विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

19दो-तरंग व्यतिकरण

कोई साबुन का बुलबुला किसी रंगहीन द्रव का बना है, फिर भी वह रंगों से झिलमिलाता है; किसी गीली सड़क पर तेल की झिल्ली वही इंद्रधनुषी पट्टियाँ दिखाती है; और किसी व्याध-पतंग के पंख हरे तथा बैंगनी चमकते हैं। इनमें से कोई भी रंग किसी वर्णक से नहीं आता: वे एक ही प्रकाश-तरंग की दो प्रतियों से आते हैं, जो किसी पतली झिल्ली के दोनों फलकों से परावर्तित होकर, किसी विलंब के साथ पहुँचती हैं और या तो एक-दूसरे को पुष्ट करती हैं या रद्द कर देती हैं — अर्थात् दो तरंगों का व्यतिकरण। यंग ने 1801 में, दो झिर्रियों और एक मोमबत्ती से, उसे इस बात का प्रमाण बना दिया कि प्रकाश कोई तरंग है; यह अध्याय सूत्र, यंग की फ्रिंजों की ज्यामिति, वे दो शर्तें — कालिक और दैशिक संसक्ति — जिनके अधीन फ्रिंजें बची रहती हैं, और पतली झिल्ली के रंग सामने रखता है।

किसी गीली सड़क पर तेल की झिल्ली: हर फलक से एक, यानी दो परावर्तन, और जगह-जगह बदलती कोई मोटाई — हर रंग वहाँ चमकीला जहाँ 2ne का मान ठीक हो। — किसी गीली सड़क पर तेल की झिल्ली: हर फलक से एक, यानी दो परावर्तन, और जगह-जगह बदलती कोई मोटाई — हर रंग वहाँ चमकीला जहाँ $2ne$ का मान ठीक हो।

19.1 व्यतिकरण का सूत्र

प्रमेय 19.1 (दो-तरंग व्यतिकरण)

तीव्रताओं $I_1$ , $I_2$ और कलांतर $\Delta\varphi$ वाली दो संसक्त एकवर्णी तरंगें किसी बिंदु $M$ पर वहाँ तीव्रता देती हैं

I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad \Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,

जहाँ $\delta$ स्रोत से $M$ तक के दोनों रास्तों के बीच प्रकाशिक पथांतर है। तीव्रता वहाँ अधिकतम है ( $I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ ) जहाँ $\delta = p\lambda_0$ हो, $p$ कोई पूर्णांक — अर्थात् व्यतिकरण की कोटि — और वहाँ न्यूनतम ( $I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ ) जहाँ $\delta = (p + \tfrac12)\lambda_0$ । फ्रिंजों का विभेद (दृश्यता) है

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,

जो बराबर तीव्रताओं के लिए $1$ है, और तब न्यूनतम बिलकुल अँधेरे होते हैं: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$ ।

उपपत्ति. $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; और $\langle s^2\rangle$ वैसे ही जैसे अध्याय 18 में, जहाँ संसूचन के दौरान $\Delta\varphi$ स्थिर है; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$ । स्रोत से साथ निकली और प्रकाशिक पथ $L_1$ , $L_2$ तय करती दो तरंगों का कलांतर $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ है (और हर उस परावर्तन के लिए $\pi$ जोड़कर जो चिह्न उलट दे, अध्याय 15)। ∎

टिप्पणी 19.2 (तीन शर्तें)

फ्रिंजें तभी होती हैं जब (1) दोनों तरंगें एक ही स्रोत से आएँ (किसी एक कंपन की दो प्रतियाँ, नहीं तो $\Delta\varphi$ यादृच्छिक है); (2) पथांतर संसक्ति लंबाई से छोटा हो, $|\delta| < \ell_c$ (कालिक संसक्ति: उससे परे प्रतियाँ अलग-अलग तरंग-रेलों की हैं); (3) स्रोत इतना छोटा हो कि उसके अलग-अलग बिंदु खिसकी हुई ऐसी फ्रिंज-व्यवस्थाएँ न बनाएँ जो एक-दूसरे को धो डालें (दैशिक संसक्ति, नीचे)। और कोई चौथी, जो प्रायः पूरी रहती है: दोनों तरंगों के ध्रुवण लंबवत न हों (वे तीव्रता में जुड़ जातीं, मशालों की तरह)।

19.2 यंग की झिर्रियाँ

प्रतिज्ञप्ति 19.3 (तरंगाग्र-विभाजन: यंग का प्रयोग)

कोई बिंदु स्रोत $S$ (या कोई झिर्री) दो सँकरी समांतर झिर्रियों $S_1$ , $S_2$ को जगमगाता है, जो $a$ दूरी पर और $S$ से बराबर दूरी पर हैं; और कोई पर्दा दूरी $D \gg a$ पर खड़ा है। पर्दे के उस बिंदु पर जो ऊँचाई $x$ पर है ( $a$ के समांतर) पथांतर है

\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,

और पर्दा सीधी, बराबर दूरी वाली फ्रिंजें दिखाता है, जो $x_p = p\lambda D/a$ पर चमकीली हैं, और जिनकी फ्रिंज-चौड़ाई

i = \frac{\lambda D}a .

फ्रिंजें झिर्रियों के पीछे हर जगह होती हैं (वे स्थानीकृत नहीं हैं); और झिर्रियों के बाद फ़ोकस दूरी $f$ का कोई लेंस रख देने पर वे उसके फ़ोकस तल में $i = \lambda f/a$ के साथ दिखती हैं (फ्रिंजें "अनंत पर")। तीव्रता $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$ है।

उपपत्ति. $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ और $S_2M + S_1M \approx 2D$ , अतः $\delta \approx 2ax/2D$ । दो कोटियाँ $\lambda$ से अलग हैं, अर्थात् $\Delta x = \lambda D/a$ से। लेंस के साथ, झिर्रियों से अक्ष से $\theta$ कोण पर निकलती दोनों तरंगों का पथांतर $a\sin\theta \approx a\theta$ है और वे $x = f\theta$ पर मिलती हैं। ∎

बाएँ: यंग की झिर्रियाँ — स्रोत की तरंग की दो प्रतियाँ पर्दे पर पथांतर ax/D के साथ मिलती हैं; और चमकीली फ्रिंजें हर D/a पर। दाएँ: तीव्रता का परिच्छेद, बराबर तरंगों के लिए 4I_0 2(π x/i) (ठोस) और घटे विभेद के साथ (बिंदुदार)। — बाएँ: यंग की झिर्रियाँ — स्रोत की तरंग की दो प्रतियाँ पर्दे पर पथांतर $ax/D$ के साथ मिलती हैं; और चमकीली फ्रिंजें हर $\lambda D/a$ पर। दाएँ: तीव्रता का परिच्छेद, बराबर तरंगों के लिए $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ (ठोस) और घटे विभेद के साथ (बिंदुदार)।

उदाहरण 19.4 (आँकड़े, और श्वेत प्रकाश)

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — देखने भर को काफ़ी बड़ी, और इसीलिए यंग की झिर्रियाँ पास-पास तथा पर्दा दूर होना चाहिए। श्वेत प्रकाश के साथ हर रंग अपनी अलग फ्रिंजें बनाता है, जो सब केंद्र पर ( $\delta = 0$ ) संपाती हैं: अर्थात् कोई श्वेत केंद्रीय फ्रिंज, फिर रंगीन फ्रिंजें जैसे-जैसे कोटियाँ खिसकती जाती हैं (लाल $i$ बैंगनी का $1.8$ गुना है), और कुछ कोटियों के बाद कोई एकसमान सफ़ेदी लिया क्षेत्र — क्योंकि श्वेत प्रकाश की संसक्ति लंबाई कोई माइक्रोमीटर, अर्थात् दो-तीन तरंगदैर्घ्य है। उस "श्वेत" क्षेत्र पर ताना गया कोई वर्णक्रममापी फिर भी उन तरंगदैर्घ्यों पर अँधेरी पट्टियाँ देखता है जिनके लिए $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : अर्थात् कोई खाँचेदार वर्णक्रम।

प्रतिज्ञप्ति 19.5 (दैशिक संसक्ति: स्रोत छोटा होना चाहिए)

किसी विस्तृत स्रोत का हर बिंदु अपनी अलग फ्रिंज-व्यवस्था बनाता है; और अनुप्रस्थ रूप से $b$ खिसका कोई स्रोत-बिंदु, जो झिर्रियों से पहले दूरी $L$ पर हो, फ्रिंजों को $x = bD/L$ खिसका देता है (पथांतर $ab/L$ पा लेता है)। चौड़ाई $b$ का कोई स्रोत फ्रिंजों को एक फ्रिंज-चौड़ाई भर फैला देता है, और विभेद तब लुप्त हो जाता है जब

\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{अर्थात् जब झिर्रियाँ स्रोत को इस कोण के नीचे देखें } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .

दोनों झिर्रियों को प्रकाश के संसक्ति क्षेत्रफल के भीतर होना चाहिए — अर्थात् उस इलाक़े के भीतर जिस पर स्रोत से आई तरंग की कोई सुपरिभाषित कला हो, और जिसकी चौड़ाई $\lambda L/b$ है। धूप ( $b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$ ) संसक्ति चौड़ाई $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ देती है: यंग को उसे चौड़ा करने के लिए कोई सूचिछिद्र चाहिए था।

उपपत्ति. ऊँचाई $b$ पर किसी स्रोत-बिंदु के लिए अतिरिक्त पथ $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ $ax/D$ में जुड़ जाता है: अतः आकृति $x = bD/L$ खिसक जाती है। खिसके हुए $\cos^2$ रूपों को चौड़ाई $b$ के स्रोत पर समाकलित करने से विभेद $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ मिलता है, जो $ab/L = \lambda$ पर शून्य है। ∎

दैशिक संसक्ति: किसी विस्तृत स्रोत के ऊपरी और निचले सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष खिसकी फ्रिंज-व्यवस्थाएँ भेजते हैं; और जब खिसकाव एक फ्रिंज-चौड़ाई तक पहुँच जाए तो आकृति धुल जाती है।

19.3 पतली झिल्लियाँ: आयाम-विभाजन

प्रतिज्ञप्ति 19.6 (किसी पतली झिल्ली में व्यतिकरण)

हवा में अपवर्तनांक $n$ और मोटाई $e$ की कोई झिल्ली, जो आपतन $i$ पर जगमगाई हो (अपवर्तन कोण $r$ ), अपने दोनों फलकों से परावर्तित दो तरंगें लौटाती है, जिनका पथांतर

\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,

जहाँ अतिरिक्त आधा तरंगदैर्घ्य इस बात का हिसाब है कि पहले फलक पर सघन माध्यम पर परावर्तन चिह्न उलट देता है और दूसरे पर नहीं (अध्याय 15)। फ्रिंजें $2ne\cos r = (p + \tfrac12)\lambda_0$ पर चमकीली हैं, $2ne\cos r = p\lambda_0$ पर अँधेरी — और लुप्त होती मोटाई की कोई झिल्ली कुछ भी परावर्तित नहीं करती (किसी बहती साबुन की झिल्ली का काला ऊपरी सिरा)। एकसमान मोटाई की झिल्ली के लिए फ्रिंजें केवल $i$ पर निर्भर हैं और अनंत पर दिखती हैं (समान नति के वलय); और धीरे-धीरे बदलती मोटाई की किसी पच्चर के लिए, लगभग-अभिलंब आपतन में देखी जाने पर, वे बराबर $e$ की समोच्च रेखाओं के पीछे चलती हैं और झिल्ली पर स्थानीकृत हैं (समान मोटाई की फ्रिंजें): कोण $\alpha$ की कोई वायु-पच्चर $\lambda_0/2\alpha$ की दूरी पर सीधी फ्रिंजें दिखाती है; और किसी समतल पर रखा त्रिज्या $R$ का कोई लेंस न्यूटन के वलय देता है, जो $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$ पर अँधेरे हैं।

उपपत्ति. ज्यामिति: पहले फलक पर अपवर्तित तरंग झिल्ली को दो बार पार करती है (काँच में $2e/\cos r$ , प्रकाशिक पथ $2ne/\cos r$ ) जबकि पहले फलक पर परावर्तित तरंग हवा में $2e\tan r\sin i$ आगे बढ़ती है; और अंतर $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ है, जहाँ $\sin i = n\sin r$ । पच्चर के लिए, $e = \alpha x$ और क्रमिक अँधेरी फ्रिंजें $2\alpha x = p\lambda$ पर; और लेंस के लिए, $e \approx r^2/2R$ । ∎

बाएँ: किसी पतली झिल्ली से दोनों परावर्तन — हर फलक से एक, और दूसरा दोहरे पार जाने से विलंबित। दाएँ: दो पट्टिकाओं के बीच कोई वायु-पच्चर समान मोटाई की सीधी फ्रिंजें दिखाती है, अतिरिक्त अंतराल के प्रति आधे तरंगदैर्घ्य पर एक।

उदाहरण 19.7 (साबुन, तेल, व्याध-पतंग)

अभिलंब आपतन में देखी $300\,\mathrm{nm}$ मोटी कोई साबुन की झिल्ली ( $n = 1.33$ ): $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ पर चमकीली, अर्थात् $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: दृश्य के भीतर $532\,\mathrm{nm}$ (हरा, $p = 1$ ), और $400\,\mathrm{nm}$ पर कोई अँधेरी पट्टी; अतः झिल्ली हरी दिखती है। जैसे-जैसे वह बहती और पतली होती है, रंग उस क्रम से गुज़रता है और काले पर ख़त्म होता है। तेल की कोई झिल्ली ( $400\,\mathrm{nm}$ , $n = 1.45$ ) जल ( $1.33$ ) पर: दूसरा परावर्तन, जो कम अपवर्तनांक की ओर है, चिह्न नहीं उलटता, अतः फिर $\delta = 2ne + \lambda/2$ और झिल्ली $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ पर चमकीली है: $464\,\mathrm{nm}$ ( $p = 2$ ), नीला। किसी तितली के पंख, किसी भृंग के कवच या किसी संहत चक्रिका की इंद्रधनुषी झलक इसी तरह के व्यतिकरण हैं (चक्रिका की, बहुत सारी तरंगों की: अध्याय 21), और इसीलिए वे कोण के साथ बदलती हैं — $\delta$ $\cos r$ पर निर्भर है — जबकि किसी वर्णक का रंग नहीं बदलता।

विधि 19.8 (कोई व्यतिकरण समस्या हल करना)

(1) स्रोत से $M$ तक के दोनों रास्ते पहचानिए और प्रकाशिक पथांतर $\delta(M)$ निकालिए, और चिह्न उलटने वाले हर परावर्तन के लिए $\lambda/2$ जोड़िए। (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; $\delta = p\lambda$ पर चमकीली। (3) फ्रिंजों की दूरी $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) = \lambda$ से। (4) कालिक संसक्ति ( $\delta_{\max} < \ell_c$ , दिखती फ्रिंजों की संख्या $\sim\lambda/\Delta\lambda$ ) और दैशिक संसक्ति (स्रोत का कोण $< \lambda/a$ ) जाँचिए। (5) बताइए कि फ्रिंजें कहाँ स्थानीकृत हैं (दो बिंदु स्रोतों के लिए हर जगह; समान-मोटाई फ्रिंजों के लिए झिल्ली पर; और समान-नति वालों के लिए अनंत पर)।

19.4 अभ्यास

अभ्यास 19.1 ★

$a = 0.40\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर यंग की झिर्रियाँ, पर्दा $D = 1.5\,\mathrm{m}$ पर, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : फ्रिंज-चौड़ाई; $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ वाली फ्रिंज की कोटि; दसवीं अँधेरी फ्रिंज की जगह; झिर्रियाँ $2\,\mathrm{mm}$ दूर होने पर फ्रिंज-चौड़ाई, और जल ( $n = 1.33$ ) में।

हल

हल — अभ्यास 19.1.

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; दसवीं अँधेरी फ्रिंज $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ पर; $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; और जल में $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$ ।

अभ्यास 19.2 ★

तीव्रताओं $I_0$ और $I_0/4$ की दो तरंगें व्यतिकरण करती हैं: $I_{\max}$ , $I_{\min}$ , विभेद। वही $I_0$ और $I_0/100$ के लिए: इतनी असमान पुंजों के साथ भी फ्रिंजें क्यों दिखती हैं? यंग की जोड़ी की एक झिर्री पर $50\%$ पारगमन वाला कोई धूसर छन्ना ढक दिया जाता है: नया विभेद।

हल

हल — अभ्यास 19.2.

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$ । $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — व्यतिकरण पद आयाम के अनुपात, $1/10$ , की तरह चलता है, तीव्रता के अनुपात की तरह नहीं। छन्ना: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$ ।

अभ्यास 19.3 ★

अभिलंब आपतन में देखी $250\,\mathrm{nm}$ मोटी कोई साबुन की झिल्ली ( $n = 1.33$ ): सबसे अधिक और सबसे कम परावर्तित दृश्य तरंगदैर्घ्य; और उसका रंग। $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ की कोई झिल्ली: दृश्य में कितने चमकीले तरंगदैर्घ्य, और आँख क्या देखती है?

हल

हल — अभ्यास 19.3.

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : चमकीला $665/(p + \tfrac12)$ पर: $443\,\mathrm{nm}$ (नीला-बैंगनी); अँधेरा $665/p$ पर: $665\,\mathrm{nm}$ (लाल): अर्थात् कोई नीली झिल्ली। $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$ , चमकीला $760$ , $591$ , $484$ , $409\,\mathrm{nm}$ पर — अर्थात् एक साथ चार रंग, कोई धुला-सा गुलाबी सफ़ेद।

अभ्यास 19.4 ★

त्रिज्या $R = 2.0\,\mathrm{m}$ के किसी लेंस और किसी समतल के बीच सोडियम प्रकाश में न्यूटन के वलय: पहले तीन अँधेरे वलयों की त्रिज्याएँ; $1\,\mathrm{cm}$ की त्रिज्या के भीतर वलयों की संख्या; केंद्र चमकीला है या अँधेरा, और क्यों? अंतराल जल से भर देने पर क्या बदलता है?

हल

हल — अभ्यास 19.4.

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$ , $1.53$ , $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $1\,\mathrm{cm}$ के भीतर $p = r^2/\lambda R = 85$ वलय; और केंद्र अँधेरा है: शून्य मोटाई और एक चिह्न-उलटाव। जल: त्रिज्याएँ $\sqrt n$ से भाग, $98$ वलय।

अभ्यास 19.5 ★★

श्वेत प्रकाश। श्वेत प्रकाश ( $400$ – $700\,\mathrm{nm}$ ) के साथ यंग की झिर्रियाँ, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ , $D = 1\,\mathrm{m}$ । (क) बैंगनी और लाल की फ्रिंज-चौड़ाई; दूसरी लाल और तीसरी बैंगनी चमकीली फ्रिंजों की जगह। (ख) किस कोटि के परे क्रमिक कोटियों की लाल और बैंगनी फ्रिंजें एक-दूसरे पर चढ़ जाती हैं? (ग) $x = 5\,\mathrm{mm}$ पर कौन-से तरंगदैर्घ्य ग़ायब हैं (खाँचेदार वर्णक्रम)? (घ) केंद्र से बाहर की ओर दिखते रंगों के क्रम की व्याख्या कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 19.5.

(क) $i = 0.8$ और $1.4\,\mathrm{mm}$ ; दूसरी लाल $2.8\,\mathrm{mm}$ , तीसरी बैंगनी $2.4\,\mathrm{mm}$ । (ख) कोटि $p$ की लाल $1.4p$ mm पर कोटि $p + 1$ की बैंगनी से $0.8(p + 1)$ पर मिलती है: $p = 2$ से कोटियाँ एक-दूसरे पर चढ़ जाती हैं। (ग) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ग़ायब $\lambda = \delta/(p + \tfrac12)$ : $714$ , $556$ , $455\,\mathrm{nm}$ । (घ) श्वेत केंद्र; फिर ऐसी फ्रिंजें जिनका भीतरी किनारा नीला और बाहरी लाल हो; और तीसरी कोटि तक रंग मिलकर सफ़ेद हो जाते हैं।

अभ्यास 19.6 ★★

स्रोत का आकार। कोई सोडियम दीपक यंग की झिर्रियों ( $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ ) को किसी स्रोत-झिर्री से होकर जगमगाता है, जो $L = 40\,\mathrm{cm}$ पर है। (क) अच्छे विभेद के लिए स्रोत-झिर्री की अधिकतम चौड़ाई ( $ab/L < \lambda/4$ लीजिए)। (ख) स्रोत-झिर्री चौड़ी करके $0.5\,\mathrm{mm}$ कर दी जाती है: विभेद ( $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$ लीजिए)। (ग) नंगा दीपक (चौड़ाई $1\,\mathrm{cm}$ ) यों ही क्यों काम में नहीं लिया जा सकता? (घ) $9\,\mathrm{mrad}$ चौड़ा सूर्य स्रोत की तरह: झिर्रियों की वह अधिकतम दूरी जो फ्रिंजें दे।

हल

हल — अभ्यास 19.6.

(क) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (ख) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : विभेद $|\sin6.7|/6.7 = 0.06$ । (ग) कोई सेंटीमीटर चौड़ा स्रोत सैकड़ों फ्रिंज-चौड़ाइयों जितना खिसकाव फैलाता है: कोई फ्रिंज नहीं। (घ) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 19.7 ★★

लॉयड का दर्पण। किसी समतल दर्पण से ऊँचाई $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ पर कोई बिंदु स्रोत, पर्दा $D = 1.0\,\mathrm{m}$ पर, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : सीधी तरंग दर्पण से परावर्तित तरंग से व्यतिकरण करती है (कोई आभासी स्रोत $-h$ पर)। (क) फ्रिंज-चौड़ाई। (ख) दर्पण के किनारे ( $x = 0$ ) वाली फ्रिंज अँधेरी है: यह परावर्तन के बारे में क्या बताता है? (ग) यदि स्रोत की संसक्ति लंबाई $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ हो तो दिखती फ्रिंजों की संख्या। (घ) किसी उगते तारे के लिए यह व्यवस्था रेडियो-खगोलविद का "समुद्री व्यतिकरणमापी" क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 19.7.

(क) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$ । (ख) $x = 0$ पर पथ बराबर हैं फिर भी फ्रिंज अँधेरी है: अर्थात् परावर्तन $\pi$ जोड़ देता है (सघन माध्यम पर सर्पण आपतन में चिह्न-उलटाव)। (ग) $\delta = ax/D < 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ फ्रिंजें। (घ) समुद्र दर्पण है, और चट्टान की चोटी का ऐंटेना पर्दा: जैसे-जैसे स्रोत उगता है, फ्रिंजें आगे से बह जाती हैं और उसका उन्नतांश बता देती हैं।

अभ्यास 19.8 ★★

वायु-पच्चर। $10\,\mathrm{cm}$ लंबी दो काँच की पट्टिकाएँ एक सिरे पर छूती हैं और दूसरे पर व्यास $d$ के किसी बाल से अलग हैं; और सोडियम प्रकाश में $42$ अँधेरी फ्रिंजें गिनी जाती हैं। (क) $d$ । (ख) फ्रिंजों की दूरी। (ग) अंतराल जल से भर दिया जाता है: फ्रिंजों की संख्या। (घ) पट्टिकाओं को दूर वाले सिरे पर ज़रा दबाया जाता है: फ्रिंजें क्या करती हैं, और किसी चौथाई फ्रिंज को गिन लेना $d$ पर कितनी परिशुद्धता देता है?

हल

हल — अभ्यास 19.8.

(क) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (ख) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$ । (ग) $2nd = p\lambda$ : $56$ फ्रिंजें। (घ) जैसे-जैसे $d$ घटता है फ्रिंजें दूर वाले सिरे की ओर चलती हैं और फैलती हैं; और कोई चौथाई फ्रिंज $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ है, $d$ पर।

अभ्यास 19.9 ★★

जल पर तेल। तेल ( $n = 1.45$ ) की कोई झिल्ली, जिसकी मोटाई $e$ है, जल ( $n = 1.33$ ) पर तैरती है। (क) दोनों परावर्तनों में कौन चिह्न उलटता है? पथांतर। (ख) अभिलंब आपतन में $e = 400\,\mathrm{nm}$ के लिए: पुष्ट और रद्द हुए परावर्तित तरंगदैर्घ्य; और रंग। (ग) वह सबसे पतली झिल्ली जो बैंगनी ( $420\,\mathrm{nm}$ ) दिखे। (घ) झिल्ली को तिरछा देखने पर रंग नीले की ओर क्यों खिसक जाते हैं? (ङ) ऐसी झिल्ली के लिए क्या बदलता है जिसका अपवर्तनांक दोनों माध्यमों के बीच पड़े (काँच पर कोई लेप)?

हल

हल — अभ्यास 19.9.

(क) केवल पहला (हवा $\to$ तेल, अधिक सघन); तेल $\to$ जल कम अपवर्तनांक की ओर जाता है: $\delta = 2ne + \lambda/2$ , और $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ पर चमकीला। (ख) $2ne = 1160\,\mathrm{nm}$ : पुष्ट $773$ (दृश्य का किनारा), $464\,\mathrm{nm}$ (नीला); रद्द $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (पीला): अर्थात् नीला। (ग) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$ । (घ) $\delta = 2ne\cos r$ कोण के साथ गिरता है: अतः पुष्ट तरंगदैर्घ्य नीले की ओर चले जाते हैं। (ङ) तब दोनों परावर्तन चिह्न उलटते हैं, कोई अतिरिक्त $\lambda/2$ नहीं: चमकीला $2ne = p\lambda$ पर, अँधेरा $(p + \tfrac12)\lambda$ पर — वही चतुर्थांश-तरंग परावर्तन-रोधी परत।

अभ्यास 19.10 ★★★

एक झिर्री पर कोई पट्टी। मोटाई $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ और अपवर्तनांक $1.5$ की कोई काँच की पट्टिका यंग की जोड़ी की झिर्री $S_1$ को ढक देती है ( $a = 1\,\mathrm{mm}$ , $D = 2\,\mathrm{m}$ , $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ )। (क) अतिरिक्त प्रकाशिक पथ; आकृति कितनी फ्रिंजें और किस दिशा में खिसकती है? (ख) श्वेत प्रकाश के साथ वह (अब खिसकी) श्वेत केंद्रीय फ्रिंज कहाँ जाती है — क्या वह अब भी दिखती है? संसक्ति लंबाई $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ । (ग) श्वेत-प्रकाश की आकृति से $e$ नापिए: कैसे? (घ) पट्टिका झुका दी जाती है: खिसकाव बढ़ता है — दिखाइए कि पहली कोटि में वह $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ की तरह बढ़ता है और $5{}^{\circ}$ के लिए उसे आँकिए।

हल

हल — अभ्यास 19.10.

(क) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $20$ फ्रिंजें, ढकी झिर्री की ओर (जहाँ ज्यामितीय पथ को $\delta = 0$ लौटाने के लिए $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ छोटा होना पड़ता है): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$ । (ख) श्वेत फ्रिंज वहीं बैठ जाती है; और काँच का परिक्षेपण ( $\Delta n \approx 0.01$ दृश्य भर, अर्थात् पथ का $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) $\ell_c$ से नीचे है: अतः वह अब भी दिखती है, ज़रा रंगी हुई। (ग) श्वेत फ्रिंज का खिसकाव नापिए: $e = (\text{खिसकाव})\,a/(n - 1)D$ । (घ) $5{}^{\circ}$ पर $e(n - 1)\theta^2 (1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ : अर्थात् किसी फ्रिंज का आठवाँ भाग।

अभ्यास 19.11 ★★★

तारकीय व्यतिकरणमापी। $a$ दूरी पर दो दर्पण किसी तारे का प्रकाश बटोरकर उसे व्यतिकरण करने लाते हैं। तारा कोणीय व्यास $\theta$ की कोई एकसमान चकती है; उसका हर बिंदु फ्रिंजें खिसकाता है, और विभेद $a = 1.22\lambda/\theta$ पर लुप्त हो जाता है (स्वीकृत, यही $ab/L = \lambda$ का चकती वाला रूप)। (क) आर्द्रा, $\theta = 0.047''$ (चाप-सेकंड), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : वह आधार-रेखा जिस पर फ्रिंजें मिट जाती हैं (माइकेल्सन, 1920, माउंट विल्सन)। (ख) $2.5\,\mathrm{m}$ का कोई अकेला दूरदर्शी चकती को क्यों नहीं सुलझा सकता (उसकी सीमा $1.22\lambda/d$ है)? (ग) आधुनिक व्यतिकरणमापी $100\,\mathrm{m}$ दूर के दूरदर्शियों को जोड़ते हैं: नापा जा सकने वाला सबसे छोटा व्यास। (घ) दोनों पथ संसक्ति लंबाई के भीतर बराबर क्यों होने चाहिए, और $10\,\mathrm{nm}$ के किसी छन्ने के लिए वह कितनी लंबी है?

हल

हल — अभ्यास 19.11.

(क) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$ । (ख) उसकी सीमा $1.22\lambda/d = 0.057''$ तारे के व्यास से ऊपर है, और वायुमंडल उसे $1''$ तक धुँधला कर देता है। (ग) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$ । (घ) फ्रिंजों को $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$ चाहिए।

अभ्यास 19.12 ★★★

समान-नति के वलय। मोटाई $e = 2.0\,\mathrm{mm}$ और अपवर्तनांक $1.5$ की कोई समांतर पट्टिका किसी चौड़े सोडियम स्रोत से जगमगाई है; और परावर्तित प्रकाश $f = 50\,\mathrm{cm}$ के किसी लेंस से फ़ोकस किया जाता है। (क) दिखाइए कि वलय उन कोणों $i_p$ पर हैं जिनके लिए $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (चमकीले), और यह कि केंद्र के पास $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$ । (ख) केंद्र पर कोटि; क्या केंद्र चमकीला है? (ग) फ़ोकस तल में पहले तीन चमकीले वलयों की त्रिज्याएँ। (घ) ये वलय किसी विस्तृत स्रोत के साथ क्यों दिखते हैं जबकि यंग की फ्रिंजों को कोई सँकरा चाहिए? (अनंत पर स्थानीकरण।)

हल

हल — अभ्यास 19.12.

(क) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$ । (ख) $2ne/\lambda = 10186.8$ : केंद्र, जिसका $p + \tfrac12$ $10186.5$ और $10187.5$ के बीच है, न चमकीला है न अँधेरा। (ग) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/ 2ne]$ , $p = 10186$ , $10185$ , $10184$ के लिए: $i = 0.011$ , $0.024$ , $0.032\,\mathrm{rad}$ , $r = fi = 5.4$ , $11.8$ , $15.8\,\mathrm{mm}$ । (घ) अकेला कोण $i$ कोटि तय कर देता है: अतः हर स्रोत-बिंदु उसी कोण पर उसी वलय को खिलाता है, और वलय, अनंत पर दिखते हुए, किसी चौड़े स्रोत को झेल जाते हैं।

लगभग 1915 की किसी यंत्रकार की तस्वीर में किसी प्रकाशिक समतल और जाँच में लगी किसी इस्पात सतह के बीच समान मोटाई की फ्रिंजें: समतल सतह पर सीधी फ्रिंजें, और जहाँ वह घिसी है वहाँ मुड़ी हुई — हर फ्रिंज आधे तरंगदैर्घ्य की एक सीढ़ी।

19.5 समस्या: फ्रेनेल के दर्पण और तेल की कोई झिल्ली

समस्या 19.1

सप्ताहांत समस्या — 1816 का कोई व्यतिकरणमापी और किसी पोखर पर कोई इंद्रधनुष: एक ही तरंग को चीरने के दो तरीक़े और वे दोनों संसक्तियाँ जो दोनों को सीमित करती हैं

भाग I — फ्रेनेल के दर्पण। किसी रेखा के अनुदिश छूते दो समतल दर्पण बहुत छोटा कोण $\alpha = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ बनाते हैं; उस रेखा के समांतर कोई झिर्री-स्रोत $S$ उससे $d = 20\,\mathrm{cm}$ पर है, और पर्दा उससे $D = 1.5\,\mathrm{m}$ आगे। $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ (सोडियम)।

दिखाइए कि दोनों दर्पण दो आभासी प्रतिबिंब $S_1$ , $S_2$ देते हैं, $S$ के, जो संपर्क-रेखा पर केंद्रित त्रिज्या $d$ के किसी वृत्त पर हैं और $a = 2\alpha d$ से अलग; और मान।
$S_1$ तथा $S_2$ से आती तरंगें व्यतिकरण क्यों करती हैं, जबकि दो अलग दीपकों की न करतीं?
पर्दे पर फ्रिंज-चौड़ाई (स्रोतों से पर्दे तक की दूरी $\approx d + D$ ); और उस $5\,\mathrm{mm}$ चौड़े इलाक़े भर में फ्रिंजों की संख्या जहाँ दोनों परावर्तित पुंजें एक-दूसरे पर पड़ती हैं।
उस इलाक़े के किनारे पर व्यतिकरण की कोटि; क्या वह दीपक की संसक्ति लंबाई ( $2\,\mathrm{cm}$ ) से बँधी सीमा के नीचे है?
स्रोत-झिर्री $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ चौड़ी है: उसके दोनों किनारों से बनी फ्रिंजों का खिसकाव (हर स्रोत-बिंदु का प्रतिबिंब दो आभासी बिंदुओं में बनता है; फ्रिंज-व्यवस्था $bD'/d$ खिसकती है, जहाँ $D' = d + D$ ); क्या विभेद बचा रहता है ( $i$ से तुलना कीजिए)?
झिर्री चौड़ी करके $0.1\,\mathrm{mm}$ कर दी जाती है: विभेद, $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ काम में लेकर।
दोनों दर्पण प्रकाश का $90\%$ और $80\%$ परावर्तित करते हैं: फ्रिंजों का विभेद।
एक दर्पण के आगे $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ मोटी ( $n = 1.5$ ) कोई काँच की पट्टिका रख दी जाती है: आकृति का खिसकाव, फ्रिंजों में; क्या उसका सोडियम प्रकाश में पीछा किया जा सकता है? और श्वेत प्रकाश में?
सोडियम दीपक की जगह श्वेत प्रकाश रख दीजिए: पर्दे का वर्णन कीजिए; केंद्र के हर ओर कितनी रंगीन फ्रिंजें?

भाग II — तेल की झिल्ली। तेल ( $n = 1.45$ ) की कोई झिल्ली किसी गीली सड़क ( $n_{\text{जल}} = 1.33$ ) पर फैलती है, जो बादलों भरे आकाश से जगमगाई है और लगभग-अभिलंब आपतन में देखी जाती है।

दोनों फलकों पर परावर्तन: कौन चिह्न उलटता है? पथांतर; और किसी चमकीले रंग की शर्त।
उस सबसे पतले इलाक़े की मोटाई जो लाल दिखे ( $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ ); हरा ( $550\,\mathrm{nm}$ ); बैंगनी ( $420\,\mathrm{nm}$ )।
$600\,\mathrm{nm}$ मोटा कोई इलाक़ा: कौन-से दृश्य तरंगदैर्घ्य पुष्ट होते हैं, कौन-से रद्द; और उसका रंग।
झिल्ली रंगों की पट्टियाँ क्यों दिखाती है (सड़क के अनुदिश क्या बदलता है), और पट्टियाँ मोटाई की समोच्च रेखाओं के पीछे क्यों चलती हैं?
झिल्ली वाष्पन से पतली होती जाती है: किसी दिए बिंदु पर रंग-क्रम के बदलाव का वर्णन कीजिए; और यहाँ $e \to 0$ पर क्या दिखता है — चमकीला या अँधेरा? हवा में किसी साबुन की झिल्ली से तुलना कीजिए।
किसी बहती साबुन की झिल्ली का ऊपरी सिरा फटने से ठीक पहले काला पड़ जाता है: वहाँ मोटाई (कुछ नैनोमीटर) और काला क्यों।
$60{}^{\circ}$ आपतन में देखी गई: तेल में अपवर्तन कोण, और प्रश्न 11 के चमकीले तरंगदैर्घ्यों का खिसकाव।
लगभग $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ संसक्ति लंबाई वाले दिन के प्रकाश के लिए, किस मोटाई के परे रंग किसी एकसमान धूसर में मिट जाते हैं?
आकाश का प्रकाश अध्रुवित है और बहुत सारी दिशाओं से आता है: आकृति वैसे धुल क्यों नहीं जाती जैसे कोई विस्तृत स्रोत यंग की फ्रिंजें धो डालता है? (झिल्ली पर स्थानीकरण।)

भाग III — दो संसक्तियाँ।

कालिक संसक्ति: सोडियम प्रकाश के साथ फ्रेनेल के दर्पणों के लिए दिखती अधिकतम कोटि; और किसी लेज़र ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ) के साथ।
दैशिक संसक्ति: दर्पणों के लिए अधिकतम स्रोत-चौड़ाई ( $ab/d < \lambda/4$ से) और यंग की झिर्रियों के लिए, $a = 1\,\mathrm{mm}$ के साथ, $L = 40\,\mathrm{cm}$ पर।
समझाइए कि पतली झिल्ली कोई विस्तृत स्रोत क्यों झेल लेती है जबकि यंग की झिर्रियाँ नहीं: दो अलग स्रोत-बिंदुओं के लिए झिल्ली की दोनों किरणें खींचिए और दिखाइए कि वे फिर भी झिल्ली पर ही मिलती हैं।
सोडियम रेखा ख़ुद $0.02\,\mathrm{nm}$ चौड़ी है: दर्पण अधिक-से-अधिक कितनी फ्रिंजें दिखा सकते हैं ( $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ लीजिए)?
कोई विद्यार्थी सोडियम दीपक की जगह कोई हरी LED ( $\Delta\lambda = 30\,\mathrm{nm}$ ) रख देता है: दर्पणों के साथ दिखती फ्रिंजों की संख्या।
किसी लेज़र के साथ फ्रिंजें पूरे अध्यारोपण-इलाक़े भर पूरे विभेद के साथ फैलती हैं पर पर्दा "चित्तीदार" है: क्यों?
किसी एक सारणी में, दर्पणों और झिल्ली के लिए: तरंग कैसे चीरी जाती है, फ्रिंजें कहाँ स्थानीकृत हैं, उनकी संख्या को क्या सीमित करता है, और कोई चौड़ा स्रोत क्या कर देता है।

हल

हल — समस्या 19.1.

1. हर दर्पण $S$ का प्रतिबिंब सममिति से संपर्क-रेखा से दूरी $d$ पर बनाता है; दोनों प्रतिबिंब त्रिज्या $d$ के वृत्त पर, और कोण $2\alpha$ की दूरी पर पड़ते हैं: $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$ ।

2. $S_1$ और $S_2$ एक ही कंपन के दो प्रतिबिंब हैं: उनकी कला-छलाँगें वही हैं।

3. $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : अर्थात् $5\,\mathrm{mm}$ भर में दस फ्रिंजें।

4. किनारे पर $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $p = 5$ : अर्थात् $\ell_c/\lambda = 34\,000$ से कहीं नीचे।

5. खिसकाव $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$ , अर्थात् $i$ का तिहाई: विभेद $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$ ।

6. $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$ ।

7. आयाम $\sqrt{0.9}$ , $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$ ।

8. $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ फ्रिंजें; सोडियम प्रकाश में उनका पीछा करना मामूली है; और श्वेत प्रकाश में श्वेत फ्रिंज $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ खिसक जाती है और अब भी वहीं है (काँच का परिक्षेपण किसी माइक्रोमीटर का अंश भर ही लेता है)।

9. कोई श्वेत केंद्रीय फ्रिंज, हर ओर दो-तीन रंगीन फ्रिंजें, फिर कोई एकसमान सफ़ेद।

10. हवा $\to$ तेल उलटता है, तेल $\to$ जल (कम अपवर्तनांक) नहीं: $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; और $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$ पर चमकीला।

11. $e = \lambda/4n$ : लाल $112\,\mathrm{nm}$ , हरा $95\,\mathrm{nm}$ , बैंगनी $72\,\mathrm{nm}$ ।

12. $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : पुष्ट $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (लाल), $497$ (नीला-हरा), $387\,\mathrm{nm}$ ; रद्द $1740/p$ : $580$ (पीला), $435\,\mathrm{nm}$ : अर्थात् लाल और नीले-हरे का कोई बैंगनी-सा मिश्रण।

13. मोटाई सड़क के अनुदिश बदलती है; और हर रंग वहाँ चमकीला है जहाँ $2ne$ का मान ठीक हो, अतः पट्टियाँ बराबर मोटाई की समोच्च रेखाएँ हैं।

14. कोटियाँ गिरती हैं: रंग क्रम से गुज़रते हुए पतले सिरे की ओर चलते हैं; और $e \to 0$ पर अकेला चिह्न-उलटाव हर रंग के लिए $\delta = \lambda/2$ छोड़ जाता है: अँधेरा — जैसा हवा में किसी साबुन की झिल्ली के लिए।

15. कुछ नैनोमीटर: सारे रंगों के लिए $2ne \ll \lambda$ , अतः दोनों परावर्तन विपरीत कला में हैं और रद्द हो जाते हैं: काला।

16. $\sin r = \sin60^\circ/1.45$ , $r = 37{}^{\circ}$ , $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r = 1390\,\mathrm{nm}$ , चमकीला $928$ , $557$ , $398\,\mathrm{nm}$ पर: प्रश्न 12 का लाल हरा-पीला हो गया — अर्थात् नीले की ओर।

17. जब $2ne$ $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ पार कर जाए, अर्थात् तेल के कोई $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ के परे, तब कोटियाँ चढ़ जाती हैं और रंग धूसर में मिट जाते हैं।

18. किसी भी स्रोत-दिशा के लिए झिल्ली से परावर्तित दोनों किरणें झिल्ली पर ही लौटकर मिलती हैं: अतः फ्रिंजें वहीं स्थानीकृत हैं और कोई चौड़ा, बहुदिशीय स्रोत बस एक-सी आकृतियाँ जोड़ता जाता है।

19. $\ell_c/\lambda$ : सोडियम के साथ $34\,000$ , लेज़र के साथ $1.7 \times 10^7$ ।

20. $b < \lambda d/4a$ : दर्पणों के लिए $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ , और झिर्रियों के लिए $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ ।

21. दो स्रोत-बिंदु खींचिए: हर एक के लिए दोनों परावर्तित किरणें झिल्ली के उसी बिंदु पर फिर मिलती हैं, लगभग-अभिलंब आपतन में उसी $\delta = 2ne\cos r$ के साथ; अतः झिल्ली की आकृति हिलती नहीं, यंग की हिलती है।

22. $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$ ।

23. $550/30 \approx 18$ फ्रिंजें।

24. पर्दे के दानों से प्रकीर्ण संसक्त प्रकाश आँख पर यादृच्छिक कलाओं के साथ व्यतिकरण करता है: चित्ती।

25. दर्पण: तरंगाग्र-विभाजन, फ्रिंजें हर जगह (स्थानीकृत नहीं), संख्या $\ell_c/\lambda$ से सीमित, और कोई चौड़ा स्रोत उन्हें धो डालता है। झिल्ली: आयाम-विभाजन, फ्रिंजें झिल्ली पर, रंग $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ से सीमित, और कोई चौड़ा स्रोत हानिरहित।