विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

3आदर्श तरल: ऑयलर और बर्नूली

काग़ज़ की एक शीट किनारे से पकड़िए और उसके ऊपर से फूँक मारिए: वह उठ जाती है। स्नानघर में नल खोलिए और परदा भीतर की ओर झुक आता है। कोई पंख तीन सौ टन सँभाल लेता है, क्योंकि हवा उसकी ऊपरी सतह पर नीचे की सतह से तेज़ बहती है। तीनों एक ही कथन हैं: तरल जहाँ तेज़ चलता है, वहाँ उसका दाब कम होता है। यह अध्याय सरलतम प्रतिरूप में — आदर्श तरल में, जो दाब तो अनुभव करता है पर घर्षण नहीं — किसी तरल कण के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखता है, और उससे बर्नूली की प्रमेय निकालता है, जो किसी धारा-रेखा का ऊर्जा-संतुलन है और जिसके प्रयोग नली के प्रवाहमापी से लेकर वायुयान के चाल-सूचक तक फैले हैं।

3.1 ऑयलर समीकरण

प्रतिज्ञप्ति 3.1 (किसी तरल कण पर दाब-बल)

$\dd\tau$ आयतन के किसी कण पर चारों ओर के तरल द्वारा लगाए गए दाब-बलों का परिणामी

\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :

होता है: अर्थात् दाब $-\operatorname{\vect{grad}}P$ घनत्व के आयतन-बल की तरह काम करता है, जो ऊँचे दाब से नीचे दाब की ओर धकेलता है।

उपपत्ति. प्रमेय 2.8 वाले संदूक पर, $x$ और $x + \dd x$ वाले फलक $+P(x)\dd y\dd z$ और $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ पाते हैं, $x$ के अनुदिश: कुल $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$ ; और इसी तरह $y$ तथा $z$ के लिए। ∎

परिभाषा 3.2 (आदर्श तरल)

आदर्श तरल वह है जिसमें पड़ोसी कणों के बीच एकमात्र स्पर्श-बल दाब है — हर पृष्ठ के अभिलंब, और कोई स्पर्शीय (श्यान) प्रतिबल नहीं। यह एक आदर्शीकरण है, जो — जैसा अगला अध्याय बताता है — दीवारों से दूर और ऊँची रेनल्ड्स संख्या पर मान्य है: दीवार से दूर नली में पानी, पतली सीमांत परत के बाहर पंख के चारों ओर हवा, या समुद्र पर कोई तरंग।

प्रमेय 3.3 (ऑयलर समीकरण)

किसी गैलीलीय तंत्र में गुरुत्व के अधीन $\rho$ घनत्व का कोई आदर्श तरल हर बिंदु पर इसका पालन करता है:

\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,

और दाईं ओर कोई भी अन्य आयतन-बल घनत्व $\vect f_v$ (वैद्युत, या अगैलीलीय तंत्र में जड़त्वीय) जोड़ दिया जाता है। विराम में यह वर्ष 1 के खंड के द्रवस्थैतिक नियम $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ पर सिमट आता है।

उपपत्ति. $\rho\,\dd\tau$ द्रव्यमान के कण के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: उसका त्वरण द्रव्य अवकलज है (प्रमेय 2.4), और बल हैं दाब का परिणामी तथा भार $\rho\vect g\,\dd\tau$ ; अब $\dd\tau$ से भाग दीजिए। ∎

उदाहरण 3.4 (त्वरित होती टंकी)

$\vect a$ से त्वरित होते ट्रक पर रखी टंकी का पानी ट्रक के तंत्र में विराम में है; वहाँ जड़त्वीय बल $-\rho\vect a$ के साथ ऑयलर $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$ देता है: अर्थात् दाब “प्रभावी गुरुत्व” $\vect g - \vect a$ के अनुदिश बढ़ता है, और मुक्त सतह (जो एक समदाब पृष्ठ है) उसके लंबवत रहकर $\arctan(a/g)$ कोण से पीछे की ओर झुक जाती है — $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ के लिए $11{}^{\circ}$ । $\Omega$ से घूमती बाल्टी में अपकेंद्र बल $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ देता है और मुक्त सतह परवलयज $z = \Omega^2r^2/2g$ होती है।

बाएँ: P बदलने पर किसी तरल-संदूक के फलकों पर दाब-बल एक-दूसरे को नहीं काटते — उनका परिणामी प्रति एकांक आयतन - gradP होता है। बीच में और दाएँ: त्वरित तंत्र में विराम में पड़े दो तरल; मुक्त सतह हर जगह प्रभावी गुरुत्व के लंबवत रहती है। — बाएँ: $P$ बदलने पर किसी तरल-संदूक के फलकों पर दाब-बल एक-दूसरे को नहीं काटते — उनका परिणामी प्रति एकांक आयतन $-\operatorname{\vect{grad}}P$ होता है। बीच में और दाएँ: त्वरित तंत्र में विराम में पड़े दो तरल; मुक्त सतह हर जगह प्रभावी गुरुत्व के लंबवत रहती है।

3.2 बर्नूली की प्रमेय

प्रमेय 3.5 (बर्नूली)

एकसमान घनत्व के किसी आदर्श, असंपीड्य तरल के स्थायी प्रवाह में, एकसमान गुरुत्व वाले किसी गैलीलीय तंत्र में, राशि

P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz

हर धारा-रेखा के अनुदिश अचर रहती है। और यदि प्रवाह अघूर्णी भी हो, तो वह पूरे तरल में एक ही अचर होती है। पद $\tfrac12\rho v^2$ गतिक दाब है; और $P + \tfrac12\rho v^2$ स्थगन दाब है, अर्थात् वह दाब जिस तक तरल पहुँचता यदि उसे अपनी धारा-रेखा पर विराम में ला दिया जाता।

उपपत्ति. स्थायी ऑयलर, जिसमें $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ और $\rho\vect g = -\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$ , तथा $\rho$ एकसमान:

\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\, \vect\omega\wedge\vect v .

दायाँ पक्ष $\vect v$ के लंबवत है, अतः बर्नूली राशि की प्रवणता का धारा-रेखा के अनुदिश कोई घटक नहीं है: इसलिए वह राशि उसके अनुदिश अचर रहती है। और यदि $\vect\omega = \vect 0$ हो तो प्रवणता हर जगह लुप्त हो जाती है। ∎

टिप्पणी 3.6 (बर्नूली क्या कहती है और क्या नहीं)

$\rho$ से भाग देने पर प्रमेय यह पढ़ी जाती है: प्रति एकांक द्रव्यमान यांत्रिक ऊर्जा $v^2/2 + gz$ , और उसमें $P/\rho$ जोड़कर, किसी कण के पथ पर संरक्षित रहती है। दाब वाला पद वह कार्य है जो पीछे के तरल का दाब कण पर करता है, घटा वह कार्य जो कण आगे के तरल पर करता है: अर्थात् किसी दाब-क्षेत्र में बिना घर्षण धकेले गए कण के लिए ऊर्जा-प्रमेय। शर्तें चार हैं: आदर्श तरल (कोई श्यान हानि नहीं), स्थायी, असंपीड्य, और धारा-रेखा के अनुदिश। भिन्न धारा-रेखाओं के दो बिंदुओं की तुलना केवल अघूर्णी प्रवाह में मान्य है। यह “तेज़ हवा खींच लेती है” नहीं कहती: यह कहती है कि जो कण (दाब-गिरावट से) त्वरित हो चुका है वह अब कम दाब पर है — कारण दाब-क्षेत्र है, चाल परिणाम।

टिप्पणी 3.7 (संपीड्य तरल)

गैस के लिए घनत्व बदलता है, पर यदि प्रवाह स्थायी, आदर्श और समएन्ट्रॉपी हो, तो वही उपपत्ति धारा-रेखा के अनुदिश $h + v^2/2 + gz$ का संरक्षण देती है, जहाँ $h$ प्रति एकांक द्रव्यमान एन्थैल्पी है (आदर्श गैस के लिए $h = c_PT$ ): यही रूप अध्याय 27 में टोंटियों और टरबाइनों के लिए काम आता है। ध्वनि की चाल से काफ़ी नीचे की चालों पर (हवा में $v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) घनत्व $5\%$ से भी कम बदलता है और असंपीड्य प्रमेय सटीक रहती है।

3.3 अनुप्रयोग

प्रतिज्ञप्ति 3.8 (वेंचुरी मापी)

किसी क्षैतिज नली में काट $S_1$ से घटकर $S_2 < S_1$ होने पर चाल बढ़ती है ( $v_2 = v_1S_1/S_2$ , द्रव्यमान-संरक्षण से) और दाब गिरता है:

P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) , \qquad D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .

दाब-अंतर को दाबमापी से नापने पर प्रवाह दर मिल जाती है: यही वेंचुरी मापी है। यही प्रभाव कार्बोरेटर, रंग-फुहार, बुन्सन जलक की वायु-प्रवेशिका और गुज़रती रेलगाड़ी के “खिंचाव” को चलाता है।

उपपत्ति. अचर ऊँचाई पर किसी मध्य धारा-रेखा के अनुदिश बर्नूली, और $v_2 = v_1S_1/S_2$ ; अब $v_1$ के लिए हल कीजिए। ∎

प्रतिज्ञप्ति 3.9 (पीटो नली)

प्रवाह की ओर मुँह किए, दूर के सिरे पर बंद कोई नली तरल को अपने मुँह पर विराम में ले आती है (एक स्थगन बिंदु); और बग़ल में, प्रवाह के समांतर, दूसरा छिद्र स्थैतिक दाब $P$ पढ़ता है। अंतर गतिक दाब है:

P_{\text{स्थगन}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{स्थगन}} - P)/\rho} .

हर वायुयान अपनी वायुचाल इसी तरह नापता है।

उपपत्ति. उस धारा-रेखा के अनुदिश बर्नूली जो स्थगन बिंदु पर समाप्त होती है, जहाँ $v = 0$ ; बग़ल के छिद्र प्रवाह को बिगाड़ते नहीं, जो अविक्षुब्ध $v$ और $P$ पर गुज़रता है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 3.10 (टोरिचेली का सूत्र)

कोई बड़ी खुली टंकी मुक्त सतह से $h$ गहराई पर बने छोटे छेद से खाली होती है; धार इस चाल से निकलती है:

v = \sqrt{2gh} ,

अर्थात् सतह से मुक्त पतन की चाल। प्रवाह दर $D_V \approx \alpha s\sqrt{2gh}$ है, जहाँ $s$ छेद का क्षेत्रफल है और $\alpha \approx 0.6$ तीखे किनारे वाले छिद्र का संकुचन गुणांक (धारा-रेखाएँ छेद के आगे भी अभिसरित होती रहती हैं)।

उपपत्ति. मुक्त सतह से (जो विराम में है, क्योंकि टंकी बड़ी है: $v_{\text{सतह}} = v\,s/S \ll v$ ; दाब $P_0$ ) धार तक (छेद के ठीक बाहर दाब $P_0$ ) बर्नूली: $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$ । प्रवाह अर्ध-स्थायी है: $h$ धीरे-धीरे बदलता है। ∎

बर्नूली की प्रमेय के तीन अनुप्रयोग। बाएँ: वेंचुरी मापी — दाबमापी गले पर दाब-गिरावट पढ़ता है, और उससे प्रवाह दर मिलती है। बीच में: पीटो नली — मुँह पर स्थगन दाब बग़ल के छिद्रों के स्थैतिक दाब से गतिक दाब जितना अधिक होता है। दाएँ: मुक्त-पतन चाल पर टोरिचेली का निःस्राव।

उदाहरण 3.11 (अंक)

किसी जल-नली पर $5\,\mathrm{cm}$ से घटकर $2.5\,\mathrm{cm}$ होता वेंचुरी, जिसमें पानी का $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ ( $2.0\,\mathrm{kPa}$ ) है: $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/ (1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ । $11\,\mathrm{km}$ पर ( $\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से उड़ता यात्री-विमान: गतिक दाब $11\,\mathrm{kPa}$ , अर्थात् परिवेशी दाब का $11\%$ — पीटो नली फिर भी काम करती है, संपीड्यता के सुधार के साथ। नलों से $40\,\mathrm{m}$ ऊपर की जल-मीनार: बंद रहने पर $4\,\mathrm{bar}$ , और पूरा खोलने पर $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की धार (व्यवहार में कहीं कम: नलियाँ आदर्श नहीं होतीं)।

प्रतिज्ञप्ति 3.12 (पंख पर उत्थापन)

पंख के चारों ओर के प्रवाह में हवा ऊपरी सतह पर निचली सतह से तेज़ गुज़रती है; इसलिए दाब ऊपर नीचे की अपेक्षा कम रहता है, और परिणामी उत्थापन $F_L = \tfrac12\rho v^2SC_L$ है ( $S$ पंख का क्षेत्रफल, और $C_L \approx 0.3$ – $1.5$ उत्थापन गुणांक, जो परिच्छेदिका और आक्रमण कोण पर निर्भर करता है)। चाल का यह अंतर परिच्छेदिका के चारों ओर वेग के किसी परिचालन $\Gamma$ के तुल्य है, और प्रति एकांक विस्तार उत्थापन $F_L' = \rho v\Gamma$ है (कुट्टा–जुकोव्स्की, स्वीकृत)। घूमती गेंद हवा को अपने साथ खींच लेती है और उसी तरह बग़ल में उठ जाती है: यही कटी हुई टेनिस-गेंद या मुड़ते फ़्री-किक का मैग्नस प्रभाव है।

उपपत्ति. ठीक ऊपर और ठीक नीचे की उन धारा-रेखाओं पर बर्नूली, जो एक ही प्रवाह-पूर्व दशा से चलती हैं: $P_{\text{नीचे}} - P_{\text{ऊपर}} = \tfrac12\rho (v_{\text{ऊपर}}^2 - v_{\text{नीचे}}^2)$ ; अब जीवा पर समाकलन कीजिए। ऊपर का प्रवाह तेज़ क्यों है — तीखा पश्च किनारा पिछले स्थगन बिंदु को वहीं बाँध देता है और परिचालन तय कर देता है (कुट्टा प्रतिबंध) — यह अकेले आदर्श-तरल प्रतिरूप से परे है; उसके लिए अगले अध्याय की सीमांत परत चाहिए। ∎

बाएँ: पंख के चारों ओर धारा-रेखाएँ — ऊपर सटी और तेज़, नीचे धीमी; दाब का अंतर ही उत्थापन है। दाएँ: यू-नली में दोलन करता कुल L लंबाई का द्रव-स्तंभ, जो ऑयलर समीकरण का सरलतम अस्थायी अनुप्रयोग है। — बाएँ: पंख के चारों ओर धारा-रेखाएँ — ऊपर सटी और तेज़, नीचे धीमी; दाब का अंतर ही उत्थापन है। दाएँ: यू-नली में दोलन करता कुल $L$ लंबाई का द्रव-स्तंभ, जो ऑयलर समीकरण का सरलतम अस्थायी अनुप्रयोग है।

प्रतिज्ञप्ति 3.13 (एक अस्थायी प्रवाह: यू-नली)

कुल $L$ लंबाई का कोई द्रव-स्तंभ एकसमान काट की यू-नली भरता है; साम्य से $z$ विस्थापित होने पर वह इस तरह दोलन करता है:

\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,

अर्थात् $L/2$ लंबाई के लोलक की तरह। और साधारणतः, विभव $\varphi$ वाले किसी अस्थायी पर अघूर्णी प्रवाह के लिए ऑयलर समाकलित होकर $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$ देता है, जिसमें वही अचर पूरे तरल में एक-सा रहता है (अस्थायी बर्नूली)।

उपपत्ति. चाल $v = \dot z$ नली के अनुदिश एकसमान है (असंपीड्य, एकसमान काट)। ऑयलर को नली की अक्ष पर प्रक्षेपित कीजिए और स्तंभ के अनुदिश एक मुक्त सतह से दूसरी तक समाकलित कीजिए: दाब वाले पद कट जाते हैं (दोनों सिरों पर $P_0$ ), $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$ , संवहनी पद $\rho\,\Delta(v^2/2)$ लुप्त हो जाता है (दोनों सिरों पर वही चाल), और गुरुत्व वाला पद $\rho g\cdot2z$ देता है। अतः $\rho L\ddot z = -2\rho gz$ । सामान्य कथन $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}} \partial_t\varphi$ से निकलता है, जो $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ के लिए सही है। ∎

उदाहरण 3.14 (नली चालू करना)

$\ell$ लंबाई की कोई क्षैतिज नली अचर शीर्ष $h$ वाले जलाशय से किसी खुले सिरे तक जाती है; कपाट $t = 0$ पर खोला जाता है। नली के अनुदिश $v$ एकसमान लेकर, जलाशय की सतह से निर्गम तक समाकलित ऑयलर $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$ देता है, जिसका हल $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ है, जहाँ $V = \sqrt{2gh}$ : अर्थात् प्रवाह $2\ell/V$ समय-नियतांक के साथ टोरिचेली की चाल तक पहुँचता है — $200\,\mathrm{m}$ शीर्ष के नीचे $400\,\mathrm{m}$ के जलनाल के लिए $13\,\mathrm{s}$ ।

विधि 3.15 (बर्नूली का प्रयोग)

(1) चारों शर्तें जाँचिए; तय कीजिए कि प्रवाह अघूर्णी है या नहीं (किसी अवरोधक के चारों ओर एकसमान प्रवाह-पूर्व धारा: हाँ; वेग-प्रोफ़ाइल वाली नली में प्रवाह: नहीं — एक ही धारा-रेखा पर टिकिए)। (2) किसी धारा-रेखा पर ऐसे दो बिंदु चुनिए जहाँ अधिक से अधिक राशियाँ ज्ञात हों: कोई मुक्त सतह ( $P = P_0$ , और काट बड़ी हो तो $v \approx 0$ ), खुली हवा में कोई धार ( $P = P_0$ ), कोई स्थगन बिंदु ( $v = 0$ )। (3) चालों को जोड़ने के लिए द्रव्यमान-संरक्षण $vS = \text{अचर}$ जोड़िए। (4) अस्थायी प्रवाहों के लिए इसके बदले रेखा के अनुदिश ऑयलर को समाकलित कीजिए।

3.4 अभ्यास

अभ्यास 3.1 ★

$8\,\mathrm{cm}$ व्यास की किसी क्षैतिज नली में पानी $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से और $3.0\,\mathrm{bar}$ दाब पर बहता है। वह $4\,\mathrm{cm}$ की काट में जाता है: वहाँ चाल और दाब; फिर $2\,\mathrm{cm}$ की काट में: दाब — और यदि वह ऋणात्मक निकले तो क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 3.1.

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) = 2.83\,\mathrm{bar}$ । $2\,\mathrm{cm}$ पर: $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 3.0 \times 10^5 - 500 (576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — अर्थात् वाष्प दाब के पास। ऋणात्मक उत्तर का अर्थ है कि मानी गई प्रवाह दर असंभव है: पानी में गुहिकायन होता है और प्रवाह अवरुद्ध हो जाता है।

अभ्यास 3.2 ★

$5\,\mathrm{km}$ पर उड़ते किसी वायुयान ( $\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) की पीटो नली $15\,\mathrm{kPa}$ का गतिक दाब पढ़ती है। वास्तविक वायुचाल। चाल-सूचक समुद्र-तल के घनत्व ( $1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) के लिए अंशांकित है: वह कौन-सी “सूचित वायुचाल” दिखाएगा, और चालक इस अंतर को खीझ के बदले उपयोगी क्यों पाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 3.2.

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; सूचित $\sqrt{2 \times 15000/ 1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । सूचित वायुचाल गतिक दाब नापती है, और पंख यही अनुभव करता है: इसीलिए स्टॉल चाल हर ऊँचाई पर एक नियत सूचित चाल होती है।

अभ्यास 3.3 ★

किसी टंकी में $3.0\,\mathrm{m}$ गहरा पानी है; फ़र्श से $1.0\,\mathrm{m}$ ऊपर $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ का छेद किया जाता है। निर्गम चाल; प्रवाह दर (संकुचन $0.6$ ); धार फ़र्श पर कहाँ गिरती है? उसी बिंदु तक पहुँचने के लिए दूसरा छेद किस गहराई पर करना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 3.3.

गहराई $2.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 0.6 \times 10^{-4} \times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ; पतन-काल $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$ , परास $2.8\,\mathrm{m}$ । परास $= 2\sqrt{h(H - h)}$ $h \leftrightarrow H - h$ में सममित है: अतः $1.0\,\mathrm{m}$ गहराई पर (फ़र्श से $2\,\mathrm{m}$ ऊपर) किया छेद उसी बिंदु पर मारता है।

अभ्यास 3.4 ★

$100\,\mathrm{m}^{2}$ की किसी सपाट छत के ऊपर $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की हवा बहती है; छत के नीचे की हवा वायुमंडलीय दाब पर स्थिर है ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )। दाब-अंतर और छत पर कुल बल; छत के भार ( $50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ) से तुलना कीजिए। वह किस ओर धकेली जाती है?

हल

हल — अभ्यास 3.4.

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$ , और बाहर का दाब कम: कुल बल $54\,\mathrm{kN}$ ऊपर की ओर; छत का भार $49\,\mathrm{kN}$ है: अतः वह उठ जाती है। (असली छतें पहले किनारों से टूटती हैं, जहाँ प्रवाह अलग हो जाता है।)

अभ्यास 3.5 ★★

$2.0\,\mathrm{m}$ लंबी कोई बंद आयताकार टंकी, आधी पानी से भरी, किसी ट्रक पर रखी है। (क) $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से त्वरित होने पर: मुक्त सतह का कोण, और पिछली तथा अगली दीवार के बीच पानी की ऊँचाई का अंतर। (ख) तल के दोनों कोनों के बीच दाब-अंतर। (ग) $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ब्रेक लगाने पर — क्या पानी तल से $0.8\,\mathrm{m}$ ऊपर के ढक्कन तक पहुँच जाता है? (घ) वही ट्रक $40\,\mathrm{m}$ त्रिज्या के मोड़ पर $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से: सतह का झुकाव।

हल

हल — अभ्यास 3.5.

(क) $\tan\theta = 3/9.81$ , $\theta = 17{}^{\circ}$ ; $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (पीछे अधिक)। (ख) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$ । (ग) $\tan\theta = 0.61$ , अंतर $1.22\,\mathrm{m}$ : अगला सिरा माध्य $0.40\,\mathrm{m}$ से $0.61\,\mathrm{m}$ ऊपर उठता है: $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$ , अतः वह ढक्कन से टकराता है। (घ) $a = v^2/R = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\theta = 30{}^{\circ}$ , बाहरी ओर ऊँची।

अभ्यास 3.6 ★★

$15\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की कोई बाल्टी, जिसमें $20\,\mathrm{cm}$ गहरा पानी है, अपनी अक्ष के परितः $2.0$ चक्कर प्रति सेकंड घुमाई जाती है। (क) मुक्त सतह का आकार और समीकरण। (ख) नेमि और केंद्र के बीच ऊँचाई का अंतर। (ग) आयतन संरक्षित रहने पर केंद्र और नेमि पर पानी की ऊँचाई। (घ) किस घूर्णन दर पर तल का केंद्र सूख जाता है? (ङ) वही परवलयज उत्तम दूरदर्शी-दर्पण क्यों बनाता है (पारे का घूमता तालाब)?

हल

हल — अभ्यास 3.6.

(क) परवलयज $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$ , $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ । (ख) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$ । (ग) चक्रिका पर परवलयज की माध्य ऊँचाई ठीक बीच में होती है: केंद्र $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$ , नेमि $0.29\,\mathrm{m}$ । (घ) केंद्र तब सूखता है जब $\Omega^2R^2/4g = h_0$ : $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R = 18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ चक्कर प्रति सेकंड। (ङ) परवलयज समांतर किरणों को एक बिंदु पर, $f = g/2\Omega^2$ पर, केंद्रित करता है; और द्रव-दर्पण दूरदर्शी पारा घुमाते हैं।

अभ्यास 3.7 ★★

साइफन। कोई नली टंकी से पानी को मुक्त सतह से $2.0\,\mathrm{m}$ ऊपर के शिखर के ऊपर से ले जाकर उससे $3.0\,\mathrm{m}$ नीचे के निर्गम तक पहुँचाती है। (क) निर्गम चाल और, $2\,\mathrm{cm}$ की नली के लिए, प्रवाह दर। (ख) शिखर पर दाब। (ग) साइफन के चलने के लिए शिखर की अधिकतम ऊँचाई (पानी का वाष्प दाब, $2.3\,\mathrm{kPa}$ , छूना नहीं चाहिए)। (घ) नली में हवा भरी हो तो साइफन क्यों नहीं चलता?

हल

हल — अभ्यास 3.7.

(क) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 = 2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ । (ख) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 = 51\,\mathrm{kPa}$ । (ग) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h_c \le 7.0\,\mathrm{m}$ । (घ) हवा संपीड्य और हलकी है: दाब पहुँचाने के लिए कोई सतत द्रव-स्तंभ नहीं रहता, अतः दोनों ओर का पानी बस टिका रह जाता है।

अभ्यास 3.8 ★★

$1000\,\mathrm{kg}$ का कोई हलका वायुयान समुद्र-तल पर $15\,\mathrm{m}^{2}$ के पंख पर $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से उड़ता है। (क) पंख के दोनों फलकों के बीच माध्य दाब-अंतर; उत्थापन गुणांक। (ख) यदि पंख के नीचे चाल $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ हो, तो पंख के ऊपर वह कितनी है (वही प्रवाह-पूर्व दशा लीजिए)? (ग) $10\,\mathrm{m}$ के विस्तार के लिए कुट्टा–जुकोव्स्की सूत्र से परिच्छेदिका के चारों ओर परिचालन। (घ) यदि $C_L$ $1.4$ से अधिक न हो सके तो स्टॉल चाल।

हल

हल — अभ्यास 3.8.

(क) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$ , $C_L = 0.30$ । (ख) $v_{\text{ऊपर}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$ : $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ग) $F_L' = 981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$ : $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ । (घ) $v = \sqrt{2mg/ \rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 3.9 ★★

धमनी-संकीर्णन। रक्त ( $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ काट की धमनी में वायुमंडलीय दाब से $13\,\mathrm{kPa}$ ऊपर, $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहता है। कोई पट्टिका उसे $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$ तक सँकरा कर देती है। (क) संकीर्णन में चाल और दाब। (ख) धमनी के बाहर के ऊतक लगभग $1\,\mathrm{kPa}$ पर हैं: क्या धमनी बैठ सकती है? (ग) यदि वह और सँकरी हो तो चाल और बढ़ती है: इस भगदड़ को समझाइए और बताइए कि ऐसा संकीर्णन फड़फड़ा क्यों सकता है।

हल

हल — अभ्यास 3.9.

(क) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) = 3.2\,\mathrm{kPa}$ , $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$ । (ख) यह अब भी $1\,\mathrm{kPa}$ से ऊपर है: नहीं। (ग) $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$ पर $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$ : $P_2 \approx 0$ , जो ऊतक के दाब से नीचे है — दीवार बैठ जाती है, प्रवाह रुकता है, दाब लौटता है, वह फिर खुल जाती है: यही फड़फड़ाहट है (जिसे चिकित्सक मर्मर के रूप में सुनता है)।

अभ्यास 3.10 ★★★

स्थगन ताप। स्थायी समएन्ट्रॉपी प्रवाह में किसी आदर्श गैस के लिए धारा-रेखा के अनुदिश $c_PT + v^2/2$ संरक्षित रहता है। (क) दिखाइए कि वायुयान की नोक पर विराम में लाई गई हवा $T_0 = T(1 + \tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$ तक पहुँचती है, जहाँ $M = v/c$ मैक संख्या है और $c = \sqrt{\gamma RT/M_{\text{mol}}}$ ध्वनि की चाल। (ख) $220\,\mathrm{K}$ की हवा में $M = 0.85$ पर उड़ते यात्री-विमान की नोक का ताप; $M = 2$ पर उड़ते किसी पराध्वनिक वायुयान का; और $M = 25$ पर किसी पुनःप्रवेश कैप्सूल का (क्या सूत्र तब भी अर्थपूर्ण है?)। (ग) दिखाइए कि असंपीड्य पीटो सूत्र $M = 0.85$ पर चाल को अधिक आँकता है, और लगभग कितना (यहाँ $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ को $M^2$ में दूसरी कोटि तक फैलाइए)।

हल

हल — अभ्यास 3.10.

(क) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ , जहाँ $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{mol}}$ और $c^2 = \gamma RT/M_{\text{mol}}$ : अतः $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$ । (ख) $M = 0.85$ : $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$ ; $M = 2$ : $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$ ; $M = 25$ : $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — यह निरर्थक है: हवा वियोजित होकर आयनित हो जाती है और $c_P$ अचर नहीं रहता (वास्तविक स्थगन ताप कुछ हज़ार केल्विन होते हैं)। (ग) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$ , और $\gamma PM^2 = \rho v^2$ : अतः $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$ । $v$ को $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ से पढ़ने पर वह $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ अधिक आँका जाता है, $M = 0.85$ पर।

अभ्यास 3.11 ★★★

चालू करने का क्षणिक दौर। $\ell = 50\,\mathrm{m}$ लंबाई और एकसमान काट की कोई नली किसी बड़े जलाशय (निर्गम से $h = 5.0\,\mathrm{m}$ ऊपर शीर्ष) से खुले सिरे पर लगे कपाट तक जाती है। कपाट $t = 0$ पर खोला जाता है। (क) $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$ पाने के लिए नली के अनुदिश ऑयलर समाकलित कीजिए। (ख) उसे हल कीजिए: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ , जहाँ $V = \sqrt{2gh}$ । (ग) अंतिम चाल का $90\%$ पाने में लगा समय। (घ) अब कपाट को पूरे प्रवाह से $0.5\,\mathrm{s}$ में एकाएक बंद किया जाता है: $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ से माध्य मंदन और कपाट पर अधिदाब आँकिए — और बताइए कि वास्तविक बंदी इससे कहीं अधिक क्यों देती है (अगले अध्याय)।

हल

हल — अभ्यास 3.11.

(क) सतह से ( $v \approx 0$ , $P_0$ , ऊँचाई $h$ ) निर्गम तक ( $v$ , $P_0$ , ऊँचाई $0$ ), और $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$ लेकर। (ख) $\dd v/(V^2 - v^2) = \dd t/2\ell$ , $V^2 = 2gh$ : $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$ । (ग) $V = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tanh x = 0.9$ $x = 1.47$ पर: $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$ । (घ) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$ । पानी थोड़ा संपीड्य है: तेज़ बंदी कोई दाब-तरंग छोड़ती है, $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$ ।

अभ्यास 3.12 ★★★

किसी भँवर की मुक्त सतह। पानी अध्याय 2 के बिंदु भँवर की तरह घूमता है, $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ , अघूर्णी, और दूर मुक्त सतह $z = 0$ पर है। (क) बर्नूली किन्हीं दो बिंदुओं के बीच क्यों लगाई जा सकती है? (ख) मुक्त सतह का आकार $z(r)$ । (ग) किसी रैंकिन क्रोड के भीतर ( $r < a$ , $v_\theta = \Omega r$ , घूर्णी) इसके बदले घूमते तंत्र में ऑयलर लीजिए या सीधे: दिखाइए कि $z = z(a) + \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ । (घ) $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ और $a = 5\,\mathrm{mm}$ वाले टब-भँवर के लिए कीप की कुल गहराई; और किसी बवंडर के लिए ( $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $a = 60\,\mathrm{m}$ , हवा में: उत्तर को इसके बदले केंद्र पर दाब-गिरावट के रूप में लिखिए)।

हल

हल — अभ्यास 3.12.

(क) स्थायी, आदर्श, असंपीड्य और अघूर्णी: अतः पूरे प्रवाह के लिए एक ही अचर। (ख) सतह पर $P = P_0$ : $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz = 0$ , अतः $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$ । (ग) त्रिज्यीय ऑयलर: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$ , और ऊर्ध्वाधर में द्रवस्थैतिकी: सतह $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 - a^2)/2g$ का पालन करती है। (घ) टब: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $z(a) = -\Omega^2a^2/ 2g = -4.7\,\mathrm{cm}$ , और क्रोड उतने ही $4.7\,\mathrm{cm}$ और जोड़ता है: कुल $9.3\,\mathrm{cm}$ गहरी। बवंडर: बाहर $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ और भीतर उतना ही: केंद्र पर परिवेश से $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ कम।

दो जलनाल किसी पहाड़ी जलाशय का पानी टरबाइन-गृह तक उतारते हैं: दो सौ मीटर का शीर्ष, जिसे बर्नूली की प्रमेय साठ मीटर प्रति सेकंड की धार में बदल देती है।

3.5 समस्या: बाँध, जलनाल और टरबाइन

समस्या 3.1

सप्ताहांत समस्या — जलाशय से धार तक एक जलविद्युत संयंत्र: दाब, चालें, शक्तियाँ, हानियाँ और जल-आघात

किसी बाँध के पीछे जलाशय में $150\,\mathrm{m}$ गहरा पानी है; उसकी मुक्त सतह किसी टरबाइन की टोंटियों से $H = 200\,\mathrm{m}$ ऊपर है। $D = 3.0\,\mathrm{m}$ व्यास और $\ell = 400\,\mathrm{m}$ लंबाई का एक जलनाल (इस्पात की नली) अभिकल्पित प्रवाह $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ को टरबाइन-गृह तक उतारता है, जहाँ कोई टोंटी उसे वायुमंडलीय दाब $P_0 = 1.0\,\mathrm{bar}$ पर मुक्त धार में बदल देती है, और वह धार किसी पेल्टन चक्र की बाल्टियों पर टकराती है। $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; और जब तक अन्यथा न कहा जाए, तरल आदर्श है।

भाग I — विराम में और अभिकल्पित प्रवाह पर।

बाँध के तल पर दाब, और बाँध की ऊपर से नीचे तक $1\,\mathrm{m}$ चौड़ी किसी ऊर्ध्वाधर पट्टी पर बल।
टरबाइन के कपाट बंद होने पर, टरबाइन-गृह में जलनाल के भीतर दाब।
अभिकल्पित प्रवाह पर जलनाल में चाल; वहाँ गतिक दाब; और जलाशय की सतह से बर्नूली लेकर जलनाल के टरबाइन-गृह वाले सिरे पर (टोंटी से पहले) दाब।
मुक्त धार की चाल; टोंटी की काट और व्यास।
धार द्वारा ले जाई गई गतिज शक्ति; दिखाइए कि वह $\rho gD_VH$ के बराबर है और उसका मान निकालिए।
अभिकल्पित प्रवाह पर जलनाल में समाए पानी का द्रव्यमान और गतिज ऊर्जा; नली में किसी कण का पारगमन-काल।
दिखाइए कि अभिकल्पित प्रवाह पर शीर्ष $H$ जलनाल के तल पर दाब और पानी की गतिज ऊर्जा के बीच बँट जाता है, और टोंटी पहले को दूसरे में बदल देती है: टोंटी के ठीक बाद दाब कितना है?
आदर्श तरल में शीर्ष-हानि नहीं होती, वास्तविक में होती है: किसी नली में हानि $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ है, जहाँ चिकने इस्पात के लिए $\lambda \approx 0.015$ । पानी के मीटरों में शीर्ष-हानि, और शक्ति का खोया हुआ अंश।
कोई अभियंता इस्पात बचाने के लिए $2\,\mathrm{m}$ का जलनाल सुझाता है। प्रश्न 7 फिर से कीजिए; टिप्पणी दीजिए।

भाग II — प्रवाह नापना। जलनाल में $2.0\,\mathrm{m}$ के गले वाला एक वेंचुरी बनाया गया है।

अभिकल्पित प्रवाह पर गले में चाल और नली तथा गले के बीच दाब-गिरावट।
यह गिरावट पारे के दाबमापी पर पढ़ी जाती है ( $\rho_{\text{Hg}} = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): ऊँचाई का अंतर।
दिखाइए कि प्रवाह दर दाबमापी के पाठ के वर्गमूल के समानुपाती है, और अभिकल्पित प्रवाह के आधे पर पाठ दीजिए।
दाब-द्वार दीवार के साथ सटे क्यों होने चाहिए और प्रवाह में बाहर निकले हुए क्यों नहीं?
नली का एक भाग, भूमि-रूप के कारण, जलाशय की सतह से $6\,\mathrm{m}$ ऊपर के शिखर पर से जाता है। अभिकल्पित प्रवाह पर वहाँ दाब; क्या होता है, और अभिकल्पक को क्या करना पड़ेगा?

भाग III — अस्थायी दशाएँ। जलाशय का पृष्ठ-क्षेत्रफल $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$ है।

अभिकल्पित प्रवाह पर जलाशय का तल जिस दर से गिरता है, उसे सेंटीमीटर प्रति घंटे में।
टरबाइन बंद कर दी जाती है और टोंटी (काट प्रश्न 4 वाली) हवा में खुली छोड़ दी जाती है: जलाशय गुरुत्व से खाली होता है। द्रव्यमान-संतुलन लिखिए और तल $h(t)$ निकालिए (अर्ध-स्थायी टोरिचेली प्रवाह)।
तल को $10\,\mathrm{m}$ गिरने में लगा समय; अचर अभिकल्पित प्रवाह पर लगते समय से तुलना कीजिए।
संयंत्र चालू करना: जलनाल भरा है, टोंटी $t = 0$ पर खोली जाती है। जलनाल के अनुदिश चाल एकसमान लेकर और टोंटी की ज्यामिति छोड़कर, नली के अनुदिश ऑयलर समाकलित करके $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ पाइए, उसे हल कीजिए, और समय-नियतांक दीजिए।
इसी चालू होने के दौरान, जिस क्षण $v$ अपने अंतिम मान का आधा है, जलनाल के तल पर दाब कितना है? स्थायी मान से अंतर के चिह्न को समझाइए।

भाग IV — कपाट बंद करना।

टरबाइन का कपाट $\tau = 10\,\mathrm{s}$ में बंद किया जाता है; मानिए कि जलनाल का पानी एकसमान रूप से मंदित होता है। नली के अनुदिश ऑयलर लेकर कपाट पर अधिदाब बार में आँकिए।
तेज़ बंदी के लिए पानी असंपीड्य नहीं रहता: कोई दाब-तरंग नली में $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से ऊपर की ओर चलती है (इस्पात की नली में पानी में ध्वनि की चाल — अध्याय 7), और अधिदाब $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ होता है (जुकोव्स्की)। अभिकल्पित प्रवाह से एकाएक रुकने पर मान; स्थैतिक दाब से तुलना कीजिए। तरंग को जलाशय तक जाकर लौटने में कितना समय लगता है, और इससे “तेज़” के अर्थ के बारे में क्या पता चलता है?
जलनाल की रक्षा के लिए एक उछाल-टंकी — $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ काट का ऊर्ध्वाधर खुला कूपक — वहाँ जोड़ी जाती है जहाँ जलाशय से आती $L = 2000\,\mathrm{m}$ लंबाई और $A = 7.0\,\mathrm{m}^{2}$ काट की क्षैतिज सुरंग जलनाल से मिलती है। एकाएक बंदी के बाद सुरंग का पानी चलता रहता है और कूपक में तल $z$ चढ़ जाता है। सुरंग और कूपक के बीच द्रव्यमान-संरक्षण लिखिए।
सुरंग के अनुदिश ऑयलर (आदर्श तरल) समाकलित करके दिखाइए कि $z$ $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ का पालन करता है; दोलन का आवर्तकाल।
अभिकल्पित प्रवाह से बंदी के बाद कूपक में तल की अधिकतम चढ़ाई (ऊर्जा-तर्क: सुरंग के पानी की गतिज ऊर्जा कूपक में स्थितिज ऊर्जा बन जाती है)।
सार दीजिए: इस संयंत्र में मिले पाँच दाब (बाँध पर स्थैतिक, टरबाइन पर स्थैतिक, नली में गतिक, जल-आघात, उछाल) और वह नियम जो हर एक को देता है।

हल

हल — समस्या 3.1.

1. वायुमंडलीय से ऊपर $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ ; और $\tfrac12\rho gH_d^2 \times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ ।

2. $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ प्रमापी, $20.6\,\mathrm{bar}$ निरपेक्ष।

3. $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ निरपेक्ष।

4. $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$ , $d = 1.1\,\mathrm{m}$ ।

5. $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$ ।

6. $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ , $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$ ; पारगमन $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$ ।

7. $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$ : अर्थात् $19.3\,\mathrm{bar}$ दाब का और $0.36\,\mathrm{bar}$ गतिज ऊर्जा का; टोंटी में दाब गिरकर $P_0$ हो जाता है जबकि $\tfrac12\rho v^2$ चढ़कर $\rho gH$ : अतः उसके ठीक बाद $P = P_0$ ।

8. $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$ , अर्थात् शक्ति का $3.7\%$ ।

9. $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$ , $\Delta h = 0.015 \times 200 \times 18.6 = 56\,\mathrm{m}$ : $28\%$ की हानि — इस्पात की बचत हर सेकंड ऊर्जा में चुकानी पड़ती है।

10. $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) = 146\,\mathrm{kPa}$ ।

11. $\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} - \rho)g\,\Delta h$ : $\Delta h = 146000/(12600 \times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$ ।

12. $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$ : अतः $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$ ; आधे प्रवाह पर चौथाई, अर्थात् $0.30\,\mathrm{m}$ ।

13. बाहर निकला हुआ द्वार प्रवाह के सामने पड़ता है या उसे बिगाड़ता है और गतिक दाब का कुछ अंश पढ़ लेता है (एक पीटो की तरह), स्थैतिक दाब नहीं।

14. $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$ : अर्थात् वाष्प दाब के पास, जहाँ घुली हवा बाहर आ जाती है और पानी उबल सकता है (गुहिकायन), जिससे स्तंभ टूट जाता है। शिखर नीचा कीजिए, या वायु-कपाट और निर्वात-पंप लगाइए, या प्रवाह घटाइए।

15. $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$ ।

16. $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$ ।

17. $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times 0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 3.9\,\mathrm{d}$ ; और अचर अभिकल्पित प्रवाह पर $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : लगभग वही, क्योंकि टोंटी $h \approx H$ पर टोरिचेली के प्रवाह के लिए ही नापी गई थी।

18. $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ : $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ , $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , समय-नियतांक $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$ ।

19. $v = V/2$ पर: $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7 = 1.0\,\mathrm{bar}$ : अर्थात् शीर्ष का अधिकांश स्तंभ को त्वरित करने में लगा है, इसलिए तल पर दाब अपने स्थायी मान से कहीं नीचे है।

20. $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 = 3.4\,\mathrm{bar}$ ।

21. $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$ , अर्थात् स्थैतिक दाब का छह गुना। तरंग की आवाजाही $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$ लेती है: इससे तेज़ बंदी “एकाएक” है और उसे पूरा जुकोव्स्की अधिदाब मिलता है; धीमी बंदियों को कम।

22. $Av = A_s\,\dd z/\dd t$ ।

23. सुरंग के अनुदिश ऑयलर, जलाशय से (दाब $P_0 + \rho g\times$ गहराई) कूपक के पाद तक (दाब $P_0 + \rho g (\text{गहराई} + z)$ ): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$ ; और $v = (A_s/A)\dot z$ लेकर: $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$ ; अतः $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA} = 2\pi\sqrt{2000 \times 100/ 68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$ ।

24. $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ , जहाँ $v = 60/7 = 8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$ ।

25. बाँध: द्रवस्थैतिकी, $\rho gh$ । टरबाइन, कपाट बंद: वही, $\rho gH$ । चलता जलनाल: बर्नूली, और स्थैतिक शीर्ष से लिया गया $\tfrac12\rho v^2$ । जल-आघात: संपीड्यता, $\rho c\Delta v$ । उछाल: सुरंग के अनुदिश अस्थायी ऑयलर, और $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$ आवर्तकाल का दोलन।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

आदर्श तरल

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