विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

17द्विध्रुव विकिरण और प्रकीर्णन

आकाश नीला क्यों है, और सूर्य से समकोण पर सबसे नीला क्यों — और वहीं ध्रुवित भी, जैसा मधुमक्खियाँ और छायाकार जानते हैं? किसी रेडियो मीनार को दसियों मीटर ऊँचा क्यों होना पड़ता है, और वह सीधे ऊपर की ओर कुछ भी विकिरित क्यों नहीं करती? दोनों प्रश्नों का उत्तर एक ही है: कोई दोलन करता विद्युत् आवेश विद्युत्चुंबकीय तरंगें विकिरित करता है, ऐसी शक्ति के साथ जो आवृत्ति की चौथी घात की तरह बढ़ती है और ऐसी आकृति के साथ जो दोलन की अक्ष के अनुदिश लुप्त हो जाती है। यह अध्याय दोलन करते द्विध्रुव का, अर्थात् सबसे सरल विकिरक व्यवस्था का, क्षेत्र बताता है, उससे ऐंटेना और किसी त्वरित आवेश का विकिरण निकालता है, और उसे हवा के अणुओं पर लगाता है, जिनमें हर एक कोई नन्हा ऐंटेना है जो सूर्य के प्रकाश को फिर से उत्सर्जित कर देता है: रैले प्रकीर्णन।

नीले आकाश के नीचे कोई प्रसारण मीनार: दसियों मीटर ऊँचा कोई ऊर्ध्वाधर द्विध्रुव जो क्षितिज की ओर विकिरित कर रहा है, और उसके ऊपर वह आकाश जिसे अरबों आणविक द्विध्रुव सूर्य को फिर से विकिरित करते हुए जगमगा रहे हैं।

17.1 किसी दोलन करते द्विध्रुव का क्षेत्र

प्रमेय 17.1 (किसी विद्युत् द्विध्रुव का विकिरण क्षेत्र)

मूल बिंदु पर रखा आघूर्ण $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$ और आकार $a$ का कोई द्विध्रुव विकिरित करता है। विकिरण क्षेत्र में — अर्थात् उन दूरियों पर जहाँ $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — द्विध्रुव की अक्ष के इर्द-गिर्द गोलीय निर्देशांकों $(r, \theta, \varphi)$ में उसका क्षेत्र है

\vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c :

अर्थात् कोई गोलीय तरंग, स्थानीय रूप से समतल — $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ कोई दक्षिणावर्ती त्रयी जिसमें $B = E/c$ — जो यात्रा-काल $r/c$ से विलंबित है, जिसका आयाम $1/r$ की तरह गिरता है, जो द्विध्रुव के त्वरण $\ddot p = -\omega^2p$ के और $\sin\theta$ के समानुपाती है: अर्थात् विषुवतीय तल में अधिकतम, अक्ष के अनुदिश शून्य; और अक्ष वाले तल में ध्रुवित।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 17.2 (सूत्र को पढ़ना)

मैक्सवेल के समीकरणों के यथार्थ हल में (विलंबित विभवों से, जो इस खंड से परे है) $1/r^2$ और $1/r^3$ के पद भी होते हैं; अंतिम वर्ष 1 के खंड वाला अर्ध-स्थैतिक द्विध्रुव क्षेत्र है, $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$ , जो निकट क्षेत्र $r \ll \lambda$ में हावी रहता है; $r \sim \lambda/2\pi$ पर दोनों तुलनीय हैं, और उससे परे केवल $1/r$ वाला पद बचता है। हर गुणक का कोई कारण है। $1/r$ : किसी गोले से पार शक्ति, $\propto E^2r^2$ , $r$ पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। $\omega^2p_0$ : विरामावस्था में या एकसमान गति में किसी आवेश का क्षेत्र विकिरक नहीं है; विकिरण त्वरण करता है। $\sin\theta$ : अक्ष पर बैठे किसी प्रेक्षक को आवेश दृष्टि-रेखा के अनुदिश आता-जाता दिखता है, बिना किसी अनुप्रस्थ त्वरण के; जबकि विषुवतीय तल में पूरा त्वरण अनुप्रस्थ है। विलंबन: $M$ का क्षेत्र समय $t$ पर वही दिखाता है जो द्विध्रुव ने $t - r/c$ पर किया था।

बाएँ: किसी दूर के बिंदु M पर किसी द्विध्रुव का विकिरण क्षेत्र — अनुप्रस्थ, e_ के अनुदिश, और B दिगंशीय; अक्ष के अनुदिश कुछ भी विकिरित नहीं होता। दाएँ: विकिरण आकृति, कोई 2 वाला डोनट जिसका परिच्छेद खींचा गया है। — बाएँ: किसी दूर के बिंदु $M$ पर किसी द्विध्रुव का विकिरण क्षेत्र — अनुप्रस्थ, $\vect e_\theta$ के अनुदिश, और $\vect B$ दिगंशीय; अक्ष के अनुदिश कुछ भी विकिरित नहीं होता। दाएँ: विकिरण आकृति, कोई $\propto\sin^2\theta$ वाला डोनट जिसका परिच्छेद खींचा गया है।

17.2 विकिरित शक्ति

प्रतिज्ञप्ति 17.3 (किसी द्विध्रुव की शक्ति; लार्मर का सूत्र)

द्विध्रुव के क्षेत्र का माध्य पॉयंटिंग सदिश त्रिज्य है,

\langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r ,

और विकिरित कुल माध्य शक्ति है

\mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} .

किसी अकेले आवेश $q$ के लिए, जिसका त्वरण $a$ हो (अनापेक्षिकीय), तात्क्षणिक शक्ति $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ है (लार्मर)।

उपपत्ति. $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ , जिसमें $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ ; गोले पर समाकलित कीजिए:

\int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} .

लार्मर: $p = qz$ , अतः $\ddot p = qa$ ; माध्य $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ की जगह तात्क्षणिक $q^2a^2$ रखने पर $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$ मिलता है। ∎

उदाहरण 17.4 (कोई ऐंटेना और कोई तार)

लंबाई $\ell \ll \lambda$ का कोई छोटा तार, जो धारा $I_0\cos\omega t$ ले चलता है, कोई द्विध्रुव है जिसका $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$ , अर्थात् $p_0 = I_0\ell/\omega$ : वह $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{विकिरण}}I_0^2$ विकिरित करता है, जिसमें विकिरण प्रतिरोध $R_{\text{विकिरण}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — शक्ति परिपथ से ऐसे निकल जाती है मानो किसी प्रतिरोधक से होकर, पर कुछ भी गरम किए बिना। $1\,\mathrm{MHz}$ पर $1\,\mathrm{m}$ का कोई तार ( $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ ): $R_{\text{विकिरण}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$ , जो उसके ताँबे के प्रतिरोध से भी कम है, अर्थात् कोई ख़राब ऐंटेना; $100\,\mathrm{MHz}$ पर: $88\,\Omega$ (यहाँ छोटे-द्विध्रुव का सूत्र खींचा जा रहा है), अर्थात् कोई अच्छा। अर्ध-तरंग द्विध्रुव, $\ell = \lambda/2$ जिसमें धारा का वितरण ज्यावक्रीय हो, का $R_{\text{विकिरण}} = 73\,\Omega$ है (स्वीकृत) और उसकी आकृति प्रारंभिक द्विध्रुव वाली के पास है — वही मानक ऐंटेना, रेडियो मीनारों से लेकर पुराने दूरदर्शनों के खरगोश-कानों तक। $50\,\mathrm{Hz}$ पर $1\,\mathrm{m}$ का कोई मुख्य लाइन का तार: $R_{\text{विकिरण}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — अर्थात् अध्याय 11 के अर्ध-स्थायी परिपथ कुछ भी विकिरित नहीं करते।

बाएँ: किसी अर्ध-तरंग द्विध्रुव पर धारा का वितरण, निवेश पर अधिकतम और सिरों पर शून्य। दाएँ: किसी छोटे द्विध्रुव का विकिरण प्रतिरोध, 790( / )2 ओम, और अर्ध-तरंग द्विध्रुव के 73\,। — बाएँ: किसी अर्ध-तरंग द्विध्रुव पर धारा का वितरण, निवेश पर अधिकतम और सिरों पर शून्य। दाएँ: किसी छोटे द्विध्रुव का विकिरण प्रतिरोध, $790(\ell/\lambda)^2$ ओम, और अर्ध-तरंग द्विध्रुव के $73\,\Omega$ ।

उदाहरण 17.5 (विकिरित करता कोई इलेक्ट्रॉन)

किसी X-किरण नलिका में $50\,\mathrm{keV}$ का कोई इलेक्ट्रॉन ( $v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) टंग्स्टन के $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ में रुक जाता है: $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , लार्मर शक्ति $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ , $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ तक: $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$ , अर्थात् उसकी ऊर्जा का लगभग $0.02\%$ नलिका के "मंदन विकिरण" (ब्रेमस्ट्राहलुंग) के रूप में विकिरित — बाक़ी ऊष्मा है, और ऐनोड ठंडा किया जाता है। किसी हाइड्रोजन परमाणु का चिरसम्मत इलेक्ट्रॉन, जो $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से त्वरित है, $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ विकिरित करता और $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ में सर्पिल खाता हुआ नाभिक में गिर जाता: चिरसम्मत भौतिकी परमाणुओं को मना कर देती है, और अध्याय 30 उन्हें बचा लेता है।

17.3 रैले प्रकीर्णन: नीला आकाश

प्रतिज्ञप्ति 17.6 (किसी बद्ध इलेक्ट्रॉन से प्रकीर्णन)

आयाम $E_0$ और आवृत्ति $\omega$ की कोई तरंग किसी ऐसे परमाणु पर पड़ती है जिसे अनुनाद $\omega_0 \gg \omega$ वाले किसी प्रत्यास्थ रूप से बद्ध इलेक्ट्रॉन का प्रतिरूप दिया गया है (अध्याय 14): इलेक्ट्रॉन आयाम $eE_0/m\omega_0^2$ से दोलन करता है, परमाणु क्षेत्र के साथ कला में कोई द्विध्रुव $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ बन जाता है, और शक्ति $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$ फिर से विकिरित करता है। उस शक्ति और आपाती तीव्रता का अनुपात है प्रकीर्णन अनुप्रस्थ काट

\sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} :

अर्थात् रैले का नियम, $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$ । किसी मुक्त इलेक्ट्रॉन ( $\omega_0 = 0$ ) के लिए अनुप्रस्थ काट $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ है, जो आवृत्ति से स्वतंत्र है (टामसन प्रकीर्णन)।

उपपत्ति. $\omega \ll \omega_0$ और नगण्य अवमंदन वाले लोरेंत्स प्रतिरूप से, $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$ ; शक्ति में $p_0$ डालिए और $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ से भाग दीजिए; और $r_e$ अचरों को समेट लेता है। मुक्त इलेक्ट्रॉन के लिए, $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (विपरीत कला में), $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$ , और $\omega^4$ कट जाते हैं। ∎

उदाहरण 17.7 (नीला आकाश, लाल सूर्यास्त, सफ़ेद बादल)

बैंगनी प्रकाश ( $400\,\mathrm{nm}$ ) लाल से $(700/400)^4 = 9.4$ गुना अधिक प्रकीर्ण होता है: अतः प्रकीर्ण धूप से जगमगाता आकाश नीला है (बैंगनी नहीं: सूर्य बैंगनी कम उत्सर्जित करता है और आँख उसे ठीक से देख नहीं पाती)। सूर्यास्त पर सीधा प्रकाश दोपहर से चालीस गुना अधिक हवा पार करता है और अपना नीला और जगहों के आकाश को दे बैठता है: वह लाल हो जाता है। हवा का हर अणु $550\,\mathrm{nm}$ पर $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ से प्रकीर्ण करता है; और $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ माध्य मुक्त पथ $1/n\sigma$ $80\,\mathrm{km}$ है: अर्थात् वायुमंडल से नीचे उतरते हुए हरे प्रकाश का दसवाँ भाग प्रकीर्ण हो जाता है, और बैंगनी का तिहाई। बादल की बूँदें, जो $\lambda$ से कहीं बड़ी हैं, रैले प्रकीर्णक नहीं हैं: वे सारे रंग एक-से प्रकीर्ण करती हैं — सफ़ेद।

प्रतिज्ञप्ति 17.8 (प्रकीर्णन से ध्रुवण)

$x$ के अनुदिश चलता प्राकृतिक प्रकाश $yz$ तल में द्विध्रुव प्रेरित करता है। $y$ के अनुदिश देखते किसी प्रेक्षक को (पुंज से $90{}^{\circ}$ पर) $y$ के अनुदिश (उसकी दृष्टि-रेखा) द्विध्रुव-घटकों से कोई विकिरण नहीं मिलता और $z$ के अनुदिश वालों से पूरा: अर्थात् प्रकीर्ण प्रकाश $z$ के अनुदिश रैखिक रूप से ध्रुवित है, उस तल के लंबवत जिसमें पुंज और दृष्टि-रेखा हैं। और कोणों पर वह आंशिक रूप से ध्रुवित है, जिसकी मात्रा $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ है, प्रकीर्णन कोण $\chi$ के लिए।

उपपत्ति. आपाती प्राकृतिक प्रकाश का $\vect E$ $y$ और $z$ के अनुदिश बराबर माध्य घटक रखता है; $y$ के अनुदिश द्विध्रुव $y$ की ओर विकिरित नहीं करता ( $\sin \theta = 0$ ), जबकि $z$ के अनुदिश वाला $\propto\sin\theta = 1$ विकिरित करता है। कोण $\chi$ पर $y$ घटक का योगदान तीव्रता में $\cos^2\chi$ से घट जाता है। ∎

हवा के किसी अणु से प्रकीर्ण धूप: प्रेरित द्विध्रुव के घटक पुंज के लंबवत हैं; और 90 पर बैठे किसी प्रेक्षक को केवल वह घटक मिलता है जो उसकी दृष्टि-रेखा के लंबवत है — अर्थात् रैखिक ध्रुवित प्रकाश। वहीं आकाश सबसे नीला और सबसे ध्रुवित है। — हवा के किसी अणु से प्रकीर्ण धूप: प्रेरित द्विध्रुव के घटक पुंज के लंबवत हैं; और $90{}^{\circ}$ पर बैठे किसी प्रेक्षक को केवल वह घटक मिलता है जो उसकी दृष्टि-रेखा के लंबवत है — अर्थात् रैखिक ध्रुवित प्रकाश। वहीं आकाश सबसे नीला और सबसे ध्रुवित है।

टिप्पणी 17.9 (नीला प्रकाश हम तक पहुँचता ही क्यों है)

किसी पूर्ण एकसमान माध्य में पड़ोसी अणुओं से प्रकीर्ण तरंगें आगे को छोड़ हर दिशा में विनाशी व्यतिकरण कर लेतीं (अपवर्तनांक वही आगे-प्रकीर्ण तरंग है)। हवा के घनत्व के उतार-चढ़ाव — अणु किसी जालक पर नहीं बैठे — ही कोई शुद्ध प्रकीर्ण तीव्रता छोड़ जाते हैं, जो अणुओं की संख्या के समानुपाती है, जैसा ऊपर एक के लिए निकाला गया (आइंस्टाइन, 1910)। वही यादृच्छिकता आकाश के प्रकाश को बिंदु-बिंदु पर असंसक्त बना देती है।

विधि 17.10 (विकिरण के आकलन)

(1) द्विध्रुव पहचानिए: $p_0 = q\,\times$ आयाम, या किसी तार के लिए $I_0\ell/\omega$ । (2) दूरी $r$ पर क्षेत्र: $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ ; और शक्ति: $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ । (3) किसी त्वरित आवेश के लिए लार्मर लीजिए; किसी ऐंटेना के लिए विकिरण प्रतिरोध। (4) प्रकीर्णन के लिए माध्यम के उत्तर (लोरेंत्स प्रतिरूप) से प्रेरित द्विध्रुव निकालिए और विकिरित शक्ति को आपाती तीव्रता से भाग दीजिए। (5) शून्य याद रखिए: दोलन की अक्ष के अनुदिश कुछ नहीं, और इसीलिए $90{}^{\circ}$ पर ध्रुवण तथा अध्याय 15 का ब्रूस्टर कोण।

17.4 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

$1.0\,\mathrm{m}$ का कोई छोटा ऐंटेना $100\,\mathrm{MHz}$ पर $2.0\,\mathrm{A}$ (आयाम) ले चलता है। द्विध्रुव आयाम $p_0$ ; विषुवतीय तल में और अक्ष से $30{}^{\circ}$ पर $1\,\mathrm{km}$ पर क्षेत्र-आयाम; विकिरित शक्ति; विकिरण प्रतिरोध।

हल

हल — अभ्यास 17.1.

$p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ; $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$ : $\theta = 90^\circ$ पर $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $30{}^{\circ}$ पर $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$ ; $R_{\text{विकिरण}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$ ।

अभ्यास 17.2 ★

$100\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $10\,\mathrm{MHz}$ , $100\,\mathrm{MHz}$ पर $1\,\mathrm{m}$ के किसी तार का विकिरण प्रतिरोध; उसके ताँबे के प्रतिरोध से तुलना कीजिए ( $1\,\mathrm{mm}$ व्यास, ऊँची आवृत्तियों पर त्वचा प्रभाव के साथ, $100\,\mathrm{kHz}$ पर $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ ); और हर हाल में दक्षता (विकिरित बटा कुल)। दीर्घ-तरंग प्रेषकों की मीनारें सैकड़ों मीटर ऊँची क्यों होती हैं?

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$790(\ell/\lambda)^2$ : $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$ , $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$ , $0.88\,\Omega$ , $88\,\Omega$ । ताँबा: $0.026$ , $0.084$ , $0.27$ , $0.84\,\Omega$ (त्वचा प्रभाव): दक्षताएँ $0.3\%$ , $10\%$ , $77\%$ , $99\%$ । लंबी तरंगदैर्घ्यों पर केवल वही मीनार, जो $\lambda$ का ठीक-ठाक अंश हो, अपनी हानियों से ऊपर विकिरण प्रतिरोध रखती है।

अभ्यास 17.3 ★

$400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ और $700\,\mathrm{nm}$ के प्रकाश के रैले प्रकीर्णन का अनुपात; और वर्षा-बूँदों से $3\,\mathrm{cm}$ तथा $10\,\mathrm{cm}$ की रडार तरंगदैर्घ्यों का (यदि वे इतनी छोटी होतीं — वे ठीक-ठीक नहीं हैं); मौसम रडार वर्षा देखने के लिए छोटी और उसके पार देखने के लिए लंबी तरंगदैर्घ्य क्यों लेता है?

हल

हल — अभ्यास 17.3.

$400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$ । $(10/3)^4 = 120$ : $3\,\mathrm{cm}$ वाला रडार छोटी बूँदें सौ गुना बेहतर देखता है; और $10\,\mathrm{cm}$ वाला वर्षा के पार देखता है कि पीछे क्या है।

अभ्यास 17.4 ★

सूर्य से $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ , $120{}^{\circ}$ पर आकाश-प्रकाश के ध्रुवण की मात्रा; सबसे गहरे नीले के लिए कोई छायाकार आकाश में ध्रुवक कहाँ ताने, और सूर्य ठीक सिर पर हो तो क्या होता है? असली अधिकतम केवल लगभग $75\%$ क्यों है (बहु-प्रकीर्णन के और ज़मीन जो परावर्तित करती है उसके बारे में सोचिए)?

हल

हल — अभ्यास 17.4.

$\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$ : $0.14$ , $0.60$ , $1$ , $0.60$ । सूर्य से $90{}^{\circ}$ पर ताना जाए (आकाश भर में खिंचा कोई बृहत् वृत्त); सूर्य ठीक सिर पर हो तो पूरा क्षितिज $90{}^{\circ}$ पर है और उसी के अनुदिश ध्रुवित। बहु-प्रकीर्णन, ज़मीन का परावर्तन और अणुओं की विषमदैशिकता अध्रुवित प्रकाश जोड़ देते हैं: अर्थात् सबसे अच्छी दशा में लगभग $75\%$ ।

अभ्यास 17.5 ★★

(क) द्विध्रुव के पॉयंटिंग सदिश को किसी गोले पर समाकलित कीजिए और $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$ जाँचिए। (ख) विषुवतीय तल के $30{}^{\circ}$ के भीतर विकिरित शक्ति का अंश। (ग) अर्ध-शक्ति कोण: किस $\theta$ पर तीव्रता अपने अधिकतम की आधी है? (घ) द्विध्रुव की "लब्धि", अर्थात् अधिकतम तीव्रता बटा समदैशिक माध्य: दिखाइए कि वह $1.5$ है।

हल

हल — अभ्यास 17.5.

(क) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$ । (ख) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$ । (ग) $\sin^2\theta = \tfrac12$ : $\theta = 45{}^{\circ}$ , अर्थात् कोई $90{}^{\circ}$ चौड़ी पुंज। (घ) अधिकतम $1$ , माध्य $2/3$ के सामने: $1.5$ ।

अभ्यास 17.6 ★★

निकट और दूर। (क) $\theta = 90^\circ$ पर किसी द्विध्रुव का अर्ध-स्थैतिक क्षेत्र $E_{\text{स्थैतिक}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$ लिखिए, और विकिरक वाला भी; किस दूरी $r_0$ पर उनके आयाम बराबर हैं? $r_0$ को $\lambda$ के पदों में लिखिए। (ख) किसी $1\,\mathrm{MHz}$ ऐंटेना के लिए $r_0$ ; $10\,\mathrm{m}$ पर और $10\,\mathrm{km}$ पर कोई अभिग्राही कौन-सा क्षेत्र महसूस करता है? (ग) सिर से $2\,\mathrm{cm}$ दूर पकड़ा $1\,\mathrm{GHz}$ का कोई चलभाष: निकट क्षेत्र या दूर? (घ) निकट क्षेत्र कोई शुद्ध शक्ति दूर क्यों नहीं ले जाता?

हल

हल — अभ्यास 17.6.

(क) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ , $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$ पर। (ख) $48\,\mathrm{m}$ : $10\,\mathrm{m}$ पर अर्ध-स्थैतिक क्षेत्र, $10\,\mathrm{km}$ पर विकिरित वाला। (ग) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$ : सिर निकट क्षेत्र में है। (घ) निकट क्षेत्र के $\vect E$ और $\vect B$ समपाद में हैं: पॉयंटिंग सदिश माध्य में शून्य हो जाता है, और ऊर्जा संचित होकर लौटा दी जाती है, जैसे किसी संधारित्र में।

अभ्यास 17.7 ★★

टामसन और किरीट। (क) $\sigma_T$ निकालिए। (ख) सौर किरीट में $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ है, $10^9$ m भर पर: हमारी ओर प्रकीर्ण प्रकाश-मंडल के प्रकाश का अंश; किरीट सफ़ेद क्यों है और केवल ग्रहणों में ही क्यों दिखता है? (ग) किसी कार्बन परमाणु पर $10\,\mathrm{keV}$ की X-किरणें ( $6$ इलेक्ट्रॉन, बंधन ऊर्जाएँ $300\,\mathrm{eV}$ से नीचे): इलेक्ट्रॉन मुक्त की तरह क्यों प्रकीर्ण करते हैं, और परमाणु का अनुप्रस्थ काट क्या है? (घ) अस्थि का कोई चिकित्सा X-किरण चित्र माँस से अधिकतर अवशोषण के रास्ते क्यों अलग होता है, टामसन प्रकीर्णन के नहीं?

हल

हल — अभ्यास 17.7.

(क) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ । (ख) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$ : अर्थात् प्रकाश-मंडल का दस लाखवाँ भाग, और रंगहीन क्योंकि टामसन प्रकीर्णन रंगहीन है, तथा ग्रहण को छोड़ आकाश की प्रकीर्ण धूप में डूबा हुआ। (ग) $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$ : इलेक्ट्रॉन मुक्त की तरह उत्तर देते हैं, $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ । (घ) प्रकाश-विद्युत् अवशोषण $Z^4$ की तरह बढ़ता है और कैल्सियम को अलग कर देता है; जबकि प्रकीर्णन अस्थि और माँस में प्रति इलेक्ट्रॉन एक-सा है।

अभ्यास 17.8 ★★

सूर्यास्त। शिरोबिंदु पर रैले प्रकीर्णन के लिए वायुमंडल की प्रकाशिक गहराई $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ है (सीधा प्रकाश $\eu^{-\tau}$ से क्षीण होता है)। (क) $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $700\,\mathrm{nm}$ के लिए शिरोबिंदु पर पारगमन। (ख) सूर्यास्त पर पथ $38$ गुना लंबा है: पारगमन; और लाल/नीला अनुपात। (ग) किसी चंद्रग्रहण में चंद्रमा लाल क्यों हो जाता है? (घ) क्षितिज के पास आकाश गहरे नीले के बजाय सफ़ेदी लिए क्यों दिखता है?

हल

हल — अभ्यास 17.8.

(क) $\tau = 0.36$ , $0.10$ , $0.038$ : $T = 0.70$ , $0.90$ , $0.96$ । (ख) $\tau \times 38 = 13.6$ , $3.8$ , $1.45$ : $T = 1 \times 10^{-6}$ , $0.02$ , $0.23$ ; और लाल बटा नीला $\sim 2 \times 10^5$ । (ग) पृथ्वी का वायुमंडल सूर्यास्त के प्रकाश को छाया में मोड़ देता है, जो उसी प्रकीर्णन से लाल हो चुका होता है। (घ) क्षितिज के पास पथ लंबा है: अर्थात् नीला ख़ुद प्रकीर्ण प्रकाश में से भी प्रकीर्ण हो जाता है, और बहु-प्रकीर्णन सफ़ेदी जोड़ देता है।

अभ्यास 17.9 ★★

दो ऐंटेना। $d$ दूरी पर, $x$ के अनुदिश, दो ऊर्ध्वाधर द्विध्रुव एक ही आयाम से खिलाए जाते हैं। (क) एक ही कला में, $d = \lambda/2$ : किन क्षैतिज दिशाओं में उनके दूर-क्षेत्र जुड़ते हैं, किनमें कट जाते हैं? (चौड़ी-ओर पंक्ति)। (ख) विपरीत कला में, $d = \lambda/2$ : वही (सिरा-दिशा)। (ग) समपाद में, $d = \lambda/4$ : दिखाइए कि पंक्ति केवल एक ही ओर विकिरित करती है। (घ) AM प्रसारण केंद्र कई मीनारें क्यों लेते हैं, और कोई कला-पंक्ति रडार बिना हिले अपनी पुंज कैसे मोड़ लेता है?

हल

हल — अभ्यास 17.9.

(क) जोड़ी की रेखा के अनुदिश पथांतर $\lambda/2$ रद्दीकरण देता है; और चौड़ी-ओर, जुड़ाव। (ख) विपरीत कला: उलटा — रेखा के अनुदिश विकिरण (सिरा-दिशा), चौड़ी-ओर कुछ नहीं। (ग) $+x$ की ओर: पथ-विलंब $-\pi/2$ और निवेश-कला $+\pi/2$ , अर्थात् एक ही कला में; $-x$ की ओर: $-\pi$ , अर्थात् रद्द: कोई हृदयाकार, एकतरफ़ा। (घ) मीनारें विस्तार को गढ़ती हैं और पड़ोसियों को बचाती हैं; और कोई कला-पंक्ति निवेश की कलाएँ बदलकर, माइक्रोसेकंडों में, दिशा मोड़ लेती है।

अभ्यास 17.10 ★★★

विकिरण अवमंदन। लोरेंत्स इलेक्ट्रॉन (अध्याय 14), जो $\omega_0$ पर आयाम $x_0$ से दोलन कर रहा है, लार्मर के सूत्र से विकिरित करता है। (क) माध्य विकिरित शक्ति; दोलक की ऊर्जा $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ ; दिखाइए कि ऊर्जा दर $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ से क्षय होती है। (ख) सोडियम रेखा ( $589\,\mathrm{nm}$ ) के लिए $\Gamma$ का मान: अभ्यास 14.9 में काम में लिए गए $\Gamma$ से तुलना कीजिए। (ग) जीवनकाल $1/\Gamma$ और रेखा की प्राकृतिक चौड़ाई, $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$ । (घ) परमाणविक दोलक का गुणता गुणक $\omega_0/\Gamma$ ।

हल

हल — अभ्यास 17.10.

(क) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$ , $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$ : $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$ । (ख) $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — वही मान जो काम में लिया गया। (ग) $16\,\mathrm{ns}$ ; $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , अर्थात् किसी पिकोमीटर का सौवाँ भाग ( $10\,\mathrm{MHz}$ )। (घ) $Q = 5 \times 10^7$ ।

अभ्यास 17.11 ★★★

मीनार। कोई AM केंद्र $1\,\mathrm{MHz}$ पर $50\,\mathrm{kW}$ किसी चालक ज़मीन पर खड़ी $\lambda/4$ ऊँचाई की ऊर्ध्वाधर मीनार से विकिरित करता है (ज़मीन किसी दर्पण की तरह काम करती है, जिससे मीनार किसी अर्ध-तरंग द्विध्रुव की आधी बन जाती है: $R_{\text{विकिरण}} \approx 36\,\Omega$ , और शक्ति केवल ऊपरी अर्ध-आकाश में जाती है)। (क) ऊँचाई; तली पर धारा। (ख) क्षैतिज तल में $10\,\mathrm{km}$ पर क्षेत्र-आयाम (द्विध्रुव आकृति लीजिए, ऊपरी अर्ध-गोले पर $\mathcal P$ $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$ ; और ठीक-ठाक आकलन के लिए क्षितिज पर $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ लीजिए)। (ग) वहाँ $1\,\mathrm{m}$ के किसी अभिग्राही छड़ में विद्युत् वाहक बल। (घ) ज़मीन की चालकता क्यों मायने रखती है, और मीनार के नीचे त्रिज्य ताँबे के तार क्यों गाड़े जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 17.11.

(क) $75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$ । (ख) $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ । (ग) $0.30\,\mathrm{V}$ । (घ) लौटती धाराएँ ज़मीन में बहती हैं; कोई प्रतिरोधी मिट्टी हानियाँ जोड़ देती है और दर्पण बिगाड़ देती है; और गाड़े गए त्रिज्य तार उन्हें ताँबे की राह दे देते हैं।

अभ्यास 17.12 ★★★

प्रकीर्णन और अपवर्तनांक। किसी विरल गैस के लिए सारे अणुओं की आगे-प्रकीर्ण तरंगें संसक्त रूप से जुड़ती हैं और अपवर्तनांक बना देती हैं, $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ , जिसमें $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ ध्रुवणता है; और रैले अनुप्रस्थ काट $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$ है। (क) $\sigma$ को $n$ , $N$ और $\lambda$ के पदों में लिखिए: $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ । (ख) $550\,\mathrm{nm}$ पर हवा के लिए ( $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ): $\sigma$ और माध्य मुक्त पथ $1/N\sigma$ । (ग) वायुमंडल की ऊर्ध्वाधर प्रकाशिक गहराई (तुल्य ऊँचाई $8\,\mathrm{km}$ ); अभ्यास 17.8 के $0.1$ से तुलना कीजिए। (घ) इस संबंध (रैले, 1899) से आवोगाद्रो संख्या का कोई मान क्यों निकल आया?

हल

हल — अभ्यास 17.12.

(क) $p_0 = \alpha E_0$ देता है $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$ ; और $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ तथा $\omega = 2\pi c/\lambda$ के साथ: $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$ । (ख) $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$ : $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ , माध्य मुक्त पथ $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$ । (ग) $8/80 = 0.1$ । (घ) $\sigma$ आकाश के क्षीणन से मापा जाता है, $n$ ज्ञात है: उससे $N$ निकल आता है, और इसलिए आवोगाद्रो संख्या।

17.5 समस्या: मीनार, आकाश और इलेक्ट्रॉन

समस्या 17.1

सप्ताहांत समस्या — तीन ऐंटेना: कोई प्रसारण मीनार, धूप में हवा का कोई अणु, और कोई मुक्त इलेक्ट्रॉन

भाग I — मीनार। $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ का कोई मध्यम-तरंग केंद्र किसी चालक ज़मीन पर खड़ी चतुर्थांश-तरंग मीनार से $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ विकिरित करता है ( $R_{\text{विकिरण}} = 36\,\Omega$ , और ऊपरी अर्ध-आकाश पर किसी ऊर्ध्वाधर द्विध्रुव की आकृति, जैसा अभ्यास 17.11 में)।

तरंगदैर्घ्य और मीनार की ऊँचाई; उसकी तली पर धारा का आयाम; और $R_{\text{विकिरण}}$ पर वोल्टता।
तुल्य द्विध्रुव आघूर्ण का आयाम, मीनार को $p_0 = I_0\ell_{\text{प्रभावी}}/\omega$ वाला कोई छोटा द्विध्रुव मानते हुए, जहाँ चतुर्थांश-तरंग मीनार के लिए $\ell_{\text{प्रभावी}} \approx \lambda/2\pi$ (स्वीकृत)।
क्षैतिज तल में $10\,\mathrm{km}$ और $100\,\mathrm{km}$ पर माध्य तीव्रता (ऊपरी अर्ध-गोले वाली आकृति लीजिए, जो क्षितिज पर अधिकतम है, $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ ); और क्षेत्र-आयाम।
$100\,\mathrm{km}$ पर $1\,\mathrm{m}$ की किसी ऊर्ध्वाधर छड़ में विद्युत् वाहक बल; और किसी फ़ेराइट-छड़ ऐंटेना में ( $N = 100$ फेरों की कोई कुंडली, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , प्रभावी पारगम्यता $100$ ), जो तरंग के $\vect B$ के सामने हो: तुलना कीजिए।
$100\,\mathrm{km}$ पर प्रभावी क्षेत्रफल $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (द्विध्रुव वाला) के किसी ऐंटेना के साथ किसी मिलान वाले अभिग्राही को मिलती शक्ति।
मीनार के चालकों का कुल हानि-प्रतिरोध $2\,\Omega$ है: दक्षता; और ऊष्मा के रूप में खोई शक्ति।
क्या $10\,\mathrm{km}$ पर कोई अभिग्राही विकिरण क्षेत्र में है? और मीनार से $100\,\mathrm{m}$ पर वाला?
मध्यम-तरंग संकेत रात में और दूर तक क्यों पहुँचते हैं? (अध्याय 14 की D परत याद कीजिए।)

भाग II — आकाश। समुद्र-तल पर हवा: $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ , रैले अनुप्रस्थ काट $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ ; ज़मीन पर धूप $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; और समुद्र-तल के घनत्व पर वायुमंडल की तुल्य मोटाई $8\,\mathrm{km}$ ।

$450\,\mathrm{nm}$ और $650\,\mathrm{nm}$ पर अनुप्रस्थ काट; और अनुपात।
तीनों रंगों का माध्य मुक्त पथ; ऊर्ध्वाधर प्रकाशिक गहराई $\tau = N\sigma H$ ; और शिरोबिंदु पर सीधे पुंज से बाहर प्रकीर्ण हर रंग का अंश।
ज़मीन पर हवा के प्रति घन मीटर से हरे प्रकाश की प्रकीर्ण शक्ति ( $550\,\mathrm{nm}$ के आसपास $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ धूप लीजिए); किस घन कोण में, और किस आकृति के साथ?
सूर्य से $90{}^{\circ}$ पर देखा हवा का $1\,\mathrm{m}^{2}$ अनुप्रस्थ काट का कोई स्तंभ: उस स्तंभ से प्रेक्षक तक आते आकाश-प्रकाश की तीव्रता आँकिए (प्रति एकांक घन कोण उसकी ओर प्रकीर्ण शक्ति, $8\,\mathrm{km}$ भर पर), और सीधे सूर्य से तुलना कीजिए; क्या आकाश की चमक ठीक कोटि की है (सूर्य की लगभग $1 \times 10^{-5}\,$ )?
उस स्तंभ के प्रकाश के ध्रुवण की मात्रा; असल में वह कम क्यों है, और कुछ कीट उसे कैसे काम में लेते हैं?
सूर्यास्त पर पथ $38$ वायुमंडल है: नीले और लाल के पारगत अंश; सूर्य का रंग; और सिर के ऊपर आकाश नीला क्यों बना रहता है।
चंद्रमा पर पूरी धूप में भी आकाश काला क्यों है?
मंगल पर हवा सौ गुना पतली है पर महीन धूल से भरी है (माइक्रोमीटर के कण): मंगल का आकाश मटमैला पीला और उसका सूर्यास्त नीला क्यों है?

भाग III — इलेक्ट्रॉन।

$r_e$ से टामसन अनुप्रस्थ काट।
किसी X-किरण नलिका में $100\,\mathrm{keV}$ का कोई इलेक्ट्रॉन ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , उसे अनापेक्षिकीय मानिए) टंग्स्टन में $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर रोक दिया जाता है: त्वरण, लार्मर शक्ति, अवधि, विकिरित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा में उसका अंश।
नलिका जो सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य उत्सर्जित कर सकती है (कोई फ़ोटॉन जो इलेक्ट्रॉन की पूरी ऊर्जा ले ले)।
नलिका $20\,\mathrm{mA}$ पर चलती है: विकिरित शक्ति; ऐनोड में ऊष्मा; और ऐनोड घूमता क्यों है।
बोर त्रिज्या ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , चाल $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) पर किसी प्रोटॉन का चक्कर लगाता कोई चिरसम्मत इलेक्ट्रॉन: त्वरण, लार्मर शक्ति, और अपने $13.6\,\mathrm{eV}$ को विकिरित कर देने का समय — अर्थात् चिरसम्मत परमाणु का जीवनकाल।
असली परमाणु सदा टिके रहते हैं: बताइए कि यहाँ चिरसम्मत भौतिकी क्या चूक जाती है, और अध्याय 30 किसी स्थायी अवस्था के बारे में क्या कहेगा।
$100\,\mathrm{m}$ त्रिज्या के किसी सिंक्रोट्रॉन में $v \approx c$ पर कोई इलेक्ट्रॉन: अनापेक्षिकीय लार्मर सूत्र कितनी शक्ति देता है? (असली शक्ति $\gamma^4$ गुना बड़ी है, जिसमें $\gamma \sim 10^4$ : वही सिंक्रोट्रॉन प्रकाश स्रोत।)
वही इलेक्ट्रॉन $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ की धूप में विराम पर: वह जो शक्ति फिर से विकिरित करता है (टामसन); और कोई वाट प्रकीर्ण करने के लिए ऐसे कितने इलेक्ट्रॉन चाहिए।
तीनों ऐंटेना को किसी सारणी में समेटिए: द्विध्रुव आघूर्ण, आवृत्ति, शक्ति, आकृति।

हल

हल — समस्या 17.1.

1. $\lambda = 300\,\mathrm{m}$ , $h = 75\,\mathrm{m}$ ; $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$ ; $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$ ।

2. $\ell_{\text{प्रभावी}} = 48\,\mathrm{m}$ : $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ।

3. $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$ : $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ और $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ।

4. छड़: $42\,\mathrm{mV}$ । दंड: $N\mu_{\text{प्रभावी}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — कम, पर छोटा और वरणात्मक।

5. $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$ ।

6. $36/38 = 95\%$ ; और $5\,\mathrm{kW}$ ऊष्मा।

7. $10\,\mathrm{km}$ पर $r/\lambda = 33$ : विकिरण क्षेत्र; $100\,\mathrm{m}$ पर $r \approx \lambda/3$ : संक्रमण क्षेत्र, जहाँ अर्ध-स्थैतिक क्षेत्र अब भी गिना जाता है।

8. दिन में D परत उस तरंग को सोख लेती है जो नहीं तो परावर्तक परतों तक पहुँचती; रात में वह चली जाती है और आकाश-तरंग केंद्र को सैकड़ों किलोमीटर ले जाती है।

9. $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$ , $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ : अनुपात $4.4$ ।

10. माध्य मुक्त पथ $39$ , $87$ , $170\,\mathrm{km}$ ; $\tau = 0.21$ , $0.09$ , $0.05$ : अर्थात् $19\%$ , $9\%$ , $5\%$ प्रकीर्ण।

11. $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$ , $4\pi$ में, प्राकृतिक प्रकाश के लिए आकृति $(1 + \cos^2\chi)$ के साथ।

12. स्तंभ अपने $300\,\mathrm{W}$ में से $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ प्रकीर्ण करता है ( $9\%$ ); और अर्ध-गोले पर फैलने पर आकाश कोई $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ देता है, सूर्य के $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ के सामने: अर्थात् प्रति स्टेरेडियन दस लाखवाँ भाग — ठीक वही कोटि।

13. एकल प्रकीर्णन में $90{}^{\circ}$ पर पूरी तरह ध्रुवित; बहु-प्रकीर्णन और ज़मीन उसे घटाकर कोई $75\%$ कर देते हैं; और मधुमक्खियाँ तथा चींटियाँ बादलों के पीछे सूर्य ढूँढ़ने के लिए वह आकृति पढ़ लेती हैं।

14. $\tau \times 38$ : नीला $8$ ( $T = 3 \times 10^{-4}$ ), लाल $1.8$ ( $T = 0.17$ ): अर्थात् कोई गहरा लाल सूर्य; और सिर के ऊपर प्रकाश छोटे पथ के बाद पहुँचता है और नीला रहता है।

15. कोई वायुमंडल नहीं, प्रकीर्ण करने को कुछ नहीं: सूर्य के बग़ल में आकाश काला है।

16. माइक्रोमीटर की धूल मी कणों की तरह प्रकीर्ण करती है: आगे की ओर और लाल, जिससे मटमैला पीला आकाश बनता है; और डूबते सूर्य के पास आगे-प्रकीर्ण प्रकाश नीला होता है।

17. $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$ ।

18. $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ , $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ तक: $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$ , अर्थात् $10^{-10}$ गुना $100\,\mathrm{keV}$ — असली उपज $1\%$ के पास है, क्योंकि मंदन नाभिकों से होती हिंसक नज़दीकी भिड़ंतों में होता है, किसी कोमल एकसमान मंदन में नहीं।

19. $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$ ।

20. पुंज में $2\,\mathrm{kW}$ , और लगभग $20\,\mathrm{W}$ X-किरणें; किसी एक धब्बे में दो किलोवाट ऊष्मा — उसे फैलाने के लिए ऐनोड घूमता है।

21. $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ ; $13.6\,\mathrm{eV}$ $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ में चले गए।

22. बद्ध गति में चिरसम्मत आवेश लगातार विकिरित करते हैं; जबकि क्वांटम यांत्रिकी के पास स्थायी अवस्थाएँ हैं जो नहीं करतीं, और कोई सबसे नीची, जिसके नीचे गिरने को कुछ नहीं।

23. $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : लार्मर से $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ , और असल में $\gamma^4 \sim 10^{16}$ गुना अधिक: किसी संचित पुंज से दसियों किलोवाट सिंक्रोट्रॉन प्रकाश।

24. $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; और कोई वाट के लिए $1.5 \times 10^{25}$ इलेक्ट्रॉन।

25. मीनार: $1\,\mathrm{MHz}$ पर $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{kW}$ , कोई ऊर्ध्वाधर डोनट। अणु: $500\,\mathrm{THz}$ पर $\sim$ $1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ , $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$ , क्षेत्र के इर्द-गिर्द कोई डोनट। मुक्त इलेक्ट्रॉन: टामसन, धूप में $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ , वही आकृति।