3De energiebalans van de Aarde

Op de langste dag van het jaar gaat de Zon op de Noordpool niet onder. Ze draait de hele dag op dezelfde hoogte, ongeveer $23{}^{\circ}$ boven de horizon, rond aan de hemel, en de top van de atmosfeer boven de pool ontvangt op één dag meer zonlicht per vierkante meter dan waar ook op Aarde — $13.0\,\mathrm{kWh}$, tegen $9.5\,\mathrm{kWh}$ boven de evenaar. Toch blijft de zee rond de pool de hele zomer met ijs bedekt. Over een heel jaar gerekend ontvangt de evenaar daarentegen twee en een half keer zoveel zonlicht als de pool, en blijven de tropen het hele jaar warm. Dit hoofdstuk volgt de energie van het zonlicht: hoeveel er aankomt, waar en wanneer; hoeveel er meteen naar de ruimte wordt teruggekaatst; hoe de rest verdeeld wordt tussen de lucht en de grond, van de tropen naar de polen wordt gevoerd en ten slotte als infrarood licht naar de ruimte teruggaat — en welk piepklein deel ervan door levende wezens wordt opgeslagen.

Wat je al weet

De seizoenen ontstaan door de helling van de aardas, $23.44{}^{\circ}$ ten opzichte van de loodlijn op het vlak van haar baan: in juni helt het noordelijk halfrond naar de Zon toe, die daar hoger aan de hemel klimt en langer boven de horizon blijft (de natuurkundeboeken en Boek 1). De bestralingssterkte op de afstand van de Aarde, $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, het bondalbedo van een planeet en haar evenwichtstemperatuur kwamen aan bod in Hoofdstuk 2. Broeikasgassen absorberen een deel van het infrarood dat het oppervlak uitzendt (de scheikundeboeken). Warme lucht stijgt op en koude lucht daalt; zo gaat de lucht rond in convectiecellen en ontstaan de wereldwijde winden (Boek 1, jaar 8). Planten, algen en sommige bacteriën maken met de energie van licht suikers uit koolstofdioxide en water: fotosynthese (de biologieboeken).

3.1 Het ontvangen zonlicht

Vanaf de Zon gezien is de Aarde een schijf. Elke seconde vangt ze het zonlicht op dat op een schijf met straal $R$, haar eigen straal, valt; maar dat licht wordt verdeeld over alle punten van een bol, waarvan de helft in de nacht ligt.

Propositie 3.1 (Een kwart van de zonneconstante)

Gemiddeld over het hele aardoppervlak en over dag en nacht is het vermogen van het zonlicht dat aan de top van de atmosfeer aankomt

$$\frac{S_0}{4} = \frac{1361}{4} \approx 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.$$

Het gemiddelde verbergt grote verschillen van plaats tot plaats. Een bundel zonlicht die schuin op de grond valt, verspreidt zich over een grotere oppervlakte dan een bundel die er loodrecht op valt.

Propositie 3.2 (Zonlicht op een horizontaal oppervlak)

Staat de Zon op een hoogte $h$ boven de horizon, dan ontvangt een horizontale vierkante meter aan de top van de atmosfeer het vermogen $S_0 \sin h$.

De hoogte van de Zon verandert in de loop van de dag, en de lengte van de dag verandert met de seizoenen; allebei tellen ze mee in de energie die een plaats ontvangt.

Definitie 3.3 (Instraling)

De instraling van een plaats is het vermogen van het zonlicht dat een horizontale vierkante meter aan de top van de atmosfeer erboven ontvangt. Gemiddeld over de vierentwintig uur van een dag is het de daggemiddelde instraling; gemiddeld over een jaar de jaargemiddelde instraling; beide worden gemeten in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

Om het daggemiddelde uit te rekenen, heb je de hoogte van de Zon op elk moment van de dag nodig, en daarvoor is wiskunde nodig die verder gaat dan dit boek; de computer die de krommen hieronder tekende, heeft het gedaan. Twee gevallen zijn eenvoudig. Op de evenaar komt de Zon bij een equinox recht in het oosten op, staat ze om 12 uur ’s middags in het zenit en gaat ze na twaalf uur recht in het westen onder; gemiddeld over vierentwintig uur geeft dat $S_0/\pi \approx 433\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (aangenomen). Op de Noordpool draait de Zon gewoon op een vaste hoogte rond aan de hemel, en dat gebruikt het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 3.4 (De pool in juni)

Bij de junizonnewende staat de Zon de hele dag $23.44{}^{\circ}$ boven de horizon van de Noordpool. De daggemiddelde instraling is daar $1361 \times \sin 23.44^\circ \approx 541\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; over vierentwintig uur is dat $541 \times 24 \approx 13\,000\,\mathrm{Wh}$, $13.0\,\mathrm{kWh}$ per vierkante meter. Op dezelfde dag ontvangt de evenaar een daggemiddelde van $397\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, of $9.5\,\mathrm{kWh}$ per vierkante meter: de Zon klimt daar om 12 uur ’s middags hoger, maar ze is twaalf uur lang onder.

Opmerking 3.5 (De krommen lezen)

De instraling op de evenaar verandert nauwelijks: twee vlakke maxima bij de equinoxen, wanneer de Zon om 12 uur ’s middags in het zenit staat. Hoe noordelijker, hoe groter de schommeling tussen zomer en winter. Voorbij $90^\circ - 23.44^\circ = 66.56{}^{\circ}$ blijft de Zon bij de decemberzonnewende onder de horizon: de poolnacht. Van ongeveer 10 mei tot eind juli ontvangen de Noordpool en de breedte $60{}^{\circ}$ NB allebei meer dan de evenaar.

Over een heel jaar verandert het beeld: de jaargemiddelde instraling, verderop uitgezet in de paragraaf over overschot en tekort, daalt van $416\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op de evenaar tot $172\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op de polen. De overvloed van de poolgebieden in de zomer weegt niet op tegen hun lange nacht en hun lage Zon.

Opmerking 3.6 (De afstand tot de Zon maakt de seizoenen niet)

De baan van de Aarde is niet helemaal een cirkel: haar afstand tot de Zon varieert tussen $147.1$ en $152.1$ miljoen kilometer, met ongeveer $3\,\%$, zodat het zonlicht met ongeveer $7\,\%$ varieert. De Aarde staat begin januari het dichtst bij de Zon, midden in de noordelijke winter. De krommen hierboven verwaarlozen deze kleine verandering; de seizoenen komen van de helling van de as, en ze zijn tegengesteld op de twee halfronden.

3.2 Albedo

Een deel van het zonlicht dat de Aarde bereikt, verwarmt nooit iets: wolken, de lucht, sneeuw en de zee sturen het terug naar de ruimte.

Definitie 3.7 (Albedo)

Het albedo van een oppervlak is het deel van het zonlicht dat erop valt en dat het weerkaatst, een getal tussen 0 (al het licht geabsorbeerd) en 1 (alles weerkaatst). Het bondalbedo uit Hoofdstuk 2 is het albedo van een planeet als geheel.

Verse sneeuw kaatst het meeste licht dat ze ontvangt terug, de open oceaan bijna niets. Daarom houdt het zee-ijs van de openingsfoto zijn kou vast tijdens de poolzomer: de sneeuw erop weerkaatst tot negen tiende van het zonlicht, terwijl het donkere water tussen de ijsschotsen er ongeveer 94 procent van absorbeert. Als het ijs smelt, neemt donker water zijn plaats in en absorbeert meer zonlicht, waardoor meer ijs smelt: een zichzelf versterkende kringloop die Hoofdstuk 28 weegt tussen de terugkoppelingen van het klimaat.

Voor de Aarde als geheel meten satellieten het naar de ruimte weerkaatste zonlicht rechtstreeks: gemiddeld $100\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ van de $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ die aankomen, een albedo van $100/340 \approx 0.29$. Wolken zijn de belangrijkste weerkaatsers: dezelfde metingen, met de wolken er rekenkundig uit gehaald, geven maar $53\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ weerkaatst.

Voorbeeld 3.8 (Het zonlicht dat de Aarde absorbeert)

Met een bondalbedo van 0.294 absorbeert elke vierkante meter gemiddeld $340 \times (1 - 0.294) \approx 240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Over de hele bol, met oppervlakte $4\pi R^2 = 4\pi \times (6.371 \times 10^{6}\,\mathrm{m})^2 \approx 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, absorbeert de Aarde $240 \times 5.10\times10^{14} \approx 1.22 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ zonlicht: dit vermogen drijft de winden, de zeestromingen en de waterkringloop aan.

3.3 De wereldwijde energiebalans

Waar gaan die $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ naartoe? Metingen van satellieten, van instrumenten op de grond en van schepen, gecombineerd met modellen van de atmosfeer, geven vandaag een samenhangend antwoord, gemiddeld over de wereld en over meerdere jaren. Het wetenschappelijke evaluatierapport van 2021 vat het samen in het diagram hieronder, en stelt dat de wereldgemiddelde componenten nu nauwkeuriger bekend zijn, aan de top van de atmosfeer en aan het oppervlak (hoge betrouwbaarheid).

Definitie 3.9 (Energiebalans)

De energiebalans van een systeem — de hele Aarde, haar oppervlak of haar atmosfeer — is de boekhouding van alle energie die erin komt en eruit gaat, waarbij elke stroom wordt gegeven als een gemiddeld vermogen per vierkante meter aardoppervlak. De balans is sluitend als wat erin komt gelijk is aan wat eruit gaat; anders wint of verliest het systeem energie en warmt het op of koelt het af.

Het oppervlak verliest ook energie zonder straling: water verdampt uit de zee en uit bladeren, en de grond verwarmt de lucht die ermee in contact is.

Definitie 3.10 (Latente warmte; voelbare warmte)

De latente warmte van een stof is de energie die ze opneemt wanneer ze van toestand verandert zonder van temperatuur te veranderen — bij smelten of verdampen — en die ze teruggeeft bij de omgekeerde overgang. Voor water dat verdampt bij $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ is dat ongeveer $2.47\,\mathrm{MJ}$ per kilogram. In de energiebalans is de latentewarmtestroom de energie die verdamping aan het oppervlak onttrekt en die de waterdamp in de lucht vrijgeeft waar hij tot wolken condenseert. De stroom van voelbare warmte is de energie die het oppervlak doorgeeft aan de lucht die ermee in contact is, waardoor die lucht opwarmt, en die opstijgende lucht naar boven voert.

Methode 3.11 (Een energiebalansdiagram lezen)

1. Kies het systeem: de hele Aarde (een lijn boven de atmosfeer), het oppervlak, of de atmosfeer (de laag ertussen).
2. Som de pijlen op die erin gaan en tel ze op; som de pijlen op die eruit gaan en tel ze op.
3. Vergelijk de twee sommen. Zijn ze gelijk binnen de afronding van de getallen, dan is het systeem in evenwicht; het verschil is wat het per seconde en per vierkante meter wint (of verliest).

Propositie 3.12 (De balans sluit)

Binnen de afronding van de getallen sluit de balans in het diagram hierboven voor de Aarde als geheel, voor het oppervlak en voor de atmosfeer, op een klein overschot na van ongeveer $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ dat de Aarde absorbeert en niet teruggeeft.

Het diagram toont ook het broeikaseffect aan het werk. Het oppervlak ontvangt van de lucht $342\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ als infrarood — meer dan twee keer het zonlicht dat het absorbeert, $160\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Daardoor kan het $398\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ uitzenden, de uitstraling van een lichaam van ongeveer $15{}^{\circ}\mathrm{C}$, terwijl de Aarde maar $239\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ naar de ruimte stuurt. De natuurkundeboeken bouwen het model dat deze getallen met de temperatuur verbindt; dit boek gebruikt de gemeten stromen.

Voorbeeld 3.13 (Een meter water per jaar)

De latentewarmtestroom, $82\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, verdampt elke seconde $82/2.47\times 10^6 \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ water per vierkante meter. Over een jaar, $3.16\times10^7$ seconden, is dat ongeveer $1050\,\mathrm{kg}$, een laag water van $1.05\,\mathrm{m}$ dik over de hele Aarde. De lucht bevat telkens maar een beetje water, dus vrijwel alles valt terug als regen en sneeuw: de latentewarmtestroom en de jaarlijkse neerslag van de planeet zijn twee kanten van dezelfde waterkringloop.

Opmerking 3.14 (De onbalans)

Het overschot van $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ lijkt piepklein naast stromen van honderden watt, maar over de hele Aarde is het $0.7 \times 5.10\times10^{14} \approx 3.6 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, grotendeels opgeslagen in de oceaan, die opwarmt. Het is geen natuurconstante: het is de laatste decennia gegroeid, zoals Hoofdstuk 28 uitlegt.

3.4 Overschot en tekort

De balans sluit voor de Aarde als geheel, maar niet op elke breedte.

De tropen absorberen veel meer zonlicht dan de poolgebieden, en hun lage albedo vergroot het verschil nog. Het infrarood dat ze naar de ruimte sturen is ook groter, omdat ze warmer zijn, maar het varieert veel minder met de breedte. Daardoor absorberen de gebieden rond de evenaar gemiddeld ongeveer $200\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ meer dan ze weerkaatsen en uitstralen, en stralen de gebieden bij de polen ongeveer $200\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ meer uit dan ze absorberen.

Definitie 3.15 (Warmtetransport naar de polen)

Het warmtetransport naar de polen is de energiestroom die de bewegingen van de atmosfeer en van de oceaan van de tropen naar de polen voeren. Het wordt gemeten door een breedtecirkel heen, in petawatt ($1\,\mathrm{PW}$ = $10^{15}\,\mathrm{W}$).

Zonder dat transport zouden de tropen steeds heter en de polen steeds kouder worden, tot elke breedte haar eigen balans sloot. De atmosfeer doet het meeste werk: warme lucht die naar de polen stroomt en koude lucht die naar de evenaar terugkeert, en waterdamp die zijn latente warmte ver van de plaats waar hij verdampte vrijgeeft. De zeestromingen voeren de rest. Schattingen op basis van metingen geven voor het transport door de atmosfeer een maximum van ongeveer $5.0\,\mathrm{PW}$ bij $43{}^{\circ}$ NB, met vergelijkbare waarden bij $40{}^{\circ}$ ZB; de oceaan voert alleen dicht bij de evenaar meer dan de atmosfeer, tussen $0{}^{\circ}$ en $17{}^{\circ}$ NB, en op $35{}^{\circ}$ NB, waar het totale transport het grootst is, neemt de atmosfeer er $78\,\%$ van voor haar rekening. Het totaal is daar het grootst omdat $35{}^{\circ}$ ongeveer de breedte is waar het overschot overgaat in het tekort: naar de evenaar toe blijft het transport het overschot van elke breedte die het passeert verzamelen; naar de pool toe put elke breedte eruit.

Dit transport is de motor van het weer. De convectiecellen en de wereldwijde winden van Boek 1, de stormen van Hoofdstuk 5 en de grote zeestromingen van Hoofdstuk 6 verplaatsen allemaal warmte van waar de Zon te veel geeft naar waar ze te weinig geeft.

3.5 Waar de energie blijft

Bijna alle energie van het zonlicht die de Aarde absorbeert, eindigt als warmte: ze verwarmt de grond, de zee en de lucht, verdampt water, drijft de winden en de stromingen aan, en vertrekt weer als infrarood licht. Een piepklein deel volgt een andere weg: fotosynthese slaat het op in de chemische bindingen van suikers, en van daaruit in alle levende materie van de planeet.

Voorbeeld 3.16 (Het aandeel van de fotosynthese)

Planten op het land en algen in de zee slaan, na hun eigen behoeften, elk jaar ongeveer $105$ miljard ton koolstof op in nieuwe levende materie, ruwweg de helft op het land en de helft in de oceaan: ecologen noemen dat de netto primaire productie van de planeet. De verbranding van een mol glucose, $\ce{C6H12O6}$, die zes mol koolstof bevat, $72\,\mathrm{g}$, levert $2805\,\mathrm{kJ}$: ongeveer $38.9\,\mathrm{kJ}$ per gram koolstof. De energie die elk jaar wordt opgeslagen, is $1.049\times10^{17}\,\mathrm{g} \times 38.9 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{g} \approx 4.1 \times 10^{21}\,\mathrm{J}$, een vermogen van $4.1\times10^{21}/3.16\times10^{7} \approx 1.3 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$. Vergeleken met de $1.22 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$ zonlicht die de Aarde absorbeert, is dat ongeveer $0.1\,\%$.

Opmerking 3.17 (Een klein aandeel, een grote rol)

Een duizendste van het geabsorbeerde zonlicht voedt bijna al het leven op Aarde, en de resten van planten en algen die honderden miljoenen jaren lang zijn begraven, vormen steenkool, aardolie en aardgas (Hoofdstuk 18). De rest van het zonlicht — meer dan 99.9 procent — houdt de planeet warm en haar lucht, water en weer in beweging.

3.6 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Definieer de instraling van een plaats en het albedo van een oppervlak. Wat weerkaatst het grootste deel van het zonlicht, verse sneeuw of de open oceaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

De instraling van een plaats is het vermogen van het zonlicht dat een horizontale vierkante meter aan de top van de atmosfeer erboven ontvangt (gemiddeld over een dag of een jaar). Het albedo van een oppervlak is het deel van het zonlicht dat erop valt en dat het weerkaatst. Verse sneeuw (0.8 tot 0.9) weerkaatst veel meer dan de open oceaan (0.06).

Oefening 3.2 ★

Geef met behulp van het energiebalansdiagram van dit hoofdstuk, als percentage van de $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ die aan de top van de atmosfeer aankomen, het deel dat naar de ruimte wordt weerkaatst, het deel dat de lucht absorbeert en het deel dat het oppervlak absorbeert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

Weerkaatst: $100/340 \approx 29\,\%$; geabsorbeerd door de lucht: $80/340 \approx 24\,\%$; geabsorbeerd door het oppervlak: $160/340 \approx 47\,\%$.

Oefening 3.3 ★

Een zomerzon levert $800\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ op de grond. Hoeveel vermogen absorbeert een vierkante meter die met vers asfalt (albedo 0.04) is bedekt, en een die met verse sneeuw (albedo 0.85) is bedekt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

Asfalt: $800 \times (1 - 0.04) = 768\,\mathrm{W}$. Sneeuw: $800 \times (1 - 0.85) = 120\,\mathrm{W}$, meer dan zes keer minder.

Oefening 3.4 ★

Wat voert meer energie weg van het aardoppervlak: verdamping of het opwarmen van de lucht die met de grond in contact is? Beschrijf in twee zinnen hoe de energie die verdamping aan de zee onttrekt, de lucht hoog erboven bereikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

Verdamping: $82\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, tegen $21\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ voor het opwarmen van de lucht. Het water dat verdampt, onttrekt zijn latente warmte aan de zee; de damp stijgt met de lucht op, en waar hij condenseert tot wolkendruppeltjes, vaak kilometers hoger, geeft hij die energie terug aan de lucht eromheen.

Oefening 3.5 ★

Leg uit waarom de daggemiddelde instraling op de Noordpool in december nul is, en geef de breedte waarboven dat bij de decemberzonnewende gebeurt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

In december helt het noordelijk halfrond van de Zon af: op de pool blijft de Zon de hele dag onder de horizon, dus er komt geen zonlicht aan. Bij de decemberzonnewende geldt dat overal voorbij $90^\circ - 23.44^\circ = 66.56{}^{\circ}$ NB.

Oefening 3.6 ★★

Bereken met Propositie 3.2 het vermogen dat een horizontale vierkante meter aan de top van de atmosfeer ontvangt wanneer de Zon $90{}^{\circ}$, $30{}^{\circ}$ en $10{}^{\circ}$ boven de horizon staat. Op welke hoogte van de Zon ontvangt de vierkante meter de helft van $S_0$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

$1361 \sin 90^\circ = 1361\,\mathrm{W}$; $1361 \sin 30^\circ = 680.5\,\mathrm{W}$; $1361 \sin 10^\circ \approx 236\,\mathrm{W}$. De helft van $S_0$ vraagt $\sin h = 0.5$, dus $h = 30{}^{\circ}$.

Oefening 3.7 ★★

Controleer volgens Methode 3.11 de balans van het zonlicht alleen: hoeveel van de $340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ die aankomen, wordt weerkaatst, door de lucht geabsorbeerd en door het oppervlak geabsorbeerd? Is de som van de drie 340? Controleer ook dat het zonlicht dat het oppervlak bereikt, $185\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, daar wordt weerkaatst of geabsorbeerd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

Weerkaatst 100, geabsorbeerd door de lucht 80, geabsorbeerd door het oppervlak 160: $100 + 80 + 160 = 340$, al het zonlicht is verantwoord. Aan het oppervlak geldt $185 = 25 + 160$: wat niet wordt weerkaatst, wordt geabsorbeerd.

Oefening 3.8 ★★

Bereken met de gemiddelde straal van de Aarde, $6371\,\mathrm{km}$, de oppervlakte van de schijf die het zonlicht opvangt en het vermogen dat ze opvangt, en daarna de oppervlakte van de bol. Leid daaruit het gemiddelde vermogen per vierkante meter van de bol af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

Schijf: $\pi \times (6.371\times10^6)^2 \approx 1.275 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; vermogen: $1361 \times 1.275\times10^{14} \approx 1.74 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$. Bol: $4\pi R^2 \approx 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$. Gemiddeld: $1.74\times10^{17}/5.10\times 10^{14} \approx 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, een kwart van $S_0$.

Oefening 3.9 ★★

Het overschot van de Aarde is $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ over een oppervlakte van $5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$. Hoeveel energie, in joule, wint de Aarde in een jaar van $3.16\times10^7$ seconden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

$0.7 \times 5.10\times10^{14} \times 3.16\times10^7 \approx 1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ per jaar.

Oefening 3.10 ★★

Met de wolken er rekenkundig uit gehaald, zou de Aarde $53\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ weerkaatsen in plaats van $100\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, en $267\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ infrarood naar de ruimte sturen in plaats van $239\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Hoeveel veranderen de wolken het geabsorbeerde zonlicht, en het verloren infrarood? Warmen de wolken de Aarde per saldo op, of koelen ze haar af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

De wolken weerkaatsen $100 - 53 = 47\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ meer zonlicht, dat dus niet wordt geabsorbeerd. Ze houden $267 - 239 = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ infrarood tegen. Per saldo verliest de Aarde $47 - 28 = 19\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: de wolken koelen haar als geheel af.

Oefening 3.11 ★★

Lees de krommen van de daggemiddelde instraling in dit hoofdstuk af. In welke maanden is de daggemiddelde instraling op de Noordpool groter dan op de evenaar? Waarom vertoont de kromme van de evenaar twee maxima en niet één?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

Van ongeveer 10 mei tot eind juli, dus in mei, juni en juli. Op de evenaar staat de Zon bij de twee equinoxen, in maart en september, om 12 uur ’s middags in het zenit; bij de zonnewenden passeert ze $23.44{}^{\circ}$ van het zenit, zodat de evenaar in juni en in december iets minder ontvangt.

Oefening 3.12 ★★★

De latente verdampingswarmte van water is $2.47\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ en de latentewarmtestroom $82\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Bereken de dikte van de laag water, in millimeter, die elke dag van de gemiddelde vierkante meter van de Aarde verdampt, en in meter per jaar (een liter water, uitgespreid over een vierkante meter, geeft een laag van $1\,\mathrm{mm}$ dik).

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

Per seconde: $82/(2.47\times10^6) \approx 3.32 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$. Per dag: $3.32\times10^{-5} \times 86\,400 \approx 2.9\,\mathrm{kg}$, een laag van ongeveer $2.9\,\mathrm{mm}$. Per jaar: $3.32\times10^{-5} \times 3.16\times10^7 \approx 1050\,\mathrm{kg}$, ongeveer $1.05\,\mathrm{m}$ water.

Oefening 3.13 ★★★

Op de Noordpool draait de Zon rond aan de hemel op een hoogte gelijk aan haar declinatie $\delta$, dus de daggemiddelde instraling is daar $S_0 \sin \delta$. Zoek de declinatie waarbij de pool gemiddeld over de dag evenveel ontvangt als de evenaar bij een equinox, $S_0/\pi$. Voor de declinatie geldt $\sin\delta = \sin 23.44^\circ \times \sin\lambda$, waarbij de hoek $\lambda$ in een jaar gelijkmatig met $360{}^{\circ}$ toeneemt, vanaf $0{}^{\circ}$ bij de maartequinox ($90{}^{\circ}$ bij de junizonnewende). Gedurende ongeveer hoeveel dagen per jaar ontvangt de pool meer dan $S_0/\pi$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.13.

$S_0 \sin\delta = S_0/\pi$ geeft $\sin\delta = 1/\pi \approx 0.318$, dus $\delta \approx 18.6{}^{\circ}$. Dan is $\sin\lambda = 0.318/\sin 23.44^\circ \approx 0.318/0.398 \approx 0.800$: $\lambda \approx 53.15{}^{\circ}$ of $180^\circ - 53.15^\circ = 126.85{}^{\circ}$. Daartussen neemt $\lambda$ met $73.7{}^{\circ}$ toe, dat is $73.7/360$ van een jaar, ongeveer $75$ dagen, van half mei tot eind juli.

Oefening 3.14 ★★★

Stel dat in de zomer een oppervlakte van $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}$ zee-ijs (albedo 0.6) smelt en wordt vervangen door open oceaan (albedo 0.06), onder zonlicht van gemiddeld $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ aan het oppervlak. Bereken het extra geabsorbeerde vermogen. Vergelijk het met het vermogen dat alle fotosynthese op Aarde opslaat, $1.3 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, en leg uit waarom deze wisseling van oppervlakken zichzelf versterkt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.14.

Het ijs absorbeert $1 - 0.6 = 0.40$ van het zonlicht, de oceaan $1 - 0.06 = 0.94$. Extra vermogen: $(0.94 - 0.40) \times 300 \times 10^{12} \approx 1.6 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$, meer dan alle fotosynthese van de planeet. De extra energie warmt het water op, dat aan de randen van de ijsschotsen meer ijs doet smelten, waardoor meer donker water bloot komt te liggen: de verandering voedt zichzelf.

Oefening 3.15 ★★★

De afstand van de Aarde tot de Zon is $147.1$ miljoen kilometer op het dichtstbijzijnde punt en $152.1$ miljoen op het verste, met een gemiddelde van $149.6$ miljoen, waar $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Bereken de bestralingssterkte van de Zon bij de twee uitersten. Het verschil is bijna $90\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; op $60{}^{\circ}$ NB is de daggemiddelde instraling ongeveer $490\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ in juni en $24\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ in december. Leg uit waarom de afstand niet de oorzaak van de seizoenen kan zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.15.

Dichtstbij: $1361 \times (149.6/147.1)^2 \approx 1408\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; verst: $1361 \times (149.6/152.1)^2 \approx 1317\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; ongeveer $7\,\%$ verschil. Op $60{}^{\circ}$ NB is de instraling in juni twintig keer groter dan in december: een verandering van een paar procent kan dat niet veroorzaken. Bovendien staat de Aarde begin januari het dichtst bij de Zon, tijdens de noordelijke winter, en hebben de twee halfronden, op dezelfde afstand van de Zon, tegengestelde seizoenen: de helling van de as, niet de afstand, maakt de seizoenen.

3.7 Probleem: een zonnestraal volgen

Probleem 3.1

Weekendprobleem — van het zonlicht dat de Aarde bereikt tot het deel dat het leven opslaat

Gebruik $S_0 = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, de straal van de Aarde $R = 6371\,\mathrm{km}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$, een jaar van $3.156\times10^7$ seconden, de stromen van het energiebalansdiagram, een latente verdampingswarmte van $2.47\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$, een wereldwijde netto primaire productie van $104.9$ miljard ton koolstof per jaar, en $2805\,\mathrm{kJ}$ die vrijkomt bij de verbranding van een mol glucose ($72.07\,\mathrm{g}$ koolstof).

Deel I — De meetkunde van het zonlicht.

1. Bereken de oppervlakte van de schijf die het zonlicht opvangt, $\pi R^2$, in vierkante meter.
2. Bereken het vermogen aan zonlicht dat ze opvangt.
3. Bereken de oppervlakte van het aardoppervlak, $4\pi R^2$.
4. Leid daaruit het gemiddelde vermogen af dat per vierkante meter aan de top van de atmosfeer aankomt.
5. Bij een equinox staat de Zon om 12 uur ’s middags in het zenit boven de evenaar en $30{}^{\circ}$ boven de horizon op $60{}^{\circ}$ NB. Wat ontvangt een horizontale vierkante meter op elk van beide plaatsen?

Deel II — Albedo.

6. Bereken uit de $100\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ die worden weerkaatst het albedo van de Aarde.
7. Bereken het geabsorbeerde vermogen per vierkante meter en voor de hele Aarde.
8. Zonder wolken zou $53\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ worden weerkaatst. Hoe groot zou het albedo dan zijn? Met welke factor verhogen wolken het?
9. Bereken de evenwichtstemperatuur die hoort bij het geabsorbeerde vermogen van vraag 7 (Hoofdstuk 2), en vergelijk die met de $288\,\mathrm{K}$ van het oppervlak.

Deel III — Het oppervlak.

10. Tel de energiestromen op die het oppervlak binnenkomen.
11. Tel de stromen op die het verlaten, en vergelijk.
12. Hoeveel keer groter dan het zonlicht dat het oppervlak absorbeert, is het infrarood dat het van de lucht ontvangt? Wat laat dat zien?
13. Bereken de massa water die in een jaar van een vierkante meter verdampt, en de dikte van de laag die ze vormt.
14. Bereken het totale vermogen van de onbalans, $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, over de hele Aarde.

Deel IV — Het aandeel van het leven.

15. Bereken de energie die per gram in glucose vastgelegde koolstof wordt opgeslagen.
16. Bereken de energie die de netto primaire productie in een jaar opslaat.
17. Reken die om naar een vermogen.
18. Druk het uit per vierkante meter aardoppervlak.
19. Vergelijk het met de onbalans van vraag 14.
20. Welk deel van het door de Aarde geabsorbeerde zonlicht (vraag 7) slaat fotosynthese op?

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $\pi \times (6.371\times10^6)^2 \approx 1.275 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

2. $1361 \times 1.275\times10^{14} \approx 1.735 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$.

3. $4\pi R^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

4. $1.735\times10^{17}/5.101\times10^{14} \approx 340\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, dat is $S_0/4$.

5. Evenaar: $1361\,\mathrm{W}$; $60{}^{\circ}$ NB: $1361 \sin 30^\circ = 680.5\,\mathrm{W}$.

6. $100/340 \approx 0.294$.

7. $340 - 100 = 240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; over de hele Aarde $240 \times 5.101\times10^{14} \approx 1.224 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$.

8. $53/340 \approx 0.156$. Wolken verhogen het albedo met een factor $100/53 \approx 1.9$: ze verdubbelen het bijna.

9. $(240/5.67\times10^{-8})^{1/4} \approx 255\,\mathrm{K}$, ongeveer $33\,\mathrm{K}$ onder de $288\,\mathrm{K}$ van het oppervlak.

10. $160 + 342 = 502\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

11. $82 + 21 + 398 = 501\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Het oppervlak wint ongeveer $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: de afgeronde onbalans van $0.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

12. $342/160 \approx 2.1$. De lucht stuurt het oppervlak als infrarood meer dan twee keer zoveel energie als het zonlicht dat het absorbeert: het broeikaseffect.

13. $82 \times 3.156\times10^7/(2.47\times10^6) \approx 1050\,\mathrm{kg}$, een laag van ongeveer $1.05\,\mathrm{m}$ dik.

14. $0.7 \times 5.101\times10^{14} \approx 3.6 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$.

15. $2805/72.07 \approx 38.9\,\mathrm{kJ}$ per gram koolstof.

16. $104.9\times10^9$ ton is $1.049\times10^{17}$ g; $1.049\times10^{17} \times 38.9\times10^3 \approx 4.08 \times 10^{21}\,\mathrm{J}$.

17. $4.08\times10^{21}/3.156\times10^7 \approx 1.29 \times 10^{14}\,\mathrm{W}$.

18. $1.29\times10^{14}/5.101\times10^{14} \approx 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

19. $0.7/0.25 \approx 2.8$: de onbalans van de Aarde is bijna drie keer het vermogen dat fotosynthese opslaat.

20. $1.29\times10^{14}/1.224\times10^{17} \approx 0.0011$: fotosynthese slaat ongeveer $0.1\,\%$ op van het zonlicht dat de Aarde absorbeert — een duizendste.