विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

21बहु-तरंग व्यतिकरण और जालक

किसी दीपक के नीचे कोई संहत चक्रिका तिरछी कीजिए और वह कोई इंद्रधनुष फेंक देती है: उसका गड्ढों का सर्पिल, जिनके बीच डेढ़ माइक्रोमीटर है, कोई जालक है — हज़ारों नन्ही परावर्ती पट्टियाँ, हर एक तरंग की कोई प्रति लौटाती हुई, और सब व्यतिकरण करती हुईं। दो तरंगें पिछले अध्यायों की कोमल $\cos^2$ फ्रिंजें देती हैं; हज़ार तरंगें हज़ार गुना सँकरी फ्रिंजें देती हैं, इतनी तीखी कि दो ऐसे तरंगदैर्घ्य अलग कर दें जो लाख में एक भाग से भिन्न हों। यही वह यंत्र है जिससे सूर्य की संरचना और मंदाकिनियों की चाल पढ़ी गई, और जो हर वर्णक्रममापी में बैठा है। यह अध्याय $N$ तरंगें जोड़ता है, जालक का समीकरण, उसका परिक्षेपण और उसकी विभेदन-शक्ति निकालता है, और उस दूसरे बहु-तरंग यंत्र से मिलाता है, फ़ाब्री–पेरो कोटर, जो लेज़र का अनुनादक बनेगा।

धूप में कोई संहत चक्रिका: उसका गड्ढों का सर्पिल, जिनके बीच 1.6\, µ m है, कोई परावर्तन जालक है, और हर कोटि श्वेत प्रकाश को किसी वर्णक्रम में फैला देती है। — धूप में कोई संहत चक्रिका: उसका गड्ढों का सर्पिल, जिनके बीच $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ है, कोई परावर्तन जालक है, और हर कोटि श्वेत प्रकाश को किसी वर्णक्रम में फैला देती है।

21.1 $N$ तरंगों का व्यतिकरण

प्रमेय 21.1 (समांतर कला-श्रेढ़ी में $N$ बराबर तरंगें)

$N$ संसक्त तरंगें, जिनका आयाम $a$ बराबर है और जिनमें हर एक पिछली से कला $\varphi$ पीछे है, आयाम $A(\varphi)$ और इस तीव्रता वाली किसी तरंग में अध्यारोपित होती हैं

A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :

अर्थात् तीव्रता $N^2I_0$ के मुख्य अधिकतम वहाँ जहाँ $\varphi = 2\pi p$ (सारी तरंगें एक ही कला में), जिनकी कोणीय अर्ध-चौड़ाई $2\pi/N$ है, $\varphi$ में (पहले शून्य $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$ पर हैं), और जिनके बीच $N - 2$ गौण अधिकतम हैं, जो मुख्य वालों के लगभग $4.5\%$ से ऊँचे नहीं होते, बड़े $N$ के लिए। जितनी अधिक तरंगें, उतनी ही तीखी और चमकीली चोटियाँ: चौड़ाई $1/N$ की तरह सिकुड़ती है, ऊँचाई $N^2$ की तरह बढ़ती है, और ऊर्जा (उनका गुणनफल) $N$ की तरह।

उपपत्ति. सम्मिश्र आयाम $a\eu^{\iu k\varphi}$ , $k = 0, \dots, N - 1$ : यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है,

a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2) /\sin(\varphi/2) .

शून्य वहाँ जहाँ $\sin(N\varphi/2) = 0$ पर $\sin(\varphi/2) \ne 0$ : $\varphi = 2\pi m/N$ , $m$ $N$ का गुणज नहीं। कला-सदिश चित्र में $N$ तीर शून्यों पर किसी सम बहुभुज में बंद हो जाते हैं और मुख्य अधिकतम पर एक पंक्ति में आ जाते हैं। ∎

बाएँ: पाँच बराबर तरंगों का कला-सदिश योग — कोई सम पंखा जिसकी जीवा परिणामी है; वह = 2π/5 पर किसी पंचभुज में बंद हो जाता है और लुप्त हो जाता है। दाएँ: 2, 5 और 12 तरंगों की तीव्रता, अपनी चोटी पर सामान्यित: मुख्य अधिकतम 1/N की तरह तीखे होते जाते हैं। — बाएँ: पाँच बराबर तरंगों का कला-सदिश योग — कोई सम पंखा जिसकी जीवा परिणामी है; वह $\varphi = 2\pi/5$ पर किसी पंचभुज में बंद हो जाता है और लुप्त हो जाता है। दाएँ: $2$ , $5$ और $12$ तरंगों की तीव्रता, अपनी चोटी पर सामान्यित: मुख्य अधिकतम $1/N$ की तरह तीखे होते जाते हैं।

21.2 विवर्तन जालक

प्रतिज्ञप्ति 21.2 (जालक का समीकरण)

कोई जालक $N$ एक-सी, बराबर दूरी वाली, समांतर झिर्रियों (या खाँचों) का कोई समुच्चय है, जिनका आवर्त $a$ है। अभिलंब से कोण $\theta_0$ पर आपाती कोई समतल तरंग हर झिर्री से फिर उत्सर्जित होती है; दिशा $\theta$ में पड़ोसी झिर्रियों की तरंगों का पथांतर $\delta = a(\sin\theta - \sin\theta_0)$ है, और वे इन दिशाओं में पुष्ट होती हैं

a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots

— अर्थात् जालक की कोटियाँ। शून्य कोटि हर तरंगदैर्घ्य के लिए बिना मुड़ी पुंज है; और हर दूसरी कोटि तरंगदैर्घ्यों को फैला देती है, कोणीय परिक्षेपण के साथ

\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,

जो किसी महीन जालक और किसी ऊँची कोटि के लिए बड़ा है; और अधिकतम कोटि $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$ है। कोई परावर्तन जालक (किसी दर्पण पर खींचे खाँचे) परावर्तित कोणों के साथ वही समीकरण मानता है।

उपपत्ति. क्रमिक झिर्रियों के बीच कला $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$ है; और प्रमेय 21.1 के मुख्य अधिकतम $\delta = p\lambda$ पर हैं। $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ का अवकलन कीजिए, $p$ , $\theta_0$ स्थिर रखकर। ∎

बाएँ: जालक — अभिलंब आपतन में पड़ोसी झिर्रियाँ पथांतर a के साथ फिर उत्सर्जित करती हैं। दाएँ: किसी पर्दे पर श्वेत शून्य कोटि और कोटियों ±1, ±2 के वर्णक्रम, जिनमें बैंगनी केंद्र के सबसे पास है, और जो p बढ़ने पर चौड़े (और अंततः एक-दूसरे पर चढ़ते) जाते हैं। — बाएँ: जालक — अभिलंब आपतन में पड़ोसी झिर्रियाँ पथांतर $a\sin\theta$ के साथ फिर उत्सर्जित करती हैं। दाएँ: किसी पर्दे पर श्वेत शून्य कोटि और कोटियों $\pm1$ , $\pm2$ के वर्णक्रम, जिनमें बैंगनी केंद्र के सबसे पास है, और जो $p$ बढ़ने पर चौड़े (और अंततः एक-दूसरे पर चढ़ते) जाते हैं।

उदाहरण 21.3 (कक्षा का कोई जालक और कोई सीडी)

अभिलंब आपतन पर प्रति मिलीमीटर $600$ रेखाओं ( $a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) का कोई जालक $500\,\mathrm{nm}$ के प्रकाश को पहली कोटि में $\sin\theta = 0.3$ , $\theta = 17.5{}^{\circ}$ पर भेजता है, दूसरी में $36.9{}^{\circ}$ पर, और उसकी कोई तीसरी कोटि नहीं है ( $3 \times 0.3 > 1$ ); उसका पहली-कोटि वर्णक्रम $13.9{}^{\circ}$ ( $400\,\mathrm{nm}$ ) से $24.8{}^{\circ}$ ( $700\,\mathrm{nm}$ ) तक चलता है। कोई संहत चक्रिका, $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , परावर्तन में ऐसा ही कोई जालक है — इसीलिए इंद्रधनुष, और इसीलिए कोई DVD ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) उसे और चौड़ा फैलाती है। दूसरी कोटि का लाल ( $\sin\theta = 0.84$ पर $700\,\mathrm{nm}$ ) तीसरी कोटि के बैंगनी पर चढ़ जाता है: पहली के परे कोटियाँ चढ़ जाती हैं, और यह झंझट छन्नों या किसी प्रिज़्म से दूर होती है।

21.3 विभेदन-शक्ति

प्रतिज्ञप्ति 21.4 (किसी जालक की विभेदन-शक्ति)

पास-पास के दो तरंगदैर्घ्य $\lambda$ और $\lambda + \Delta\lambda$ कोटि $p$ में ठीक तभी सुलझते हैं जब एक का मुख्य अधिकतम दूसरे के पहले शून्य पर पड़े (रैले की कसौटी), और यह तब होता है जब

\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :

अर्थात् विभेदन-शक्ति कोटि गुणा जगमगाई रेखाओं की संख्या है। उसे $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ भी लिखा जा सकता है, जहाँ $W = Na$ जालक की चौड़ाई है: अर्थात् जालक भर का सबसे बड़ा पथांतर, तरंगदैर्घ्यों में — और इसीलिए बड़े वर्णक्रमलेखी दसियों सेंटीमीटर चौड़े जालक लेते हैं और सर्पण कोणों पर काम करते हैं।

उपपत्ति. कोटि $p$ का अधिकतम, $\lambda + \Delta\lambda$ के लिए, उस तरंगदैर्घ्य के लिए $\varphi = 2\pi p$ पर है, अर्थात् $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$ पर; और $\lambda$ के लिए उस अधिकतम का पहला शून्य $\delta = p\lambda + \lambda/N$ पर है। बराबर रखने पर: $p\Delta\lambda = \lambda/N$ । तब $pN = Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ । ∎

उदाहरण 21.5 (सोडियम रेखाओं को अलग करना)

युग्मक, $589\,\mathrm{nm}$ पर $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ , को $R = 1000$ चाहिए: अर्थात् पहली कोटि में हज़ार रेखाएँ, यानी $600$ रेखा प्रति मिलीमीटर वाले किसी जालक का $2\,\mathrm{mm}$ । उसकी अपनी रेखा-चौड़ाई, $0.02\,\mathrm{nm}$ , को $R = 30\,000$ चाहिए: अर्थात् पहली कोटि में $5\,\mathrm{cm}$ का कोई जालक, या दूसरी में $2.5\,\mathrm{cm}$ — और $1200$ रेखा प्रति मिलीमीटर वाला $10\,\mathrm{cm}$ का कोई जालक दूसरी कोटि में $240\,000$ तक पहुँचता है, और $0.0025\,\mathrm{nm}$ सुलझा देता है: अर्थात् परमाणुओं की तापीय गति से चौड़ी हुई किसी रेखा की चौड़ाई, और $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से चलते किसी तारे का डॉप्लर खिसकाव।

रैले की कसौटी: एक तरंगदैर्घ्य की चोटी दूसरे के पहले शून्य पर; और योग (बिंदुदार) दो सुलझी रेखाओं के बीच लगभग 20\% का कोई गड्ढा दिखाता है। — रैले की कसौटी: एक तरंगदैर्घ्य की चोटी दूसरे के पहले शून्य पर; और योग (बिंदुदार) दो सुलझी रेखाओं के बीच लगभग $20\%$ का कोई गड्ढा दिखाता है।

21.4 फ़ाब्री–पेरो कोटर

प्रतिज्ञप्ति 21.6 (आयाम-विभाजन से बहु-तरंग व्यतिकरण)

दो समांतर आंशिक परावर्ती दर्पण (तीव्रता-परावर्तकता $R$ ), जो $L$ दूरी पर हैं, अभिलंब आपतन में किसी तरंग को केवल उतना ही पार जाने देते हैं जितना उनके बीच $0, 1, 2, \dots$ बार उछल चुकी तरंगें एक ही कला में जुड़ें: चक्कर-कला $\varphi = 4\pi L/\lambda$ के साथ पारगत तीव्रता है (एरी का फलन)

\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :

अर्थात् $2L = p\lambda$ पर पूरे पारगमन की तीखी चोटियाँ (कोटर के अनुनाद, जिनकी आवृत्ति में दूरी मुक्त वर्णक्रमी परास $c/2L$ है), जिनकी सापेक्ष चौड़ाई $1/\mathcal F$ है, जहाँ सूक्ष्मता $\mathcal F = \pi \sqrt R/(1 - R)$ — $30$ , $R = 0.9$ के लिए; $300$ , $R = 0.99$ के लिए। वह विभेदन-शक्ति में जालक की बराबरी है ( $p\mathcal F$ , जहाँ $p = 2L/\lambda \sim 10^5$ , अतः $R \sim 10^7$ ) और, अपने ऊपर बंद कर देने पर, लेज़र का अनुनादक (अध्याय 23)।

उपपत्ति. हर चक्कर आयाम को $R\eu^{\iu\varphi}$ से गुणा कर देता है (किसी अचर कला तक); और पारगत आयाम $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k = t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ है, जहाँ $t^2 = 1 - R$ ; उसका वर्ग-मापांक $(1 - R)^2/ (1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$ है। चोटियाँ $\varphi = 2\pi p$ पर; और अर्ध-अधिकतम वहाँ जहाँ $F\sin^2(\varphi/2) = 1$ , अर्थात् $\Delta\varphi \approx 4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$ , चोटियों के बीच के $2\pi$ के सामने। ∎

किसी फ़ाब्री–पेरो कोटर का एरी पारगमन: अनुनादों 2L = p पर पूरा पारगमन, और दर्पणों की परावर्तकता बढ़ने पर सिकुड़ती चोटियाँ। — किसी फ़ाब्री–पेरो कोटर का एरी पारगमन: अनुनादों $2L = p\lambda$ पर पूरा पारगमन, और दर्पणों की परावर्तकता बढ़ने पर सिकुड़ती चोटियाँ।

विधि 21.7 (जालक की गणनाएँ)

(1) आवर्त $a = 1/(\text{प्रति मिमी रेखाएँ})$ ; और कोणों के चिह्नों के साथ जालक का समीकरण। (2) जो कोटियाँ होती हैं उन्हें सूचीबद्ध कीजिए ( $|\sin\theta| \le 1$ ) और उनका चढ़ाव जाँचिए ( $p\lambda_{\max}$ के सामने $(p + 1)\lambda_{\min}$ )। (3) परिक्षेपण $p/a\cos\theta$ , जिसे फ़ोकस दूरी के साथ संसूचक पर किसी जगह में बदल लीजिए: $\dd x = f\,\dd\theta$ । (4) विभेदन-शक्ति $pN$ , जहाँ $N$ असल में जगमगाई रेखाएँ हैं; और सुलझाई जाने वाली संरचना से $\lambda/R$ की तुलना कीजिए। (5) असली यंत्रों के लिए प्रवेश-झिर्री की चौड़ाई (जो रेखाओं को धुँधला करती है) और संसूचक के पिक्सल भी जोड़िए।

21.5 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

अभिलंब आपतन पर प्रति मिलीमीटर $500$ रेखाओं का कोई जालक, $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : कोटियों के कोण; सबसे ऊँची कोटि; पहली-कोटि दृश्य वर्णक्रम ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ) की कोणीय चौड़ाई; और वही जालक $30{}^{\circ}$ आपतन पर: हर ओर कोटियाँ।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\sin\theta_p = 0.275p$ : $16.0{}^{\circ}$ , $33.4{}^{\circ}$ , $55.6{}^{\circ}$ ; कोई चौथी कोटि नहीं। पहली कोटि का दृश्य $11.5{}^{\circ}$ से $20.5{}^{\circ}$ तक: $9{}^{\circ}$ । $30{}^{\circ}$ पर: $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$ : एक ओर $p = +1$ ( $51{}^{\circ}$ ), दूसरी ओर $p = -1$ से $-5$ ( $13^\circ$ , $-3^\circ$ , $-19^\circ$ , $-37^\circ$ , $-61^\circ$ ) तक।

अभ्यास 21.2 ★

प्रति मिलीमीटर $600$ रेखाओं वाले किसी जालक और $f = 50\,\mathrm{cm}$ के किसी लेंस के साथ सोडियम युग्मक: पहली और दूसरी कोटियों में संसूचक पर दोनों रेखाओं की कोणीय तथा रैखिक दूरी; और उन्हें अलग देखने के लिए ज़रूरी पिक्सल-आकार।

हल

हल — अभ्यास 21.2.

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$ । कोटि 1: $\theta = 20.7{}^{\circ}$ , $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta = 3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ , $0.19\,\mathrm{mm}$ ; कोटि 2: $\theta = 45{}^{\circ}$ , $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ , $0.51\,\mathrm{mm}$ । पिक्सल $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ या उससे कम।

अभ्यास 21.3 ★

प्रति मिलीमीटर $600$ रेखाओं वाले $2\,\mathrm{cm}$ के किसी जालक की कोटियों $1$ , $2$ , $3$ में विभेदन-शक्ति; $550\,\mathrm{nm}$ पर सुलझा गया सबसे छोटा $\Delta\lambda$ ; क्या वह सोडियम युग्मक अलग करता है? और हाइड्रोजन की H $\alpha$ रेखा को उसकी ड्यूटीरियम जुड़वाँ से ( $0.18\,\mathrm{nm}$ की दूरी पर)?

हल

हल — अभ्यास 21.3.

$N = 12\,000$ : $R = 12\,000$ , $24\,000$ , $36\,000$ ; $\Delta\lambda = 0.046$ , $0.023$ , $0.015\,\mathrm{nm}$ ; युग्मक ( $0.6\,\mathrm{nm}$ ) और H/D जोड़ी ( $0.18\,\mathrm{nm}$ , जिसे $R = 3600$ चाहिए) आसानी से अलग हो जाते हैं।

अभ्यास 21.4 ★

अभिलंब आपतन पर जगमगाई कोई संहत चक्रिका ( $a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) और कोई DVD ( $a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): पहली कोटि के बैंगनी और लाल के कोण; हर एक के लिए कौन-सी कोटियाँ होती हैं; और सीडी दो इंद्रधनुष तथा DVD एक क्यों दिखाती है?

हल

हल — अभ्यास 21.4.

सीडी: बैंगनी $14.5{}^{\circ}$ , लाल $25.9{}^{\circ}$ ; लाल कोटि 2 तक है, बैंगनी कोटि 4 तक: अर्थात् दो (कुछ चढ़ते हुए) इंद्रधनुष। DVD: बैंगनी $32.7{}^{\circ}$ , लाल $71{}^{\circ}$ ; लाल की केवल पहली कोटि है: एक इंद्रधनुष, चौड़ा।

अभ्यास 21.5 ★★

$N$ -झिर्री आकृति। (क) दिखाइए कि दो मुख्य अधिकतमों के बीच $N - 1$ शून्य और $N - 2$ गौण अधिकतम होते हैं। (ख) बड़े $N$ के लिए, पहले गौण अधिकतम की तीव्रता मुख्य वाले के सापेक्ष ( $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$ पर): लगभग $1/22$ । (ग) $N = 3$ और $N = 6$ के लिए आकृति खींचिए और $N = 3$ के लिए गौण अधिकतमों की ऊँचाइयाँ दीजिए। (घ) बड़े $N$ के लिए कुल ऊर्जा का वह अंश जो मुख्य अधिकतमों में है (चोटी के समाकलों की, जिनकी चौड़ाई $\propto 1/N$ और ऊँचाई $\propto N^2$ है, बाक़ी से तुलना कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 21.5.

(क) शून्य $\varphi = 2\pi m/N$ पर, $m = 1, \dots, N - 1$ : अर्थात् $N - 1$ शून्य, और उनके बीच $N - 2$ अधिकतम। (ख) $N\varphi/2 = 3\pi/2$ पर, $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$ : अर्थात् $4/9\pi^2 = 0.045$ गुना $N^2I_0$ । (ग) $N = 3$ : $\varphi = \pi$ पर ऊँचाई $I_0$ का कोई अकेला गौण अधिकतम, यानी मुख्य $9I_0$ का नवाँ भाग; $N = 6$ : कुछ प्रतिशत के चार गौण अधिकतम। (घ) $\sin^2x/x^2$ का केंद्रीय लोब ऊर्जा का $90\%$ रखता है।

अभ्यास 21.6 ★★

चढ़ती कोटियाँ। (क) दिखाइए कि कोटि $p$ , $\lambda_{\max}$ की, कोटि $p + 1$ पर, $\lambda_{\min}$ की, तब चढ़ती है जब $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$ ; और $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ के लिए किस कोटि से? (ख) कोटि $p$ में मुक्त वर्णक्रमी परास: $\Delta\lambda_{\text{FSR}} = \lambda/p$ । (ग) कोई वर्णक्रमलेखी $500\,\mathrm{nm}$ के पास कोटि $20$ में काम करता है (कोई एशेल जालक): मुक्त वर्णक्रमी परास; और चढ़ाव कैसे हटाया जाता है (प्रति-परिक्षेपक)? (घ) फ़ाब्री–पेरो का मुक्त वर्णक्रमी परास $c/2L$ है: उसे तरंगदैर्घ्य में लिखिए और जालक वाले से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.6.

(क) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$ : अर्थात् $p = 2$ से। (ख) $\lambda/p$ । (ग) $25\,\mathrm{nm}$ ; और जालक के साथ आड़ा रखा कोई प्रिज़्म कोटियों को एक के ऊपर एक चुन देता है। (घ) $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$ , अर्थात् किसी नैनोमीटर का अंश — किसी जालक वाले से सैकड़ों गुना छोटा।

अभ्यास 21.7 ★★

ब्लेज़ किया जालक। किसी परावर्तन जालक के खाँचे ब्लेज़ कोण $\beta$ से झुके हैं ताकि हर फलक दर्पणवत् उस दिशा में परावर्तित करे जहाँ कोटि $p$ चाहिए। (क) लिट्रो व्यवस्था ( $\theta = \theta_0 = \beta$ ) के लिए: दिखाइए $2a\sin\beta = p\lambda$ ; और प्रति मिलीमीटर $1200$ रेखाओं के साथ पहली कोटि की $500\,\mathrm{nm}$ के लिए ब्लेज़ कोण। (ख) ब्लेज़ अधिकांश प्रकाश एक ही कोटि में क्यों भेज देता है (किसी अकेले फलक के विवर्तन के आवरण के बारे में सोचिए, अध्याय 22)? (ग) वही जालक $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ के लिए ब्लेज़ किया गया है: $500\,\mathrm{nm}$ पर वह किस कोटि में दक्ष है? (घ) $\beta = 64{}^{\circ}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ पर लिट्रो में $10\,\mathrm{cm}$ के किसी जालक की विभेदन-शक्ति ( $R = 2W\sin\beta/\lambda$ लीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 21.7.

(क) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$ , $\beta = 17.5{}^{\circ}$ । (ख) अकेला फलक अपनी दर्पणवत् दिशा पर केंद्रित किसी चौड़े लोब में विवर्तित करता है; और जो कोटियाँ उसके भीतर पड़ती हैं उन्हें प्रकाश मिलता है। (ग) कोटि 2 (उसी कोण पर $2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ )। (घ) $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$ ।

अभ्यास 21.8 ★★

झिर्री। किसी वर्णक्रममापी की चौड़ाई $s$ की प्रवेश-झिर्री का प्रतिबिंब संसूचक पर आवर्धन $1$ से बनता है; और जालक (प्रति मिलीमीटर $600$ रेखाएँ, $5\,\mathrm{cm}$ , कोटि $1$ , $f = 50\,\mathrm{cm}$ ) परिक्षेपित करता है। (क) $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ के लिए अकेली झिर्री से संसूचक पर किसी रेखा की चौड़ाई, nm में। (ख) जालक की विभेदन-शक्ति से चौड़ाई। (ग) कौन हावी है; और वह झिर्री-चौड़ाई जिस पर दोनों बराबर हों। (घ) झिर्री और सँकरी क्यों न की जाए?

हल

हल — अभ्यास 21.8.

(क) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ : $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ $0.16\,\mathrm{nm}$ है। (ख) $R = 30\,000$ : $0.018\,\mathrm{nm}$ । (ग) झिर्री, नौ गुना से; और बराबर $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर। (घ) झिर्री पर विवर्तन और कोई भूखा संसूचक।

अभ्यास 21.9 ★★

फ़ाब्री–पेरो। दर्पण $R = 0.95$ , $L = 5\,\mathrm{mm}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ । (क) कोटि $p$ , और आवृत्ति तथा तरंगदैर्घ्य में मुक्त वर्णक्रमी परास। (ख) सूक्ष्मता; और आवृत्ति तथा तरंगदैर्घ्य में किसी पारगमन-चोटी की चौड़ाई। (ग) विभेदन-शक्ति $p\mathcal F$ ; $10\,\mathrm{cm}$ के जालक से तुलना कीजिए। (घ) कोई फ़ाब्री–पेरो सदा किसी पूर्व-छन्ने या किसी जालक के साथ क्यों काम में लिया जाता है?

हल

हल — अभ्यास 21.9.

(क) $p = 2L/\lambda = 16\,700$ ; मुक्त वर्णक्रमी परास $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$ , $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$ । और (ख) $\mathcal F = \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$ ; $0.5\,\mathrm{GHz}$ , $0.6\,\mathrm{pm}$ । (ग) $p\mathcal F = 10^6$ , अर्थात् $10\,\mathrm{cm}$ के जालक का चार गुना। (घ) उसका मुक्त वर्णक्रमी परास किसी नैनोमीटर का अंश है: अतः कोटियाँ चढ़ जाती हैं जब तक प्रकाश उनमें से किसी एक तक पूर्व-छाना न जाए।

अभ्यास 21.10 ★★★

किसी जालक की सीमा। (क) दिखाइए कि $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0) /\lambda \le 2W/\lambda$ : अर्थात् विभेदन-शक्ति तरंगदैर्घ्यों में जालक की चौड़ाई के, गुणा दो, परे नहीं जा सकती। (ख) व्याख्या कीजिए: चरम किरणों के बीच सबसे बड़ा पथांतर। (ग) $500\,\mathrm{nm}$ पर $30\,\mathrm{cm}$ का कोई जालक: परम $R$ ; और डॉप्लर खिसकाव से सुलझाई जा सकने वाली सबसे छोटी चाल ( $\Delta\lambda/\lambda = v/c$ )। (घ) फिर भी खगोलविद $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तक कैसे पहुँच जाते हैं (किसी रेखा की जगह उसकी चौड़ाई के अंश तक नापने के बारे में सोचिए, और बहुत सारी रेखाओं के बारे में)?

हल

हल — अभ्यास 21.10.

(क) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$ । (ख) चरम किरणों के पथ में $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$ का अंतर है, अधिक-से-अधिक $2W$ । (ग) $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$ ; $c/R = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (घ) किसी रेखा का केंद्र उसकी चौड़ाई के सौवें भाग तक जान लिया जाता है, और हज़ार रेखाएँ $\sqrt{1000}$ से माध्य घटा देती हैं: अर्थात् मीटर प्रति सेकंड, वीरतापूर्ण स्थिरता के साथ।

अभ्यास 21.11 ★★★

ब्रैग। कोई क्रिस्टल कोई त्रिविम जालक है: $d$ दूरी पर क्रमिक परमाणविक तलों से परावर्तित X-किरणें, सर्पण कोण $\theta$ पर, तब संपोषी व्यतिकरण करती हैं जब $2d\sin\theta = p\lambda$ हो (ब्रैग)। (क) उसे दो तलों के बीच के पथांतर से निकालिए। (ख) ताँबे का K $\alpha$ विकिरण ( $0.154\,\mathrm{nm}$ ) सेंधा नमक ( $d = 0.282\,\mathrm{nm}$ ) पर: ब्रैग कोण। (ग) दृश्य तरंगदैर्घ्य क्रिस्टलों से कोई ब्रैग परावर्तन क्यों नहीं देते, और उलटा (काँच से कोई X-किरण विवर्तन नहीं) काँच के बारे में क्या बताता है? (घ) $\lambda < 2d$ क्यों होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 21.11.

(क) निचले तल से परावर्तित तरंग $2d\sin\theta$ अधिक चलती है। (ख) $\sin\theta = 0.273p$ : $15.8{}^{\circ}$ , $33.1{}^{\circ}$ , $55.0{}^{\circ}$ । (ग) $\lambda \gg 2d$ : कोई कोण समीकरण नहीं मानता; और काँच के कोई नियमित तल नहीं हैं, अतः केवल विसरित वलय — वह अक्रिस्टली है। (घ) $\sin\theta \le 1$ ।

अभ्यास 21.12 ★★★

कला-पंक्ति। किसी रेखा में $N$ एक-से ऐंटेना, दूरी $a$ , एक ही आयाम और पड़ोसियों के बीच कला-क़दम $\psi$ से खिलाए गए। (क) दिखाइए कि दिशा $\theta$ में विकिरित क्षेत्र उस $N$ -तरंग योग का है जिसमें $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$ : मुख्य पुंज वहाँ ताकती है जहाँ $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$ । (ख) मुख्य पुंज की अर्ध-चौड़ाई, $\Delta\theta \approx \lambda/Na\cos\theta$ । (ग) मोड़ते समय कोई दूसरी मुख्य पुंज (कोई जालक-लोब) न आए, इसके लिए $a \le \lambda/2$ क्यों होना चाहिए? (घ) $64$ अवयवों वाला कोई रडार, $\lambda/2$ पर, $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : पुंज की चौड़ाई; और यदि कलाएँ $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ में बदलें तो एक पुंज-चौड़ाई के क़दमों में $90^\circ$ चाँपने का समय।

हल

हल — अभ्यास 21.12.

(क) पड़ोसियों की कला पथ से $2\pi a\sin\theta/\lambda$ और निवेश से $-\psi$ भिन्न है; और मुख्य अधिकतम $\varphi = 0$ पर। (ख) पहला शून्य $\Delta\varphi = 2\pi/N$ पर: $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$ । (ग) $\varphi = \pm2\pi$ पर कोई दूसरा मुख्य अधिकतम $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$ माँगता है: और यह हर मोड़ने वाले कोण के लिए तभी असंभव है जब $a \le \lambda/2$ हो। (घ) $Na = 0.96\,\mathrm{m}$ : $1.8{}^{\circ}$ ; $50$ क़दम, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ ।

21.6 समस्या: किसी तारे के लिए कोई वर्णक्रमलेखी

समस्या 21.1

सप्ताहांत समस्या — वह वर्णक्रमलेखी गढ़ना जो किसी तारे का प्रकाश पढ़े: जालक, संसूचक, हाइड्रोजन की रेखाएँ, और किसी ग्रह का डगमगाना

कोई वर्णक्रमलेखी: प्रवेश-झिर्री, फ़ोकस दूरी $f_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ का संरेखक, प्रति मिलीमीटर $1200$ रेखाओं और चौड़ाई $W = 12\,\mathrm{cm}$ का कोई परावर्तन जालक, $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$ का कोई कैमरा, और $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पिक्सलों वाला कोई संसूचक। वह पहली कोटि में, $550\,\mathrm{nm}$ के आसपास, जालक को $20{}^{\circ}$ आपतन पर रखकर काम करता है।

भाग I — जालक।

जालक का आवर्त; और यदि पुंज पूरी चौड़ाई ढके तो जगमगाई रेखाओं की संख्या।
पहली कोटि में $550\,\mathrm{nm}$ का विवर्तन कोण; और $400\,\mathrm{nm}$ तथा $700\,\mathrm{nm}$ का; और दृश्य वर्णक्रम की कोणीय चौड़ाई।
$550\,\mathrm{nm}$ पर कोणीय परिक्षेपण; और संसूचक पर रैखिक परिक्षेपण nm प्रति mm तथा nm प्रति पिक्सल में।
विभेदन-शक्ति; $550\,\mathrm{nm}$ पर सुलझाया गया सबसे छोटा $\Delta\lambda$ ; और पिक्सलों में।
क्या दूसरी कोटि का बैंगनी पहली कोटि के दृश्य पर पड़ता है? उसे कौन-सा छन्ना हटाता है?
पहली कोटि में पूरे दृश्य वर्णक्रम के लिए ज़रूरी संसूचक की लंबाई।
जालक $17{}^{\circ}$ पर ब्लेज़ किया गया है: इस आपतन पर पहली कोटि में वह किस तरंगदैर्घ्य के लिए सबसे दक्ष है (लिट्रो आकलन $2a\sin\beta = \lambda$ लीजिए)?
जालक ब्लेज़ तरंगदैर्घ्य पर $80\%$ प्रकाश लौटाता है और दूरदर्शी तथा प्रकाशिकी $40\%$ : तारे के कितने अंश फ़ोटॉन संसूचक तक पहुँचते हैं।

भाग II — रेखाएँ।

तारे की हाइड्रोजन बामर रेखाएँ: H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ , H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ , H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : $550\,\mathrm{nm}$ के सापेक्ष संसूचक पर उनकी जगहें।
किसी ड्यूटीरियम परमाणु की H $\alpha$ $0.18\,\mathrm{nm}$ छोटी है: अलग हुई? कितने पिक्सलों से?
तारे के वर्णक्रम में सोडियम युग्मक: पिक्सलों में दूरी; और हर रेखा की चौड़ाई यदि तारे का वायुमंडल उन्हें $0.05\,\mathrm{nm}$ तक चौड़ा कर दे।
प्रवेश-झिर्री $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ी है, और उसका प्रतिबिंब आवर्धन $f_2/f_1$ पर बनता है: संसूचक पर उसकी चौड़ाई पिक्सलों में और nm में; क्या वर्णक्रमलेखी झिर्री-सीमित है या जालक-सीमित?
दूरदर्शी से आता प्रकाश आकाश पर $1''$ की किसी चकती की तरह आता है, जिसे दूरदर्शी ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) झिर्री पर $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ा बना देता है: यदि झिर्री सँकरी करके $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ कर दी जाए तो खोए प्रकाश का अंश (चकती को एकसमान लीजिए)।
कोई सँकरी झिर्री तीखी रेखाएँ पर अधिक रव वाले वर्णक्रम क्यों देती है?

भाग III — तारा चलता है।

कोई तारा $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से दूर जा रहा है: H $\alpha$ का डॉप्लर खिसकाव nm और पिक्सलों में।
पृथ्वी की कक्षीय गति वर्ष भर $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ जोड़ती है: उसे घटाना क्यों पड़ता है, और यदि $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चाहिए तो किस परिशुद्धता तक?
कोई ग्रह अपने तारे को $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर डगमगाता है: nm और पिक्सलों में खिसकाव; क्या वह विभेदन से नीचे है? समझाइए कि किसी रेखा के केंद्र को उसकी चौड़ाई के सौवें भाग तक, हज़ार रेखाओं भर नापना उसे कैसे लौटा लाता है (सांख्यिकीय लाभ $\sqrt{N}$ )।
यंत्र का ताप $1\,\mathrm{K}$ बदलता है, और जालक (काँच, प्रसार $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) फैलता है: पिक्सलों में रेखाओं का खिसकाव; और $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए कितनी स्थिरता चाहिए?
कोई अंशांकन दीपक (थोरियम–आर्गन) उसी संसूचक पर सैकड़ों ज्ञात रेखाएँ डाल देता है: उसकी भूमिका समझाइए।

भाग IV — विकल्प।

उतनी ही चौड़ाई का जालक प्रति मिलीमीटर $300$ रेखाओं से खींचा जाए और चौथी कोटि में काम में लिया जाए (कोटियाँ छाँटने को किसी प्रति-परिक्षेपक के साथ): $550\,\mathrm{nm}$ पर विवर्तन कोण, विभेदन-शक्ति, परिक्षेपण और मुक्त वर्णक्रमी परास; क्या बदला, क्या नहीं?
झिर्री से पहले रखा कोई फ़ाब्री–पेरो एटेलॉन ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ , $R = 0.9$ ): nm में मुक्त वर्णक्रमी परास, सूक्ष्मता, चोटी की चौड़ाई; उसकी पारगमन-चोटियों की कंघी संसूचक पर कैसी दिखती है, और वह किस काम आती है?
$\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ वाले काँच का कोई $60{}^{\circ}$ प्रिज़्म न्यूनतम विचलन के पास कोणीय परिक्षेपण $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ रखता है: जालक वाले से तुलना कीजिए; और जालकों ने प्रिज़्मों की जगह क्यों ले ली?
सबसे बड़े खगोलीय वर्णक्रमलेखी मीटर भर चौड़े जालकों से और बड़े कोणों पर काम करते हुए क्यों बनाए जाते हैं (सीमा $2W/\lambda$ )?
कांतिमान-8 का कोई तारा दूरदर्शी पर प्रति सेकंड और प्रति नैनोमीटर $1 \times 10^{4}\,$ फ़ोटॉन देता है: संसूचक पर प्रति पिक्सल प्रति सेकंड फ़ोटॉन, और $100\,\mathrm{s}$ के किसी उद्भासन का संकेत-रव अनुपात (केवल फ़ोटॉन रव)।
समेटिए: वे तीन संख्याएँ जो किसी वर्णक्रमलेखी का वर्णन करती हैं (परिक्षेपण, विभेदन-शक्ति, मुक्त वर्णक्रमी परास) और हर एक को क्या तय करता है।

हल

हल — समस्या 21.1.

1. $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $N = 144\,000$ ।

2. $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (कोटि अभिलंब की दूसरी ओर पड़ती है): $18.5{}^{\circ}$ पर $550\,\mathrm{nm}$ , $7.9{}^{\circ}$ पर $400\,\mathrm{nm}$ , $29.9{}^{\circ}$ पर $700\,\mathrm{nm}$ : अर्थात् वर्णक्रम के $22{}^{\circ}$ ।

3. $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ ; $f_2\times$ : $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$ , अर्थात् $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ , और प्रति पिक्सल $0.012\,\mathrm{nm}$ ।

4. $R = N = 144\,000$ : $0.0038\,\mathrm{nm}$ , अर्थात् किसी पिक्सल का तिहाई।

5. दूसरी कोटि का $400\,\mathrm{nm}$ वहाँ उतरता है जहाँ पहली कोटि का $800\,\mathrm{nm}$ उतरता, अर्थात् लाल के परे: दृश्य में कोई चढ़ाव नहीं; चढ़ाव $350\,\mathrm{nm}$ पर शुरू होता, जिसे कोई काँच का छन्ना हटा देता है।

6. $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$ : कोई संसूचक एक फाँक ढकता है; और उसे चुनने के लिए जालक घुमाया जाता है।

7. $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$ ।

8. $0.8 \times 0.4 = 32\%$ ।

9. कोण $26.5{}^{\circ}$ , $14.0{}^{\circ}$ , $10.3{}^{\circ}$ : $550\,\mathrm{nm}$ की जगह से $+14$ , $-8$ और $-14\,\mathrm{cm}$ ।

10. $0.18\,\mathrm{nm}$ $15$ पिक्सल है: अलग हुई।

11. $50$ पिक्सल की दूरी पर, हर एक $4$ पिक्सल चौड़ी।

12. $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $6.7$ पिक्सल, $0.08\,\mathrm{nm}$ — अर्थात् जालक की सीमा का बीस गुना: झिर्री-सीमित।

13. प्रतिबिंब $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ा है: कोई $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ की झिर्री आधा प्रकाश जाने देती है।

14. उतनी ही तीखाई के लिए कम प्रकाश: फ़ोटॉन रव बढ़ जाता है।

15. $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$ , $5.5$ पिक्सल।

16. पृथ्वी का वेग वर्ष भर हर रेखा को $\pm5.5$ पिक्सल तक खिसका देता है; और वह पंचांगों से $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए ज़रूरी $0.3\%$ से कहीं बेहतर ज्ञात है।

17. $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ , $0.002$ पिक्सल — रेखा की चौड़ाई से कहीं नीचे। किसी $7\,\mathrm{px}$ रेखा के सौवें भाग तक कोई केंद्रक $0.07\,\mathrm{px}$ है; और हज़ार रेखाएँ $\sqrt{1000}$ देती हैं: $0.002$ पिक्सल — अर्थात् संकेत, बस मुश्किल से। असली यंत्र और विभेदन-शक्ति तथा स्थिरता जोड़ते हैं।

18. $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$ , $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ , $7\,\text{µ}\mathrm{m}$ : अर्थात् प्रति केल्विन आधा पिक्सल — और $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए मिलीकेल्विन।

19. उसकी रेखाएँ, उसी क्षण उन्हीं पिक्सलों पर दर्ज, तरंगदैर्घ्य का पैमाना देती हैं और हर बहाव का पीछा करती हैं।

20. $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $N = 36\,000$ , वही कोण ( $18.5{}^{\circ}$ ), $R = 4N = 144\,000$ , वही परिक्षेपण, मुक्त वर्णक्रमी परास $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$ : अर्थात् विभेदन-शक्ति और परिक्षेपण केवल $W$ और कोण पर निर्भर हैं; और मुक्त वर्णक्रमी परास सिकुड़ गया।

21. मुक्त वर्णक्रमी परास $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ ( $12$ पिक्सल); $\mathcal F = 30$ ; चोटियाँ $0.005\,\mathrm{nm}$ चौड़ी: अर्थात् संसूचक भर तीखी रेखाओं की कोई कंघी, कोई तरंगदैर्घ्य-पैमाना।

22. $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ के सामने $2 \times 10^{-4}$ : छह गुना कम, और किसी प्रिज़्म की विभेदन-शक्ति ( $b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$ ) तथा अरैखिक पैमाना भी हारते हैं; और जालक पराबैंगनी में भी काम करते हैं।

23. $R \le 2W/\lambda$ : $500\,\mathrm{nm}$ पर मीटर भर के लिए $4 \times 10^6$ — चौड़ाई और कोण ही ऊपर जाने के रास्ते हैं।

24. $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ फ़ोटॉन प्रति पिक्सल प्रति सेकंड; $100\,\mathrm{s}$ में $3800$ : संकेत-रव अनुपात $\approx 60$ ।

25. परिक्षेपण, जिसे $p/a\cos\theta$ और कैमरे की फ़ोकस दूरी तय करती है; विभेदन-शक्ति, जिसे जगमगाई चौड़ाई और कोण ( $pN$ ) तय करते हैं; और मुक्त वर्णक्रमी परास, जिसे कोटि ( $\lambda/p$ ) तय करती है।