书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Aard- en ruimtewetenschappen bovenbouw · 10–12 年级

1De Aarde opmeten

Ga op het strand staan en kijk hoe een schip naar open zee vaart. Het wordt niet gewoon kleiner tot je het niet meer ziet: eerst verdwijnt de romp, alsof het schip zinkt, dan het onderste deel van de bovenbouw, en de top van de mast gaat als laatste. De zee tussen jou en het schip is niet vlak; ze welft. Meer dan tweeëntwintig eeuwen geleden maakte een geleerde uit Alexandrië van een vergelijkbare waarneming — de lengte van een schaduw op het middaguur — een meting van de omvang van de hele planeet. Dit hoofdstuk volgt die meting en de metingen die erop volgden: de ketens van driehoeken die landmeters over hele landen spanden, de expedities naar het noordpoolgebied en naar de evenaar om uit te zoeken of de Aarde afgeplat is, de geboorte van de meter, en de satellieten waarmee de planeet vandaag wordt opgemeten.

De Aarde, gefotografeerd door de bemanning van Apollo 17 op weg naar de Maan, in december 1972: Afrika, Arabië en het ijs van Antarctica. Foto: NASA (publiek domein).

Wat je al weet

Een plaats op Aarde wordt vastgelegd door haar breedte, haar hoek ten noorden of ten zuiden van de evenaar, en haar lengte, haar hoek ten oosten of ten westen van een nulmeridiaan; meridianen verbinden de polen, breedtecirkels lopen evenwijdig aan de evenaar rond de Aarde (Boek 1). In een homogeen medium plant licht zich rechtlijnig voort, en de stralen die de Aarde bereiken van de zeer verre Zon zijn evenwijdig (de natuurkundeboeken). In een rechthoekige driehoek is de sinus van een scherpe hoek de overstaande rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, de cosinus de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, en de tangens de overstaande gedeeld door de aanliggende rechthoekszijde (de wiskundeboeken).

1.1 Een ronde Aarde

Lang voordat iemand de Aarde vanuit de ruimte kon bekijken, lieten al verschillende waarnemingen zien dat ze rond is.

Schepen achter de horizon. Een schip dat wegvaart, verdwijnt van onderen naar boven, in elke richting en op elke zee: het zeeoppervlak is overal gekromd.
De schaduw op de Maan. Bij een maansverduistering valt de schaduw van de Aarde op de Maan. De rand ervan is altijd een cirkelboog, hoe laat het in de nacht ook is; alleen een bol werpt in elke richting een ronde schaduw.
De sterren veranderen met de breedte. Wie naar het noorden reist, ziet de Poolster hoger boven de horizon klimmen, en sterren van de zuidelijke hemel verdwijnen eronder: de horizon van de reiziger kantelt doordat hij zich over een gekromd oppervlak verplaatst.
Reizen om de wereld en het zicht vanuit de ruimte. Schepen, en later vliegtuigen, zijn in alle richtingen rond de wereld gereisd; sinds de jaren 1960 is de hele ronde planeet gefotografeerd.

Waarom een schip van onderen naar boven verdwijnt: de waarnemer ziet alleen wat boven de gezichtslijn ligt die bij de horizon langs de zee scheert. De kromming is sterk overdreven.

1.2 Eratosthenes meet de Aarde

Eratosthenes van Cyrene (276–194 v.Chr.) was de bibliothecaris van Alexandrië. Hij had gehoord dat in Syene, het huidige Aswan, ver stroomopwaarts aan de Nijl, de Zon op de dag van de zomerzonnewende om twaalf uur ’s middags de hele bodem van een put verlichtte: ze stond dan precies in het zenit. In Alexandrië wierp een verticale stok op hetzelfde moment een korte schaduw: de zonnestralen maakten een hoek van ongeveer $7.2{}^{\circ}$ met de verticaal, een vijftigste van een volle cirkel.

De redenering van Eratosthenes. In Syene staat de Zon in het zenit: haar stralen wijzen naar het middelpunt van de Aarde. In Alexandrië maakt een verticale stok, die ook naar het middelpunt wijst, een hoek met de stralen. De hoek in het middelpunt tussen de twee plaatsen is diezelfde . De hoek is overdreven: hij was maar 7.2. — De redenering van Eratosthenes. In Syene staat de Zon in het zenit: haar stralen wijzen naar het middelpunt van de Aarde. In Alexandrië maakt een verticale stok, die ook naar het middelpunt wijst, een hoek $\alpha$ met de stralen. De hoek in het middelpunt tussen de twee plaatsen is diezelfde $\alpha$ . De hoek is overdreven: hij was maar $7.2{}^{\circ}$ .

Propositie 1.1 (De betrekking van Eratosthenes)

Als twee plaatsen op dezelfde meridiaan liggen, op een afstand $d$ van elkaar, en de zonnestralen op het middaguur hoeken met de verticaal maken die $\alpha$ (in graden) verschillen, dan is de omtrek van de Aarde

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

Bewijs. De Zon staat zo ver weg dat haar stralen die de twee plaatsen bereiken evenwijdig zijn. Op elke plaats wijst de verticaal naar het middelpunt van de Aarde. In de figuur zijn de straal die de stok bereikt en de straal van de cirkel door Syene twee evenwijdige lijnen, en de straal door Alexandrië snijdt ze allebei: de hoek $\alpha$ tussen de stok en de zonnestraal en de hoek in het middelpunt tussen de twee stralen van de cirkel zijn Z-hoeken, dus gelijk. De boog $d$ is hetzelfde deel van de hele omtrek als de hoek $\alpha$ van een volle cirkel: $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ . ∎

Methode 1.2 (Een omtrek bepalen uit twee schaduwen)

Kies twee plaatsen op (bijna) dezelfde meridiaan en meet de noord-zuidafstand $d$ ertussen.
Meet op dezelfde dag, om plaatselijk 12 uur ’s middags, op elke plaats de hoek tussen een verticale stok en de zonnestralen: $\tan \theta = s/h$ , met $h$ de hoogte van de stok en $s$ de lengte van zijn schaduw. Kijk nooit naar de Zon zelf: de hoek wordt alleen uit de schaduw afgelezen.
Neem het verschil $\alpha$ van de twee hoeken en pas $C = (360/\alpha)\,d$ toe.

Voorbeeld 1.3 (De getallen van Eratosthenes)

Eratosthenes nam voor de afstand van Alexandrië naar Syene 5000 stadiën, een Griekse lengtemaat. Met $\alpha = 1/50$ van een cirkel geldt

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ stadiën}.

Hoe lang was een stadion? Historici zijn het daar nog altijd niet over eens. Met $157.2\,\mathrm{m}$ is $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ; met $166.7\,\mathrm{m}$ is $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ . De werkelijke meridiaanomtrek is $40\,008\,\mathrm{km}$ : in beide gevallen zat Eratosthenes er maar enkele procenten naast.

Opmerking 1.4 (Wat werd aangenomen)

Eratosthenes nam aan dat de Aarde een bol is, dat de Zon ver genoeg staat om haar stralen evenwijdig te maken, dat Syene precies op de keerkring ligt (waar de Zon in het zenit kan staan) en dat Syene recht ten zuiden van Alexandrië ligt. Dat klopte telkens bijna, maar niet helemaal: Aswan ligt ongeveer $3{}^{\circ}$ lengte ten oosten van Alexandrië. Wat telt, is het noord-zuiddeel van de afstand, het deel langs de meridiaan.

1.3 Triangulatie

Een lange afstand op de grond meten met een meetketting of een meetlat gaat traag, en over rivieren, bossen en bergen heen is het onmogelijk. Hoeken daarentegen kun je heel nauwkeurig meten met een kijker op een verdeelde cirkel, die je om beurten op twee verre seinpunten richt. Vanaf de achttiende eeuw gebruikten landmeters dat om hele landen op te meten.

Definitie 1.5 (Geodesie)

Geodesie is de wetenschap die de vorm en de afmetingen van de Aarde en de ligging van punten op haar oppervlak meet, en volgt hoe die in de loop van de tijd veranderen.

Definitie 1.6 (Triangulatie)

Triangulatie bepaalt de ligging van verre punten met een keten van driehoeken: één zijde, de basislijn, wordt heel zorgvuldig op de grond gemeten; alle hoeken van de driehoeken worden vanuit hun hoekpunten gemeten; elke andere zijde wordt daarna berekend.

De berekening steunt op één betrekking tussen de zijden en de hoeken van een willekeurige driehoek. In een driehoek $ABC$ noemen we $a$ , $b$ , $c$ de zijden tegenover de hoekpunten $A$ , $B$ , $C$ , en ook de hoeken bij die hoekpunten noemen we $A$ , $B$ , $C$ .

Propositie 1.7 (De sinusregel)

In elke driehoek $ABC$ geldt

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Bewijs. Trek de hoogtelijn uit $C$ , die de lijn $AB$ snijdt in $H$ (tweede deel van de figuur hieronder); noem $h = CH$ . In de rechthoekige driehoek $AHC$ is $\sin A = h/b$ , dus $h = b \sin A$ . In de rechthoekige driehoek $BHC$ is $\sin B = h/a$ , dus $h = a \sin B$ . Dus $b \sin A = a \sin B$ , dat wil zeggen $a/\sin A = b/\sin B$ . (Is de hoek bij $B$ stomp, dan valt $H$ voorbij $B$ en is de hoek van de rechthoekige driehoek bij $B$ gelijk aan $180{}^{\circ} - B$ , die dezelfde sinus heeft.) Hetzelfde argument met de hoogtelijn uit $A$ geeft $b/\sin B = c/\sin C$ . ∎

Links: een keten van driehoeken langs een meridiaan, vanaf een gemeten basislijn AB; de boogjes geven twee van de vele hoeken aan die met het instrument zijn gemeten. Rechts: de hoogte h uit C, op twee manieren uitgedrukt, levert de sinusregel. — Links: een keten van driehoeken langs een meridiaan, vanaf een gemeten basislijn $AB$ ; de boogjes geven twee van de vele hoeken aan die met het instrument zijn gemeten. Rechts: de hoogte $h$ uit $C$ , op twee manieren uitgedrukt, levert de sinusregel.

Methode 1.8 (Een triangulatieketen doorrekenen)

In de eerste driehoek $ABC$ worden de basislijn $c = AB$ en de hoeken bij $A$ en $B$ gemeten; de derde hoek is $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (en zijn meting controleert de andere).
De sinusregel geeft de twee andere zijden: $b = AC = c \sin B / \sin C$ en $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
Een berekende zijde wordt de bekende zijde van de volgende driehoek, en zo verder langs de keten.
Ten slotte wordt het noord-zuiddeel van elke zijde berekend met de cosinus van haar hoek met de meridiaan, en worden de delen opgeteld.

Voorbeeld 1.9 (Eén driehoek)

Er wordt een basislijn $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ gemeten; vanuit $A$ wordt het seinpunt $C$ gezien onder $70{}^{\circ}$ met de richting van $B$ , vanuit $B$ onder $60{}^{\circ}$ met de richting van $A$ . Dan is $C = 50{}^{\circ}$ en

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

Behalve de basislijn is er geen enkele afstand te voet afgelegd.

Voorbeeld 1.10 (De meridiaan van de meter)

In maart 1791 werd de meter gedefinieerd als een tienmiljoenste van de afstand van de pool tot de evenaar langs een meridiaan. Om die afstand te vinden, maten twee astronomen, Jean-Baptiste Delambre en Pierre Méchain, met triangulatie de meridiaanboog van Duinkerke, aan de Noordzee, tot Barcelona, aan de Middellandse Zee — bijna zeven jaar werk, Delambre in de noordelijke twee derde, Méchain in het zuidelijke derde. De twee steden verschillen $9.646{}^{\circ}$ in breedte; op de moderne ellipsoïde is de boog tussen hun breedtecirkels $1072.2\,\mathrm{km}$ lang. Uit de lengte van een boog en zijn breedteverschil volgt de lengte van een graad; de vorm van de Aarde geeft dan de hele kwartmeridiaan. In 1799 werden platina standaarden van de nieuwe meter gemaakt en in de nationale archieven bewaard.

Geschiedenis — De herhalingscirkel

De hoeken van de meridiaan van de meter werden gemeten met een herhalingscirkel, een instrument van Jean-Charles de Borda: twee kijkers op een verdeelde cirkel, die vele malen beurtelings op twee seinpunten worden gericht, zodat de afleesfouten van de schaalverdeling worden gedeeld door het aantal herhalingen.

Een herhalingscirkel, opgesteld om horizontale hoeken te meten, zoals gegraveerd in Delambres verslag van de meting (1807). Publiek domein (Wikimedia Commons).

1.4 Een afgeplatte Aarde

Rond 1687 betoogde Isaac Newton op grond van zijn gravitatietheorie dat een draaiende Aarde een bij de polen afgeplatte en bij de evenaar uitpuilende sferoïde moet zijn. Gradenmetingen langs de meridiaan door de astronomen van de sterrenwacht van Parijs leken het tegendeel te zeggen: een Aarde die bij de polen uitgerekt is. De vraag werd beslist door de lengte van één breedtegraad zo ver mogelijk uit elkaar te meten.

Een afgeplatte Aarde, met de afplatting sterk overdreven (de werkelijke is op deze schaal te klein om te zien). De verticaal op een plaats staat loodrecht op het oppervlak; ze wijst niet precies naar het middelpunt. De breedte van de plaats is de hoek tussen haar verticaal en het vlak van de evenaar. — Een afgeplatte Aarde, met de afplatting sterk overdreven (de werkelijke is op deze schaal te klein om te zien). De verticaal op een plaats staat loodrecht op het oppervlak; ze wijst niet precies naar het middelpunt. De breedte $\varphi$ van de plaats is de hoek tussen haar verticaal en het vlak van de evenaar.

De breedte wordt aan de sterren gemeten: het is de hoek tussen de plaatselijke verticaal en het vlak van de evenaar. Op een afgeplatte Aarde is het oppervlak bij de polen minder gekromd dan bij de evenaar. Waar het oppervlak minder gekromd is, moet je er verder over reizen voordat de verticaal één graad draait: een breedtegraad is bij de polen langer.

Geschiedenis — Lapland en Peru

In 1735 stuurde de Academie van Wetenschappen van Parijs een expeditie naar de evenaar, naar de Spaanse provincie Peru (nu Ecuador); ze werkte daar negen jaar, tot 1744. In 1736–1737 mat een tweede expeditie, onder leiding van Pierre-Louis Moreau de Maupertuis en met de jonge wiskundige Alexis Clairaut, een meridiaangraad in Lapland, bij de noordpoolcirkel. De graad in Lapland kwam uit op 57 437 toises (de oude lengtemaat; ongeveer $111.95\,\mathrm{km}$ ), de graad in Peru op maar 56 737 toises: bij de pool is de graad langer, en Newton had gelijk. De twee getallen wezen op een afplatting van ongeveer $1/205$ — te groot, zoals latere metingen lieten zien, maar de vraag naar het teken was beslist.

De lengte van één breedtegraad op de referentie-ellipsoïde van , van de evenaar tot de pool. Berekend met de WGS 84-ellipsoïde. — De lengte van één breedtegraad op de referentie-ellipsoïde van Definitie 1.11, van de evenaar tot de pool. Berekend met de WGS 84-ellipsoïde.

Definitie 1.11 (Referentie-ellipsoïde en afplatting)

Een referentie-ellipsoïde is het oppervlak dat ontstaat door een ellips om haar korte as te laten draaien, zo gekozen dat het zo goed mogelijk bij de vorm van de Aarde past. Haar equatoriale straal is $a$ , haar poolstraal $b$ , en haar afplatting is

f = \frac{a-b}{a}.

Propositie 1.12 (De afmetingen van de Aarde)

De referentie-ellipsoïde die satellietplaatsbepaling gebruikt (WGS 84), heeft

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

De poolstraal is $21.4\,\mathrm{km}$ korter dan de equatoriale straal. De evenaar is $40\,075\,\mathrm{km}$ lang en een meridiaan, van pool tot pool en terug, $40\,008\,\mathrm{km}$ ; de kwartmeridiaan, van de evenaar tot een pool, is $10\,001.966\,\mathrm{km}$ . Eén breedtegraad is $110.574\,\mathrm{km}$ lang bij de evenaar en $111.694\,\mathrm{km}$ bij de polen. Een lengtegraad is op de evenaar $111.32\,\mathrm{km}$ lang en krimpt naar de polen toe ongeveer als $\cos \varphi$ .

Voorbeeld 1.13 (Een lengtegraad)

Een breedtecirkel op breedte $\varphi$ is een cirkel met als straal de afstand tot de as, ongeveer $R \cos \varphi$ . Op $60{}^{\circ}$ NB is zijn omtrek ongeveer de helft van die van de evenaar, en een lengtegraad is ongeveer $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (de ellipsoïde geeft $55.80\,\mathrm{km}$ ).

Opmerking 1.14 (Hoe rond is rond?)

Een afplatting van $1/298$ is klein. Op een globe met een doorsnede van $30\,\mathrm{cm}$ zou de pooldiameter maar $1\,\mathrm{mm}$ korter zijn dan de equatoriale — onzichtbaar. De diepste oceaantrog, bijna $11\,\mathrm{km}$ onder zeeniveau, zou een kras van ongeveer een kwart millimeter diep zijn. Voor de meeste doeleinden is de Aarde een bol met een gemiddelde straal van $6371\,\mathrm{km}$ ; voor nauwkeurige posities is de ellipsoïde nodig.

1.5 Geodesie vandaag

Een landmeter aan het werk met een modern instrument dat hoeken meet en, met een lichtbundel, afstanden; op de heuvel in de verte staat een meetsein.

De grote triangulaties van de achttiende en negentiende eeuw zijn vervangen door satellieten. Een ontvanger op de grond vangt de signalen op van verschillende satellieten waarvan de posities op elk ogenblik bekend zijn, en berekent zijn eigen positie uit de looptijden van de signalen (Boek 1). Netwerken van vaste ontvangers, over de hele wereld in het vaste gesteente verankerd, meten hun posities voortdurend. Ze bepalen het referentiestelsel waarin elke kaart en elke satellietpositie wordt gegeven, en ze bewegen: ze laten zien dat de platen van de lithosfeer enkele centimeters per jaar verschuiven (Hoofdstuk 13).

In het veld — De grond vandaag opmeten

Geodeten verankeren antennes op betonnen pijlers in het vaste gesteente, ver van gebouwen en bomen, en registreren jarenlang om de paar seconden hun positie. Ze combineren dat met metingen van radiotelescopen die zeer verre sterrenstelsels waarnemen, en met laserbundels die op satellieten met spiegels worden afgevuurd. Landmeters op bouwplaatsen en op het platteland meten nog altijd hoeken en afstanden met instrumenten op statieven, en sluiten die aan op het satellietstelsel.

1.6 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

Geef drie waarnemingen, mogelijk zonder van de grond te gaan, die laten zien dat de Aarde rond is. Leg voor elke waarneming in één zin uit waarom een platte Aarde haar niet zou kunnen opleveren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

Een schip verdwijnt met de romp eerst: op een vlakke zee zou het alleen kleiner worden en helemaal zichtbaar blijven. De schaduw van de Aarde op de Maan bij een verduistering is altijd een cirkelboog: een platte schijf zou van opzij gezien een langgerekte schaduw werpen. Wie naar het noorden reist, ziet de Poolster boven de horizon klimmen: op een platte Aarde zou haar hoogte bijna gelijk blijven.

Oefening 1.2 ★

Wat is geodesie? Wat is triangulatie, en welke ene lengte moet bij een triangulatie op de grond worden gemeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

Geodesie meet de vorm en de afmetingen van de Aarde en de ligging van punten erop, en hoe die in de loop van de tijd veranderen. Triangulatie bepaalt de ligging van punten met een keten van driehoeken waarin alle hoeken worden gemeten; maar één lengte, de basislijn, wordt op de grond gemeten.

Oefening 1.3 ★

Eratosthenes vond dat de hoek tussen de zonnestralen en de verticaal in Alexandrië $1/50$ van een volle cirkel was, terwijl de Zon in het zenit stond in Syene, 5000 stadiën verderop. Bereken de omtrek in stadiën en daarna in kilometer, met een stadion van $157.2\,\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ stadiën; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ .

Oefening 1.4 ★

Eén breedtegraad is ongeveer $111\,\mathrm{km}$ lang. Hoe lang is één boogminuut breedte ( $1/60$ van een graad)? Hoe lang is de meridiaan van de evenaar tot de pool, ongeveer?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ . Kwartmeridiaan: $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ .

Oefening 1.5 ★

Bereken met de equatoriale straal $6378.137\,\mathrm{km}$ en de poolstraal $6356.752\,\mathrm{km}$ het verschil tussen de twee stralen en de afplatting $f = (a-b)/a$ . Schrijf $f$ als één gedeeld door een geheel getal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ .

Oefening 1.6 ★★

Twee steden liggen op dezelfde meridiaan, $500\,\mathrm{km}$ uit elkaar. Om 12 uur ’s middags op dezelfde dag werpt een verticale stok van $1.00\,\mathrm{m}$ hoog een schaduw van $0.364\,\mathrm{m}$ in de zuidelijke stad en van $0.456\,\mathrm{m}$ in de noordelijke stad. Bereken in elke stad de hoek tussen de zonnestralen en de verticaal, en daarna de omtrek van de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

Zuid: $\tan\theta_1 = 0.364$ , $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ . Noord: $\tan\theta_2 = 0.456$ , $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ . $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ , dus $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ .

Oefening 1.7 ★★

In een driehoek $ABC$ is de basislijn $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ , de hoek bij $A$ $62{}^{\circ}$ en de hoek bij $B$ $71{}^{\circ}$ . Bereken de hoek bij $C$ en de lengtes $AC$ en $BC$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ . $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ .

Oefening 1.8 ★★

Een vliegtuig vliegt recht naar het westen langs de breedtecirkel $60{}^{\circ}$ NB, van $10{}^{\circ}$ OL naar $20{}^{\circ}$ WL. Bereken met een lengtegraad van $111.3 \cos \varphi$ km de afstand die het aflegt. Hoe lang zou dezelfde verandering in lengte op de evenaar zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

Het lengteverschil is $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ . Op $60{}^{\circ}$ NB is een graad $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ , dus de afstand is $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ . Op de evenaar: $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ , twee keer zo ver.

Oefening 1.9 ★★

Het oog van een waarnemer bevindt zich $h = 2\,\mathrm{m}$ boven een kalme zee. De gezichtslijn naar de horizon scheert in $T$ langs de zee; het middelpunt van de Aarde is $O$ , het oog $E$ . Leg uit waarom de driehoek $OTE$ in $T$ een rechte hoek heeft, en laat dan met de stelling van Pythagoras en $R = 6371\,\mathrm{km}$ zien dat de afstand tot de horizon ongeveer $\sqrt{2Rh}$ is. Bereken die.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

De gezichtslijn raakt de zee in $T$ : een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal in het raakpunt, dus de hoek bij $T$ is recht. Pythagoras: $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ , dus $d^2 = 2Rh + h^2$ ; $h$ is piepklein vergeleken met $R$ , dus $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ , ongeveer $5\,\mathrm{km}$ .

Oefening 1.10 ★★

Lees de kromme van de graadlengtes af. Tussen welke breedtes verandert de lengte van een graad het snelst? Leg in twee zinnen uit waarom een breedtegraad bij de polen langer is dan bij de evenaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

De kromme is het steilst op de middelbare breedtes, rond $30{}^{\circ}$ tot $60{}^{\circ}$ , en vlak bij de evenaar en bij de pool. Op een afgeplatte Aarde is het oppervlak bij de polen minder gekromd; hoe minder gekromd het oppervlak, hoe verder je moet reizen voordat de verticaal (en dus de breedte) één graad draait.

Oefening 1.11 ★★

De meridiaanboog van Duinkerke tot Barcelona overspant $9.646{}^{\circ}$ breedte en is $1072.2\,\mathrm{km}$ lang. Bereken de gemiddelde lengte van een graad langs deze boog. Hoe lang zou de kwartmeridiaan zijn als elke graad die lengte had? Vergelijk met $10\,002.0\,\mathrm{km}$ en verklaar het kleine verschil.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ per graad; $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ , $2\,\mathrm{km}$ meer dan de werkelijke kwartmeridiaan. Het midden van de boog ligt bij ongeveer $46{}^{\circ}$ , waar een graad iets langer is dan de gemiddelde graad van de evenaar tot de pool ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ ).

Oefening 1.12 ★★★

Eratosthenes mat een hoek van $7.2{}^{\circ}$ en een afstand van 5000 stadiën. Als zijn hoek $0.1{}^{\circ}$ fout was geweest (te klein), hoeveel procent zou zijn omtrek dan fout zijn geweest, en in welke richting? Welke van zijn twee metingen was volgens jou de minst nauwkeurige?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.12.

Met $7.1{}^{\circ}$ : $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ stadiën in plaats van $250\,000$ : ongeveer 1.4 % te groot (een kleinere hoek bij dezelfde afstand betekent een grotere Aarde). De afstand, afgestapt door lopers langs de Nijl, was veel minder nauwkeurig dan de hoek.

Oefening 1.13 ★★★

Een keten van twee driehoeken: in $ABC$ is $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ , $A = 55{}^{\circ}$ , $B = 75{}^{\circ}$ . In de volgende driehoek $ACD$ , gebouwd op de zijde $AC$ , is de hoek bij $A$ $50{}^{\circ}$ en de hoek bij $C$ $68{}^{\circ}$ . Bereken $AC$ en daarna $AD$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.13.

In $ABC$ : $C = 50{}^{\circ}$ , $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ . In $ACD$ : de hoek bij $D$ is $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ , en $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ .

Oefening 1.14 ★★★

Op welke breedte is een lengtegraad half zo lang als op de evenaar? Op welke breedte is hij een tiende zo lang? Leg uit waarom geen van beide antwoorden afhangt van de grootte van de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ geeft $\varphi = 60{}^{\circ}$ ; $\cos\varphi = 0.1$ geeft $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ . Een lengtegraad op breedte $\varphi$ is de graad op de evenaar vermenigvuldigd met $\cos\varphi$ : de verhouding hangt alleen van de hoek af, niet van de straal.

Oefening 1.15 ★★★

Gebruik de waarden van de ellipsoïde: een breedtegraad is $110.574\,\mathrm{km}$ bij de evenaar en $111.694\,\mathrm{km}$ bij de pool. Op een bol met dezelfde gemiddelde straal zou een graad overal $111.195\,\mathrm{km}$ zijn. Hoeveel meter zou een landmeter die een bol aannam, zich vergissen over één graad bij de evenaar, en over één graad bij de pool? Waarom moet een kaart die posities tot op de meter geeft, op de ellipsoïde worden berekend?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.15.

Bij de evenaar: $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ; bij de pool: $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ . Fouten van honderden meters per graad, die zich graad na graad opstapelen, zijn veel groter dan de meter: posities die uit breedte en lengte worden omgerekend, moeten de ellipsoïde gebruiken.

1.7 Probleem: de meter en de meridiaan

Probleem 1.1

Weekendprobleem — van de schaduw van Eratosthenes tot de lengte van de eerste meter

Een leerling volgt de geschiedenis van het opmeten van de Aarde opnieuw, met moderne getallen. Aswan, het oude Syene, ligt op $24.09{}^{\circ}$ NB en Alexandrië op $31.20{}^{\circ}$ NB; op de moderne ellipsoïde is de meridiaanboog tussen hun twee breedtecirkels $788\,\mathrm{km}$ lang. Op de ellipsoïde meet één breedtegraad $110.57\,\mathrm{km}$ bij de evenaar, $111.13\,\mathrm{km}$ op $45{}^{\circ}$ en $111.51\,\mathrm{km}$ op $66{}^{\circ}$ , en de kwartmeridiaan is $10\,001.966\,\mathrm{km}$ .

Deel I — Opnieuw Eratosthenes.

Bereken het breedteverschil tussen Aswan en Alexandrië.
Welk deel van een volle cirkel is dat? Vergelijk met de $1/50$ van Eratosthenes.
Bereken de omtrek van de Aarde die de methode van Eratosthenes met deze moderne getallen oplevert.
De twee steden liggen niet op dezelfde meridiaan: Aswan ligt ongeveer $3{}^{\circ}$ lengte ten oosten van Alexandrië. Welke afstand moet in de methode worden gebruikt: de rechte afstand tussen de steden of de meridiaanboog tussen hun breedtecirkels? Waarom?
Waarom moeten de twee schaduwen op dezelfde dag, om plaatselijk 12 uur ’s middags, worden gemeten?

Deel II — Een kleine triangulatie. Er wordt een basislijn $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ gemeten. Vanuit $A$ wordt het seinpunt $C$ gezien onder $58{}^{\circ}$ met $B$ ; vanuit $B$ onder $66{}^{\circ}$ met $A$ . In de volgende driehoek $ACD$ is de hoek bij $A$ $47{}^{\circ}$ en de hoek bij $C$ $75{}^{\circ}$ . De zijde $AD$ wijst $8{}^{\circ}$ ten oosten van het noorden.

Bereken de hoek bij $C$ in de driehoek $ABC$ .
Bereken de zijde $AC$ .
Bereken de zijde $BC$ .
Bereken de hoek bij $D$ in de driehoek $ACD$ , en daarna de zijde $AD$ .
Bereken de noord-zuidafstand tussen $A$ en $D$ .
Bereken met de graadlengte op $45{}^{\circ}$ het breedteverschil tussen $A$ en $D$ , in graden en in boogminuten.

Deel III — Een afgeplatte Aarde.

Hoeveel meter is een breedtegraad op $66{}^{\circ}$ langer dan een breedtegraad bij de evenaar?
Leg uit wat dit verschil zegt over de vorm van de Aarde.
Op de ellipsoïde is $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ en $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . Bereken $a - b$ en de afplatting.
Leg uit waarom het schietlood op een afgeplatte Aarde, op een plaats op $45{}^{\circ}$ breedte, niet precies naar het middelpunt van de Aarde wijst.

Deel IV — De eerste meter.

Hoe lang zou de kwartmeridiaan volgens de definitie van 1791 moeten zijn, in meter?
De platina meter van 1799 werd gemaakt op basis van een gemeten waarde van de meridiaan. Als de kwartmeridiaan in werkelijkheid $10\,001.966\,\mathrm{km}$ is, hoe lang is dan een tienmiljoenste ervan?
Was de meter van 1799 te lang of te kort vergeleken met zijn eigen definitie? Met welk deel?
De platina staaf gaf getrouw de lengte weer die in de jaren 1790 was berekend. Was de kwartmeridiaan die toen werd berekend, te lang of te kort? Leg uit.
Hoeveel millimeter was de eerste meter korter dan een tienmiljoenste van de werkelijke kwartmeridiaan? Vergelijk met de dikte van een vel papier, ongeveer $0.1\,\mathrm{mm}$ .

Oplossing

Oplossing van Probleem 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ .

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ , heel dicht bij de $1/50$ van Eratosthenes.

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ .

4. De meridiaanboog tussen de breedtecirkels: het verschil van de middaghoeken is het breedteverschil, en dat meet alleen de noord-zuidafstand tussen de twee plaatsen; het oost-westdeel van de afstand speelt geen rol.

5. Om plaatselijk 12 uur ’s middags staat de Zon in het vlak van de meridiaan, voor beide plaatsen hetzelfde; op dezelfde dag heeft ze dezelfde stand tussen de sterren, zodat de twee hoeken alleen door de kromming van de Aarde verschillen.

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ .

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ .

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ .

9. De hoek bij $D$ is $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ ; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ .

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ .

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ , dat is $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ boogminuten.

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ .

13. Bij de pool draait de verticaal langzamer met de afstand: het oppervlak is daar minder gekromd. De Aarde is bij de polen afgeplat en puilt bij de evenaar uit.

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ .

15. Het schietlood staat loodrecht op het oppervlak van de ellipsoïde. Op een ellips gaat de loodlijn op de kromme alleen bij de evenaar en bij de polen door het middelpunt; op $45{}^{\circ}$ snijdt ze de as onder het middelpunt.

16. $10\,000\,000$ meter, dat is $10\,000\,\mathrm{km}$ .

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ .

18. Te kort: het werkelijke tienmiljoenste is $1.0001966$ keer de meter van 1799, dus de meter van 1799 is ongeveer $1.97 \times 10^{-4}$ van zijn lengte te kort, 0.02 %.

19. Te kort. De staaf is een tienmiljoenste van de kwartmeridiaan zoals die in de jaren 1790 werd berekend; omdat de staaf korter is dan een tienmiljoenste van de werkelijke kwartmeridiaan, was de berekende kwartmeridiaan korter dan de werkelijke.

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ m: de eerste meter was ongeveer $0.2\,\mathrm{mm}$ te kort — ongeveer twee vellen papier op een meter, een verbazende nauwkeurigheid voor een opmeting met kijkers en hoeken over een heel land.

本章定义的术语

在术语表中查看全部 957 个术语