विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

30श्रोडिंगर समीकरण और तरंग फलन

इलेक्ट्रॉनों को एक-एक कर किसी झिरी-युग्म पर दागिए और लिखते जाइए कि हर एक कहाँ गिरता है: यहाँ एक बिंदु, वहाँ एक बिंदु, प्रत्यक्षतः यादृच्छिक — और दस हज़ार बिंदुओं के बाद, यंग के प्रयोग की फ्रिंजें, मानो हर इलेक्ट्रॉन दोनों झिरियों से गुज़रा हो और अपने साथ व्यतिकरण किया हो। वर्ष 1 के खंड का अंतिम अध्याय इस विचित्रता से मिला था: प्रकाश फोटॉनों में आता है, पदार्थ की कोई तरंगदैर्घ्य $\lambda = h/p$ है, और स्थिति तथा संवेग दोनों तीखे नहीं हो सकते। जो उसने नहीं दिया वह है समीकरण — वह नियम जो कहता है कि किसी कण से जुड़ी तरंग कैसे विकसित होती है, जैसे न्यूटन का नियम कहता है कि कोई प्रक्षेप-पथ कैसे विकसित होता है। वह समीकरण श्रोडिंगर का है (1926), और उसके साथ क्वांटम वर्णन कोई परिकलनीय सिद्धांत बन जाता है: कोई कोई तरंग फलन $\psi(x,t)$ लिखता है, जिसके मापांक का वर्ग कण को पाने की प्रायिकता है, और कोई कोई रैखिक आंशिक अवकल समीकरण हल करता है। यह अध्याय समीकरण कहता है, समझाता है कि $\psi$ का क्या अर्थ है और क्या नहीं, उसकी स्थायी अवस्थाएँ तथा मुक्त कण के तरंग-पुंज ढूँढ़ता है, और दिखाता है कि न्यूटन की यांत्रिकी कहाँ फिर उभरती है — हर उस चीज़ के लिए जो किसी अणु से भारी हो।

कोई पारगमन इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी: सौ किलोवोल्ट तक त्वरित इलेक्ट्रॉनों की तरंगदैर्घ्य कुछ पिकोमीटर होती है, और उनका तरंग फलन, चुंबकीय लेंसों से केंद्रित होकर, किसी क्रिस्टल के परमाणुओं का प्रतिबिंब बनाता है।

30.1 वर्ष 1 का खंड हमें क्या छोड़ गया

प्रतिज्ञप्ति 30.1 (कण तरंगें हैं)

आवृत्ति $\nu$ के किसी फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \hbar\omega$ और संवेग $p = h/\lambda = \hbar k$ है; संवेग $p$ का कोई भौतिक कण तरंगदैर्घ्य $\lambda = h/p$ की किसी तरंग जैसा बरतता है (डी ब्रॉय), और उसका $E = \hbar\omega$ तथा $p = \hbar k$ भी — क्रिस्टलों से इलेक्ट्रॉन विवर्तन, न्यूट्रॉन और अणु तक की व्यतिकरणमिति उसकी पुष्टि करते हैं; और कोई अवस्था $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ से तीखी स्थिति और संवेग नहीं रख सकती (हाइज़ेनबर्ग)। $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ के साथ: $100\,\mathrm{eV}$ पर किसी इलेक्ट्रॉन का $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$ है, यानी किसी परमाणु का आकार; $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ पर $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ के किसी धूलकण का $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ है, किसी नाभिक से छोटा — वह चिरसम्मत ढंग से बरतता है।

उपपत्ति. वर्ष 1 के खंड से याद किया गया; अब का काम तरंग की गतिकी है। ∎

किसी इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में लिखा गया कोई इलेक्ट्रॉन विवर्तन प्रतिरूप (किसी क्रिस्टल से कोई किकुची प्रतिरूप): कुछ पिकोमीटर तरंगदैर्घ्य के इलेक्ट्रॉन, परमाण्विक तलों से विवर्तित — पदार्थ किसी तरंग जैसा बरतता हुआ (NIST)।

30.2 तरंग फलन

परिभाषा 30.2 (तरंग फलन और बोर्न का नियम)

$x$ के अनुदिश चलते किसी कण की अवस्था किसी सम्मिश्र तरंग फलन $\psi(x,t)$ से वर्णित होती है, ऐसा कि

\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x

कण को $x$ और $x + \dd x$ के बीच समय $t$ पर पाने की प्रायिकता है (बोर्न का नियम); अतः प्रसामान्यन $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$ , और प्रत्याशा मान $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$ , $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$ । तरंग फलन अध्यारोपण सिद्धांत मानते हैं: यदि $\psi_1$ और $\psi_2$ संभव अवस्थाएँ हों, तो $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ भी (प्रसामान्यित), और तब प्रायिकताओं में व्यतिकरण पद $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$ रहता है। कोई वैश्विक कला गुणक $\eu^{\iu\theta}$ कुछ नहीं बदलता; दो अध्यारोपित घटकों के बीच कोई सापेक्ष कला व्यतिकरण बदल देती है।

टिप्पणी 30.3 ( $\psi$ जो नहीं है)

$\psi$ न तो $\vect E$ जैसा दिक् में फैला कोई चिरसम्मत क्षेत्र है, न पदार्थ का कोई बादल: इलेक्ट्रॉन सदा पूरा ही मिलता है, किसी एक बिंदु पर। $\psi$ कोई प्रायिकता आयाम है, वह वस्तु जो व्यतिकरण करती है; केवल $|\psi|^2$ प्रेक्षित होता है, और केवल सांख्यिकीय रूप से, सर्वसम रूप से तैयार कणों पर प्रयोग दोहराकर। द्विझिरी के बिंदु एकल इलेक्ट्रॉन हैं; फ्रिंजें $|\psi_1 + \psi_2|^2$ हैं।

30.3 श्रोडिंगर समीकरण

प्रमेय 30.4 (श्रोडिंगर समीकरण)

द्रव्यमान $m$ के किसी कण का, जो स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ में हो, कोई तरंग फलन होता है जो यह मानता है

\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .

यह रैखिक है (अध्यारोपण), समय में प्रथम कोटि का (किसी एक क्षण पर तरंग फलन उसे बाद के सभी समयों पर तय कर देता है), और सम्मिश्र ( $\psi$ वास्तविक नहीं हो सकता: वह $\iu$ अनिवार्य है)। यह कोई अभिगृहीत है, जो अपने परिणामों से न्यायसंगत ठहरता है।

उपपत्ति. कोई प्रमाण नहीं, बल्कि कोई प्रेरणा। तीखे संवेग $p = \hbar k$ और ऊर्जा $E = \hbar\omega$ का कोई मुक्त कण कोई समतल तरंग $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ होना चाहिए, जिसके लिए $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ और $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$ । चिरसम्मत संबंध $E = p^2/2m$ इस प्रकार समीकरण $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$ से पुनः बनता है, और $E = p^2/2m + V$ के लिए स्वाभाविक व्यापकीकरण $V\psi$ जोड़ देता है। ध्यान दीजिए कि समतल तरंगों के अध्यारोपणों पर टिकने के लिए समीकरण को रैखिक होना ही पड़ता है, और समय में प्रथम कोटि का किसी $\iu$ के साथ ताकि समय-निर्भरता $\eu^{-\iu\omega t}$ हो, न कि $\cos\omega t$ — कोई वास्तविक तरंग समीकरण $E^2 \propto p^4$ देता। ∎

प्रतिज्ञप्ति 30.5 (प्रायिकता का संरक्षण)

प्रायिकता घनत्व $\rho = |\psi|^2$ और प्रायिकता धारा

j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)

$\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ मानते हैं: प्रायिकता न सृजित होती है न नष्ट, और $\int|\psi|^2\dd x$ $1$ के बराबर बना रहता है। किसी समतल तरंग $A\eu^{\iu kx}$ के लिए, $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : घनत्व गुणा वेग, जैसा किसी भी प्रवाह के लिए।

उपपत्ति. $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; समीकरण और उसके संयुग्मी से, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$ , $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; $V$ वाले पद कट जाते हैं और बाकी $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$ है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 30.6 (संवेग, प्रत्याशा मान और चिरसम्मत सीमा)

किसी अवस्था का संवेग संकारक $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ से मिलता है (जो किसी समतल तरंग पर $\hbar k$ देता है): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$ , और ऊर्जा $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$ से। प्रत्याशा मान यह मानते हैं (एहरनफ़ेस्ट)

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :

तरंग-पुंज का केंद्र न्यूटन का नियम ठीक-ठीक तब मानता है जब $V$ अधिक से अधिक द्विघाती हो, और लगभग तब जब भी पुंज उस मापक की तुलना में सँकरा हो जिस पर $V$ बदलता है — वही चिरसम्मत सीमा, जो किसी भी स्थूल वस्तु के लिए टिकती है क्योंकि $\hbar$ इतना छोटा है।

उपपत्ति. $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$ का अवकलन कीजिए, $\partial_t\rho = -\partial_xj$ लीजिए और खंडशः समाकलन कीजिए: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$ । दूसरा संबंध वही परिकलन एक कोटि ऊपर है (यहाँ मान लिया गया)। ∎

30.4 स्थायी अवस्थाएँ

प्रमेय 30.7 (स्थायी अवस्थाएँ)

यदि $V$ समय पर निर्भर न हो, तो समीकरण के पृथक्कृत रूप के हल होते हैं

\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi

(वह समय-निरपेक्ष श्रोडिंगर समीकरण): वे स्थायी अवस्थाएँ, सुपरिभाषित ऊर्जा $E$ की, जिनका प्रायिकता घनत्व $|\varphi|^2$ हिलता नहीं। वे ऊर्जाएँ $E$ जिनके लिए $\varphi$ स्वीकार्य हो (परिबद्ध, किसी बद्ध अवस्था के लिए प्रसामान्यनीय) वही ऊर्जा स्तर हैं; व्यापक हल कोई अध्यारोपण $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$ है, और दो स्तरों के किसी अध्यारोपण का घनत्व बोर आवृत्ति $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ पर दोलन करता है — उस प्रकाश की आवृत्ति जिसे परमाणु उत्सर्जित या अवशोषित करता है।

उपपत्ति. $\varphi(x)f(t)$ रखिए: $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$ , $t$ का कोई फलन $x$ के किसी फलन के बराबर, अतः कोई अचर $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$ । दो स्तरों के लिए हमें मिलता है $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$ । स्थायी अवस्थाओं की पूर्णता मान ली गई है। ∎

कोई स्थायी अवस्था: दिक्-प्रोफ़ाइल (x) (यहाँ किसी कूप की मूल अवस्था) गुणा कोई कलादिक् जो दर E/ पर घूमता है; वास्तविक और काल्पनिक भाग एक-दूसरे में घूमते जाते हैं जबकि | |2 खड़ा रहता है। — कोई स्थायी अवस्था: दिक्-प्रोफ़ाइल $\varphi(x)$ (यहाँ किसी कूप की मूल अवस्था) गुणा कोई कलादिक् जो दर $E/\hbar$ पर घूमता है; वास्तविक और काल्पनिक भाग एक-दूसरे में घूमते जाते हैं जबकि $|\psi|^2$ खड़ा रहता है।

किसी कूप की दो निम्नतम अवस्थाओं का कोई अध्यारोपण: घनत्व बोर आवृत्ति (E_2 - E_1)/h पर एक ओर से दूसरी ओर छलकता है — कोई दोलायमान आवेश, अतः () ठीक उसी आवृत्ति पर कोई विकिरक द्विध्रुव जो वर्णक्रमी रेखा की है। — किसी कूप की दो निम्नतम अवस्थाओं का कोई अध्यारोपण: घनत्व बोर आवृत्ति $(E_2 - E_1)/h$ पर एक ओर से दूसरी ओर छलकता है — कोई दोलायमान आवेश, अतः (अध्याय 17) ठीक उसी आवृत्ति पर कोई विकिरक द्विध्रुव जो वर्णक्रमी रेखा की है।

30.5 मुक्त कण: समतल तरंगें और तरंग-पुंज

प्रतिज्ञप्ति 30.8 (मुक्त कण)

$V = 0$ के लिए स्थायी अवस्थाएँ समतल तरंगें $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ हैं, जिनमें

E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{सम}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :

पदार्थ तरंगें प्रकीर्णी हैं; कला वेग का कोई भौतिक अर्थ नहीं, और समूह वेग ही कण का वेग है। कोई समतल तरंग प्रसामान्यनीय नहीं — पूर्णतः तीखे संवेग का कोई कण समूचे दिक् में फैला होता है — अतः कोई असली कण कोई तरंग-पुंज है, किसी पट्टी $\Delta k$ पर समतल तरंगों का कोई अध्यारोपण, $\Delta x \sim 1/\Delta k$ पर स्थानीकृत, $v_{\text{सम}}$ पर चलता और फैलता हुआ: आरंभिक चौड़ाई $\sigma_0$ के किसी गाउसी पुंज की समय $t$ पर चौड़ाई होती है

\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,

और वह $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ को $t = 0$ पर मानता है (न्यूनतम अनुमत) तथा बाद में अधिक।

उपपत्ति. प्रकीर्णन संबंध समीकरण से निकलता है; $v_{\text{सम}}$ वैसे ही जैसे अध्याय 8 में। फैलाव का सूत्र पुंज के फ़ूरिए संश्लेषण से आता है — हर घटक $\eu^{\iu kx}$ कला $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ बटोरता है, और किसी सम्मिश्र गुणांक के साथ गाउसी समाकल बढ़ती चौड़ाई की कोई गाउसी देता है; फ़ूरिए समाकल वर्ष 3 के गणित खंड का औज़ार है और हम परिणाम मान लेते हैं। भौतिक रूप से: पुंज में संवेग $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ पर फैले हैं, अतः वेग $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ पर फैले, और $t$ के बाद तेज़ घटक धीमों से $\Delta v\,t$ आगे निकल चुके हैं — सूत्र ठीक यही कहता है। ∎

बाएँ: मुक्त कण का प्रकीर्णन वक्र, समूह वेग (स्पर्शी) और कला वेग (मूल तक जीवा) के साथ, जो उसका आधा है। दाएँ: कोई गाउसी पुंज v_ सम पर चलता और फैलता — उसकी चौड़ाई √2 गुना बड़ी = 2m _02/ के बाद, उसका शिखर नीचा, और उसका क्षेत्रफल अचर। — बाएँ: मुक्त कण का प्रकीर्णन वक्र, समूह वेग (स्पर्शी) और कला वेग (मूल तक जीवा) के साथ, जो उसका आधा है। दाएँ: कोई गाउसी पुंज $v_{\text{सम}}$ पर चलता और फैलता — उसकी चौड़ाई $\sqrt2$ गुना बड़ी $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ के बाद, उसका शिखर नीचा, और उसका क्षेत्रफल अचर।

उदाहरण 30.9 (फैलता कौन है)

$\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ के भीतर स्थानीकृत कोई इलेक्ट्रॉन: $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — किसी एक नैनोसेकंड के बाद उसका पुंज $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ा है: अकेला छोड़ा इलेक्ट्रॉन टिका नहीं रहता; किसी परमाणु में बद्ध होकर वह नहीं फैलता क्योंकि विभव उसे थामे रहता है (कोई स्थायी अवस्था)। $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ तक स्थानीकृत $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ का कोई धूलकण: $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , आठ महीने; कोई गोली: ब्रह्मांड की आयु से भी लंबा। क्वांटम फैलाव असली है, और हर उस चीज़ के लिए अदृश्य जिसे कोई देख सके।

टिप्पणी 30.10 (ऊर्जा और समय)

कोई अवस्था जो केवल $\Delta t$ तक रहे — जीवनकाल $\tau$ का कोई उत्तेजित परमाणु, लंबाई $c\tau$ की कोई तरंग-रेल — $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ पर फैली ऊर्जाओं का कोई अध्यारोपण है: किसी रेल की अवधि और उसकी वर्णक्रमी चौड़ाई के बीच अध्याय 18 का फ़ूरिए संबंध, अब $E = \hbar\omega$ पर लगाया गया। $10\,\mathrm{ns}$ जीवनकाल के किसी परमाण्विक स्तर की चौड़ाई $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ है, यानी $16\,\mathrm{MHz}$ की कोई नैसर्गिक रेखा-चौड़ाई; अध्याय 23 की डॉप्लर चौड़ाई ( $1.5\,\mathrm{GHz}$ ) उसे किसी गैस में छिपा देती है, पर किसी ठंडे परमाणु या किसी विरामस्थ आयन में नहीं।

विधि 30.11 (तरंग फलनों के साथ काम)

(1) प्रसामान्यित कीजिए; प्रायिकताएँ उस क्षेत्र पर $\int|\psi|^2$ हैं। (2) समय-निरपेक्ष $V$ : $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ ढूँढ़िए, स्थायी समीकरण हल कीजिए, सीमा-प्रतिबंध लगाइए — वही स्तर। (3) विकास के लिए स्थायी अवस्थाओं का अध्यारोपण कीजिए; दो स्तर $(E_2 - E_1)/h$ पर विस्पंदित होते हैं। (4) मुक्त गति: $v_{\text{सम}} = p/m$ , फैलाव काल $2m\sigma_0^2/\hbar$ । (5) धाराएँ: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ के लिए, $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (कोई क्रॉस पद नहीं)। (6) चिरसम्मत सीमा: एहरनफ़ेस्ट, और उपकरण के आकार के सामने $\lambda$ ।

30.6 अभ्यास

अभ्यास 30.1 ★

डी ब्रॉय तरंगदैर्घ्य: $100\,\mathrm{eV}$ , $10\,\mathrm{keV}$ , $100\,\mathrm{keV}$ पर कोई इलेक्ट्रॉन ( $p = \sqrt{2mE}$ लीजिए, फिर बताइए कि अंतिम को कोई संशोधन क्यों चाहिए); कोई तापीय न्यूट्रॉन ( $25\,\mathrm{meV}$ , $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ); $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर कोई C $_{60}$ अणु ( $m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$ ); कोई टेनिस गेंद। इनमें से कौन व्यतिकरण दिखाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 30.1.

$h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$ , $12.3\,\mathrm{pm}$ , $3.9\,\mathrm{pm}$ ( $100\,\mathrm{keV}$ पर गतिज ऊर्जा $mc^2$ की एक-पंचमांश है; आपेक्षिकीय संवेग $3.7\,\mathrm{pm}$ देता है); न्यूट्रॉन $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C $_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; टेनिस गेंद $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$ । गेंद के सिवा सबने व्यतिकरण दिखाया है।

अभ्यास 30.2 ★

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : $A$ ( $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ लीजिए); $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ ; कण को $|x| < a$ ( $\operatorname{erf}(1) = 0.84$ ) में और $|x| < 2a$ ( $0.9995$ ) में पाने की प्रायिकता।

हल

हल — अभ्यास 30.2.

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$ ।

अभ्यास 30.3 ★

जाँचिए कि $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ समीकरण को हल करता है जब $\varphi$ स्थायी वाले को हल करे। $E = 1\,\mathrm{eV}$ के लिए कलादिक् की आवृत्ति; $2\,\mathrm{eV}$ दूर दो स्तरों के किसी अध्यारोपण के लिए, $|\psi|^2$ के दोलन की आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य — और उत्सर्जित प्रकाश की भी।

हल

हल — अभ्यास 30.3.

प्रतिस्थापन $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$ देता है। $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $620\,\mathrm{nm}$ : वही लाल प्रकाश जो संक्रमण उत्सर्जित करता है।

अभ्यास 30.4 ★

फैलाव काल $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ और $1\,\mathrm{ns}$ तथा $1\,\mathrm{s}$ के बाद चौड़ाई: $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ और $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ वाला कोई इलेक्ट्रॉन; $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ वाला कोई प्रोटॉन; $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ वाला $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ का कोई कण। वस्तुएँ जहाँ रखी जाएँ वहीं क्यों रहती हैं?

हल

हल — अभ्यास 30.4.

इलेक्ट्रॉन, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{ns}$ के बाद $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $1\,\mathrm{s}$ के बाद $60\,\mathrm{km}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$ , $1\,\mathrm{ns}$ के बाद अपरिवर्तित, $1\,\mathrm{s}$ के बाद $+0.2\%$ ; प्रोटॉन, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ , $30\,\mathrm{nm}$ , $30\,\mathrm{m}$ ; कण: $\tau = 600$ वर्ष। दृश्य वस्तुओं के लिए $\tau$ खगोलीय है — और उनका परिवेश उन्हें स्थानीकृत करता रहता है।

अभ्यास 30.5 ★★

धारा। (क) सांतत्य समीकरण व्युत्पन्न कीजिए। (ख) $j$ $A\eu^{\iu kx}$ के लिए, $A\sin kx$ के लिए, $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$ के लिए। (ग) अंतिम स्थिति में क्रॉस पद की अनुपस्थिति यह कथन क्यों है कि परावर्तित और आपाती फ्लक्स सीधे घट जाते हैं? (घ) दिखाइए कि किसी वास्तविक तरंग फलन के लिए $j = 0$ : कोई बद्ध स्थायी अवस्था कोई धारा नहीं ढोती।

हल

हल — अभ्यास 30.5.

(क) प्रतिज्ञप्ति 30.5। (ख) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ । (ग) आपाती और परावर्तित फ्लक्स बिना किसी व्यतिकरण पद के घट जाते हैं: पारगमन तथा परावर्तन गुणांक फ्लक्सों से परिभाषित किए जा सकते हैं। (घ) $\psi^*\psi'$ वास्तविक, और उसका काल्पनिक भाग शून्य।

अभ्यास 30.6 ★★

कोई गाउसी पुंज। $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$ । (क) $A$ , $\langle x\rangle$ , $\Delta x$ । (ख) $\langle p\rangle$ $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$ के साथ। (ग) $\Delta p = \hbar/2\sigma$ मानकर, $\Delta x\Delta p = \hbar/2$ जाँचिए। (घ) सांतत्य समीकरण से $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ सिद्ध कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 30.6.

(क) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$ , $\langle x\rangle = 0$ , $\Delta x = \sigma$ । (ख) $\hbar k_0$ । (ग) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$ । (घ) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$ ।

अभ्यास 30.7 ★★

किसी नली में इलेक्ट्रॉन। $100\,\mathrm{V}$ से त्वरित इलेक्ट्रॉन $30\,\mathrm{cm}$ पार करते हैं। (क) चाल, तरंगदैर्घ्य, उड़ान-काल। (ख) कला और समूह वेग; इलेक्ट्रॉन का कौन-सा है? (ग) आरंभ में $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ा कोई पुंज: फैलाव काल, पहुँचने पर चौड़ाई। (घ) रास्ते में किसी $0.3\,\mathrm{mm}$ द्वारक से विवर्तन: कोणीय फैलाव और परदे पर धब्बा। क्या किरण-चित्र मान्य है?

हल

हल — अभ्यास 30.7.

(क) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $0.123\,\mathrm{nm}$ , $51\,\mathrm{ns}$ । (ख) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_{\text{सम}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : बाद वाला। (ग) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : अपरिवर्तित। (घ) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ , $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : किरणें ठीक हैं।

अभ्यास 30.8 ★★

कलाएँ। (क) दिखाइए कि $\psi$ और $\eu^{\iu\theta}\psi$ वही पूर्वानुमान देते हैं। (ख) $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$ के लिए, $|\psi|^2$ लिखिए और दिखाइए कि $\alpha$ मायने रखता है। (ग) द्विझिरी में, $\psi_1$ और $\psi_2$ क्या हैं, और परदे के किसी बिंदु पर उनकी सापेक्ष कला क्या तय करती है? (घ) यह जान लेना कि इलेक्ट्रॉन किस झिरी से गुज़रा, फ्रिंजें क्यों नष्ट कर देता है (गुणात्मक)?

हल

हल — अभ्यास 30.8.

(क) $|\psi|^2$ और हर प्रत्याशा मान अपरिवर्तित रहते हैं। (ख) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$ । (ग) दोनों झिरियों से आती तरंगें; उनकी सापेक्ष कला $k(r_2 - r_1)$ है। (घ) संसूचक दोनों पथों के लिए भिन्न अवस्थाओं में पहुँचता है; दोनों घटक अब व्यतिकरण नहीं करते, और प्रतिरूप दो एक-झिरी प्रतिरूपों का योग है।

अभ्यास 30.9 ★★

एहरनफ़ेस्ट। (क) $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ के लिए, दिखाइए कि $\langle x\rangle$ ठीक-ठीक $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$ मानता है। (ख) $V = mgx$ के लिए, $\langle x\rangle$ किसी पत्थर की तरह गिरता है। (ग) किसी व्यापक $V$ के लिए, $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ कब होता है? (घ) किसी कटोरे में $1\,\mathrm{g}$ का कोई मनका: उसके “क्वांटम” होने के लिए आवश्यक पुंज का आकार आँकिए और किसी परमाणु से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 30.9.

(क) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : ठीक-ठीक। (ख) $\langle V'\rangle = mg$ : ठीक-ठीक। (ग) जब पुंज उस मापक के सामने सँकरा हो जिस पर $V''$ बदलता है। (घ) $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर उसकी तरंगदैर्घ्य $10^{-29}\,\mathrm{m}$ है; मायने रखने के लिए पुंज को कटोरे जितना चौड़ा होना पड़ता। किसी परमाणु की तापीय तरंगदैर्घ्य, $0.1\,\mathrm{nm}$ , उसका अपना आकार है।

अभ्यास 30.10 ★★★

छलकन। अभेद्य दीवारों वाले किसी बक्से $0 < x < L$ में स्थायी अवस्थाएँ $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ हैं (अध्याय 31)। $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$ लीजिए। (क) समय के फलन के रूप में $|\psi|^2$ । (ख) दिखाइए कि $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ ( $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$ लीजिए)। (ग) इलेक्ट्रॉन, $L = 1\,\mathrm{nm}$ : $E_2 - E_1$ , और दोलन की आवृत्ति तथा तरंगदैर्घ्य। (घ) कोई दोलायमान आवेश क्या करता है (अध्याय 17)? वर्णक्रमी रेखाओं पर निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 30.10.

(क) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$ मिलता है। (ख) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ । (ग) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$ , $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (घ) वह $\nu_{21}$ पर विकिरित करता है: वही रेखा; किसी शुद्ध स्थायी अवस्था का कोई दोलायमान द्विध्रुव नहीं और वह विकिरित नहीं करती।

अभ्यास 30.11 ★★★

फैलाव, व्युत्पन्न। पुंज $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ वह अध्यारोपण $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ है जिसमें $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (मान लिया: किसी गाउसी का फ़ूरिए रूपांतर कोई गाउसी है, चौड़ाई $1/2\sigma_0$ , $k$ में)। (क) $\psi(x,t)$ लिखिए, हर घटक को उसकी कला $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$ देकर। (ख) चरघातांक में वर्ग पूरा कीजिए और $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ मान लीजिए धनात्मक वास्तविक भाग वाले सम्मिश्र $\alpha$ के लिए: दिखाइए कि $|\psi|^2$ चौड़ाई $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$ की कोई गाउसी है। (ग) $\tau$ की व्याख्या $\Delta v = \Delta p/m$ के ज़रिए कीजिए। (घ) निर्वात में फोटॉनों का कोई पुंज क्यों नहीं फैलता?

हल

हल — अभ्यास 30.11.

(क) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$ लिखिए। (ख) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$ , $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$ । (ग) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ , और $\Delta v\,\tau = \sigma_0$ । (घ) $\omega = ck$ : कोई प्रकीर्णन नहीं, सारे घटक $c$ पर।

अभ्यास 30.12 ★★★

ऊर्जा–समय। (क) $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ की तरह क्षय होती कोई अवस्था (प्रायिकता $\eu^{-t/\tau}$ ) ऊर्जाओं का कोई अध्यारोपण है: यह मानकर कि उसका ऊर्जा-वितरण पूर्ण चौड़ाई $\Gamma = \hbar/\tau$ की कोई लोरेंत्ज़ी है, $\Gamma$ दीजिए $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (परमाणु), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ , $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (कोई हैड्रॉनी अनुनाद, $\mathrm{MeV}$ में) के लिए। (ख) $10\,\mathrm{ns}$ स्तर की नैसर्गिक रेखा-चौड़ाई आवृत्ति में; डॉप्लर चौड़ाई $1.5\,\mathrm{GHz}$ से तुलना कीजिए। (ग) नैसर्गिक चौड़ाई कोई कैसे देखता है (ठंडे परमाणु, पाशित आयन)? (घ) उत्सर्जित तरंग-रेल की संसक्ति लंबाई से संबंध जोड़िए।

हल

हल — अभ्यास 30.12.

(क) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$ । (ख) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$ , डॉप्लर से सौ गुना कम। (ग) ठंडे परमाणुओं और पाशित आयनों में डॉप्लर चौड़ाई लुप्त हो जाती है और नैसर्गिक चौड़ाई तक पहुँचा जाता है — आवृत्ति मानकों का आधार। (घ) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$ , रेल की लंबाई।

30.7 समस्या: किसी नली में इलेक्ट्रॉन और किसी तरंग-पुंज का फैलाव

समस्या 30.1

सप्ताहांत समस्या — कब कोई इलेक्ट्रॉन कण है, कब तरंग

आँकड़े: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ।

भाग I — कैथोड-किरण नली। इलेक्ट्रॉन नगण्य ऊर्जा के साथ किसी गरम कैथोड से निकलते हैं, $U = 20\,\mathrm{kV}$ से त्वरित होते हैं, किसी $0.3\,\mathrm{mm}$ द्वारक से गुज़रते हैं, और $40\,\mathrm{cm}$ दूर किसी परदे से टकराते हैं।

चाल और संवेग (अनापेक्षिकीय); डी ब्रॉय तरंगदैर्घ्य।
गतिज ऊर्जा $4\%$ है $mc^2$ की: क्या इस समस्या के लिए अनापेक्षिकीय व्यवहार स्वीकार्य है?
परदे तक उड़ान-काल।
द्वारक से विवर्तन: कोणीय फैलाव $\sim\lambda/a$ और वह धब्बा जो वह परदे पर बनाता है; किसी पिक्सेल ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ) से तुलना कीजिए।
द्वारक पर हाइज़ेनबर्ग: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ वही फैलाव देता है — जाँचिए।
पुंज के अनुदिश $0.3\,\mathrm{mm}$ चौड़ा कोई पुंज: फैलाव काल $2m\sigma_0^2/\hbar$ और परदे पर चौड़ाई।
विक्षेपण प्लेटें कोई अनुप्रस्थ बल लगाती हैं: एहरनफ़ेस्ट से, $\langle y\rangle$ कैसे चलता है? निष्कर्ष निकालिए कि नली कोई चिरसम्मत युक्ति है।
इलेक्ट्रॉन तरंग का कला वेग; यह कोई विरोधाभास क्यों नहीं कि वह इलेक्ट्रॉन की चाल से भिन्न है?

भाग II — तरंग-पुंज।

चौड़ाई $\sigma_0$ के किसी गाउसी पुंज के लिए: $\Delta p$ और वेग-फैलाव $\Delta v$ ।
$\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ वाले किसी इलेक्ट्रॉन के लिए; $1\,\mathrm{nm}$ वाले किसी प्रोटॉन के लिए; $10\,\mathrm{nm}$ वाले किसी विषाणु ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) के लिए फैलाव काल।
किसी हाइड्रोजन परमाणु में कोई इलेक्ट्रॉन $0.1\,\mathrm{nm}$ तक स्थानीकृत है और फैलता नहीं: क्यों?
$\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ वाला $1\,\mathrm{eV}$ पर कोई मुक्त इलेक्ट्रॉन: उसकी चौड़ाई दुगुनी होने से पहले वह कितनी दूर चलता है? तरंगदैर्घ्य से तुलना कीजिए।
किसी धातु में, चालन इलेक्ट्रॉन समूचे क्रिस्टल पर $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ की तरंगें हैं: वे किस अर्थ में “अस्थानीकृत” हैं?
$100\,\mathrm{keV}$ पर किसी इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी का $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ है, फिर भी वह केवल $0.1\,\mathrm{nm}$ विभेदित करता है: क्यों (उसके चुंबकीय लेंस लगभग $10\,\mathrm{mrad}$ का अर्ध-कोण स्वीकारते हैं)?
वह कसौटी दीजिए जो तय करती है कि किसी वस्तु को तरंग फलन से बरता जाए या न्यूटन से।

भाग III — स्थायी अवस्थाएँ और संक्रमण। कोई इलेक्ट्रॉन $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ में परिरुद्ध है; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$ , $E_n = n^2h^2/8mL^2$ ।

इलेक्ट्रॉनवोल्ट में $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ ; बोर आवृत्तियाँ $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ और तरंगदैर्घ्य।
जाँचिए कि $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ समय-निरपेक्ष है; मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन सबसे संभाव्य कहाँ है?
$\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ के लिए: $|\psi|^2$ $t = 0$ और $t = T_{21}/2$ पर; खाका खींचिए।
$\langle x\rangle(t)$ ( $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ दिया गया): छलकन का आयाम।
दोलायमान द्विध्रुव $e\langle x\rangle$ विकिरित करता है: किस आवृत्ति पर, और वह वर्णक्रमी रेखाओं तथा स्थायी अवस्थाओं की स्थायित्व के बारे में क्या कहता है?
अवस्था $\psi$ की ऊर्जा: क्या वह $E_1$ है, $E_2$ , या कुछ और? कोई मापन क्या देता है?

भाग IV — व्याख्या।

एकल-इलेक्ट्रॉन द्विझिरी प्रयोग में, क्या यादृच्छिक है और क्या नहीं?
$A\eu^{\iu kx}$ की प्रायिकता धारा लिखिए और उसे प्रति इकाई लंबाई $n$ इलेक्ट्रॉनों की किसी किरण-पुंज से चाल $v$ पर जोड़िए।
श्रोडिंगर समीकरण को सम्मिश्र और समय में प्रथम कोटि का क्यों होना ही चाहिए (दो कारण)?
पाँच पंक्तियों में सारांश दीजिए: तरंग फलन, समीकरण, स्थायी अवस्थाएँ, पुंज, और चिरसम्मत सीमा।

हल

हल — समस्या 30.1.

1. $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$ ।

2. कुछ प्रतिशत की त्रुटियाँ: आकलनों के लिए स्वीकार्य ( $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ ठीक-ठीक)।

3. $4.8\,\mathrm{ns}$ ।

4. $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — किसी पिक्सेल से $10^4$ गुना छोटा।

5. $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : वही कोटि।

6. $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : अपरिवर्तित।

7. किसी एकसमान क्षेत्र के लिए ठीक-ठीक $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ : $\langle y\rangle$ चिरसम्मत परवलय मानता है; नली कोई चिरसम्मत उपकरण है।

8. $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; केवल समूह वेग प्रेक्षणीय है; किसी समतल तरंग की कला कोई संकेत नहीं ढोती (और ऊर्जा के मनमाने शून्य पर निर्भर है)।

9. $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$ , $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$ ।

10. $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ , $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; प्रोटॉन $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; विषाणु $20\,\mathrm{s}$ ।

11. वह किसी स्थायी अवस्था में है: विभव पुंज को थामे रखता है; $|\varphi|^2$ हिलता नहीं।

12. $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; दुगुना $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ पर: $17\,\mathrm{nm}$ , यानी कोई चौदह तरंगदैर्घ्य।

13. उनके तरंग फलन समूचे क्रिस्टल पर फैले हैं: कोई निश्चित संवेग, कोई निश्चित स्थिति नहीं।

14. विभेदन $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : चुंबकीय लेंसों के विपथन द्वारक को सीमित करते हैं, तरंगदैर्घ्य नहीं।

15. $\lambda$ की तुलना खेल में लगे आकारों से कीजिए (द्वारक, $V$ का मापक), और फैलाव काल की प्रेक्षण काल से।

16. $0.38\,$ , $1.50\,$ , $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ( $410\,\mathrm{nm}$ )।

17. कलादिक् का मापांक एक है; और $x = L/2$ पर।

18. $t = 0$ पर घनत्व बाएँ आधे में जमा होता है, और $T_{21}/2$ पर दाएँ में।

19. $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : आयाम $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$ ।

20. $\nu_{21}$ पर: वही वर्णक्रमी रेखा; किसी स्थायी अवस्था का कोई दोलायमान द्विध्रुव नहीं और वह स्थायी है; अध्यारोपण विकिरित करता हुआ $\varphi_1$ तक उतर आता है।

21. निश्चित नहीं: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; कोई मापन $E_1$ या $E_2$ देता है, हर एक आधी प्रायिकता के साथ।

22. यादृच्छिक: हर इलेक्ट्रॉन कहाँ गिरता है; यादृच्छिक नहीं: वह प्रतिरूप $|\psi|^2$ जिसे गिरना बनाता है।

23. $j = |A|^2\hbar k/m$ : प्रति इकाई लंबाई $|A|^2 = n$ इलेक्ट्रॉनों के साथ, प्रति सेकंड $nv$ इलेक्ट्रॉन।

24. प्रथम कोटि ताकि $\psi(x,0)$ कोई पूर्ण वर्णन हो जो भविष्य तय कर दे; सम्मिश्र ताकि किसी निश्चित ऊर्जा की अकेली समय-निर्भरता $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ हो और $E = p^2/2m$ निकल आए।

25. $\psi$ वह आयाम है जिसका वर्ग प्रायिकता है; वह श्रोडिंगर का रैखिक समीकरण मानता है; स्थायी अवस्थाएँ कोई कलादिक् और नियत घनत्व ढोती हैं; कोई मुक्त पुंज $p/m$ पर चलता है और $2m\sigma_0^2/\hbar$ में फैलता है; और एहरनफ़ेस्ट बड़ों के लिए न्यूटन लौटा देता है।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

तरंग फलन और बोर्न का नियम

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