विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

12विद्युत्चुंबकीय ऊर्जा और पॉयनटिंग सदिश

कोई बैटरी ताँबे के दो तारों से होकर किसी बल्ब को जलाती है। ऊर्जा कहाँ से चलती है? ताँबे के भीतर से नहीं, यह पता चलता है: वहाँ इलेक्ट्रॉन मिलीमीटर प्रति सेकंड से बहते हैं और लगभग कुछ भी नहीं ढोते। ऊर्जा तारों के चारों ओर के आकाश से होकर, विद्युत्चुंबकीय क्षेत्र में बहती है, और बल्ब के तंतु में उसकी बग़लों से घुसती है। सूर्य किसी धूप वाली छत के हर वर्ग मीटर को उसी तरह किलोवाट भर पहुँचाता है, और वह भी पंद्रह करोड़ किलोमीटर निर्वात के पार। यह अध्याय मैक्सवेल के समीकरणों से विद्युत्चुंबकीय ऊर्जा का बहीखाता निकालता है — अर्थात् किसी क्षेत्र में कितनी ऊर्जा संचित है, और वह सदिश, पॉयनटिंग का, जो बताता है कि वह कहाँ जाती है — और उसे किसी तार, संधारित्र, कुंडली और प्रकाश-पुंज पर लगाता है।

12.1 क्षेत्र का ऊर्जा-संतुलन

प्रमेय 12.1 (पॉयनटिंग की प्रमेय)

विद्युत्चुंबकीय ऊर्जा घनत्व और पॉयनटिंग सदिश इस तरह परिभाषित कीजिए:

u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .

मैक्सवेल के समीकरण हर बिंदु पर यह देते हैं:

\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,

और किसी भी स्थिर आयतन $V$ के लिए, जो $\Sigma$ से घिरा हो:

\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :

अर्थात् $V$ के भीतर की क्षेत्र-ऊर्जा उतनी घटती है जितनी सीमा से बाहर बहती है — $\vect\Pi$ का अभिवाह — और जितनी क्षेत्र आवेशों को देता है ( $\vect j\cdot\vect E$ , किसी चालक में जूल शक्ति)। $\vect\Pi$ ऊर्जा-अभिवाह घनत्व है: अर्थात् उसके अभिलंब एकांक पृष्ठ को पार करती शक्ति।

उपपत्ति. मैक्सवेल–ऐंपियर से $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$ , अतः $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$ । सर्वसमिका $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (उसे घटकों पर जाँचिए) और मैक्सवेल–फ़ैराडे से $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$ । अब जोड़िए: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$ । फिर $V$ पर समाकलित कीजिए और अपसरण प्रमेय लगाइए। ∎

टिप्पणी 12.2 (क्या तय है और क्या नहीं)

प्रमेय केवल बंद पृष्ठों से $\vect\Pi$ का अभिवाह और कुल $u$ तय करती है; और $\vect\Pi$ में कोई भी अपसरण-रहित क्षेत्र जोड़ देने से कोई प्रेक्षणीय बात नहीं बदलती। ऊपर वाला चुनाव सबसे सरल है, वही प्रकाश के ढोए संवेग से मेल खाता है (नीचे), और वही सर्वत्र काम में लिया जाता है। घनत्व $\varepsilon_0E^2/2$ और $B^2/2\mu_0$ वर्ष 1 के खंड के संधारित्र और प्रेरक की ऊर्जाएँ हैं, जो अब आकाश के हर बिंदु को सौंप दी गई हैं: $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ का कोई क्षेत्र (हवा की भंजन-सीमा) $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ संचित करता है, और $1\,\mathrm{T}$ का कोई क्षेत्र $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — अर्थात् एक लाख गुना अधिक, और इसीलिए मेगाजूल तक ऊर्जा-भंडारण संधारित्रों में नहीं, चुंबकों में होता है।

12.2 ऊर्जा कहाँ बहती है: तीन परिपथ

उदाहरण 12.3 (प्रतिरोधी तार)

$a$ त्रिज्या का कोई बेलनाकार तार स्थायी धारा $I$ ढोता है, अपनी अक्ष के अनुदिश क्षेत्र $E = j/\gamma$ के अधीन; और उसके ठीक बाहर $B = \mu_0I/2\pi a$ (दिगंशी)। पृष्ठ पर $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ त्रिज्या के अनुदिश भीतर की ओर संकेत करता है, जिसका परिमाण $EI/2\pi a$ है; और किसी $L$ लंबाई के पार्श्व पृष्ठ से उसका अभिवाह $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ है: अर्थात् जूल ऊष्मा तार में उसकी बग़लों से घुसती है, जिसे चारों ओर का क्षेत्र पहुँचाता है, न कि इलेक्ट्रॉन तार के नीचे ढोकर। भीतर, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : अर्थात् भीतर की ओर बहाव अक्ष की ओर घटता जाता है, क्योंकि ऊर्जा परत-दर-परत जमा होती जाती है।

उदाहरण 12.4 (संधारित्र और परिनालिका)

वृत्ताकार प्लेटों वाला कोई संधारित्र, आवेशित होता हुआ: $\vect E$ अक्षीय, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ (अध्याय 11), अतः $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$ , भीतर की ओर; और $R$ त्रिज्या तथा $d$ ऊँचाई के बेलन से उसका अभिवाह $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ है: अर्थात् विद्युत ऊर्जा किनारे से घुसती है। कोई परिनालिका, जिसकी धारा बढ़ती हो: $\vect B$ अक्षीय, प्रेरित $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ , फिर भीतर की ओर, और अभिवाह $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{आयतन})/\dd t$ । हर दशा में ऊर्जा उपकरण तक उसके बाहर के क्षेत्र से होकर पहुँचती है; और तार केवल क्षेत्र को राह दिखाते हैं।

बाएँ: धारा ढोता कोई तार — अक्षीय E और दिगंशी B से बना पॉयनटिंग सदिश उसके पूरे पृष्ठ पर तार के भीतर की ओर संकेत करता है; और जूल ऊष्मा बग़लों से घुसती है। दाएँ: आवेशित होता कोई संधारित्र — ऊर्जा अंतराल से होकर त्रिज्या के अनुदिश भीतर आती है, प्लेटों से होकर नहीं। — बाएँ: धारा ढोता कोई तार — अक्षीय $\vect E$ और दिगंशी $\vect B$ से बना पॉयनटिंग सदिश उसके पूरे पृष्ठ पर तार के भीतर की ओर संकेत करता है; और जूल ऊष्मा बग़लों से घुसती है। दाएँ: आवेशित होता कोई संधारित्र — ऊर्जा अंतराल से होकर त्रिज्या के अनुदिश भीतर आती है, प्लेटों से होकर नहीं।

टिप्पणी 12.5 (किसी स्थैतिक क्रॉस-क्षेत्र में ऊर्जा)

किसी स्थायी चुंबक के क्षेत्र में रखे किसी आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच हर जगह $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ होता है, यद्यपि कुछ बदलता नहीं और कुछ गरम नहीं होता। इसमें कोई विरोध नहीं: वहाँ $\vect\Pi$ का अपसरण शून्य है, उसकी रेखाएँ अपने ऊपर ही बंद होती हैं, और किसी भी बंद पृष्ठ से उसका अभिवाह लुप्त हो जाता है — और प्रमेय किसी ऐसे परिचालित बहाव के बारे में कुछ नहीं कहती जो कुछ पहुँचाता ही नहीं। केवल बंद पृष्ठों से अभिवाह ही भौतिक हैं।

शक्ति ढोती कोई समाक्ष केबल: त्रिज्यीय E और दिगंशी B मिलकर परावैद्युत में कोई अक्षीय पॉयनटिंग सदिश बनाते हैं; और चालकों के बीच के छल्ले पर उसका अभिवाह ठीक UI है — अर्थात् शक्ति विद्युतरोधी में चलती है, और धातु केवल उसे राह दिखाती है। — शक्ति ढोती कोई समाक्ष केबल: त्रिज्यीय $\vect E$ और दिगंशी $\vect B$ मिलकर परावैद्युत में कोई अक्षीय पॉयनटिंग सदिश बनाते हैं; और चालकों के बीच के छल्ले पर उसका अभिवाह ठीक $UI$ है — अर्थात् शक्ति विद्युतरोधी में चलती है, और धातु केवल उसे राह दिखाती है।

12.3 प्रकाश: तीव्रता और विकिरण दाब

प्रतिज्ञप्ति 12.6 (किसी समतल तरंग की ऊर्जा)

निर्वात में किसी समतल तरंग के लिए — अर्थात् अध्याय 13 का हल, जिसमें $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ , $B = E/c$ और $\vect E \perp \vect B$ — विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा-घनत्व बराबर होते हैं, तथा

u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,

होता है, जहाँ $\vect u$ संचरण की दिशा है: अर्थात् ऊर्जा $c$ से चलती है। $E_0$ आयाम की किसी ज्यावक्रीय तरंग के लिए तीव्रता (विकिरण-तीव्रता) माध्य अभिवाह है,

I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,

और तरंग संवेग-घनत्व $\vect\Pi/c^2$ ढोती है (स्वीकृत), अतः वह किसी पृष्ठ पर, जिस पर वह अभिलंब आपतन से टकराए, विकिरण दाब $P = I/c$ लगाती है यदि वह सोख लिया जाए और $2I/c$ यदि परावर्तित हो।

उपपत्ति. $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ , $\vect k$ के अनुदिश; और $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$ । संवेग-घनत्व $\vect\Pi/c^2$ सोखते पृष्ठ के आवेशों पर लोरेंत्ज़ बल से निकलता है (या आपेक्षिकता से: प्रकाश के लिए $p = E/c$ ): प्रति एकांक समय आता संवेग $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ , किसी पृष्ठ $S$ पर, कोई बल $\Pi S/c$ है। ∎

उदाहरण 12.7 (सूर्य का प्रकाश, लेज़र, सूक्ष्मतरंग)

वायुमंडल के शिखर पर सूर्य का प्रकाश, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$ , ऊर्जा घनत्व $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , दाब $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — अर्थात् किसी वर्ग किलोमीटर पर $0.7\,\mathrm{kg}$ भर का बल, फिर भी किसी सौर-पाल को मोड़ने और किसी धूमकेतु की धूल को उसकी पूँछ में उड़ा देने के लिए काफ़ी। $1\,\mathrm{mm}^{2}$ के धब्बे पर $1\,\mathrm{mW}$ का कोई लेज़र सूचक: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , अर्थात् सूर्य जैसा; और $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ पर केंद्रित: $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ , हवा के भंजन के पास। और $30\,\mathrm{L}$ भरती किसी अप्रगामी तरंग वाला $1\,\mathrm{kW}$ का सूक्ष्मतरंग-चूल्हा: ऊर्जा घनत्व $\sim 10^{-7}$ J/m $^3$ और $E_0$ कुछ किलोवोल्ट प्रति मीटर।

कोई समतल विद्युत्चुंबकीय तरंग: E, B और संचरण की दिशा मिलकर कोई दक्षिण-हस्त त्रिक बनाते हैं; और पॉयनटिंग सदिश संचरण के अनुदिश संकेत करता है तथा दुगुनी आवृत्ति पर दोलन करता है, जिसका माध्य मान तीव्रता है। — कोई समतल विद्युत्चुंबकीय तरंग: $\vect E$ , $\vect B$ और संचरण की दिशा मिलकर कोई दक्षिण-हस्त त्रिक बनाते हैं; और पॉयनटिंग सदिश संचरण के अनुदिश संकेत करता है तथा दुगुनी आवृत्ति पर दोलन करता है, जिसका माध्य मान तीव्रता है।

विधि 12.8 (ऊर्जा का बहीखाता)

(1) $\vect E$ और $\vect B$ निकालिए (स्थैतिकी, अर्ध-स्थैतिकी या तरंगें)। (2) $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ और $u$ बनाइए। (3) उपकरण के चारों ओर कोई बंद पृष्ठ चुनिए और $\vect\Pi$ का अभिवाह निकालिए: वह जूल शक्ति और भीतर संचित ऊर्जा के बदलने की दर के योग के बराबर होना चाहिए — अर्थात् क्षेत्रों की एक जाँच। (4) किसी तरंग के लिए $\Pi$ का माध्य तीव्रता है; दाब के लिए उसे $c$ से बाँटिए, और फ़ोटॉन-अभिवाह के लिए फ़ोटॉन-ऊर्जा $hf$ से।

12.4 अभ्यास

अभ्यास 12.1 ★

ज़मीन पर सूर्य का प्रकाश, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : आयाम $E_0$ और $B_0$ , ऊर्जा घनत्व, किसी काली छत पर और किसी दर्पण पर विकिरण दाब; $100\,\mathrm{m}^{2}$ की छत पर बल; और $2\,\mathrm{eV}$ की औसत फ़ोटॉन-ऊर्जा के लिए प्रति वर्ग मीटर फ़ोटॉन-अभिवाह।

हल

हल — अभ्यास 12.1.

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (काली), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (दर्पण); छत पर $0.33\,\mathrm{mN}$ ; और $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ।

अभ्यास 12.2 ★

$5\,\mathrm{mW}$ का कोई लेज़र सूचक, पुंज-व्यास $1.5\,\mathrm{mm}$ : तीव्रता, $E_0$ , $B_0$ ; वही पुंज $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ के धब्बे पर केंद्रित; और $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ पर केंद्रित $1\,\mathrm{PW}$ ( $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$ ) का कोई स्पंदित लेज़र: $E_0$ , और उसकी उस क्षेत्र से तुलना जो किसी हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन को बाँधे रखता है ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ )।

हल

हल — अभ्यास 12.2.

क्षेत्रफल $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ । $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर केंद्रित: $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ । पेटावाट: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , अर्थात् परमाणु के क्षेत्र से पाँच सौ गुना — और परमाणु एक ही चक्र में चिथड़े हो जाता है।

अभ्यास 12.3 ★

ऊर्जा-घनत्व: $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ का कोई विद्युत क्षेत्र (हवा का भंजन); $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ का (कोई पतला विद्युतरोधी); और $0.1\,\mathrm{T}$ , $1.5\,\mathrm{T}$ (MRI), $45\,\mathrm{T}$ (कीर्तिमान चुंबक) का कोई चुंबकीय क्षेत्र। $1\,\mathrm{m}^{3}$ के MRI छिद्र में ऊर्जा; और उसके तुल्य पेट्रोल के लीटर ( $35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$ )।

हल

हल — अभ्यास 12.3.

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ । $B^2/2\mu_0$ : $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ , $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ । MRI का छिद्र $0.9\,\mathrm{MJ}$ रखता है — अर्थात् $26\,\mathrm{mL}$ पेट्रोल।

अभ्यास 12.4 ★

$100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$ का कोई सौर-पाल, जो पूरा परावर्तक हो, पृथ्वी की दूरी पर ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ): बल; $200\,\mathrm{kg}$ के किसी यान का त्वरण; महीने भर में पाई गई चाल; और उस दूरी पर यान पर सूर्य के गुरुत्व ( $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ) से तुलना।

हल

हल — अभ्यास 12.4.

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; महीने भर में $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; और सूर्य $1.2\,\mathrm{N}$ से खींचता है: अतः पाल गुरुत्व से लड़ नहीं सकता, वह कक्षा में उसके विरुद्ध तिरछा चलता है।

अभ्यास 12.5 ★★

$a = 1\,\mathrm{mm}$ त्रिज्या का कोई ताँबे का तार $10\,\mathrm{A}$ ढोता है ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )। (क) भीतर $E$ , पृष्ठ पर $B$ , और पृष्ठ पर $\vect\Pi$ (दिशा और परिमाण)। (ख) तार के $1\,\mathrm{m}$ में $\vect\Pi$ का अभिवाह; $RI^2$ से तुलना कीजिए। (ग) तार के भीतर $\Pi(r)$ , और $r$ तथा $r + \dd r$ के बीच जमा शक्ति; जाँचिए कि वह $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$ है। (घ) ऊर्जा आती कहाँ से है — बैटरी और तार के बीच के क्षेत्र का वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 12.5.

(क) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , त्रिज्या के अनुदिश भीतर की ओर। (ख) प्रति मीटर $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ ; और $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$ । (ग) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$ , अतः $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ और कोश को $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$ मिलता है। (घ) बैटरी के पृष्ठ-आवेश पूरे परिपथ के अनुदिश, तारों के बाहर, कोई विद्युत क्षेत्र खड़ा कर देते हैं; और वहाँ $\vect E\wedge\vect B$ ऊर्जा को बैटरी से भार तक ले जाता है।

अभ्यास 12.6 ★★

वृत्ताकार प्लेटों ( $R$ , $d$ ) का कोई संधारित्र, जो $I$ से आवेशित होता है। (क) प्लेटों के बीच $\vect E$ , $\vect B$ , $\vect\Pi$ । (ख) पार्श्व बेलन से $\vect\Pi$ का अभिवाह; दिखाइए कि वह $\dd W_e/\dd t$ के बराबर है। (ग) $R = 5\,\mathrm{cm}$ , $d = 1\,\mathrm{mm}$ , $I = 1\,\mathrm{A}$ के लिए, उस क्षण जब $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : किनारे पर $\Pi$ और भीतर आती शक्ति। (घ) क्या चुंबकीय ऊर्जा नगण्य है?

हल

हल — अभ्यास 12.6.

(क) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ अक्षीय, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ दिगंशी, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$ । (ख) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$ । (ग) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; गुणा $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ , जहाँ $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$ । (घ) हाँ: वह $(\omega R/c)^2$ जैसे गुणकों से छोटी है (अध्याय 11)।

अभ्यास 12.7 ★★

कोई लंबी परिनालिका ( $n$ , त्रिज्या $R$ ), जिसकी धारा $I(t)$ बढ़ती है। (क) भीतर प्रेरित $\vect E$ ; $\vect\Pi$ ; और दिशा। (ख) प्रति एकांक लंबाई पार्श्व पृष्ठ से अभिवाह, और $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$ । (ग) परिनालिका के ठीक बाहर (जहाँ $\vect B = \vect 0$ ) $\vect\Pi$ क्या है? तब ऊर्जा भीतर कैसे आती है? (सोचिए कि धारा कहाँ बहती है: वेष्टन कोई पतली चादर है; उसके ठीक भीतर का पृष्ठ लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 12.7.

(क) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$ , $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : $B$ के बढ़ते समय भीतर की ओर। (ख) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$ । (ग) बाहर $\vect B = \vect 0$ , अतः $\vect\Pi = \vect 0$ : ऊर्जा वेष्टन पर ही डाली जाती है, जहाँ जनित्र धारा को प्रेरित क्षेत्र के विरुद्ध चलाता है (वहाँ $\vect j\cdot\vect E < 0$ ); और चादर के ठीक भीतर $\vect\Pi$ पहले से ही (क) वाला भीतरी बहाव है।

अभ्यास 12.8 ★★

किसी केबल की शक्ति कहाँ चलती है। कोई समाक्ष केबल (त्रिज्याएँ $a$ , $b$ ) क्रोड में स्थायी धारा $I$ ढोती है और चोटी में वापस, उनके बीच वोल्टता $U$ के अधीन (पूर्ण चालक)। (क) $\vect E$ और $\vect B$ परावैद्युत ( $a < r < b$ ) में, गाउस और ऐंपियर से। (ख) $\vect\Pi$ : दिशा और परिमाण। (ग) $\vect\Pi$ को छल्ले $a < r < b$ पर समाकलित कीजिए: दिखाइए कि परिणाम $UI$ है — अर्थात् पूरी शक्ति विद्युतरोधी में चलती है। (घ) कुछ प्रतिरोधी क्रोड के साथ $\vect\Pi$ किस दिशा में झुकता है, और क्रोड में उसका अभिवाह किसके बराबर होता है?

हल

हल — अभ्यास 12.8.

(क) $E = U/r\ln(b/a)$ त्रिज्यीय, $B = \mu_0I/2\pi r$ दिगंशी। (ख) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ , क्रोड-धारा के अनुदिश। (ग) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$ । (घ) $E$ को कोई अक्षीय घटक $j/\gamma$ मिल जाता है; अतः $\vect\Pi$ क्रोड की ओर झुक जाता है, और क्रोड के प्रति मीटर में उसका त्रिज्यीय अभिवाह प्रति मीटर $RI^2$ है।

अभ्यास 12.9 ★★

धूमकेतु की धूल। $a$ त्रिज्या और $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ घनत्व का कोई गोलीय धूल-कण, जो सूर्य से $D$ दूरी पर है, सूर्य का प्रकाश सोख लेता है ( $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ , $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ पर, सूर्य का द्रव्यमान $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ )। (क) विकिरण बल और गुरुत्वीय बल; दिखाइए कि उनका अनुपात $D$ से स्वतंत्र है। (ख) वह त्रिज्या जिससे नीचे कण उड़ा दिया जाता है। (ग) धूमकेतुओं की पूँछें सूर्य से दूर की ओर क्यों होती हैं, और वे मुड़ती क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 12.9.

(क) $F_{\text{विकिरण}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$ , $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : अतः अनुपात $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$ , जो $D$ से स्वतंत्र है। (ख) अनुपात $> 1$ तब जब $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (ग) महीन धूल सूर्य से दूर धकेली जाती है और साथ ही धूमकेतु की कक्षीय चाल बनाए रखती है, अतः धूल-पूँछ दूर की ओर होती है और मुड़ जाती है; जबकि आयन-पूँछ, जिसे सौर पवन चलाती है, सीधी रहती है।

अभ्यास 12.10 ★★★

विसर्जित होता संधारित्र। अभ्यास 12.6 का संधारित्र अभ्यास 12.5 के तार से होकर विसर्जित होता है (प्रति मीटर $R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ , लंबाई $L$ )। (क) अब संधारित्र के किनारे पर $\vect\Pi$ की दिशा। (ख) संधारित्र से निकलती शक्ति, तार में घुसती शक्ति; और अंतर (यदि कोई हो) का क्या होता है? (ग) ऊर्जा-संतुलन $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ लिखिए और उसे $Q = CU$ , $I = -\dd Q/\dd t$ के सामने जाँचिए। (घ) परिपथ की चुंबकीय ऊर्जा आरंभ और अंत में संतुलन में क्यों नहीं आती?

हल

हल — अभ्यास 12.10.

(क) $\dot E < 0$ : अतः किनारे पर $\vect\Pi$ बाहर की ओर संकेत करता है। (ख) $-\dd W_e/\dd t$ संधारित्र से निकलता है और $RI^2$ तार में घुसता है; और अर्ध-स्थैतिक दशा में दोनों बराबर हैं — बीच में कुछ जमा नहीं होता। (ग) $W_e = Q^2/2C$ , $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$ । (घ) $\tfrac12LI^2$ दोनों सिरों पर लुप्त है ( $I = 0$ ) और किसी छोटे पाश के लिए बीच में भी नगण्य।

अभ्यास 12.11 ★★★

आवेशित चुंबक। किसी आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच ( $\vect E = E\vect e_z$ ) कोई एकसमान क्षेत्र $\vect B = B\vect e_x$ बैठा है (कोई चुंबक)। (क) $\vect\Pi$ ; और उसका अपसरण। (ख) उस प्रदेश के भीतर किसी संदूक का बंद पृष्ठ लीजिए: $\vect\Pi$ का अभिवाह। (ग) $\vect\Pi$ की रेखाएँ कहाँ जाती हैं, और उन्हें कौन बंद करता है? (घ) कोई सुझाव: अंतराल में रखे किसी छोटे अवशोषक से ऊर्जा-बहाव नापिए — क्या वह गरम होगा? क्यों नहीं?

हल

हल — अभ्यास 12.11.

(क) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$ , एकसमान: अतः $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$ । (ख) शून्य। (ग) अंतराल से होकर $y$ के अनुदिश, और प्लेटों तथा चुंबक के किनारों के झालर-क्षेत्रों से होकर बंद होती हुईं। (घ) स्थैतिक क्षेत्रों में विराम में पड़ा कोई पिंड कोई धारा नहीं ढोता: $\vect j\cdot\vect E = 0$ , अतः कोई तापन नहीं। और परिचालित $\vect\Pi$ बहीखाता है, कोई ऐसा बहाव नहीं जो ऊर्जा जमा करे।

अभ्यास 12.12 ★★★

अप्रगामी तरंग। बराबर आयाम की दो विपरीत दिशाओं में चलती समतल तरंगें $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ , $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ बनाती हैं (इसे मैक्सवेल–फ़ैराडे के सामने जाँचिए)। (क) $\vect\Pi(x, t)$ ; और उसका समय-औसत। (ख) ऊर्जा घनत्व; वह कहाँ वैद्युत है, कहाँ चुंबकीय, और वह डोलता कैसे है? (ग) $x = 0$ पर रखा कोई पूर्ण चालक दर्पण आती तरंग को परावर्तित करता है: संवेग-तर्क से उस पर प्रति एकांक क्षेत्रफल बल, और उसकी पृष्ठ धारा पर लाप्लास बल से भी ( $\vect B$ के लिए सीमा-संबंध लीजिए)। (घ) दिखाइए कि दोनों औसतन $2I/c$ देते हैं।

हल

हल — अभ्यास 12.12.

फ़ैराडे: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ $-\partial_tB_z$ के बराबर है, क्योंकि $\omega = kc$ । (क) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : माध्य शून्य। (ख) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : अर्थात् $x = 0, \lambda/2, \dots$ पर वैद्युत, $\lambda/4, \dots$ पर चुंबकीय, और हर आवर्तकाल में दो बार दोनों के बीच डोलता हुआ। (ग) संवेग: हर तरंग का $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ , और परावर्तित तरंग अपना संवेग उलट देती है: अतः $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$ । लाप्लास: $x = 0$ पर ठीक बाहर $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ और भीतर $0$ , अतः $j_s = B/\mu_0$ ; और चादर पर प्रति एकांक क्षेत्रफल बल $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$ । (घ) उसका माध्य $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ है।

कोई सौर फ़ार्म: सूर्य से खाली आकाश के पार प्रति वर्ग मीटर किलोवाट भर पॉयनटिंग अभिवाह आता है, और उसका पाँचवाँ भाग केबलों से होकर निकल जाता है।

12.5 समस्या: किसी लाइन, किसी पट्ट और किसी चूल्हे की ऊर्जा

समस्या 12.1

सप्ताहांत समस्या — विद्युत्चुंबकीय ऊर्जा का पीछा: किसी विद्युत-लाइन से किसी घर तक, सूर्य से किसी सौर पट्ट तक, और किसी मैग्नेट्रॉन से पानी के किसी प्याले तक

भाग I — लाइन। कोई समाक्ष शक्ति-केबल (क्रोड-त्रिज्या $a = 1.0\,\mathrm{cm}$ , चोटी-त्रिज्या $b = 3.0\,\mathrm{cm}$ , परावैद्युत $\varepsilon_r = 2.3$ ) दिष्ट धारा $I = 500\,\mathrm{A}$ ढोती है, $U = 20\,\mathrm{kV}$ पर; और क्रोड की चालकता $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ है।

परावैद्युत में क्षेत्र $\vect E(r)$ और $\vect B(r)$ (पहले पूर्ण चालक मानकर); और मान, $r = a$ पर।
परावैद्युत में पॉयनटिंग सदिश; और छल्लेदार काट से उसका अभिवाह: जाँचिए कि वह $UI$ के बराबर है।
ऊर्जा-घनत्व $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ और $B^2/2\mu_0$ , $r = a$ पर (किसी परावैद्युत में विद्युत ऊर्जा-घनत्व $\varepsilon_r$ ढोता है); कौन भारी पड़ता है, और कितना?
ऊर्जा प्रकाश की चाल के किस अंश से “चलती” है ( $\Pi/u$ लीजिए, $r = a$ पर)? $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ से तुलना कीजिए।
अब क्रोड प्रतिरोधी है: उसके भीतर क्षेत्र $E_z$ ; और उसके पृष्ठ के ठीक बाहर पॉयनटिंग सदिश को कोई त्रिज्यीय घटक मिल जाता है: उसका परिमाण, और वह प्रति मीटर क्रोड को जितनी शक्ति पहुँचाता है; प्रति मीटर $RI^2$ के सामने जाँचिए।
$\vect\Pi$ के त्रिज्यीय और अक्षीय घटकों का अनुपात, $r = a$ पर: इससे यह क्या पता चलता है कि ऊर्जा कहाँ जाती है?
केबल की प्रति मीटर चुंबकीय ऊर्जा, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , और प्रति मीटर विद्युत ऊर्जा, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; और अध्याय 8 के प्रति मीटर प्रेरकत्व तथा धारिता के साथ उन्हें $\tfrac12\Lambda I^2$ और $\tfrac12\Gamma U^2$ के रूप में फिर से पाइए।
$10\,\mathrm{km}$ की कोई लाइन: पहुँचाई गई शक्ति, खोई शक्ति, और अंश। $U = 200\,\mathrm{kV}$ तथा $I = 50\,\mathrm{A}$ (वही शक्ति) के साथ दोहराइए।

भाग II — पट्ट। किसी साफ़ दिन दोपहर सूर्य का प्रकाश: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ का कोई प्रकाश-वोल्टीय पट्ट, जिसकी दक्षता $20\%$ है; और औसतन $2.0\,\mathrm{eV}$ की फ़ोटॉन-ऊर्जा।

पुंज में $E_0$ , $B_0$ , ऊर्जा घनत्व और फ़ोटॉन-अभिवाह।
दी गई वैद्युत शक्ति; निकालने लायक़ ऊष्मा; और यदि पट्ट दोनों फलकों से $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ पर ऊष्मा खोए तो ताप-वृद्धि।
पट्ट पर विकिरण दाब (अवशोषी); बल; और उसकी उसके भार ( $18\,\mathrm{kg}$ ) से तुलना।
प्रति दिन ( $6\,\mathrm{h}$ तुल्य पूर्ण धूप) और प्रति वर्ष मिली ऊर्जा; और किसी घर की $3500\,\mathrm{kWh}$ प्रति वर्ष की आपूर्ति हेतु आवश्यक क्षेत्रफल।
पट्ट $10.7\,\mathrm{A}$ पर $30\,\mathrm{V}$ देता है: शक्ति जाँचिए; और इन्वर्टर तक जाते दो-तार केबल के $5\,\mathrm{m}$ पर पॉयनटिंग अभिवाह — क्षेत्र वाले चित्र में वह शक्ति कहाँ से चलती है?
पृथ्वी की कक्षा पर सूर्य $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ विकिरित करता है: सूर्य की कुल शक्ति; और वह द्रव्यमान जो वह प्रति सेकंड बदल देता है ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )।
प्रति सेकंड पट्ट से टकराते फ़ोटॉनों की संख्या।
पृथ्वी पर फ़ोटॉन-संवेग का अभिवाह: पृथ्वी पर सूर्य का कुल विकिरण बल (चक्रिका-त्रिज्या $6400\,\mathrm{km}$ , अवशोषी); गुरुत्व ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ) से तुलना कीजिए।

भाग III — चूल्हा। कोई सूक्ष्मतरंग-चूल्हा $2.45\,\mathrm{GHz}$ पर $800\,\mathrm{W}$ किसी $30\,\mathrm{L}$ की गुहा में पहुँचाता है; और $250\,\mathrm{g}$ पानी का कोई प्याला उसका $80\%$ सोख लेता है।

तरंगदैर्घ्य; क्या गुहा उसके सामने बड़ी है? दीवारें धातु की क्यों होती हैं?
पानी को $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ से $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गरम करने में लगा समय ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); और प्रति एकांक आयतन सोखी गई शक्ति।
यदि शक्ति प्याले की $50\,\mathrm{cm}^{2}$ काट से होकर किसी समतल तरंग की तरह बहती, तो तीव्रता और $E_0$ ; असली क्षेत्र तुलनीय आयाम की अप्रगामी तरंगें हैं — गरम धब्बे कितनी दूर-दूर होते हैं, और तश्तरी क्यों घूमती है?
यदि गुहा का गुणता गुणक खाली होने पर $Q = 2\pi\times\text{(संचित ऊर्जा)}/\text{(प्रति आवर्तकाल खोई ऊर्जा)} \approx 10^3$ हो: संचित ऊर्जा, माध्य ऊर्जा-घनत्व, $E_0$ — और हवा के भंजन ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) से तुलना।
पानी इसलिए सोखता है कि उसके अणु द्विध्रुव हैं और $2.45\,\mathrm{GHz}$ पर चलाए जाते हैं: तब स्थानिक जूल-जैसी शक्ति $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ है, जहाँ पानी के लिए $\varepsilon'' \approx 10$ : प्रश्न 16 के शक्ति-घनत्व के लिए पानी में आवश्यक $E_0$ ; क्या वह संगत है?
$2.45\,\mathrm{GHz}$ पर फ़ोटॉन-ऊर्जा eV में, और प्याले द्वारा प्रति सेकंड सोखे गए फ़ोटॉनों की संख्या; सूक्ष्मतरंगें गरम तो कर सकती हैं पर आयनित क्यों नहीं (आयनन को लगभग $10\,\mathrm{eV}$ चाहिए)।
दीवारों पर गुहा-क्षेत्र का विकिरण दाब (ऊर्जा-घनत्व $u$ की कोटि का): क्या उसकी चिंता करने लायक़ है?
कोई खाली चूल्हा (कोई भार नहीं) पॉयनटिंग की भाषा में क्षति का ख़तरा क्यों उठाता है?
लाइन, पट्ट और चूल्हे के लिए एक सारणी में सार दीजिए: ऊर्जा का वाहक, $\vect\Pi$ की दिशा, शक्ति, और उसे कौन बदलता है।

हल

हल — समस्या 12.1.

1. $E = U/r\ln(b/a)$ : $r = a$ पर $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi r$ : $a$ पर $10\,\mathrm{mT}$ ।

2. $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$ ।

3. $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : अर्थात् तुलनीय।

4. $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : अतः $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$ ।

5. $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ भीतर की ओर; और $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; और $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$ , $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ।

6. $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : अर्थात् लगभग सारी ऊर्जा लाइन के अनुदिश दौड़ती है; और ज़रा-सी ताँबे में रिस जाती है।

7. $10\,\mathrm{MW}$ में से $133\,\mathrm{kW}$ की हानि, $1.3\%$ ; और $200\,\mathrm{kV}$ पर: $1.3\,\mathrm{kW}$ , $0.013\%$ ।

8. $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ , जहाँ $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ; और विद्युत: $\tfrac12\Gamma U^2$ , जहाँ $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$ ।

9. $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ , $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ।

10. वैद्युत $320\,\mathrm{W}$ ; और फलकों के $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ पर $1280\,\mathrm{W}$ ऊष्मा: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$ ।

11. $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ , जबकि भार $180\,\mathrm{N}$ ।

12. $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{d}$ , $700\,\mathrm{kWh}$ प्रति वर्ष; पाँच पट्ट, $8\,\mathrm{m}^{2}$ ।

13. $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ; और शक्ति दोनों तारों के बीच के क्षेत्र में बहती है — $30\,\mathrm{V}$ पर $\vect E$ , धाराओं के चारों ओर $\vect B$ — ताँबे में नहीं।

14. $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ।

15. $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ फ़ोटॉन प्रति सेकंड।

16. $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : अर्थात् गुरुत्व का $10^{-14}$ ।

17. $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ; $30\,\mathrm{cm}$ की गुहा कुछ ही तरंगदैर्घ्य है — अर्थात् विधाओं वाला कोई अनुनादक, न कि कोई मुक्त पुंज; और धातु की दीवारें तरंग को परावर्तित करती हैं (त्वचा गहराई माइक्रोमीटरों की) तथा उसे भीतर थामे रखती हैं।

18. $640\,\mathrm{W}$ पर $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ : $98\,\mathrm{s}$ ; और $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ ।

19. $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ; और गरम धब्बे $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ दूर-दूर — इसीलिए घूमती तश्तरी।

20. $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — अर्थात् भंजन से सौ गुना नीचे।

21. $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : अतः पानी के भीतर $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — गुहा-क्षेत्र की कोटि का, और पानी की विद्युतशीलता से घटा हुआ: संगत।

22. $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ; और $4 \times 10^{26}$ फ़ोटॉन प्रति सेकंड; अर्थात् आयनित करने के लिए प्रति फ़ोटॉन दस लाख गुना कम ऊर्जा।

23. $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : नहीं।

24. जब सोखने को कुछ न हो, तो $\vect\Pi$ के अभिवाह के पास मैग्नेट्रॉन में लौटने के सिवा कहीं समाप्त होने की जगह नहीं रहती, और वह गरम हो जाता है।

25. लाइन: परावैद्युत, $\vect\Pi$ अक्षीय, $10\,\mathrm{MW}$ , और सिरे पर कोई भार। पट्ट: पुंज, $\vect\Pi$ सूर्य की किरणों के अनुदिश, $1.6\,\mathrm{kW}$ भीतर, $320\,\mathrm{W}$ बाहर, और अर्धचालक। चूल्हा: गुहा-क्षेत्र, $\vect\Pi$ परिचालित, $800\,\mathrm{W}$ , और पानी के द्विध्रुव।