11Seismische golven onthullen het binnenste

Op 8 oktober 1909 deed een aardbeving het dal van de rivier de Kupa schudden, ongeveer $40\,\mathrm{km}$ ten zuidoosten van Zagreb, in Kroatië. Een paar maanden eerder had Andrija Mohorovičić een nieuwe seismograaf geïnstalleerd in het Meteorologisch Observatorium van Zagreb, en die registreerde de hele gebeurtenis. Daarna vroeg hij andere observatoria om hun registraties en verzamelde hij die van 41 stations. Op de registraties van de verder gelegen stations vond hij iets onverwachts: twee afzonderlijke P-golven, een zwakke en daarna een sterkere, waar er één had moeten zijn. Uit dat paar golven leidde hij af dat het gesteente onder de korst anders is, en hij mat de diepte van de grens. Dit hoofdstuk laat zien hoe de tijdstippen waarop aardbevingsgolven aankomen de lagen van de Aarde onthullen: de onderkant van de korst, de kern en haar vloeibare buitendeel, en het hele binnenste, diepte na diepte.

Wat je al weet

Een aardbeving begint in een punt binnen de Aarde, de haard; het punt van het oppervlak recht erboven is het epicentrum. Een seismometer registreert het schudden van de grond, en de magnitude meet de grootte van een aardbeving (Boek 1, jaar 7). De Aarde heeft een aardkorst, een mantel en een kern; de kern heeft een vloeibaar buitendeel en een vast binnendeel. Aardbevingsgolven zijn er in twee hoofdsoorten, de snellere P-golven en de tragere S-golven, en S-golven kunnen geen vloeistof doorkruisen (Boek 1, jaar 6). Een golf die de grens tussen twee materialen oversteekt waarin hij zich voortplant met de snelheden $v_1$ en $v_2$, wordt gebroken: $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, waarbij de hoeken worden gemeten ten opzichte van de loodlijn op de grens (de brekingswet van Snellius; de natuurkundeboeken).

11.1 Seismische golven en looptijden

11.1.1 Twee soorten ruimtegolven

Een aardbeving zendt golven in alle richtingen uit. Sommige lopen langs het oppervlak; andere, de ruimtegolven, gaan door het binnenste van de Aarde, en zij zijn het die het binnenste onthullen.

Definitie 11.1 (P-golf; S-golf)

Een P-golf is een seismische golf die het gesteente afwisselend samendrukt en uitrekt: het gesteente beweegt heen en weer langs de richting waarin de golf zich voortplant. Ze gaat door vaste stoffen, vloeistoffen en gassen, en is de snelste seismische golf, dus ze komt als eerste aan. Een S-golf vervormt het gesteente door afschuiving: het gesteente beweegt loodrecht op de richting waarin de golf zich voortplant. Ze gaat alleen door vaste stoffen, en komt na de P-golf aan.

Een vloeistof stroomt en biedt geen weerstand tegen een vormverandering, dus ze kan een afschuiving niet doorgeven: daarom stoppen S-golven aan het oppervlak van een vloeistof. In de meeste gesteenten plant een P-golf zich ongeveer $\sqrt 3 \approx 1.7$ keer zo snel voort als een S-golf. In de bovenkorst gaat een P-golf met ongeveer $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en een S-golf met ongeveer $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; vlak onder de korst bereiken ze ongeveer $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

11.1.2 Looptijdkrommen

De afstand van een aardbeving tot een ver station wordt als een hoek gemeten: de hoek $\Delta$ in het middelpunt van de Aarde tussen het epicentrum en het station, de epicentrale afstand. Eén graad daarvan is $111.2\,\mathrm{km}$ langs het oppervlak.

Definitie 11.2 (Looptijd; looptijdkromme)

De looptijd van een seismische golf bij een station is de tijd die de golf nodig heeft om van de haard naar het station te gaan. De looptijdkromme van een golf is de grafiek van haar looptijd tegen de epicentrale afstand van het station.

Een station registreert het tijdstip waarop elke golf aankomt; als het tijdstip van de aardbeving bekend is, is het verschil de looptijd. Duizenden aardbevingen, geregistreerd door duizenden stations, hebben de looptijdkrommen heel precies opgeleverd. In de figuur zijn de krommen berekend met het referentiemodel van de Aarde van Sectie 11.4, en de punten zijn looptijden die bij echte aardbevingen zijn waargenomen: de twee komen overal tot op twee procent overeen, en meestal tot op een of twee seconden.

De S-kromme stijgt steiler dan de P-kromme, dus de vertraging tussen de twee aankomsten groeit met de afstand. Dat geeft de afstand van een aardbeving uit één enkele registratie.

Methode 11.3 (Afstand van een aardbeving uit de S–P-vertraging)

1. Lees op de registratie het tijdstip af van de eerste P-golf en van de eerste S-golf; hun verschil is de S–P-vertraging.
2. Zoek op de looptijdkrommen (of in een tabel ervan) de epicentrale afstand waarbij de S-kromme die vertraging boven de P-kromme ligt.
3. Reken zo nodig om naar kilometer, met $111.2\,\mathrm{km}$ per graad.

Met drie stations is het epicentrum het punt dat op de juiste afstand van alle drie ligt.

Voorbeeld 11.4 (Een aardbeving op $60{}^{\circ}$)

Waargenomen looptijden zijn $608\,\mathrm{s}$ voor P en $1101\,\mathrm{s}$ voor S op $60{}^{\circ}$, $536\,\mathrm{s}$ en $967\,\mathrm{s}$ op $50{}^{\circ}$. Een station dat een S-golf $493\,\mathrm{s}$ (8 minuten 13 seconden) na de P-golf registreert, ligt daarom $60{}^{\circ}$ van het epicentrum: ongeveer $60 \times 111.2 \approx 6670\,\mathrm{km}$. Op $50{}^{\circ}$ zou de vertraging maar $431\,\mathrm{s}$ zijn.

11.2 Breking en de Moho

11.2.1 De golf die langs een grens loopt

In de Aarde verandert de snelheid van seismische golven met de diepte, meestal geleidelijk, maar op sommige plaatsen ineens.

Definitie 11.5 (Seismische discontinuïteit)

Een seismische discontinuïteit is een vlak in de Aarde waarover de snelheid van seismische golven plotseling verandert — over een dikte die veel kleiner is dan de golflengte.

Bij een discontinuïteit wordt een deel van een golf teruggekaatst en een deel gebroken. Neem een laag met dikte $h$ waarin P-golven zich voortplanten met $v_1$, boven op een laag waarin ze sneller gaan, $v_2 > v_1$. Een straal die onder de hoek $i$ met de verticaal naar beneden gaat, wordt gebroken onder de hoek $r$ gegeven door $\sin r = (v_2/v_1)\sin i$: hij buigt van de verticaal af. Wanneer $\sin i$ de waarde $v_1/v_2$ bereikt, loopt de gebroken straal precies langs de grens. De hoek

is de kritische hoek. De golf die onder de kritische hoek wordt gebroken, loopt met de snelheid $v_2$ langs de bovenkant van de snellere laag, en zendt onderweg golven terug omhoog in de bovenste laag, allemaal onder de hoek $i_c$: die bereiken het oppervlak als de kopgolf.

Propositie 11.6 (Looptijd van de kopgolf)

Voor een bron aan het oppervlak ontvangt een station op de afstand $x \ge 2h\tan i_c$ de kopgolf na

$$t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.$$

Zijn looptijdkromme is een rechte met helling $1/v_2$ die, naar achteren doorgetrokken, de tijdas snijdt op de intercepttijd $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

De directe golf komt aan na $x/v_1$: zijn kromme is een rechte door de oorsprong, steiler dan de rechte van de kopgolf. Dicht bij de bron komt de directe golf het eerst aan; ver weg haalt de kopgolf, die het grootste deel van de weg met de hogere snelheid heeft afgelegd, hem in.

Propositie 11.7 (Overgangsafstand)

De kopgolf komt vóór de directe golf aan voorbij de overgangsafstand

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

11.2.2 De onderkant van de korst

Definitie 11.8 (Moho)

De Mohorovičić-discontinuïteit, of Moho, is de seismische discontinuïteit aan de onderkant van de korst, waar de snelheid van P-golven springt van hoogstens ongeveer $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ naar ongeveer $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, de snelheid in de bovenste mantel.

Geschiedenis — Mohorovičić en de twee P-golven, 1909

Andrija Mohorovičić (1857–1936) vond op de registraties van de aardbeving van 1909 dat er voorbij een bepaalde afstand — in het algemeen tussen 100 en $150\,\mathrm{km}$ — een zwakke, snellere P-golf aankwam vóór de sterke P-golf. Hij verklaarde die als een golf die door sneller gesteente onder de korst was gegaan. Hij noemde de twee golven Pg (de directe golf in de korst) en Pn (de kopgolf langs de bovenkant van de mantel), deed hetzelfde voor S-golven, en leidde de snelheden in beide lagen en de diepte van de grens ertussen af. De Pn-golf plant zich voort met ongeveer $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, de snelheid van de bovenste mantel. Zijn artikelen van 1910 bewezen dat de korst en de mantel verschillend zijn; de grens draagt zijn naam.

Methode 11.9 (Diepte van de Moho uit een looptijddiagram)

1. Zet de eerste aankomsttijden uit tegen de afstand tot het epicentrum.
2. Teken de rechte van de directe golf (door de oorsprong) en de rechte van de kopgolf; hun hellingen zijn $1/v_1$ en $1/v_2$.
3. Trek de rechte van de kopgolf naar achteren door tot de tijdas: ze snijdt die op de intercepttijd $t_i$.
4. Met $\sin i_c = v_1/v_2$ is de dikte van de korst $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$.

Voorbeeld 11.10 (Een korst van $30\,\mathrm{km}$ dik)

Met $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ is $\sin i_c = 0.765$, $i_c \approx 49.9{}^{\circ}$ en $\cos i_c \approx 0.644$. Een intercepttijd van $6.23\,\mathrm{s}$ geeft $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx 30\,\mathrm{km}$. De kopgolf bereikt het oppervlak voor het eerst op $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ en haalt de directe golf in voorbij $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

Op deze manier over de hele wereld gemeten, ligt de Moho maar ongeveer $5\,\mathrm{km}$ onder de bodem van de oceanen. Onder de continenten ligt hij gemiddeld ongeveer $41\,\mathrm{km}$ diep: ongeveer $30\,\mathrm{km}$ waar de korst is uitgerekt, meer dan $45\,\mathrm{km}$ onder gebergtegordels, en tot ongeveer $100\,\mathrm{km}$ onder de hoogste ketens. De korst is een dun vel: zelfs $41\,\mathrm{km}$ is minder dan één procent van de straal van de Aarde.

11.3 De kern

11.3.1 Stralen die krommen

In de mantel neemt de snelheid van seismische golven toe met de diepte. Een straal die naar beneden gaat, doorkruist steeds sneller gesteente en wordt volgens de brekingswet bij elke stap een beetje meer van de verticaal afgebogen: zijn baan kromt en buigt terug naar het oppervlak. Hoe dieper een straal omkeert, hoe verder van de aardbeving hij weer bovenkomt. De figuur toont zulke stralen, berekend met de snelheden van het referentiemodel van de Aarde.

11.3.2 De schaduwzone en de vloeibare buitenkern

In 1906 merkte de seismoloog Oldham op dat P-golven die aan de andere kant van de Aarde werden geregistreerd, later aankwamen dan verwacht, en stelde hij een centrale kern voor waarin ze trager gaan. In 1912 toonde Gutenberg aan dat P-golven een hele band van afstanden niet bereiken, tussen ongeveer $105{}^{\circ}$ en $143{}^{\circ}$, met sterke aankomsten net voorbij $143{}^{\circ}$; in 1914 plaatste hij de bovenkant van de kern op $2900\,\mathrm{km}$ diepte.

Definitie 11.11 (Schaduwzone)

De schaduwzone van een seismische golf is het bereik van epicentrale afstanden dat de golf vanuit een aardbeving niet rechtstreeks kan bereiken, omdat de kern haar afbuigt of tegenhoudt.

De stralen verklaren het. De P-stralen die vlak boven de kern omkeren, komen ongeveer $100{}^{\circ}$ van de aardbeving weer boven. Een straal die iets steiler gaat, komt in de kern, waar de P-snelheid plotseling daalt van $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tot ongeveer $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: volgens de brekingswet buigt hij naar de verticaal toe, gaat door de kern en komt veel verder weg uit, voorbij ongeveer $144{}^{\circ}$. Geen enkele P-straal die in de mantel omkeert en geen enkele P-straal die door de kern gaat, landt daartussen. In het referentiemodel loopt de schaduwzone van P van $98.5{}^{\circ}$ tot $143.8{}^{\circ}$, dicht bij de $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$ van Gutenberg.

S-golven vertellen meer. Geen enkele S-golf gaat door de buitenkern: de buitenkern geeft geen afschuifgolven door, dus ze is vloeibaar. Daardoor komt er in het referentiemodel voorbij ongeveer $103{}^{\circ}$ geen enkele S-golf rechtstreeks aan — op de hele andere kant van de Aarde.

Definitie 11.12 (Kern-mantelgrens; grens van de binnenkern)

De kern-mantelgrens is de seismische discontinuïteit tussen de vaste mantel en de vloeibare buitenkern, op een diepte van $2891\,\mathrm{km}$; daar daalt de P-snelheid van ongeveer $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tot ongeveer $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, en stoppen S-golven. De grens van de binnenkern, op een diepte van $5150\,\mathrm{km}$, scheidt de vloeibare buitenkern van de vaste binnenkern; daar springt de P-snelheid van ongeveer $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ naar ongeveer $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

De schaduwzone is niet helemaal stil: er komen zwakke P-golven in aan. Inge Lehmann verklaarde die in 1936 met een vaste binnenkern waarin P-golven sneller gaan (Boek 1, jaar 6). De stralen laten zien hoe. Een P-straal die de binnenkern bereikt, buigt daar waar de snelheid omhoog springt van de verticaal af, zoals bij de Moho, en komt eerder weer uit de kern: in het referentiemodel bereiken stralen door de binnenkern het oppervlak vanaf ongeveer $121{}^{\circ}$, binnen de schaduwzone (gestippelde kromme van de looptijdfiguur).

11.4 Een referentiemodel van de Aarde

Samengevoegd geven miljoenen looptijden de snelheid van P- en S-golven op elke diepte. Hun snelheden hangen af van het gesteente en zijn dichtheid, en de totale massa van de Aarde legt haar gemiddelde dichtheid vast; samen geven ze ook de dichtheid op elke diepte.

Definitie 11.13 (Referentiemodel van de Aarde)

Een referentiemodel van de Aarde is een tabel van de snelheid van P-golven, de snelheid van S-golven en de dichtheid tegen de diepte, in elke richting dezelfde, gekozen om overeen te komen met de waargenomen looptijden van seismische golven en met de massa van de Aarde.

Het meest gebruikte is het Preliminary Reference Earth Model (PREM), in 1981 gepubliceerd door A. M. Dziewonski en D. L. Anderson. De stralen en looptijden van dit hoofdstuk zijn ermee berekend: de looptijd van P op $60{}^{\circ}$ komt bijvoorbeeld uit op $607\,\mathrm{s}$, tegen $608\,\mathrm{s}$ waargenomen.

Het model van boven naar beneden gelezen:

• de korst, met P-snelheden van 5.8 tot $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, eindigt bij de Moho ($24.4\,\mathrm{km}$ in dit gemiddelde model);
• in de mantel nemen de snelheden toe met de diepte, met kleinere plotselinge sprongen, de grootste bij $400\,\mathrm{km}$ en $670\,\mathrm{km}$;
• op $2891\,\mathrm{km}$ valt de S-snelheid terug tot nul en daalt de P-snelheid met meer dan $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: de vloeibare buitenkern;
• op $5150\,\mathrm{km}$ bestaan er weer S-golven: de vaste binnenkern, met een straal van $1220\,\mathrm{km}$.

De dichtheid stijgt van $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ in de korst tot $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ aan de onderkant van de mantel, springt dan naar $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ bovenaan de kern en bereikt $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ in het middelpunt. De gemiddelde dichtheid van het hele model is $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, twee keer die van de gesteenten van de korst: het diepe binnenste, en vooral de kern, bestaat uit veel dichter materiaal dan het oppervlak. De kern bevat ongeveer een derde van de massa van de Aarde.

11.5 Oefeningen

Oefening 11.1 ★

Geef twee verschillen tussen P-golven en S-golven. Welke wordt het eerst door een seismometer geregistreerd, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.1.

Een P-golf drukt het gesteente samen en rekt het uit, waarbij het gesteente langs de voortplantingsrichting beweegt; een S-golf vervormt het door afschuiving, en het gesteente beweegt loodrecht op die richting. P-golven gaan door vaste stoffen en vloeistoffen; S-golven alleen door vaste stoffen. De P-golf wordt het eerst geregistreerd, omdat ze de snelste van de twee is.

Oefening 11.2 ★

Een station ligt $40{}^{\circ}$ van een epicentrum. Hoe ver is het, gemeten langs het oppervlak? Hoeveel graden ligt een station op $8900\,\mathrm{km}$ van een epicentrum daarvandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.2.

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$, ongeveer $4450\,\mathrm{km}$. $8900/111.2 \approx 80{}^{\circ}$.

Oefening 11.3 ★

De waargenomen looptijden op $40{}^{\circ}$ zijn $456\,\mathrm{s}$ voor P en $822\,\mathrm{s}$ voor S. Reken ze om naar minuten en seconden, en geef de S–P-vertraging.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.3.

$456\,\mathrm{s}$ is 7 minuten 36 seconden; $822\,\mathrm{s}$ is 13 minuten 42 seconden. De S–P-vertraging is $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$, dat is 6 minuten 6 seconden.

Oefening 11.4 ★

Een korst waarin P-golven zich voortplanten met $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ligt op een mantel waar ze $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ halen. Bereken de kritische hoek.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.4.

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$, dus $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

Oefening 11.5 ★

In het referentiemodel ligt de kern-mantelgrens op $2891\,\mathrm{km}$ diepte en de grens van de binnenkern op $5150\,\mathrm{km}$; de straal van de Aarde is $6371\,\mathrm{km}$. Bereken de dikte van de buitenkern, de straal van de kern, en de straal van de kern als deel van de straal van de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.5.

De buitenkern is $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$ dik. De straal van de kern is $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$, en $3480/6371 \approx 0.55$: iets meer dan de helft van de straal van de Aarde.

Oefening 11.6 ★★

Waargenomen S–P-vertragingen zijn $224\,\mathrm{s}$ op $20{}^{\circ}$, $298\,\mathrm{s}$ op $30{}^{\circ}$, $366\,\mathrm{s}$ op $40{}^{\circ}$, $431\,\mathrm{s}$ op $50{}^{\circ}$ en $493\,\mathrm{s}$ op $60{}^{\circ}$. Een station registreert een S-golf 6 minuten 6 seconden na de P-golf. Hoe ver weg is de aardbeving, in graden en in kilometer? Waarom kan één station niet zeggen waar de aardbeving is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.6.

6 minuten 6 seconden is $366\,\mathrm{s}$: de aardbeving ligt $40{}^{\circ}$ ver, dat is $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. Eén vertraging geeft alleen de afstand: het epicentrum kan overal liggen op een cirkel met die straal rond het station. Er zijn nog twee stations nodig om het ene punt te vinden dat op de juiste afstand van alle drie ligt.

Oefening 11.7 ★★

Bereken met de snelheden van Oefening 11.4 en een korst van $35\,\mathrm{km}$ dik de looptijden van de directe golf en van de kopgolf bij een station op $200\,\mathrm{km}$ van het epicentrum. Welke komt het eerst aan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.7.

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ en $\cos i_c \approx 0.661$. Directe golf: $200/6.0 \approx 33.3\,\mathrm{s}$. Kopgolf: $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0 \approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. De kopgolf komt het eerst aan, ongeveer $0.6\,\mathrm{s}$ eerder.

Oefening 11.8 ★★

Bereken voor de korst van Oefening 11.7 de kritische afstand $2h\tan i_c$ en de overgangsafstand. Ga na dat het antwoord op Oefening 11.7 daarmee klopt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.8.

$\tan i_c \approx 1.134$: de kritische afstand is $2 \times 35 \times 1.134 \approx 79\,\mathrm{km}$. De overgangsafstand is $2 \times 35 \times \sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. Het station van Oefening 11.7 ligt op $200\,\mathrm{km}$, voorbij de overgangsafstand: de kopgolf komt het eerst aan, zoals gevonden.

Oefening 11.9 ★★

Onder een oceaan ligt een korst van $6\,\mathrm{km}$ dik, waarin P-golven zich voortplanten met $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, op een mantel met $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Bereken de kritische hoek, de intercepttijd en de overgangsafstand. Waarom moeten de stations veel dichter bij elkaar staan om de Moho onder een oceaan te vinden dan onder een continent?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.9.

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$, $i_c \approx 54.3{}^{\circ}$ en $\cos i_c \approx 0.583$. Intercepttijd: $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. Overgangsafstand: $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. Onder een continent ligt de overgangsafstand rond $165\,\mathrm{km}$, dus stations op enkele tientallen kilometers van elkaar vangen beide rechten op; onder de oceaan komt de kopgolf al voorbij ongeveer $37\,\mathrm{km}$ het eerst aan, en is de rechte van de directe golf maar een paar tientallen kilometers lang: de stations moeten een paar kilometer van elkaar staan om haar te tekenen.

Oefening 11.10 ★★

Een P-straal in de onderste mantel, waar hij zich voortplant met $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, treft de kern-mantelgrens onder $30{}^{\circ}$ met de loodlijn. Onder de grens is de P-snelheid $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Bereken de hoek van de gebroken straal. Buigt de straal naar de loodlijn toe of ervan af? Gebruik dit om uit te leggen waarom P-stralen die de kern binnengaan, ver van de aardbeving uitkomen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.10.

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$, dus $r \approx 17.1{}^{\circ}$: de straal buigt naar de loodlijn toe, dat wil zeggen naar het middelpunt van de Aarde. Hij gaat daarom over een lange weg dicht bij het midden door de kern, en komt ver aan de andere kant weer uit: P-stralen die de kern binnengaan, komen veel verder van de aardbeving uit dan de stralen die de kern net missen.

Oefening 11.11 ★★

In het referentiemodel doet een P-golf die recht naar beneden door het middelpunt gaat $1210\,\mathrm{s}$ over het bereiken van het tegenoverliggende punt van de Aarde. Hoe lang zou dat duren als ze de hele middellijn ($12\,742\,\mathrm{km}$) met $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ aflegde, de P-snelheid aan de onderkant van de mantel? Wat concludeerde Oldham uit zulke vertragingen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.11.

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$, ongeveer 15.5 minuten, terwijl de golf $1210\,\mathrm{s}$ nodig heeft, ongeveer 20 minuten: ze is zo’n 280 seconden te laat. Zelfs met de hoogste snelheid van de mantel zou de golf veel eerder aankomen, dus het midden van de Aarde moet haar vertragen. Oldham concludeerde dat de Aarde een centrale kern heeft waarin P-golven trager gaan dan in de mantel.

Oefening 11.12 ★★★

(1) Toon met Propositie 11.6 aan dat de dikte van de korst gelijk is aan

$$h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) Pas dit toe op $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$, $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.12.

(1) Volgens de propositie is $t_i = 2h\cos i_c/v_1$, en $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. Dus

$$t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2}, \qquad\text{zodat}\qquad h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

Oefening 11.13 ★★★

De gemiddelde dichtheid van de Aarde is $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Beschouw de Aarde als een kern met straal $3480\,\mathrm{km}$ en uniforme dichtheid $\rho_c$, binnen een mantel en korst met uniforme dichtheid $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (het gemiddelde van het referentiemodel). (1) Welk deel van het volume van de Aarde is de kern? (2) Bereken $\rho_c$. (3) Vergelijk met de dichtheid bovenaan de kern in het referentiemodel, $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, en met de dichtheid van de korst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.13.

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$: de kern is ongeveer $16\,\%$ van het volume. (2) De gemiddelde dichtheid is het naar volume gewogen gemiddelde: $5.52 = 0.163 \rho_c + 0.837 \times 4.45$, dus $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx 11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) Dat is meer dan $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, zoals het hoort, want de dichtheid van de kern neemt toe naar het middelpunt (tot $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$); het is ongeveer vier keer de dichtheid van de korst, $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. De kern bestaat uit veel dichter materiaal dan de gesteenten aan het oppervlak.

Oefening 11.14 ★★★

De schaduwzone van P van Gutenberg loopt van $105{}^{\circ}$ tot $143{}^{\circ}$. (1) Geef haar grenzen in kilometer langs het oppervlak. (2) Op een bol is het oppervlak tussen de hoekafstanden $a$ en $b$ van een punt het deel $(\cos a - \cos b)/2$ van het hele oppervlak. Welk deel van het aardoppervlak ontvangt geen directe P-golf van een gegeven aardbeving? (3) Waarom heeft elke aardbeving haar eigen schaduwzone?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.14.

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ en $143 \times 111.2 \approx 15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 + 0.799)/2 \approx 0.27$: ongeveer $27\,\%$ van het oppervlak, een ring rond het punt tegenover de aardbeving. (3) De schaduwzone is een bereik van afstanden tot het epicentrum: ze verschuift met de aardbeving mee. Elke aardbeving heeft haar eigen ring.

Oefening 11.15 ★★★

Onder een hoge bergketen vindt een refractieonderzoek $v_1 = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en een intercepttijd van $9.5\,\mathrm{s}$. (1) Bereken daar de dikte van de korst. (2) Welke intercepttijd zou een korst van $30\,\mathrm{km}$ dik met dezelfde snelheden geven? (3) Vergelijk met de gemiddelde dikte van de continentale korst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.15.

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx 484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$, $\cos i_c \approx 0.629$, en $t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx 6.0\,\mathrm{s}$. (3) De korst onder de keten is ongeveer $48\,\mathrm{km}$ dik, dikker dan het continentale gemiddelde van ongeveer $41\,\mathrm{km}$ en dicht bij het gemiddelde van gebergtegordels: hoge ketens staan op een dikke korst.

11.6 Probleem: de Moho vinden

Probleem 11.1

Weekendprobleem — de dikte van de korst uit vijftien stations

Een kleine aardbeving vindt op heel geringe diepte onder een continent plaats. Vijftien stations, opgesteld op een rechte lijn vanaf het epicentrum, registreren de aankomsttijden van de eerste P-golf en, waar die af te lezen is, van een tweede. De aflezingen hieronder zijn verzonnen, maar berekend zoals een echt onderzoek ze zou vinden, tot op een tiende seconde. Pg is de golf die door de korst gaat, Pn de golf die langs de bovenkant van de mantel is gelopen.

afstand ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)	afstand ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)
20	3.3	—	180	29.0	28.5
40	6.5	—	200	32.3	30.9
60	9.7	—	220	—	33.3
80	12.8	16.2	240	—	35.8
100	16.1	18.6	260	—	38.3
120	19.3	21.1	280	—	40.8
140	22.6	23.6	300	—	43.2
160	25.8	26.0

Deel I — De directe golf.

1. Zet op millimeterpapier de tijden van Pg en Pn uit tegen de afstand ($1\,\mathrm{cm}$ voor $20\,\mathrm{km}$ en voor $5\,\mathrm{s}$). Hoe liggen de punten van Pg?
2. Waarom gaat de rechte van Pg dicht langs de oorsprong?
3. Bereken met de stations op 20 en $200\,\mathrm{km}$ de helling van de rechte van Pg in seconde per kilometer.
4. Leid daaruit de snelheid $v_1$ van P-golven in de korst af.
5. Als de korst doorliep, wanneer zou de Pg-golf dan het station op $300\,\mathrm{km}$ bereiken?

Deel II — De gebroken golf.

6. Bereken met de stations op 100 en $300\,\mathrm{km}$ de helling van de rechte van Pn en de snelheid $v_2$ van P-golven onder de korst.
7. Vergelijk $v_2$ met de snelheid van de Pn-golf die Mohorovičić mat, ongeveer $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Welk gesteente ligt onder de korst?
8. Bereken de kritische hoek $i_c$.
9. Geen enkel station dichter dan $80\,\mathrm{km}$ registreert een Pn-golf. Leg met Propositie 11.6 uit waarom er een kleinste afstand is waarop de kopgolf kan worden geregistreerd.
10. Tussen 80 en $160\,\mathrm{km}$ komt Pn na Pg aan. Waarom wordt ze toch geregistreerd?

Deel III — De overgang.

11. Tussen welke twee stations verandert volgens de tabel de eerst aankomende golf van Pg in Pn?
12. Schrijf de vergelijkingen van de twee rechten op, met de punten op $20\,\mathrm{km}$ (Pg) en $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. Bereken de afstand waarop de twee rechten elkaar snijden.
14. Voorbij $200\,\mathrm{km}$ registreert geen enkel station Pg als een afzonderlijke golf. Welke golf registreert een station op $250\,\mathrm{km}$ het eerst, en wanneer?

Deel IV — De diepte van de Moho.

15. Trek de rechte van Pn naar achteren door tot de tijdas: wat is de intercepttijd $t_i$?
16. Bereken $\cos i_c$, en de dikte $h$ van de korst met Methode 11.9.
17. Controle: bereken met deze $h$ de overgangsafstand met Propositie 11.7 en vergelijk met vraag 13.
18. Nog een controle: bereken de kritische afstand $2h\tan i_c$ en vergelijk met het dichtstbijzijnde station dat Pn registreert.
19. De seismologen geven $h$ maar tot op een paar kilometer. Waarom is een nauwkeuriger waarde niet gerechtvaardigd?
20. Besluit: op welke diepte ligt de Moho onder dit gebied? Is de korst hier dun of dik voor een continent?

Oplossing

Oplossing van Probleem 11.1.

1. De punten van Pg liggen op een rechte; de punten van Pn liggen op een andere rechte, minder steil.

2. De aardbeving ligt op heel geringe diepte onder het epicentrum: een station op afstand nul zou de golf meteen registreren.

3. $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ per kilometer.

4. $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

5. $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

6. $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ per kilometer, dus $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

7. Ze ligt dicht bij $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: onder de korst ligt het gesteente van de bovenste mantel.

8. $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$, dus $i_c \approx 49.8{}^{\circ}$.

9. De kopgolf gaat onder de hoek $i_c$ naar beneden en komt onder dezelfde hoek weer omhoog. Het eerste punt waar hij naar het oppervlak kan terugkeren, ligt $h\tan i_c$ voorbij het punt waar hij de Moho bereikte, dat zelf op $h\tan i_c$ van de bron ligt: geen station dichter dan $2h\tan i_c$ kan hem ontvangen.

10. Een seismometer registreert elke golf die hem bereikt, niet alleen de eerste; de Pn-golf komt na de Pg-golf aan, maar is op de registratie nog als een afzonderlijke golf te zien.

11. Op $160\,\mathrm{km}$ komt Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) vóór Pn ($26.0\,\mathrm{s}$); op $180\,\mathrm{km}$ komt Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) vóór Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). De wisseling gebeurt tussen deze twee stations.

12. Pg: $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. Pn: $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ in kilometer, $t$ in seconde).

13. $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ geeft $x \approx 6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

14. Pn, na $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

15. $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

16. $\cos i_c \approx 0.646$, dus $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times 0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

17. $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times 2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$, tot op $2\,\mathrm{km}$ gelijk aan de $163\,\mathrm{km}$ van vraag 13.

18. $\tan i_c \approx 1.18$: $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx 72\,\mathrm{km}$. Het dichtstbijzijnde station dat Pn registreert, ligt op $80\,\mathrm{km}$, en dat op $60\,\mathrm{km}$ niet: de twee kloppen met elkaar.

19. De tijden zijn tot op $0.1\,\mathrm{s}$ afgelezen, en een fout van $0.1\,\mathrm{s}$ op $t_i$ alleen verandert $h$ al met ongeveer $0.5\,\mathrm{km}$; de snelheden, afgeleid uit hellingen, zijn ook onzeker, en de aardbeving lag niet precies aan het oppervlak. Bovendien is de korst niet volmaakt uniform. Een nauwkeurigheid van een of twee kilometer is het hoogste wat de gegevens toelaten.

20. De Moho ligt ongeveer $30\,\mathrm{km}$ onder dit gebied: de korst is hier aan de dunne kant voor een continent, waarvan de korst gemiddeld ongeveer $41\,\mathrm{km}$ dik is; $30\,\mathrm{km}$ is typisch voor gebieden waar de korst is uitgerekt.