विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

20माइकेल्सन व्यतिकरणमापी

1887 में माइकेल्सन और मोर्ली ने प्रकाश की किसी पुंज को दो में चीरा, दोनों आधों को लंबवत भुजाओं के अनुदिश भेजा, उन्हें फिर जोड़ा, और फ्रिंजों को उस खिसकाव के लिए ताकते रहे जो ईथर में पृथ्वी की गति से होना चाहिए था: कुछ नहीं हिला, और भौतिकी बदल गई। 2015 में उसी यंत्र ने — दो भुजाएँ, अब चार किलोमीटर लंबी और हज़ार बार मोड़ी हुईं — कोई ऐसी गुरुत्व तरंग दर्ज की जिसने उनकी लंबाइयाँ किसी प्रोटॉन के व्यास के हज़ारवें भाग जितनी बदल दीं। इन दोनों तारीख़ों के बीच माइकेल्सन व्यतिकरणमापी ने मीटर को तरंगदैर्घ्यों में नापा, वर्णक्रमी रेखाएँ सुलझाईं, और परिशुद्ध प्रकाशिकी का मानक औज़ार बन गया। यह अध्याय उसे उसके दोनों विन्यासों में — वायु-पच्चर और समांतर पट्ट — बताता है, और दिखाता है कि उसकी फ्रिंजें लंबाइयाँ, अपवर्तनांक और वर्णक्रम कैसे नापती हैं।

20.1 यंत्र

परिभाषा 20.1 (माइकेल्सन व्यतिकरणमापी)

कोई पुंज-विभाजक $Sp$ — अर्ध-परावर्ती फलक वाली कोई काँच की पट्टिका — $45{}^{\circ}$ पर किसी आपाती पुंज को दो में बाँट देता है: एक दर्पण $M_1$ को जाती है, दूसरी $M_2$ को, और दोनों अपनी-अपनी पुंजों के लंबवत हैं; परावर्तन के बाद हर एक $Sp$ पर लौटती है, जहाँ उसका आधा प्रेक्षक की ओर भेज दिया जाता है, और वहीं दोनों आधे व्यतिकरण करते हैं। विभाजक जैसी ही और उसके समांतर कोई क्षतिपूरक पट्टिका $C$ उस भुजा में रख दी जाती है जो नहीं तो विभाजक के काँच को केवल एक बार पार करती, ताकि दोनों पुंजें काँच की वही मोटाई पार करें: तब पथांतर हवा के पथों का कोई शुद्ध अंतर रह जाता है, जो हर तरंगदैर्घ्य के लिए वही है — और श्वेत-प्रकाश की फ्रिंजों को यही चाहिए। दर्पणों की $Sp$ से दूरियाँ $d_1$ और $d_2$ हैं; और एक दर्पण किसी सूक्ष्ममापी पेंच तथा झुकाव के पेंचों पर लगा है।

प्रतिज्ञप्ति 20.2 (तुल्य व्यवस्था)

प्रेक्षक की ओर से देखने पर व्यतिकरणमापी दर्पण $M_2$ और उस प्रतिबिंब $M_1'$ के तुल्य है जो विभाजक में $M_1$ का बनता है: अर्थात् दो परावर्ती सतहों के बीच हवा की कोई पतली परत, जिसकी मोटाई $e = |d_1 - d_2|$ है, और जिसके दोनों परावर्तन व्यतिकरण करते हैं (आयाम-विभाजन):

$M_1' \parallel M_2$ : मोटाई $e$ का कोई वायु-पट्ट — समान नति के वलय, अनंत पर स्थानीकृत, $\delta = 2e\cos i$ ;
$M_1'$ $\alpha$ से ज़रा झुका हुआ, $M_2$ के सापेक्ष: कोई वायु-पच्चर — समान मोटाई की सीधी फ्रिंजें, दर्पणों पर स्थानीकृत (पच्चर के पास), अभिलंब आपतन में $\delta = 2\alpha x$ , दूरी $\lambda/2\alpha$ ।

संपर्क पर ( $e = 0$ , $\alpha = 0$ ) क्षेत्र एकसमान है, और श्वेत प्रकाश के लिए वही एक जगह है जहाँ रंग सहमत होते हैं: अर्थात् "श्वेत फ्रिंज"।

उपपत्ति. $M_1$ वाली भुजा को $M_2$ वाली भुजा पर, $Sp$ में परावर्तन से, मोड़ देने से दोनों पुंजें एक ही रेखा पर आ जाती हैं, जिसमें दो दर्पण $e$ दूर हैं; और लौटती दोनों तरंगें वही हैं जो हवा की परत के दोनों फलकों से परावर्तित हैं (कोई अतिरिक्त $\lambda/2$ नहीं: दोनों धातु पर परावर्तित होती हैं, और विभाजक उन्हें सममित रूप से बरतता है, किसी अचर कला तक, जो पूरी आकृति को खिसका देती है)। तब अध्याय 19 के पतली-झिल्ली वाले परिणाम $n = 1$ के साथ लागू होते हैं। ∎

बाएँ: माइकेल्सन व्यतिकरणमापी — विभाजक, क्षतिपूरक पट्टिका, दो दर्पण, और प्रेक्षक की ओर फिर से जुड़ी एक पुंज। दाएँ: M_2 और उस प्रतिबिंब M_1' के बीच तुल्य हवा की परत, जो M_1 का है, समांतर (वलय) या झुकी हुई (सीधी फ्रिंजें)। — बाएँ: माइकेल्सन व्यतिकरणमापी — विभाजक, क्षतिपूरक पट्टिका, दो दर्पण, और प्रेक्षक की ओर फिर से जुड़ी एक पुंज। दाएँ: $M_2$ और उस प्रतिबिंब $M_1'$ के बीच तुल्य हवा की परत, जो $M_1$ का है, समांतर (वलय) या झुकी हुई (सीधी फ्रिंजें)।

20.2 दोनों फ्रिंज-व्यवस्थाएँ

प्रतिज्ञप्ति 20.3 (वायु-पट्ट के वलय)

$M_1' \parallel M_2$ और किसी विस्तृत स्रोत के साथ प्रेक्षक (या फ़ोकस दूरी $f$ का कोई लेंस और उसके फ़ोकस तल में कोई पर्दा) संकेंद्री वलय देखता है; कोण $i$ वाले वलय की कोटि $p = 2e\cos i/\lambda$ है; और वलय वहाँ चमकीले हैं जहाँ $p$ पूर्णांक हो। केंद्र की कोटि सबसे ऊँची है, $p_0 = 2e/\lambda$ ; उसके पास $\cos i \approx 1 - i^2/2$ , अतः केंद्र से गिना $k$ -वाँ चमकीला वलय (पहले वाले से गिनते हुए, जो केंद्र की कोटि से $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ नीचे है) त्रिज्या रखता है

r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :

अर्थात् बड़े $e$ के साथ वलय सिकुड़े हुए (अधिक और पतले वलय), और $e \to 0$ पर फैलते हुए, यहाँ तक कि संपर्क पर कोई एकसमान क्षेत्र। किसी दर्पण को $\lambda/2$ खिसकाने पर $p_0$ एक से बदल जाता है: अर्थात् हर आधे तरंगदैर्घ्य के विस्थापन पर केंद्र से कोई वलय जन्म लेता है (या उसमें निगल लिया जाता है)।

उपपत्ति. समांतर पट्ट के लिए $\delta = 2e\cos i$ (अध्याय 19, $n = 1$ , दो धातु-परावर्तनों के लिए कोई अतिरिक्त $\lambda/2$ नहीं); और $2e(1 - i^2/2) = (p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ , $2e = p_0\lambda$ के साथ, देता है $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$ । ∎

प्रतिज्ञप्ति 20.4 (वायु-पच्चर की फ्रिंजें)

$M_1'$ को किसी छोटे कोण $\alpha$ से झुकाने पर और लगभग-अभिलंब आपतन में, दर्पणों के उस बिंदु पर जो संपर्क-रेखा से दूरी $x$ पर है, पथांतर $\delta = 2\alpha x$ है: अर्थात् उस रेखा के समांतर सीधी फ्रिंजें, $\lambda/2\alpha$ की दूरी पर, और दर्पणों पर स्थानीकृत (उन्हें $M_2$ पर फ़ोकस करके देखा जाता है, या $M_2$ और पर्दे को संयुग्मी बनाते किसी लेंस से पर्दे पर प्रक्षेपित किया जाता है)। शून्य-कोटि की फ्रिंज संपर्क-रेखा पर पड़ती है, और हर तरंगदैर्घ्य के लिए वही: अतः श्वेत प्रकाश के साथ वह श्वेत है (या काली, विभाजक की कलाओं के अनुसार), जिसके दोनों ओर कुछ रंगीन फ्रिंजें हैं — वही पहचान जिससे संपर्क ढूँढ़ा जाता है।

उपपत्ति. हवा की किसी पच्चर की समान-मोटाई फ्रिंजें, $e(x) = \alpha x$ । स्थानीकरण: किसी विस्तृत स्रोत के लिए पच्चर के किसी दिए बिंदु से होकर जाती किरणें वहीं फिर मिलती हैं, लगभग-अभिलंब आपतन में उसी $\delta$ के साथ। ∎

माइकेल्सन की दोनों फ्रिंज-व्यवस्थाएँ, और पट्ट की मोटाई के सामने सोडियम युग्मक की फ्रिंजों का विभेद: वह हर 0.29\, mm पर लुप्त हो जाता है (पहली बार 0.145\, mm पर), जब दोनों रेखाओं की फ्रिंजें विरोध में होती हैं। — माइकेल्सन की दोनों फ्रिंज-व्यवस्थाएँ, और पट्ट की मोटाई के सामने सोडियम युग्मक की फ्रिंजों का विभेद: वह हर $0.29\,\mathrm{mm}$ पर लुप्त हो जाता है (पहली बार $0.145\,\mathrm{mm}$ पर), जब दोनों रेखाओं की फ्रिंजें विरोध में होती हैं।

20.3 माइकेल्सन से नापना

प्रतिज्ञप्ति 20.5 (लंबाइयाँ, अपवर्तनांक, वर्णक्रम)

केंद्र से गुज़रती $N$ फ्रिंजें गिनना, जबकि कोई दर्पण $\Delta e$ खिसके, $\Delta e = N\lambda/2$ देता है: अर्थात् तरंगदैर्घ्यों में लंबाइयाँ (कोई सूक्ष्ममापी पेंच $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ तक अंशांकित; मीटर ख़ुद ऐसे ही नापा गया था)। किसी भुजा में डाली गई मोटाई $\ell$ और अपवर्तनांक $n$ की कोई पारदर्शी पट्टिका $2(n - 1)\ell$ को $\delta$ में जोड़ देती है और आकृति को $2(n - 1)\ell/\lambda$ फ्रिंजें खिसका देती है: अर्थात् अपवर्तनांक (और किसी गैस-कोठरी में दाब या ताप के साथ उनके बदलाव)। तरंगदैर्घ्य $\lambda$ और $\lambda + \Delta\lambda$ के किसी युग्मक के साथ, जैसे-जैसे $e$ बढ़ता है दोनों फ्रिंज-व्यवस्थाएँ क़दम से बाहर और फिर क़दम में आ जाती हैं, और विभेद हर बार लुप्त होता है

\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :

अर्थात् पास-पास की रेखाओं का बँटवारा। और आम तौर पर $e$ के फलन की तरह विभेद स्रोत का वर्णक्रम खींच देता है (विभेद $e \sim \ell_c/2$ भर क्षय करता है): $e$ के चलते रहते हुए केंद्र पर तीव्रता दर्ज करना फ़ूरिये-रूपांतर वर्णक्रममिति है, जो अवरक्त वर्णक्रममापियों की विधि है।

उपपत्ति. केंद्र पर कोटि $2e/\lambda$ है; और हर रेखा की अपनी है। दोनों व्यवस्थाएँ फिर तब संपाती होती हैं जब $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$ , अर्थात् $2e\Delta\lambda /\lambda^2 = 1$ ; और आधे रास्ते वे विरोध में हैं। सामान्य कथन अभ्यास 18.10 का विभेद-सूत्र है। ∎

उदाहरण 20.6 (सोडियम, और मीटर)

सोडियम युग्मक ( $589\,\mathrm{nm}$ पर $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ ): वलय हर $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ पर धुँधले और तीखे होते जाते हैं — अर्थात् किसी पेंच से कुछ प्रतिशत तक $\Delta\lambda$ नापने का कोई चिरपरिचित तरीक़ा। माइकेल्सन (1892) ने मानक मीटर की लंबाई भर लाल कैडमियम रेखा की फ्रिंजें गिनीं: $1\,553\,163.5$ तरंगदैर्घ्य, अर्थात् मीटर और किसी परमाणु के बीच पहली गाँठ; आज मीटर $c$ और सेकंड से परिभाषित है, और व्यतिकरणमापी उत्पादन में मानक गुटके नैनोमीटरों तक जाँचते हैं।

जैसे-जैसे पट्ट की मोटाई बढ़ती है, वलयों के केंद्र पर तीव्रता, किसी परिमित संसक्ति लंबाई वाले स्रोत के लिए: फ्रिंजें e _c/2 भर मुरझा जाती हैं; और आवरण वर्णक्रम का फ़ूरिये-रूपांतर है। — जैसे-जैसे पट्ट की मोटाई बढ़ती है, वलयों के केंद्र पर तीव्रता, किसी परिमित संसक्ति लंबाई वाले स्रोत के लिए: फ्रिंजें $e \sim \ell_c/2$ भर मुरझा जाती हैं; और आवरण वर्णक्रम का फ़ूरिये-रूपांतर है।

टिप्पणी 20.7 (वे भुजाएँ जिन्होंने कुछ नहीं नापा, और वे जिन्होंने कोई तरंग नापी)

माइकेल्सन और मोर्ली को उम्मीद थी कि ईथर में पृथ्वी का वेग $v$ उसके समांतर भुजा के अनुदिश आने-जाने का समय लंबवत भुजा के सापेक्ष $(L/c)(v/c)^2$ बदल देगा, अर्थात् $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ फ्रिंज का कोई खिसकाव, $L = 11\,\mathrm{m}$ और $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ के लिए; और उपकरण को घुमाने पर आकृति उतनी ही झूल जानी चाहिए थी। वे $0.01$ फ्रिंज देख सकते थे; उन्होंने कुछ नहीं देखा। आज के गुरुत्व-तरंग संसूचक $4\,\mathrm{km}$ भुजाओं वाले माइकेल्सन हैं, जिनमें प्रकाश हर भुजा में कोई तीन सौ बार उछलता है, और लेज़र इतना स्थिर है कि भुजा की लंबाई में $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ का बदलाव पढ़ ले — $10^{-18}$ m, किसी प्रोटॉन का हज़ारवाँ भाग — भूकंपी गति और ख़ुद फ़ोटॉनों के रव के सामने।

विधि 20.8 (माइकेल्सन काम में लेना)

(1) विन्यास पहचानिए: समांतर पट्ट (अनंत पर वलय; किसी लेंस से या अनंत पर आँख से देखिए) या पच्चर (दर्पणों पर फ्रिंजें; $M_2$ पर फ़ोकस कीजिए)। (2) $\delta = 2e\cos i$ या $2\alpha x$ और कोटि लिखिए। (3) हर माप को फ्रिंजों में बदलिए: $\Delta e = N\lambda/2$ , किसी पट्टिका के लिए $2(n - 1)\ell$ , किसी युग्मक के लिए $\lambda^2/2\Delta\lambda$ । (4) संपर्क की जगह ( $e = 0$ , श्वेत फ्रिंज) निरपेक्ष संदर्भ की तरह लीजिए; और ध्यान रखिए कि $e$ बढ़ने पर वलयों की त्रिज्याएँ सिकुड़ती हैं। (5) संसक्ति की सीमाएँ: वलय तब तक दिखते हैं जब तक $2e < \ell_c$ ; और पच्चर को लगभग-अभिलंब आपतन चाहिए।

20.4 अभ्यास

अभ्यास 20.1 ★

सोडियम प्रकाश ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ ) में कोई माइकेल्सन: दर्पण $0.10\,\mathrm{mm}$ खिसकाया जाता है: केंद्र से गुज़रते वलयों की संख्या; $250$ फ्रिंजों के बराबर विस्थापन; और यदि किसी फ्रिंज का दसवाँ भाग पढ़ा जा सके तो $e$ पर परिशुद्धता।

हल

हल — अभ्यास 20.1.

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$ ; $250$ फ्रिंजें: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; और किसी फ्रिंज का दसवाँ भाग $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$ है।

अभ्यास 20.2 ★

मोटाई $e = 0.50\,\mathrm{mm}$ का समांतर पट्ट, लेंस $f = 1.0\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ : केंद्र पर कोटि; क्या केंद्र चमकीला है? पहले तीन चमकीले वलयों की त्रिज्याएँ; और $e$ घटाकर $0.05\,\mathrm{mm}$ कर देने पर वलयों का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 20.2.

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$ : कोई पूर्णांक नहीं, अतः केंद्र चमकीला नहीं है ( $\varepsilon = 0.8$ )। $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$ : $3.1$ , $4.6$ , $5.7\,\mathrm{cm}$ । $0.05\,\mathrm{mm}$ पर त्रिज्याएँ $\sqrt{10}$ गुना बढ़ जाती हैं: कम और चौड़े वलय।

अभ्यास 20.3 ★

$\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ वाली वायु-पच्चर: फ्रिंजों की दूरी; दर्पण के $2\,\mathrm{cm}$ भर फ्रिंजों की संख्या; पच्चर का कोण दुगुना कर दिया जाता है: क्या होता है? श्वेत प्रकाश से संपर्क कैसे ढूँढ़ा जाता है?

हल

हल — अभ्यास 20.3.

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$ ; $2\,\mathrm{cm}$ भर छह फ्रिंजें; और $\alpha$ दुगुना करने पर दूरी आधी। संपर्क: दर्पण को तब तक खिसकाइए जब तक श्वेत-प्रकाश की फ्रिंजें (कोई श्वेत, जिसके दोनों ओर रंगीन) प्रकट न हों — वे केवल $\delta = 0$ के किसी माइक्रोमीटर के भीतर होती हैं।

अभ्यास 20.4 ★

एक भुजा में $0.10\,\mathrm{mm}$ मोटी कोई काँच की पट्टिका डाल दी जाती है: $589\,\mathrm{nm}$ पर $n = 1.52$ के लिए फ्रिंज-खिसकाव; खिसकाव $0.2$ फ्रिंज तक नापा जाता है: $n$ पर परिशुद्धता। यदि पट्टिका $1\,\mathrm{cm}$ मोटी होती तो वही माप श्वेत प्रकाश से क्यों नहीं किया जा सकता?

हल

हल — अभ्यास 20.4.

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ फ्रिंजें; और $0.2$ फ्रिंज $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$ देती है। काँच का कोई सेंटीमीटर मिलीमीटरों का परिक्षेपी पथ जोड़ देता है: तब रंग कहीं भी सहमत नहीं होते, और कोई श्वेत फ्रिंज नहीं।

अभ्यास 20.5 ★★

सोडियम युग्मक। (क) वलयों के दो क्रमिक लोपों के बीच मोटाई $e$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ के लिए। (ख) कोई विद्यार्थी $5.00\,\mathrm{mm}$ भर $17$ लोप नापता है: $\Delta\lambda$ और उसकी परिशुद्धता। (ग) $e = 0.29\,\mathrm{mm}$ पर दोनों रेखाओं की कोटियाँ: जाँचिए कि वे $\tfrac12$ से अलग हैं। (घ) विभेद कभी ठीक-ठीक शून्य क्यों नहीं होता (दोनों रेखाओं की तीव्रताएँ $2 : 1$ के अनुपात में हैं): न्यूनतम विभेद।

हल

हल — अभ्यास 20.5.

(क) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ । (ख) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$ : $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e = 0.590\,\mathrm{nm}$ ; $0.1\%$ : $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$ । (ग) $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (पहला लोप) पर: $p_1 = 492.4$ , $p_2 = 491.9$ — अर्थात् आधी कोटि की दूरी; और $0.29\,\mathrm{mm}$ पर वे एक से अलग हैं। (घ) दुर्बल फ्रिंजें बची रहती हैं: $V_{\min} = (I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$ ।

अभ्यास 20.6 ★★

हवा का अपवर्तनांक। एक भुजा में $10.0\,\mathrm{cm}$ की कोई कोठरी निर्वातित की जाती है, फिर $1\,\mathrm{bar}$ पर धीरे-धीरे हवा से भरी जाती है; $94$ फ्रिंजें गुज़रती हैं ( $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ )। (क) हवा के लिए $n - 1$ । (ख) दाब में $1\,\%$ के बदलाव पर गुज़रती फ्रिंजें; और यदि $n - 1 \propto \rho$ हो तो ताप-गुणांक। (ग) हवा में किसी भी व्यतिकरणमापी की स्थिरता के लिए यह क्यों मायने रखता है? (घ) किसी फ्रिंज के दसवें भाग से $n - 1$ पर परिशुद्धता।

हल

हल — अभ्यास 20.6.

(क) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$ : $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$ । (ख) प्रति प्रतिशत $0.94$ फ्रिंज; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$ । (ग) एक भुजा में कुछ मिलीबार या कोई डिग्री फ्रिंजों को हिला देते हैं: इसीलिए निर्वात या बराबर भुजाएँ। (घ) $0.1/94$ : $\pm3 \times 10^{-7}\,$ ।

अभ्यास 20.7 ★★

संसक्ति लंबाई। कम दाब के किसी पारद दीपक (हरी रेखा, $546\,\mathrm{nm}$ , चौड़ाई $0.01\,\mathrm{nm}$ ) के साथ $e$ बढ़ने पर वलय मुरझा जाते हैं। (क) संसक्ति लंबाई; और वह मोटाई $e$ जिस पर विभेद नगण्य हो जाए। (ख) उच्च दाब के दीपक ( $\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$ ) के साथ वही। (ग) किसी हीलियम–नियोन लेज़र ( $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ ) के साथ: क्या $e = 10\,\mathrm{m}$ पर भी वलय दिख सकते हैं? (घ) श्वेत-प्रकाश की फ्रिंजों को संपर्क के इर्द-गिर्द $\pm2$ कोटियों तक क्या सीमित करता है?

हल

हल — अभ्यास 20.7.

(क) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : वलय $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$ के परे मुरझा जाते हैं। (ख) $0.3\,\mathrm{mm}$ , $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$ । (ग) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$ : हाँ। (घ) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ , अर्थात् कोई दो-एक कोटियाँ।

अभ्यास 20.8 ★★

क्षतिपूरक पट्टिका। $C$ के बिना एक पुंज विभाजक के काँच ( $e_g = 5\,\mathrm{mm}$ , $n = 1.52$ ) को तीन बार पार करती है और दूसरी एक बार। (क) अतिरिक्त प्रकाशिक पथ; क्या एकवर्णी प्रकाश के लिए उसकी भरपाई किसी दर्पण को खिसकाकर की जा सकती है? (ख) श्वेत प्रकाश के लिए क्यों नहीं (परिक्षेपण: $n$ दृश्य भर $0.01$ बदलता है)? (ग) श्वेत फ्रिंज बनाए रखने के लिए $C$ और $Sp$ के समांतरपन पर कितनी छूट (मोटाई का बचा हुआ अंतर $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ लीजिए)? (घ) आधुनिक विभाजक पतली झिल्लियाँ या घन होते हैं: तब $C$ अनावश्यक क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 20.8.

(क) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$ ; हाँ, दर्पण की $2.6\,\mathrm{mm}$ यात्रा से। (ख) काँच का पथ $\lambda$ के साथ $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$ बदलता है: अतः कोई तरंगदैर्घ्य-निरपेक्ष शून्य नहीं। (ग) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — अर्थात् $2\,\mathrm{cm}$ भर $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ से नीचे का कोई सापेक्ष झुकाव। (घ) कोई झिल्ली माइक्रोमीटरों मोटी होती है; और कोई घन सममित है: दोनों पुंजें वही काँच देखती हैं।

अभ्यास 20.9 ★★

माइकेल्सन–मोर्ली। $L = 11\,\mathrm{m}$ की भुजाएँ (मोड़ी हुईं), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , पृथ्वी की कक्षीय चाल $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । (क) ईथर के सिद्धांत में $\vect v$ के समांतर भुजा के अनुदिश आना-जाना $2L/c(1 - v^2/c^2)$ लेता है और लंबवत वाला $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : सबसे नीची कोटि तक अंतर। (ख) उपकरण को $90{}^{\circ}$ घुमाने पर अपेक्षित फ्रिंज-खिसकाव (भुजाओं की भूमिकाएँ बदल जाती हैं)। (ग) वे $0.01$ फ्रिंज भाँप सकते थे: $v$ पर ऊपरी सीमा। (घ) कोई शून्य परिणाम क्या कहता है, और आइंस्टाइन ने क्या निष्कर्ष निकाला?

हल

हल — अभ्यास 20.9.

(क) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ , अर्थात् $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ का कोई पथ। (ख) भुजाएँ बदल देने पर वह दुगुना हो जाता है: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ फ्रिंज। (ग) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} = 4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । (घ) किसी ईथर में कोई गति नहीं दिखती; प्रकाश की चाल दोनों भुजाओं के अनुदिश वही है — वही आपेक्षिकता की अभिधारणा।

अभ्यास 20.10 ★★★

फ़ूरिये वर्णक्रममिति। वलयों के केंद्र पर तीव्रता $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ है, वर्णक्रम $S(\nu)$ के किसी स्रोत के लिए। (क) किसी अकेली रेखा के लिए: $I(e)$ ; और $e$ में आवर्त। (ख) चौड़ाई $\Delta\nu$ की किसी गाउसी रेखा के लिए: दिखाइए कि फ्रिंजों का कोई गाउसी आवरण है जिसकी चौड़ाई $\sim c/2\Delta\nu$ है, $e$ में (मान लीजिए कि किसी गाउसी का फ़ूरिये-रूपांतर कोई गाउसी है)। (ग) विभेदन: $\Delta\nu$ दूर की दो रेखाएँ तभी अलग होती हैं जब चालन $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$ तक पहुँचे; $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$ के लिए $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर विभेदन-शक्ति $\lambda/\Delta\lambda$ । (घ) अवरक्त में यह विधि क्यों पसंद की जाती है (संकेत, "बहुसंकेत" लाभ)?

हल

हल — अभ्यास 20.10.

(क) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$ , और आवर्त $\lambda/2$ , $e$ में। (ख) हर आवृत्ति ज़रा अलग आवर्त की कोई फ्रिंज देती है; और चौड़ाई $\Delta\nu$ की कोई गाउसी पट्टी ऐसी फ्रिंजों में जुड़ती है जिनका गाउसी आवरण $\sim c/2\Delta\nu$ चौड़ा हो। (ग) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$ । (घ) सारे तरंगदैर्घ्य एक साथ एक ही संसूचक पर पड़ते हैं (फ़ेलगेट) किसी चौड़े द्वारक से होकर (जैकीनो): अर्थात् फ़ोटॉन-भूखे अवरक्त में किसी झिर्री-वर्णक्रममापी से कहीं अधिक संकेत।

अभ्यास 20.11 ★★★

गुरुत्व-तरंग संसूचक। भुजाएँ $L = 4\,\mathrm{km}$ , प्रकाश $N = 300$ चक्करों तक पुनःचक्रित, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$ , और तरंग भुजाओं को विपरीत दिशाओं में $\Delta L/L = 10^{-21}$ बदल देती है। (क) पथांतर का बदलाव; कला-खिसकाव। (ख) यंत्र किसी अँधेरी फ्रिंज पर थामा जाता है और छोटी तीव्रता $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$ नापता है: संकेत के लिए तीव्रता का बदलाव। (ग) $1064\,\mathrm{nm}$ पर घूमते $100\,\mathrm{W}$ प्रकाश के साथ, प्रति सेकंड फ़ोटॉन; और $1\,\mathrm{ms}$ में फ़ोटॉन-रव ( $\sqrt N$ ) संकेत के सामने: क्या वह भाँपा जा सकता है? अधिक शक्ति क्या ख़रीदती है? (घ) भुजाएँ किलोमीटरों लंबी क्यों हैं, और दर्पण लटकाए क्यों जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 20.11.

(क) हर भुजा का पथ $2N\Delta L$ बदलता है, विपरीत अर्थों में: $\Delta\delta = 4N\Delta L = 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ , $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ । (ख) किसी अँधेरी फ्रिंज के पास संसूचक को $\Delta\varphi^2$ के समानुपाती कोई तीव्रता दिखती है — या, किसी छोटे विस्थापन के साथ, $\Delta\varphi$ के: अर्थात् $10^{-8}$ कोटि का कोई सापेक्ष बदलाव। (ग) प्रति सेकंड $5 \times 10^{20}$ फ़ोटॉन, प्रति मिलीसेकंड $5 \times 10^{17}$ , और सापेक्ष रव $1.4 \times 10^{-9}$ : संकेत रव का बीस गुना है; और अधिक शक्ति रव को $1/\sqrt P$ की तरह घटाती है। (घ) $\Delta L \propto L$ ; और लोलक-निलंबन ज़मीन की गति को उनके अनुनाद के ऊपर छान देते हैं।

अभ्यास 20.12 ★★★

स्थानीकरण। (क) दिखाइए कि पच्चर के लिए किसी बिंदु $P$ से, जो $M_2$ पर है, अनंत पर बैठे किसी प्रेक्षक की ओर निकलती दोनों किरणों (आपतन $i$ ) का पथांतर $2e(P)\cos i$ है, और साथ में कोई पद $\propto\alpha i$ जो $i = 0$ पर रद्द हो जाता है: अर्थात् फ्रिंजें केवल अभिलंब आपतन में दर्पणों पर हैं। (ख) कोई विस्तृत स्रोत पच्चर को $i_{\max}$ तक के आपतनों से जगमगाता है: फ्रिंजों के तीखे बने रहने के लिए $i_{\max}$ को क्या मानना चाहिए (क्षेत्र के किनारे पर $2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ , $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )? (ग) समांतर पट्ट के लिए आँख हिलने पर वलय क्यों नहीं हिलते? (घ) कोई विद्यार्थिनी ऐसी फ्रिंजें देखती है जो सिर हिलाने पर बहती हैं: वह किस विन्यास में है, और उसे क्या सुधारना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 20.12.

(क) किसी बिंदु $P$ के लिए, जो गहराई $e(P)$ पर हो, और आपतन $i$ पर, $\delta = 2e(P)\cos i$ और साथ में झुके दूसरे परावर्तन से कोई पद $\propto\alpha i$ , जो अभिलंब आपतन पर लुप्त हो जाता है: वहीं दोनों किरणें $P$ से चलकर आँख तक पहुँचती हैं — अर्थात् दर्पणों पर स्थानीकरण। (ख) $ei^2 < \lambda/4$ : $i_{\max} < \sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$ । (ग) वलय केवल $i$ पर निर्भर हैं: अतः आँख की कोई भी जगह वही कोणीय आकृति देखती है। (घ) पच्चर दर्पणों से हटकर देखा गया; $M_2$ पर फ़ोकस कीजिए या झुकाव घटाइए।

किसी शिक्षण-पटल पर कोई माइकेल्सन व्यतिकरणमापी: लेज़र, विभाजक घन, दो दर्पण, और पर्दे पर वायु-पट्ट के समान नति के वलय।

हैनफ़र्ड का LIGO व्यतिकरणमापी: चार किलोमीटर लंबी भुजाओं वाला कोई माइकेल्सन व्यतिकरणमापी, जिसने 2015 में भुजा की लंबाई में किसी प्रोटॉन के व्यास के हज़ारवें भाग का बदलाव दर्ज किया — किसी गुरुत्व तरंग का गुज़रना (LIGO प्रयोगशाला)।

20.5 समस्या: सोडियम युग्मक और हवा का अपवर्तनांक

समस्या 20.1

सप्ताहांत समस्या — किसी माइकेल्सन व्यतिकरणमापी पर कोई पूरा माप-सत्र: संपर्क ढूँढ़ना, लंबाइयाँ पढ़ना, पीली रेखा को बाँटना, हवा को तौलना

व्यतिकरणमापी में कोई सूक्ष्ममापी पेंच है जो $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ तक पढ़ता है; सोडियम दीपक $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ और $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ देता है, तीव्रताओं $2 : 1$ के साथ; और कोई श्वेत दीपक तथा कोई हीलियम–नियोन लेज़र ( $632.8\,\mathrm{nm}$ ) भी उपलब्ध हैं।

भाग I — सजाना।

लेज़र के साथ विद्यार्थिनी को किसी गत्ते पर दोनों भुजाओं के दो धब्बे दिखते हैं; वह उन्हें झुकाव के पेंचों से एक पर एक रख देती है और तब सीधी फ्रिंजें देखती है: यह कौन-सा विन्यास है, और उनकी दूरी ( $2\,\mathrm{mm}$ ) बचे झुकाव के बारे में क्या बताती है?
झुकाव के पेंच घुमाने पर फ्रिंजें मुड़ती हैं और फिर वलय बन जाती हैं: वलय क्यों प्रकट होते हैं, और $M_1'$ अब कहाँ है?
वह दर्पण खिसकाती है और केंद्र से निगले गए $158$ वलय गिनती है: विस्थापन; और $e$ किस दिशा में बदल रहा है?
जैसे-जैसे वह आगे बढ़ती है, वलय फैलते हैं और केंद्रीय धब्बा बढ़कर पूरा क्षेत्र भर देता है: वह कहाँ पहुँच गई? लेज़र की जगह सोडियम दीपक आता है और उसे कुछ ख़ास नहीं दिखता: क्यों नहीं, और उस बिंदु पर श्वेत प्रकाश कोई चमकीली केंद्रीय फ्रिंज, जिसके दोनों ओर रंगीन हों, क्यों दिखाता है?
संपर्क पर वह $M_1$ को बहुत ज़रा झुकाती है और श्वेत प्रकाश में सीधी रंगीन फ्रिंजें देखती है: समझाइए, और बताइए कि श्वेत वाली के हर ओर वह कितनी की उम्मीद कर सकती है।
लेज़र के धब्बे $10\,\mathrm{mm}$ चौड़े हैं और वह $f = 20\,\mathrm{cm}$ के किसी लेंस के क्षेत्र में दस वलय चाहती है ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): ज़रूरी मोटाई $e$ ( $k$ -वें वलय की त्रिज्या काम में लीजिए)।
क्षतिपूरक पट्टिका विभाजक के समांतर क्यों होनी चाहिए, और उसे हटा देने पर उसे श्वेत प्रकाश में क्या दिखता?

भाग II — युग्मक।

सोडियम दीपक के साथ संपर्क से शुरू करके वह $e$ बढ़ाती है: वलयों का विभेद गिरता है, लुप्त होता है, लौट आता है। पहले लोप की मोटाई; और $n$ -वें की।
वह $12$ लोप दर्ज करती है, $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ और $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ के बीच (पहला और अंतिम पेंच पर पढ़े गए): $\Delta\lambda$ ; और यदि हर पाठ $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ तक ठीक हो तो परिशुद्धता।
पहले लोप पर दोनों रेखाओं की कोटियाँ $p_1$ और $p_2$ ; और पूरे विभेद के पहले लौटने पर।
किसी लोप पर न्यूनतम विभेद, $2 : 1$ के तीव्रता-अनुपात को देखते हुए (दुर्बल रेखा की फ्रिंजें बची रहती हैं)।
रेखाओं की प्राकृतिक चौड़ाई (हर एक $0.02\,\mathrm{nm}$ ) सब कुछ धो डालने से पहले वह कितने लोप गिन सकती है?
बराबर दूरी की तीन रेखाओं वाला कोई दीपक क्या दिखाता?

भाग III — हवा। काँच की खिड़कियों वाली लंबाई $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ की कोई कोठरी एक भुजा में रखकर पंप से ख़ाली की जाती है; फिर लेज़र की फ्रिंजें गिनते हुए धीरे-धीरे हवा भीतर आने दी जाती है।

यदि $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ हो तो कोठरी को $1\,\mathrm{atm}$ तक भरने से बना प्रकाशिक पथांतर; और फ्रिंजों की संख्या।
वह $46$ फ्रिंजें गिनती है: $n - 1$ का उसका मान।
वह केवल $0.20\,\mathrm{bar}$ भीतर आने देती है: अपेक्षित फ्रिंजें ( $n - 1 \propto$ दाब)।
माप के दौरान कमरा $3\,\mathrm{K}$ गरम हो जाता है, और हर भुजा में खुली हवा के $40\,\mathrm{cm}$ का अपवर्तनांक प्रति केल्विन $-1 \times 10^{-6}\,$ बदलता है: फ्रिंज-बहाव; क्या वह भाग II के लिए, और भाग III के लिए, कोई समस्या है?
कोठरी की खिड़कियाँ माप को क्यों नहीं खिसकातीं (वे पूरी गिनती के दौरान वहीं रहती हैं)?
प्रयोग CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ) के साथ दोहराया जाता है: भरी कोठरी के लिए फ्रिंजें; और केवल गिनती से गैस कैसे पहचानी जा सकती है?

भाग IV — सीमाएँ।

पेंच $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ तक पढ़ा जाता है: $1\,\mathrm{cm}$ भर फ्रिंज गिनकर नापी गई किसी लंबाई की परिशुद्धता, अकेले पेंच से नापने के सामने।
$100\,\mathrm{Hz}$ पर $50\,\mathrm{nm}$ आयाम का कोई कंपन एक दर्पण को हिलाता है: फ्रिंजों की गति; आँख क्या देखती है, और प्रति सेकंड $25$ फ़्रेम वाला कोई कैमरा क्या देखता है?
$e = 1\,\mathrm{cm}$ भर की किसी गिनती के दौरान लेज़र की आवृत्ति सापेक्ष मान में $1 \times 10^{-8}\,$ बहती है: फ्रिंजों में त्रुटि।
$10\,\mathrm{mm}$ का कोई मानक गुटका व्यतिकरणमिति से $\lambda/20$ तक प्रमाणित है: निरपेक्ष और सापेक्ष परिशुद्धता।
लंबाइयों के लिए माइकेल्सन और वर्णक्रम के लिए जालक (अगला अध्याय) ही क्यों चुने जाते हैं?
नापी गई चारों राशियाँ (कोई लंबाई, कोई युग्मक-बँटवारा, कोई अपवर्तनांक, कोई संसक्ति लंबाई) और वह फ्रिंज-प्रेक्षण समेटिए जिसने हर एक दी।

हल

हल — समस्या 20.1.

1. पच्चर की फ्रिंजें; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$ : $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ।

2. $M_1'$ $M_2$ के समांतर हो गया है: अर्थात् वायु-पट्ट, जिसकी समान नति की फ्रिंजें वलय हैं।

3. $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; और वलय केंद्र पर निगले गए: अर्थात् $e$ घट रहा है।

4. संपर्क, $e = 0$ । सोडियम प्रकाश की वहाँ कोई पहचान नहीं (एक ही तरंगदैर्घ्य, दोनों ओर एकसमान क्षेत्र); जबकि श्वेत प्रकाश वही एक जगह दिखाता है जहाँ हर रंग का $\delta = 0$ है, और जिसके इर्द-गिर्द कोटियाँ अलग होते ही रंग आ जाते हैं।

5. $\delta = 2\alpha x$ : संपर्क-रेखा पर कोई श्वेत फ्रिंज और हर ओर एक-दो रंगीन ( $2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ )।

6. $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$ : $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$ ।

7. समांतर होने पर दोनों पुंजें हर तरंगदैर्घ्य पर बराबर काँच पार करती हैं; और $C$ के बिना $5\,\mathrm{mm}$ काँच का परिक्षेपण कोई साझा शून्य नहीं छोड़ता: कोई श्वेत फ्रिंज नहीं।

8. $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$ ; और उसके बाद हर $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$ पर।

9. $3.20\,\mathrm{mm}$ भर $11$ अंतराल: $0.291\,\mathrm{mm}$ , $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$ ; $3.2\,\mathrm{mm}$ पर $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\pm0.002\,\mathrm{nm}$ ।

10. $492.4$ और $491.9$ (आधी कोटि की दूरी पर); और लौटने पर, $984.7$ तथा $983.7$ ।

11. $1/3$ ।

12. $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$ : $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$ , अर्थात् लगभग $29$ ।

13. तीन फ्रिंज-व्यवस्थाएँ: हर $\lambda^2/2\Delta\lambda$ पर पूरा विभेद, और बीच में दो आंशिक गड्ढे — अर्थात् तीन झिर्रियों वाली आकृति।

14. $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $46$ फ्रिंजें।

15. $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$ ।

16. $9.2$ फ्रिंजें।

17. बराबर भुजाएँ: बहाव दोनों में साझा है और कट जाता है; और $1\,\mathrm{cm}$ की असमानता $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1$ फ्रिंज देती है — दोनों भागों के लिए हानिरहित।

18. वे पूरी गिनती भर मौजूद और अपरिवर्तित रहती हैं: अर्थात् कोई अचर विस्थापन।

19. $71$ फ्रिंजें; और गिनती $n - 1$ दे देती है, जो गैस की कोई पहचान है।

20. किसी सेंटीमीटर भर $31\,600$ फ्रिंजें, दसवें भाग तक पढ़ी गईं: $30\,\mathrm{nm}$ , $3 \times 10^{-6}$ ; जबकि पेंच कोई माइक्रोमीटर देता है।

21. $\delta$ $100\,\mathrm{Hz}$ पर $\pm100\,\mathrm{nm}$ , अर्थात् $\pm0.16$ फ्रिंज झूलता है: आँख को घटा हुआ विभेद दिखता है; और प्रति सेकंड $25$ फ़्रेम पर कैमरा प्रति फ़्रेम चार आवर्त नमूने लेता है और कोई जमी हुई या धीरे विस्पंदित आकृति देखता है।

22. $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ फ्रिंज: कुछ भी नहीं।

23. $10\,\mathrm{mm}$ पर $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ : $3 \times 10^{-6}$ ।

24. वह किसी लंबाई की तुलना सीधे किसी तरंगदैर्घ्य से करता है, फ्रिंज दर फ्रिंज; जबकि जालक सारे तरंगदैर्घ्य एक साथ किसी चौड़े परास पर फैला देता है।

25. लंबाई: केंद्र पर गिने गए वलय। युग्मक: विभेद का आवर्ती लोप। अपवर्तनांक: कोठरी भरते समय गुज़रती फ्रिंजें। संसक्ति लंबाई: वह मोटाई जिस पर वलय मुरझा जाते हैं।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

माइकेल्सन व्यतिकरणमापी

शब्दावली के सभी 393 शब्द देखें