विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

5प्रवाहों में संवेग और ऊर्जा के संतुलन

कोई अग्निशामक नली के सहारे टिका खड़ा है: तीस मीटर प्रति सेकंड से निकलता पानी सैकड़ों न्यूटन से पीछे धकेलता है, यद्यपि टोंटी को पानी के सिवा कुछ छूता तक नहीं। कोई जेट इंजन पंख से लटका रहता है और हवा को पीछे फेंककर वायुयान को आकाश में खींच ले जाता है। बगीचे का फुहारा बिना किसी मोटर के घूमता है। हर दशा में कोई तरल किसी प्रदेश में घुसता है, अलग संवेग के साथ निकलता है, और यही अंतर एक बल है। यह अध्याय यांत्रिकी के नियम — संवेग, कोणीय संवेग, ऊर्जा — किसी नियत द्रव्यमान के लिए नहीं, बल्कि किसी स्थिर प्रदेश को पार करते तरल के लिए लिखता है, अर्थात् किसी विवृत निकाय के लिए: यही वह रूप है जिसमें अभियंता टरबाइन, राकेट, पंप और नलियाँ नापते हैं।

5.1 किसी विवृत निकाय के संतुलन

परिभाषा 5.1 (नियंत्रण आयतन; विवृत निकाय)

नियंत्रण आयतन (या नियंत्रण पृष्ठ) आकाश का कोई स्थिर प्रदेश $\Sigma$ है जिससे होकर तरल बहता है; और किसी भी क्षण उसके भीतर का तरल एक विवृत निकाय है, जो $\Sigma$ के प्रवेशों और निर्गमों से होकर बाहर के साथ द्रव्यमान का विनिमय करता है। जिस बंद निकाय पर न्यूटन के नियम लागू होते हैं वह वह तरल है जो $\Sigma$ के भीतर समय $t$ पर है और जिसका $t + \dd t$ तक पीछा किया जाए: तब वह $\Sigma$ में से निकल चुके भाग को घटाकर और घुस चुके भाग को जोड़कर बनता है।

प्रमेय 5.2 (स्थायी प्रवाह में संवेग-संतुलन)

किसी नियंत्रण आयतन से होकर स्थायी प्रवाह के लिए, जिसमें एक प्रवेश (काट $S_1$ , एकसमान वेग $\vect v_1$ ) और एक निर्गम ( $S_2$ , $\vect v_2$ ) है, और द्रव्यमान प्रवाह दर $D_m$ दोनों पर एक ही है,

\sum\vect F_{\text{बाह्य}} = D_m\,(\vect v_2 - \vect v_1) ,

होता है, जहाँ $\sum\vect F_{\text{बाह्य}}$ $\Sigma$ के भीतर के तरल पर लगे सारे बाह्य बलों का योग है: भार, उसके संपर्क में आई दीवारों और पिंडों के बल, और प्रवेश तथा निर्गम काटों पर दाब-बल ( $P_1S_1\vect n_1$ भीतर की ओर धकेलता, और निर्गम पर $-P_2S_2\vect n_2$ )। कई प्रवेशों और निर्गमों की दशा में दायाँ पक्ष बाहर जाते संवेग-अभिवाहों $D_{m,i}\vect v_i$ का योग घटा भीतर आते अभिवाहों का योग है।

उपपत्ति. वह बंद निकाय $\mathcal S$ लीजिए जो $\Sigma$ के उस तरल से बना है जो समय $t$ पर वहाँ है, और उस परत $\delta m = D_m\dd t$ से जो $S_1$ से होकर घुसने वाली है। $t + \dd t$ पर वह $\Sigma$ के तरल और उस परत $\delta m$ से बनता है जो $S_2$ से होकर निकल चुकी है। उसका संवेग $\vect p_\Sigma(t) + \delta m\,\vect v_1$ से $\vect p_\Sigma(t + \dd t) + \delta m\,\vect v_2$ हो गया; और स्थायी प्रवाह में $\vect p_\Sigma$ अचर है, अतः $\dd\vect p_{\mathcal S} = D_m\dd t\,(\vect v_2 - \vect v_1)$ । $\mathcal S$ के लिए न्यूटन का दूसरा नियम, जिसके बाह्य बल (प्रथम कोटि तक) $\Sigma$ के तरल पर लगे बल ही हैं, यह परिणाम देता है। ∎

बाएँ: स्थायी प्रवाह में कोई नियंत्रण आयतन — S_2 से निकलता संवेग घटा S_1 से घुसता संवेग भीतर के तरल पर लगे बाह्य बलों के योग के बराबर होता है, जिसमें दोनों काटों पर दाब-बल भी शामिल हैं। दाएँ: दीवार से रुकी धार उसे D_mv से धकेलती है; और u से चलती पेल्टन बाल्टी से लौटाई गई धार 2D_m(v - u) तक से धकेलती है। — बाएँ: स्थायी प्रवाह में कोई नियंत्रण आयतन — $S_2$ से निकलता संवेग घटा $S_1$ से घुसता संवेग भीतर के तरल पर लगे बाह्य बलों के योग के बराबर होता है, जिसमें दोनों काटों पर दाब-बल भी शामिल हैं। दाएँ: दीवार से रुकी धार उसे $D_mv$ से धकेलती है; और $u$ से चलती पेल्टन बाल्टी से लौटाई गई धार $2D_m(v - u)$ तक से धकेलती है।

उदाहरण 5.3 (दीवार पर धार; अग्निशामक की नली)

$s$ काट और $v$ चाल की कोई धार किसी दीवार पर लंबवत टकराकर उस पर फैल जाती है: धार के अनुदिश बाहर जाता संवेग शून्य है, अतः दीवार को $F = D_mv = \rho sv^2$ मिलता है — $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $5\,\mathrm{cm}$ की धार के लिए $1.1\,\mathrm{kN}$ । नली और टोंटी के तरल पर वही संतुलन लगाने पर, टोंटी अग्निशामक को $D_mv$ से पीछे धकेलती है: $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ $600\,\mathrm{N}$ देते हैं, अर्थात् एक व्यक्ति का भार। यदि दीवार $u$ से पीछे हटे, तो प्रति एकांक समय उस तक केवल $D_m' = \rho s(v - u)$ पहुँचता है और वह सापेक्ष चाल $v - u$ से आता है: $F = \rho s(v - u)^2$ ।

प्रतिज्ञप्ति 5.4 (पेल्टन बाल्टी; राकेट का प्रणोद)

(क) $v$ चाल और $D_m$ द्रव्यमान प्रवाह दर की कोई धार, जिसे कोई बाल्टी $180^\circ$ मोड़कर लौटा देती है और जो धार की दिशा में $u$ से चलती है: बाल्टी पर बल $F = 2D_m(v - u)$ होता है (जहाँ $D_m$ वह प्रवाह दर है जो चक्र की चलती बाल्टियाँ वास्तव में रोकती हैं), शक्ति $Fu$ $u = v/2$ पर अधिकतम होती है और तब $\tfrac12D_mv^2$ के बराबर: अर्थात् धार की पूरी गतिज शक्ति। (ख) $m(t)$ द्रव्यमान का कोई राकेट, जो गैस को पीछे सापेक्ष चाल $v_e$ और द्रव्यमान प्रवाह दर $D_m = -\dd m/\dd t$ से फेंकता है, $F = D_mv_e$ प्रणोद अनुभव करता है; मुक्त आकाश में उसकी चाल $\Delta v = v_e\ln(m_0/m_1)$ बढ़ती है (त्सिओल्कोव्स्की का राकेट समीकरण); और गुरुत्व के अधीन $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ ।

उपपत्ति. (क) बाल्टी के तंत्र में धार $v - u$ से आती है और $-(v - u)$ से निकलती है; संवेग-संतुलन $2D_m(v - u)$ देता है (बाल्टी आदर्श है: सापेक्ष चाल की कोई हानि नहीं)। शक्ति $2D_mu(v - u)$ , जो $u = v/2$ पर अधिकतम है। (ख) $\dd t$ में राकेट और फेंकी गई गैस का संवेग: मुक्त आकाश में $(m + \dd m) (v + \dd v) + (-\dd m)(v - v_e) = mv$ , अतः $m\,\dd v = -\dd m\,v_e$ और $v_1 - v_0 = v_e\ln(m_0/m_1)$ ; और गुरुत्व के साथ कुल संवेग $-mg\,\dd t$ से बदलता है। ∎

उदाहरण 5.5 (एक प्रक्षेपक)

पहला चरण: $D_m = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $v_e = 3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर: प्रणोद $7.5\,\mathrm{MN}$ , जो $600\,\mathrm{t}$ के राकेट को मंच से $7.5 \times 10^6/6 \times 10^5 - g = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ पर उठाता है। $200\,\mathrm{s}$ में $500\,\mathrm{t}$ जलाने पर $\Delta v = 3000\ln6 - 9.81 \times 200 = 5400 - 2000 = 3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ मिलता है — गुरुत्व-हानि ही कारण है कि प्रक्षेपक तेज़ी से चढ़ते हैं, और लघुगणक ही कारण कि वे चरणों में बनाए जाते हैं।

उदाहरण 5.6 (नली के मोड़ पर बल)

किसी नली में $P$ और $v$ पर बहता पानी, जिसकी काट $S$ है, $90^\circ$ मुड़ता है। कोहनी के तरल पर संतुलन: $\vect F_{\text{दीवार}} + PS\vect e_x - PS \vect e_y = D_m(v\vect e_y - v\vect e_x)$ , अतः दीवार तरल को $\vect F_{\text{दीवार}} = -(PS + \rho Sv^2)(\vect e_x - \vect e_y)$ से धकेलती है और तरल कोहनी को बाहर की ओर $(PS + \rho Sv^2)\sqrt2$ से। $D = 20\,\mathrm{cm}$ , $P = 3\,\mathrm{bar}$ , $v = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए: $PS = 9.4\,\mathrm{kN}$ , $\rho Sv^2 = 0.28\,\mathrm{kN}$ , और समद्विभाजक के अनुदिश बल $13.7\,\mathrm{kN}$ — यहाँ दाब वाला पद भारी पड़ता है, और यही वह बल है जिसे पाइपलाइन के लंगर-गुटके थामते हैं।

5.2 कोणीय संवेग: टरबाइन और फुहारे

प्रमेय 5.7 (कोणीय संवेग का संतुलन; ऑयलर का टरबाइन समीकरण)

स्थायी प्रवाह में, किसी बिंदु $O$ के परितः $\Sigma$ के तरल पर लगे बाह्य बलों का कुल आघूर्ण बाहर जाते कोणीय संवेग के अभिवाह में से भीतर आते अभिवाह को घटाने के बराबर होता है: $\sum\vect{\mathcal M}_O = D_m(\vect r_2\wedge\vect v_2 - \vect r_1 \wedge\vect v_1)$ । $Oz$ अक्ष की किसी घूर्णी मशीन (टरबाइन या पंप) के लिए, जिसमें तरल त्रिज्या $r_1$ पर दिगंशी वेग $v_{\theta1}$ के साथ घुसता है और $r_2$ पर $v_{\theta2}$ के साथ निकलता है, तरल द्वारा घूर्णक पर लगाया गया बलाघूर्ण और उससे मिलती शक्ति ये हैं:

\Gamma = D_m(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) , \qquad \mathcal P = \Gamma\omega = D_m\omega(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) .

कोई टरबाइन तरल से भँवर निकाल लेती है; कोई पंप उसमें भँवर भर देता है।

उपपत्ति. वही बंद-निकाय वाला तर्क, जिसमें $\vect r\wedge\vect v$ $\vect v$ की जगह ले लेता है। घूर्णक पर बलाघूर्ण तरल पर घूर्णक के बलाघूर्ण का ऋणात्मक है; और प्रवेश तथा निर्गम पृष्ठों (जो घूर्णन-पृष्ठ हैं) पर दाब-बलों का अक्ष के परितः कोई आघूर्ण नहीं होता। ∎

उदाहरण 5.8 (घास का फुहारा)

$R$ लंबाई की दो भुजाएँ पानी को स्पर्शरेखीय दिशा में सापेक्ष चाल $w$ से फेंकती हैं; और फुहारा $\omega$ से घूमता है। पानी अक्ष पर बिना कोणीय संवेग के घुसता है और $r v_\theta = R(w - R\omega)$ के साथ निकलता है (निरपेक्ष दिगंशी चाल $w - R\omega$ , जो घूर्णन के विपरीत है): अतः भुजाओं पर बलाघूर्ण $D_mR(w - R\omega)$ है। विराम में वह $D_mRw$ होता है; और घर्षण न हो तो फुहारा तब तक त्वरित होता है जब तक $R\omega = w$ न हो — तब पानी शून्य निरपेक्ष चाल से निकलता है और बलाघूर्ण लुप्त हो जाता है; और घर्षण-बलाघूर्ण $\Gamma_f$ हो तो वह $\omega = (w - \Gamma_f/D_mR)/R$ पर ठहर जाता है।

बाएँ: घास का फुहारा — पानी भुजाओं से स्पर्शरेखीय दिशा में सापेक्ष चाल w से निकलता है; और बाहर जाता कोणीय संवेग भुजाओं को उलटी दिशा में घुमाता है। दाएँ: त्रिज्यीय-आगम टरबाइन (कोई फ़्रांसिस चक्र, अपनी अक्ष के अनुदिश देखा गया): तरल नेमि पर बड़े भँवर के साथ घुसता है और अक्ष के पास थोड़े भँवर के साथ निकलता है; कोणीय संवेग के अभिवाह का यही अंतर चक्र पर बलाघूर्ण है। — बाएँ: घास का फुहारा — पानी भुजाओं से स्पर्शरेखीय दिशा में सापेक्ष चाल $w$ से निकलता है; और बाहर जाता कोणीय संवेग भुजाओं को उलटी दिशा में घुमाता है। दाएँ: त्रिज्यीय-आगम टरबाइन (कोई फ़्रांसिस चक्र, अपनी अक्ष के अनुदिश देखा गया): तरल नेमि पर बड़े भँवर के साथ घुसता है और अक्ष के पास थोड़े भँवर के साथ निकलता है; कोणीय संवेग के अभिवाह का यही अंतर चक्र पर बलाघूर्ण है।

5.3 ऊर्जा-संतुलन: पंप, टरबाइन और हानियाँ

प्रमेय 5.9 (किसी स्थायी प्रवाह का यांत्रिक ऊर्जा-संतुलन)

किसी असंपीड्य तरल के स्थायी प्रवाह के लिए, जो प्रवेश 1 और निर्गम 2 के बीच किसी मशीन (पंप या टरबाइन) से होकर जाता है, जहाँ $\mathcal P_u$ चलते भागों द्वारा तरल को दी गई यांत्रिक शक्ति है (पंप के लिए धनात्मक, टरबाइन के लिए ऋणात्मक) और $\mathcal P_{\text{क्षय}} \ge 0$ श्यानता से क्षयित शक्ति,

D_V\Bigl[\bigl(P_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho gz_2\bigr) - \bigl(P_1 + \tfrac12\rho v_1^2 + \rho gz_1\bigr)\Bigr] = \mathcal P_u - \mathcal P_{\text{क्षय}} .

$\rho gD_V$ से भाग देने पर संतुलन शीर्षों में (तरल के मीटरों में) मिलता है: $H_2 - H_1 = H_{\text{पंप}} - H_{\text{हानि}}$ , जहाँ $H = P/\rho g + v^2/2g + z$ । बिना मशीन वाले आदर्श तरल के लिए यही बर्नूली है; और शीर्ष को $H_{\text{पंप}}$ से चढ़ाते किसी पंप की द्रवचालित शक्ति $\rho gD_VH_{\text{पंप}}$ है।

उपपत्ति. प्रमेय 5.2 की उपपत्ति वाले बंद निकाय के लिए गतिज ऊर्जा प्रमेय: $\dd t$ में उसकी गतिज ऊर्जा $D_m\dd t\,(v_2^2 - v_1^2)/2$ से बदलती है; और उस पर किया गया कार्य गुरुत्व का, $-D_m\dd t\,g(z_2 - z_1)$ , चलते सिरों के फलकों पर दाब-बलों का, $(P_1S_1v_1 - P_2S_2v_2)\dd t = (P_1 - P_2)D_V\dd t$ , चलते भागों का, $\mathcal P_u\dd t$ , और आंतरिक श्यान बलों का, $-\mathcal P_{\text{क्षय}}\dd t$ , है (विराम में पड़ी दीवारें कोई कार्य नहीं करतीं)। अब $\dd t$ से भाग दीजिए। ∎

उदाहरण 5.10 (पंप नापना)

पानी को $10\,\mathrm{cm}$ की $100\,\mathrm{m}$ नली ( $\lambda = 0.02$ ) से होकर $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ पर $30\,\mathrm{m}$ ऊपर चढ़ाना है: $v = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , शीर्ष-हानि $\lambda(L/D) v^2/2g = 0.02 \times 1000 \times 0.32 = 6.4\,\mathrm{m}$ , निर्गम का गतिज शीर्ष $0.32\,\mathrm{m}$ : अतः $H_{\text{पंप}} = 36.7\,\mathrm{m}$ , द्रवचालित शक्ति $\rho gD_VH = 7.2\,\mathrm{kW}$ , और $70\%$ दक्षता पर $10\,\mathrm{kW}$ बिजली। पंप के निर्गम पर दाब प्रवेश से $\rho gH_{\text{पंप}} \approx 3.6\,\mathrm{bar}$ ऊपर होता है।

प्रतिज्ञप्ति 5.11 (एकाएक चौड़ाई: बोर्दा–कार्नो हानि)

जब $S_1$ काट की कोई नली एकाएक $S_2 > S_1$ काट की नली में खुलती है, तो धार किसी विक्षुब्ध प्रदेश में फैल जाती है और आगे दाब चढ़ता तो है, पर बर्नूली के कहे से कम: प्रति एकांक आयतन खोई यांत्रिक ऊर्जा

\Delta P_{\text{हानि}} = \tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2 ,

होती है, अर्थात् “खोए” सापेक्ष वेग की गतिज ऊर्जा। किसी बड़ी टंकी में खुलती नली का प्रवाह ( $v_2 \to 0$ ) अपनी सारी गतिज ऊर्जा खो देता है।

उपपत्ति. चौड़ाई और आगे की उस काट के बीच के तरल पर संवेग-संतुलन, जहाँ प्रवाह फिर एकसमान हो जाए; प्रयोग दिखाता है कि चौड़ाई पर छल्लेदार दीवार पर दाब $P_1$ ही होता है (धार अभी फैली नहीं है)। अतः $(P_1 - P_2)S_2 = D_m(v_2 - v_1) = \rho S_2v_2(v_2 - v_1)$ , अर्थात् $P_2 - P_1 = \rho v_2(v_1 - v_2)$ । बर्नूली $\tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2)$ देता; और अंतर $\tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2$ है। ∎

बाएँ: एकाएक चौड़ाई — धार किसी विक्षुब्ध निष्क्रिय प्रदेश में फैल जाती है और उसकी गतिज ऊर्जा का कुछ भाग क्षय हो जाता है। दाएँ: काट-अनुपात के सामने ऊपर की गतिज ऊर्जा के वे अंश जो खो जाते हैं और जो दाब के रूप में वापस मिलते हैं; हानि टंकी में जाती धार के लिए सबसे बड़ी है।

विधि 5.12 (कोई संतुलन खड़ा करना)

(1) नियंत्रण आयतन खींचिए: उसकी सीमा प्रवाह को केवल वहीं काटे जहाँ वेग और दाब ज्ञात हों या चाहिए हों (एकसमान काटें, $P_0$ पर मुक्त धारें, मुक्त सतहें)। (2) भीतर के तरल पर लगे बाह्य बल गिनाइए: भार, दीवार के बल (अज्ञात, और प्रायः यही लक्ष्य), कटी काटों पर दाब। (3) बाहर जाता संवेग-अभिवाह घटा भीतर आता लिखिए; और चलते भागों के लिए, यदि प्रवाह उस भाग के तंत्र में स्थायी हो, तो उसी तंत्र में काम कीजिए। (4) बलाघूर्णों के लिए कोणीय संवेग का संतुलन; और शक्तियों के लिए शीर्षों में ऊर्जा-संतुलन। (5) दीवार पर बल तरल पर दीवार के बल का ऋणात्मक है; और यदि पूरे उपकरण पर कुल बल चाहिए हो तो उपकरण के बाहर लगते वायुमंडलीय दाब को भी जोड़िए।

5.4 अभ्यास

अभ्यास 5.1 ★

कोई अग्निशामक नली $3.0\,\mathrm{cm}$ व्यास की टोंटी से $25\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ देती है। निर्गम चाल; टोंटी पर प्रतिक्रिया बल; लंबवत टकराने पर किसी दीवार पर धार का बल; और $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पीछे हटती दीवार पर।

हल

हल — अभ्यास 5.1.

$s = 7.1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $v = 0.025/7.1 \times 10^{-4} = 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; टोंटी पर और दीवार पर $F = D_mv = 25 \times 35 = 880\,\mathrm{N}$ ; पीछे हटती दीवार पर: $\rho s(v - u)^2 = 1000 \times 7.1 \times 10^{-4} \times 25.4^2 = 460\,\mathrm{N}$ ।

अभ्यास 5.2 ★

कोई राकेट-इंजन $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर $250\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ फेंकता है। प्रणोद; $60\,\mathrm{t}$ के राकेट का आरंभिक त्वरण; $40\,\mathrm{t}$ नोदक जल जाने पर त्वरण; उस जलने के बाद पाई गई चाल (मुक्त आकाश में, फिर गुरुत्व के साथ, अवधि $160\,\mathrm{s}$ )।

हल

हल — अभ्यास 5.2.

$F = 250 \times 3000 = 750\,\mathrm{kN}$ ; $a_0 = 750/60 - 9.81 = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $20\,\mathrm{t}$ पर: $37.5 - 9.8 = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । मुक्त आकाश में $\Delta v = 3000\ln3 = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; और उसमें से $g\tau = 1.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ घटाकर: $1.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 5.3 ★

$15\,\mathrm{cm}$ की किसी नली में, जो $90{}^{\circ}$ मुड़ती है, पानी $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $4.0\,\mathrm{bar}$ पर बहता है। कोहनी पर पानी द्वारा लगाया गया बल (परिमाण और दिशा); उसका कौन-सा भाग दाब से आता है और कौन-सा संवेग-परिवर्तन से? वही कोहनी, जब नली मोड़ के ठीक बाद हवा में खुलती हो।

हल

हल — अभ्यास 5.3.

$S = 177\,\mathrm{cm}^{2}$ : $PS = 7.1\,\mathrm{kN}$ , $\rho Sv^2 = 71\,\mathrm{N}$ । कोहनी पर बल का हर घटक $PS + \rho Sv^2 = 7.1\,\mathrm{kN}$ है: अर्थात् बाहर के समद्विभाजक के अनुदिश $10\,\mathrm{kN}$ , जिसका $99\%$ दाब है। निर्गम खुला हो (वहाँ प्रमापी दाब शून्य): प्रवेश की दिशा में $7.1$ kN और निर्गम के अनुदिश $71\,\mathrm{N}$ : अर्थात् $7.1\,\mathrm{kN}$ , लगभग प्रवेश-अक्ष के अनुदिश।

अभ्यास 5.4 ★

परीक्षण-मंच पर कोई जेट इंजन $80\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ स्थिर हवा निगलता है और उसे $550\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर फेंकता है (ईंधन का द्रव्यमान नगण्य)। प्रणोद। $240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर उड़ान में, इंजन के सापेक्ष वही निकास-चाल: प्रणोद, नोदन-शक्ति, और इंजन-तंत्र में हवा को दी गई गतिज शक्ति; नोदन दक्षता।

हल

हल — अभ्यास 5.4.

$F = 80 \times 550 = 44\,\mathrm{kN}$ । उड़ान में: $F = 80(550 - 240) = 25\,\mathrm{kN}$ , $Fv = 6.0\,\mathrm{MW}$ ; $\mathcal P_{\text{गतिज}} = \tfrac12 \times 80 \times (550^2 - 240^2) = 9.8\,\mathrm{MW}$ ; $\eta_p = 0.61 = 2 \times 240/790$ ।

अभ्यास 5.5 ★★

पेल्टन चक्र। $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $0.50\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ की कोई धार $0.80\,\mathrm{m}$ त्रिज्या के चक्र की बाल्टियों पर टकराती है। (क) बाल्टी-चाल $u$ पर बाल्टियों पर बल और शक्ति (आदर्श $180^\circ$ विक्षेपण); उत्तम $u$ और उससे मिलती घूर्णन चाल $\mathrm{rpm}$ में। (ख) उत्तम बिंदु पर शक्ति और दक्षता। (ग) असली बाल्टियाँ धार को $165{}^{\circ}$ मोड़ती हैं: $u = v/2$ पर बल और शक्ति; दक्षता। (घ) उत्तम बिंदु पर बलाघूर्ण; विराम में और अनियंत्रित चाल पर बलाघूर्ण का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 5.5.

$D_m = 500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ । (क) $F = 1000(60 - u)$ N, $\mathcal P = 1000u(60 - u)$ ; $u = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 37.5$ rad/s $= 360\,\mathrm{rpm}$ । (ख) $900\,\mathrm{kW}$ $= \tfrac12D_mv^2$ : अर्थात् $100\%$ । (ग) $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 29.5\,\mathrm{kN}$ , $\mathcal P = 885\,\mathrm{kW}$ , $98\%$ । (घ) $\Gamma = FR = 24\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ; विराम में बल दुगुना हो जाता है ( $\Gamma = 48\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ); और $u = v$ पर बल तथा बलाघूर्ण लुप्त हो जाते हैं।

अभ्यास 5.6 ★★

फुहारा। $15\,\mathrm{cm}$ की दो भुजाएँ $3.0\,\mathrm{mm}$ की टोंटियों पर समाप्त होती हैं; कुल प्रवाह $0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ है। (क) सापेक्ष निर्गम चाल। (ख) विराम में बलाघूर्ण। (ग) $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ के धारक-घर्षण बलाघूर्ण के साथ घूर्णन दर; और बिना घर्षण सीमांत दर। (घ) हर दशा में निकलते पानी की निरपेक्ष चाल।

हल

हल — अभ्यास 5.6.

(क) प्रति टोंटी $s = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ , और हर एक पर $0.10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ : $w = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) $\Gamma_0 = D_mRw = 0.2 \times 0.15 \times 14 = 0.42\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ । (ग) $D_mR(w - R\omega) = 5 \times 10^{-3}$ : $w - R\omega = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \approx 890\,\mathrm{rpm}$ ; और बिना घर्षण $R\omega = w$ : $900\,\mathrm{rpm}$ । (घ) पहले पीछे की ओर $0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , फिर शून्य: तब पानी सीधे नीचे गिरता है।

अभ्यास 5.7 ★★

मँडराना। $2.0\,\mathrm{t}$ का कोई हेलिकॉप्टर $10\,\mathrm{m}$ व्यास के घूर्णक से मँडराता है। घूर्णक को ऐसी चक्रिका मानिए जो स्थिर हवा लेकर उसे चक्रिका पर एकसमान चाल $v_i$ से नीचे धकेलती है, और बहुत नीचे $2v_i$ से (गुणक 2 स्वीकार कीजिए)। (क) $\rho$ , $A$ , $v_i$ के पदों में प्रणोद; $v_i$ का मान। (ख) हवा को दी गई शक्ति (बहुत नीचे उसकी गतिज शक्ति)। (ग) बड़े घूर्णक को कम शक्ति क्यों चाहिए? (घ) $25\,\mathrm{cm}$ के चार परिनोदकों वाले $1\,\mathrm{kg}$ के ड्रोन के लिए वही गणना; शक्ति-भार अनुपात की तुलना।

हल

हल — अभ्यास 5.7.

(क) $D_m = \rho Av_i$ , और संवेग-अभिवाह $D_m\cdot2v_i$ : अतः $T = 2\rho Av_i^2$ ; $A = 78.5\,\mathrm{m}^{2}$ , $T = 19.6\,\mathrm{kN}$ : $v_i = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) $\mathcal P = \tfrac12D_m(2v_i)^2 = Tv_i = 200\,\mathrm{kW}$ । (ग) $\mathcal P = T^{3/2}/\sqrt{2\rho A}$ : क्षेत्रफल दुगुना करने पर प्रेरित शक्ति $\sqrt2$ से बँट जाती है — बड़ा घूर्णक अधिक हवा को अधिक धीरे चलाता है। (घ) $A = 0.20\,\mathrm{m}^{2}$ , $v_i = \sqrt{9.81/0.47} = 4.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\mathcal P = 45\,\mathrm{W}$ : अर्थात् $100\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ के सामने $45\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ — क्योंकि चक्रिका-भार $T/A$ कम है।

अभ्यास 5.8 ★★

एकाएक चौड़ाई। $5\,\mathrm{cm}$ की नली में $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर पानी $10\,\mathrm{cm}$ की नली में घुसता है। (क) आगे की चाल; बर्नूली के अनुसार और बोर्दा–कार्नो के अनुसार दाब-वृद्धि; हानि पास्कल में और शीर्ष के मीटरों में। (ख) वही चौड़ाई क्रमिक बनाने पर (कोई विसारक) बर्नूली की वृद्धि का $80\%$ वापस मिलता है: हानि। (ग) जब $5\,\mathrm{cm}$ की नली किसी बड़ी टंकी में गिरे तो हानि। (घ) दिए गए प्रवाह पर (क) और (ग) में खोई शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 5.8.

(क) $v_2 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; बर्नूली $\tfrac12\rho(16 - 1) = 7.5\,\mathrm{kPa}$ ; वास्तविक $\rho v_2(v_1 - v_2) = 3.0\,\mathrm{kPa}$ ; हानि $4.5\,\mathrm{kPa}$ $= 0.46\,\mathrm{m}$ । (ख) $6$ kPa वापस मिलते हैं, $1.5\,\mathrm{kPa}$ खोए। (ग) $\tfrac12\rho v_1^2 = 8\,\mathrm{kPa}$ , $0.82\,\mathrm{m}$ । (घ) $D_V = 7.9\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ : $35\,\mathrm{W}$ और $63\,\mathrm{W}$ ।

अभ्यास 5.9 ★★

कोई पंप अपने से $5.0\,\mathrm{m}$ नीचे के कुएँ से पानी खींचता है और उसे $6\,\mathrm{cm}$ की $60\,\mathrm{m}$ नली से होकर ( $\lambda = 0.025$ , और जोड़ों के लिए $2\,v^2/2g$ की एकल हानि) अपने से $25\,\mathrm{m}$ ऊपर की टंकी में $10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ पहुँचाता है। (क) चाल और हानियाँ। (ख) पंप-शीर्ष और द्रवचालित शक्ति; $65\%$ दक्षता पर धुरी-शक्ति। (ग) पंप के प्रवेश (चूषण की ओर) और निर्गम पर दाब। (घ) पानी का वाष्प दाब $2.3\,\mathrm{kPa}$ है: कुएँ से ऊपर पंप की अधिकतम ऊँचाई।

हल

हल — अभ्यास 5.9.

(क) $v = 0.01/2.83 \times 10^{-3} = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 0.64\,\mathrm{m}$ ; घर्षण $0.025 \times 1000 \times 0.64 = 16\,\mathrm{m}$ , जोड़ $1.3\,\mathrm{m}$ : अर्थात् $17.3\,\mathrm{m}$ । (ख) $H = 30 + 17.3 + 0.64 = 48\,\mathrm{m}$ ; $\rho gD_VH = 4.7\,\mathrm{kW}$ ; धुरी पर $7.2\,\mathrm{kW}$ । (ग) प्रवेश (बिना चूषण-हानि के): $P_0 - \rho g(5 + 0.64) = 45\,\mathrm{kPa}$ ; निर्गम $45 + 470 = 515\,\mathrm{kPa}$ । (घ) $P_{\text{प्रवेश}} \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h \le (100 - 2.3)/9.81 - 0.64 = 9.3\,\mathrm{m}$ (चूषण-हानियों के साथ कम; व्यवहार में $7$ – $8\,\mathrm{m}$ )।

अभ्यास 5.10 ★★★

जल-राकेट। $2.0\,\mathrm{L}$ की किसी बोतल में $1.0\,\mathrm{L}$ पानी और $5.0\,\mathrm{bar}$ (निरपेक्ष) पर हवा है; टोंटी का व्यास $2.2\,\mathrm{cm}$ है; और खाली बोतल $0.10\,\mathrm{kg}$ । (क) आरंभिक निर्गम चाल (बर्नूली, पानी की सतह विराम में) और प्रणोद; आरंभिक त्वरण। (ख) पानी निकलते-निकलते हवा समतापी रूप से फैलती है: आधा पानी निकल जाने पर दाब और निर्गम चाल। (ग) जलने की अवधि और पाई गई चाल आँकिए (गुरुत्व और कर्षण छोड़ दीजिए, और प्रणोद को उसका माध्य मान मानिए)। (घ) पानी ख़त्म होने पर खाली बोतल क्या करती है, और थोड़ा-सा पानी (बहुत नहीं) सबसे अच्छी ऊँचाई क्यों देता है?

हल

हल — अभ्यास 5.10.

(क) $v = \sqrt{2 \times 4 \times 10^5/1000} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 3.8\,\mathrm{cm}^{2}$ , $D_m = 10.8\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $F = D_mv = 2\Delta P\,s = 300\,\mathrm{N}$ ; $a = 300/1.1 - 9.8 = 260\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । (ख) $1.5\,\mathrm{L}$ पर हवा: $P = 3.3\,\mathrm{bar}$ , $v = \sqrt{2 \times 2.3 \times 10^5/1000} = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ग) माध्य निर्गम चाल $\approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : जलना $\approx 10^{-3} /(3.8 \times 10^{-4} \times 22) = 0.12\,\mathrm{s}$ ; और $v_e \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के साथ राकेट समीकरण: $\Delta v \approx 22\ln(1.1/0.1) = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (घ) बची $2.5\,\mathrm{bar}$ हवा बाहर निकलकर थोड़ा और जोड़ती है; बहुत अधिक पानी हवा को कम छोड़ता है और दाब जल्दी बैठ जाता है, बहुत कम पानी फेंकने को द्रव्यमान ही कम छोड़ता है — लगभग एक-तिहाई आयतन सबसे अच्छा रहता है।

अभ्यास 5.11 ★★★

फ़्रांसिस टरबाइन। पानी किसी चक्र में $r_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ पर $v_{\theta1} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के साथ घुसता है और $r_2 = 0.50\,\mathrm{m}$ पर बिना भँवर के निकलता है; प्रवाह $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; घूर्णन $150\,\mathrm{rpm}$ । (क) बलाघूर्ण और शक्ति। (ख) निकाला गया शीर्ष, $H = \mathcal P/\rho gD_V$ । (ग) यदि चक्र वही प्रवेश-वेग रखते हुए $200\,\mathrm{rpm}$ पर चले और निर्गम का भँवर घूर्णन की दिशा में $v_{\theta2} = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ हो जाए: शक्ति, और शीर्ष का वह अंश जो व्यर्थ निर्गम-भँवर में बदल जाता है। (घ) पेल्टन चक्र ऊँचे शीर्षों और छोटे प्रवाहों के लिए, और फ़्रांसिस उलटी दशा के लिए, क्यों काम आता है?

हल

हल — अभ्यास 5.11.

(क) $\Gamma = D_mr_1v_{\theta1} = 3 \times 10^4 \times 20 = 600\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ , $\omega = 15.7$ rad/s, $\mathcal P = 9.4\,\mathrm{MW}$ । (ख) $H = \mathcal P/\rho gD_V = 32\,\mathrm{m}$ । (ग) $\Gamma = 3 \times 10^4(20 - 1.5) = 555\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ , $\mathcal P = 11.6\,\mathrm{MW}$ (शीर्ष $39\,\mathrm{m}$ ); और निर्गम-भँवर $v_{\theta2}^2/2g = 0.46\,\mathrm{m}$ ले जाता है, अर्थात् लगभग $1\%$ । (घ) पेल्टन की धार वायुमंडलीय दाब पर होती है: तेज़ होने के लिए उसे ऊँचा शीर्ष चाहिए, और उसका प्रवाह टोंटी से सीमित रहता है; जबकि फ़्रांसिस चक्र दाब में पानी से भरा रहता है और मध्यम शीर्षों पर बड़े प्रवाह निकाल ले जाता है।

अभ्यास 5.12 ★★★

जल-उछाल। एकांक चौड़ाई की किसी क्षैतिज नहर में $h_1$ गहराई का पानी $v_1$ से बहता हुआ एकाएक $h_2$ गहराई और $v_2$ चाल पर उछल जाता है (किसी बंधिका के नीचे या रसोई के सिंक में दिखती झागदार सीढ़ी)। (क) द्रव्यमान-संरक्षण। (ख) उछाल के दोनों ओर के तरल पर संवेग-संतुलन, जहाँ हर ओर दाब द्रवस्थैतिक है: दिखाइए कि $\tfrac12gh_1^2 + v_1^2h_1 = \tfrac12gh_2^2 + v_2^2h_2$ । (ग) उससे निकालिए कि $h_2/h_1 = \tfrac12\bigl(-1 + \sqrt{1 + 8\,\mathrm{Fr}_1^2}\bigr)$ , जहाँ $\mathrm{Fr}_1 = v_1/\sqrt{gh_1}$ (फ़्रूड संख्या); और उछाल के लिए $\mathrm{Fr}_1 > 1$ चाहिए। (घ) उछाल में खोया शीर्ष, $\Delta H = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$ ; $h_1 = 0.20\,\mathrm{m}$ , $v_1 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए अंक, और प्रति मीटर चौड़ाई क्षयित शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 5.12.

(क) $v_1h_1 = v_2h_2 = q$ । (ख) किसी काट पर प्रति एकांक चौड़ाई द्रवस्थैतिक बल $\int_0^h\rho g(h - z)\dd z = \tfrac12\rho gh^2$ ; संवेग: $\tfrac12\rho g(h_1^2 - h_2^2) = \rho q(v_2 - v_1)$ ; अब $\rho$ से भाग दीजिए और $q = v_1h_1 = v_2h_2$ लीजिए। (ग) $v_2 = v_1h_1/h_2$ और $h_1 \ne h_2$ लेकर: $\tfrac12g(h_1 + h_2)h_2 = v_1^2h_1$ , अर्थात् $(h_2/h_1)^2 + h_2/h_1 - 2\mathrm{Fr}_1^2 = 0$ ; और $h_2 > h_1$ के लिए $\mathrm{Fr}_1 > 1$ चाहिए। (घ) $\Delta H = (h_1 + v_1^2/2g) - (h_2 + v_2^2/2g) = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$ । $\mathrm{Fr}_1 = 2.86$ , $h_2/h_1 = 3.57$ , $h_2 = 0.71\,\mathrm{m}$ , $v_2 = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Delta H = 0.514^3/0.57 = 0.24\,\mathrm{m}$ ; और प्रति मीटर चौड़ाई $\rho gq\,\Delta H = 1.9\,\mathrm{kW}$ ।

किसी पेल्टन टरबाइन का चक्र: हर बाल्टी धार को लगभग 180 मोड़कर लौटा देती है, और पानी के संवेग का यही परिवर्तन चक्र पर बल है। — किसी पेल्टन टरबाइन का चक्र: हर बाल्टी धार को लगभग $180^\circ$ मोड़कर लौटा देती है, और पानी के संवेग का यही परिवर्तन चक्र पर बल है।

किसी जलविद्युत संयंत्र के जलनाल नीचे की टरबाइनों को पानी देते हैं: पेल्टन चक्र की बाल्टियों पर धार का संवेग-संतुलन पानी के शीर्ष को धुरी-कार्य में बदल देता है।

5.5 समस्या: धारें, राकेट और चक्र

समस्या 5.1

सप्ताहांत समस्या — जेट वायुयान को क्या धकेलता है, राकेट को क्या उठाता है, टरबाइन को क्या घुमाता है, और पानी को ऊपर पंप करने में क्या लगता है

भाग I — टर्बोजेट। परीक्षण-मंच पर कोई इंजन $D_a = 50\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ स्थिर हवा लेता है, $D_f = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ईंधन जलाता है, और मिश्रण को वायुमंडलीय दाब पर $v_e = 600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फेंकता है।

परीक्षण-मंच पर प्रणोद।
$v = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की उड़ान में (इंजन के सापेक्ष वही $v_e$ ): प्रणोद, और नोदन-शक्ति $Fv$ ।
इंजन-तंत्र में निकाली गई, गैस को दी गई गतिज शक्ति। नोदन दक्षता $\eta_p = Fv/\mathcal P_{\text{गतिज}}$ ; दिखाइए कि ईंधन का द्रव्यमान छोड़ने पर $\eta_p = 2v/(v + v_e)$ ।
ईंधन $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ देता है: इंजन की ऊष्मीय दक्षता (गतिज शक्ति बटा ऊष्मा-शक्ति) और समग्र दक्षता।
कोई टर्बोफ़ैन उसी गतिज शक्ति से $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ हवा त्वरित करता है: $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर निकास-चाल, प्रणोद और $\eta_p$ । यात्री-विमानों में विशाल पंखे क्यों होते हैं?
वायुमंडल के ऊपर, राकेट का काम करने के लिए, टर्बोजेट विराम में क्यों नहीं चल सकता?
उतरते समय प्रतिप्रणोद पंखे के प्रवाह को अक्ष से $45{}^{\circ}$ पर आगे की ओर मोड़ देता है: प्रश्न 5 के टर्बोफ़ैन के लिए $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर ब्रेक-बल, जब पंखे का निकास इंजन के सापेक्ष $150\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ हो; और उसी प्रवाह से मिलते अग्र प्रणोद से तुलना कीजिए।

भाग II — राकेट। एक-चरण का कोई राकेट: आरंभिक द्रव्यमान $m_0 = 300\,\mathrm{t}$ , नोदक $200\,\mathrm{t}$ , निकास-चाल $v_e = 3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , जलने का समय $\tau = 150\,\mathrm{s}$ अचर द्रव्यमान प्रवाह दर पर।

राकेट और $\dd t$ में फेंकी गई गैस पर संवेग-संतुलन लगाकर ऊर्ध्वाधर उड़ान के लिए $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ निकालिए।
द्रव्यमान प्रवाह दर, प्रणोद, और उड़ान-भरने पर तथा जलने के अंत पर त्वरण।
समाकलन करके जलने के अंत की चाल पाइए; “गुरुत्व-हानि” क्या है?
वही राकेट $100\,\mathrm{t}$ नोदक वाले दो चरणों में बाँटने पर जलने के अंत की चाल, जहाँ पहले चरण का खाली द्रव्यमान ( $20\,\mathrm{t}$ ) दूसरे के जलने से पहले गिरा दिया जाता है (यहाँ गुरुत्व छोड़ दीजिए): एक चरण से तुलना कीजिए।
उसी द्रव्यमान-अनुपात के साथ कक्षीय चाल ( $7.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , गुरुत्व छोड़कर) तक पहुँचने के लिए एक चरण को कौन-सी निकास-चाल चाहिए होती? नोदकों के चुनाव पर टिप्पणी दीजिए।
उड़ान भरते समय निकास-धार ( $3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर $1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ) मंच के ज्वाला-विक्षेपक से टकराकर क्षैतिज कर दी जाती है: विक्षेपक पर बल।
राकेट का निकास भी एक तरल-प्रवाह है: किसी वास्तविक टोंटी के लिए प्रणोद ऊँचाई के साथ बढ़ता क्यों है (टोंटी की निर्गम काट पर दाब सोचिए)?

भाग III — पेल्टन चक्र। पिछले अध्याय के संयंत्र की धार: $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ , $v = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर, जो दो चक्रों में बँटी है; हर चक्र की त्रिज्या $R = 1.5\,\mathrm{m}$ है और उसकी बाल्टियाँ धार को $165{}^{\circ}$ मोड़ती हैं।

बाल्टी-चाल $u$ पर एक चक्र की बाल्टियों पर बल, और शक्ति; उत्तम $u$ ।
उत्तम बिंदु पर घूर्णन चाल $\mathrm{rpm}$ में; धुरी पर बलाघूर्ण।
जनित्र को $50\,\mathrm{Hz}$ के किसी गुणज बटा उसके ध्रुव-युग्मों की संख्या पर घूमना है: ध्रुव-युग्मों की संख्या चुनिए।
एक चक्र की शक्ति और धार की गतिज शक्ति के सापेक्ष दक्षता; $95\%$ जनित्र-दक्षता पर कुल वैद्युत शक्ति।
उत्तम बिंदु पर किसी बाल्टी पर कोणीय संवेग का संतुलन (ऑयलर का टरबाइन समीकरण) लगाकर: प्रति किलोग्राम भीतर आते और बाहर जाते पानी का कोणीय संवेग, और बलाघूर्ण की जाँच।
भार एकाएक हट जाता है और चक्र $u = v$ की ओर बेक़ाबू भागने लगता है: बल और बलाघूर्ण का क्या होता है, और धार को हटा देने वाला विक्षेपक हर पेल्टन संयंत्र में क्यों होता है?

भाग IV — ऊपर पंप करना। संयंत्र भंडारण के लिए भी काम आता है: रात में $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ पानी जलनाल ( $400\,\mathrm{m}$ , $3\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 0.015$ ) से होकर $200\,\mathrm{m}$ ऊपर के जलाशय में वापस पंप किया जाता है।

$40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ पर जलनाल में शीर्ष-हानियाँ; आवश्यक पंप-शीर्ष।
द्रवचालित शक्ति, और $88\%$ पंप-दक्षता पर खींची गई वैद्युत शक्ति।
पंप करते समय जलनाल के तल पर दाब; टरबाइन-दशा (पिछला अध्याय) के उसके मान से तुलना कीजिए।
$8\,\mathrm{h}$ की हर रात में संचित ऊर्जा (चढ़ाए गए पानी की स्थितिज ऊर्जा); और भंडारण की चक्रीय दक्षता, यदि टरबाइन-दशा उपलब्ध शीर्ष का $90\%$ और जनित्र $95\%$ वापस दे।
इस समस्या में काम आए चारों संतुलनों (संवेग, कोणीय संवेग, ऊर्जा, द्रव्यमान) और हर एक से नापे गए उपकरण का सार दीजिए।

हल

हल — समस्या 5.1.

1. $F = (D_a + D_f)v_e = 51 \times 600 = 30.6\,\mathrm{kN}$ ।

2. $F = 51 \times 600 - 50 \times 250 = 18.1\,\mathrm{kN}$ ; $Fv = 4.5\,\mathrm{MW}$ ।

3. $\mathcal P_{\text{गतिज}} = \tfrac12 \times 51 \times 600^2 - \tfrac12 \times 50 \times 250^2 = 7.6\,\mathrm{MW}$ ; $\eta_p = 0.59$ । $D_f = 0$ लेकर: $\eta_p = 2v(v_e - v)/(v_e^2 - v^2) = 2v/(v_e + v) = 500/850$ ।

4. ऊष्मा $43\,\mathrm{MW}$ : ऊष्मीय $7.6/43 = 18\%$ ; समग्र $4.5/43 = 10\%$ ।

5. $\tfrac12 \times 500(v_e'^2 - 250^2) = 7.6 \times 10^6$ : $v_e' = 305\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 500 \times 55 = 27.5\,\mathrm{kN}$ ; $\eta_p = 500/555 = 0.90$ । अधिक हवा को अधिक धीरे चलाने से उसी शक्ति पर अधिक प्रणोद मिलता है: इसीलिए वे पंखे।

6. उसे बाहर की हवा दोनों चाहिए — कार्यकारी तरल के रूप में भी और ऑक्सीकारक के रूप में भी; राकेट दोनों अपने साथ ले चलता है।

7. हवा $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से घुसती है (इंजन-तंत्र में पीछे की ओर) और $150\cos45^\circ = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के अग्र घटक के साथ निकलती है: अतः हवा को दिया गया संवेग आगे की ओर है, और ब्रेक-बल $500(106 + 70) = 88\,\mathrm{kN}$ ; जबकि वही प्रवाह पीछे फेंका जाता तो $500(150 - 70) = 40\,\mathrm{kN}$ प्रणोद देता।

8. $\dd t$ पर निकाय (राकेट $m$ + गैस $D_m\dd t$ , जो $v - v_e$ पर फेंकी गई है): $(m - D_m\dd t)(v + \dd v) + D_m\dd t(v - v_e) - mv = -mg\,\dd t$ , अतः $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ ।

9. $D_m = 1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $F = 4.0\,\mathrm{MN}$ ; उड़ान भरते समय $a = 13.3 - 9.8 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , और जलने के अंत पर $40 - 9.8 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ।

10. $v = v_e\ln(m_0/m) - gt$ : $3000\ln3 - 9.81 \times 150 = 3296 - 1472 = 1.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; और गुरुत्व-हानि $1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

11. चरण 1: $3000\ln(300/200) = 1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; $20\,\mathrm{t}$ गिराइए; चरण 2: $3000\ln(180/80) = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : अर्थात् एक चरण की $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ के सामने $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (और गुरुत्व के साथ यह अंतर और बढ़ता है)।

12. $v_e = 7800/\ln3 = 7.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : कोई भी रासायनिक नोदक वहाँ नहीं पहुँचता (हाइड्रोजन–ऑक्सीजन $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ देता है); अतः चरणों में बाँटना अनिवार्य है।

13. धार का ऊर्ध्वाधर संवेग-अभिवाह $D_mv = 4.0\,\mathrm{MN}$ हटा दिया जाता है और उतना ही क्षैतिज बना दिया जाता है: अतः $4\,\mathrm{MN}$ नीचे की ओर और $4\,\mathrm{MN}$ बग़ल में, कुल मिलाकर $5.7\,\mathrm{MN}$ ।

14. इंजन पर संतुलन में निर्गम काट पर $(P_e - P_0)S_e$ भी आता है; और ऊँचाई के साथ $P_0$ गिरने पर यह पद बढ़ता जाता है: अतः प्रणोद निर्वात में $10$ – $15\%$ तक चढ़ जाता है।

15. प्रति चक्र $D_m = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ : $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 1.97 \times 3 \times 10^4(62.6 - u)$ ; $\mathcal P = Fu$ , जो $u = v/2 = 31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर अधिकतम है।

16. $\omega = u/R = 20.9$ rad/s $= 199\,\mathrm{rpm}$ ; $F = 1.85\,\mathrm{MN}$ , $\Gamma = FR = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ ।

17. $f = pn/60$ : $p = 3000/199 \approx 15$ ध्रुव-युग्म, $n = 200\,\mathrm{rpm}$ ।

18. $\mathcal P = Fu = 58\,\mathrm{MW}$ ; धार की शक्ति $\tfrac12D_mv^2 = 59\,\mathrm{MW}$ : अर्थात् $98\%$ ; और $2 \times 58 \times 0.95 = 110\,\mathrm{MW}$ ।

19. भीतर: प्रति किलोग्राम $Rv = 94\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ । बाहर: निरपेक्ष दिगंशी चाल $u - (v - u)\cos15^\circ = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , अर्थात् $1.6\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ । अतः $\Gamma = D_m(94 - 1.6) = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ — ठीक 16 की तरह।

20. $u \to v$ होते ही सापेक्ष चाल, बल और बलाघूर्ण लुप्त हो जाते हैं: चक्र को कुछ रोकता नहीं और वह बेतहाशा तेज़ हो जाता है; अतः विक्षेपक धार को सेकंड भर में बाल्टियों से हटा देता है, जबकि सूची-कपाट इतने धीरे बंद होता है कि जल-आघात न हो।

21. $v = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v^2/2g = 1.6\,\mathrm{m}$ ; हानि $0.015 \times 133 \times 1.6 = 3.3\,\mathrm{m}$ ; पंप-शीर्ष $200 + 3.3 + 1.6 = 205\,\mathrm{m}$ ।

22. $\rho gD_VH = 9810 \times 40 \times 205 = 80\,\mathrm{MW}$ ; वैद्युत $91\,\mathrm{MW}$ ।

23. $P = P_0 + \rho g(200 + 3.3) + \tfrac12\rho v^2 \approx 21\,\mathrm{bar}$ निरपेक्ष, जबकि टरबाइन-दशा में $20.3\,\mathrm{bar}$ : अर्थात् अब हानियाँ स्थैतिक शीर्ष में घटती नहीं, जुड़ती हैं।

24. $V = 40 \times 28800 = 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ , $E = \rho gV \times 200 = 2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 630\,\mathrm{MWh}$ ; खपत $91 \times 8 = 730\,\mathrm{MWh}$ ; वापस मिली $630 \times 0.9 \times 0.95 = 540\,\mathrm{MWh}$ : अतः चक्रीय दक्षता $74\%$ ।

25. संवेग: जेट इंजन और राकेट का प्रणोद, तथा पेल्टन बल। कोणीय संवेग: टरबाइन का बलाघूर्ण (ऑयलर)। ऊर्जा: पंप-शीर्ष और शक्ति, तथा भंडारण की दक्षता। द्रव्यमान: हर प्रवाह दर, और राकेट की द्रव्यमान-हानि।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

नियंत्रण आयतन; विवृत निकाय

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