24De inwendige warmte van de Aarde

Tussen 1987 en 1995 boorden geologen bij het dorp Windischeschenbach in Beieren een gat van $9101\,\mathrm{m}$ diep in de continentale korst. Op de bodem had het gesteente ongeveer $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, te heet om nog dieper te boren.

Van ongeveer $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak tot $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ op $9.1\,\mathrm{km}$ is een stijging van ongeveer $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer, een gewone waarde. Overal op Aarde wordt het naar beneden toe heter, dus stroomt er voortdurend warmte uit de Aarde. Dit hoofdstuk meet die stroom, vraagt waar de warmte vandaan komt, en laat zien hoe ze zich verplaatst.

Wat je al weet

De geotherm is de kromme van de temperatuur tegen de diepte onder een plaats, en de geothermische gradiënt de stijging van de temperatuur per kilometer; boorgaten meten dicht bij het oppervlak 25 tot $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer (Hoofdstuk 12). Sommige atomen zijn radioactief: ze vervallen willekeurig, waarbij het aantal dat overblijft elke halveringstijd halveert, en elk verval maakt energie vrij, die uiteindelijk warmte wordt (de natuurkundeboeken). Een convectiecel is een kringloop van een vloeistof die van onderen wordt verwarmd, opstijgt, zich uitspreidt, afkoelt en zinkt (Boek 1, jaar 8). Bij een hotspot beweegt een plaat over een pluim van hete mantel (Hoofdstuk 13).

24.1 Gradiënt en warmtestroom

Definitie 24.1 (Warmtestroom)

De warmtestroom (of warmteflux) op een plaats is het vermogen dat het binnenste van de Aarde daar verlaat door elke vierkante meter van haar oppervlak. Hij wordt gemeten in milliwatt per vierkante meter ($\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$).

Warmte stroomt van warm naar koud, en hoe steiler de temperatuurgradiënt, hoe sneller ze stroomt. Hoeveel er stroomt, hangt ook af van het gesteente: elk gesteente heeft een warmtegeleidingscoëfficiënt $k$, in watt per meter per kelvin, die de natuurkundeboeken definiëren.

Propositie 24.2 (Warmtestroom en gradiënt)

Door gesteente met warmtegeleidingscoëfficiënt $k$ waarin de temperatuur met de diepte stijgt met een gradiënt $G$ (in kelvin per meter), is de warmtestroom omhoog naar het oppervlak

$$q = k\,G .$$

Deze wet van de geleiding, van Fourier, wordt hier aangenomen; de natuurkundeboeken bewijzen haar in een algemene vorm.

Methode 24.3 (Een warmtestroom uit een boorgat)

1. Meet de temperatuur op verschillende diepten van een boorgat, zodra het gat de tijd heeft gehad om terug te keren naar de temperatuur van het gesteente.
2. Zet de temperatuur uit tegen de diepte en neem de helling: de gradiënt $G$, omgerekend naar kelvin per meter.
3. Meet de geleidingscoëfficiënt $k$ van het gesteente op boorkernen in het laboratorium.
4. Vermenigvuldig: $q = kG$, in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, en reken om naar $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Voorbeeld 24.4 (Een boorgat in graniet)

Een boorgat in graniet met geleidingscoëfficiënt $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ meet een gradiënt van $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer, dat is $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. Dan is $q = 2.72 \times 0.029 \approx 0.079\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, ongeveer $79\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Meer dan 38 000 zulke metingen zijn gecombineerd tot een kaart van de hele Aarde. De continenten verliezen gemiddeld $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, de oceaanbodem $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; over het hele oppervlak $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Vermenigvuldigd met de oppervlakte van de Aarde, $5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, is het totaal

ongeveer 47 terawatt, op 2 na.

De oceaanbodem verliest het meest waar hij het jongst is. Nieuwe lithosfeer verlaat een rug heet, en koelt af terwijl ze zich verwijdert; haar warmtestroom daalt als één gedeeld door de vierkantswortel van haar ouderdom.

24.2 Waar de warmte vandaan komt

De warmte heeft twee bronnen. De eerste is radioactiviteit.

Definitie 24.5 (Radiogene warmteproductie)

De radiogene warmteproductie van een gesteente is de warmte die erin vrijkomt door het verval van zijn radioactieve atomen, per volume- en tijdseenheid, in microwatt per kubieke meter ($\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$). Bijna alles komt van vier isotopen: uranium-238, uranium-235, thorium-232 en kalium-40.

Deze elementen zijn geconcentreerd in de gesteenten van de continentale korst. Volgens 2188 analyses is de mediane warmteproductie van graniet $2.43\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, van basalt $0.21\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, en van de ultramafische gesteenten van de mantel maar $0.11\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, ongeveer twintig keer minder dan graniet. Een laag graniet van $10\,\mathrm{km}$ dik produceert $2.43 \times 10^{-6} \times 10\,000 \approx 0.024\,\mathrm{W}$ onder elke vierkante meter, $24\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: een derde van de warmtestroom van de continenten.

Hoeveel warmte maakt radioactiviteit in de hele Aarde? KamLAND, een ondergrondse detector in Japan met 1000 ton vloeistof, vangt de geoneutrino’s, de antineutrino’s die vrijkomen bij het verval van uranium en thorium in de Aarde: hij zag de eerste in 2005, en in 2135 dagen meten ongeveer 106 ervan tussen 841 kandidaat-gebeurtenissen. Uit dat aantal, samen met dat van een detector in Italië, volgt dat uranium-238 en thorium-232 samen ongeveer 20 terawatt vrijmaken. Kalium-40 ontsnapt aan de detector; het is bekend dat het er ongeveer $4\,\mathrm{TW}$ aan toevoegt, en uranium-235, geschaald naar uranium-238, ongeveer $0.4\,\mathrm{TW}$. Radioactiviteit levert dus ongeveer $24\,\mathrm{TW}$, ruwweg de helft van de $47\,\mathrm{TW}$ die de Aarde verliest.

Definitie 24.6 (Seculaire afkoeling)

De seculaire afkoeling van de Aarde is haar trage verlies van de warmte die sinds haar ontstaan in haar binnenste is opgeslagen, de oerwarmte: het deel van de warmtestroom dat radioactiviteit niet aanvult, waardoor de mantel en de kern in de loop van de tijden kouder worden.

Radioactiviteit was vroeger sterker. Elke isotoop vervalt, dus was er lang geleden meer van: één halveringstijd terug twee keer zoveel, en twee keer zoveel warmte. Wie $t$ jaar teruggaat, vermenigvuldigt de warmte van een isotoop met halveringstijd $T$ met $2^{t/T}$.

Propositie 24.7 (Radiogene warmte in het verleden)

Als een isotoop met halveringstijd $T$ vandaag een vermogen $H_0$ vrijmaakt, maakte hij

$$H(t) = H_0 \, 2^{t/T} = H_0\, e^{\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T},$$

een tijd $t$ geleden vrij.

Vier en een half miljard jaar geleden maakte radioactiviteit ongeveer $116\,\mathrm{TW}$ vrij, bijna vijf keer de waarde van vandaag, en het meeste daarvan kwam van uranium-235 en kalium-40, de twee kortlevende isotopen, die sindsdien bijna zijn uitgestorven. De jonge Aarde was vanbinnen veel heter dan vandaag.

24.3 Geleiding en convectie

Warmte kan een vaste stof alleen door geleiding doorkruisen, van atoom tot atoom, en in gesteente gaat dat heel traag. Warmte doorkruist door geleiding een afstand $L$ in een tijd van ongeveer $L^2/\kappa$, waarbij $\kappa$, de thermische diffusiviteit van het gesteente, ongeveer $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ is. Voor de $2891\,\mathrm{km}$ van de mantel geldt

zo’n 260 miljard jaar, bijna zestig keer de ouderdom van de Aarde. Als de mantel alleen warmte geleidde, zou de warmte van zijn diepten er nog bijna helemaal zijn.

De mantel is vast, maar over miljoenen jaren kruipt hij, heel langzaam, als een heel stroperige vloeistof: de asthenosfeer stroomt (Hoofdstuk 12). Dus verliest de mantel zijn warmte zoals de lucht boven een radiator: door haar mee te voeren.

Definitie 24.8 (Thermische convectie; mantelconvectie)

Thermische convectie is het transport van warmte door de beweging van het materiaal zelf: warmer, lichter materiaal stijgt, kouder, dichter materiaal zinkt, zoals in een convectiecel. Mantelconvectie is de thermische convectie van de vaste mantel van de Aarde, die met een paar centimeter per jaar kruipt en de warmte van het binnenste naar het oppervlak voert.

De platen zijn het bovenste deel van deze convectie. Bij ruggen stijgt hete mantel op en wordt hij aan de platen toegevoegd; de lithosfeer koelt af terwijl ze zich verwijdert, wordt dicht, en zinkt onder haar eigen gewicht bij subductiezones: de slabs zijn het koude, zinkende deel van de stroming, en seismische beelden tonen hoe ze diep in de mantel zinken. Men denkt dat pluimen van heet gesteente onder hotspots opstijgen uit de diepe mantel, misschien van net boven de kern.

Het grootste deel van de warmte verlaat de mantel dus door convectie, en alleen de laatste tientallen kilometers, door de stijve lithosfeer, worden door geleiding doorkruist — de geleiding die boorgaten meten.

24.4 Geothermische energie

Definitie 24.9 (Geothermische energie)

Geothermische energie is de warmte van het binnenste van de Aarde die mensen gebruiken: heet water of stoom uit heet gesteente, omhoog gehaald via putten om te verwarmen of om elektriciteit te maken.

De warmte die uit de Aarde stroomt, is piepklein waar ze het oppervlak bereikt, ongeveer $0.1\,\mathrm{W}$ onder elke vierkante meter, veel te weinig om rechtstreeks te gebruiken. Ze wordt bruikbaar waar ze op geringe diepte is geconcentreerd. Bij vulkanen, rifts en hotspots, en langs plaatgrenzen, komt heet gesteente dicht bij het oppervlak, en het water dat in doorlatend gesteente circuleert, komt heet terug. Een centrale heeft heel heet water of stoom nodig, van ongeveer 150 tot $370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; sommige velden geven droge stoom, die de turbines rechtstreeks aandrijft. De eerste elektriciteit uit de warmte van de Aarde werd in 1904 gemaakt in Larderello, in Toscane: ze deed vijf gloeilampen branden. Elders wordt heet water van dicht bij het oppervlak naar gebouwen geleid om ze te verwarmen.

Een geothermisch veld is op de schaal van een mensenleven niet onuitputtelijk. Bij The Geysers, in Californië, onttrokken te veel putten stoom, sneller dan de trage warmtestroom en de regen konden aanvullen: de druk van de stoom zakte tot minder dan de helft van zijn piek, en meer dan $40\,\%$ van de capaciteit van de centrales ging verloren. Nu wordt er water teruggepompt in het veld om de achteruitgang te vertragen.

24.5 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Geef het woord: (a) het vermogen dat het binnenste verlaat door elke vierkante meter oppervlak; (b) de warmte die vrijkomt door het verval van radioactieve atomen in een volume-eenheid gesteente; (c) het verlies van de warmte die sinds het ontstaan van de Aarde is opgeslagen; (d) transport van warmte door de beweging van het materiaal zelf; (e) de inwendige warmte van de Aarde die mensen gebruiken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

(a) de warmtestroom; (b) de radiogene warmteproductie; (c) seculaire afkoeling; (d) thermische convectie; (e) geothermische energie.

Oefening 24.2 ★

Reken om: (1) $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ naar $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; (2) $46.7\,\mathrm{TW}$ naar watt; (3) $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer naar kelvin per meter.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

(1) $0.0916\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$. (3) $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$: een verschil van één graad Celsius is een verschil van één kelvin.

Oefening 24.3 ★

Noem de vier isotopen die bijna alle radiogene warmte maken, en zeg welke twee de detector KamLAND kan zien.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

Thorium-232, uranium-238, kalium-40 en uranium-235. KamLAND ziet alleen de geoneutrino’s van thorium-232 en uranium-238.

Oefening 24.4 ★

Bereken met $q = 490/\sqrt{t}$ de warmtestroom door oceaanbodem van 1, 4, 25 en 49 miljoen jaar oud.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$490/\sqrt{1} = 490\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/2 = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/5 = 98\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$; $490/7 = 70\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, ongeveer het gemiddelde van de continenten.

Oefening 24.5 ★

Waarom wordt de warmtestroom in boorgaten gemeten en niet aan het oppervlak zelf? Waarom moet je na het boren wachten voordat je meet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

Dicht bij het oppervlak volgt de temperatuur van de grond de dagen en de seizoenen; pas onder een paar meter blijft ze op de gemiddelde temperatuur van het jaar, en pas nog dieper toont ze de warmte die van beneden komt. Boren woelt het gesteente en het water in het gat om en verandert hun temperatuur, dus wacht je tot het gat is teruggekeerd naar de temperatuur van het gesteente.

Oefening 24.6 ★★

In het KTB-boorgat had het gesteente op $9.1\,\mathrm{km}$ ongeveer $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (1) Bereken de gemiddelde gradiënt, met $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan het oppervlak. (2) Welke warmtestroom geeft die met een geleidingscoëfficiënt van $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$? (3) Vergelijk met het gemiddelde van de continenten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

(1) $(265 - 10)/9.1 \approx 28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer, dat is $0.0280\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. (2) $q = 2.72 \times 0.0280 \approx 0.0762\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, ongeveer $76\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Iets boven het gemiddelde van de continenten, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, met ongeveer $7\,\%$: een gewone continentale waarde.

Oefening 24.7 ★★

De continenten beslaan $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ met een gemiddelde warmtestroom van $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, de oceanen $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ met $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Bereken het vermogen dat elk verliest, het totaal, en het aandeel dat door de oceaanbodem verloren gaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

Continenten: $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 1.47 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.7\,\mathrm{TW}$. Oceanen: $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 3.19 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 31.9\,\mathrm{TW}$. Totaal ongeveer $46.6\,\mathrm{TW}$, waarvan $31.9/46.6 \approx 68\,\%$, twee derde, door de oceaanbodem weggaat.

Oefening 24.8 ★★

Een laag granodioriet van $8\,\mathrm{km}$ dik heeft een warmteproductie van $1.88\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (1) Welke warmtestroom produceert ze aan het oppervlak? (2) Welk aandeel is dat van $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

(1) $1.88 \times 10^{-6} \times 8000 \approx 0.0150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 15.0\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $15.0/70.9 \approx 21\,\%$, een vijfde van de warmtestroom.

Oefening 24.9 ★★

Op welke ouderdom verliest de oceaanbodem volgens $q = 490/\sqrt{t}$ evenveel warmte als het gemiddelde continent, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

$\sqrt{t} = 490/70.9 \approx 6.91$, dus $t \approx 47.8$ miljoen jaar: oceaanbodem die ouder is dan ongeveer 48 miljoen jaar, verliest minder warmte dan het gemiddelde continent.

Oefening 24.10 ★★

Hoeveel meer warmte maakte uranium-235 1.4 miljard jaar geleden vrij dan vandaag? En kalium-40, 2.5 miljard jaar geleden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

Uranium-235: $2^{1.4/0.704} = 2^{1.99} \approx 4$ keer meer. Kalium-40: $2^{2.5/1.248} = 2^{2.00} \approx 4$ keer meer. Beide liggen twee halveringstijden terug.

Oefening 24.11 ★★

Hoe lang doet warmte er met $t \approx L^2/\kappa$ en $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ over om door geleiding te doorkruisen: (1) een lavastroom van $10\,\mathrm{m}$ dik; (2) een lithosfeer van $100\,\mathrm{km}$ dik; (3) de mantel? Druk elk resultaat uit in zinnige eenheden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

(1) $10^2/10^{-6} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, ongeveer 3 jaar. (2) $(10^5)^2/10^{-6} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, ongeveer 320 miljoen jaar. (3) $(2.891 \times 10^{6})^2/10^{-6} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, ongeveer 265 miljard jaar. De tijd groeit met het kwadraat van de afstand: tien keer dikker, honderd keer langer.

Oefening 24.12 ★★★

Vandaag maakt thorium-232 ongeveer $10.4\,\mathrm{TW}$ vrij, uranium-238 $9.6\,\mathrm{TW}$, kalium-40 $4.0\,\mathrm{TW}$ en uranium-235 $0.42\,\mathrm{TW}$. Bereken met de halveringstijden van de figuur de warmte van elk 3 miljard jaar geleden, het totaal, en het aandeel van de twee kortlevende isotopen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.12.

Vermenigvuldig elk met $2^{3/T}$: thorium-232, $10.4 \times 2^{3/14.0} \approx 12.1\,\mathrm{TW}$; uranium-238, $9.6 \times 2^{3/4.468} \approx 15.3\,\mathrm{TW}$; kalium-40, $4.0 \times 2^{3/1.248} \approx 21.2\,\mathrm{TW}$; uranium-235, $0.42 \times 2^{3/0.704} \approx 8.1\,\mathrm{TW}$. Totaal ongeveer $56.7\,\mathrm{TW}$, meer dan twee keer de $24.4\,\mathrm{TW}$ van vandaag. De twee kortlevende isotopen leveren $(21.2 + 8.1)/56.7 \approx 52\,\%$ ervan, tegen $4.42/24.4 \approx 18\,\%$ vandaag.

Oefening 24.13 ★★★

De centrale van Nesjavellir kan tot $300\,\mathrm{MW}$ warmte leveren, meegevoerd door ongeveer $1640\,\mathrm{L}$ heet water per seconde. Met een soortelijke warmte van $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ en een massa van $1\,\mathrm{kg}$ per liter: met hoeveel graden is dit water opgewarmd? Hoe groot is de oppervlakte van een gemiddeld continent die $300\,\mathrm{MW}$ warmte verliest?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.13.

Het vermogen is de massa per seconde maal de soortelijke warmte maal de opwarming: $3 \times 10^{8} = 1640 \times 4180 \times \Delta T$, dus $\Delta T = 3 \times 10^{8}/(1640 \times 4180) \approx 44\,\mathrm{K}$. Het gemiddelde continent verliest $0.0709\,\mathrm{W}$ per vierkante meter, dus is $300\,\mathrm{MW}$ het natuurlijke warmteverlies van $3 \times 10^{8}/0.0709 \approx 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, ongeveer $4200\,\mathrm{km}^{2}$: de centrale verzamelt warmte die de Aarde van nature over duizenden vierkante kilometer laat ontsnappen.

Oefening 24.14 ★★★

Stel dat een plaat 100 miljoen jaar nodig heeft om van een rug tot een trog te gaan, en een convectielus door de hele mantel ongeveer 200 miljoen jaar. (1) Vergelijk deze tijden met de 260 miljard jaar van geleiding door de mantel. (2) Waarom kan convectie warmte zoveel sneller vervoeren, hoewel de mantel maar een paar centimeter per jaar beweegt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.14.

(1) 100 miljoen jaar is $2.6 \times 10^{11}/1 \times 10^{8} = 2600$ keer korter dan 260 miljard jaar; 200 miljoen jaar 1300 keer korter. (2) Convectie voert de warmte mee met het bewegende gesteente: de tijd om de mantel te doorkruisen is zijn dikte gedeeld door de snelheid, $2891\,\mathrm{km}$ bij een paar centimeter per jaar, ongeveer honderd miljoen jaar. Geleiding heeft zo’n drager niet: haar tijd groeit met het kwadraat van de afstand, en over duizenden kilometers wordt die enorm.

Oefening 24.15 ★★★

Stel dat de kern ongeveer $10\,\mathrm{TW}$ warmte aan de mantel verliest over de kern-mantelgrens, op $2891\,\mathrm{km}$ diepte. (1) Welk aandeel van de seculaire afkoeling, $22.3\,\mathrm{TW}$, zou dat zijn? Waar komt de rest vandaan? (2) Bereken de gemiddelde warmtestroom over de kern-mantelgrens, en vergelijk die met de gemiddelde warmtestroom aan het oppervlak, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Waarom kan de hete kern de basis van de mantel verwarmen hoewel de mantel vast is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.15.

(1) $10/22.3 \approx 45\,\%$; de rest is de afkoeling van de mantel zelf, die zijn eigen opgeslagen warmte verliest. (2) De grens ligt op een straal van $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$; haar oppervlakte is $4\pi (3.48 \times 10^{6})^2 \approx 1.52 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, en $1 \times 10^{13}/1.52 \times 10^{14} \approx 0.066\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, ongeveer $66\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, zo’n $72\,\%$ van het gemiddelde aan het oppervlak. (3) De warmte steekt de grens over door geleiding naar de onderste laag van de mantel; opgewarmd wordt dit gesteente lichter dan de mantel erboven en kan het opstijgen, waarbij het de warmte omhoog meevoert: zo beginnen pluimen vermoedelijk, diep beneden.

Probleem 24.1

Weekendprobleem — het warmtebudget van de Aarde

De warmtestroom van de Aarde is op meer dan 38 000 plaatsen gemeten. Gemiddeld verliezen de continenten $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ over $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, en de oceaanbodem $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ over $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

Deel I — Warmtestroom en oppervlakten.

1. Controleer dat de twee oppervlakten samen de oppervlakte van een bol met straal $6371\,\mathrm{km}$ geven.
2. Welk deel van het oppervlak is oceaanbodem?
3. Waarom verliest de oceaanbodem meer warmte per vierkante meter dan de continenten?
4. Bereken met $q = 490/\sqrt{t}$ de warmtestroom door oceaanbodem van 4 miljoen jaar oud.
5. Een boorgat in graniet ($2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$) meet $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer. Ligt zijn warmtestroom boven of onder het continentale gemiddelde?

Deel II — Het totaal.

6. Bereken het vermogen dat door de continenten verloren gaat.
7. Bereken het vermogen dat door de oceaanbodem verloren gaat.
8. Tel ze op: de totale warmtestroom van de Aarde, in terawatt.
9. Wat is de gemiddelde warmtestroom over het hele oppervlak?
10. Als er onder elk continent $10\,\mathrm{km}$ graniet ($24.3\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$) lag, hoeveel terawatt zou dat produceren? Vergelijk met het vermogen dat door de continenten verloren gaat.

Deel III — Radiogene warmte.

11. KamLAND telt geoneutrino’s van uranium-238 en thorium-232: samen maken ze ongeveer $20.0\,\mathrm{TW}$ vrij, met $3.9\,\mathrm{kg}$ thorium in de Aarde voor elke kilogram uranium. Een kilogram uranium maakt $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ vrij via zijn uranium-238 en $4.10\,\text{µ}\mathrm{W}$ via zijn uranium-235; een kilogram thorium $26.3\,\text{µ}\mathrm{W}$. Bereken de warmte van uranium-238, en daarna van uranium-235.
12. Kalium-40 voegt er ongeveer $4\,\mathrm{TW}$ aan toe. Bereken de totale radiogene warmte.
13. Welke soort gesteente draagt het grootste deel van deze elementen, en waar ligt het?
14. Was de radiogene warmte 3 miljard jaar geleden groter of kleiner? Waarom?

Deel IV — Seculaire afkoeling.

15. Welk vermogen wordt niet door radioactiviteit geleverd?
16. Waar komt het vandaan?
17. Bereken het aandeel van de warmtestroom dat door seculaire afkoeling wordt geleverd.
18. Modellen van de samenstelling van de Aarde geven een radiogene warmte van 11 tot $38\,\mathrm{TW}$. Tussen welke aandelen ligt het radiogene deel dan?
19. Wat voert het grootste deel van deze warmte door de mantel?
20. Vat samen: welk aandeel van het warmteverlies van de Aarde levert radioactiviteit vandaag?

Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. $4\pi (6.371 \times 10^{6})^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, en $2.073 + 3.028 = 5.101$: ja.

2. $3.028/5.101 \approx 59\,\%$, ongeveer drie vijfde.

3. De oceaanbodem is jong: hij wordt heet gemaakt bij de ruggen en koelt af terwijl hij zich verwijdert, en jonge lithosfeer verliest veel warmte.

4. $490/\sqrt{4} = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

5. $2.72 \times 0.026 \approx 0.0707\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 70.7\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$: net onder het gemiddelde, er praktisch aan gelijk.

6. $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 14.7\,\mathrm{TW}$.

7. $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 31.9\,\mathrm{TW}$.

8. $14.7 + 31.9 \approx 46.6\,\mathrm{TW}$, de $47\,\mathrm{TW}$ van de gepubliceerde schatting (het wereldgemiddelde uit het hoofdstuk geeft $46.7\,\mathrm{TW}$, de waarde die hieronder wordt gebruikt).

9. $4.66 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} \approx 0.0914\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, ongeveer $91\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

10. $0.0243 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 5.0\,\mathrm{TW}$, een derde van de $14.7\,\mathrm{TW}$ die door de continenten verloren gaat: de radioactiviteit van de continentale korst is een groot deel van hun warmtestroom.

11. Voor elke kilogram uranium bevat de Aarde $3.9\,\mathrm{kg}$ thorium, dat $3.9 \times 26.3 \approx 102.6\,\text{µ}\mathrm{W}$ vrijmaakt, tegen $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ voor het uranium-238. Uranium-238 maakt dus $94.4/(94.4 + 102.6) \approx 0.479$ van de $20.0\,\mathrm{TW}$: ongeveer $9.6\,\mathrm{TW}$. Uranium-235: $9.59 \times 4.10/94.4 \approx 0.42\,\mathrm{TW}$.

12. $20.0 + 0.42 + 4 \approx 24.4\,\mathrm{TW}$.

13. Graniet en de andere gesteenten van de continentale korst, ongeveer twintig keer rijker dan de ultramafische gesteenten van de mantel.

14. Groter: elke isotoop was toen overvloediger, twee keer zoveel voor elke halveringstijd terug; 3 miljard jaar geleden was het totaal meer dan twee keer dat van vandaag.

15. $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$.

16. Uit de warmte die sinds het ontstaan van de Aarde is opgeslagen: de seculaire afkoeling van de mantel en de kern.

17. $22.3/46.7 \approx 48\,\%$.

18. Van $11/46.7 \approx 24\,\%$ tot $38/46.7 \approx 81\,\%$: de geoneutrino’s vernauwen dit bereik sterk.

19. Mantelconvectie, die het grootste deel van de warmte meevoert; alleen de laatste tientallen kilometers worden door geleiding doorkruist.

20. $24.4/46.7 \approx 0.52$: radioactiviteit levert vandaag ongeveer de helft van het warmteverlies van de Aarde, en het trage afkoelen van de planeet de andere helft.