23De afbraak van gebergten

Gezien vanuit het Internationaal Ruimtestation vormen de Appalachen in het oosten van Noord-Amerika een opvallend patroon van lange, donkere, beboste ruggen en bleke landbouwdalen, meer dan $500\,\mathrm{km}$ ervan op de foto hieronder. De ruggen zijn harde gesteentelagen die tot nauwe plooien werden verfrommeld toen Afrika tegen Noord-Amerika aan drukte, in het Carboon en het Perm, meer dan 250 miljoen jaar geleden. Vandaag staat hun hoogste top, Mount Mitchell, het hoogste punt ten oosten van de Mississippi, $2037\,\mathrm{m}$ boven zeeniveau, minder dan een kwart van de hoogte van de Everest.

Een gebergteketen blijft niet bestaan. Vanaf het moment dat ze oprijst, vallen regen, ijs en rivieren haar aan; het gesteente dat ze wegvoeren, belandt in de zee, waar het nieuw gesteente wordt. Dit hoofdstuk meet hoe snel dat gaat, volgt het puin tot de plaats waar het tot steen wordt, en laat zien waarom een keten die wordt afgesleten, onderweg blijft stijgen.

Wat je al weet

Verwering breekt gesteente af waar het staat; erosie voert het puin weg en afzetting legt het elders neer (Boek 1, jaar 5). Chemische verwering maakt van veldspaten kleimineralen door hydrolyse (Hoofdstuk 7). Het debiet van een rivier is het volume water dat in een seconde een punt passeert (Hoofdstuk 8). De korst drijft in isostasie op de mantel; in het model van Airy staat een gebied waarvan de korst dikker is met $\Delta H$, hoger met $\Delta H\,(\rho_m - \rho_c)/\rho_m$ (Hoofdstuk 12), en een hoge keten rust op een wortel van dikke korst (Hoofdstuk 19). Sedimenten hopen zich op in sedimentaire bekkens (Hoofdstuk 18). Gesteenten die diep in een gebergtegordel worden begraven, worden gemetamorfoseerd (Hoofdstuk 21).

23.1 Hoe snel wordt het land afgesleten?

Definitie 23.1 (Denudatiesnelheid)

De denudatiesnelheid van een gebied is de gemiddelde dikte gesteente die verwering en erosie samen er per tijdseenheid van weghalen. Ze wordt meestal gegeven in meter per miljoen jaar ($\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$), wat hetzelfde is als millimeter per duizend jaar.

Hoe meet je iets dat zo traag gaat? Kosmische straling die de grond treft, maakt een zeldzame isotoop, beryllium-10, in het kwarts van de bovenste paar meter gesteente. Hoe trager een oppervlak wordt afgesleten, hoe langer elke korrel dicht bij de top blijft, en hoe meer beryllium-10 hij verzamelt. Wie het meet in het zand van een rivier, krijgt de gemiddelde denudatiesnelheid van het hele stroomgebied stroomopwaarts, over de laatste duizenden tot miljoenen jaren.

Een overzicht van 1599 zulke metingen vond dat kale rotsontsluitingen traag worden afgesleten, gemiddeld met $12\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ (mediaan $5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$), en nooit sneller dan met $140\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. Hele stroomgebieden verliezen veel meer, gemiddeld $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, maar met een mediaan van maar $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$: een paar snelle stroomgebieden trekken het gemiddelde omhoog. De snelste zijn de steile: de gemiddelde helling van een stroomgebied is de factor die zijn snelheid het best voorspelt. Stroomgebieden in seismisch actieve gebieden, waar gebergten stijgen, eroderen ongeveer twee keer zo snel als die in rustige gebieden.

23.2 Rivieren voeren de gebergten weg

Veel van wat van het land wordt afgesleten, verlaat het via rivieren.

Definitie 23.2 (Sedimentvracht)

De sedimentvracht van een rivier is het materiaal dat ze meevoert, in drie vormen: de bodemvracht, grote korrels die over de bodem worden gerold, geduwd of gestuiterd; de zwevende vracht, kleine korrels die in het stromende water zweven; en de opgeloste vracht, ionen in oplossing, zoals calcium en chloride, achtergelaten door chemische verwering.

Gemiddeld is de opgeloste vracht ongeveer $15\,\%$ van de massa die een rivier meevoert. Hoe sneller het water, hoe grotere korrels het kan optillen. Een zandkorrel van $1\,\mathrm{mm}$ wordt van de bodem opgepakt bij ongeveer $20\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$, en eenmaal in beweging blijft hij zweven tot de stroming onder $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ zakt. Siltkorrels zijn moeilijker op te tillen dan zand, omdat ze aan elkaar kleven: een korrel van $0.01\,\mathrm{mm}$ heeft $60\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ nodig om te worden opgepakt, maar daarna houdt een stroming van $0.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ hem zwevend. Daarom stromen rivieren bij hoogwater bruin, en daarom reist de fijnste modder helemaal tot in zee.

Meten wat een rivier meevoert, geeft een tweede manier om een denudatiesnelheid te vinden.

Methode 23.3 (Een erosiebalans)

1. Neem de massa sediment die de rivier in een jaar meevoert, en tel de opgeloste vracht erbij op (als alleen de vaste vracht bekend is, deel die dan door $0.85$).
2. Deel door de dichtheid van het gesteente, ongeveer $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ voor de continentale korst, om het volume gesteente te krijgen dat elk jaar wordt weggehaald.
3. Deel door de oppervlakte van het stroomgebied: dit is de dikte die elk jaar wordt weggehaald.
4. Vermenigvuldig met $10^6$ om haar uit te drukken in meter per miljoen jaar.

Voorbeeld 23.4 (De Mississippi)

Vóór 1900 voerde het riviersysteem van de Missouri en de Mississippi ongeveer 400 miljoen ton sediment per jaar naar zee, uit een stroomgebied van ongeveer $2\,980\,000\,\mathrm{km}^{2}$. Met de opgeloste vracht is dat $400/0.85 \approx 471$ miljoen ton, dat is $4.71 \times 10^{11}/2830 \approx 1.66 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ gesteente per jaar. Uitgespreid over $2.98 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}$ is het een laag van

$$\frac{1.66 \times 10^{8}}{2.98 \times 10^{12}} \approx 5.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \text{ per jaar, ongeveer } 56\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}.$$

Tussen 1987 en 2006 voerde de rivier maar 145 miljoen ton per jaar mee, wat ongeveer $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ geeft: dammen die in de jaren 1950 op de Missouri zijn gebouwd, houden ongeveer 100 tot 150 miljoen ton per jaar vast, en andere werken houden er nog meer tegen.

Dezelfde balans kan voor de hele wereld worden opgesteld. Voordat mensen de rivieren veranderden, voerden die ongeveer 15.5 miljard ton vast sediment per jaar naar de kusten; met de opgeloste vracht is dat ongeveer $6.4\,\mathrm{km}^{3}$ gesteente per jaar, weggenomen van de $1.48 \times 10^{8}\,\mathrm{km}^{2}$ van de continenten: een gemiddelde denudatiesnelheid van ongeveer $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, dicht bij de mediaan van de beryllium-10-metingen. Mensen hebben sindsdien beide termen veranderd: bodemerosie heeft wat rivieren oppikken met ongeveer 2.3 miljard ton per jaar doen toenemen, maar meer dan 100 miljard ton sediment ligt nu achter dammen.

23.3 Van sediment tot gesteente

Wat de rivieren meevoeren, wordt afgezet waar de stroming vertraagt: in dalen en meren, op delta’s, en vooral in de sedimentaire bekkens van de continentale randen. Laag na laag wordt het sediment begraven, en langzaam wordt het gesteente.

Definitie 23.5 (Detritisch gesteente; diagenese)

Een detritisch gesteente (of klastisch gesteente) is een sedimentair gesteente dat bestaat uit brokstukken, de klasten, van oudere gesteenten en mineralen. Diagenese is het geheel van veranderingen die een begraven sediment bij lage temperatuur tot gesteente maken: compactie, wanneer het gewicht van de lagen erboven water en lucht eruit perst, en daarna cementatie, wanneer mineralen die uit het water in de poriën kristalliseren (calciet, kwarts, hematiet, kleimineralen) de korrels aan elkaar kitten.

Detritische gesteenten worden benoemd naar de grootte van hun klasten:

• een conglomeraat bestaat uit afgeronde klasten groter dan $2\,\mathrm{mm}$, een breccie uit hoekige;
• een zandsteen bestaat uit zand, korrels tussen $2\,\mathrm{mm}$ en $0.063\,\mathrm{mm}$, meestal van kwarts, het mineraal dat het best tegen verwering bestand is;
• een slibgesteente bevat minstens $75\,\%$ silt en klei; het is een schalie als het in dunne lagen splijt.

De klasten leggen de reis vast. Afgeronde kiezels hebben ver gerold in een rivier of op een strand; hoekige hebben nauwelijks gereisd. Een zandsteen die bijna alleen uit kwarts bestaat, komt van gesteente dat lang is verweerd, tot de andere mineralen klei waren geworden.

23.4 De wortel stijgt

Als erosie gewoon gesteente van de top van een keten weghaalde, zou een keten van $2\,\mathrm{km}$ hoog, afgesleten met $200\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, in tien miljoen jaar verdwenen zijn. Maar de keten drijft op de mantel. Terwijl er gesteente van de top wordt weggehaald, wordt de kolom lichter, en ze stijgt.

Definitie 23.6 (Isostatisch herstel)

Isostatisch herstel is het stijgen van een gebied van de lithosfeer wanneer er een last van wordt weggenomen — gesteente dat door erosie is afgesleten, of een ijskap die smelt — tot de isostasie hersteld is.

Propositie 23.7 (Erosie en herstel)

Wanneer erosie in het model van Airy een dikte $e$ korst met dichtheid $\rho_c$ weghaalt van een gebied in isostasie op een mantel met dichtheid $\rho_m$, zakt het oppervlak maar met

$$\Delta h = e\left(1 - \frac{\rho_c}{\rho_m}\right),$$

terwijl de basis van de korst met $e\,\rho_c/\rho_m$ stijgt.

Met $\rho_c = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $\rho_m = 3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ is $1 - \rho_c/\rho_m \approx 0.163$. Wie $1\,\mathrm{km}$ gesteente weghaalt, laat het oppervlak maar ongeveer $163\,\mathrm{m}$ zakken: de andere $837\,\mathrm{m}$ worden goedgemaakt doordat de hele kolom stijgt. Om een keten $2000\,\mathrm{m}$ te verlagen, moet erosie ongeveer $2000/0.163 \approx 12\,300\,\mathrm{m}$ gesteente weghalen. Gesteenten die meer dan $12\,\mathrm{km}$ diep lagen, metamorfe gesteenten en granieten die in de diepte van de keten zijn ontstaan, bereiken het oppervlak: daarom tonen de oude, afgesleten gebergtegordels schisten, gneisen en granieten over enorme oppervlakten.

Hetzelfde herstel is vandaag te zien waar een last snel verdween. De ijskap die bij het laatste glaciale maximum een groot deel van Canada bedekte, was het dikst rond de Hudsonbaai. Dat ijs is gesmolten, en het land daar stijgt nog altijd: met ongeveer $10\,\mathrm{mm}$ per jaar, zoals gemeten met gps, dat is $10\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, ongeveer vijftig keer de gemiddelde denudatiesnelheid van stroomgebieden. Verder naar het zuiden, voorbij de Grote Meren, zakt het land met 1 tot $2\,\mathrm{mm}$ per jaar.

23.5 Hoe lang blijft een keten bestaan?

Hoe steiler een stroomgebied, hoe sneller het erodeert; voor grote stroomgebieden is de denudatiesnelheid evenredig gebleken met hun gemiddelde reliëf. Laten we het eenvoudigste model nemen dat dat zegt.

Propositie 23.8 (Het exponentiële verval van een keten)

Laat $h(t)$ de gemiddelde hoogte zijn van een keten boven de vlakten eromheen. Als de denudatiesnelheid $E = k\,h$ is, met $k$ een constante, en als de isostasie voortdurend wordt hersteld, dan geldt

$$h(t) = h_0\, e^{-f k t}, \qquad f = 1 - \frac{\rho_c}{\rho_m},$$

waarbij $h_0$ de hoogte op $t = 0$ is. De hoogte wordt gedeeld door $e$ na elke $\tau = 1/(fk)$, en door twee na elke $\tau \ln 2$.

Metingen aan grote stroomgebieden geven $k$: zonder enige opheffing zou hun reliëf in ongeveer 11 miljoen jaar tot een tiende dalen. Dus $e^{-11k} = 0.1$, en $k = \ln 10/11 \approx 0.209$ per miljoen jaar. Zonder herstel ($f = 1$) zou de tijdconstante $1/k \approx 4.8$ miljoen jaar zijn. Met herstel is $f \approx 0.163$ en

en de gemiddelde hoogte halveert elke $29 \ln 2 \approx 20$ miljoen jaar: door het herstel blijft een keten ongeveer zes keer langer bestaan.

De Appalachen stellen dit beeld op de proef. Hun botsing eindigde in het Perm, meer dan 250 miljoen jaar geleden. Dat is meer dan twaalf keer de tijd die het model nodig heeft om de hoogte te halveren: $2000 \times e^{-250/29} \approx 0.4\,\mathrm{m}$. Toch rijst Mount Mitchell nog $2037\,\mathrm{m}$ boven de zee uit. Het model alleen kan het huidige reliëf niet verklaren: het gebied moet sindsdien opnieuw zijn opgeheven, of trager zijn geërodeerd dan het model aanneemt.

Zo worden gebergten gerecycled. Het gesteente dat van een keten is afgesleten, belandt in sedimentaire bekkens, waar het detritisch gesteente wordt; een deel van dat gesteente wordt diep genoeg begraven om te worden gemetamorfoseerd of zelfs te smelten, een deel wordt bij een subductiezone naar de mantel afgevoerd (Hoofdstuk 22), en een deel wordt opnieuw opgeplooid tot een nieuwe keten wanneer twee continenten botsen.

De Varden Hills bewaren het verslag van zo’n cyclus. Hun sokkel is een schist, ongeveer 480 miljoen jaar geleden gemetamorfoseerd, waarin ongeveer 310 miljoen jaar geleden een graniet binnendrong — beide ontstaan kilometers onder het oppervlak van een oude gebergtegordel. Toch rust de zandsteen uit het Trias, afgezet vanaf ongeveer 252 miljoen jaar geleden, er rechtstreeks op, over een vlak oppervlak: de discordantie. In minder dan 60 miljoen jaar was dat oude gebergte afgesleten tot een vlakte en waren zijn diepe gesteenten aan het oppervlak gebracht. De zee breidde zich daarna over de vlakte uit en begroef haar.

23.6 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

Geef het woord: (a) de gemiddelde dikte gesteente die per tijdseenheid van een gebied wordt weggehaald; (b) de korrels die een rivier over haar bedding rolt en laat stuiteren; (c) de ionen die een rivier in oplossing meevoert; (d) de veranderingen die een begraven sediment tot gesteente maken; (e) het stijgen van de lithosfeer wanneer er een last van wordt weggenomen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

(a) de denudatiesnelheid; (b) de bodemvracht; (c) de opgeloste vracht; (d) diagenese; (e) isostatisch herstel.

Oefening 23.2 ★

Noem het detritische gesteente: (1) afgeronde kiezels van $5\text{ tot }20\,\mathrm{mm}$ die aan elkaar zijn gecementeerd; (2) kwartskorrels van $0.3\,\mathrm{mm}$; (3) een gesteente dat voor $90\,\%$ uit silt en klei bestaat en in dunne platen splijt; (4) hoekige brokstukken van $3\,\mathrm{cm}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

(1) Een conglomeraat. (2) Een zandsteen. (3) Een schalie. (4) Een breccie.

Oefening 23.3 ★

Reken om naar millimeter per jaar: (1) $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; (2) $218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$; (3) reken de opheffing van $10\,\mathrm{mm}$ per jaar bij de Hudsonbaai om naar $\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

$1\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ is $1000\,\mathrm{mm}$ in $1\,000\,000$ jaar, $0.001\,\mathrm{mm}$ per jaar. (1) $0.054\,\mathrm{mm}$ per jaar. (2) $0.218\,\mathrm{mm}$ per jaar. (3) $10\,\mathrm{mm}$ per jaar is $10\,\mathrm{m}$ in 1000 jaar, $10\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

Oefening 23.4 ★

Een rivier voert 60 miljoen ton vast sediment per jaar mee. Schat haar opgeloste vracht, als je weet dat de opgeloste vracht gemiddeld $15\,\%$ van de totale meegevoerde massa is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

De vaste vracht is $85\,\%$ van het totaal, dus het totaal is $60/0.85 \approx 70.6$ miljoen ton, en de opgeloste vracht ongeveer $70.6 - 60 \approx 10.6$ miljoen ton per jaar.

Oefening 23.5 ★

Zet op volgorde, van het oppervlak naar beneden, wat er gebeurt met een kwartskorrel uit een graniet: afzetting in een bekken, verwering van het graniet, begraving onder jongere lagen, transport door een rivier, cementatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

Verwering van het graniet, transport door een rivier, afzetting in een bekken, begraving onder jongere lagen, cementatie.

Oefening 23.6 ★★

Een stroming vertraagt van $30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ tot $5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. Zeg met de waarden uit het hoofdstuk wat er bij elke snelheid gebeurt met een zandkorrel van $1\,\mathrm{mm}$ die op de bodem ligt, en met een siltkorrel van $0.01\,\mathrm{mm}$ die al zweeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

Bij $30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ wordt de zandkorrel opgepakt (boven $20\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$); de siltkorrel blijft zweven. Bij $5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ bezinkt de zandkorrel (onder $10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$), maar de siltkorrel blijft nog altijd zweven, omdat $0.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ genoeg is om hem zwevend te houden.

Oefening 23.7 ★★

Een stroomgebied van $50\,000\,\mathrm{km}^{2}$ stuurt 4 miljoen ton vast sediment per jaar naar zee. Stel zijn erosiebalans op, met de opgeloste vracht, met $\rho = 2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Vergelijk met de mediaan van de beryllium-10-snelheden van stroomgebieden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

Totale vracht $4/0.85 \approx 4.71$ miljoen ton, $4.71 \times 10^{9}/2830 \approx 1.66 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ gesteente per jaar. Over $5 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$: $3.3 \times 10^{-5}$ m per jaar, ongeveer $33\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$, onder de mediaan van $54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

Oefening 23.8 ★★

(1) Bereken $1 - \rho_c/\rho_m$ voor $\rho_c = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (2) Hoeveel zakt het oppervlak wanneer er $1\,\mathrm{km}$ gesteente wordt weggeërodeerd? (3) Vergelijk met de waarde uit het hoofdstuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

(1) $1 - 2700/3300 \approx 0.182$. (2) Ongeveer $182\,\mathrm{m}$. (3) Iets meer dan de $163\,\mathrm{m}$ van het hoofdstuk: hoe lichter de korst vergeleken met de mantel, hoe minder de kolom stijgt.

Oefening 23.9 ★★

Een graniet kristalliseerde ongeveer $8\,\mathrm{km}$ diep onder een keten. (1) Welke dikte gesteente moet erosie weghalen om het naar het oppervlak te brengen? (2) Hoeveel zakt het gemiddelde oppervlak intussen? (3) Hoe lang duurt het bij $200\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

(1) $8\,\mathrm{km}$ gesteente. (2) $8000 \times 0.163 \approx 1300\,\mathrm{m}$. (3) $8000/200 = 40$ miljoen jaar.

Oefening 23.10 ★★

De gemiddelde hoogte van de continenten is ongeveer $794\,\mathrm{m}$. (1) Hoe lang zou erosie er bij $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ over doen om een laag van die dikte weg te halen? (2) Hoe lang, als je rekening houdt met isostatisch herstel en de snelheid gelijk blijft? (3) Waarom staan de continenten na 4 miljard jaar toch nog boven de zee?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

(1) $794/43 \approx 18$ miljoen jaar. (2) Het oppervlak zakt maar met $0.163$ keer de weggeërodeerde dikte, dus het gesteente dat weg moet, is $794/0.163 \approx 4900\,\mathrm{m}$, en dat duurt ongeveer $4900/43 \approx 110$ miljoen jaar. (3) De continenten worden niet alleen afgesleten: gebergtevorming en het magmatisme van bogen heffen ze steeds weer op en voegen nieuwe korst toe.

Oefening 23.11 ★★

Meer dan 100 miljard ton sediment ligt achter dammen die vooral in de laatste vijftig jaar zijn gebouwd. (1) Welk volume gesteente is dat, bij $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (2) Hoeveel jaar van de vaste vracht van de wereld vóór de mens, 15.5 miljard ton per jaar, vertegenwoordigt dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

(1) $1 \times 10^{14}/2830 \approx 3.5 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{3}$, dat is ongeveer $35\,\mathrm{km}^{3}$. (2) $100/15.5 \approx 6.5$ jaar.

Oefening 23.12 ★★★

Toon aan dat in het model van het hoofdstuk de denudatiesnelheid van een keten $E(t) = k h_0 e^{-fkt}$ is. Bereken de totale dikte gesteente die wordt weggehaald terwijl de gemiddelde hoogte van $h_0$ tot 0 daalt, en verklaar het resultaat met de propositie over het herstel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.12.

$E = kh$ en $h = h_0 e^{-fkt}$ geven $E(t) = kh_0 e^{-fkt}$. De dikte die van $t = 0$ tot $t \to \infty$ wordt weggehaald, is $\int_0^{\infty} kh_0 e^{-fkt}\,\mathrm{d}t = kh_0/(fk) = h_0/f$. Om het oppervlak $h_0$ te verlagen, moet erosie $h_0/f \approx 6.1\,h_0$ weghalen, zoals de propositie over het herstel zegt: elke weggeërodeerde meter verlaagt het oppervlak maar met $f$ meter.

Oefening 23.13 ★★★

Bij de Hudsonbaai stijgt het land met $10\,\mathrm{mm}$ per jaar. (1) Hoeveel zou het in 1000 jaar stijgen als die snelheid gelijk bleef? (2) Het stijgen is een herstel na het smelten van een ijskap. Neem ijs met dichtheid $900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ en de mantel met $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: hoeveel zou het land in totaal stijgen, in het model van Airy, na het smelten van $2\,\mathrm{km}$ ijs? (3) Waarom zou de snelheid met de tijd moeten afnemen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.13.

(1) $10 \times 1000 = 10\,000\,\mathrm{mm}$, $10\,\mathrm{m}$. (2) Een ijslast met dikte $t$ wegnemen is als een massa $\rho_{\text{ijs}}\,t$ per oppervlakte-eenheid wegnemen; de kolom stijgt tot ze zoveel minder mantel verdringt: $2000 \times 900/3380 \approx 530\,\mathrm{m}$. (3) Het land stijgt steeds minder naarmate het zijn nieuwe evenwicht nadert: wat het stijgen aandrijft, is het deel dat nog niet is hersteld.

Oefening 23.14 ★★★

De Mississippi voerde vóór 1900 400 miljoen ton vast sediment per jaar mee en in 1987–2006 145 miljoen ton per jaar. (1) Bereken de denudatiesnelheid van zijn stroomgebied van $2\,980\,000\,\mathrm{km}^{2}$ in beide perioden, met de opgeloste vracht. (2) Welke van de twee meet de natuurlijke erosie van het stroomgebied beter? (3) De dammen houden 100 tot 150 miljoen ton per jaar vast: verklaart dat de hele afname?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.14.

(1) Vóór 1900: ongeveer $56\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$ (zoals in het voorbeeld). In 1987–2006: $145/0.85 \approx 171$ miljoen ton, $1.71 \times 10^{11}/2830 \approx 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, over $2.98 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}$: ongeveer $20\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. (2) De eerste: de latere vracht wordt tegengehouden door dammen en andere werken. (3) Nee: de afname is $400 - 145 = 255$ miljoen ton per jaar, waarvan de dammen 100 tot 150 verklaren, ongeveer de helft.

Oefening 23.15 ★★★

In de Varden Hills ligt een graniet dat ongeveer 310 miljoen jaar geleden binnendrong, onder zandsteen uit het Trias, afgezet vanaf ongeveer 252 miljoen jaar geleden. Stel dat het graniet $6\,\mathrm{km}$ diep kristalliseerde. (1) Welke dikte gesteente werd erboven minstens weggehaald? (2) Welke gemiddelde denudatiesnelheid vraagt dat minstens? (3) Vergelijk met de gemeten snelheden van stroomgebieden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.15.

(1) Minstens $6\,\mathrm{km}$. (2) $310 - 252 = 58$ miljoen jaar hoogstens, dus minstens $6000/58 \approx 100\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$. (3) Het ligt tussen de mediaan ($54\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$) en het gemiddelde ($218\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$) van de stroomgebieden: een gewone snelheid voor een gebergtegordel.

Probleem 23.1

Weekendprobleem — hoe lang duurt het om een gebergte plat te maken?

Een jonge keten heeft een gemiddelde hoogte van $2000\,\mathrm{m}$ boven de vlakten eromheen. Haar rivieren slijten haar af met een snelheid die evenredig is met haar hoogte, $E = kh$, met $k = 0.209$ per miljoen jaar. De korst heeft een dichtheid van $2830\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, de mantel eronder $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

Deel I — De erosiesnelheid.

1. Bereken de denudatiesnelheid van de keten vandaag, in $\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.
2. Druk die uit in millimeter per jaar.
3. Vergelijk die met de gemiddelde snelheden die zijn gemeten in seismisch actieve stroomgebieden ($367\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$) en in rustige ($182\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$).
4. Welk kenmerk van een stroomgebied voorspelt zijn erosiesnelheid het best?
5. Hoeveel ton gesteente verlaat elke vierkante kilometer van de keten per jaar?

Deel II — Zonder herstel.

6. Hoe lang zou het duren om $2000\,\mathrm{m}$ gesteente weg te halen als de snelheid op haar huidige waarde bleef?
7. In werkelijkheid daalt de snelheid naarmate de keten lager wordt. Schrijf de vergelijking $h' = -kh$ en haar oplossing met $h(0) = 2000\,\mathrm{m}$.
8. Wat is de tijdconstante $1/k$?
9. Hoe lang duurt het tot de hoogte gehalveerd is?
10. Controleer dat er na 11 miljoen jaar een tiende van de hoogte over is.

Deel III — Met herstel.

11. Bereken $f = 1 - \rho_c/\rho_m$.
12. Hoeveel zakt het oppervlak wanneer er $100\,\mathrm{m}$ gesteente wordt weggeërodeerd, en hoeveel stijgt de wortel?
13. Schrijf de nieuwe vergelijking voor $h$ en haar oplossing.
14. Welke dikte gesteente moet worden weggeërodeerd om de keten te verlagen van $2000\,\mathrm{m}$ tot $200\,\mathrm{m}$?
15. Welke soorten gesteente brengt dat aan het oppervlak?

Deel IV — De tijdconstante.

16. Bereken de tijdconstante met herstel.
17. Hoe lang duurt het tot de keten tot een tiende van haar hoogte is gedaald?
18. Hoe hoog is ze na 200 miljoen jaar?
19. De botsing van de Appalachen eindigde meer dan 250 miljoen jaar geleden. Hoe hoog zou het model de keten na 250 miljoen jaar laten, als ze nooit opnieuw was opgeheven? Mount Mitchell rijst nog $2037\,\mathrm{m}$ boven de zee uit: wat doet dit vermoeden?
20. Vat samen: in hoeveel miljoen jaar halveert de gemiddelde hoogte van de keten?

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. $E = 0.209 \times 2000 \approx 418\,\mathrm{m}/\mathrm{Myr}$.

2. $0.418\,\mathrm{mm}$ per jaar.

3. Sneller dan beide: het is een steile, jonge keten, even snel als de seismisch actieve stroomgebieden en meer.

4. Zijn gemiddelde helling.

5. Een laag van $0.418 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ over $1 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$ is $418\,\mathrm{m}^{3}$, $418 \times 2830 \approx 1.18 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$: ongeveer 1200 ton.

6. $2000/418 \approx 4.8$ miljoen jaar.

7. $h(t) = 2000\,e^{-0.209\,t}$ ($t$ in miljoen jaar).

8. $1/0.209 \approx 4.8$ miljoen jaar.

9. $\ln 2/0.209 \approx 3.3$ miljoen jaar.

10. $e^{-0.209 \times 11} = e^{-2.30} \approx 0.100$.

11. $1 - 2830/3380 \approx 0.163$.

12. Het oppervlak zakt $100 \times 0.163 \approx 16\,\mathrm{m}$; de wortel stijgt ongeveer $84\,\mathrm{m}$.

13. $h' = -0.163 \times 0.209\,h \approx -0.0341\,h$, dus $h(t) = 2000\,e^{-0.0341\,t}$.

14. $(2000 - 200)/0.163 \approx 11\,000\,\mathrm{m}$ gesteente.

15. Gesteenten die ongeveer $11\,\mathrm{km}$ diep lagen: metamorfe gesteenten zoals schisten en gneisen, en granieten.

16. $1/0.0341 \approx 29$ miljoen jaar.

17. $29 \times \ln 10 \approx 67$ miljoen jaar.

18. $2000\,e^{-0.0341 \times 200} \approx 2000 \times 0.0011 \approx 2\,\mathrm{m}$.

19. $2000\,e^{-0.0341 \times 250} \approx 2000 \times 0.0002 \approx 0.4\,\mathrm{m}$: een vlak land. Een top van $2037\,\mathrm{m}$ betekent dat het model alleen niet klopt: het gebied moet sindsdien opnieuw zijn opgeheven, of trager zijn geërodeerd dan het model aanneemt.

20. De gemiddelde hoogte halveert in $29 \times \ln 2 \approx$ 20 miljoen jaar.