¿Qué es Función convexa? — Matemáticas

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Definición 22.11 Matemáticas de secundaria · অধ্যায় 22 — Derivación y convexidad

Una función $f$ definida en un intervalo $I$ es convexa en $I$ si todas las cuerdas de su gráfica quedan por encima de la gráfica: para todos $a, b \in I$ y $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Es cóncava si se cumple la desigualdad contraria ( $-f$ convexa).

Una función convexa: todas las cuerdas (en rojo) quedan por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de todas sus tangentes (en naranja). El segmento discontinuo muestra la separación entre f ((1-t)a+tb ) y (1-t)f(a)+tf(b). — Una función convexa: todas las cuerdas (en rojo) quedan por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de todas sus tangentes (en naranja). El segmento discontinuo muestra la separación entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ y $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

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Ejemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tiene $f''(x) = 6x$ : $f$ es cóncava en $\intoc{-\infty}{0}$ y convexa en $\intco{0}{+\infty}$ , con un punto de inflexión en el origen, donde la curva atraviesa su tangente (el eje $x$ ).

Ejemplo 22.15 (Desigualdades por convexidad)

La exponencial es convexa en $\R$ (su derivada segunda es ella misma, que es positiva). Su tangente en $0$ es $y = 1 + x$ , así que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Estas desigualdades de la recta tangente son un producto habitual de la convexidad.

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Definición 14.18 Matemáticas universitarias — Grado 1 · অধ্যায় 14 — Derivación

$f \colon I \to \R$ es convexa cuando toda cuerda queda por encima de la gráfica:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ es cóncava cuando $-f$ es convexa.)

La convexidad, dos veces: toda cuerda (gris) queda por encima de la gráfica, y la gráfica queda por encima de toda tangente (a trazos).

উদাহরণ

Ejemplo 14.20 (Desigualdades clásicas de convexidad)

$\exp$ es convexa ( $\exp'' = \exp > 0$ ): su tangente en $0$ da $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$ . $\ln$ es cóncava: su tangente en $1$ da $\ln x \leq x - 1$ ; y sus cuerdas dan, para $0 < a \leq b$ , la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética: tomando $t = \frac12$ en la concavidad,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{luego}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

La desigualdad aritmético-geométrica general es el Ejercicio 14.9.

Ejemplo 14.21 (Una desigualdad de convexidad desde cero)

La función $f(t) = t\ln t$ es convexa en $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$ . Su desigualdad del punto medio, multiplicada por $2$ , dice: para todos $a, b > 0$ ,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

con igualdad si y solo si $a = b$ (convexidad estricta). Prueba de manejo: $a = 1$ , $b = 3$ da $3\ln 3 = 3.296$ frente a $4\ln 2 = 2.773$ . Esta inocua desigualdad es el caso de dos puntos de la comparación de entropías que reaparece con la desigualdad de Jensen (Ejercicio 14.9) y en las asintóticas de la teoría de la información del volumen del tercer año. La idea de cierre: para fabricar una desigualdad, búsquese una función cuya segunda derivada tenga un signo y escríbase lo que dice la convexidad — la caracterización diferencial convierte una sola comprobación de signo en infinitas desigualdades.

Ejemplo 14.24 (La desigualdad de Young a partir de la concavidad)

Sean $p, q > 1$ con $\frac1p + \frac1q = 1$ . Para todos $a, b > 0$ :

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Demostración con una sola aplicación de la concavidad de $\ln$ con pesos $\frac1p, \frac1q$ (la desigualdad de Jensen de dos puntos, como en el Ejercicio 14.9):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

y ser $\ln$ creciente convierte la desigualdad entre logaritmos en la afirmación buscada; hay igualdad si y solo si $a^p = b^q$ (concavidad estricta). El caso $p = q = 2$ es la desigualdad aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfrazada. La idea de cierre: la desigualdad de Young es la semilla algebraica de las desigualdades de Hölder y de Minkowski del volumen del segundo año — un solo enunciado de concavidad sobre $\ln$ , cosechado para las normas.

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