विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

1दृढ़ पिंड की यांत्रिकी

फुटपाथ से किसी साइकिल के पहिये को देखिए: सड़क के पास वाली तीलियाँ लगभग स्थिर और स्पष्ट दिखती हैं, ऊपर वाली तीलियाँ साइकिल-चालक से दुगुनी चाल से चलती हुई धुँधली। पहिये के हर बिंदु का वेग अलग है, फिर भी पहिया एक ही वस्तु है — उसके बिंदु आपसी दूरियाँ बनाए रखते हैं, और यही एक प्रतिबंध उनकी सारी गतियों को दो सदिशों में, एक स्थानांतरण और एक घूर्णन में, बाँध देता है। वर्ष 1 के खंड में स्थिर अक्ष के परितः घूमते ठोस का विशेष प्रसंग लिया गया था; यह अध्याय किसी दृढ़ पिंड की सामान्य शुद्धगतिकी, उसकी गतिज ऊर्जा और कोणीय संवेग, उसकी गति के नियम, और वह नियम देता है जो हर पहिये, टायर, ब्रेक और सीढ़ी पर राज करता है: शुष्क घर्षण का कूलॉम नियम।

1.1 दृढ़ पिंड की शुद्धगतिकी

परिभाषा 1.1 (दृढ़ पिंड)

दृढ़ पिंड (या ठोस) बिंदुओं का ऐसा निकाय है जिसके बिंदुओं की आपसी दूरियाँ अचर रहती हैं: $\|\vect{AB}\|$ उसके हर बिंदु-युग्म $A$ , $B$ के लिए समय पर निर्भर नहीं करता। जिस तंत्र में ठोस का हर बिंदु विरामावस्था में हो, वह ठोस से बद्ध तंत्र कहलाता है।

प्रमेय 1.2 (दृढ़ पिंड का वेग क्षेत्र)

हर क्षण एक सदिश $\vect\Omega$ ऐसा होता है, जो ठोस का घूर्णन सदिश कहलाता है (मात्रक $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ), कि उसके किन्हीं दो बिंदुओं $A$ और $M$ के वेग किसी तंत्र $\mathcal R$ में

\vect v_M = \vect v_A + \vect\Omega\wedge\vect{AM} .

को संतुष्ट करते हैं। $\vect\Omega$ $A$ के चुनाव पर निर्भर नहीं करता; ठोस में स्थिर कोई सदिश $\vect u$ $\dd\vect u/\dd t = \vect\Omega\wedge\vect u$ के अनुसार बदलता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $(\vect e_1, \vect e_2, \vect e_3)$ ठोस से बद्ध कोई लांबिक मात्रक आधार है। $\vect e_i\cdot\vect e_j = \delta_{ij}$ से गुणांक $a_{ij} = \dot{\vect e}_i\cdot\vect e_j$ $a_{ij} + a_{ji} = 0$ को संतुष्ट करते हैं: अतः प्रतिचित्रण $\vect u \mapsto \dot{\vect u}$ का आव्यूह (यहाँ $\vect u$ ठोस में स्थिर है, $\vect u = \sum u_i\vect e_i$ और $u_i$ अचर) विषम-सममित है, और कोई भी विषम-सममित $3\times3$ आव्यूह $\vect u \mapsto \vect\Omega\wedge\vect u$ का आव्यूह होता है, जहाँ $\Omega_1 = a_{23}$ , $\Omega_2 = a_{31}$ , $\Omega_3 = a_{12}$ । इसे $\vect u = \vect{AM}$ पर लगाइए: $\vect v_M - \vect v_A = \vect\Omega\wedge\vect{AM}$ । यदि $\vect\Omega'$ भी यही काम करता, तो $(\vect\Omega - \vect\Omega')\wedge \vect{AM} = \vect 0$ प्रत्येक $M$ के लिए होता, अतः $\vect\Omega' = \vect\Omega$ । ∎

टिप्पणी 1.3 (तीन गतियाँ)

स्थानांतरण: $\vect\Omega = \vect 0$ , सब बिंदुओं का वेग एक ही होता है (गति सीधी रेखा में हो, यह आवश्यक नहीं: विशाल-चक्र की कुर्सी वृत्त पर स्थानांतरित होती है)। स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः घूर्णन: $\Delta$ के बिंदु विरामावस्था में रहते हैं, $\vect\Omega = \omega\,\vect e_\Delta$ , और अक्ष से $r$ दूरी पर का बिंदु $r|\omega|$ चाल से वृत्त पर चलता है — यही वर्ष 1 के खंड का प्रसंग था। सामान्य गति दोनों को जोड़ती है: $\vect v_M = \vect v_G + \vect\Omega\wedge\vect{GM}$ , अर्थात् द्रव्यमान केंद्र के वेग से स्थानांतरण और उसके ऊपर $G$ के परितः घूर्णन।

परिभाषा 1.4 (बिना फिसले लुढ़कना)

दो ठोस $S_1$ और $S_2$ किसी बिंदु $I$ पर स्पर्श करते हैं। $S_1$ का $S_2$ पर सर्पण वेग $\vect v_{\text{सर्पण}} = \vect v_{I \in S_1} - \vect v_{I \in S_2}$ है, अर्थात् उन दो भौतिक बिंदुओं के वेगों का अंतर जो इस क्षण $I$ पर संपाती हैं। $S_1$ उस दशा में $S_2$ पर बिना फिसले लुढ़कता है जब $\vect v_{\text{सर्पण}} = \vect 0$ हो। स्थिर धरातल पर बिना फिसले लुढ़कते $R$ त्रिज्या के पहिये के लिए, जिसके केंद्र का वेग $v_G$ और कोणीय वेग $\omega$ है, यह प्रतिबंध $v_G = R\omega$ बनता है (चिह्न ऐसे चुने गए हैं कि दाईं ओर लुढ़कता पहिया दक्षिणावर्त घूमे)।

उपपत्ति. प्रमेय 1.2 को पहिये पर $G$ और स्पर्श-बिंदु $I$ के बीच लगाइए: $\vect v_{I\in S_1} = \vect v_G + \vect\Omega \wedge\vect{GI}$ ; अब $\vect v_G = v_G\vect e_x$ , $\vect\Omega = -\omega \vect e_z$ और $\vect{GI} = -R\vect e_y$ रखने पर यह $(v_G - R\omega)\vect e_x$ होता है, जिसका शून्य होना आवश्यक है। ∎

उदाहरण 1.5 (लुढ़कते पहिये का वेग क्षेत्र)

लुढ़कते पहिये के लिए $\vect v_M = \vect\Omega\wedge\vect{IM}$ : अर्थात् हर क्षण पहिया अपने स्पर्श-बिंदु के परितः घूमता है। स्पर्श-बिंदु विरामावस्था में है, केंद्र $v = R\omega$ से चलता है, शिखर $2v$ से, और $h$ ऊँचाई पर नेमि का बिंदु $\omega\sqrt{2Rh}$ चाल से चलता है, और वह भी $\vect{IM}$ के लंबवत। वाल्व चक्रज खींचता है; चलनी से उछला पत्थर नेमि-बिंदु की चाल से, अर्थात् $2v$ तक की चाल से, निकलता है — इसीलिए ट्रकों के मडगार्ड मायने रखते हैं।

धीमे शटर से पकड़ा गया पहिया: सड़क के पास की तीलियाँ, जो लगभग विरामावस्था में हैं, स्पष्ट रहती हैं; ऊपर की तीलियाँ, जो साइकिल से दुगुनी चाल से चल रही हैं, धुँधली हो जाती हैं।

बिना फिसले लुढ़कता पहिया। बाएँ: कुछ बिंदुओं के वेग — स्पर्श-बिंदु I पर शून्य, केंद्र पर v_G = R, शिखर पर 2v_G। दाएँ: हर वेग उस रेखाखंड के लंबवत है जो बिंदु को I से जोड़ता है और उसकी लंबाई के अनुपाती है: अर्थात् हर क्षण पहिया अपने स्पर्श-बिंदु के परितः घूमता है। — बिना फिसले लुढ़कता पहिया। बाएँ: कुछ बिंदुओं के वेग — स्पर्श-बिंदु $I$ पर शून्य, केंद्र पर $v_G = R\omega$ , शिखर पर $2v_G$ । दाएँ: हर वेग उस रेखाखंड के लंबवत है जो बिंदु को $I$ से जोड़ता है और उसकी लंबाई के अनुपाती है: अर्थात् हर क्षण पहिया अपने स्पर्श-बिंदु के परितः घूमता है।

1.2 ठोस की गतिज राशियाँ

प्रतिज्ञप्ति 1.6 (संवेग, कोणीय संवेग, गतिज ऊर्जा)

$M$ द्रव्यमान और $G$ द्रव्यमान केंद्र वाले किसी ठोस के लिए, तंत्र $\mathcal R$ में:

उसका संवेग $\vect p = M\vect v_G$ है;
यदि वह किसी अक्ष $\Delta$ के परितः ( $\mathcal R$ में स्थिर, या $G$ से होकर जाती और दिशा में स्थिर) कोणीय वेग $\omega$ से घूमता है, तो उस अक्ष के अनुदिश उसका कोणीय संवेग $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$ होता है, जहाँ

$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,\dd m$

$\Delta$ के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण है ( $r$ अक्ष से दूरी; मात्रक $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ );
उसकी गतिज ऊर्जा (क्योनिग) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + E_k^*$ है, जहाँ भारकेंद्रीय तंत्र की गतिज ऊर्जा $E_k^* = \tfrac12J_{G}\omega^2$ होती है, जब घूर्णन $\omega$ पर $G$ से होकर जाती अक्ष के परितः हो — और $E_k = \tfrac12J_\Delta\omega^2$ , जब घूर्णन स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः हो।

उपपत्ति. संवेग और क्योनिग की प्रमेयें वर्ष 1 के खंड में किसी भी निकाय के लिए सिद्ध की गई थीं। $\Delta$ के परितः घूर्णन के लिए, जहाँ यह अक्ष $O$ से होकर जाती है, अक्ष से $r_i$ दूरी पर का बिंदु अक्ष के चारों ओर वृत्त पर $r_i\omega$ चाल से चलता है; $O$ के परितः उसका कोणीय संवेग $\vect e_\Delta$ पर प्रक्षेपित करने पर $m_ir_i^2\omega$ मिलता है (शेष घटक, जो सममित ठोस के लिए कट जाते हैं, यहाँ अनावश्यक हैं); अब योग कीजिए। गतिज ऊर्जा: $\sum\tfrac12m_ir_i^2 \omega^2$ । ∎

टिप्पणी 1.7 (क्या स्वीकृत है)

किसी भी घूर्णन $\vect\Omega$ के लिए पूरा सदिश $\vect L_G$ साधारणतः $\vect\Omega$ के समांतर नहीं होता: $\vect L_G = \mathbf J\,\vect\Omega$ होता है, जहाँ $\mathbf J$ जड़त्व प्रदिश है, अर्थात् एक सममित आव्यूह जिसके अभिलक्षणिक सदिश मुख्य अक्ष कहलाते हैं। इस अध्याय का हर ठोस किसी स्थिर अक्ष के परितः या $G$ से होकर जाती किसी सममिति-अक्ष के परितः घूमता है, जिसके लिए $\vect L = J\vect\Omega$ ठीक-ठीक सही है; सामान्य प्रसंग वर्ष 3 के खंड का है।

प्रतिज्ञप्ति 1.8 (जड़त्व आघूर्ण)

$M$ द्रव्यमान वाले समांगी ठोसों के लिए, $G$ से होकर जाती अक्ष के परितः: $\ell$ लंबाई की पतली छड़ (अक्ष लंबवत), $J = \tfrac1{12}M\ell^2$ ; $R$ त्रिज्या का पतला वलय या बेलनाकार कोश (अपनी अक्ष), $J = MR^2$ ; चक्रिका या ठोस बेलन, $J = \tfrac12MR^2$ ; ठोस गोला, $J = \tfrac25MR^2$ ; गोलीय कोश, $J = \tfrac23MR^2$ । ह्यूगेंस की प्रमेय (समांतर अक्ष): अक्ष $\Delta$ के परितः, जो अक्ष $\Delta_G$ (जो $G$ से होकर जाती है) के समांतर और उससे $d$ दूरी पर है,

J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2 .

उपपत्ति. छड़ के लिए: $\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,(M/\ell)\dd x = M\ell^2/12$ । अब चक्रिका, जिसके छल्ले $(2M/R^2)r\,\dd r$ द्रव्यमान के हैं: $\int_0^R r^2(2M/R^2)r\,\dd r = MR^2/2$ । और गोला: सममिति से $J = \tfrac23\int r^2\dd m$ (यहाँ $r$ केंद्र से दूरी है, क्योंकि तीनों अक्षों पर औसत लेने पर $x^2 + y^2 = \tfrac23(x^2 + y^2 + z^2)$ होता है) और $\int r^2\dd m = \int_0^R r^2(3M/R^3)r^2\dd r = \tfrac35MR^2$ । ह्यूगेंस: $\vect r_i$ को वह सदिश मानिए जो $\Delta$ से $m_i$ तक अक्ष के लंबवत जाता है, और $\vect r_i = \vect d + \vect r_i^*$ रखिए; तब $\sum m_ir_i^2 = Md^2 + 2\vect d\cdot\sum m_i\vect r_i^* + \sum m_ir_i^{*2}$ मिलता है, और बीच वाला योग $G$ की परिभाषा से लुप्त हो जाता है। ∎

उदाहरण 1.9 (एक गतिपालक चक्र)

$50\,\mathrm{kg}$ की और $30\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की इस्पात-चक्रिका: $J = \tfrac12 \times 50 \times 0.09 = 2.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $3000\,\mathrm{rpm}$ पर ( $\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ) वह $\tfrac12J\omega^2 = 111\,\mathrm{kJ}$ संचित करती है, जो $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर चलती छोटी कार की गतिज ऊर्जा है। ऊर्जा-भंडारण के गतिपालक चक्र निर्वात में चुंबकीय धारकों पर कार्बन-रेशे के घूर्णक $50\,000\,\mathrm{rpm}$ पर घुमाते हैं: ऊर्जा $\omega^2$ की तरह बढ़ती है, और सीमा नेमि की तनन-सामर्थ्य लगाती है।

1.3 ठोस की गतिकी

प्रमेय 1.10 (ठोस की गति के नियम)

किसी गैलीलीय तंत्र में, बाह्य बलों $\vect F_i$ के अधीन, जो बिंदुओं $A_i$ पर लगे हैं, किसी ठोस के लिए:

(संवेग) $M\,\dd\vect v_G/\dd t = \sum\vect F_i$ ;
( $G$ के परितः, या किसी स्थिर बिंदु $O$ के परितः, कोणीय संवेग) $\dd\vect L_G/\dd t = \sum\vect{GA_i}\wedge\vect F_i$ ; किसी स्थिर अक्ष $\Delta$ पर, या $G$ से होकर जाती स्थिर दिशा वाली उस अक्ष पर जिसके परितः ठोस $\omega$ से घूमता है, प्रक्षेपित करने पर: $J_\Delta\,\dd\omega/\dd t = \mathcal M_\Delta$ , जहाँ दायाँ पक्ष अक्ष के परितः बाह्य बलों के आघूर्णों का योग है;
(शक्ति) किसी ठोस पर बलों के समुच्चय की शक्ति $\mathcal P = \vect R\cdot\vect v_A + \vect{\mathcal M}_A\cdot \vect\Omega$ होती है, जहाँ $A$ ठोस का कोई भी बिंदु है, $\vect R$ बलों का योग और $\vect{\mathcal M}_A$ $A$ के परितः उनका कुल आघूर्ण है; किसी ठोस के आंतरिक बलों की शक्ति शून्य होती है, और $\dd E_k/\dd t = \mathcal P_{\text{बाह्य}}$ ।

उपपत्ति. (1) और (2) बिंदु-निकायों के लिए वर्ष 1 के खंड की प्रमेयें ही हैं ( $G$ के परितः कोणीय संवेग प्रमेय तब भी लागू होती है जब $G$ त्वरित हो, क्योंकि भारकेंद्रीय तंत्र के जड़त्वीय बलों का आघूर्ण $G$ के परितः शून्य होता है)। (3) $\vect v_{A_i} = \vect v_A + \vect\Omega \wedge\vect{AA_i}$ रखने पर: $\sum\vect F_i\cdot\vect v_{A_i} = \vect R\cdot\vect v_A + \sum\vect F_i\cdot(\vect\Omega\wedge\vect{AA_i}) = \vect R\cdot\vect v_A + \vect\Omega\cdot\sum\vect{AA_i}\wedge\vect F_i$ (मिश्र गुणन)। आंतरिक बल: उनका योग और उनका कुल आघूर्ण दोनों लुप्त होते हैं (क्रिया–प्रतिक्रिया, एक ही रेखा पर), अतः किसी ठोस पर उनकी शक्ति शून्य है — पर किसी विरूपणीय निकाय पर नहीं। तब गतिज ऊर्जा प्रमेय में केवल बाह्य शक्ति बचती है। ∎

परिभाषा 1.11 (आदर्श धुरी)

जब धारक के स्पर्श-बलों का आघूर्ण $\Delta$ के परितः शून्य हो, तब कोई ठोस स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः आदर्श धुरी पर (अर्थात् आदर्श धारक में) घूमता है; तब वे कोई शक्ति नहीं देते (अक्ष पर $\vect v_A = \vect 0$ , $\mathcal M_\Delta = 0$ )। वास्तविक धारक इसमें घर्षण-बलाघूर्ण $-\Gamma_f\operatorname{sgn}\omega$ जोड़ देता है, या श्यान बलाघूर्ण $-h\omega$ ।

प्रतिज्ञप्ति 1.12 (भौतिक लोलक)

$M$ द्रव्यमान का कोई ठोस आदर्श धुरी पर किसी क्षैतिज स्थिर अक्ष $\Delta$ के परितः झूलता है, और उसका द्रव्यमान केंद्र अक्ष से $d$ दूरी पर है। $\theta$ को नीचे की ऊर्ध्वाधर से $\vect{OG}$ का कोण मानने पर,

J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta ,

मिलता है, अतः छोटे दोलनों का आवर्तकाल $T = 2\pi\sqrt{J_\Delta/Mgd}$ है — जो $\ell_{\text{तुल्य}} = J_\Delta/Md$ लंबाई के सरल लोलक का आवर्तकाल है।

उपपत्ति. $\Delta$ के परितः कोणीय संवेग प्रमेय: भार का आघूर्ण $-Mgd\sin\theta$ है, धुरी का शून्य। अब रैखिकीकरण कीजिए। ∎

उदाहरण 1.13 (मीटर-पट्टी)

एक सिरे पर टँगी मीटर-पट्टी: $J = \tfrac13M\ell^2$ (ह्यूगेंस से, $\tfrac1{12}M\ell^2$ लेकर), $d = \ell/2$ , $\ell_{\text{तुल्य}} = \tfrac23\ell = 0.667\,\mathrm{m}$ और $T = 1.64\,\mathrm{s}$ — अर्थात् पूरी पट्टी का लोलक अपने केंद्र पर टँगे बिंदु-द्रव्यमान ( $1.42\,\mathrm{s}$ ) से धीमे और सिरे पर टँगे बिंदु-द्रव्यमान ( $2.0\,\mathrm{s}$ ) से तेज़ धड़कता है।

बाएँ: भौतिक लोलक — धुरी के परितः भार का आघूर्ण घूर्णन चलाता है, धुरी के बल का कोई आघूर्ण नहीं होता। दाएँ: क्षैतिज धरातल पर लुढ़कते पहिये पर लगे बल: भार, स्पर्श-बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया N और स्पर्शीय घर्षण T, जिसका परिमाण कूलॉम के नियम से परिबद्ध है। — बाएँ: भौतिक लोलक — धुरी के परितः भार का आघूर्ण घूर्णन चलाता है, धुरी के बल का कोई आघूर्ण नहीं होता। दाएँ: क्षैतिज धरातल पर लुढ़कते पहिये पर लगे बल: भार, स्पर्श-बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect N$ और स्पर्शीय घर्षण $\vect T$ , जिसका परिमाण कूलॉम के नियम से परिबद्ध है।

1.4 स्पर्श-बल और कूलॉम घर्षण

परिभाषा 1.14 (स्पर्श-बल: अभिलंब और स्पर्शीय)

स्पर्श-बिंदु $I$ पर किसी आधार द्वारा ठोस पर लगाया गया बल दो भागों में बँटता है: अभिलंब प्रतिक्रिया $\vect N$ , जो उभयनिष्ठ स्पर्श-समतल के लंबवत और ठोस की ओर दिष्ट होती है ( $N \ge 0$ : आधार केवल धकेल सकता है), और स्पर्श-समतल में स्थित स्पर्शीय घटक $\vect T$ , जो घर्षण बल है।

प्रमेय 1.15 (शुष्क घर्षण के कूलॉम नियम)

स्पर्श में दो शुष्क ठोसों के लिए, जिनका घर्षण गुणांक $f$ पदार्थों और उनकी पृष्ठ-दशा पर निर्भर करता है, पर न स्पर्श-क्षेत्रफल पर और न (अच्छे सन्निकटन में) चाल पर:

यदि ठोस एक-दूसरे पर फिसलते हैं ( $\vect v_{\text{सर्पण}} \ne \vect 0$ ), तो घर्षण बल सर्पण वेग के विपरीत दिशा में होता है और उसका परिमाण $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ होता है (गतिज घर्षण);
यदि वे नहीं फिसलते, तो $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ (स्थैतिक घर्षण): तब घर्षण बल उस सीमा के भीतर वही होता है जो गति के शेष नियम माँगते हैं, और उसकी दिशा पहले से ज्ञात नहीं होती।

आदर्श स्पर्श $f = 0$ का आदर्शीकरण है: $\vect T = \vect 0$ ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 1.16 (कूलॉम के नियमों को पढ़ना)

पहला नियम एक समीकरण है, दूसरा एक असमिका — और घर्षण की समस्याओं की सारी कठिनाई इसी में है। विधि यह है कि पहले फिसलन न होने की कल्पना कीजिए, $\vect T$ और $\vect N$ निकालिए, और $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ की जाँच कीजिए; जाँच विफल हो तो ठोस फिसलता है, सर्पण के विपरीत $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ होता है, और समस्या फिर से हल की जाती है। ज्यामितीय रूप से, स्पर्श-बल को $\varphi$ अर्ध-कोण के घर्षण शंकु के भीतर रहना पड़ता है, जहाँ $\tan\varphi = f$ है। प्रारूपिक मान: सूखे डामर पर रबर $f \approx 0.8$ – $1$ , गीले डामर पर $0.4$ – $0.6$ , बर्फ पर $0.1$ ; इस्पात पर इस्पात सूखा $0.15$ , चिकनाई के साथ $0.05$ ; वास्तव में स्थैतिक गुणांक गतिज गुणांक से कुछ बड़ा होता है, इसीलिए एक बार शुरू हो जाने पर फिसलन रोकना कठिन होता है।

प्रतिज्ञप्ति 1.17 (स्पर्श-बलों की शक्ति; बिना फिसले लुढ़कना)

स्थिर आधार पर चलते ठोस पर स्पर्श-बलों की शक्ति $\mathcal P = \vect T\cdot\vect v_{I\in S}$ होती है (अभिलंब बल स्पर्श-बिंदु के वेग के लंबवत है, जो स्पर्श-समतल में रहता है)। बिना फिसले लुढ़कने में यह शक्ति शून्य होती है: तब घर्षण कोई कार्य नहीं करता, यद्यपि गति के लिए वह अनिवार्य हो सकता है। फिसलन में वह $-f N v_{\text{सर्पण}} < 0$ होती है: अर्थात् ऊष्मा।

उपपत्ति. $\mathcal P = (\vect N + \vect T)\cdot\vect v_{I\in S}$ है और $\vect v_{I\in S} = \vect v_{\text{सर्पण}}$ स्पर्श-समतल में रहता है, अतः केवल $\vect T$ का योगदान बचता है; सर्पण वेग शून्य होने पर वह शून्य है, और ठोसों के फिसलने पर वह $-fNv_{\text{सर्पण}}$ है ( $\vect T$ $\vect v_{\text{सर्पण}}$ के विपरीत)। वास्तविक लुढ़कन टायर और धरातल के विरूपण से थोड़ी ऊर्जा खोती है (लोटनिक घर्षण, जिसका प्रतिरूप छोटा बलाघूर्ण $\Gamma_r = \mu_rNR$ या तुल्य बल $\mu_rN$ है, और सड़क पर टायर के लिए $\mu_r \approx 0.01$ ): यह एक अलग और कहीं छोटा प्रभाव है। ∎

विधि 1.18 (आनत तल पर लुढ़कता ठोस)

$R$ त्रिज्या, $M$ द्रव्यमान और अपनी अक्ष के परितः $J = kMR^2$ जड़त्व आघूर्ण वाला कोई समांगी ठोस ( $k = 1$ वलय, $\tfrac12$ चक्रिका, $\tfrac25$ गोला) $\alpha$ कोण के आनत तल पर, जिसका घर्षण गुणांक $f$ है, छोड़ा जाता है। बिना फिसले लुढ़कने की कल्पना कीजिए:

ढाल के अनुदिश संवेग: $M\dot v = Mg\sin\alpha - T$ ; अभिलंब: $N = Mg\cos\alpha$ ;
$G$ के परितः कोणीय संवेग: $kMR^2\dot\omega = TR$ ;
फिसलन नहीं: $v = R\omega$ , अतः $T = kM\dot v$ और

$\dot v = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} , \qquad T = \frac{k}{1 + k}\, Mg\sin\alpha ;$
जाँच: $T \le fN \iff \tan\alpha \le f\,\dfrac{1 + k}{k}$ । इससे अधिक ढाल पर ठोस फिसलता है, $T = fMg\cos\alpha$ , $\dot v = g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ और $\dot\omega = fg\cos\alpha/kR$ हो जाते हैं।

ऊर्जा-जाँच (फिसलन नहीं, घर्षण की शक्ति शून्य): $\tfrac12(1 + k)Mv^2 = Mgh$ से $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ मिलता है — अर्थात् गोला चक्रिका को हराता है और चक्रिका वलय को, चाहे द्रव्यमान और त्रिज्या कुछ भी हों।

बाएँ: आनत तल पर लुढ़कते ठोस पर लगे बल — G पर भार, स्पर्श-बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया और घर्षण। दाएँ: चक्रिका (k = 1/2) का त्वरण ढाल के फलन के रूप में, f = 0.5 के लिए: जब तक 3f है वह बिना फिसले लुढ़कती है, फिर फिसलती है और उसका त्वरण g( - f ) के अनुसार चलता है, जो घर्षणहीन g से सदा कम रहता है। — बाएँ: आनत तल पर लुढ़कते ठोस पर लगे बल — $G$ पर भार, स्पर्श-बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया और घर्षण। दाएँ: चक्रिका ( $k = \tfrac12$ ) का त्वरण ढाल के फलन के रूप में, $f = 0.5$ के लिए: जब तक $\tan\alpha \le 3f$ है वह बिना फिसले लुढ़कती है, फिर फिसलती है और उसका त्वरण $g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ के अनुसार चलता है, जो घर्षणहीन $g\sin\alpha$ से सदा कम रहता है।

उदाहरण 1.19 (कार को त्वरित होने के लिए घर्षण क्यों चाहिए)

अग्र-चालित कार: इंजन अगले पहियों पर बलाघूर्ण लगाता है; कार पर लगा एकमात्र बाह्य क्षैतिज बल टायरों पर सड़क का घर्षण है, और यही बल कार को त्वरित करता है। पूरा भार चालक पहियों पर हो तो सूखे डामर पर अधिकतम त्वरण $fg \approx 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ होता है — और उसका आधा, यदि चालक धुरी पर आधा ही भार टिका हो; बर्फ पर $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । इंजन का कार्य सड़क नहीं करती (उसका स्पर्श-बिंदु तो विरामावस्था में है): वह आंतरिक कार्य है, जिसे संचरण-तंत्र गतिज ऊर्जा में बदलता है — ठीक वैसे ही जैसे चलते हुए व्यक्ति को ऊर्जा उसकी माँसपेशियों के आंतरिक बल देते हैं, धरती नहीं।

उदाहरण 1.20 (फिसलन से लुढ़कन तक)

बोलिंग की गेंद बिना चक्रण के $v_0$ से फिसलती हुई छोड़ी जाती है। गतिज घर्षण $fMg$ केंद्र को धीमा करता है ( $\dot v = -fg$ ) और गेंद को चक्रण देता है ( $\tfrac25MR^2\dot\omega = fMgR$ , $\dot\omega = 5fg/2R$ ), जब तक $v = R\omega$ न हो जाए: यह $t_1 = 2v_0/7fg$ पर होता है, और तब $v_1 = \tfrac57v_0$ । उसके बाद वह बिना फिसले अचर चाल से लुढ़कती है। चाल का दो-सातवाँ भाग, और गतिज ऊर्जा का $1 - (\tfrac57)^2\tfrac75 = \tfrac27$ भाग, फिसलन में ऊष्मा बनकर खो जाता है — $f$ चाहे कुछ भी हो; $f$ केवल यह तय करता है कि कितनी जल्दी।

बिना चक्रण के फिसलती छोड़ी गई गेंद: गतिज घर्षण केंद्र को रोकता है और गेंद को चक्रण देता है, समय में रैखिक रूप से, जब तक R v_G को 5/7v_0 पर न पकड़ ले; उसके बाद गेंद बिना फिसले लुढ़कती है और घर्षण काम करना बंद कर देता है। — बिना चक्रण के फिसलती छोड़ी गई गेंद: गतिज घर्षण केंद्र को रोकता है और गेंद को चक्रण देता है, समय में रैखिक रूप से, जब तक $R\omega$ $v_G$ को $\tfrac57v_0$ पर न पकड़ ले; उसके बाद गेंद बिना फिसले लुढ़कती है और घर्षण काम करना बंद कर देता है।

1.5 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

जड़त्व आघूर्ण: (क) $1.0\,\mathrm{m}$ लंबी, $0.50\,\mathrm{kg}$ की छड़, पहले उसके केंद्र से जाती लंबवत अक्ष के परितः, फिर एक सिरे से जाती अक्ष के परितः; (ख) $20\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की $2.0\,\mathrm{kg}$ चक्रिका, पहले अपनी अक्ष के परितः, फिर उसकी नेमि से जाती समांतर अक्ष के परितः; (ग) $57\,\mathrm{mm}$ व्यास की $0.16\,\mathrm{kg}$ बिलियर्ड-गेंद। (घ) समान द्रव्यमान और त्रिज्या का पतला वलय और ठोस चक्रिका: किसे घुमाना कठिन है, और कितने गुना?

हल

हल — अभ्यास 1.1.

(क) $\tfrac1{12}M\ell^2 = 4.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; एक सिरे से (ह्यूगेंस, $d = \ell/2$ ): $\tfrac13M\ell^2 = 0.167\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ । (ख) $\tfrac12MR^2 = 4.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; नेमि पर $\tfrac32MR^2 = 0.12\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ । (ग) $\tfrac25 \times 0.16 \times (0.0285)^2 = 5.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ । (घ) वलय, क्योंकि $MR^2$ बनाम $\tfrac12MR^2$ : दुगुना।

अभ्यास 1.2 ★

कोई साइकिल $70\,\mathrm{cm}$ व्यास के पहियों पर $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती है। पहियों का कोणीय वेग; धरातल-तंत्र में वाल्व की चाल जब वह पहिये के शिखर पर, तल पर, और सामने (धुरी की ऊँचाई पर) हो; साइकिल के ढाँचे के सापेक्ष चलनी की चाल। चलनी में फँसा पत्थर शिखर पर छूट जाता है: वह किस चाल से निकलता है?

हल

हल — अभ्यास 1.2.

$v = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = v/R = 5/0.35 = 14.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ । शिखर: आगे की ओर $2v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; तल: $0$ ; सामने: $\vect v_G + \vect\Omega \wedge\vect{GM} = (v, -v)$ , अर्थात् नीचे की ओर $45{}^{\circ}$ पर $v\sqrt2 = 7.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । साइकिल के सापेक्ष चलनी हर जगह $R\omega = v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती है। पत्थर क्षैतिज दिशा में आगे की ओर $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से निकलता है।

अभ्यास 1.3 ★

कोई गतिपालक चक्र $25\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की $40\,\mathrm{kg}$ इस्पात-चक्रिका है। (क) $6000\,\mathrm{rpm}$ पर संचित ऊर्जा। (ख) उसे विराम से $2.0\,\mathrm{min}$ में घुमा देने के लिए आवश्यक अचर बलाघूर्ण; घुमाव के अंत में शक्ति। (ग) किसी बस में उसे $10\,\mathrm{s}$ तक $20\,\mathrm{kW}$ देना है: वह किस चाल तक धीमा हो जाएगा? (घ) तेज़ गतिपालक चक्र निर्वात में क्यों चलाए जाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 1.3.

$J = \tfrac12 \times 40 \times 0.25^2 = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $\omega = 628\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ । (क) $E = \tfrac12J\omega^2 = 246\,\mathrm{kJ}$ । (ख) $\Gamma = J\omega/\Delta t = 1.25 \times 628/120 = 6.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; अंत में $P = \Gamma\omega = 4.1\,\mathrm{kW}$ । (ग) $200\,\mathrm{kJ}$ निकाल लेने पर $46\,\mathrm{kJ}$ बचती है: $\omega = \sqrt{2 \times 46\,000/1.25} = 271\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 2600\,\mathrm{rpm}$ । (घ) नेमि पर वायु-कर्षण $\omega^2$ की तरह बढ़ता है (शक्ति $\omega^3$ की तरह) और घूर्णक को गरम कर धीमा कर देता; निर्वात में चुंबकीय धारकों पर हानि कुछ वाट रह जाती है।

अभ्यास 1.4 ★

$R$ त्रिज्या की एक समांगी चक्रिका अपनी नेमि के किसी बिंदु से जाती क्षैतिज अक्ष के परितः ऊर्ध्वाधर तल में झूलती है। उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण; $R = 20\,\mathrm{cm}$ के लिए छोटे दोलनों का आवर्तकाल; तुल्य सरल लोलक की लंबाई। वही प्रश्न, जब अक्ष केंद्र से $R/2$ दूरी पर हो। सबसे छोटे आवर्तकाल के लिए अक्ष कहाँ होनी चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 1.4.

$J = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$ , $d = R$ : $\ell_{\text{तुल्य}} = \tfrac32R = 0.30\,\mathrm{m}$ , $T = 2\pi\sqrt{0.30/9.81} = 1.10\,\mathrm{s}$ । $R/2$ पर: $J = \tfrac12MR^2 + \tfrac14MR^2 = \tfrac34MR^2$ , $d = R/2$ , $\ell_{\text{तुल्य}} = \tfrac32R$ फिर वही, अतः आवर्तकाल भी वही। साधारणतः $\ell_{\text{तुल्य}}(d) = (R^2/2 + d^2)/d$ , जो $d = R/\sqrt2$ पर न्यूनतम है: $\ell_{\text{तुल्य}} = R\sqrt2 = 0.283\,\mathrm{m}$ , $T = 1.07\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 1.5 ★★

समान त्रिज्या के एक वलय, एक चक्रिका और एक गोले को $2.0\,\mathrm{m}$ ऊँचे, $20{}^{\circ}$ ढाल वाले आनत तल के शिखर से एक साथ छोड़ा जाता है, $f = 0.30$ । (क) जाँचिए कि तीनों बिना फिसले लुढ़कते हैं। (ख) प्रत्येक की तल पर चाल; पहुँचने का क्रम। (ग) प्रत्येक का लिया गया समय। (घ) दिखाइए कि गोले पर घर्षण बल $\tfrac27Mg\sin\alpha$ है और वह कोई कार्य नहीं करता। (ङ) किस ढाल पर वलय फिसलने लगेगा? गोला?

हल

हल — अभ्यास 1.5.

(क) $\tan20^\circ = 0.36 \le f(1 + k)/k$ , अर्थात् $\le 0.6$ (वलय), $0.9$ (चक्रिका), $1.05$ (गोला): तीनों लुढ़कते हैं। (ख) $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ : वलय $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , चक्रिका $5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , गोला $5.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; गोला पहले, वलय अंत में। (ग) लंबाई $h/\sin\alpha = 5.85\,\mathrm{m}$ , $a = g\sin\alpha/(1 + k) = 1.68$ , $2.24$ , $2.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $t = \sqrt{2d/a} = 2.6$ , $2.3$ , $2.2\,\mathrm{s}$ । (घ) $T = \dfrac{k}{1 + k}Mg\sin\alpha = \tfrac27Mg\sin\alpha$ ; स्पर्श-बिंदु विरामावस्था में है, अतः $\vect T\cdot\vect v_I = 0$ । (ङ) वलय: $\tan\alpha > 2f = 0.6$ , $\alpha > 31{}^{\circ}$ ; गोला: $\tan\alpha > 3.5f = 1.05$ , $\alpha > 46{}^{\circ}$ ।

अभ्यास 1.6 ★★

चक्रिका-ब्रेक। किसी पहिये और उसकी ब्रेक-चक्रिका का $J = 1.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ है और वे $900\,\mathrm{rpm}$ पर घूमते हैं; दो पैड चक्रिका पर $12\,\mathrm{cm}$ की औसत त्रिज्या पर दबते हैं, प्रत्येक $800\,\mathrm{N}$ अभिलंब बल से, $f = 0.40$ । ब्रेक-बलाघूर्ण; कोणीय मंदन; रुकने का समय और चक्करों की संख्या; निकली ऊष्मा, और $1.5\,\mathrm{kg}$ इस्पात-चक्रिका का ताप-वर्धन ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) यदि वह सारी ऊष्मा अपने पास रखे।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

$\Gamma = 2fNr = 2 \times 0.4 \times 800 \times 0.12 = 77\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; $\dot\omega = \Gamma/J = 64\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$ ; $\omega_0 = 94\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $t = 1.5\,\mathrm{s}$ ; $\theta = \omega_0^2/2\dot\omega = 69\,\mathrm{rad} = 11$ चक्कर; ऊष्मा $= \tfrac12J \omega_0^2 = 5.3\,\mathrm{kJ}$ , $\Delta T = 5300/(1.5 \times 470) = 7.6\,\mathrm{K}$ ।

अभ्यास 1.7 ★★

वास्तविक घिरनी वाली एटवुड मशीन। $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ और $m_2 = 1.5\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान एक रस्सी से, आदर्श धुरी पर टिकी $R = 10\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या और $J = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ जड़त्व आघूर्ण वाली घिरनी पर, लटके हैं; रस्सी घिरनी पर नहीं फिसलती। (क) दोनों रस्सी-तनाव अलग क्यों हैं? (ख) दोनों द्रव्यमानों और घिरनी के समीकरण; त्वरण। (ग) दोनों तनाव। (घ) द्रव्यमानहीन घिरनी से तुलना कीजिए; ऊर्जा से त्वरण फिर से निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 1.7.

(क) घिरनी को घुमाने के लिए रस्सी को कुल बलाघूर्ण देना पड़ता है: $T_1 \ne T_2$ । (ख) $m_1a = m_1g - T_1$ , $m_2a = T_2 - m_2g$ , $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ , और $a = R\dot\omega$ : $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 0.5 \times 9.81/4.0 = 1.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । (ग) $T_1 = m_1(g - a) = 17.2\,\mathrm{N}$ , $T_2 = m_2(g + a) = 16.6\,\mathrm{N}$ । (घ) द्रव्यमानहीन घिरनी: $1.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । ऊर्जा से: $(m_1 - m_2)gx = \tfrac12(m_1 + m_2 + J/R^2)v^2$ ; अब अवकलन कीजिए।

अभ्यास 1.8 ★★

सीढ़ी। $\ell$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की एक समांगी सीढ़ी क्षैतिज से $\theta$ कोण पर किसी चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार से टिकी है; धरातल का घर्षण गुणांक $f$ है। (क) बल और पाद के परितः उनके आघूर्ण; साम्य के समीकरण। (ख) दिखाइए कि साम्य के लिए $\tan\theta \ge 1/2f$ आवश्यक है। (ग) $f = 0.40$ के लिए न्यूनतम कोण। (घ) $60{}^{\circ}$ पर लगी सीढ़ी पर $3m$ द्रव्यमान का व्यक्ति चढ़ता है: वह ( $\ell$ के किस अंश तक) कितनी ऊपर जा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 1.8.

(क) बीच में भार $mg$ ; दीवार: शिखर पर क्षैतिज $N_w$ ; धरातल: ऊर्ध्वाधर $N = mg$ और क्षैतिज घर्षण $T = N_w$ । पाद के परितः आघूर्ण: $mg\,\tfrac{\ell}2\cos\theta = N_w\ell\sin\theta$ । (ख) $T = N_w = mg/(2\tan\theta) \le fmg \iff \tan\theta \ge 1/2f$ । (ग) $\tan\theta \ge 1.25$ , $\theta \ge 51{}^{\circ}$ । (घ) $x$ पर व्यक्ति: $N = 4mg$ , $N_w = mg(\tfrac12 + 3x/\ell)/\tan60^\circ \le 4fmg = 1.6mg$ : $x/\ell \le (2.77 - 0.5)/3 = 0.76$ ।

अभ्यास 1.9 ★★

पश्च-चक्रण। किसी बिलियर्ड-गेंद को ऐसे मारा जाता है कि वह केंद्र-चाल $v_0$ और पश्च-चक्रण $\omega_0$ (लुढ़कन के विपरीत घूर्णन) लेकर निकले। घर्षण गुणांक $f$ । (क) फिसलते समय $v$ और $\omega$ के समीकरण। (ख) वह समय जिस पर वह बिना फिसले लुढ़कने लगती है और तब उसकी चाल, $v_0$ और $R\omega_0$ के फलन के रूप में। (ग) गेंद के खिलाड़ी की ओर लौट आने के लिए $R\omega_0$ पर प्रतिबंध। (घ) अंक: $v_0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $R\omega_0 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 0.2$ , $R = 2.9\,\mathrm{cm}$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

(क) स्पर्श-बिंदु आगे की ओर $v + R\omega$ से चलता है (पश्च-चक्रण के लिए $\omega > 0$ ): केंद्र पर घर्षण $-fmg$ , अतः $\dot v = -fg$ ; चक्रण पर बलाघूर्ण $-fmgR$ : $\dot\omega = -5fg/2R$ । (ख) सर्पण $v + R\omega = v_0 + R\omega_0 - \tfrac72fgt$ $t_1 = 2(v_0 + R\omega_0)/7fg$ पर लुप्त होता है, और तब $v_1 = v_0 - fgt_1 = (5v_0 - 2R\omega_0)/7$ । (ग) $v_1 < 0 \iff R\omega_0 > \tfrac52v_0$ । (घ) $t_1 = 16/(7 \times 1.96) = 1.2\,\mathrm{s}$ ; $v_1 = (10 - 12)/7 = -0.29\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : अर्थात् वह लौट आती है।

अभ्यास 1.10 ★★★

फिरकी। कोई फिरकी (द्रव्यमान $M$ , अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $J = kMR^2$ , बाहरी त्रिज्या $R$ ) क्षैतिज मेज़ पर रखी है; $r < R$ त्रिज्या की उसकी भीतरी नाभि पर लिपटे धागे को क्षैतिज दिशा में बल $F$ से खींचा जाता है, और धागा नाभि के नीचे से निकलता है। (क) बिना फिसले लुढ़कना मानकर संवेग और कोणीय-संवेग के समीकरण लिखिए और केंद्र का त्वरण निकालिए; फिरकी किस ओर लुढ़कती है? (ख) आवश्यक घर्षण बल, और बिना फिसले लुढ़कने के लिए $F$ पर प्रतिबंध। (ग) वही प्रश्न, जब धागा क्षैतिज से $\beta$ कोण ऊपर की ओर खींचा जाए; दिखाइए कि $\cos\beta = r/R$ होने पर फिरकी स्थिर रहती है, और इसे ज्यामितीय रूप से समझाइए (स्पर्श-बिंदु से जाती तात्क्षणिक अक्ष)। (घ) $\cos\beta < r/R$ पर क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 1.10.

(क) $x$ को खिंचाव की दिशा में लेकर, घर्षण $T$ $x$ के अनुदिश: $Ma = F + T$ ; $G$ के परितः आघूर्ण (वामावर्त): $rF + RT = -kMRa$ (लुढ़कन में $\omega_z = -a/R$ )। अतः $a = F(R - r)/(1 + k)MR > 0$ : फिरकी धागे को लपेटती हुई खिंचाव की ओर लुढ़कती है। (ख) $T = -F(kR + r)/(1 + k)R$ (पीछे की ओर); फिसलन नहीं, यदि $F \le fMg(1 + k)R/(kR + r)$ । (ग) धागे की क्रिया-रेखा नाभि की स्पर्श-रेखा है; स्पर्श-बिंदु $I$ के परितः उसका आघूर्ण $F(r - R\cos\beta)$ है, जो $\cos\beta > r/R$ पर दक्षिणावर्त (आगे की ओर लुढ़कन) होता है, और शून्य तब जब रेखा $I$ से होकर जाए — अर्थात् तात्क्षणिक अक्ष से — और तब $a = F(R\cos\beta - r)/(1 + k)MR$ , $T = -F(kR\cos\beta + r)/(1 + k)R$ , $N = Mg - F\sin\beta$ । (घ) $\cos\beta < r/R$ पर $I$ के परितः आघूर्ण वामावर्त होता है: फिरकी खींचने वाले से दूर लुढ़कती है।

अभ्यास 1.11 ★★★

बिलियर्ड-गेंद कहाँ मारें। कोई क्यू विराम में पड़ी गेंद को क्षैतिज संवेग-आवेग $P$ (बहुत छोटी अवधि का बल) देती है; गेंद की त्रिज्या $R$ है और प्रहार मेज़ से $h$ ऊँचाई पर होता है। (क) प्रहार के तुरंत बाद संवेग और कोणीय संवेग (प्रहार के दौरान घर्षण नगण्य)। (ख) दिखाइए कि $h = \tfrac75R$ होने पर गेंद तुरंत बिना फिसले लुढ़कती है, इससे ऊपर उसमें अग्र-चक्रण होता है और नीचे पश्च-चक्रण। (ग) $h = R$ (केंद्र पर प्रहार) के लिए, $f = 0.2$ और $v_0 = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर गेंद लुढ़कने से पहले कितनी दूर फिसलती है? (घ) बिलियर्ड-मेज़ की गद्दी $\tfrac75R$ ऊँचाई पर क्यों बनाई जाती है?

हल

हल — अभ्यास 1.11.

(क) $Mv_0 = P$ ; $G$ के परितः: $\tfrac25MR^2\omega_0 = P(h - R)$ ( $h > R$ के लिए अग्र-चक्रण की दिशा)। (ख) $v_0 = R\omega_0 \iff 2R = 5(h - R) \iff h = \tfrac75R$ ; इससे ऊपर $R\omega_0 > v_0$ (अग्र-चक्रण), इससे नीचे पश्च-चक्रण। (ग) $\omega_0 = 0$ : वह $t_1 = 2v_0/7fg = 0.44\,\mathrm{s}$ तक फिसलती है, दूरी $v_0t_1 - \tfrac12fgt_1^2 = 1.1\,\mathrm{m}$ । (घ) $\tfrac75R$ पर बनी गद्दी गेंद को बिना फिसले लुढ़कती हुई लौटाती है: न फिसलन की अवस्था, न कपड़े में खोई चाल, अतः उछाल पूर्वानुमेय।

अभ्यास 1.12 ★★★

कटोरे में बेलन। $r$ त्रिज्या का कोई ठोस बेलन $R > r$ त्रिज्या के स्थिर बेलनाकार पृष्ठ के भीतर बिना फिसले लुढ़कता है; दोनों अक्ष क्षैतिज और समांतर हैं। $\theta$ को ऊर्ध्वाधर से केंद्र-रेखा का कोण मानिए। (क) $\dot\theta$ के पदों में बेलन का अपनी ही अक्ष के परितः कोणीय वेग व्यक्त कीजिए (संकेत: स्पर्श-बिंदु विरामावस्था में है)। (ख) गतिज और स्थितिज ऊर्जा; दिखाइए कि छोटे दोलनों का आवर्तकाल $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ है। (ग) कटोरे में बिना घर्षण फिसलते बिंदु से तुलना कीजिए। (घ) आयाम $\theta_0$ (छोटे कोण) पर बिना फिसले लुढ़कने के लिए न्यूनतम घर्षण गुणांक।

हल

हल — अभ्यास 1.12.

(क) $v_G = (R - r)\dot\theta$ ; स्पर्श-बिंदु विरामावस्था में है, अतः बेलन अपनी अक्ष के परितः $\omega = v_G/r = (R - r)\dot\theta/r$ से घूमता है। (ख) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + \tfrac12\cdot\tfrac12Mr^2\omega^2 = \tfrac34M(R - r)^2 \dot\theta^2$ , $E_p = -Mg(R - r)\cos\theta$ ; $\dd E/\dd t = 0$ से $\ddot\theta + \dfrac{2g}{3(R - r)}\sin\theta = 0$ , $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ । (ग) बिना घर्षण फिसलता बिंदु: $2\pi\sqrt{(R - r)/g}$ — अर्थात् लुढ़कन $\sqrt{3/2}$ गुना धीमी है, क्योंकि ऊर्जा का एक-तिहाई घूर्णन में है। (घ) स्पर्शीय: $M(R - r)\ddot\theta = -Mg\sin\theta + T$ , अतः $T = \tfrac13Mg\sin\theta$ ; लौटने के बिंदु पर $N = Mg\cos\theta_0$ : $f \ge \tfrac13\tan\theta_0 \approx \theta_0/3$ ।

1.6 समस्या: पहियों पर चलता वाहन

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — कार अपने टायरों से क्या माँगती है: लुढ़कना, त्वरण, ब्रेक, और वह एक बल जो यह सब करता है

$M = 1200\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान की किसी कार का धुरांतर $L = 2.6\,\mathrm{m}$ है; उसका द्रव्यमान केंद्र $h = 0.55\,\mathrm{m}$ ऊँचाई पर और क्षैतिज दूरियों $a = 1.1\,\mathrm{m}$ (अगली धुरी से) तथा $b = 1.5\,\mathrm{m}$ (पिछली धुरी से) पर है। चारों पहियों में से हर एक की त्रिज्या $R = 0.31\,\mathrm{m}$ , द्रव्यमान $m = 15\,\mathrm{kg}$ और अपनी धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $J = 1.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ है। टायर–सड़क घर्षण गुणांक $f = 0.80$ (सूखा); लोटनिक-घर्षण गुणांक $\mu_r = 0.012$ । $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

भाग I — लुढ़कना।

कार $v = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती है। पहियों का कोणीय वेग; सड़क-तंत्र में टायर के शिखर, तल और सामने वाले बिंदुओं के वेग।
कार की कुल गतिज ऊर्जा, जिसमें पूरे की स्थानांतरी गति और चारों पहियों का घूर्णन अलग-अलग दिखाइए; पहियों के घूर्णन का अंश कितना है?
समतल धरातल पर विराम में, संवेग और कोणीय-संवेग के समीकरणों से अभिलंब बल $N_f$ (दोनों अगले पहिये मिलाकर) और $N_r$ (दोनों पिछले) — कौन-सी धुरी अधिक भार उठाती है?
हर पहिये पर लोटनिक-घर्षण बलाघूर्ण $\mu_rNR$ है। $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर लोटनिक घर्षण से क्षयित शक्ति; वायुगतिक कर्षण $\tfrac12\rho C_xSv^2$ से तुलना कीजिए, जिसमें $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ।
इंजन बंद कर दिया जाता है और कार समतल धरातल पर लुढ़कती जाती है: $v(t)$ का समीकरण लिखिए (पहियों के जड़त्व को प्रभावी द्रव्यमान के रूप में जोड़िए) और कर्षण को नगण्य मानकर $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ तक धीमा होने की दूरी आँकिए; फिर केवल कर्षण लेकर।

भाग II — त्वरण। कार अग्र-चालित है; इंजन दोनों अगले पहियों पर मिलाकर बलाघूर्ण $\Gamma$ लगाता है। यहाँ कर्षण और लोटनिक घर्षण की उपेक्षा कीजिए।

पूरी कार पर लगे बाह्य बल खींचिए। कौन-सा बल उसे त्वरित करता है? कार पर सड़क की शक्ति क्या है, और गतिज ऊर्जा कहाँ से आती है?
कार का संवेग समीकरण, अगले पहियों का अपनी धुरी के परितः कोणीय-संवेग समीकरण, और बिना फिसलने का प्रतिबंध लिखिए; दिखाइए कि त्वरण $\dot v = \Gamma/R\,/\,(M + 4J/R^2)$ है और प्रभावी द्रव्यमान निकालिए।
पूरी कार के लिए द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग (पहियों के कोणीय संवेग नगण्य मानिए): दिखाइए कि त्वरण $\dot v$ पर भार-स्थानांतरण $N_r - N_r^0 = Mh\dot v/L$ है — अर्थात् अगली धुरी हलकी होती है, पिछली भारी।
चालक (अगले) पहियों को घिसटाए बिना अधिकतम त्वरण: दिखाइए कि $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh)$ है और उसका मान निकालिए; पश्च-चालित कार के लिए वही, $\dot v_{\max} = fga/(L - fh)$ । कौन-सी रचना अधिक ज़ोर से त्वरित होती है, और ड्रैगस्टर भार पीछे क्यों रखते हैं?
$\dot v_{\max}$ के लिए पहियों पर आवश्यक इंजन-बलाघूर्ण; $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर उससे मिलती शक्ति।
वही कार बर्फ पर ( $f = 0.10$ ): अधिकतम त्वरण और $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ तक पहुँचने का समय।
अगले टायरों पर घर्षण बल टायर के साथ क्या करता है — फिसलन या नहीं — और बर्फ पर घिसटता पहिया कार को पकड़ बनाए रखने वाले पहिये से कम त्वरण क्यों देता है?

भाग III — ब्रेक।

ब्रेक हर पहिये पर बलाघूर्ण लगाते हैं। दिखाइए कि लुढ़कते रहने वाले पहिये के लिए कार पर ब्रेक-बल टायर पर सड़क का घर्षण ही है, और यह कि ब्रेक-बलाघूर्ण प्रति पहिया $fN_iR$ से परिबद्ध है।
मंदन $\gamma$ पर भार-स्थानांतरण: अगली धुरी का भार $N_f = Mg\,b/L + Mh\gamma/L$ ; $\gamma = fg$ पर अंक।
चारों पहिये फिसलन की सीमा पर होने पर अधिकतम मंदन; $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से सूखी सड़क पर, और गीली सड़क ( $f = 0.45$ ) पर, रुकने की दूरी।
यदि ब्रेक ऐसे लगाए जाएँ कि अगला और पिछला बलाघूर्ण बराबर हों, तो ज़ोर से ब्रेक लगाने पर कौन-सी धुरी पहले जाम होती है? जाम हुई पिछली धुरी खतरनाक क्यों है (फिसलते टायर पर घर्षण बल की दिशा सोचिए)?
कोई पहिया जाम होकर फिसलता है: सड़क से मिलता मंदन, और $f_{\text{गतिज}} = 0.7$ बनाम $f_{\text{स्थैतिक}} = 0.8$ लेने पर शिखर ब्रेक-बल का कितना अंश खो जाता है। समझाइए कि जाम-रोधी तंत्र क्या करता है और वह ब्रेक को स्पंदित क्यों करता है।
$90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से ब्रेक में निकली ऊष्मा; चार $6\,\mathrm{kg}$ इस्पात चक्रिकाओं का ताप-वर्धन ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); पहाड़ी सड़कों पर आपात-ढलान क्यों बनाई जाती हैं?
कोई विद्युत कार अपनी मोटर से $70\,\%$ दक्षता पर ब्रेक-ऊर्जा वापस लेती है: $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से हर बार रुकने पर वापस मिली ऊर्जा; $50\,\mathrm{kWh}$ की बैटरी कितने ऐसे रुकावों के बराबर है।

भाग IV — मोड़ और ज़मीन से उठा पहिया।

कार समतल सड़क पर $\rho = 50\,\mathrm{m}$ त्रिज्या के वृत्त पर $v$ से मुड़ती है: घर्षण बलों को $Mv^2/\rho$ देना पड़ता है। सूखी और गीली सड़क पर अधिकतम मोड़-चाल।
गति की दिशा के अनुदिश द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग: दिखाइए कि बाहरी पहियों पर $\Delta N = Mv^2h/\rho w$ का अतिरिक्त भार आता है, जहाँ $w = 1.5\,\mathrm{m}$ ट्रैक-चौड़ाई है; वह चाल जिस पर भीतरी पहिये उठ जाते हैं ( $\Delta N = Mg/2$ ), और उसकी फिसलन-चाल से तुलना: यह कार पहले पलटती है या फिसलती है?
मोड़ $\beta$ कोण पर बंकित है। दिखाइए कि चाल $v = \sqrt{g\rho\tan\beta}$ पर घर्षण की आवश्यकता ही नहीं रहती; $\beta = 10{}^{\circ}$ के लिए मान।
कोई पहिया ज़मीन से उठाकर हाथ से $60\,\mathrm{rpm}$ तक घुमाया जाता है; उसका धारक $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ का घर्षण-बलाघूर्ण लगाता है। वह कितनी देर घूमता है? खोई गतिज ऊर्जा।
घूमते पहिये को सड़क पर रख दिया जाता है (कार विराम में, पहिया $60\,\mathrm{rpm}$ पर, $N = 3\,\mathrm{kN}$ ): रुकने से पहले फिसलन का समय, और वह दूरी जितनी कार खिसकती यदि वह स्वतंत्र रूप से लुढ़क सकती (कार को स्वतंत्र पहियों पर $M$ द्रव्यमान मानिए, शेष पहियों का जड़त्व छोड़ दीजिए)।
एक सारणी में सार दीजिए: चारों दशाएँ (लुढ़कना, त्वरण, ब्रेक, मोड़), प्रत्येक में काम करने वाला बल और कूलॉम की वह सीमा जिसका उसे पालन करना है।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 80.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; शिखर $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , तल $0$ , सामने $(25, -25)$ : $45{}^{\circ}$ नीचे की ओर $35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

2. $\tfrac12Mv^2 = 375\,\mathrm{kJ}$ ; $4 \times \tfrac12J\omega^2 = 13\,\mathrm{kJ}$ ; कुल $388\,\mathrm{kJ}$ , जिसमें पहिये $3.3\%$ ।

3. $N_f + N_r = Mg = 11.8\,\mathrm{kN}$ , $N_fa = N_rb$ : $N_f = Mgb/L = 6.8\,\mathrm{kN}$ , $N_r = Mga/L = 5.0\,\mathrm{kN}$ — अर्थात् अगली (इंजन वाली) धुरी।

4. $P_r = \sum\mu_rN_iR\omega = \mu_rMgv = 0.012 \times 11772 \times 25 = 3.5\,\mathrm{kW}$ ; कर्षण $\tfrac12 \times 1.2 \times 0.7 \times 625 = 262\,\mathrm{N}$ , अर्थात् $6.6\,\mathrm{kW}$ ।

5. $(M + 4J/R^2)\dot v = -\mu_rMg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $M_{\text{प्रभावी}} = 1200 + 41.6 = 1242\,\mathrm{kg}$ । केवल लुढ़कन: $\dot v = -0.114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $d = (25^2 - 12.5^2)/0.228 = 2.1\,\mathrm{km}$ । केवल कर्षण: $v = v_0\eu^{-x/\lambda}$ , $\lambda = M_{\text{प्रभावी}}/\tfrac12\rho C_xS = 2.96\,\mathrm{km}$ , $d = \lambda\ln2 = 2.0\,\mathrm{km}$ (दोनों मिलाकर: $1.0\,\mathrm{km}$ )।

6. भार, अभिलंब प्रतिक्रियाएँ, और टायरों पर सड़क का घर्षण। अगले टायरों पर आगे की ओर लगा घर्षण ही एकमात्र क्षैतिज बाह्य बल है, अतः वही कार को त्वरित करता है; उसकी शक्ति शून्य है (स्पर्श-बिंदु विरामावस्था में); गतिज ऊर्जा इंजन से आती है — अर्थात् आंतरिक कार्य से।

7. $M\dot v = T_f - T_r$ ; अगले पहिये $2J\dot v/R = \Gamma - T_fR$ ; पिछले पहिये $2J\dot v/R = T_rR$ । जोड़ने पर: $(M + 4J/R^2)\dot v = \Gamma/R$ ; $M_{\text{प्रभावी}} = 1242\,\mathrm{kg}$ ।

8. $G$ के परितः आघूर्ण ( $h$ गहराई पर क्षैतिज धरातल-बल, जिनका योग $M\dot v$ है): $aN_f - bN_r + hM\dot v = 0$ , और $N_f + N_r = Mg$ , अतः $N_r = Mga/L + Mh\dot v/L$ : पिछली धुरी $Mh\dot v/L$ पाती है, अगली उतना ही खोती है।

9. अग्र-चालन: $M\dot v \le fN_f = f(Mgb/L - Mh\dot v/L)$ , अतः $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh) = 11.77/3.04 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । पश्च-चालन: $M\dot v \le f(Mga/L + Mh\dot v/L)$ , $\dot v_{\max} = fga/(L - fh) = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । भार-स्थानांतरण पिछली धुरी की सहायता करता है: इसीलिए पश्च-चालन, और भार पीछे, अधिक ज़ोर से त्वरित होते हैं।

10. $\Gamma = RM_{\text{प्रभावी}}\dot v_{\max} = 0.31 \times 1242 \times 3.87 = 1.5\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ; $P = \Gamma v/R = 1490 \times 13.9/0.31 = 67\,\mathrm{kW}$ ।

11. $\dot v_{\max} = 0.1 \times 9.81 \times 1.5/2.655 = 0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ तक $25\,\mathrm{s}$ ।

12. पकड़ बनी रहे तो: स्थैतिक घर्षण, फिसलन नहीं, स्पर्श पर कोई क्षय नहीं। घिसटने पर: गतिज घर्षण (गुणांक कुछ छोटा), जिसका कार्य टायर को गरम करता है और बर्फ को चिकना या पिघला देता है, और इंजन की शक्ति पहिये को घुमाने में जाती है, कार को चलाने में नहीं।

13. ब्रेक-बलाघूर्ण आंतरिक है (पहिया–ढाँचा); कार को केवल टायर पर सड़क का पीछे की ओर लगा घर्षण धीमा करता है। पहिये के लिए ( $J\dot\omega$ नगण्य): $\Gamma_b \approx T_iR \le fN_iR$ ।

14. वही संतुलन, $\dot v = -\gamma$ लेकर: $N_f = Mgb/L + Mh\gamma/L$ ; $\gamma = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ पर: $N_f = 6792 + 1992 = 8.8\,\mathrm{kN}$ , $N_r = 3.0\,\mathrm{kN}$ ।

15. $\gamma_{\max} = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $d = v^2/2\gamma = 40\,\mathrm{m}$ ; गीली सड़क $f = 0.45$ : $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $71\,\mathrm{m}$ ।

16. बराबर बलाघूर्ण बराबर बल देते हैं, पर पिछली धुरी केवल $3.0\,\mathrm{kN}$ उठाती है: वही पहले जाम होती है। फिसलते टायर का घर्षण उसके सर्पण वेग के विपरीत होता है और तब वह कोई पार्श्व बल नहीं दे सकता: जाम हुई पिछली धुरी दिशात्मक स्थायित्व खो देती है और कार घूम जाती है।

17. जाम: $\gamma = 0.7g = 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , अर्थात् $12\%$ कम, और रुकने की दूरी $40\,\mathrm{m}$ के बदले $45\,\mathrm{m}$ — ऊपर से दिशा-नियंत्रण भी नहीं। जाम-रोधी तंत्र पहिये का जाम की ओर बढ़ता मंदन भाँप लेता है, और सेकंड में कई बार ब्रेक छोड़ता और फिर लगाता है, जिससे टायर स्थैतिक शिखर के पास और लुढ़कता रहता है।

18. $388\,\mathrm{kJ}$ का $4 \times 6 \times 470 = 11.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ में जाना: $\Delta T = 34\,\mathrm{K}$ प्रति रुकाव। $1000\,\mathrm{m}$ उतरते $40\,\mathrm{t}$ ट्रक को $Mgh = 390\,\mathrm{MJ}$ निकालना पड़ता है: ब्रेक गरम होकर फीके पड़ जाते हैं; बजरी वाली आपात-ढलान ट्रक को बजरी के घर्षण से रोक देती है।

19. $0.7 \times 388 = 272\,\mathrm{kJ} = 0.075\,\mathrm{kWh}$ ; $50\,\mathrm{kWh}$ की बैटरी लगभग $660$ ऐसे रुकावों के बराबर है।

20. $Mv^2/\rho \le fMg$ : $v \le \sqrt{fg\rho} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; गीली सड़क पर $53\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

21. पार्श्व घर्षण $Mv^2/\rho$ , जो $h$ गहराई पर लगता है, और अभिलंब बल $\pm w/2$ पर: $(N_{\text{बाहरी}} - N_{\text{भीतरी}})\,w/2 = Mv^2h/\rho$ , अतः $\Delta N = Mv^2h/\rho w$ । भीतरी पहिये $\Delta N = Mg/2$ पर उठते हैं: $v = \sqrt{g\rho w/2h} = 25.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 93\,\mathrm{km}/\mathrm{h} > 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : अतः वह पहले फिसलती है (क्योंकि $f < w/2h = 1.36$ )।

22. $\beta$ कोण के बंकित मोड़ पर बिना घर्षण, $N\sin\beta = Mv^2/\rho$ और $N\cos\beta = Mg$ : $10{}^{\circ}$ के लिए $v = \sqrt{g\rho\tan\beta} = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

23. $\omega_0 = 6.28\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $J\dot\omega = -0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : $t = 126\,\mathrm{s}$ ; $\tfrac12J\omega_0^2 = 20\,\mathrm{J}$ की हानि।

24. गतिज घर्षण $fN = 2.4\,\mathrm{kN}$ कार को आगे धकेलता है: $\dot v = 2400/1200 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; पहिये पर $J\dot\omega = -fNR$ , $\dot\omega = -744\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$ । सर्पण $R\omega - v$ $1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से आरंभ होता है और $233\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से घटता है: वह $8.4\,\mathrm{ms}$ में लुप्त हो जाता है, और तब तक कार $1.7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ पा चुकी होती है और $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ खिसक चुकी होती है — अर्थात् एक झटका, धक्का नहीं।

25. लुढ़कना: घर्षण $\approx 0$ , लोटनिक प्रतिरोध $\mu_rN$ , और $|T| \le fN$ सहज ही। त्वरण: चालक टायरों पर आगे की ओर घर्षण, $T \le fN_{\text{चालक}}$ , $\dot v \le fgb/(L + fh)$ । ब्रेक: सब टायरों पर पीछे की ओर घर्षण, $T_i \le fN_i$ , $\gamma \le fg$ । मोड़: पार्श्व घर्षण $Mv^2/\rho \le fMg$ । हर दशा में एक ही बल — सड़क का घर्षण, जो कूलॉम के नियम से परिबद्ध है — पूरा काम करता है।

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