्या पर श्यानता दीवार की पतली परत में छिप क्यों जाती है और फिर भी हर कार, जहाज़ और वायुयान का अधिकांश ईंधन क्यों खा जाती है।

शहद पतली, स्थिर धार में गिरता है और गिरते ही कुंडली बना लेता है: पानी से दस हज़ार गुना श्यानता जड़त्व को अप्रासंगिक कर देती है — यही मंथर प्रवाह है।

4.1 श्यानता और नेवियर–स्टोक्स समीकरण

परिभाषा 4.1 (न्यूटनी श्यानता)

समतल अपरूपण प्रवाह $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$ में, किसी पृष्ठ $y = \text{अचर}$ के ऊपर का तरल उसके नीचे के तरल पर (किसी पृष्ठ-अवयव $\dd S$ के माध्यम से) यह स्पर्शीय बल लगाता है:

\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,

और इस तरह धीमी परत को आगे खींचता है और बदले में स्वयं पीछे खिंचता है। अपरूपण प्रतिबल $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$ है; और गुणांक $\eta$ (मात्रक $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) तरल की गतिक श्यानता है, जबकि $\nu = \eta/\rho$ ( $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) उसकी शुद्धगतिक श्यानता। जिस तरल के लिए $\eta$ अपरूपण-दर पर निर्भर न करे वह न्यूटनी है: पानी, हवा, तेल, ऐल्कोहॉल; रक्त, रंग, चटनी और बहुलक-द्रव नहीं। $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर परिमाण की कोटि: हवा $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), पानी $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ( $\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ), जैतून का तेल $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , ग्लिसरॉल $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , शहद $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ । द्रव गरम होने पर पतले पड़ते हैं, गैसें गाढ़ी।

प्रतिज्ञप्ति 4.2 (श्यान बल घनत्व; अ-सर्पण प्रतिबंध)

समतल अपरूपण प्रवाह में, $y$ और $y + \dd y$ के बीच तरल की किसी परत पर कुल श्यान बल प्रति एकांक आयतन $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$ होता है: अर्थात् श्यानता $\eta\,\Delta\vect v$ घनत्व के आयतन-बल की तरह काम करती है (यहाँ लाप्लासीय घटक-दर-घटक लिया गया है), और यह परिणाम किसी भी असंपीड्य प्रवाह के लिए सही है। किसी ठोस दीवार पर तरल चिपक जाता है: उसका वेग दीवार के वेग के बराबर हो जाता है (अ-सर्पण प्रतिबंध), और इसीलिए पंखे की पंखुड़ी पर धूल टिकी रहती है और दीवार श्यान कर्षण अनुभव करती है।

उपपत्ति. परत को ऊपर से $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ खींचता है और नीचे से $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ : कुल $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$ । सामान्य रूप स्वीकृत है (वह प्रतिबल को वेग-प्रवणताओं का सममित रैखिक फलन लिखने से निकलता है)। अ-सर्पण प्रतिबंध प्रायोगिक है। ∎

प्रमेय 4.3 (नेवियर–स्टोक्स समीकरण)

कोई असंपीड्य न्यूटनी तरल इसका पालन करता है:

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,

और हर दीवार पर अ-सर्पण प्रतिबंध के साथ। ऑयलर समीकरण $\eta = 0$ की दशा है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

बाएँ: किसी स्थिर पट्ट और U से चलते पट्ट के बीच समतल कुएत प्रवाह — रैखिक प्रोफ़ाइल, और हर परत पर वही अपरूपण प्रतिबल। दाएँ: तरल की किसी परत पर श्यान बल; वे तब तक कट जाते हैं जब तक वेग-प्रोफ़ाइल वक्र न हो। — बाएँ: किसी स्थिर पट्ट और $U$ से चलते पट्ट के बीच समतल कुएत प्रवाह — रैखिक प्रोफ़ाइल, और हर परत पर वही अपरूपण प्रतिबल। दाएँ: तरल की किसी परत पर श्यान बल; वे तब तक कट जाते हैं जब तक वेग-प्रोफ़ाइल वक्र न हो।

उदाहरण 4.4 (मेज़ पर अपरूपण प्रतिबल)

किसी पट्ट और मेज़ के बीच तेल की $0.1\,\mathrm{mm}$ परत ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), और पट्ट $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सरकता हुआ: $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$ , अर्थात् वर्ग मीटर के दसवें भाग पर $100\,\mathrm{N}$ का बल — यही स्नेहित धारक का सिद्धांत है, जहाँ श्यान कर्षण सौ गुना बड़े शुष्क घर्षण की जगह ले लेता है। चम्मच पर $1\,\mathrm{mm}$ मोटा शहद, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , जो $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ से बहता है: $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$ , ठीक उतना ही जितना प्रति एकांक क्षेत्रफल एक मिलीमीटर शहद का भार — और इसीलिए वह उसी चाल से बहता है।

4.2 रेनल्ड्स संख्या

परिभाषा 4.5 (रेनल्ड्स संख्या)

अभिलक्षणिक चाल $U$ और लंबाई $L$ वाले किसी प्रवाह के लिए रेनल्ड्स संख्या

\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}

नेवियर–स्टोक्स समीकरण में जड़त्व-पद $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ और श्यान पद $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ की परिमाण-कोटियों का अनुपात है। $\mathrm{Re} \ll 1$ पर जड़त्व नगण्य है और प्रवाह मंथर होता है (श्यान, उत्क्रमणीय, चिकना); $\mathrm{Re} \gg 1$ पर श्यानता दीवारों के पास को छोड़ नगण्य है और प्रवाह आदर्श तरल जैसा होता है — जब तक कि, $10^3$ कोटि की देहली से आगे (नली में व्यास के आधार पर लगभग $2000$ से $3000$ ), वह विक्षुब्ध न हो जाए: अस्थायी, अराजक, और हर पैमाने पर भँवरों से भरा। इन दोनों के बीच प्रवाह स्तरीय होता है: स्थायी और परतदार।

उदाहरण 4.6 (रोज़मर्रा के प्रवाहों की रेनल्ड्स संख्याएँ)

कोई जीवाणु ( $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पानी में): $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — वह जड़त्वहीन संसार में रहता है, जहाँ उसका कशाभिका रोकते ही वह एक परमाणु-व्यास के भीतर रुक जाता है। केशिका में रक्त: $10^{-3}$ ; गिरता धूल-कण: $10^{-2}$ ; सुनहरी मछली: $10^3$ ; तैराक: $10^6$ ; $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर कार ( $4\,\mathrm{m}$ ): $8 \times 10^6$ ; यात्री-विमान: $10^8$ ; गल्फ़ स्ट्रीम: $10^{11}$ । समान ज्यामिति और समान रेनल्ड्स संख्या वाले दो प्रवाह समरूप होते हैं: और इसी से जहाज़ का $1\,\mathrm{m}$ का प्रतिरूप कर्षण-टंकी में, या वायुयान पवन-सुरंग में, परखा जा सकता है।

4.3 स्तरीय प्रवाह: कुएत, प्वाज़ॉय, स्टोक्स

प्रतिज्ञप्ति 4.7 (नली में प्वाज़ॉय प्रवाह)

$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई की किसी क्षैतिज बेलनाकार नली में, जिसे उसके सिरों के बीच दाब-अंतर $\Delta P = P_1 - P_2$ चलाता है, स्थायी स्तरीय प्रवाह यह है:

v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :

अर्थात् परवलयिक प्रोफ़ाइल, जो अक्ष पर अधिकतम है, और माध्य चाल $\langle v\rangle = v_{\max}/2$ । प्रवाह दर दाब-गिरावट के समानुपाती है (प्वाज़ॉय का नियम), जिसमें द्रवीय प्रतिरोध $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ है — और वह त्रिज्या की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती। दीवार पर अपरूपण प्रतिबल $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$ है। यह तब तक मान्य है जब तक $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$ ।

उपपत्ति. स्थायी, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (अतः संवहनी पद लुप्त हो जाता है: $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ $z$ के अनुदिश काम करता है, जिसके अनुदिश कुछ नहीं बदलता)। $z$ के अनुदिश नेवियर–स्टोक्स: $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$ , और त्रिज्यीय दिशा में $\partial_rP = 0$ : अतः $P$ केवल $z$ पर निर्भर है, $\Delta v$ केवल $r$ पर, इसलिए दोनों पक्ष किसी अचर के बराबर हैं, $\partial_zP = -\Delta P/L$ । बेलनाकार निर्देशांकों में $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (कथित; यह किसी बेलनाकार कोश पर श्यान बलों का संतुलन है, $2\pi rL\,\eta v'$ , जो $r$ पर और $r + \dd r$ पर लगता है)। दो बार समाकलन करने पर, $v$ को अक्ष पर परिमित और $v(R) = 0$ लेकर, परवलय मिलता है; और $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$ । दीवार का प्रतिबल $-\eta v'(R)$ है; या समतुल्य रूप से, दाब-बल $\pi R^2\Delta P$ दीवार के घर्षण $2\pi RL\tau_w$ को संतुलित करता है। ∎

बाएँ: प्वाज़ॉय प्रवाह — नली में परवलयिक प्रोफ़ाइल, जिसे दाब-गिरावट P_1 - P_2 चलाती है। दाएँ: तरल के किसी बेलनाकार कोश पर बल-संतुलन: उसके सिरों पर दाब-अंतर भीतरी और बाहरी पृष्ठों पर श्यान प्रतिबलों से संतुलित होता है। — बाएँ: प्वाज़ॉय प्रवाह — नली में परवलयिक प्रोफ़ाइल, जिसे दाब-गिरावट $P_1 - P_2$ चलाती है। दाएँ: तरल के किसी बेलनाकार कोश पर बल-संतुलन: उसके सिरों पर दाब-अंतर भीतरी और बाहरी पृष्ठों पर श्यान प्रतिबलों से संतुलित होता है।

उदाहरण 4.8 (चौथी घात)

$0.4\,\mathrm{mm}$ भीतरी व्यास और $3\,\mathrm{cm}$ लंबाई की कोई सिरिंज-सुई, पानी, और अंगूठे का दाब $20\,\mathrm{kPa}$ : $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; और दुगुनी चौड़ी सुई सोलह गुना अधिक देती है। जिस धमनी को कोई पट्टिका उसकी त्रिज्या के $70\%$ तक सँकरा कर दे, उसका प्रतिरोध $(1/0.7)^4 = 4.2$ गुना हो जाता है: शरीर उसकी भरपाई ऊपर का दाब बढ़ाकर करता है, और यही एक कारण है कि धमनी-काठिन्य और उच्च रक्तचाप साथ-साथ चलते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 4.9 (स्टोक्स कर्षण)

$R$ त्रिज्या का कोई गोला जब $v$ चाल से किसी ऐसे तरल में चलता है जहाँ $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ हो, तो उस पर कर्षण

F = 6\pi\eta Rv ,

लगता है, जो उसके वेग के विपरीत होता है। $\rho_s$ घनत्व का गोला $\rho$ घनत्व के तरल में गिरते हुए सीमांत वेग $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ तक पहुँचता है — यही अवसादन, अपकेंद्रित्र और मिलिकन की तेल-बूँदों का नियम है।

उपपत्ति. कर्षण स्वीकृत है (वह गोले के चारों ओर मंथर-प्रवाह समीकरणों का यथार्थ हल है, जिसका दो-तिहाई श्यान घर्षण और एक-तिहाई दाब है)। सीमांत चाल: भार में से उत्प्लावन घटाकर, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$ , कर्षण के बराबर होता है; और बाद में $\mathrm{Re} \ll 1$ सदा जाँच लीजिए। ∎

उदाहरण 4.10 (कुहरा, वर्षा और धूल)

हवा में $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ व्यास की कुहरे की बूँद $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ से गिरती है ( $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ): ज़रा-सा ऊर्ध्व-प्रवाह उसे टिकाए रखता है, और इसीलिए बादल तैरते हैं। $1\,\mathrm{mm}$ की वर्षा-बूँद $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{Re} \approx 2000$ देती: वहाँ स्टोक्स नहीं चलता, और अगले अनुच्छेद का द्विघाती कर्षण प्रेक्षित $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ देता है। $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ का धूल-कण ( $\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ से बैठता है, अर्थात् दो मिनट में एक मीटर — और उससे महीन धूल घंटों लटकी रहती है।

4.4 ऊँची रेनल्ड्स संख्या: सीमांत परतें और कर्षण

प्रतिज्ञप्ति 4.11 (सीमांत परत)

ऊँची रेनल्ड्स संख्या पर किसी पिंड के चारों ओर का प्रवाह, दीवार के अनुदिश पतली सीमांत परत को छोड़, हर जगह आदर्श तरल जैसा होता है; उस परत में वेग अपने बाहरी मान $U$ से घटकर शून्य हो जाता है (अ-सर्पण)। किसी सपाट पट्ट के अनुदिश उसकी मोटाई इस तरह बढ़ती है:

\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,

जहाँ $x$ अग्र किनारे से दूरी है; और परत स्वयं $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$ के आगे विक्षुब्ध हो जाती है। दीवार पर श्यान घर्षण, और किसी कुंठित पिंड के पीछे परत का पृथक्करण (जो कम दाब की विक्षुब्ध पश्चधारा छोड़ जाता है), कर्षण के दो स्रोत हैं।

उपपत्ति. परिमाण की कोटि: कोई तरल कण पट्ट के अनुदिश चलने में $x/U$ समय बिताता है, और उतने में दीवार का प्रभाव तरल में विसरित होता है — श्यान पद $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ संवेग का विसरण है, जिसकी विसरणशीलता $\nu$ है और जो $\sqrt{\nu t}$ दूरी तक समय $t$ में पहुँचता है (अध्याय 24)। अतः $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$ । पूरा (प्रांटल) सिद्धांत स्वीकृत है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 4.12 (ऊँची रेनल्ड्स संख्या पर कर्षण)

$S$ अग्र-क्षेत्रफल के किसी पिंड पर, जो किसी तरल में $v$ से चलता हो, कर्षण इस तरह लिखा जाता है:

F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,

जहाँ कर्षण गुणांक $C_x$ आकार पर और $\mathrm{Re}$ पर निर्भर करता है। गोले के लिए $C_x = 24/\mathrm{Re}$ , जब $\mathrm{Re} \ll 1$ (स्टोक्स, जहाँ $\mathrm{Re}$ व्यास पर आधारित है), फिर लगभग अचर $0.4$ – $0.5$ , $\mathrm{Re} \approx 10^3$ से $2 \times 10^5$ तक, और वहाँ वह एकाएक गिरकर लगभग $0.1$ हो जाता है (कर्षण संकट: सीमांत परत विक्षुब्ध हो जाती है, सतह से अधिक देर चिपकी रहती है और पश्चधारा सिकुड़ जाती है — गोल्फ़ की गेंद के गड्ढे इसे जल्दी छेड़ देते हैं)। धारारेखित पिंडों का $C_x \approx 0.05$ होता है; कार का $0.3$ ; साइकिल-सवार का $0.9$ ; प्रवाह के सामने रखे सपाट पट्ट का $1.2$ । $v$ से चलने के लिए आवश्यक शक्ति $Fv \propto v^3$ है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

बाएँ: रेनल्ड्स संख्या के सामने गोले का कर्षण गुणांक (लघुगणकीय मापनी): कम Re पर स्टोक्स का नियम, फिर 0.45 के पास पठार, और Re = 2 × 105 के पास कर्षण संकट। दाएँ: सपाट पट्ट के अनुदिश मोटी होती सीमांत परत; उसके बाहर प्रवाह आदर्श तरल जैसा है। — बाएँ: रेनल्ड्स संख्या के सामने गोले का कर्षण गुणांक (लघुगणकीय मापनी): कम $\mathrm{Re}$ पर स्टोक्स का नियम, फिर $0.45$ के पास पठार, और $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$ के पास कर्षण संकट। दाएँ: सपाट पट्ट के अनुदिश मोटी होती सीमांत परत; उसके बाहर प्रवाह आदर्श तरल जैसा है।

उदाहरण 4.13 (साइकिल-सवार, कार)

$10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर साइकिल-सवार ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ ): $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$ , $P = 210\,\mathrm{W}$ — अर्थात् एक टिकाऊ श्रम; $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) पर उसे $710\,\mathrm{W}$ लगते, और इसीलिए तेज़ धावक एक-दूसरे की ओट लेते हैं। $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर कार ( $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ ): $550\,\mathrm{N}$ , अर्थात् अकेली हवा के विरुद्ध $20\,\mathrm{kW}$ — राजमार्ग की चाल पर ईंधन-खपत का अधिकांश कर्षण ही है।

टिप्पणी 4.14 (पृष्ठ तनाव)

किसी द्रव की सीमाओं पर एक दूसरा बल बसता है: उसकी मुक्त सतह $\gamma$ तनाव की खिंची झिल्ली की तरह बरतती है ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; पानी के लिए $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ), क्योंकि सतह के अणुओं के आधे पड़ोसी नहीं होते। $R$ त्रिज्या की बूँद के भीतर दाब बाहर के दाब से लाप्लास दाब $2\gamma/R$ जितना अधिक होता है ( $0.1\,\mathrm{mm}$ की बूँद में $1.4\,\mathrm{kPa}$ , और $10\,\mathrm{nm}$ की में $14\,\mathrm{bar}$ ); और केशिका लंबाई $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ (पानी के लिए) से नीचे पृष्ठ तनाव गुरुत्व को हरा देता है — यही ओस की बूँदों का, गिलास के नवचंद्रक का, और केशिका नली में चढ़ाव ( $h = 2\gamma/\rho gr$ , जुरिन) का आकार है। इसी से छोटे कीट पानी पर चलते हैं, गीले ब्रश के बाल आपस में चिपक जाते हैं, और द्रव की धार टूटकर बूँदें बन जाती है।

विधि 4.15 (कौन-सी दशा?)

श्यान प्रवाह की किसी भी गणना से पहले $\mathrm{Re}$ निकालिए। $\mathrm{Re} \ll 1$ : स्टोक्स और मंथर प्रवाह, कर्षण $\propto v$ , दाब-गिरावट $\propto$ प्रवाह दर। नली में $\mathrm{Re}$ $\sim\!2000$ तक: स्तरीय, प्वाज़ॉय। उससे ऊपर: विक्षुब्ध — वहाँ प्वाज़ॉय हानि को बुरी तरह कम आँकता है; इसके बदले चिकनी नलियों के लिए प्रयोगसिद्ध नियम $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ लीजिए, जहाँ $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ , और पिंडों के लिए $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ । हर दशा में बाद में जाँचिए कि उत्तर से निकली $\mathrm{Re}$ मानी गई दशा से मेल खाती है।

4.5 अभ्यास

अभ्यास 4.1 ★

$0.50\,\mathrm{m}^{2}$ का कोई पट्ट तेल की $0.20\,\mathrm{mm}$ परत पर $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सरकता है ( $\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ )। अपरूपण प्रतिबल, पट्ट पर बल, और क्षयित शक्ति; यदि पट्ट का भार $10\,\mathrm{kg}$ हो तो शुष्क घर्षण ( $f = 0.3$ ) से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 4.1.

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$ ; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$ । शुष्क घर्षण: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — यहाँ पतली, तेज़ अपरूपित परत कहीं अधिक रोकती है; श्यान कर्षण $U/h$ की तरह बढ़ता है, इसलिए स्नेहन कम चालों पर और मोटी परतों के साथ लाभ देता है (और वह कभी जाम नहीं होता)।

अभ्यास 4.2 ★

इनकी रेनल्ड्स संख्याएँ: (क) पानी में $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ का जीवाणु; (ख) कोई तैराक ( $1.8\,\mathrm{m}$ , $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); (ग) हवा में कार ( $4\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); (घ) महाधमनी में रक्त ( $2.5\,\mathrm{cm}$ , $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ); (ङ) $1\,\mathrm{cm}$ की नली में $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से तेल ( $\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )। हर एक की दशा।

हल

हल — अभ्यास 4.2.

(क) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$ , मंथर। (ख) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$ , विक्षुब्ध। (ग) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$ , विक्षुब्ध। (घ) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$ , सीमा पर स्तरीय। (ङ) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$ , स्तरीय।

अभ्यास 4.3 ★

$0.40\,\mathrm{mm}$ (भीतरी व्यास) और $3.0\,\mathrm{cm}$ की सुई से पानी को $20\,\mathrm{kPa}$ से धकेला जाता है। प्रवाह दर; $5\,\mathrm{mL}$ भरने में लगा समय; अधिकतम चाल और रेनल्ड्स संख्या; दीवार पर अपरूपण प्रतिबल। $0.80\,\mathrm{mm}$ की सुई से?

हल

हल — अभ्यास 4.3.

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{mL}$ के लिए $12\,\mathrm{s}$ । $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$ : स्तरीय। $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$ । $0.8\,\mathrm{mm}$ पर: सोलह गुना प्रवाह, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — पर $\mathrm{Re} \approx 10^4$ : प्रवाह विक्षुब्ध हो जाता है और लाभ कम रह जाता है।

अभ्यास 4.4 ★

हवा ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ) में सीमांत चालें: (क) $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ का पराग-कण ( $\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (ख) $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ का धुएँ का कण ( $\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), (ग) $0.2\,\mathrm{mm}$ की फुहार-बूँद। हर दशा में $\mathrm{Re}$ जाँचिए; और $1\,\mathrm{m}$ गिरने में लगा समय।

हल

हल — अभ्यास 4.4.

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$ । (क) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 0.02$ , प्रति मीटर $75\,\mathrm{s}$ । (ख) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ , प्रति मीटर $70\,\mathrm{min}$ । (ग) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पर $\mathrm{Re} = 16$ : स्टोक्स अधिक आँकता है (असली चाल लगभग $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), अर्थात् प्रति मीटर लगभग एक सेकंड।

अभ्यास 4.5 ★★

$30\,\mathrm{cm}$ व्यास की कोई जल-मुख्य नली $1.0\,\mathrm{km}$ तक $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ले जाती है। (क) माध्य चाल और रेनल्ड्स संख्या। (ख) यदि प्वाज़ॉय का नियम लागू होता तो दाब-गिरावट। (ग) $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ के साथ वास्तविक गिरावट; (ख) से अनुपात; पंपन-शक्ति। (घ) वही प्रवाह दो समांतर $21\,\mathrm{cm}$ नलियों में (कुल काट वही): गिरावट और शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 4.5.

(क) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$ । (ख) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$ । (ग) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$ , $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$ : अर्थात् $80$ गुना अधिक; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$ । (घ) वही चाल, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$ , $\lambda = 0.0128$ , $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$ , $6\,\mathrm{kW}$ : प्रति एकांक प्रवाह अधिक दीवार, अधिक हानि।

अभ्यास 4.6 ★★

पानी में $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ व्यास और $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ घनत्व की कोशिकाएँ। (क) गुरुत्व के अधीन अवसादन चाल; $5\,\mathrm{cm}$ बैठने में लगा समय। (ख) $1000\,g$ के अपकेंद्रित्र में। (ग) $10\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या पर $1000\,g$ के लिए न्यूनतम घूर्णन दर। (घ) सबसे बड़े कण पहले क्यों अलग किए जा सकते हैं?

हल

हल — अभ्यास 4.6.

(क) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5\,\mathrm{cm}$ के लिए $1.8 \times 10^4$ सेकंड, अर्थात् पाँच घंटे। (ख) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ , $18\,\mathrm{s}$ । (ग) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$ । (घ) $v \propto R^2$ : बड़े कण पहले तल पर बैठते हैं; और बढ़ती चालों पर लगातार घुमाव आकारों को अलग कर देते हैं।

अभ्यास 4.7 ★★

कोई साइकिल-सवार ( $SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$ , लोटनिक प्रतिरोध $4\,\mathrm{N}$ ) $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है। (क) कर्षण और कुल शक्ति। (ख) $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर। (ग) $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ धरातल-चाल पर $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की सामने की हवा में। (घ) ओट लेने से $C_x$ $30\%$ घट जाता है: बची शक्ति। (ङ) बिना पैडल मारे $5\%$ की ढाल उतरते हुए (द्रव्यमान $80\,\mathrm{kg}$ ): सीमांत चाल।

हल

हल — अभ्यास 4.7.

(क) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$ , $+4\,\mathrm{N}$ : $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$ । (ख) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$ , $770\,\mathrm{W}$ । (ग) सापेक्ष चाल $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$ , और उसे धरातल-चाल से गुणा करने पर: $780\,\mathrm{W}$ । (घ) कर्षण $21\,\mathrm{N}$ : $300\,\mathrm{W}$ , अर्थात् $110\,\mathrm{W}$ की बचत। (ङ) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$ : $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

अभ्यास 4.8 ★★

द्विघाती कर्षण। (क) गोल्फ़ की गेंद ( $46\,\mathrm{g}$ , $43\,\mathrm{mm}$ , $C_x = 0.25$ ) की और किसी आकाश-कूदक ( $80\,\mathrm{kg}$ , $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$ , और फिर पैराशूट खुलने पर $25\,\mathrm{m}^{2}$ ) की सीमांत चाल। (ख) द्विघाती कर्षण के साथ विराम से गिरने का गति-समीकरण; दिखाइए कि $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ । (ग) आकाश-कूदक को $90\%$ अंतिम चाल ( $v_\infty$ ) तक पहुँचने में लगा समय और दूरी।

हल

हल — अभ्यास 4.8.

(क) गोल्फ़: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ , $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; आकाश-कूदक $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; पैराशूट $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) $m\dot v = mg - kv^2$ , अर्थात् $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$ , जिसका विराम से हल $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$ है। (ग) $\tanh x = 0.9$ $x = 1.47$ पर: $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$ ; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 4.9 ★★

कुएत श्यानतामापी। $5.0\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या और $10\,\mathrm{cm}$ ऊँचाई का कोई बेलन किसी स्थिर बेलन के भीतर $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ से घूमता है, और $1.0\,\mathrm{mm}$ का अंतराल जाँचे जाने वाले द्रव से भरा है; आवश्यक बलाघूर्ण $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ है। (क) अंतराल को समतल कुएत प्रवाह मानकर अपरूपण-दर और अपरूपण प्रतिबल। (ख) श्यानता। (ग) अंतराल के प्रवाह की रेनल्ड्स संख्या; क्या प्रवाह स्तरीय है? (घ) अंतराल पतला क्यों रखा जाता है?

हल

हल — अभ्यास 4.9.

(क) अपरूपण-दर $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$ : अतः $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$ । (ख) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ । (ग) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$ : स्तरीय। (घ) पतला अंतराल अपरूपण-दर को एकसमान रखता है (समतल सन्निकटन) और प्रवाह को स्तरीय बनाए रखता है।

अभ्यास 4.10 ★★★

एक वाहिका-जाल। रक्त ( $\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$ ) $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ से बहता है। (क) महाधमनी (त्रिज्या $1.25\,\mathrm{cm}$ , लंबाई $40\,\mathrm{cm}$ ) का द्रवीय प्रतिरोध और उसके अनुदिश दाब-गिरावट। (ख) $10^{10}$ केशिकाएँ (त्रिज्या $4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , लंबाई $1\,\mathrm{mm}$ ) समांतर में हैं: एक का, सबका प्रतिरोध, और केशिका-शय्या पर दाब-गिरावट। (ग) धमनिकाएँ ( $10^8$ , त्रिज्या $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , लंबाई $2\,\mathrm{mm}$ ): वही प्रश्न; परिसंचरण का प्रतिरोध कहाँ है? (घ) कुल गिरावट $13\,\mathrm{kPa}$ है: हृदय के वाम निलय की शक्ति, और वह शरीर के $100\,\mathrm{W}$ का कौन-सा अंश। (ङ) कोई औषधि धमनिकाओं को $10\%$ फैला देती है: कुल प्रतिरोध पर प्रभाव।

हल

हल — अभ्यास 4.10.

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ । (क) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ , $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$ । (ख) एक केशिका $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; समांतर में $10^{10}$ : $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ( $2\,\mathrm{mmHg}$ )। (ग) एक धमनिका $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; पूरा समुच्चय: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$ : अर्थात् धमनिकाएँ दोनों पर भारी पड़ती हैं (दाब बड़ी वाहिकाओं में नहीं, छोटी वाहिकाओं में गिरता है)। (घ) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , अर्थात् लगभग $1\%$ । (ङ) $(1/1.1)^4 = 0.68$ : धमनिकीय प्रतिरोध का एक-तिहाई हट जाता है — वाहिका-प्रसारक रक्तचाप इसी तरह घटाते हैं।

अभ्यास 4.11 ★★★

सीमांत परत और घर्षण कर्षण। $L$ लंबाई और $b$ चौड़ाई का कोई सपाट पट्ट किनारे के बल $U$ से चलता है। स्तरीय दशा में दीवार का अपरूपण प्रतिबल $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ है (ब्लासियुस)। (क) दिखाइए कि एक फलक पर घर्षण बल $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ है। (ख) $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर पानी में $1\,\mathrm{m}$ के पट्ट के पश्च किनारे पर सीमांत-परत की मोटाई, और $1\,\mathrm{m}^{2}$ के पट्ट पर बल (दोनों फलक)। (ग) $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर: $\mathrm{Re}_L$ , और सूत्र फिर क्यों नहीं चलता। (घ) किसी जहाज़ का पेंदा ( $100\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): विक्षुब्ध नियम $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$ मानकर पिछले सिरे पर सीमांत-परत की मोटाई का आकलन।

हल

हल — अभ्यास 4.11.

(क) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$ । (ख) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (स्तरीय); $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$ ; प्रति फलक $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ , अर्थात् $0.22\,\mathrm{N}$ । (ग) $\mathrm{Re}_L = 10^7$ : पहले कुछ सेंटीमीटर के बाद परत विक्षुब्ध हो जाती है और स्तरीय सूत्र विफल हो जाता है (असली कर्षण कई गुना बड़ा है)। (घ) $\mathrm{Re}_x = 10^9$ : $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 4.12 ★★★

गिरती परत। $h$ मोटाई की कोई द्रव-परत गुरुत्व के अधीन किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर स्थायी रूप से बहती है, और हवा उसकी मुक्त सतह पर कोई प्रतिबल नहीं लगाती। (क) $\vect v = v(y)\vect e_z$ के लिए नेवियर–स्टोक्स लिखिए ( $y$ दीवार से दूरी, $z$ नीचे की ओर) और सीमा-प्रतिबंध। (ख) दिखाइए कि $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ और प्रति एकांक चौड़ाई प्रवाह दर $q = \rho gh^3/3\eta$ निकालिए। (ग) $0.2\,\mathrm{mm}$ मोटा ताज़ा रंग ( $\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ , $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): सतह की चाल और प्रवाह दर; सतह $10\,\mathrm{min}$ में कितनी दूर सरकती है? रंग बहुत मोटा लगाने पर क्यों बह जाता है? (घ) किसी ऊर्ध्वाधर चम्मच पर $2\,\mathrm{mm}$ मोटा शहद ( $\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ): सतह की चाल।

हल

हल — अभ्यास 4.12.

(क) $0 = \rho g + \eta v''(y)$ , $v(0) = 0$ (अ-सर्पण), $v'(h) = 0$ (मुक्त सतह पर कोई प्रतिबल नहीं)। (ख) दो बार समाकलन: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$ ; $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$ । (ग) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; दस मिनट में $28\,\mathrm{cm}$ — उतनी मोटी न्यूटनी रंग-परत बह ही जाती; असली रंग अपरूपण-पतले और थिक्सोट्रॉपिक होते हैं, और बहुत मोटा लगाने पर फिर भी बहते हैं, क्योंकि $v_s \propto h^2$ । (घ) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ।

किसी द्वीप के पीछे बादलों में फ़ॉन कार्मान की भँवर-गली, अंतरिक्ष से देखी गई: कुछ सौ की रेनल्ड्स संख्या पर किसी बेलन की पश्चधारा, जो सौ किलोमीटर के पैमाने पर खिंची है (NASA)।

4.6 समस्या: रक्त, कच्चा तेल और वर्षा

समस्या 4.1

सप्ताहांत समस्या — वही श्यान नियम किसी धमनी में, किसी हज़ार किलोमीटर की पाइपलाइन में, और किसी गिरती बूँद में

भाग I — रक्त। रक्त: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (न्यूटनी माना गया); हृद्-निर्गम $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ।

महाधमनी, त्रिज्या $1.25\,\mathrm{cm}$ : माध्य चाल, रेनल्ड्स संख्या, दशा।
यदि महाधमनी का प्रवाह प्वाज़ॉय का होता, तो अधिकतम चाल और दीवार का अपरूपण प्रतिबल क्या होते? (अंतःस्तर $1\,\mathrm{Pa}$ कोटि के प्रतिबल भाँप लेता है।)
$4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ त्रिज्या की कोई केशिका रक्त को $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ से ले जाती है: रेनल्ड्स संख्या; उसकी $1.0\,\mathrm{mm}$ लंबाई पर दाब-गिरावट, पास्कल में और पारे के मिलीमीटरों में ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ )।
किसी लाल कोशिका को केशिका पार करने में लगा समय; गैस-विनिमय के लिए यही सही कोटि क्यों है?
धमनिकाएँ (त्रिज्या $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , लंबाई $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ समांतर में): पूरे समुच्चय का प्रतिरोध और पूरे हृद्-निर्गम पर उस पर दाब-गिरावट।
धमनी से शिरा तक कुल गिरावट $13\,\mathrm{kPa}$ है: वाम निलय द्वारा दी गई यांत्रिक शक्ति। $100\,\mathrm{W}$ के शरीर से तुलना कीजिए।
कोई संकीर्णन किसी हृद्-धमनी की त्रिज्या थोड़ी लंबाई में $40\%$ घटा देता है: उसका प्रतिरोध कितने गुना बढ़ता है; और आगे की हृद्-पेशी को विराम में तो पूर्ति मिलती रह सकती है, पर श्रम के दौरान क्यों नहीं।
कड़े श्रम के दौरान हृद्-निर्गम $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ तक पहुँच जाता है: महाधमनी में रेनल्ड्स संख्या और दशा।
रक्त न्यूटनी नहीं है: उसकी आभासी श्यानता ऊँची अपरूपण-दर पर घटती है और नीची पर बढ़ती है। ऊपर की किन वाहिकाओं पर इसका सबसे अधिक असर पड़ता है, और किस दिशा में?

भाग II — पाइपलाइन। कच्चे तेल की कोई पाइपलाइन: व्यास $D = 1.2\,\mathrm{m}$ , लंबाई $L = 1300\,\mathrm{km}$ , प्रवाह $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; तेल $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , और गरम रखे जाने पर $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ । विक्षुब्ध घर्षण: $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ , $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$ ।

माध्य चाल और रेनल्ड्स संख्या; दशा।
प्रति किलोमीटर और पूरी लाइन पर दाब-गिरावट।
नली $80\,\mathrm{bar}$ सह लेती है: लाइन पर पंप-केंद्रों की न्यूनतम संख्या।
कुल पंपन-शक्ति; पहुँचाए गए प्रति घन मीटर तेल पर ऊर्जा, और तेल की अपनी ऊर्जा ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ) से तुलना।
प्वाज़ॉय का नियम कौन-सी गिरावट बताता? विक्षोभ की क़ीमत पर टिप्पणी दीजिए (और इस पर भी कि कुछ पाइपलाइनों में विक्षोभ को टालने वाले बहुलक क्यों मिलाए जाते हैं)।
जाड़े में बिना गरम किया तेल $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ तक पहुँच जाता: नई रेनल्ड्स संख्या और दशा; उपयुक्त नियम से लाइन पर दाब-गिरावट। अभिकल्प के लिए निष्कर्ष (असली लाइन ऊष्मारोधी है और तेल गरम रखा जाता है)।
तेल का एक सिरे से दूसरे तक पारगमन-काल।
गरम, विक्षुब्ध दशा में दाब-गिरावट से दीवार का अपरूपण प्रतिबल; नली की दीवार पर कुल घर्षण बल।
वही प्रवाह $1.0\,\mathrm{m}$ की नली में: विक्षुब्ध दाब-गिरावट कितने गुना बदलती है?
गरम तेल में बालू का $0.10\,\mathrm{mm}$ का कण ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) बहता है: स्टोक्स की अवसादन चाल, कण की रेनल्ड्स संख्या, नली पार करके बैठने में लगा समय। इनकी तुलना विक्षुब्ध वेग-उतार-चढ़ावों से कीजिए, जो $\langle v \rangle$ के कुछ प्रतिशत हैं: क्या चलती पाइपलाइन में बालू बैठती है? रुकी हुई में?

भाग III — बूँदें। हवा: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; पानी $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ।

बादल की बूँद, व्यास $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : स्टोक्स की सीमांत चाल, रेनल्ड्स संख्या, $1\,\mathrm{km}$ गिरने में लगा समय; बादल क्यों टिका रहता है।
फुहार, $0.20\,\mathrm{mm}$ : स्टोक्स की चाल और रेनल्ड्स संख्या; क्या स्टोक्स अब भी भरोसे लायक़ है?
वर्षा-बूँद, $2.0\,\mathrm{mm}$ : दिखाइए कि स्टोक्स विफल है, और $C_x = 0.5$ के साथ सीमांत चाल निकालिए। $1\,\mathrm{km}$ से गिरने में लगा समय।
$1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ के ऊर्ध्व-प्रवाह में बादल की बूँद चढ़ती है या गिरती है? फुहार-बूँद को कौन-सा ऊर्ध्व-प्रवाह टिकाए रखेगा?
तीनों बूँदों के भीतर लाप्लास दाब; हर एक के लिए गतिक दाब $\tfrac12\rho v_\infty^2$ से तुलना कीजिए, और समझाइए कि बड़ी वर्षा-बूँदें लगभग $5\,\mathrm{mm}$ से ऊपर चपटी होकर क्यों टूट जाती हैं।
एक सारणी में इस समस्या के आठों प्रवाहों के लिए रेनल्ड्स संख्या और उन्हें चलाने वाला नियम दीजिए।

हल

हल — समस्या 4.1.

1. $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$ , $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$ : स्तरीय (स्पंदी शिखर $\sim 5000$ तक पहुँचते हैं)।

2. $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$ ।

3. $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$ ; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$ ।

4. $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$ : अर्थात् ऑक्सीजन को ऊतक तक कुछ माइक्रोमीटर विसरित होने के लिए पर्याप्त (अध्याय 24)।

5. एक धमनिका $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; समांतर में $10^8$ : $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$ ; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$ ।

6. $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$ , अर्थात् शरीर की शक्ति का लगभग $1\%$ ।

7. $(1/0.6)^4 = 7.7$ । विराम में आगे की वाहिकाएँ फैलकर भरपाई कर देती हैं; पर श्रम के दौरान माँग चार-पाँच गुना बढ़ जाती है और सँकरी धमनी उसे पूरा नहीं कर पाती: यही हृद्शूल है।

8. चाल पाँच गुना: $\mathrm{Re} \approx 6500$ , विक्षुब्ध — और यही वे मर्मर हैं जो व्यायाम के दौरान स्टेथोस्कोप सुनता है।

9. छोटी शिराओं और केशिकाओं के धीमे, कम-अपरूपण वाले प्रवाह में लाल कोशिकाएँ आपस में जुड़ जाती हैं और आभासी श्यानता बढ़ जाती है (तेज़ महाधमनी में उल्टा); अतः छोटी वाहिकाओं के सारे दाब-गिरावट आकलन निचली सीमाएँ हैं।

10. $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$ : विक्षुब्ध।

11. $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$ ; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$ ; पूरी लाइन पर $534\,\mathrm{bar}$ ।

12. $534/80 = 6.7$ : अर्थात् कम से कम सात केंद्र।

13. $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$ ; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , अर्थात् तेल की ऊर्जा का $0.15\%$ ।

14. $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$ : अर्थात् पैंतीस गुना कम। विक्षोभ महँगा है; और दस लाख में कुछ भाग लंबे बहुलक उसे टाल देते हैं और गिरावट को दसियों प्रतिशत घटा देते हैं।

15. $\mathrm{Re} = 1350$ : स्तरीय; प्वाज़ॉय: $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — असंभव; अतः तेल को गरम रखना ही पड़ेगा, और इसीलिए ऊष्मारोधन तथा तापन।

16. $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{d}$ ।

17. $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$ ; $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$ ।

18. $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$ : $1.2^{4.75} = 2.4$ ।

19. $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1.2\,\mathrm{m}$ पार करने में $41\,\mathrm{min}$ । कुछ सेंटीमीटर प्रति सेकंड के विक्षुब्ध उतार-चढ़ाव उसे तेल के चलते रहने तक लटकाए रखते हैं; रुकी हुई लाइन में वह घंटे भर से कम में बैठ जाती है।

20. $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$ ; $1\,\mathrm{km}$ के लिए $3.3 \times 10^5$ सेकंड, अर्थात् चार दिन: कुछ मिलीमीटर प्रति सेकंड से ऊपर का कोई भी ऊर्ध्व-प्रवाह उसे टिकाए रखता है।

21. $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathrm{Re} = 16$ : स्टोक्स लगभग दुगुना अधिक आँकता है (असली: $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )।

22. स्टोक्स $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{Re} \sim 10^4$ देता है: यानी निरर्थक। द्विघाती कर्षण, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$ : $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\mathrm{Re} = 900$ , संगत); $1\,\mathrm{km}$ से $150\,\mathrm{s}$ ।

23. $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : अतः बूँद चढ़ती है; फुहार-बूँद को लगभग $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चाहिए, जो संवहनी बादल दे देते हैं।

24. $2\gamma/R$ : $29\,\mathrm{kPa}$ , $1.4\,\mathrm{kPa}$ , $144\,\mathrm{Pa}$ ; और गतिक दाब $\tfrac12\rho v^2$ : $5 \times 10^{-6}$ , $0.3$ तथा $26\,\mathrm{Pa}$ । यह अनुपात $2\,\mathrm{mm}$ पर $0.2$ तक पहुँचता है; और $5\,\mathrm{mm}$ पर ( $v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ बनाम $58\,\mathrm{Pa}$ ) वायुगतिक दाब बूँद को चपटा कर तोड़ देता है: इसीलिए कोई वर्षा-बूँद लगभग $5\,\mathrm{mm}$ से बड़ी नहीं होती।

25. महाधमनी $10^3$ (स्तरीय, संक्रमण के पास); केशिका $10^{-3}$ (प्वाज़ॉय); धमनिका $10^{-2}$ (प्वाज़ॉय); गरम पाइपलाइन $10^5$ (विक्षुब्ध, $\lambda(\mathrm{Re})$ ); ठंडी पाइपलाइन $10^3$ (प्वाज़ॉय); तेल में बालू $10^{-3}$ (स्टोक्स); बादल की बूँद $10^{-3}$ (स्टोक्स); वर्षा-बूँद $10^3$ (द्विघाती कर्षण, $C_x \approx 0.5$ )।

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