Biologie universitaire — 3e année · Bachelor Year 3

23Génétique du développement et évolution des formes

L’œuf d’une mouche du vinaigre fait un demi-millimètre de long et, dans les trois heures qui suivent la fécondation, avant qu’une seule membrane cellulaire se soit formée entre ses six mille noyaux, il décide quelle extrémité sera la tête, laquelle la queue, où se placera chacun de quatorze segments, et lesquels porteront pattes, ailes ou antennes. Il le fait avec quelques dizaines de gènes, allumés selon une hiérarchie de bandes de plus en plus fines, chaque bande lue dans les concentrations des produits des bandes précédentes. En 1980 deux jeunes scientifiques de Heidelberg criblèrent des milliers de mouches mutantes à la recherche de larves aux parties manquantes ou doublées, et trouvèrent toute la hiérarchie : des gènes dont la perte supprime un bloc de segments, des gènes dont la perte supprime un segment sur deux, des gènes dont la perte retourne chaque segment. Les travaux de la même année sur un gène qui change le troisième segment d’une mouche en copie du deuxième — ce qui lui donne quatre ailes, comme en avaient ses ancêtres — ouvrirent un ensemble de gènes maîtres qui, on le découvrit, se rangent dans le même ordre le long des chromosomes d’une souris et d’un humain, et y font le même travail. Ce chapitre traite de la façon dont un embryon calcule sa propre géométrie, dont quelques centaines de gènes régulateurs bâtissent tous les corps d’animaux, et dont changer le moment et le lieu de leur action a produit la diversité des formes animales.

23.1 Les coordonnées de la mouche

Définition 23.1 (La hiérarchie de la segmentation)

L’embryon de Drosophila se développe pendant ses treize premières divisions nucléaires en blastoderme syncytial, cellule unique dont les noyaux partagent un seul cytoplasme, de sorte que les protéines diffusent librement depuis leur lieu de fabrication. Quatre gradients déposés par les cellules de la mère fixent les axes : l’ARNm de bicoid est arrimé au pôle antérieur et sa protéine diffuse vers l’arrière en un gradient exponentiel de la tête à la queue ; l’ARNm de nanos au pôle postérieur fait le gradient miroir ; les ARNm de hunchback et de caudal sont uniformes, mais la protéine Bicoid réprime la traduction de caudal et Nanos celle de hunchback, de sorte que leurs protéines forment aussi des gradients. Ces produits à effet maternel, dont le phénotype mutant dépend du génotype de la mère et non de celui de l’embryon, allument les gènes gap (hunchback, Krüppel, knirps, giant) en larges bandes, chacune répondant à une plage de concentration de Bicoid et réprimant ses voisines ; les protéines gap, en combinaison, allument les gènes de la règle de parité (even-skipped, fushi tarazu, hairy) en sept bandes chacun, en alternance ; et les protéines de la règle de parité allument les gènes de polarité segmentaire (engrailed, wingless, hedgehog) en quatorze bandes, une par segment, qui fixent l’avant et l’arrière de chaque segment et sont entretenues, une fois les cellules formées, par la signalisation entre elles. Trois heures, quatre étages, d’un gradient unique à quatorze segments — et les noms des mutants gardent la trace du criblage : hunchback manque de thorax, Krüppel (« estropié ») du milieu, fushi tarazu (« pas assez de segments ») d’un segment sur deux, hedgehog a une pelouse de soies.

La hiérarchie de la segmentation. Un gradient maternel est lu en quatre bandes de gènes gap ; les protéines gap, en combinaison, en sept bandes de la règle de parité ; celles-ci en quatorze bandes de polarité segmentaire. Chaque bande est une frontière tracée là où une concentration franchit un seuil.

Théorème 23.2 (Un gradient de morphogène par synthèse, diffusion et dégradation)

Une protéine fabriquée à une extrémité d’un tissu au débit $J$ (par unité d’aire), diffusant avec le coefficient $D$ et dégradée avec la constante de vitesse $k$ , atteint un état stationnaire où sa concentration le long de l’axe $x$ vérifie

D\,\frac{\mathrm{d}^{2}c}{\mathrm{d}x^{2}} - k\,c = 0, \qquad c(x) = c_{0}\,\mathrm{e}^{-x/\lambda}, \qquad \lambda = \sqrt{D/k}, \quad c_{0} = \frac{J}{\sqrt{Dk}} .

La longueur de décroissance $\lambda$ fixe la portée du gradient ; une cellule lit sa position en comparant $c$ à des seuils — le drapeau français de Wolpert (1969) : au-dessus de $T_{1}$ bleu, entre $T_{1}$ et $T_{2}$ blanc, au-dessous rouge — et la frontière du seuil $T$ se trouve en $x_{T} = \lambda\ln(c_{0}/T)$ . Deux conséquences : doubler la source recule chaque frontière du même $\lambda\ln 2$ , et une erreur relative $\delta c/c$ dans la lecture de la concentration est une erreur de position $\delta x = \lambda\,\delta c/c$ , de sorte qu’un gradient ne peut placer une frontière à une cellule près que si les cellules le lisent à quelques pour cent près. Bicoid a $\lambda \approx 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ dans un œuf de $500\,\text{µ}\mathrm{m}$ : le gradient couvre un facteur $\mathrm{e}^{5} \approx 150$ , et la frontière de hunchback se place au milieu de l’œuf, là où Bicoid est tombée à environ un douzième de son maximum.

Démonstration. Conservation dans une tranche entre $x$ et $x + \mathrm{d}x$ : l’apport diffusif net $D\,\partial^{2}c/\partial x^{2}$ équilibre la dégradation $kc$ à l’état stationnaire, ce qui donne l’équation ; la solution bornée quand $x \to \infty$ est l’exponentielle décroissante avec $\lambda^{2} = D/k$ . La source : le flux diffusif en $x = 0$ , $-D\, c'(0) = Dc_{0}/\lambda$ , vaut $J$ , donc $c_{0} = J\lambda/D = J/\sqrt{Dk}$ . Le seuil : $c_{0}\mathrm{e}^{-x_{T}/\lambda} = T$ donne $x_{T}$ ; doubler $c_{0}$ ajoute $\lambda\ln 2$ à chaque $x_{T}$ quel que soit $T$ . L’erreur : en dérivant $x_{T} = \lambda\ln(c_{0}/c)$ , $\delta x = -\lambda\,\delta c/c$ . L’état stationnaire est atteint à l’échelle de temps $1/k$ , qui pour Bicoid ( $50\,\mathrm{min}$ ) est comparable aux deux heures disponibles, de sorte que le gradient est lu alors qu’il s’installe encore. ∎

Le drapeau français tracé par une exponentielle. Des seuils sur un seul gradient partagent l’œuf en régions ; une source plus forte recule toutes les frontières de la même distance, ce que montrent les embryons de mères portant des copies supplémentaires de bicoid. — Le drapeau français tracé par une exponentielle. Des seuils sur un seul gradient partagent l’œuf en régions ; une source plus forte recule toutes les frontières de la même distance, ce que montrent les embryons de mères portant des copies supplémentaires de *bicoid*.

Faits expérimentaux. Nüsslein-Volhard et Wieschaus (1980) donnèrent un mutagène à des mouches, croisèrent leurs descendants jusqu’à l’homozygotie, et examinèrent au microscope les cuticules de quelque $27\,000$ larves mortes en quête d’un motif manquant ou répété : environ cent vingt gènes, triés par leurs phénotypes en classes gap, règle de parité et polarité segmentaire — une hiérarchie visible avant qu’aucune molécule fût connue. Driever et Nüsslein-Volhard (1988) marquèrent des embryons pour la protéine Bicoid et virent le gradient exponentiel depuis le pôle antérieur ; les embryons de mères portant une, deux, quatre ou six copies du gène avaient des gradients de hauteur proportionnée, et le pli céphalique et la frontière de hunchback reculaient avec la dose, comme le modèle à seuil le prédit et à peu près du $\lambda\ln 2$ par doublement qu’il exige. Injecter l’ARNm de bicoid au milieu d’un œuf y produisait une tête. ∎

À gauche : un embryon syncytial marqué pour la protéine Bicoid, le plus brillant au pôle antérieur et s’estompant exponentiellement vers le postérieur. À droite : un embryon, une heure plus tard, marqué pour une protéine de la règle de parité, sept bandes tracées à partir des bandes des gènes gap.

23.2 L’identité : les gènes Hox

Définition 23.3 (Gènes homéotiques et colinéarité)

Une mutation homéotique change une partie du corps en une autre : le mot est de Bateson (1894), pour les anomalies qui « substituent un membre d’une série à un autre ». Chez la mouche, les mutants dominants Antennapedia font pousser des pattes là où devraient être les antennes ; les mutants bithorax (Lewis, 1978) changent le troisième segment thoracique en copie du deuxième, de sorte que les balanciers (haltères) deviennent une seconde paire d’ailes. Les huit gènes responsables, les gènes Hox, sont en deux groupes sur un même chromosome, et Lewis remarqua que leur ordre le long de l’ADN correspond à l’ordre le long du corps des segments qu’ils commandent — la colinéarité, toujours pas pleinement expliquée. Chacun code un facteur de transcription portant le même domaine de liaison à l’ADN de 60 acides aminés, l’homéoboîte (McGinnis, Gehring, 1984), qu’on trouva ensuite chez tous les animaux : souris et humains portent quatre groupes de treize gènes chacun, colinéaires de la même façon, exprimés en domaines emboîtés le long de l’axe du corps, les gènes les plus tardifs du groupe étant les plus postérieurs. L’identité d’une cellule le long de l’axe est donnée par la combinaison des gènes Hox qu’elle exprime, le code Hox ; les gènes postérieurs dominent les antérieurs (la prévalence postérieure), de sorte que perdre un gène postérieur laisse le segment prendre l’identité de celui d’avant. Les gènes Hox ne bâtissent pas un segment ; ils disent à un segment déjà bâti lequel il est, en allumant les batteries de gènes en aval qui conviennent à une patte, une aile, une côte ou une vertèbre lombaire.

Les groupes Hox d’une mouche et d’une souris. Les gènes sont rangés le long de l’ADN dans l’ordre des régions du corps qu’ils spécifient, chez les deux animaux, et les gènes homologues se reconnaissent à la séquence : le gène Hoxb6 d’une souris est reconnaissablement l’Antennapedia de la mouche. — Les groupes Hox d’une mouche et d’une souris. Les gènes sont rangés le long de l’ADN dans l’ordre des régions du corps qu’ils spécifient, chez les deux animaux, et les gènes homologues se reconnaissent à la séquence : le gène *Hoxb6* d’une souris est reconnaissablement l’*Antennapedia* de la mouche.

Faits expérimentaux. Lewis (1978) cartographia le complexe bithorax comme une série de mutations transformant chacune un segment en celui d’avant, rangées sur le chromosome dans l’ordre du corps, et proposa que les gènes fussent activés séquentiellement le long de l’axe. McGinnis et ses collègues (1984) trouvèrent l’homéoboîte par hybridation croisée entre Antennapedia et Ultrabithorax, puis chez la grenouille et la souris. L’équivalence fonctionnelle fut montrée directement : un gène Hoxb6 de souris exprimé chez une mouche produit le phénotype Antennapedia, des pattes à la place des antennes (années 1990) ; une souris dépourvue de Hoxc8 a une côte de plus sur sa première vertèbre lombaire, le segment ayant pris l’identité de celui d’avant ; et modifier les frontières d’expression des Hox chez le poulet et la souris déplace l’endroit où se forment les membres antérieurs, la longueur du cou d’un cygne s’accordant à un recul de la même frontière. ∎

À gauche : la tête d’une mouche mutante Antennapedia, une paire de pattes là où devraient être les antennes — le segment bâti correctement et informé de la mauvaise identité. À droite : le squelette d’un embryon de souris, cartilage en bleu et os en rouge, les vertèbres le long desquelles se lit le code Hox. — À gauche : la tête d’une mouche mutante *Antennapedia*, une paire de pattes là où devraient être les antennes — le segment bâti correctement et informé de la mauvaise identité. À droite : le squelette d’un embryon de souris, cartilage en bleu et os en rouge, les vertèbres le long desquelles se lit le code Hox.

23.3 Bâtir un vertébré

Définition 23.4 (Organisateurs et centres de signalisation)

Les embryons de vertébrés sont cellulaires dès le départ, de sorte que leurs gradients sont faits de protéines sécrétées plutôt que de la diffusion d’un syncytium, et les mêmes quelques familles font tout : Wnt, Hedgehog, BMP et d’autres parents du TGF- $\beta$ , FGF, Notch et l’acide rétinoïque. Spemann et Mangold (1924) greffèrent un morceau de la lèvre dorsale d’une gastrula de triton sur le ventre d’une autre et obtinrent un second embryon, de la tête à la queue, fait surtout de cellules de l’hôte : le greffon était un organisateur, qui induisait ses voisines à former un système nerveux et un axe, et ses molécules se révélèrent soixante-dix ans plus tard être des antagonistes sécrétés (Chordine, Noggine) qui bloquent BMP, dont l’absence laisse l’ectoderme devenir neural — l’état par défaut. Le tube neural est ensuite structuré du dos au ventre par sonic hedgehog venu de la notochorde et de la plaque du plancher (concentration élevée : motoneurones ; basse : interneurones) contre BMP venu du toit ; et le bourgeon de membre par deux centres, la zone d’activité polarisante de sa marge postérieure qui sécrète Shh (dont la greffe sur la marge antérieure donne une duplication en miroir des doigts, six doigts se rejoignant pouce contre pouce) et la crête ectodermique apicale de sa pointe qui sécrète des FGF qui tiennent en division les cellules du dessous et spécifient la suite proximale-distale humérus, avant-bras, main. La greffe, l’ablation et les billes imbibées de protéine restent les outils ; la logique — une source locale, un gradient, des seuils, un code de facteurs de transcription — est celle de la mouche.

Les deux centres de signalisation du bourgeon de membre. Le sonic hedgehog de la marge postérieure dit aux cellules quel doigt devenir ; le FGF de la pointe leur dit à quelle distance elles sont le long du membre. Les greffes qui déplacent un centre déplacent le motif avec lui.

Proposition 23.5 (Un motif spontané : le mécanisme de Turing)

Tout motif n’est pas lu dans un gradient préexistant. Turing (1952) montra que deux substances qui diffusent et réagissent — un activateur qui stimule sa propre production et celle d’un inhibiteur, et un inhibiteur qui étouffe l’activateur et diffuse bien plus vite — peuvent transformer spontanément un champ uniforme en un réseau régulier de pics : un petit excès local d’activateur croît par auto-renforcement tandis que l’inhibiteur qu’il produit se répand et empêche de nouveaux pics de se former à proximité, de sorte que les pics apparaissent à un espacement fixé par la portée de l’inhibiteur, $\lambda \sim \sqrt{D_{\text{inh}}/k_{\text{inh}}}$ , et non par une coordonnée externe. Le mécanisme, dont la partie mathématique est admise ici, est la meilleure explication des taches et des rayures des pelages, de l’espacement des follicules pileux et des bourgeons de plumes, des crêtes du palais, des doigts de la main (dont le nombre monte quand on raccourcit la longueur d’onde du motif en abaissant l’activité des Hox), et des rayures du poisson-zèbre, où les cellules qui interagissent — des cellules pigmentaires qui repoussent les voisines d’une sorte et attirent à distance celles d’une autre — ont été identifiées et leurs rayures refaites après ablation au laser exactement comme la théorie le prédit.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

23.4 L’évolution des formes

Définition 23.6 (L’évo-dévo)

Les gènes qui bâtissent les animaux forment une boîte à outils ancienne et partagée : quelques centaines de facteurs de transcription et de voies de signalisation présents chez l’ancêtre commun de tous les animaux, et la diversité animale vient surtout de changements dans quand, où et combien ils sont exprimés plutôt que dans ce qu’ils codent. L’homologie profonde : le gène Pax6 dirige la formation de l’œil chez la mouche, le calmar et la souris, dont les yeux ne sont pas homologues en tant qu’organes — un Pax6 de souris exprimé sur la patte d’une mouche y fait un œil de mouche ectopique (Halder, Gehring, 1995). L’évolution cis-régulatrice : la perte des épines pelviennes chez les épinoches d’eau douce est la délétion d’un seul activateur du gène Pitx1, la protéine restant intacte et servant toujours ailleurs ; la perte des taches alaires chez certaines drosophiles, un changement dans un activateur de yellow ; la perte des pattes chez les serpents, un activateur brisé de sonic hedgehog dans le membre. Les décalages Hox : la frontière d’expression de Hoxc6 marque la première vertèbre thoracique chez la souris, le poulet, l’oie et le serpent pareillement, à la vertèbre 7, 14, 23 et 3 ; la perte des pattes abdominales chez les insectes fut l’acquisition par la protéine Hox Ubx d’un domaine répresseur qui éteint le gène des pattes Distal-less, là où chez les crustacés il ne le fait pas. L’hétérochronie, un changement dans le tempo d’un programme de développement, a fait de l’axolotl une larve permanente et du visage humain celui d’un singe juvénile. La vieille question de l’apparition des formes nouvelles devient une question d’ADN régulateur : l’essentiel du génome qui compte pour la forme n’est pas gène mais interrupteur.

Exemple 23.7 (Quatre ailes)

Les ancêtres des mouches avaient quatre ailes, comme en ont encore libellules et abeilles ; les mouches en ont deux, la paire postérieure réduite aux balanciers. Chez les mouches, Ultrabithorax est exprimé dans le troisième segment thoracique et y réprime le programme de l’aile — une centaine de gènes cibles, un haltère étant une aile dont ces gènes sont éteints. La mouche triple mutante de Lewis, privée de la fonction d’Ubx dans le troisième segment, fait pousser une seconde paire d’ailes : non pas une structure nouvelle, mais la libération d’une ancienne. Chez les papillons Ubx est exprimé aussi dans l’aile postérieure, et il n’y supprime pas l’aile mais en change le motif : la même protéine, un autre jeu de cibles. Quatre cents millions d’années d’évolution des diptères ont tenu à la décision d’un seul gène dans un seul segment, et une seule mutation la défait en une génération — ce qui explique pourquoi l’histoire des formes se lit dans les gènes qui les bâtissent.

Remarque 23.8 (La géométrie tirée de la chimie)

Un embryon n’a ni plan ni géomètre. Il a quelques gradients faits de diffusion et de dégradation, des cellules qui les lisent face à des seuils et allument des facteurs de transcription, et un code de ces facteurs qui dit à chaque région ce qu’elle doit devenir ; il a des organisateurs locaux qui induisent leurs voisines, et des réactions qui se structurent d’elles-mêmes. La mathématique est celle de la cinétique du premier ordre et de la diffusion — une exponentielle, une racine carrée, un seuil — et elle explique non seulement où se place la tête d’une mouche, mais pourquoi doubler un gène décale une frontière d’une distance fixe, pourquoi six doigts apparaissent quand un signal est dupliqué, et pourquoi un serpent a trois cents côtes. L’évolution retouche les interrupteurs, non la machine : la boîte à outils d’une éponge et celle d’un humain sont presque la même, et ce qui diffère est le câblage.

23.5 Exercices

Exercice 23.1 ★

Nommer les quatre étages de la hiérarchie de segmentation de la mouche, un gène de chacun, et le phénotype mutant qui l’a placé dans sa classe.

Solution

Solution de Exercice 23.1.

Effet maternel : bicoid, les embryons de mères mutantes n’ont ni tête ni thorax. Gap : Krüppel, un bloc contigu de segments manquant. Règle de parité : fushi tarazu (ou even-skipped), un segment sur deux manquant. Polarité segmentaire : hedgehog (ou engrailed), une partie de chaque segment remplacée par l’image en miroir du reste.

Exercice 23.2 ★

Qu’est-ce qu’un gène à effet maternel ? Une femelle homozygote pour une mutation nulle de bicoid est croisée avec un mâle sauvage : décrire ses embryons et expliquer pourquoi leur propre génotype ne les sauve pas.

Solution

Solution de Exercice 23.2.

Un gène dont le produit est déposé dans l’œuf par la mère, de sorte que le phénotype de l’embryon suit le génotype de celle-ci. Ses embryons n’ont ni tête ni thorax et portent des structures postérieures aux deux bouts ; ils meurent. L’allèle sauvage paternel est dans le zygote, mais l’ARNm de bicoid est fabriqué pendant l’ovogenèse par les cellules nourricières de la mère et ancré au pôle avant la fécondation ; la copie du zygote ne serait transcrite que des heures plus tard, une fois passé le temps du gradient.

Exercice 23.3 ★

Énoncer la colinéarité et la prévalence postérieure. Prévoir le phénotype d’une souris dépourvue de Hoxc8 et d’une mouche qui exprime Antennapedia dans sa tête.

Solution

Solution de Exercice 23.3.

Colinéarité : l’ordre des gènes Hox le long du chromosome correspond à l’ordre de leurs domaines d’expression le long du corps. Prévalence postérieure : là où plusieurs sont exprimés, le plus postérieur fixe l’identité. Une souris dépourvue de Hoxc8 montre une transformation antérieure — sa première vertèbre lombaire prend l’identité d’une thoracique et porte une côte. Antennapedia dans la tête change les antennes en pattes, l’identité du deuxième segment thoracique.

Exercice 23.4 ★

Qu’a montré la greffe de Spemann et Mangold, et quelles se sont révélées être les molécules de l’organisateur ? Pourquoi le destin neural est-il dit « par défaut » ?

Solution

Solution de Exercice 23.4.

Une lèvre dorsale greffée a induit un second axe complet fait surtout de cellules de l’hôte : le greffon instruisait ses voisines — un organisateur. Ses molécules sont des antagonistes sécrétés de BMP (Chordine, Noggine, Follistatine). L’ectoderme devient neural quand la signalisation BMP est absente et épiderme quand BMP est présent, de sorte que le neural est ce que fait l’ectoderme quand on ne lui dit rien : l’organisateur agit en faisant taire une instruction.

Exercice 23.5 ★★

Bicoid : $D = 4\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , demi-vie $35\,\mathrm{min}$ . Calculer $k$ , $\lambda$ , et le rapport des concentrations au pôle antérieur et au milieu de l’œuf ( $250\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

Solution

Solution de Exercice 23.5.

$k = \ln 2/(35\times 60) = 3.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda = \sqrt{4/ 3.3\times 10^{-4}} = 110\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; rapport $\mathrm{e}^{250/110} = \mathrm{e}^{2.27} = 9.7$ .

Exercice 23.6 ★★

Avec $\lambda = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , une frontière se place à $240\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Où se place-t-elle si la mère porte quatre copies de bicoid au lieu de deux ? Une copie ? Exprimer les décalages en fraction d’un œuf de $500\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 23.6.

Quatre copies doublent $c_{0}$ : la frontière recule de $\lambda\ln 2 = 69\,\text{µ}\mathrm{m}$ jusqu’à $309\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; une copie le divise par deux : elle avance de $69\,\text{µ}\mathrm{m}$ jusqu’à $171\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Chaque décalage fait $14\,\%$ de la longueur de l’œuf — plus que ce qu’on observe, ce qui est déjà un indice de mécanismes qui amortissent la dépendance à la dose.

Exercice 23.7 ★★

Les noyaux du blastoderme sont distants de $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Pour placer une frontière à un noyau près avec $\lambda = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , avec quelle précision un noyau doit-il lire la concentration de Bicoid ? Si le noyau compte des molécules pendant un temps $\tau$ et que le compte suit une loi de Poisson, combien doit-il en compter ?

Solution

Solution de Exercice 23.7.

$\delta x = \lambda\,\delta c/c$ : pour $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\delta c/c = 8/100 = 8\,\%$ . Un comptage de Poisson $N$ a une erreur relative $1/\sqrt{N}$ , donc il faut compter $N = 1/0.08^{2} \approx 160$ molécules — quelques pour cent des molécules présentes dans un noyau, ou un comptage unique intégré dans le temps.

Exercice 23.8 ★★

Le gradient approche son état stationnaire à l’échelle de temps $1/k$ . Avec une demi-vie de $35\,\mathrm{min}$ , quelle fraction de la concentration stationnaire est atteinte à $60\,\mathrm{min}$ , $90\,\mathrm{min}$ et $120\,\mathrm{min}$ ? Qu’en déduire pour un embryon qui doit lire le gradient avant $150\,\mathrm{min}$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.8.

$k = \ln 2/35 = 0.0198\,\mathrm{min}^{-1}$ : $1 - \mathrm{e}^{-kt}$ donne $0.70$ à $60\,\mathrm{min}$ , $0.83$ à $90\,\mathrm{min}$ , $0.91$ à $120\,\mathrm{min}$ , $0.95$ à $150\,\mathrm{min}$ . Le gradient monte encore de plusieurs pour cent pendant qu’on le lit, ce qui décalerait une frontière de $\lambda\ln(1/0.9) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , environ un noyau, sur la fenêtre de lecture : l’embryon doit soit lire à un instant fixe, soit employer une lecture insensible au niveau d’ensemble.

Exercice 23.9 ★★

Une ZAP est greffée sur la marge antérieure d’un bourgeon de membre de poulet. Prévoir le motif des doigts, et le motif si l’on y implante à la place une bille libérant une faible dose de Shh.

Solution

Solution de Exercice 23.9.

Une seconde ZAP donne une duplication en miroir, 4-3-2-2-3-4 : les cellules antérieures voient maintenant beaucoup de Shh et deviennent des doigts postérieurs. Une bille qui libère peu de Shh donne une duplication partielle — un doigt 2 antérieur en plus, soit 2-2-3-4 — parce que les cellules antérieures ne voient que la faible concentration qui spécifie le doigt 2.

Exercice 23.10 ★★★

Un morphogène est fabriqué dans tout un tissu de longueur $L$ au débit $s$ par unité de volume, dégradé au taux $k$ , et détruit à la frontière $x = L$ (un puits absorbant), sans flux en $x = 0$ . Résoudre $Dc'' - kc + s = 0$ pour $c(x)$ et en tracer l’allure. En quoi la forme de ce gradient diffère-t-elle du cas de la source à une extrémité, et qu’arrive-t-il quand $L \ll \lambda$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.10.

Solution particulière $s/k$ ; solutions homogènes $\cosh(x/\lambda)$ , $\sinh(x/\lambda)$ ; l’absence de flux en $0$ élimine le $\sinh$ ; $c(L) = 0$ fixe l’amplitude : $c(x) = (s/k)\bigl[1 - \cosh(x/\lambda)/\cosh(L/\lambda)\bigr]$ . Le profil est un plateau près de $x = 0$ qui tombe à zéro dans une couche limite de largeur $\lambda$ au puits — non pas une exponentielle issue d’un point, mais un champ plat avec un bord ; la concentration la plus haute est la plus éloignée du puits. Pour $L \ll \lambda$ , $\cosh u \approx 1 + u^{2}/2$ et $c \approx s(L^{2} - x^{2})/(2D)$ : une parabole indépendante de $k$ , puisque les molécules atteignent le puits avant de pouvoir se dégrader.

Exercice 23.11 ★★★

Deux seuils en $T_{1} = 0.3c_{0}$ et $T_{2} = 0.08c_{0}$ divisent un gradient en trois régions. Montrer que les largeurs des deux premières régions ne dépendent pas de $c_{0}$ , et expliquer pourquoi un embryon dont la longueur varie d’un individu à l’autre ( $450\,$ à $550\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) a besoin de plus qu’une simple exponentielle pour mettre son motif à l’échelle. Proposer un mécanisme.

Solution

Solution de Exercice 23.11.

$x_{1} = \lambda\ln(1/0.3) = 1.20\lambda$ et $x_{2} = \lambda\ln(1/0.08) = 2.53\lambda$ : la première région fait $1.20\lambda$ de large, la seconde $1.32\lambda$ , toutes deux indépendantes de $c_{0}$ , qui ne fait que les décaler ensemble. La troisième région, $L - 2.53\lambda$ , absorbe toute la variation de longueur de l’œuf : dans un œuf de $450\,\text{µ}\mathrm{m}$ avec $\lambda = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ l’abdomen fait $197\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dans un œuf de $550\,\text{µ}\mathrm{m}$ $297\,\text{µ}\mathrm{m}$ — le motif n’est pas mis à l’échelle. Mécanismes : un second gradient venu du pôle postérieur (Nanos, Caudal, ou le système terminal) lu de concert avec Bicoid, de sorte que les positions soient fixées par le rapport ; ou une molécule « extenseur » faite là où le morphogène est faible et qui allonge $\lambda$ jusqu’à ce que le gradient remplisse l’œuf.

Exercice 23.12 ★★★

Les épinoches ont perdu leurs épines pelviennes en supprimant un activateur de Pitx1, les serpents ont perdu leurs membres en brisant un activateur de sonic hedgehog. Expliquer pourquoi les changements régulateurs plutôt que codants sont la route habituelle vers une structure perdue ou modifiée, en termes de pléiotropie et de ce que la même protéine fait ailleurs.

Solution

Solution de Exercice 23.12.

Un changement codant altère la protéine partout où elle agit : Pitx1 bâtit aussi l’hypophyse et la mâchoire, sonic hedgehog structure aussi le tube neural, l’intestin et les dents, de sorte qu’une protéine brisée est létale ou pléiotropiquement invalidante. Un activateur commande l’expression dans un tissu à un moment ; le supprimer retire la structure que ce tissu aurait bâtie et laisse intacts tous les autres usages de la protéine. Les activateurs sont modulaires et souvent partiellement redondants, de sorte que les étapes intermédiaires sont viables, et la même route — un interrupteur perdu — a été prise indépendamment dans de nombreux lacs à épinoches.

23.6 Problème : le drapeau français

Problème 23.1

Problème du week-end — le système de coordonnées d’un œuf calculé par la cinétique du premier ordre : la longueur du gradient de Bicoid, sa source et son temps de formation, les frontières qu’il trace et leur précision, ce que la dose génique et la taille de l’œuf leur font, et le code Hox lu en aval, pour finir sur la longueur de décroissance, le décalage par doublement et la précision de position

Données : longueur de l’œuf $500\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; Bicoid $D = 4\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , demi-vie $35\,\mathrm{min}$ ; flux de la source tel que $c_{0} = 50\,\mathrm{nM}$ avec deux copies maternelles ; espacement des noyaux $8.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ au cycle 14 ; seuils $T_{1} = 0.3\,c_{0}$ (tête/thorax) et $T_{2} = 0.08\,c_{0}$ (frontière de hunchback) pour le cas à deux copies. Bruit de lecture $\delta c/c = 0.1$ pour un noyau isolé. Nombre d’Avogadro $6 \times 10^{23}\,$ ; un noyau est une sphère de rayon $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Partie I — Le gradient.

Calculer $k$ d’après la demi-vie, en $\mathrm{s}^{-1}$ , et la durée de vie $1/k$ en minutes.
Calculer $\lambda = \sqrt{D/k}$ en micromètres. Combien de longueurs de décroissance fait l’œuf ?
De quel facteur la concentration tombe-t-elle d’un pôle à l’autre ? De quel facteur sur un espacement nucléaire au milieu de l’œuf ?
Calculer le flux de la source $J = c_{0}\sqrt{Dk}$ en $\mathrm{nM}\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ , et le nombre de molécules qui entrent par seconde dans un carré de $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ du pôle antérieur.
Nombre de molécules de Bicoid dans un noyau au pôle ( $c_{0}$ ) et au milieu de l’œuf.
Fraction de l’état stationnaire atteinte à $60\,\mathrm{min}$ et $120\,\mathrm{min}$ ( $1 - \mathrm{e}^{-kt}$ ). Le gradient est-il stationnaire quand les frontières sont tracées, vers $120\,\mathrm{min}$ ?

Partie II — Les frontières.

Positions des deux frontières, en $\text{µ}\mathrm{m}$ et en fraction de la longueur de l’œuf.
La mère a quatre copies : nouveau $c_{0}$ , et les deux positions de frontière. De combien chacune s’est-elle déplacée ? Et avec six copies ?
Une copie : positions. Quelles régions ont grandi, lesquelles ont rétréci ?
Erreur de position pour un bruit de lecture de $10\,\%$ , en micromètres et en espacements nucléaires.
Si l’erreur doit valoir un noyau, quelle précision de lecture faut-il ? Si le noyau moyenne $n$ lectures indépendantes et que le bruit baisse comme $1/\sqrt{n}$ , combien de lectures ?
Un noyau situé à la frontière de hunchback contient le nombre calculé à la question 5. Quel est le bruit de Poisson $1/\sqrt{N}$ d’un comptage instantané unique ? Comparer aux $10\,\%$ et commenter.

Partie III — Mise à l’échelle et robustesse.

Les œufs vont de $450\,$ à $550\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Si $\lambda$ et $c_{0}$ sont fixés, où tombe la frontière de hunchback en fraction de la longueur de l’œuf dans chaque cas ? Le motif est-il mis à l’échelle ?
Supposons plutôt que $D$ varie comme $L^{2}$ (même durée de vie, mais une source dont l’étalement croît avec l’œuf). Montrer que $\lambda/L$ est alors constant et que le motif est mis à l’échelle. Est-ce plausible ?
Le gène hunchback répond à Bicoid avec un coefficient de Hill de $5$ : son expression vaut $c^{5}/(c^{5} + T^{5})$ . Sur combien de micromètres l’expression passe-t-elle de $10\,\%$ à $90\,\%$ autour de la frontière ? Comparer à un espacement nucléaire.
Expliquer pourquoi une réponse raide affine une frontière mais ne réduit pas à elle seule l’erreur de position due au bruit de concentration.
La répression mutuelle entre gènes gap affine et stabilise leurs frontières. Argumenter en une phrase pourquoi deux gènes qui se répriment l’un l’autre ne peuvent être allumés tous deux dans le même noyau à l’état stationnaire.
La température élève $D$ de $2\,\%$ et $k$ de $6\,\%$ par degré. Variation de $\lambda$ par degré, et décalage de la frontière pour une pièce plus chaude de $5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Pourquoi les embryons auraient-ils besoin d’un mécanisme compensateur ?

Partie IV — L’identité.

Le code Hox : avec huit gènes Hox de mouche chacun allumé ou éteint, combien de codes sont possibles ? Combien sont employés (quatorze segments) ? Pourquoi la prévalence postérieure réduit-elle le nombre utile ?
Une mouche est privée d’Ubx dans son troisième segment thoracique. Que devient le segment, et pourquoi le résultat est-il quatre ailes et non une structure nouvelle ?
La frontière de Hoxc6 d’une souris est à la vertèbre 7, celle d’une oie à la 23. Que cela prédit-il de leurs cous, et qu’est-ce qui a changé au cours de l’évolution : le gène, ou son expression ?
Une greffe de ZAP donne les doigts 4-3-2-2-3-4. Expliquer le motif à partir de deux gradients de Shh qui se rencontrent au milieu.
Halder et Gehring ont exprimé le Pax6 de souris dans une patte de mouche et y ont obtenu un œil de mouche. Qu’est-ce que cela montre du gène, et qu’est-ce que cela ne montre pas des yeux des mouches et des souris ?
Le sixième doigt : raccourcir la longueur d’onde de Turing ajoute un doigt. Avec cinq doigts en travers d’une plaque de main de $2\,\mathrm{mm}$ , quel changement de longueur d’onde en donne six ? Quel paramètre du système de réaction–diffusion le produirait ?
Résumer : $\lambda$ (question 2), le décalage de frontière par doublement de la source (question 8), et l’erreur de position due à un bruit de $10\,\%$ (question 10).

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. $k = \ln 2/(35\times 60) = 3.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $1/k = 3030\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ . 2. $\lambda = \sqrt{4/3.3\times 10^{-4}} = 110\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; l’œuf fait $4.5\lambda$ . 3. $\mathrm{e}^{4.5} \approx 90$ d’un pôle à l’autre ; $\mathrm{e}^{8.5/110} = 1.08$ , soit $8\,\%$ de changement par noyau. 4. $J = 50\times\sqrt{4\times 3.3\times 10^{-4}} = 50\times 0.036 = 1.8\,\mathrm{nM}\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Un nM fait $0.6$ molécule par $\text{µ}\mathrm{m}^{3}$ , donc environ $1.1$ molécule par $\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ et par seconde. 5. Volume nucléaire $\tfrac{4}{3}\pi\times 27 = 113\,\text{µ}\mathrm{m}^{3}$ . À $50\,\mathrm{nM}$ , $30$ molécules par $\text{µ}\mathrm{m}^{3}$ : $3400$ molécules. Au milieu de l’œuf $c = 50\,\mathrm{e}^{-2.27} = 5.2\,\mathrm{nM}$ : environ $350$ molécules. 6. $kt = 1.19$ à $60\,\mathrm{min}$ : $0.70$ ; $kt = 2.38$ à $120\,\mathrm{min}$ : $0.91$ . Le gradient est à $10\,\%$ de l’état stationnaire quand il est lu — il monte encore d’une quantité qui déplacerait une frontière de $\lambda\ln(1/0.91) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , un noyau. 7. $x_{1} = 110\ln(1/0.3) = 132\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $26\,\%$ ) ; $x_{2} = 110\ln(1/0.08) = 278\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $56\,\%$ ). 8. Quatre copies : $c_{0} = 100\,\mathrm{nM}$ ; les deux frontières reculent de $\lambda\ln 2 = 76\,\text{µ}\mathrm{m}$ , à $208$ et $354\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Six copies : $\lambda\ln 3 = 121\,\text{µ}\mathrm{m}$ , à $253$ et $399\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 9. Une copie : elles avancent de $76\,\text{µ}\mathrm{m}$ , à $56$ et $202\,\text{µ}\mathrm{m}$ . La région de la tête a rétréci de $132$ à $56\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; le thorax a gardé sa largeur ( $146\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) et s’est déplacé vers l’avant ; l’abdomen est passé de $222$ à $298\,\text{µ}\mathrm{m}$ . 10. $\delta x = 110\times 0.1 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , soit $1.3$ espacement nucléaire. 11. Un noyau : $\delta c/c = 8.5/110 = 7.7\,\%$ . À partir de $10\,\%$ , $n = (10/7.7)^{2} \approx 1.7$ : deux lectures indépendantes (ou la moyenne de deux noyaux voisins) suffisent. 12. $1/\sqrt{350} = 5.3\,\%$ : un comptage instantané unique est déjà plus précis que les $10\,\%$ supposés, de sorte que le bruit observé n’est pas seulement un bruit de comptage mais vient de la cinétique de liaison et de la machinerie de lecture — et moyenner dans le temps fait encore mieux. 13. $278/450 = 62\,\%$ et $278/550 = 51\,\%$ de la longueur de l’œuf : un écart de $11\,\%$ , six noyaux. Le motif n’est pas mis à l’échelle avec un $\lambda$ fixe. 14. Si $D \propto L^{2}$ à $k$ fixé, $\lambda \propto L$ et $x_{T}/L = (\lambda/L)\ln(c_{0}/T)$ est le même dans tout œuf : mise à l’échelle parfaite. Mais $D$ est une propriété de la molécule et du cytoplasme, non de la taille de l’œuf, de sorte que cela est invraisemblable tel quel ; la mise à l’échelle des vrais embryons est partielle et vient d’autres lectures. 15. $c^{5}/(c^{5} + T^{5}) = 0.1$ pour $c/T = 9^{-1/5} = 0.64$ et $0.9$ pour $c/T = 9^{1/5} = 1.55$ : un facteur $2.4$ en concentration, $\Delta x = 110\ln 2.4 = 97\,\text{µ}\mathrm{m}$ — onze noyaux, bien plus large que la frontière observée de deux ou trois ; la seule lecture du gradient n’est pas assez nette. 16. La raideur convertit une concentration donnée en allumé ou éteint de façon plus tranchée, de sorte que la région de transition est plus étroite ; mais une erreur de $10\,\%$ sur la concentration déplace toujours de $\lambda\,\delta c/c$ le point où le seuil est franchi : la réponse peut être une marche parfaite et la marche tomber quand même au mauvais endroit. 17. Si les deux étaient allumés, chacun réprimerait l’autre, de sorte qu’au moins l’un serait éteint ; avec une répression coopérative les seuls états stables sont l’un allumé et l’autre éteint, et une frontière entre eux est un interrupteur, non une pente. 18. $\mathrm{d}\ln\lambda = \tfrac{1}{2}(0.02 - 0.06) = -0.02$ par degré : $\lambda$ baisse de $2\,\%$ par degré, $10\,\%$ pour $5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , jusqu’à $99\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; la frontière de hunchback passe de $278$ à $250\,\text{µ}\mathrm{m}$ , trois noyaux vers l’avant. Les mouches se développent entre $18\,$ et $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ avec des proportions normales, donc quelque chose compense — une source ou une lecture qui se décale en sens inverse avec la température. 19. $2^{8} = 256$ codes ; quatorze employés. Avec la prévalence postérieure seul compte le gène allumé le plus postérieur, donc au plus neuf identités distinctes (huit gènes, ou aucun) : le code est un classement, non un mot binaire. 20. Le troisième segment thoracique devient un second : Ubx réprimait le programme de l’aile qu’un segment thoracique exécute par défaut, et retirer le répresseur libère l’état ancestral — quatre ailes, comme chez les ancêtres à quatre ailes de la mouche. 21. La région cervicale de l’oie va jusqu’à la vertèbre 22 : un long cou de nombreuses vertèbres, contre sept chez la souris. Le gène est le même ; la limite antérieure de son expression a reculé — un changement régulateur du lieu d’allumage d’un gène Hox. 22. Chaque marge est maintenant une source ; Shh est le plus élevé aux deux bords (doigt 4), tombe vers le centre (3, puis 2), et n’atteint jamais le faible niveau qui spécifie le doigt 1, de sorte que le milieu tient deux doigts 2 dos à dos : 4-3-2-2-3-4. 23. Pax6 est un régulateur maître conservé qui peut déclencher n’importe quel programme d’œil que porte l’hôte : la mouche a bâti un œil de mouche, donc le gène de souris ne porte aucune information d’œil de souris, seulement l’ordre « bâtis un œil ici ». Cela montre l’homologie profonde du réseau de gènes, non l’homologie des organes : l’œil composé et l’œil à chambre sont apparus séparément à partir d’un ancêtre qui avait une plage de photorécepteurs à Pax6. 24. Cinq doigts en travers de $2\,\mathrm{mm}$ font une longueur d’onde de $0.4\,\mathrm{mm}$ ; six en demandent $0.33\,\mathrm{mm}$ , un raccourcissement d’un sixième. Puisque $\lambda \propto \sqrt{D_{\text{inh}}/k_{\text{inh}}}$ , il faut élever la dégradation de l’inhibiteur de $44\,\%$ ou abaisser sa diffusion de $31\,\%$ ; dans la plaque de la main, réduire la dose des gènes Hox postérieurs y parvient, et les souris mutantes ont six, sept doigts fins ou davantage. 25. $\lambda \approx 110\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un doublement de la source décale chaque frontière de $76\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un bruit de $10\,\%$ sur la concentration fait $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ , environ un noyau, d’erreur de position.

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