विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · Bachelor Year 2

27ऊष्मागतिकीय संतुलन और खुले तंत्र

वर्ष 1 के खंड की ऊष्मागतिकी बंद तंत्रों से निपटती थी — किसी बेलन में गैस का कोई नियत द्रव्यमान, जिसे दबाया, गरम किया, फैलाया जाता है। पर जो मशीनें असल में हमारे घर गरम करती हैं, हमारा भोजन ठंडा करती हैं और हमारी बिजली बनाती हैं, उन्हें कोई प्रवाह पार करता है: किसी बिजलीघर की टरबाइन से भाप प्रति सेकंड सैकड़ों किलोग्राम बहती है, किसी ऊष्मा-पंप के संपीडक, संघनित्र, वाल्व और वाष्पित्र से कोई प्रशीतक घूमता है, और किसी जेट इंजन के संपीडक तथा दहन-कक्ष से हवा बहती है। हर घटक कोई खुला तंत्र है, अर्थात् दिक् का कोई ऐसा इलाक़ा जिसमें पदार्थ घुसता और निकलता रहता है, और उसके लिए पहला तथा दूसरा नियम फिर से लिखने पड़ते हैं। यह फिर-से-लिखना छोटा है — कुंजी यह है कि तंत्र में धकेला गया तरल, अपनी आंतरिक ऊर्जा के अलावा, उसे धकेलने में किया गया कार्य भी ले चलता है, और इसीलिए किसी प्रवाह की स्वाभाविक ऊर्जा एंथैल्पी है, आंतरिक ऊर्जा नहीं। यह अध्याय स्थायी प्रवाह में खुले तंत्रों के लिए द्रव्यमान, ऊर्जा और एंट्रॉपी के संतुलन खड़े करता है, उन्हें प्रारंभिक यंत्रों पर लगाता है — तुंड, थ्रॉटल, संपीडक, टरबाइन, ऊष्मा-विनिमयक — और उन यंत्रों को उन दो चक्रों में जोड़ता है जिन्हें सप्ताहांत समस्या नापती है: कोई ऊष्मा-पंप और कोई भाप-बिजलीघर।

किसी जाड़े की सुबह किसी ऊष्मा-पंप की बाहरी इकाई: कोई पंखा वाष्पित्र पर ठंडी हवा खींचता है, और भीतर कोई संपीडक, कोई संघनित्र तथा कोई वाल्व उस ऊष्मा को, तीन-चार गुना बढ़ाकर, घर में पहुँचा देते हैं।

27.1 खुले तंत्र और द्रव्यमान संतुलन

परिभाषा 27.1 (खुला तंत्र, नियंत्रण आयतन, स्थायी प्रवाह)

कोई खुला तंत्र दिक् का कोई नियत इलाक़ा है, अर्थात् नियंत्रण आयतन $\Sigma$ , जो किसी ऐसी सतह से घिरा हो जिससे होकर तरल घुसता और निकलता है (प्रवेश तथा निर्गम काट) और जिससे होकर बाहर के साथ ऊष्मा तथा कार्य बदले जा सकें; और ख़ुद प्रवाह के अलावा चलते पुरज़ों (किसी धुरी, किसी पिस्टन) से पाया गया कार्य उपयोगी कार्य $W_{\text{उप}}$ (धुरी कार्य) है। प्रवाह तब स्थायी है जब $\Sigma$ के भीतर हर क्षेत्र काल-निरपेक्ष हो: तब $\Sigma$ में समाए द्रव्यमान, ऊर्जा और एंट्रॉपी अचर हैं।

प्रतिज्ञप्ति 27.2 (द्रव्यमान संतुलन)

क्षेत्रफल $S$ के किसी काट से होकर, जहाँ घनत्व $\rho$ का तरल उसके अभिलंब माध्य चाल $c$ से चले, द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot m = \rho c S$ ( $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ में) बहती है। किसी स्थायी प्रवाह में जो घुसता है वही निकलता है: $\sum_{\text{भीतर}}\dot m = \sum_{\text{बाहर}} \dot m$ ; और किसी एक धारा के लिए $\dot m$ प्रवेश तथा निर्गम पर वही है, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — अर्थात् अध्याय 2 का सांतत्य समीकरण, काट पर समाकलित।

उपपत्ति. $\Sigma$ में द्रव्यमान अचर है, अतः फ्लक्स संतुलित होते हैं। ∎

27.2 किसी खुले तंत्र के लिए पहला नियम

प्रमेय 27.3 (किसी स्थायी एक-धारा प्रवाह का ऊर्जा संतुलन)

द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot m$ के किसी स्थायी प्रवाह के लिए, जो अवस्था 1 में घुसे और अवस्था 2 में निकले, तथा उपयोगी (धुरी) शक्ति $P_{\text{उप}}$ और तापीय शक्ति $P_{\text{ताप}}$ पाए,

\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big] = P_{\text{उप}} + P_{\text{ताप}} ,

या, तंत्र को पार करते तरल के प्रति एकांक द्रव्यमान,

\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{उप}} + q .

एंथैल्पी $h = u + Pv$ आंतरिक ऊर्जा की जगह ले लेती है: $Pv$ प्रवाह कार्य है, अर्थात् किसी एकांक द्रव्यमान को भीतर धकेलने के लिए ऊपरी तरल का किया कार्य, घटा उसे बाहर धकेलने का।

उपपत्ति. $\Sigma$ के भीतर के तरल, $t$ पर, और घुसने को तैयार टुकड़े $\dd m = \dot m\,\dd t$ से बने बंद तंत्र के पीछे चलिए; $t + \dd t$ पर वह $\Sigma$ के भीतर के तरल (वही अवस्था, स्थायी) और निकल चुके टुकड़े $\dd m$ से बना है। उसकी ऊर्जा $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$ से बदली। उसने $P_{\text{उप}}\dd t + P_{\text{ताप}}\dd t$ पाया, और साथ में प्रवेश पर दाब-बलों का कार्य, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (टुकड़े को भीतर धकेलते हुए), घटा निर्गम पर वाला, $P_2v_2\,\dd m$ । इस बंद तंत्र के लिए पहला नियम, $u + Pv = h$ के साथ, परिणाम दे देता है। ∎

स्थायी खुला तंत्र: t के दौरान जिस बंद तंत्र के पीछे चला जाता है वह की सामग्री और घुसता टुकड़ा है, फिर वही सामग्री और निकलता टुकड़ा; और दोनों काटों पर दाब का कार्य u को h = u + Pv में बदल देता है। — स्थायी खुला तंत्र: $\dd t$ के दौरान जिस बंद तंत्र के पीछे चला जाता है वह $\Sigma$ की सामग्री और घुसता टुकड़ा है, फिर वही सामग्री और निकलता टुकड़ा; और दोनों काटों पर दाब का कार्य $u$ को $h = u + Pv$ में बदल देता है।

टिप्पणी 27.4 (पहला नियम काम में लेना)

किसी आदर्श गैस के लिए $\Delta h = c_p\Delta T$ ; किसी द्रव के लिए $\Delta h \approx c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (दूसरा पद पंप का कार्य है); और किसी वाष्प के लिए $h$ सारणियों या चार्टों से पढ़ लिया जाता है। गतिज पद प्रायः नगण्य है: $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , हवा के एक केल्विन के $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ के सामने — वह केवल तुंडों और टरबाइन के फलकों में मायने रखता है, जहाँ चालें सैकड़ों मीटर प्रति सेकंड तक पहुँचती हैं। और स्थितिज पद, प्रति मीटर $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , किसी बाँध के पानी के लिए मायने रखता है, किसी गैस-चक्र में कभी नहीं। कई प्रवेशों और निर्गमों के साथ संतुलन ऐसा पढ़ा जाता है: $\sum_{\text{बाहर}}\dot m\,h - \sum_{\text{भीतर}}\dot m\,h = P_{\text{उप}} + P_{\text{ताप}}$ (गतिज और स्थितिज पद छोड़े गए)।

27.3 किसी खुले तंत्र के लिए दूसरा नियम

प्रमेय 27.5 (किसी स्थायी प्रवाह का एंट्रॉपी संतुलन)

किसी स्थायी एक-धारा प्रवाह के लिए, जो तापीय शक्तियाँ $P_{\text{ताप},i}$ उन स्रोतों के साथ बदलता हो जो तापों $T_i$ पर हैं,

\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{ताप},i}}{T_i} + \dot S_{\text{सृजित}}, \qquad \dot S_{\text{सृजित}} \ge 0 ;

और प्रति एकांक द्रव्यमान, $\Delta s = s_{\text{विनिमय}} + s_{\text{सृजित}}$ । कोई रुद्धोष्म उत्क्रमणीय प्रवाह सम-एंट्रॉपी है; और किसी रुद्धोष्म असली प्रवाह का $s_2 > s_1$ होता है। किसी टरबाइन की सम-एंट्रॉपी दक्षता $\eta_{\text{ट}} = w_{\text{असली}}/w_{\text{सम}} = (h_1 - h_2)/(h_1 - h_{2s})$ है और किसी संपीडक की $\eta_{\text{सं}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 - h_1)$ , जहाँ $2s$ वह अवस्था है जो उसी निर्गम दाब पर सम-एंट्रॉपी रूप से पहुँची जाए; और दोनों प्रायः $0.8$ – $0.9$ होते हैं। और अनुत्क्रमणीयता को खोया कार्य, परिवेश के ताप $T_0$ के सापेक्ष, प्रति एकांक द्रव्यमान $T_0\,s_{\text{सृजित}}$ है।

उपपत्ति. पहले जैसा ही बंद तंत्र: उसकी एंट्रॉपी $\dd m\,(s_2 - s_1)$ से बदलती है, वह स्रोतों से $\sum P_{\text{ताप},i}\dd t/T_i$ पाता है, और बाक़ी बनाई जाती है। ∎

27.4 प्रारंभिक यंत्र

प्रतिज्ञप्ति 27.6 (तुंड, थ्रॉटल, संपीडक, टरबाइन, विनिमयक)

जब तक न कहा जाए, सब रुद्धोष्म, स्थायी, और गतिज तथा स्थितिज पद छोड़े गए, जब तक वही मुद्दा न हों।

तुंड (कोई धुरी नहीं, कोई ऊष्मा नहीं): $\tfrac12c_2^2 - \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — अर्थात् एंथैल्पी चाल बन जाती है; और कोई विसारक उलटा करता है।
थ्रॉटल (कोई वाल्व, कोई सरंध्र डाट; कोई धुरी नहीं, कोई ऊष्मा नहीं, चालें छोटी): $h_2 = h_1$ , अर्थात् सम-एंथैल्पी। किसी आदर्श गैस के लिए $T_2 = T_1$ ; किसी असली गैस के लिए ताप आम तौर पर गिरता है (जूल–टॉमसन प्रभाव); और संतृप्ति के पास किसी द्रव के लिए कोई अंश भभककर वाष्प बन जाता है — वही हर प्रशीतक का प्रसार-वाल्व।
संपीडक, पंप, टरबाइन (रुद्धोष्म मशीनें): $w_{\text{उप}} = h_2 - h_1$ — संपीडक के लिए धनात्मक, टरबाइन के लिए ऋणात्मक; और किसी द्रव-पंप के लिए $w_{\text{उप}} \approx v(P_2 - P_1)$ , जो नन्हा है क्योंकि $v$ छोटा है।
ऊष्मा-विनिमयक (दो धाराएँ, कोई धुरी नहीं, पूरा-का-पूरा रुद्धोष्म): $\dot m_{\text{क}}(h_{\text{क},2} - h_{\text{क},1}) = -\dot m_{\text{ख}}(h_{\text{ख},2} - h_{\text{ख},1})$ — जो एक खोता है वही दूसरा पाता है; और विनिमय एंट्रॉपी बनाता है, जब तक धाराएँ हर जगह एक ही ताप पर न हों (प्रति-प्रवाह उसे घटा देता है)।
मिश्रण कक्ष: $\sum\dot m_{\text{भीतर}}h_{\text{भीतर}} = \dot m_{\text{बाहर}}h_{\text{बाहर}}$ ।

उपपत्ति. हर एक उपयुक्त पदों को शून्य रखकर लिखा पहला नियम ही है। ∎

प्रारंभिक खुले तंत्र: हर एक वही ऊर्जा-संतुलन है जिसमें अप्रासंगिक पद काट दिए गए हैं — किसी तुंड या थ्रॉटल में कोई धुरी नहीं, किसी रुद्धोष्म टरबाइन में कोई ऊष्मा नहीं, और पूरे लिए गए किसी विनिमयक में कोई शुद्ध ऊष्मा नहीं।

उदाहरण 27.7 (यंत्रों के आँकड़े)

$h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ पर किसी टरबाइन-तुंड में घुसती और $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ पर निकलती भाप $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} = 630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तक पहुँचती है। $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ से $8\,\mathrm{bar}$ तक रुद्धोष्म रूप से संपीडित हवा: सम-एंट्रॉपी रूप से $T_2 = 293 \times 8^{0.286} = 531\,\mathrm{K}$ और $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; और $\eta_{\text{सं}} = 0.8$ के साथ, $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ तथा $590\,\mathrm{K}$ — इसीलिए संपीडक चरणों के बीच ठंडे किए जाते हैं। $10\,\mathrm{K}$ ठंडे हुए पानी ( $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ) से $42\,\mathrm{kW}$ हटाता कोई गाड़ी का रेडिएटर $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ हवा को $20\,\mathrm{K}$ गरम कर देता है। $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर द्रव प्रशीतक को $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक थ्रॉटल करने पर वह $28\%$ वाष्प वाली किसी फुहार की तरह पहुँचता है: और वही भभकना द्रव को वाष्पित्र के ताप तक ठंडा करता है।

27.5 चक्र

प्रतिज्ञप्ति 27.8 (वाष्प-संपीडन प्रशीतन और ऊष्मा-पंप)

कोई प्रशीतक इनसे होकर घूमता है: (1 $\to$ 2) कोई रुद्धोष्म संपीडक जो वाष्प को वाष्पित्र के दाब से संघनित्र के दाब तक चढ़ा दे, $w = h_2 - h_1$ ; (2 $\to$ 3) कोई संघनित्र जहाँ वह गरम पक्ष को $q_{\text{संघ}} = h_2 - h_3$ छोड़ दे (ऊष्मा-पंप के लिए कमरा, किसी फ़्रिज के लिए रसोई) और द्रव बनकर निकले; (3 $\to$ 4) कोई थ्रॉटल, $h_4 = h_3$ ; (4 $\to$ 1) कोई वाष्पित्र जहाँ वह ठंडे पक्ष से $q_{\text{वाष्प}} = h_1 - h_4$ सोखे। निष्पादन गुणांक हैं

\mathrm{COP}_{\text{शीतलन}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad \mathrm{COP}_{\text{तापन}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{शीतलन}} + 1 ,

जो कार्नो के $T_{\text{ठंडा}}/(T_{\text{गरम}} - T_{\text{ठंडा}})$ और $T_{\text{गरम}}/(T_{\text{गरम}} - T_{\text{ठंडा}})$ से बँधे हैं; और चक्र सबसे आसानी से $(\log P, h)$ आरेख पर पढ़ा जाता है, जहाँ दोनों विनिमय तथा कार्य क्षैतिज खंड हैं।

उपपत्ति. चारों पहले-नियम संतुलन; और पूरे चक्र का ऊर्जा-संतुलन $q_{\text{संघ}} = q_{\text{वाष्प}} + w$ दे देता है, जिससे दोनों COP के बीच का संबंध। ∎

( P, h) चार्ट पर वाष्प-संपीडन चक्र: संघनित्र और वाष्पित्र गुंबद के भीतर समदाब हैं, थ्रॉटल कोई ऊर्ध्वाधर सम-एंथैल्पी रेखा, और संपीडक कोई तिरछी रेखा; और क्षैतिज खंडों की लंबाइयाँ प्रति किलोग्राम ऊष्माएँ तथा कार्य हैं। — $(\log P, h)$ चार्ट पर वाष्प-संपीडन चक्र: संघनित्र और वाष्पित्र गुंबद के भीतर समदाब हैं, थ्रॉटल कोई ऊर्ध्वाधर सम-एंथैल्पी रेखा, और संपीडक कोई तिरछी रेखा; और क्षैतिज खंडों की लंबाइयाँ प्रति किलोग्राम ऊष्माएँ तथा कार्य हैं।

प्रतिज्ञप्ति 27.9 (भाप (रैंकिन) चक्र)

जल इनसे होकर घूमता है: (1 $\to$ 2) कोई पंप, $w_{\text{पंप}} \approx v(P_2 - P_1)$ , यानी कुछ $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; (2 $\to$ 3) ऊँचे दाब पर कोई बॉयलर जहाँ उसे गरम, वाष्पित और अतितापित किया जाए, $q_{\text{भीतर}} = h_3 - h_2$ ; (3 $\to$ 4) कोई टरबाइन जो भाप को संघनित्र के दाब तक फैलाए, $w_{\text{ट}} = h_3 - h_4$ (कोई हज़ार $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); (4 $\to$ 1) नीचे दाब पर कोई संघनित्र जहाँ गीली भाप फिर द्रव बन जाए और शीतलन-जल को $q_{\text{बाहर}} = h_4 - h_1$ फेंक दे। दक्षता है

\eta = \frac{w_{\text{ट}} - w_{\text{पंप}}}{q_{\text{भीतर}}} = 1 - \frac{q_{\text{बाहर}}}{q_{\text{भीतर}}} ,

व्यवहार में लगभग $0.35$ – $0.45$ ; और ऊष्मा किसी माध्य ताप $\bar T = q_{\text{भीतर}}/(s_3 - s_2)$ पर जोड़ी जाती है, जो बॉयलर की चोटी से कहीं नीचे है, और इसीलिए अतितापन, पुनस्तापन तथा ऊँचे दाब $\eta$ चढ़ा देते हैं, और इसीलिए निकास इतना सूखा रहना चाहिए ( $x_4 \gtrsim 0.88$ ) कि आख़िरी फलक बूँदों के कटाव से बचे रहें।

उपपत्ति. हर घटक पर पहला नियम, फिर चक्र पर: $w_{\text{ट}} - w_{\text{पंप}} = q_{\text{भीतर}} - q_{\text{बाहर}}$ । ∎

(T,s) आरेख पर रैंकिन चक्र: पंप (अदृश्य), द्रव-रेखा के अनुदिश तापन, बॉयलर के दाब पर वाष्पन, अतितापन, प्रसार (सम-एंट्रॉपी बिंदुदार, असली ठोस, जो अधिक गीला या अधिक सूखा ख़त्म होता है), संघनन। और दक्षता ऊष्मा जोड़ने के माध्य ताप से तय होती है, चोटी से नहीं। — $(T,s)$ आरेख पर रैंकिन चक्र: पंप (अदृश्य), द्रव-रेखा के अनुदिश तापन, बॉयलर के दाब पर वाष्पन, अतितापन, प्रसार (सम-एंट्रॉपी बिंदुदार, असली ठोस, जो अधिक गीला या अधिक सूखा ख़त्म होता है), संघनन। और दक्षता ऊष्मा जोड़ने के माध्य ताप से तय होती है, चोटी से नहीं।

टिप्पणी 27.10 (दूसरे चक्र, और कोई क्षणिक)

गैस टरबाइन (संपीडक, दहन-कक्ष, टरबाइन: ब्रेटन चक्र) की आदर्श दक्षता $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ है, दाब-अनुपात $r$ के लिए, और वह अपना निकास कई सौ डिग्री पर फेंकती है; उस निकास को किसी भाप-चक्र को खिलाना (संयुक्त चक्र) $60\%$ तक पहुँचता है। खुले तंत्रों के क्षणिक भी होते हैं: $T_0$ की किसी लाइन से किसी निर्वातित दृढ़ टंकी को भरना $T = \gamma T_0$ पर ख़त्म होता है (प्रवाह कार्य $Pv$ आंतरिक ऊर्जा बन जाता है), हवा के लिए $120\,\mathrm{K}$ अधिक गरम — और इसीलिए कोई गोताखोरी सिलिंडर भरते समय गरम हो जाता है।

विधि 27.11 (खुले-तंत्र के संतुलन)

(1) नियंत्रण आयतन खींचिए; प्रवेश, निर्गम, धुरी और ऊष्मा सूचीबद्ध कीजिए। (2) द्रव्यमान: $\sum\dot m_{\text{भीतर}} = \sum\dot m_{\text{बाहर}}$ । (3) प्रति एकांक द्रव्यमान ऊर्जा: $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{उप}} + q$ , जिसमें गैसों के लिए $\Delta h = c_p\Delta T$ , वाष्पों के लिए सारणियाँ, और पंपों के लिए $v\Delta P$ । (4) एंट्रॉपी: $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{सृजित}}$ , सम-एंट्रॉपी संदर्भ अवस्थाएँ, दक्षताएँ, और खोया $T_0s_{\text{सृजित}}$ । (5) चक्र: चार्ट पढ़िए, पाश भर जोड़िए, और कार्नो से तुलना कीजिए।

27.6 अभ्यास

अभ्यास 27.1 ★

(क) कोई बाग़ की नली $1\,\mathrm{cm}$ के किसी तुंड से $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ देती है: निर्गम चाल। (ख) $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर गरम जल, $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर ठंडे जल, $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , से मिलता है: निर्गम ताप। (ग) मिश्रण अनुत्क्रमणीय क्यों है — प्रति सेकंड बनी एंट्रॉपी निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 27.1.

(क) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ख) $(0.1 \times 60 + 0.2 \times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ । (ग) $\dot S_{\text{सृजित}} = 0.1c\ln(299.8/333) + 0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ : अर्थात् ऊष्मा गरम से ठंडे जल को गई।

अभ्यास 27.2 ★

भाप किसी तुंड में $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ के साथ घुसती है और $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ के साथ निकलती है: निर्गम चाल। $300\,\mathrm{K}$ की हवा किसी तुंड में विराम से $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तक त्वरित ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): ताप की गिरावट। कोई विसारक हवा को $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से विराम तक धीमा करता है: चढ़ाव।

हल

हल — अभ्यास 27.2.

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$ ; $31\,\mathrm{K}$ ।

अभ्यास 27.3 ★

थ्रॉटलन। (क) कोई आदर्श गैस: $T$ का क्या होता है, $s$ का? (ख) $10\,\mathrm{bar}$ पर गीली भाप ( $h_{\text{f}} = 763$ , $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), शुष्कता $0.9$ , $1\,\mathrm{bar}$ तक थ्रॉटल की गई ( $h_{\text{f}} = 417$ , $h_{\text{fg}} = 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): अंतिम शुष्कता — अर्थात् थ्रॉटलन कैलोरीमापी। (ग) $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर द्रव प्रशीतक ( $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ) $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक थ्रॉटल किया गया ( $h_{\text{f}} = 200$ , $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ): वाष्प का अंश।

हल

हल — अभ्यास 27.3.

(क) $T$ अपरिवर्तित, और $s$ $r\ln(P_1/P_2)$ से चढ़ता है। (ख) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — और शुष्कता अतितापित (या बस सूखे) निर्गम के ताप से पढ़ ली जाती है। (ग) $(256 - 200)/199 = 0.28$ ।

अभ्यास 27.4 ★

(क) कोई रेडिएटर $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ जल को $90\,$ से $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक ठंडा करता है; और हवा ( $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) $20\,$ से $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक गरम होती है: हवा का द्रव्यमान प्रवाह और आयतन प्रवाह। (ख) कोई भाप-टरबाइन, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $h$ $3400\,$ से $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ तक: शक्ति। (ग) कोई पंप जल को $1\,$ से $60\,\mathrm{bar}$ तक चढ़ाता है: प्रति किलोग्राम कार्य, और $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ के लिए शक्ति।

हल

हल — अभ्यास 27.4.

(क) $41.8\,\mathrm{kW}$ ; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ । (ख) $10\,\mathrm{MW}$ । (ग) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $3\,\mathrm{MW}$ ।

अभ्यास 27.5 ★★

प्रवाह कार्य। (क) खुले-तंत्र का पहला नियम फिर से निकालिए और समझाइए कि $Pv$ कहाँ से आता है। (ख) किसी बंद तंत्र में आंतरिक ऊर्जा $u$ और किसी प्रवाह में $h$ क्यों आता है? (ग) $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $c^2/2$ की तुलना हवा के $1\,\mathrm{K}$ के $c_p\Delta T$ से कीजिए। (घ) किसी जल-नाल से $100\,\mathrm{m}$ गिरता जल: $g\Delta z$ के सामने $1\,\mathrm{K}$ के लिए $c\,\Delta T$ ; और निष्कर्ष निकालिए कि टरबाइन हटा दी जाए तो जल कितना गरम होता है।

हल

हल — अभ्यास 27.5.

(क) प्रमेय 27.3। (ख) किसी प्रवाह को उसके पड़ोसी भीतर और बाहर धकेलते हैं: और वही दाब का कार्य, प्रति एकांक द्रव्यमान $Pv$ , $u$ के साथ बाँध दिया जाता है। (ग) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ और $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ के सामने। (घ) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ , $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ के सामने: $0.23\,\mathrm{K}$ ।

अभ्यास 27.6 ★★

संपीडक। हवा, $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ , से $8\,\mathrm{bar}$ तक; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ । (क) सम-एंट्रॉपी निर्गम ताप और कार्य। (ख) $\eta_{\text{सं}} = 0.8$ के साथ: कार्य, निर्गम ताप, बनी एंट्रॉपी। (ग) $\sqrt8$ अनुपात के दो चरण, जिनके बीच $293\,\mathrm{K}$ तक ठंडा किया जाए: बचा हुआ कार्य। (घ) समतापी सीमा $rT\ln 8$ ; और असली संपीडक कई चरणों से उसके पास क्यों पहुँचते हैं।

हल

हल — अभ्यास 27.6.

(क) $531\,\mathrm{K}$ , $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (ख) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $590\,\mathrm{K}$ , $c_p\ln(590/531) = 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ । (ग) हर चरण $393\,\mathrm{K}$ पर ख़त्म होता है: $2 \times 1005 \times 100 = 201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , यानी $16\%$ बचा। (घ) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; और कई चरणों के बीच अंतःशीतलन से पथ समतापी से चिपक जाता है।

अभ्यास 27.7 ★★

टरबाइन। $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर भाप: $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; संघनित्र $0.05\,\mathrm{bar}$ ( $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ): $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (क) सम-एंट्रॉपी निर्गम शुष्कता तथा एंथैल्पी, और कार्य। (ख) $\eta_{\text{ट}} = 0.85$ के साथ: कार्य, निर्गम एंथैल्पी और शुष्कता। (ग) प्रति किलोग्राम बनी एंट्रॉपी और $T_0 = 306\,\mathrm{K}$ पर खोया कार्य। (घ) बहुत गीला निकास क्यों कोई समस्या है।

हल

हल — अभ्यास 27.7.

(क) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$ , $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $w_{\text{सम}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (ख) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ । (ग) $s_4 = 7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ : $s_{\text{सृजित}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; और खोया $T_0s_{\text{सृजित}} = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (घ) सैकड़ों मीटर प्रति सेकंड पर बूँदें आख़िरी फलक घिस डालती हैं।

अभ्यास 27.8 ★★

ऊष्मा-पंप। वाष्पित्र $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , संघनित्र $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; $h_1 = 399$ (संतृप्त वाष्प, $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ), $h_{2s} = 426$ , $h_3 = 256$ , $h_4 = h_3$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ); $\eta_{\text{सं}} = 0.8$ । (क) $h_2$ और कार्य। (ख) बदली गई ऊष्माएँ, और दोनों COP। (ग) कार्नो COP; अनुपात। (घ) $8\,\mathrm{kW}$ तापन के लिए द्रव्यमान प्रवाह और विद्युत् शक्ति; और बाहर की हवा ठंडी होने पर COP क्यों गिरता है।

हल

हल — अभ्यास 27.8.

(क) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (ख) $q_{\text{वाष्प}} = 143$ , $q_{\text{संघ}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{ठं}} = 4.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{ता}} = 5.2$ । (ग) $6.8$ और $7.8$ ; दो-तिहाई। (घ) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $1.5\,\mathrm{kW}$ ; और ठंडा वाष्पित्र माने नीचा दाब, बड़ा दाब-अनुपात (प्रति किलोग्राम अधिक कार्य) और हलकी वाष्प (प्रति आघात कम द्रव्यमान)।

अभ्यास 27.9 ★★

किसी विनिमयक में एंट्रॉपी। गरम जल $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ $90\,$ से $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक ठंडे जल $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ को $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से गरम करता है। (क) ठंडी धारा का निर्गम ताप। (ख) प्रति सेकंड बनी एंट्रॉपी ( $c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ )। (ग) $T_0 = 293\,\mathrm{K}$ पर खोई शक्ति, बदली गई $167\,\mathrm{kW}$ के सामने। (घ) उसी काम के लिए कोई समांतर-प्रवाह व्यवस्था प्रति-प्रवाह से अधिक एंट्रॉपी क्यों बनाती?

हल

हल — अभ्यास 27.9.

(क) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ । (ख) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ । (ग) $167\,\mathrm{kW}$ में से $24\,\mathrm{kW}$ । (घ) समांतर प्रवाह में ताप के अंतराल बड़े होते हैं और गरम निर्गम ठंडे निर्गम से नीचे नहीं गिर सकता: अतः उसी काम के लिए अधिक एंट्रॉपी।

अभ्यास 27.10 ★★★

कोई टंकी भरना। कोई दृढ़, निर्वातित, विद्युतरोधित टंकी किसी ऐसी लाइन से जोड़ी जाती है जो $T_0$ , $P_0$ पर कोई आदर्श गैस ले चलती है। (क) भरने के दौरान टंकी का ऊर्जा-संतुलन लिखिए (अस्थायी: उसकी ऊर्जा बढ़ती है) और दिखाइए कि भीतर की गैस $T = \gamma T_0$ पर ख़त्म होती है। (ख) $293\,\mathrm{K}$ पर हवा: अंतिम ताप। (ग) यदि टंकी में शुरू में $T_0$ और $P_1 < P_0$ पर गैस हो, तो तर्क दीजिए कि अंतिम ताप $T_0$ और $\gamma T_0$ के बीच पड़ता है। (घ) कोई गोताखोरी सिलिंडर भरते समय गरम क्यों होता है, और उसे पानी में धीरे-धीरे क्यों भरा जाता है?

हल

हल — अभ्यास 27.10.

(क) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ समाकलित होकर $mu = mh_0$ देता है: $c_vT = c_pT_0$ , $T = \gamma T_0$ । (ख) $410\,\mathrm{K}$ । (ग) अंतिम गैस $T_0$ पर मूल गैस और $\gamma T_0$ तक गरम हुई आती गैस का मिश्रण है, अतः बीच में। (घ) प्रवाह कार्य गैस को गरम कर देता है; और किसी जल-कुंड में धीरे भरने से ऊष्मा बाहर निकल जाती है ताकि $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर दाब वही हो जो चाहिए।

अभ्यास 27.11 ★★★

पुनस्तापन। अभ्यास 27.7 की टरबाइन बाँट दी जाती है: $10\,\mathrm{bar}$ तक प्रसार (सम-एंट्रॉपी अंत: $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ), $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक पुनस्तापन ( $h = 3478$ , $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ), और $0.05\,\mathrm{bar}$ तक प्रसार, दोनों चरण सम-एंट्रॉपी। पंप का कार्य $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_2 = 144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (क) दूसरे चरण की निर्गम शुष्कता और एंथैल्पी। (ख) कुल कार्य और ऊष्मा; दक्षता; और अकेले प्रसार ( $\eta = 0.40$ सम-एंट्रॉपी) से तुलना कीजिए। (ग) ऊष्मा जोड़ने के माध्य ताप के पदों में पुनस्तापन क्यों मदद करता है? (घ) वह और क्या ठीक कर देता है?

हल

हल — अभ्यास 27.11.

(क) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$ , $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ । (ख) $w = 572 + 1111 - 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.43$ , $0.40$ के सामने। (ग) पुनस्तापन ऊष्मा किसी ऊँचे ताप पर जोड़ता है और ऊष्मा जोड़ने का माध्य ताप चढ़ा देता है। (घ) निकास अधिक सूखा है ( $0.92$ , $0.81$ के बजाय)।

अभ्यास 27.12 ★★★

गैस टरबाइन और संयुक्त चक्र। हवा $1\,\mathrm{bar}$ , $293\,\mathrm{K}$ से $12\,\mathrm{bar}$ तक सम-एंट्रॉपी रूप से संपीडित, अचर दाब पर $1500\,\mathrm{K}$ तक गरम, और $1\,\mathrm{bar}$ तक सम-एंट्रॉपी रूप से फैलाई गई; $\gamma = 1.4$ , $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ । (क) चारों ताप। (ख) कार्य, ऊष्मा, दक्षता; दिखाइए $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$ । (ग) $T_4$ पर निकास किसी ऐसे रैंकिन चक्र के लिए भाप उठाता है जिसकी दक्षता $0.35$ हो और जो $373\,\mathrm{K}$ के ऊपर निकास की ऊष्मा का $70\%$ लौटा ले: संयुक्त दक्षता। (घ) संयुक्त चक्र क्यों सबसे दक्ष तापीय संयंत्र है जो है?

हल

हल — अभ्यास 27.12.

(क) $293\,\mathrm{K}$ , $596\,\mathrm{K}$ , $1500\,\mathrm{K}$ , $737\,\mathrm{K}$ । (ख) $w_{\text{सं}} = 305$ , $w_{\text{ट}} = 767$ , $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$ । (ग) $373\,\mathrm{K}$ के ऊपर निकास की ऊष्मा: $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $0.7 \times 0.35 \times 366 = 90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ : $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$ । (घ) वह ऊष्मा $1500\,\mathrm{K}$ पर लेता है और $306\,\mathrm{K}$ पर फेंकता है: अर्थात् वह सबसे चौड़ा फैलाव जो कोई कार्यकारी तरल देता है।

27.7 समस्या: कोई घरेलू ऊष्मा-पंप और कोई भाप-बिजलीघर

समस्या 27.1

सप्ताहांत समस्या — खुले-तंत्र संतुलनों से नापी गई दो मशीनें

भाग I — ऊष्मा-पंप। प्रशीतक के आँकड़े ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ): $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर संतृप्त वाष्प ( $P = 2.9\,\mathrm{bar}$ ): $h_1 = 399$ , $s_1 = 1.727$ ; $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर संतृप्त द्रव: $h_{\text{f}} = 200$ , $s_{\text{f}} = 1.00$ ; संघनित्र के दाब $10.2\,\mathrm{bar}$ ( $T_{\text{संत}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) पर: सम-एंट्रॉपी संपीडन का अंत $h_{2s} = 426$ , संतृप्त द्रव $h_3 = 256$ , $s_3 = 1.19$ ; और वहाँ अतितापित वाष्प का $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ । संपीडक $\eta_{\text{सं}} = 0.8$ ; और घर की माँग $8\,\mathrm{kW}$ ।

चक्र को किसी $(\log P, h)$ चार्ट पर खींचिए और चारों घटकों को उस प्रक्रिया के साथ बताइए जो हर एक करता है।
थ्रॉटल के बाद अवस्था 4: एंथैल्पी और वाष्प का अंश।
वाष्पित्र में प्रति किलोग्राम सोखी गई ऊष्मा।
संपीडक का कार्य, सम-एंट्रॉपी और असली; $h_2$ और $T_2$ का कोई आकलन।
संघनित्र में छोड़ी गई ऊष्मा; दोनों COP; और उनका संबंध जाँचिए।
$0\,$ और $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ के बीच कार्नो COP; मशीन कौन-सा अंश पा लेती है?
प्रशीतक का द्रव्यमान प्रवाह और विद्युत् शक्ति (मोटर की दक्षता $0.9$ )।
संपीडक में और थ्रॉटल में प्रति किलोग्राम बनी एंट्रॉपी ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ); कौन-सा बुरा है?

भाग II — ठंडा मौसम और अभिकल्प के चुनाव।

बाहर $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर वाष्पित्र $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर चलता है: तापन का कार्नो COP; और असली COP उससे तेज़ी से क्यों गिरता है (दाब-अनुपात और वाष्प के घनत्व के बारे में सोचिए)?
बाहरी कुंडली पर पाला क्यों जमता है, और तुषार-हरण चक्र की क़ीमत क्या है?
$35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर फ़र्श-तापन बनाम $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर ऊष्मक: वाष्पित्र $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर लेकर कार्नो COP; निष्कर्ष निकालिए।
दक्षता $0.40$ के किसी बिजलीघर में जले प्रति किलोवाट-घंटा ईंधन के लिए, इस ऊष्मा-पंप ( $\mathrm{COP} = 4$ ) से मिलती ऊष्मा की तुलना उस गैस-बॉयलर से कीजिए जो दक्षता $0.9$ पर वही ईंधन सीधे जलाए।

भाग III — भाप-संयंत्र। बॉयलर $60\,\mathrm{bar}$ , $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_3 = 3422$ , $s_3 = 6.88$ ; $60\,\mathrm{bar}$ पर, $T_{\text{संत}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $h_{\text{f}} = 1213$ , $h_{\text{g}} = 2784$ ; संघनित्र $0.05\,\mathrm{bar}$ , $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : $h_{\text{f}} = 138$ , $h_{\text{fg}} = 2423$ , $s_{\text{f}} = 0.476$ , $s_{\text{g}} = 8.394$ ; द्रव $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ; टरबाइन $\eta_{\text{ट}} = 0.85$ ; और शुद्ध विद्युत् निर्गम $600\,\mathrm{MW}$ ।

चक्र को किसी $(T,s)$ आरेख पर खींचिए और प्रक्रियाएँ बताइए।
पंप का कार्य और $h_2$ ।
बॉयलर में जोड़ी गई ऊष्मा, जिसे पूर्वतापन, वाष्पन और अतितापन में बाँटिए।
सम-एंट्रॉपी प्रसार: निर्गम शुष्कता, एंथैल्पी, कार्य।
असली प्रसार: कार्य, निर्गम एंथैल्पी और शुष्कता; और शुष्कता क्यों मायने रखती है।
चक्र की दक्षता; $773\,$ और $306\,\mathrm{K}$ के बीच कार्नो; ऊष्मा जोड़ने का माध्य ताप $\bar T = q_{\text{भीतर}}/(s_3 - s_2)$ और वह कार्नो दक्षता जो वह देता।
भाप का द्रव्यमान प्रवाह; संघनित्र में फेंकी गई ऊष्मा; $10\,\mathrm{K}$ की चढ़ाई के लिए शीतलन-जल का प्रवाह, या वह जल-द्रव्यमान जो कोई शीतलन मीनार प्रति सेकंड वाष्पित करती है ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ )।
टरबाइन में प्रति किलोग्राम और प्रति सेकंड बनी एंट्रॉपी; और $306\,\mathrm{K}$ पर खोया कार्य, टरबाइन के कार्य के अंश की तरह।
$10\,\mathrm{bar}$ पर $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक पुनस्तापन दक्षता को लगभग $0.43$ और निर्गम शुष्कता को $0.92$ तक चढ़ा देता है: दोनों असर गुणात्मक रूप से समझाइए।

भाग IV — पूरी शृंखला।

भट्ठी अपनी ऊष्मा भाप को लगभग $1500\,\mathrm{K}$ की धुआँ-गैसों से सौंपती है: उस अंतरण में प्रति सेकंड बनी एंट्रॉपी ( $1500\,\mathrm{K}$ पर ऊष्मा, $\bar T$ पर भाप में); टरबाइन वाली से तुलना कीजिए।
संघनित्र अपनी ऊष्मा $306\,\mathrm{K}$ के जल को फेंकता है — जो अंततः $293\,\mathrm{K}$ के परिवेश तक पहुँचती है: वहाँ प्रति सेकंड बनी एंट्रॉपी।
अनुत्क्रमणीयता के तीनों स्रोतों (भट्ठी, टरबाइन, संघनित्र) को क्रम दीजिए और बताइए कि अभियंताओं का ज़ोर कहाँ जाता है।
खुले-तंत्र की विधि पाँच पंक्तियों में समेटिए।

हल

हल — समस्या 27.1.

1. संपीडक (रुद्धोष्म, $w = \Delta h$ ), संघनित्र (समदाब, ऊष्मा बाहर), थ्रॉटल (सम-एंथैल्पी), वाष्पित्र (समदाब, ऊष्मा भीतर)।

2. $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $x_4 = 0.28$ ।

3. $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ।

4. $27\,$ और $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 433$ ; $T_2 \approx 45 + 7 \approx 52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ।

5. $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $\mathrm{COP}_{\text{ता}} = 5.2$ , $\mathrm{COP}_{\text{ठं}} = 4.2$ ; $5.2 = 4.2 + 1$ ।

6. $7.8$ और $6.8$ ; दो-तिहाई।

7. $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1.5\,\mathrm{kW}$ , और प्लग पर $1.7\,\mathrm{kW}$ ।

8. संपीडक: $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ; थ्रॉटल: $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — अर्थात् संपीडक।

9. $313/55 = 5.7$ ; दाब-अनुपात लगभग दुगुना हो जाता है (प्रति किलोग्राम अधिक कार्य) और वाष्प का घनत्व आधा (प्रति आघात कम द्रव्यमान): अतः क्षमता ठीक तब गिरती है जब घर को अधिक चाहिए।

10. कुंडली नम हवा में $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ से नीचे रहती है; पाला उसे विद्युतरोधित कर देता है; और तुषार-हरण हर घंटे कुछ मिनट चक्र उलट देता है और कुछ प्रतिशत की क़ीमत लेता है।

11. $308/35 = 8.8$ , $328/55 = 6.0$ के सामने: संघनित्र का ताप जितना नीचा, उतना बेहतर — यानी फ़र्श-तापन।

12. $1\,\mathrm{kWh}$ ईंधन $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ बिजली $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ ऊष्मा, बॉयलर के $0.9\,\mathrm{kWh}$ के सामने।

13. पंप, बॉयलर (समदाब तापन, वाष्पन, अतितापन), टरबाइन, संघनित्र।

14. $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ; $h_2 = 144$ ।

15. $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ( $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ )।

16. $x = 0.81$ , $h_{4s} = 2098$ , $w_{\text{सम}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ ।

17. $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , $h_4 = 2297$ , $x_4 = 0.89$ ; और गीली भाप फलक घिसा देती है तथा दक्षता गिरा देती है।

18. $\eta = 1119/3278 = 0.34$ ; कार्नो $0.60$ ; $\bar T = 3278/6.40 = 512\,\mathrm{K}$ , जो $0.40$ देता।

19. $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $1160\,\mathrm{MW}$ ; नदी के जल का $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ , या $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ वाष्पित।

20. $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ , $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$ ; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ , यानी टरबाइन के कार्य का $18\%$ ।

21. दूसरा ऊष्मा-जोड़ ऊँचे ताप पर है (ऊँचा $\bar T$ ), और दूसरा प्रसार अतितापित शुरू होता है तथा अधिक सूखा ख़त्म।

22. $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — यानी टरबाइन वाली से छह गुना।

23. $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ ।

24. भट्ठी $\gg$ टरबाइन $>$ संघनित्र: इसीलिए ऊँचे भाप-ताप और दाब, पुनस्तापन तथा पुनर्जनन; फिर बेहतर फलक; और संघनित्र सबसे बाद में आता है।

25. नियंत्रण आयतन खींचिए; भीतर का द्रव्यमान बाहर के बराबर; $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{उप}} + q$ , जिसमें $h$ $c_p$ से, सारणियों से या $v\Delta P$ से; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{सृजित}}$ , सम-एंट्रॉपी संदर्भों और दक्षताओं के साथ; फिर घटक जोड़िए और कार्नो से तुलना कीजिए।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

खुला तंत्र, नियंत्रण आयतन, स्थायी प्रवाह

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