विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

31विभव कूप, रोधिकाएँ और सुरंगन

किसी कटोरे में कोई गेंद जितनी ऊर्जा उसे दी गई हो उसी से आगे-पीछे लुढ़कती है; किसी परमाणु में कोई इलेक्ट्रॉन, किसी नाभिक में कोई न्यूक्लिऑन, किसी नैनोमीटर-आकार के क्रिस्टल में कोई इलेक्ट्रॉन केवल कुछ ही ऊर्जाएँ रख सकते हैं, और उनमें सबसे नीची शून्य नहीं होती। कोई गेंद किसी ऐसी पहाड़ी को पार नहीं कर सकती जो उसकी ऊर्जा से ऊँची हो; कोई $\alpha$ कण किसी नाभिक से किसी ऐसी कूलॉम दीवार से होकर निकल जाता है जिस पर वह कभी चढ़ ही नहीं सकता था, किसी क्रमवीक्षी सुरंगन सूक्ष्मदर्शी की सुई निर्वात के किसी अंतराल के पार कोई धारा खींचती है, और अमोनिया का नाइट्रोजन परमाणु अपने तीन हाइड्रोजनों के तल से होकर चौबीस अरब बार प्रति सेकंड झूल जाता है। यह अध्याय श्रोडिंगर समीकरण को सरलतम विभवों में हल करता है — अनंत और परिमित दीवारों वाले कूप, कोई सोपान, कोई रोधिका, कोई द्वि-कूप — और उनमें वे दो महान क्वांटम तथ्य पाता है जिन्हें चिरसम्मत यांत्रिकी उपजा नहीं सकती: बद्ध ऊर्जाओं का क्वांटन, और चिरसम्मत रूप से वर्जित क्षेत्रों से होकर सुरंगन, अपनी उस चरघातांकी संवेदिता के साथ जो रोधिका की चौड़ाई तथा ऊँचाई के प्रति है, जिससे वह पिकोमीटरों का कोई पैमाना बन सकता है और जिससे रेडियोऐक्टिव जीवनकाल तीस कोटियों तक फैले हैं।

कोई क्रमवीक्षी सुरंगन सूक्ष्मदर्शी: किसी सतह से नैनोमीटर के कुछ दसवें हिस्से ऊपर थमी कोई धातु नोक; सुरंगन धारा, जो नैनोमीटर के हर दसवें हिस्से पर दस गुना बदलती है, सतह को परमाणु-दर-परमाणु मानचित्रित कर देती है।

31.1 अनंत कूप

प्रतिज्ञप्ति 31.1 (अनंत वर्गाकार कूप)

अभेद्य दीवारों से $0 < x < L$ में परिरुद्ध किसी कण ( $V = 0$ भीतर, $V = \infty$ बाहर, अतः दीवारों पर $\varphi = 0$ ) की स्थायी अवस्थाएँ और ऊर्जाएँ हैं

\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

ऊर्जाएँ क्वांटित हैं, $n^2$ की तरह बढ़ती हैं, और सबसे नीची शून्य नहीं: वह परिरोध ऊर्जा $E_1 = h^2/8mL^2$ ही स्थानीकरण की क़ीमत है ( $\Delta x \sim L$ $\Delta p \sim h/2L$ पर बाध्य करता है)। $\varphi_n$ लांबिक हैं, $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$ , और कूप की कोई भी अवस्था उनका कोई अध्यारोपण है।

उपपत्ति. भीतर, $\varphi'' = -k^2\varphi$ जिसमें $k^2 = 2mE/\hbar^2$ : $\varphi = A\sin kx + B\cos kx$ ; $\varphi(0) = 0$ $B$ को मार देता है, $\varphi(L) = 0$ को $kL = n\pi$ चाहिए — किसी डोरी की अप्रगामी तरंगें, जिनमें $E = \hbar^2k^2/2m$ । प्रसामान्यन $A = \sqrt{2/L}$ देता है; और लांबिकता वही है जो ज्याओं की। ∎

अनंत कूप: पहले तीन स्तर, E_n n2, अपने तरंग फलनों (बाएँ) और प्रायिकता घनत्वों (दाएँ) के साथ — n - 1 निस्पंद, और कोई मूल अवस्था जो कूप भर फैली है और जिसकी ऊर्जा शून्येतर है। — अनंत कूप: पहले तीन स्तर, $E_n \propto n^2$ , अपने तरंग फलनों (बाएँ) और प्रायिकता घनत्वों (दाएँ) के साथ — $n - 1$ निस्पंद, और कोई मूल अवस्था जो कूप भर फैली है और जिसकी ऊर्जा शून्येतर है।

उदाहरण 31.2 (परिमाण की कोटियाँ, और रंग)

$E_1 = h^2/8mL^2$ : $1\,\mathrm{nm}$ में कोई इलेक्ट्रॉन, $0.38\,\mathrm{eV}$ ; $0.1\,\mathrm{nm}$ (कोई परमाणु) में, $38\,\mathrm{eV}$ — परमाण्विक ऊर्जाओं का मापक; $5\,\mathrm{fm}$ में कोई न्यूक्लिऑन, $8\,\mathrm{MeV}$ — नाभिकीय ऊर्जाओं का मापक; किसी बक्से में कोई कंचा, $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — कोई ध्यान नहीं देगा। कुछ नैनोमीटर चौड़ा कोई अर्धचालक नैनोक्रिस्टल (कोई क्वांटम बिंदु) अपने इलेक्ट्रॉनों को परिरुद्ध करता है: परिरोध ऊर्जा क्रिस्टल के अंतराल में जुड़ जाती है, अतः बिंदु जितना छोटा, उत्सर्जित प्रकाश उतना नीला — वही पदार्थ $6\,\mathrm{nm}$ पर लाल और $3\,\mathrm{nm}$ पर हरा दमकता है, केवल आकार से समस्वरित।

31.2 परिमित कूप

प्रतिज्ञप्ति 31.3 (परिमित वर्गाकार कूप)

$V = 0$ जब $|x| < a$ और बाहर $V = V_0$ , तो $0 < E < V_0$ वाली कोई अवस्था भीतर दोलन करती है ( $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ ) और बाहर क्षय होती है ( $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ ): दीवारों के परे $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ । $\varphi$ और $\varphi'$ का मिलान $x = \pm a$ पर, सम तथा विषम अवस्थाओं के लिए, देता है

k\tan ka = \kappa \quad\text{(सम)}, \qquad -k\cot ka = \kappa \quad\text{(विषम)}, \qquad\text{जिसमें}\quad (ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .

आलेखीय रूप से, हल वक्रों $\eta = \xi\tan\xi$ , $\eta = -\xi\cot\xi$ के वृत्त $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ से कटान हैं ( $\xi = ka$ , $\eta = \kappa a$ ): सदा कम से कम एक बद्ध अवस्था होती है (सम मूल अवस्था), और कुल मिलाकर $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ । कण वर्जित क्षेत्र में गहराई $1/\kappa$ पर भेदन करता है, और स्तर उसी चौड़ाई के अनंत कूप वालों से नीचे पड़ते हैं।

उपपत्ति. सम हल भीतर $A\cos kx$ और बाहर $B\eu^{-\kappa|x|}$ है; $\varphi'/\varphi$ का सांतत्य $x = a$ पर $-k\tan ka = -\kappa$ देता है। विषम वाले के लिए $\sin$ के साथ वही। वृत्त $k$ और $\kappa$ की परिभाषा है। $\xi\tan\xi$ की हर शाखा, जो $\xi = n\pi$ से शुरू हो, और $-\xi\cot\xi$ की, जो $(n + \tfrac12)\pi$ से शुरू हो, वृत्त से एक बार मिलती है यदि वह उसके भीतर से शुरू हो: यही गिनती है। ∎

परिमित कूप का आलेखीय हल: बद्ध अवस्थाएँ त्रिज्या R = a√2mV_0/ के वृत्त के शाखाओं (सम अवस्थाएँ) और - (विषम) से कटान हैं। यहाँ R = 4: तीन बद्ध अवस्थाएँ; बिंदुदार छोटा वृत्त (R = 1.2) भी पहली शाखा को काटता है — कोई कूप सदा कम से कम एक अवस्था बाँधता है। — परिमित कूप का आलेखीय हल: बद्ध अवस्थाएँ त्रिज्या $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ के वृत्त के शाखाओं $\xi\tan\xi$ (सम अवस्थाएँ) और $-\xi\cot\xi$ (विषम) से कटान हैं। यहाँ $R = 4$ : तीन बद्ध अवस्थाएँ; बिंदुदार छोटा वृत्त ( $R = 1.2$ ) भी पहली शाखा को काटता है — कोई कूप सदा कम से कम एक अवस्था बाँधता है।

उदाहरण 31.4 (किसी नैनोमीटर कूप में कोई इलेक्ट्रॉन)

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , चौड़ाई $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times 10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$ , अतः $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ बद्ध अवस्थाएँ; मूल अवस्था अनंत कूप की $0.38\,\mathrm{eV}$ के बजाय $0.26\,\mathrm{eV}$ के पास पड़ती है, और दीवारों में $0.2\,\mathrm{nm}$ रिसती है ( $1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ )। ऐसे कूप, कुछ नैनोमीटर मोटी अर्धचालक परतों के रूप में उगाए जाकर, अध्याय 23 के डायोड लेज़रों का हृदय हैं।

31.3 सोपान और रोधिका: सुरंगन

प्रतिज्ञप्ति 31.5 (विभव सोपान)

ऊर्जा $E$ का कोई कण जो $x < 0$ से आकर सोपान $V = V_0$ पर पड़े, $x > 0$ के लिए:

$E > V_0$ : बाईं ओर $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ , दाईं ओर $t\eu^{\iu k_2x}$ , जिनमें $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{बाएँ/दाएँ}})}/ \hbar$ ; $\varphi$ और $\varphi'$ का सांतत्य $r = (k_1 - k_2)/(k_1 + k_2)$ तथा परावर्तन प्रायिकता (धाराओं का अनुपात) $R = r^2$ , $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ देता है — कोई कण किसी ऐसे सोपान से परावर्तित हो सकता है जिस पर चढ़ने की ऊर्जा उसके पास है, ठीक वैसे ही जैसे किसी डोरी पर कोई तरंग प्रतिबाधा के किसी परिवर्तन से (अध्याय 15);
$E < V_0$ : दाईं ओर $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ , $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ — कोई क्षयी तरंग; $|r| = 1$ (पूर्ण परावर्तन, किसी कला-विस्थापन के साथ), सोपान में कोई धारा नहीं बहती, पर कण वहाँ $1/\kappa$ पर क्षय होती किसी प्रायिकता के साथ मिलता है।

उपपत्ति. $x = 0$ पर सांतत्य समीकरण लिखिए और हल कीजिए; धाराओं के लिए $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ लीजिए (अध्याय 30)। $E < V_0$ के लिए, $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ , जिसका मापांक एक है। ∎

प्रमेय 31.6 (किसी रोधिका से होकर सुरंगन)

ऊर्जा $E < V_0$ का कोई कण जो ऊँचाई $V_0$ और चौड़ाई $a$ की किसी आयताकार रोधिका से मिले, इस प्रायिकता के साथ पारगत होता है

T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1} \ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a} \quad (\kappa a \gg 1), \qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .

यही वह सुरंग प्रभाव है: चिरसम्मत रूप से असंभव, क्वांटम रूप से चरघातांकी रूप से छोटा — और चौड़ाई $a$ , ऊँचाई $V_0 - E$ तथा द्रव्यमान $m$ के प्रति चरघातांकी रूप से संवेदी। शीर्ष से $1\,\mathrm{eV}$ नीचे किसी इलेक्ट्रॉन के लिए, $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$ : $T \sim 10^{-2}$ जब $a = 0.5\,\mathrm{nm}$ , $10^{-4}$ $1\,\mathrm{nm}$ के लिए, $10^{-9}$ $2\,\mathrm{nm}$ के लिए; किसी प्रोटॉन के लिए $\kappa$ $43$ गुना बड़ा है और इन चौड़ाइयों पर कुछ भी नहीं गुज़रता।

उपपत्ति. $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ $x < 0$ के लिए, भीतर $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ , $t\eu^{\iu kx}$ $x > a$ के लिए; चार सांतत्य प्रतिबंध ( $\varphi$ तथा $\varphi'$ के, $0$ और $a$ पर) चार अज्ञातों के लिए; $A$ , $B$ , $r$ का निराकरण $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$ देता है, जो $k^2 = 2mE/\hbar^2$ , $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$ के साथ वही सूत्र है। $\kappa a \gg 1$ के लिए, $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$ । किसी मनमाने आकार की रोधिका के लिए चरघातांक वर्जित क्षेत्र के पार $2\int\kappa(x)\dd x$ बन जाता है (गैमो गुणक, मान लिया गया)। ∎

किसी रोधिका से होकर सुरंगन: तरंग बाईं ओर दोलन करती है, चिरसम्मत रूप से वर्जित क्षेत्र के भीतर चरघातांकी रूप से क्षय होती है, और दाईं ओर घटे आयाम के साथ उभरती है — वही तरंगदैर्घ्य, कोई छोटी प्रायिकता।

उदाहरण 31.7 (क्रमवीक्षी सुरंगन सूक्ष्मदर्शी)

कोई तीखी धातु नोक किसी चालक सतह के $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ के भीतर लाई जाती है और कोई छोटा वोल्टता लगाया जाता है: इलेक्ट्रॉन निर्वात अंतराल के पार सुरंगन करते हैं, जिसकी रोधिका ऊँचाई कार्य-फलन $\Phi \approx 4.5\,\mathrm{eV}$ है, अतः $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ और धारा $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ हर $0.1\,\mathrm{nm}$ पर गुणक $\eu^{2.2} \approx 10$ से बदलती है। कोई प्रतिपुष्टि पाश नोक को हिलाकर $I$ नियत रखता है, और नोक की ऊँचाई, क्रमवीक्षण करते हुए लिखी जाकर, सतह को किसी पिकोमीटर के ऊर्ध्वाधर विभेदन के साथ खींच देती है — और पार्श्वतः परमाणु-दर-परमाणु, क्योंकि नोक का अंतिम परमाणु, सबसे नज़दीक होने से, अधिकांश धारा ढोता है (बिनिग और रोहरर, 1981)।

उदाहरण 31.8 (अल्फ़ा क्षय)

किसी भारी नाभिक के भीतर $5\,\mathrm{MeV}$ का कोई $\alpha$ कण बचे हुए आवेश $Ze$ की कूलॉम रोधिका का सामना करता है, जो नाभिकीय सतह पर दसियों $\mathrm{MeV}$ ऊँची है और उस त्रिज्या $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E \approx 50\,\mathrm{fm}$ तक फैली है जहाँ $V = E$ । गैमो गुणक $2\int\kappa\,\dd r$ कोटि $80$ का है: $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$ । कण दीवार से प्रति सेकंड कोई $10^{21}$ बार टकराता है, अतः वह दर $\sim 10^{-14} \,\mathrm{s}^{-1}$ पर निकल भागता है: यानी दस लाख वर्ष का कोई जीवनकाल। चूँकि चरघातांक $Z/\sqrt E$ की तरह बदलता है, $2\,\mathrm{MeV}$ का कोई परिवर्तन $E$ में जीवनकाल को बीस कोटियों से खिसका देता है — वही गाइगर–नटाल नियम, माइक्रोसेकंडों से ब्रह्मांड की आयु तक (गैमो, 1928: सुरंगन का पहला अनुप्रयोग)।

किसी क्रमवीक्षी सुरंगन सूक्ष्मदर्शी से प्रतिबिंबित, किसी स्वर्ण सतह पर परमाण्विक विभेदन: पुनर्गठित (100) फलक के परमाणुओं की पंक्तियाँ, नैनोमीटर के कुछ दसवें हिस्से की दूरी पर।

31.4 द्वि-कूप

प्रतिज्ञप्ति 31.9 (सुरंग विपाटन)

किसी रोधिका से अलग किए दो सर्वसम कूप: यदि रोधिका अभेद्य होती तो हर कूप का वही मूल स्तर $E_0$ होता, दो बार। सुरंगन उन्हें युग्मित कर देता है और द्वि-कूप की दो निम्नतम अवस्थाएँ सममित तथा प्रतिसममित संयोजन हैं, $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{बा}} \pm \varphi_{\text{दा}})/\sqrt2$ , जिनकी ऊर्जाएँ $E_0 \mp \Delta/2$ हैं: स्तर किसी मात्रा $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ से विपाटित हो जाता है (सुरंगन आयाम, उसका वर्ग नहीं)। बाएँ कूप में रखा कोई कण, $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$ , स्थायी नहीं है: वह कूपों के बीच आवृत्ति $\nu = \Delta/h$ पर दोलन करता है — सुरंगन दोलन, यानी अध्याय 30 के द्विस्तरीय विस्पंद।

उपपत्ति. सममित संयोजन का रोधिका के नीचे कोई निस्पंद नहीं और कोई नीची वक्रता है, अतः कोई नीची ऊर्जा; प्रतिसममित वाले का कोई निस्पंद है और वह ऊँचा पड़ता है; विपाटन रोधिका के नीचे स्थानीकृत फलनों के अतिच्छादन के अनुपात में है, $\eu^{-\kappa a}$ । विस्पंदन वही द्विस्तरीय अध्यारोपण है जो पहले ही निकाला जा चुका। ∎

द्वि-कूप: दो विलगित कूपों का अपभ्रष्ट स्तर किसी सममित अवस्था (नीची) और किसी प्रतिसममित (ऊँची) में - a से विपाटित हो जाता है; एक ओर शुरू किया गया कोई कण आवृत्ति /h पर आगे-पीछे सुरंगन करता है। — द्वि-कूप: दो विलगित कूपों का अपभ्रष्ट स्तर किसी सममित अवस्था (नीची) और किसी प्रतिसममित (ऊँची) में $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ से विपाटित हो जाता है; एक ओर शुरू किया गया कोई कण आवृत्ति $\Delta/h$ पर आगे-पीछे सुरंगन करता है।

उदाहरण 31.10 (अमोनिया)

NH $_3$ में नाइट्रोजन परमाणु तीन हाइड्रोजनों के तल की एक ओर बैठता है या दूसरी ओर — लगभग $0.25\,\mathrm{eV}$ की रोधिका वाला कोई द्वि-कूप। मूल स्तर का सुरंग विपाटन $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ है: $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$ , वही प्रतिलोमन आवृत्ति, पहले मेज़र और पहली परमाण्विक घड़ी (1949) का संक्रमण। हाइड्रोजन को ड्यूटीरियम से बदलिए और भारी अणु कम सुरंगन करता है: $1.6\,\mathrm{GHz}$ । भारी पिरामिडों (PH $_3$ , AsH $_3$ ) में विपाटन ढहकर किलोहर्ट्ज़ और नीचे रह जाता है: अणु वर्षों तक अपनी ओर बना रहता है — यही कारण है कि वाम- और दक्षिण-हस्त अणु सिरे से अस्तित्व रखते हैं, और शक्कर आले पर रखी-रखी रेसिमीकृत नहीं होती।

पहले मेज़र (1954) के साथ चार्ल्स टाउंस: अमोनिया अणुओं की कोई किरण-पुंज, किसी वैद्युत क्षेत्र से छाँटकर ऊपरी प्रतिलोमन अवस्था में लाई गई, किसी कोटर में 24\, GHz संक्रमण को प्रवर्धित करती थी — उद्दीपित उत्सर्जन की पहली युक्ति, लेज़र से छह वर्ष पहले। — पहले मेज़र (1954) के साथ चार्ल्स टाउंस: अमोनिया अणुओं की कोई किरण-पुंज, किसी वैद्युत क्षेत्र से छाँटकर ऊपरी प्रतिलोमन अवस्था में लाई गई, किसी कोटर में $24\,\mathrm{GHz}$ संक्रमण को प्रवर्धित करती थी — उद्दीपित उत्सर्जन की पहली युक्ति, लेज़र से छह वर्ष पहले।

विधि 31.11 (कूप और रोधिकाएँ)

(1) $\varphi$ को क्षेत्र-दर-क्षेत्र लिखिए: $\eu^{\pm\iu kx}$ जहाँ $E > V$ , $\eu^{\pm\kappa x}$ जहाँ $E < V$ , जिनमें $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$ । (2) हर सीमा पर $\varphi$ और $\varphi'$ का मिलान कीजिए (किसी अनंत दीवार पर, $\varphi = 0$ )। (3) बद्ध अवस्थाएँ: मिलान के हल केवल विविक्त $E$ के लिए होते हैं — उन्हें आलेखीय रूप से गिनिए। (4) प्रकीर्णन: धाराएँ $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ $R$ और $T$ देती हैं। (5) सुरंगन: $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ; पहले परिमाण की कोटि, फिर पूर्वगुणक। (6) द्वि-कूप: विपाटन $\propto\eu^{-\kappa a}$ , विस्पंद $\Delta/h$ पर।

31.5 अभ्यास

अभ्यास 31.1 ★

अनंत कूप: $1\,\mathrm{nm}$ में कोई इलेक्ट्रॉन ( $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , और $2 \to 1$ फोटॉन की तरंगदैर्घ्य); $0.1\,\mathrm{nm}$ में कोई इलेक्ट्रॉन; $5\,\mathrm{fm}$ में कोई न्यूक्लिऑन; $10\,\mathrm{cm}$ में $1\,\mathrm{g}$ का कोई कंचा ( $E_1$ , और $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ की किसी चाल के लिए क्वांटम संख्या)।

हल

हल — अभ्यास 31.1.

$1\,\mathrm{nm}$ : $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $2 \to 1$ : $1.13\,\mathrm{eV}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ । $0.1\,\mathrm{nm}$ : $38\,\mathrm{eV}$ । न्यूक्लिऑन: $8\,\mathrm{MeV}$ । कंचा: $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$ ; $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$ ।

अभ्यास 31.2 ★

क्वांटम बिंदु: अंतराल $1.74\,\mathrm{eV}$ का कोई नैनोक्रिस्टल किसी इलेक्ट्रॉन–कोटर युग्म को परिरुद्ध करता है जिसकी परिरोध ऊर्जा $h^2/8m^*L^2$ है, जिसमें $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$ । $L = 6$ , $4$ , $3$ , $2.5\,\mathrm{nm}$ के लिए उत्सर्जन तरंगदैर्घ्य; कौन-से रंग?

हल

हल — अभ्यास 31.2.

परिरोध $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$ : $0.10$ , $0.24$ , $0.42$ , $0.60\,\mathrm{eV}$ ; कुल $1.84$ , $1.98$ , $2.16$ , $2.34\,\mathrm{eV}$ : $673\,$ , $628\,$ , $574\,$ , $530\,\mathrm{nm}$ — लाल, नारंगी, पीला-हरा, हरा।

अभ्यास 31.3 ★

सुरंगन: $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$ वाला कोई इलेक्ट्रॉन: $\kappa$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ $a = 0.3$ , $0.5$ , $1$ , $2\,\mathrm{nm}$ के लिए; प्रति $0.1\,\mathrm{nm}$ गुणक; और $a = 0.3\,\mathrm{nm}$ पर किसी प्रोटॉन के लिए वही।

हल

हल — अभ्यास 31.3.

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\eu^{-2\kappa a}$ : $1.5 \times 10^{-3}$ , $1.8 \times 10^{-5}$ , $3 \times 10^{-10}$ , $10^{-19}$ ; प्रति $0.1\,\mathrm{nm}$ $\times 8.8$ ; प्रोटॉन: $\kappa$ $43$ गुना बड़ा, $0.3\,\mathrm{nm}$ पर $\eu^{-280}$ ।

अभ्यास 31.4 ★

सोपान: $1\,\mathrm{eV}$ के किसी सोपान पर $2\,\mathrm{eV}$ का कोई इलेक्ट्रॉन: $k_1$ , $k_2$ , $R$ , $T$ । $1\,\mathrm{eV}$ के किसी नीचे जाते सोपान के लिए वही। यह चिरसम्मत रूप से क्यों असंभव है, और प्रकाश के लिए उसका समरूप क्या है?

हल

हल — अभ्यास 31.4.

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $R = 0.03$ , $T = 0.97$ । नीचे जाता सोपान: $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $R = 0.01$ । कोई चिरसम्मत कण ऊर्जा होने पर कभी नहीं मुड़ता; और कोई प्रकाश तरंग अपवर्तनांक के किसी भी परिवर्तन पर आंशिक रूप से परावर्तित होती है।

अभ्यास 31.5 ★★

अनंत कूप विस्तार से। (क) स्तर व्युत्पन्न कीजिए और प्रसामान्यित कीजिए। (ख) लांबिकता दिखाइए। (ग) $n = 1$ के लिए: $\langle x\rangle$ , $\Delta x = L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$ , $\langle p\rangle = 0$ , $\Delta p = \pi\hbar/L$ ; हाइज़ेनबर्ग जाँचिए। (घ) $|\varphi_n|^2$ का खाका खींचिए बड़े $n$ के लिए और किसी उछलते कण को पाने की चिरसम्मत प्रायिकता से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 31.5.

(क), (ख) प्रतिज्ञप्ति 31.1। (ग) $L/2$ ; $0.18L$ ; $0$ ; $\pi\hbar/L$ ; गुणनफल $0.57\hbar > \hbar/2$ । (घ) माध्य $1/L$ के आसपास तेज़ दोलन — वही चिरसम्मत एकसमान घनत्व।

अभ्यास 31.6 ★★

परिमित कूप। (क) सम अवस्थाओं के लिए $k\tan ka = \kappa$ व्युत्पन्न कीजिए। (ख) आलेखीय रूप से दिखाइए कि सदा कोई बद्ध अवस्था होती है और $R = 1$ , $4$ , $10$ के लिए उन्हें गिनिए। (ग) इलेक्ट्रॉन, $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$ , $2a = 1\,\mathrm{nm}$ : $R$ , अवस्थाओं की संख्या, मूल अवस्था की भेदन गहराई ( $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$ लीजिए)। (घ) $V_0 \to \infty$ होते बद्ध अवस्थाओं की संख्या का क्या होता है, और उनकी ऊर्जाओं का?

हल

हल — अभ्यास 31.6.

(क) प्रतिज्ञप्ति 31.3। (ख) $1$ , $3$ , $7$ । (ग) $R = 2.6$ , दो अवस्थाएँ; $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$ , गहराई $0.23\,\mathrm{nm}$ । (घ) अनंत रूप से अनेक, नीचे से अनंत कूप वालों की ओर जाती हुईं।

अभ्यास 31.7 ★★

सोपान, $E < V_0$ । (क) दोनों ओर $\varphi$ लिखिए और $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$ ढूँढ़िए। (ख) दिखाइए कि $|r| = 1$ और $r$ की कला निकालिए। (ग) दिखाइए कि $x > 0$ के लिए धारा लुप्त होती है यद्यपि वहाँ $|\varphi|^2 \ne 0$ है। (घ) शीर्ष से $1\,\mathrm{eV}$ नीचे कोई इलेक्ट्रॉन: भेदन गहराई; पूर्ण आंतरिक परावर्तन की क्षयी तरंग से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 31.7.

(क) $1 + r = t$ , $\iu k(1 - r) = -\kappa t$ । (ख) अंश और हर संयुग्मी हैं; कला $-2\arctan(\kappa/k)$ । (ग) किसी वास्तविक चरघातांकी के लिए $\psi^*\psi'$ वास्तविक है। (घ) $0.2\,\mathrm{nm}$ ; पूर्ण परावर्तन की क्षयी तरंग जैसी: उपस्थित, कोई फ्लक्स न ढोती, और किसी दूसरे माध्यम को पोसने में सक्षम — वही सुरंगन है।

अभ्यास 31.8 ★★

रोधिका। (क) चारों सांतत्य प्रतिबंध लिखिए और $T$ व्युत्पन्न कीजिए। (ख) $E = V_0/2$ , $\kappa a = 3$ के लिए; और $\kappa a = 1$ के लिए ठीक-ठीक तथा सन्निकटन से मान निकालिए। (ग) $E > V_0$ के लिए दिखाइए कि $T = [1 + V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ और पूर्ण पारगमन की ऊर्जाएँ ढूँढ़िए। (घ) उनकी व्याख्या कीजिए (अध्याय 15 की परावर्तन-रोधी परत सोचिए)।

हल

हल — अभ्यास 31.8.

(क) प्रमेय 31.6। (ख) $\kappa a = 3$ : ठीक-ठीक $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$ , सन्निकटन $4\eu^{-6} = 9.9 \times 10^{-3}$ ; $\kappa a = 1$ : $0.42$ , $0.54$ के सामने। (ग) $\kappa \to \iu k_2$ ; $T = 1$ जब $k_2a = n\pi$ । (घ) दोनों फलकों से परावर्तन तब कट जाते हैं जब रोधिका आधी-तरंगदैर्घ्यों की कोई पूर्ण संख्या हो — अनुनादी पारगमन।

अभ्यास 31.9 ★★

गैमो। नाभिकीय त्रिज्या $R_{\text{n}}$ से $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ तक की कूलॉम रोधिका के लिए, चरघातांक $G = 2\int\kappa\,\dd r = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ है। (क) $Z = 90$ , $E = 5\,\mathrm{MeV}$ , $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ : $b$ , $G$ , $T$ । (ख) टक्करों की आवृत्ति $v/2R_{\text{n}}$ और जीवनकाल। (ग) $E = 4$ और $6\,\mathrm{MeV}$ के लिए दोहराइए: जीवनकालों का अनुपात। (घ) नाभिक $\alpha$ कण क्यों उत्सर्जित करते हैं, प्रोटॉनों या $^{12}$ C के बजाय?

हल

हल — अभ्यास 31.9.

(क) $b = 52\,\mathrm{fm}$ ; $G = 82$ ; $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$ । (ख) $v = 1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , प्रति सेकंड $10^{21}$ टक्करें: दर $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ , जीवनकाल $\sim 10^7$ वर्ष। (ग) $G = 100$ और $69$ : $\eu^{18} \approx 10^8$ गुना लंबा, $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ गुना छोटा। (घ) $\alpha$ कसकर बद्ध है और धनात्मक ऊर्जा के साथ निकलता है; कोई प्रोटॉन नहीं निकलता; किसी $^{12}$ C का आवेश तिगुना है और चरघातांक कहीं बड़ा (गुच्छ क्षय होता तो है, $10^{-10}$ पर)।

अभ्यास 31.10 ★★★

अमोनिया। विपाटन $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ । (क) प्रतिलोमन आवृत्ति और सुरंगन दोलन का आवर्तकाल। (ख) N परमाणु एक ओर तैयार किया जाता है: $\psi(t)$ और उसे दूसरी ओर पाने की प्रायिकता लिखिए। (ग) ND $_3$ $1.6\,\mathrm{GHz}$ पर सुरंगन करता है: विपाटनों के अनुपात से $\kappa a$ निकालिए, यदि $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ और $\kappa \propto\sqrt m$ हो ( $m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$ , रोधिका अपरिवर्तित)। (घ) कोई काइरल अणु वर्षों तक वाम-हस्त क्यों रह सकता है?

हल

हल — अभ्यास 31.10.

(क) $24\,\mathrm{GHz}$ ; $41\,\mathrm{ps}$ । (ख) $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P = \sin^2(\pi\nu t)$ । (ग) $\eu^{(\sqrt2 - 1) \kappa a} = 15$ : $\kappa a = 6.5$ । (घ) भारी समूह और ऊँची रोधिकाएँ सुरंगन आवर्तकाल को वर्षों से लंबा कर देते हैं।

अभ्यास 31.11 ★★★

एसटीएम। $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ , $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ , अभिनति $0.1\,\mathrm{V}$ , $I = 1\,\mathrm{nA}$ । (क) $\kappa$ , प्रति $0.1\,\mathrm{nm}$ $I$ का गुणक, और ऊँचाई विभेदन यदि $I$ $1\%$ तक मापा जाए। (ख) धारा में प्रति सेकंड इलेक्ट्रॉन। (ग) नोक का शीर्ष परमाणु अपने पड़ोसियों से $0.25\,\mathrm{nm}$ अधिक पास है (पार्श्वतः $0.25\,\mathrm{nm}$ दूर, अतः $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$ ): वह धारा का कितना अंश ढोता है। (घ) $1\,\mathrm{cm}$ का कोई इस्पात ढाँचा $\alpha L\Delta T$ से फैलता है, जिसमें $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : किसी पिकोमीटर को कैसा तापीय स्थायित्व चाहिए, और अभिकल्प उससे कैसे पार पाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 31.11.

(क) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\times 8.8$ ; $1\%$ जो $I$ का हो, $0.5\,\mathrm{pm}$ है। (ख) $6 \times 10^9$ । (ग) $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$ पर हर पड़ोसी शीर्ष की धारा का $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}} = 0.28$ ढोता है; शीर्ष लगभग आधी ढोता है। (घ) $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — असंभव; सममित अभिकल्प जिनमें नोक और नमूना साथ फैलें, तेज़ क्रमवीक्षण, कम-प्रसार पदार्थ, और प्रतिपुष्टि।

अभ्यास 31.12 ★★★

कोई क्वांटम-कूप लेज़र। $0.3\,\mathrm{eV}$ ऊँची रोधिकाओं के बीच GaAs (अंतराल $1.42\,\mathrm{eV}$ , $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$ , $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$ ) की कोई $10\,\mathrm{nm}$ परत। (क) इलेक्ट्रॉन और कोटर की मूल परिरोध ऊर्जाएँ (अनंत कूप)। (ख) लेज़र की फोटॉन ऊर्जा और तरंगदैर्घ्य। (ग) $780\,\mathrm{nm}$ के लिए चौड़ाई। (घ) परिमित रोधिका के साथ, $10\,\mathrm{nm}$ कूप कितनी बद्ध इलेक्ट्रॉन अवस्थाएँ रखता है?

हल

हल — अभ्यास 31.12.

(क) $0.056\,$ और $0.008\,\mathrm{eV}$ । (ख) $1.48\,\mathrm{eV}$ , $835\,\mathrm{nm}$ । (ग) परिरोध $0.17\,\mathrm{eV}$ : $L = 6.1\,\mathrm{nm}$ । (घ) $R = 3.6$ : तीन।

31.6 समस्या: एसटीएम, अल्फ़ा कण और अमोनिया मेज़र

समस्या 31.1

सप्ताहांत समस्या — तीन सुरंगें

आँकड़े: $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $e^2/4\pi\varepsilon_0 = 1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ।

भाग I — क्रमवीक्षी सुरंगन सूक्ष्मदर्शी। नोक और नमूना टंगस्टन के हैं ( $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$ ); अंतराल $d$ ; अभिनति $50\,\mathrm{mV}$ ; धारा $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$ है।

$\kappa$ उन इलेक्ट्रॉनों के लिए जो फ़र्मी स्तर पर निर्वात रोधिका $\Phi$ का सामना करें।
$I$ के परिवर्तन का गुणक $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ के लिए; और $1\,\mathrm{pm}$ के लिए।
प्रतिपुष्टि $I$ को $1\%$ तक नियत रखती है: ऊँचाई का रव।
$I = 1\,\mathrm{nA}$ : प्रति सेकंड इलेक्ट्रॉन; दो इलेक्ट्रॉनों के बीच औसत समय, सुरंगन “काल” $\sim\hbar/\Phi$ से तुलना करके।
शीर्ष परमाणु और उसके पड़ोसी पार्श्वतः $0.25\,\mathrm{nm}$ दूर, $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : शीर्ष परमाणु का हिस्सा; परमाणुओं को प्रतिबिंबित करने के लिए एक ही परमाणु क्यों पर्याप्त है।
$0.1\,\mathrm{nm}$ ऊँचा कोई अधिशोषित परमाणु: नियत-ऊँचाई विधा में $I$ का परिवर्तन; नियत-धारा विधा क्यों वरीय है।
$2\,\mathrm{cm}$ का कोई धातु ढाँचा, $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : वह तापीय परिवर्तन जो नोक को $1\,\mathrm{pm}$ खिसका दे; उपकरण कैसे निपटते हैं (सममिति, गति, कम-प्रसार पदार्थ)?
$1\,\mathrm{V}$ की अभिनति के साथ रोधिका अब आयताकार नहीं रहती: उसका खाका खींचिए और बताइए कि $I$ $V$ के साथ रैखिक से तेज़ बढ़ता है या धीमे।
किसी ऑक्सीकृत टुकड़े पर कार्य-फलन $4.5\,\mathrm{eV}$ के बजाय $3\,\mathrm{eV}$ है: किसी पूर्णतः समतल सतह पर नियत-धारा विधा में नोक कितना पीछे हटती है? तब एसटीएम किसका प्रतिबिंब बनाता है?

भाग II — किसी नाभिक $Z = 92$ , $A = 238$ का अल्फ़ा क्षय। वह $\alpha$ ( $E = 4.2\,\mathrm{MeV}$ ) त्रिज्या $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$ के किसी नाभिक में चलता है; बाहर, कूलॉम ऊर्जा $V(r) = 2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$ है।

$R_{\text{n}}$ पर रोधिका की ऊँचाई; और चिरसम्मत मोड़-बिंदु $b$ ।
भीतर $\alpha$ की चाल और दीवार पर उसकी टक्करों की आवृत्ति।
गैमो चरघातांक $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ और $T = \eu^{-G}$ ।
क्षय दर और अर्ध-आयु; मापे गए $4.5 \times 10^9$ वर्षों से तुलना कीजिए।
$E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ के साथ वही (कोई दूसरा समस्थानिक): अर्ध-आयु; और गाइगर–नटाल संवेदिता।
$8\,\mathrm{fm}$ के बजाय $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ लेकर: अर्ध-आयु पर प्रभाव; ऐसे आकलनों की परिशुद्धि पर टिप्पणी कीजिए।
उसी नाभिक से किसी प्रोटॉन (आवेश $1$ , द्रव्यमान $1/4$ ) का सुरंगन क्यों नहीं देखा जाता, और किसी $^{12}$ C (आवेश $6$ ) का भी क्यों नहीं?
वह $\alpha$ पूरे $4.2\,\mathrm{MeV}$ के साथ उभरता है यद्यपि वह किसी $30\,\mathrm{MeV}$ की दीवार के “नीचे से गुज़रा”: क्या ऊर्जा संरक्षित है?

भाग III — अमोनिया मेज़र। N परमाणु H $_3$ तल से होकर सुरंगन करता है; मूल स्तर $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ से विपाटित है।

प्रतिलोमन संक्रमण की आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य।
सममित और प्रतिसममित अवस्थाओं को “N ऊपर” तथा “N नीचे” के पदों में लिखिए; कौन-सी नीची है, और क्यों?
“N ऊपर” तैयार किया गया कोई अणु: $\psi(t)$ , समय $t$ पर “नीचे” की प्रायिकता, और आवर्तकाल।
$300\,\mathrm{K}$ पर दोनों स्तरों का बोल्ट्ज़मान अनुपात: क्या तापीय जनसंख्या कोई मेज़र दे सकती है? प्रतिलोमन कैसे पाया जाता है (कोई अवस्था-चयनी वैद्युत क्षेत्र)?
जूल में फोटॉन ऊर्जा; $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ के किसी निर्गम के लिए प्रति सेकंड कितने अणुओं को उत्सर्जित करना पड़ेगा।
ND $_3$ $1.6\,\mathrm{GHz}$ पर सुरंगन करता है: $\kappa a$ निकालिए NH $_3$ के लिए, $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ मानकर $\kappa \propto \sqrt{m}$ के साथ।
मेज़र पहली परमाण्विक घड़ी थी: कोई सुरंगन आवृत्ति कोई अच्छी घड़ी क्यों है और कौन-से प्रभाव उसे खिसकाते हैं?
सारांश दीजिए: परिरोध से क्वांटन, क्षयण से सुरंगन, और चरघातांक किससे तय होते हैं।

हल

हल — समस्या 31.1.

1. $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ।

2. $\eu^{2.2} = 8.8$ ; $\eu^{0.022}$ : प्रति पिकोमीटर $2.2\%$ ।

3. $0.5\,\mathrm{pm}$ ।

4. प्रति सेकंड $6 \times 10^9$ ; $0.16\,\mathrm{ns}$ की दूरी पर, $\hbar/\Phi \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$ के सामने: एक बार में एक।

5. लगभग आधी; बाकी दूरी के साथ इतनी तेज़ी से क्षय होती है कि प्रतिबिंब किसी एक परमाणु का ही होता है।

6. $\times 8.8$ ; नियत धारा नोक को सुरक्षित रखती है और चरघातांकी को किसी रैखिक ऊँचाई में बदल देती है।

7. $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$ ; सममित आधार, गति, कम-प्रसार पदार्थ, और कोई प्रतिपुष्टि जो अपवाह का पीछा करे।

8. कोई समलंब, संग्राहक ओर नीचा किया हुआ: प्रभावी रोधिका पतली होती है और $I$ रैखिक से तेज़ बढ़ता है।

9. $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $0.5\,\mathrm{nm}$ पर चरघातांक $10.9$ से $8.9$ गिरता है, $I \times 7$ : नोक $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ पीछे हटती है — कोई उभार जो वैद्युत है, ज्यामितीय नहीं।

10. $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$ ; $b = 62\,\mathrm{fm}$ ।

11. $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; प्रति सेकंड $9 \times 10^{20}$ टक्करें।

12. $G = 96$ ; $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$ ।

13. दर $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$ , अर्ध-आयु $\sim 10^{13}$ वर्ष — मापे गए मान से हज़ार गुना: किसी सौ के चरघातांक के लिए, कोई कच्चा मॉडल कुछ ही कोटियों के भीतर उतर जाए तो अच्छा ही है।

14. $G = 79$ : $\eu^{17} \approx 10^7$ गुना छोटा, लगभग $10^6$ वर्ष — कोई एक अतिरिक्त $\mathrm{MeV}$ , और सात कोटियाँ।

15. $G = 92$ : $\eu^{4.5} \approx 90$ गुना छोटा — त्रिज्या का कोई एक फ़र्मी दो कोटियाँ है।

16. कोई प्रोटॉन धनात्मक ऊर्जा के साथ पहले से बना नहीं होता (वह कोई $7\,\mathrm{MeV}$ से बद्ध है); किसी $^{12}$ C का आवेश तिगुना है और चरघातांक तिगुना बड़ा।

17. हाँ: $\alpha$ के पास सदा $4.2\,\mathrm{MeV}$ होता है; उसके तरंग फलन का रोधिका के नीचे बस कोई क्षयी भाग होता है, जहाँ कोई भी मापन उसे ऋणात्मक गतिज ऊर्जा के साथ नहीं पाता।

18. $23.7\,\mathrm{GHz}$ ; $1.27\,\mathrm{cm}$ ।

19. $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$ ; सममित वाली नीची है — कोई निस्पंद नहीं, कम वक्रता।

20. $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$ ; $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$ ; आवर्तकाल $42\,\mathrm{ps}$ ।

21. $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$ : लगभग बराबर, कोई प्रतिलोमन नहीं; कोई असमांगी वैद्युत क्षेत्र किरण-पुंज को छाँटता है और ऊपरी अवस्था वाले अणुओं को कोटर में भेजता है।

22. $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ ; प्रति सेकंड $6 \times 10^{12}$ अणु।

23. $\kappa a = 6.5$ ।

24. वह केवल अणु से तय होती है, हर अणु के लिए सर्वसम, और बाहर के प्रति असंवेदी; विस्थापन किरण-पुंज में डॉप्लर प्रभाव, भटके वैद्युत क्षेत्र, टक्करों और कोटर के खिंचाव से आते हैं।

25. परिरोध क्वांटित करता है ( $E_n \propto n^2/L^2$ ); क्षयण तरंग को पार जाने देता है ( $T \sim \eu^{-2\kappa a}$ ); और चरघातांक $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ तथा चौड़ाई से तय होते हैं — द्रव्यमान, ऊँचाई, दूरी।