25Radiometrische datering en de ouderdom van de Aarde

In 1862 berekende de natuurkundige William Thomson, later Lord Kelvin, hoe oud de Aarde is uit de manier waarop ze afkoelt. Hij nam aan dat ze gesmolten was ontstaan en sindsdien haar warmte verloor, en vroeg hoe lang het zou duren tot de temperatuurgradiënt dicht bij het oppervlak tot zijn huidige waarde was gedaald. Zijn antwoord was 96 miljoen jaar, ergens tussen 20 en 400 miljoen; in 1897 had hij het vernauwd tot tussen 20 en 40 miljoen. Geologen vonden dat veel te kort voor de geschiedenis die ze in de gesteenten lazen. Het antwoord kwam van de radioactiviteit, die Kelvin niet kende.

Wat je al weet

Relatieve datering zet gesteenten en gebeurtenissen op volgorde; een absolute ouderdom is een aantal jaren (Boek 1, jaar 7). Een radioactieve isotoop, de moederisotoop, vervalt willekeurig tot een dochterisotoop: het aantal $N$ moederatomen dat overblijft, daalt als $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, waarbij $\lambda$ de vervalconstante is, en halveert elke halveringstijd $T = \ln 2/\lambda$ (de natuurkundeboeken). De oudste bekende mineralen, zirkoonkorrels uit West-Australië, zijn 4.4 miljard jaar oud (Hoofdstuk 19). De Aarde verliest ook warmte die radioactiviteit blijft aanmaken, en haar mantel convecteert (Hoofdstuk 24).

25.1 Een geschiedenis van schattingen

Vóór de radioactiviteit berustte elke schatting van de ouderdom van de Aarde op een proces waarvan men de snelheid bekend veronderstelde.

Geschiedenis — De ontbrekende warmte van Kelvin

In 1903 toonden Pierre Curie en Albert Laborde aan dat radium warmte afgeeft, en verscheidene wetenschappers betoogden al snel dat deze warmte de conclusie van Kelvin omverwierp. Een jaar later herinnerde Ernest Rutherford, die een lezing gaf met Kelvin in het publiek, hem eraan dat hij de ouderdom van de Aarde had begrensd “op voorwaarde dat er geen nieuwe warmtebron werd ontdekt”. Radioactiviteit leek die bron te zijn. Toch was dat niet Kelvins voornaamste fout: wat het afkoelen van de Aarde het meest verlengt, is mantelconvectie, die de bovenmantel heet houdt en de gradiënt in de korst veel langer hoog dan geleiding alleen zou doen.

De radioactiviteit gaf ook een klok. In 1907 toonde Bertram Boltwood aan dat uraniummineralen van dezelfde ouderdom dezelfde hoeveelheid lood per gram uranium bevatten: het lood wordt door het uranium gemaakt. In 1913 kon Arthur Holmes schrijven dat de oudste gedateerde gesteenten $1600$ miljoen jaar oud waren, en in 1927 legde hij de ouderdom van de Aarde tussen 1.6 en 3.0 miljard jaar. In 1956 mat Clair Patterson 4.55 miljard jaar. De waarde van vandaag is 4.54 miljard jaar, tot op één procent nauwkeurig.

25.2 Een radioactieve klok

Een radioactieve klok werkt alleen als er niets aan is toegevoegd of van is weggenomen sinds hij begon te lopen.

Definitie 25.1 (Gesloten systeem)

Een gesteente of een mineraal is een gesloten systeem voor een moederisotoop en zijn dochter als er, sinds het moment dat zijn klok begon te lopen, geen atoom van de moeder of van de dochter in of uit is gegaan, anders dan door het verval van de moeder tot de dochter.

Voor een mineraal begint de klok te lopen wanneer het uit een magma kristalliseert, of preciezer, wanneer het genoeg is afgekoeld opdat de atomen er niet meer in en uit bewegen. Verhitting, een hete vloeistof of verwering kan het systeem weer openen, en de ouderdom die dan wordt gemeten, is fout, of dateert die latere gebeurtenis.

Wie de dochteratomen in een gesloten systeem telt, krijgt de ouderdom, op voorwaarde dat men weet hoeveel er bij het begin waren. Meestal weet men dat niet. Rubidium-87 vervalt tot strontium-87, maar elk mineraal nam bij zijn ontstaan ook wat strontium-87 op. De isochroonmethode omzeilt dit door verscheidene mineralen van één gesteente te meten.

25.3 De isochroon

Strontium heeft een isotoop, strontium-86, die stabiel is en door geen enkel verval wordt gemaakt: in een gesloten systeem blijft zijn aantal gelijk, en hij dient als maatstaf. De isotopenverhoudingen $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ en $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ zijn wat een massaspectrometer meet.

Stelling 25.2 (De isochroonvergelijking)

In een mineraal dat gedurende een tijd $t$ een gesloten systeem is geweest, geldt

$$\left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{nu}} = \left(\frac{^{87}\mathrm{Sr}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{0} + \left(\frac{^{87}\mathrm{Rb}}{^{86}\mathrm{Sr}}\right)_{\text{nu}} \left(e^{\lambda t} - 1\right),$$

waarbij de index 0 de waarde aangeeft toen de klok begon te lopen en $\lambda$ de vervalconstante van rubidium-87 is.

De mineralen van een graniet kristalliseerden uit één magma, dus begonnen ze allemaal met dezelfde verhouding $(^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})_0$. Maar ze namen heel verschillende hoeveelheden rubidium op. Ze delen allemaal dezelfde $t$ en dezelfde beginverhouding, dus zegt de vergelijking dat hun punten op één rechte liggen.

Definitie 25.3 (Isochroon)

Een isochroon is de rechte waarop de punten liggen van mineralen of gesteenten die tegelijk uit dezelfde bron zijn ontstaan en sindsdien gesloten systemen zijn gebleven, wanneer de verhouding van dochter- tot stabiele isotoop wordt uitgezet tegen de verhouding van moeder- tot stabiele isotoop. Haar helling geeft hun ouderdom, en het punt waar ze de verticale as snijdt, geeft hun beginverhouding.

Propositie 25.4 (Ouderdom uit de helling)

Als een isochroon de helling $m$ heeft, is de ouderdom

$$t = \frac{\ln(1+m)}{\lambda}.$$

Voor rubidium-87 is $\lambda = 1.3972 \times 10^{-11}$ per jaar, een halveringstijd van $\ln 2/\lambda \approx 49.6$ miljard jaar: meer dan tien keer de ouderdom van de Aarde.

Methode 25.5 (Een gesteente dateren met een isochroon)

1. Scheid verscheidene mineralen van het gesteente (of neem er verscheidene monsters van) met verschillende hoeveelheden rubidium.
2. Meet in elk de verhoudingen $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($x$) en $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ ($y$).
3. Zet $y$ uit tegen $x$ en controleer of de punten op een rechte liggen: als er een niet op ligt, was dat monster geen gesloten systeem.
4. Neem de helling $m$ van de rechte, en bereken $t = \ln(1+m)/\lambda$.
5. Lees de beginverhouding af waar de rechte de verticale as snijdt.

Voorbeeld 25.6 (Het graniet van Varden)

Het graniet van de Varden Hills, de verzonnen streek van de reeks, geeft deze verhoudingen (oefengegevens):

monster	$^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$	$^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$
plagioklaas	0.35	0.70952
hoornblende	1.20	0.71321
heel gesteente	3.10	0.72146
K-veldspaat	6.40	0.73578
biotiet	24.0	0.81218

Door het plagioklaas en het biotiet is de helling $m = (0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) \approx 0.004341$. Dan is $t = \ln(1.004341)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ jaar: het graniet is 310 miljoen jaar oud. De rechte snijdt de verticale as bij $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$, de beginverhouding.

In het laboratorium — Atomen wegen

De verhoudingen worden gemeten met een massaspectrometer. Een paar milligram van een mineraal wordt in zuur opgelost, en het strontium wordt scheikundig van het rubidium gescheiden, omdat de twee isotopen met massa 87 anders samen zouden worden geteld. Het strontium, op een metalen gloeidraad aangebracht en in vacuüm verhit, geeft ionen af; een elektrisch veld versnelt ze en een magneet buigt hun banen af, de lichtere ionen meer dan de zwaardere, zodat elke isotoop zijn eigen collector bereikt. Hun stromen geven de verhoudingen.

De beginverhouding is ook een aanwijzing voor de herkomst van het magma. Rubidium gaat bij voorkeur naar de smelt wanneer de mantel smelt, dus is het in de loop van de tijden geconcentreerd in de continentale korst, die daardoor meer strontium-87 heeft gemaakt: korstgesteenten hebben een hogere $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ dan mantelgesteenten. Een magma uit gesmolten korst erft die hoge verhouding.

25.4 De ouderdom van de Aarde

Geen enkel gesteente op Aarde gaat terug tot het begin van de Aarde: het oudste bekende gesteente, de gneis van Acasta, is 4.03 miljard jaar oud, en de oudste zirkoonkorrels 4.4 miljard. Het oppervlak is sindsdien gesmolten, geërodeerd en gerecycled. De datering van de Aarde zelf komt van meteorieten, brokstukken van de kleine hemellichamen die samen met de planeten ontstonden en waarvan sommige sindsdien gesloten systemen zijn gebleven.

Definitie 25.7 (Ouderdom van de Aarde)

De ouderdom van de Aarde is de tijd sinds de Aarde ontstond door het samenklonteren van kleinere hemellichamen, bij de geboorte van het zonnestelsel. Gemeten aan meteorieten door radiometrische datering is ze $4.54$ miljard jaar, tot op één procent nauwkeurig.

In 1956 mat Clair Patterson de isotopen van lood in drie steenmeteorieten en twee ijzermeteorieten. Twee isotopen van lood worden gemaakt door het verval van uranium, lood-206 uit uranium-238 en lood-207 uit uranium-235, terwijl lood-204 door geen enkel verval wordt gemaakt. Zoals bij strontium liggen de punten van meteorieten die tegelijk zijn ontstaan op een rechte, wanneer $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ wordt uitgezet tegen $^{206}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$. De ijzermeteoriet van Canyon Diablo, in Arizona, bevat bijna geen uranium: zijn lood is sinds zijn ontstaan niet veranderd, en markeert het onderste uiteinde van de rechte, het lood waarmee het zonnestelsel begon.

Voor lood hangt de helling $m$ via beide uraniumisotopen van de ouderdom af; de betrekking wordt hier aangenomen. Met de constanten die Patterson gebruikte, geldt

wat geeft:

Een rechte door de vijf punten heeft een helling van ongeveer 0.603, tussen de hellingen voor 4.55 en 4.60 miljard jaar in de tabel. Pattersons eigen resultaat, rekening houdend met de fouten van de metingen en van de vervalconstanten, was 4.55 miljard jaar, op 0.07 na. Daarna mat hij lood uit een modern oceaansediment, dat lood uit een grote massa van de aardkorst mengt: het ligt op dezelfde rechte. Het lood van de Aarde is geëvolueerd zoals dat van de meteorieten, over dezelfde tijd: de Aarde is even oud als zij.

Sindsdien hebben honderden metingen het bevestigd. Meteorieten geven ouderdommen van 4.53 tot 4.58 miljard jaar, en de oudste vaste stoffen van het zonnestelsel, kleine insluitsels rijk aan calcium en aluminium die in sommige meteorieten worden gevonden, ontstonden $4567.30$ miljoen jaar geleden, op 0.16 na. De Aarde ontstond later uit zulk materiaal, en daarom is haar ouderdom, 4.54 miljard jaar, iets kleiner dan die van hen.

25.5 Oefeningen

Oefening 25.1 ★

Geef het woord: (a) een mineraal waar sinds het begin van zijn klok geen moeder- of dochteratoom in of uit is gegaan; (b) de rechte waarop mineralen van één ouderdom en één bron liggen; (c) de tijd sinds de Aarde door samenklonteren ontstond.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

(a) een gesloten systeem; (b) een isochroon; (c) de ouderdom van de Aarde.

Oefening 25.2 ★

Zet met de tabel van het graniet van Varden zijn vijf monsters op volgorde van hun verhouding van rubidium-87 tot strontium-86, van de laagste af. Welk ervan ligt het hoogst op de isochroon, en waarom heeft het het meeste strontium-87 gemaakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

Plagioklaas (0.35), hoornblende (1.20), heel gesteente (3.10), K-veldspaat (6.40), biotiet (24.0). Het biotiet ligt het hoogst: het bevat het meeste rubidium-87 voor zijn strontium-86, dus heeft zijn rubidium het meeste strontium-87 gemaakt sinds het graniet ontstond.

Oefening 25.3 ★

Bereken de halveringstijd van rubidium-87 uit zijn vervalconstante, $1.3972 \times 10^{-11}$ per jaar. Hoeveel keer de ouderdom van de Aarde is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

$T = \ln 2/\lambda = 0.6931/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.96 \times 10^{10}$ jaar, 49.6 miljard jaar: $49.6/4.54 \approx 11$ keer de ouderdom van de Aarde.

Oefening 25.4 ★

Bereken $e^{\lambda t} - 1$ voor rubidium-87 voor $t = 310$ miljoen jaar en $t = 480$ miljoen jaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

$\lambda t = 1.3972 \times 10^{-11} \times 3.10 \times 10^{8} \approx 0.004331$, en $e^{0.004331} - 1 \approx 0.004341$. Voor 480 miljoen jaar is $\lambda t \approx 0.006707$ en $e^{\lambda t} - 1 \approx 0.006729$. Beide liggen dicht bij $\lambda t$ zelf, omdat $\lambda t$ klein is.

Oefening 25.5 ★

Zet de schattingen van Phillips, Holmes (1927), Joly, Kelvin (1862) en Patterson op volgorde van datum. Hoeveel keer groter dan de bovengrens van de schatting van Joly is de huidige ouderdom van de Aarde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

Phillips (1860), Kelvin (1862), Joly (1899), Holmes (1927), Patterson (1956). $4540/100 \approx 45$ keer.

Oefening 25.6 ★★

Een mineraal van het graniet van Varden (310 miljoen jaar, beginverhouding 0.7080) heeft $^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr} = 10.0$. Wat is zijn $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ vandaag? Wat was het toen het graniet ontstond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

$0.7080 + 10.0 \times 0.004341 \approx 0.7514$ vandaag; 0.7080 toen het graniet ontstond, zoals elk mineraal van het graniet.

Oefening 25.7 ★★

Vier monsters van de schist van Varden geven $(x, y)$ = (0.90, 0.71806), (2.60, 0.72950), (5.10, 0.74632) en (9.40, 0.77525), met $x = {}^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr}$ en $y = {}^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$. (1) Bereken uit het eerste en het laatste monster de helling en de ouderdom. (2) Controleer dat de twee middelste monsters op dezelfde rechte liggen. (3) Is het resultaat in overeenstemming met de 310 miljoen jaar van het graniet en het principe van doorsnijding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

(1) $m = (0.77525 - 0.71806)/(9.40 - 0.90) = 0.05719/8.50 \approx 0.006728$; $t = \ln(1.006728)/1.3972 \times 10^{-11} \approx 4.80 \times 10^{8}$ jaar, 480 miljoen jaar. (2) $0.71806 + 1.70 \times 0.006728 \approx 0.72950$ en $0.71806 + 4.20 \times 0.006728 \approx 0.74632$: beide op de rechte. (3) Ja: het graniet doorsnijdt de schist, dus het is jonger, en 310 is minder dan 480 miljoen jaar.

Oefening 25.8 ★★

Waarom geeft een gesteente waarin alle mineralen dezelfde verhouding van rubidium tot strontium hebben, geen isochroon? Waarom legt het biotiet in het graniet van Varden de helling beter vast dan de andere mineralen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

Al zijn punten zouden op dezelfde plaats vallen: één punt bepaalt geen rechte en geen helling. Het biotiet ligt ver rechts van de andere; een kleine fout op een punt verandert de helling van de rechte door dat punt en het plagioklaas dan veel minder dan bij twee punten dicht bij elkaar.

Oefening 25.9 ★★

Lang nadat het graniet van Varden was ontstaan, liet een hete vloeistof zijn biotiet een deel van zijn strontium-87 verliezen. (1) Waarheen verschuift zijn punt in het isochroondiagram? (2) Welke ouderdom zouden het biotiet en het plagioklaas alleen dan geven: te oud of te jong? (3) Hoe brengt de isochroonmethode het probleem aan het licht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

(1) Zijn rubidium is onveranderd, dus het houdt zijn $x$; het heeft minder strontium-87, dus zijn $y$ daalt: het punt zakt recht naar beneden. (2) De rechte door dat punt en het plagioklaas is minder steil, en geeft een te jonge ouderdom. (3) Het biotiet ligt niet meer op de rechte door de andere mineralen: de punten liggen niet op één lijn, een teken dat één monster geen gesloten systeem is geweest.

Oefening 25.10 ★★

(1) Hoeveel keer langer dan de 96 miljoen jaar van Kelvin is de ouderdom van de Aarde? (2) Joly nam aan dat de rivieren het zout in een constant tempo naar zee voeren en dat er niets van de zee verlaat. Welke van deze aannames maakt zijn ouderdom te kort als ze fout is, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.10.

(1) $4540/96 \approx 47$ keer. (2) Als er zout uit de zee verdwijnt, bijvoorbeeld begraven in sedimenten, bevat de zee minder zout dan de rivieren in totaal aanvoerden: het aanwezige zout delen door de jaarlijkse aanvoer geeft dan een tijd die te kort is.

Oefening 25.11 ★★

Bereken met de waarden van Patterson voor Canyon Diablo (9.46, 10.34) en Nuevo Laredo (50.28, 34.86) de helling van de rechte door de twee meteorieten, en lees de ouderdom af uit de tabel van hellingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.11.

$m = (34.86 - 10.34)/(50.28 - 9.46) = 24.52/40.82 \approx 0.601$, tussen de hellingen voor 4.55 (0.590) en 4.60 miljard jaar (0.610): ongeveer 4.58 miljard jaar.

Oefening 25.12 ★★★

Een basalt uit de streek van Varden, ook 310 miljoen jaar oud, heeft een beginverhouding van 0.7035, tegen 0.7080 voor het graniet. (1) Welk gesteente komt eerder uit gesmolten mantel, en welk uit gesmolten korst? (2) Leg uit waarom, met wat je over rubidium weet. (3) Kunnen de twee uit één magma zijn gekristalliseerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.12.

(1) Het basalt, met de lagere verhouding, uit de mantel; het graniet, met de hogere, minstens deels uit gesmolten korst. (2) Rubidium gaat naar de smelt wanneer de mantel smelt, dus is het in de korst geconcentreerd, die in de loop van de tijden meer strontium-87 heeft gemaakt. (3) Nee: mineralen die uit één magma kristalliseren, delen zijn beginverhouding, en deze twee gesteenten niet.

Oefening 25.13 ★★★

(1) Welk deel van het rubidium-87 dat aanwezig was toen de Aarde ontstond, is er vandaag nog? En van het uranium-238 (halveringstijd 4.47 miljard jaar)? (2) Wat zou de helling zijn van een rubidium-strontiumisochroon voor een gesteente van één miljoen jaar oud? Waarom is rubidium-strontium een slechte klok voor jonge gesteenten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.13.

(1) Rubidium-87: $2^{-4.54/49.61} \approx 0.94$, ongeveer $94\,\%$ over; uranium-238: $2^{-4.54/4.47} \approx 0.49$, ongeveer de helft. (2) $m = e^{\lambda t} - 1 \approx 1.3972 \times 10^{-11} \times 10^6 \approx 1.4 \times 10^{-5}$: zelfs het biotiet van het graniet van Varden ($x = 24$) zou maar $0.0003$ boven de beginverhouding uitstijgen. Er is zo weinig strontium-87 gevormd dat de helling nauwelijks van nul te onderscheiden is: een trage klok past bij oude gesteenten.

Oefening 25.14 ★★★

De rechte door de vijf meteorieten van Patterson is $y = 4.438 + 0.6026\,x$. (1) Welke $^{207}\mathrm{Pb}/^{204}\mathrm{Pb}$ voorspelt ze voor het oceaansediment, bij $x = 19.0$? Patterson mat 15.5: hoeveel procent verschillen ze? (2) Welke ouderdom geeft de helling 0.6026 volgens de tabel? Vergelijk met Pattersons $4.55 \pm 0.07$ miljard jaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.14.

(1) $4.438 + 0.6026 \times 19.0 \approx 15.89$; $15.5$ ligt $0.39$ lager, ongeveer $2.4\,\%$: het sediment ligt dicht bij de rechte. (2) 0.6026 ligt tussen 0.590 (4.55) en 0.610 (4.60): ongeveer 4.58 miljard jaar, binnen het bereik van Patterson, van 4.48 tot 4.62 miljard jaar.

Oefening 25.15 ★★★

Kelvin nam aan dat alle warmte die de Aarde verliest, vandaag $46.7\,\mathrm{TW}$, opgeslagen warmte is. (1) Radioactiviteit vult er ongeveer $24.4\,\mathrm{TW}$ van aan. Hoeveel verlengt dat alleen al de tijd om een gegeven voorraad warmte te verliezen? (2) Is dat, vertrekkend van 96 miljoen jaar, genoeg om de ware ouderdom te bereiken? (3) Wat miste Kelvin dat zwaarder weegt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.15.

(1) De voorraad verliest dan netto maar $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$, dus houdt dezelfde voorraad $46.7/22.3 \approx 2.1$ keer langer stand. (2) $96 \times 2.1 \approx 200$ miljoen jaar, nog altijd meer dan twintig keer te kort. (3) Mantelconvectie, die warmte van diep binnenin naar boven voert en de gradiënt dicht bij het oppervlak veel langer hoog houdt dan geleiding alleen.

Probleem 25.1

Weekendprobleem — het graniet van Varden dateren

Het graniet van de Varden Hills, de verzonnen streek van de reeks, doorsnijdt de schist eromheen. Een laboratorium mat vijf van zijn monsters (voorbeeld hierboven): plagioklaas (0.35, 0.70952), hoornblende (1.20, 0.71321), heel gesteente (3.10, 0.72146), K-veldspaat (6.40, 0.73578) en biotiet (24.0, 0.81218), elk als $(^{87}\mathrm{Rb}/^{86}\mathrm{Sr},\ ^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr})$. De vervalconstante van rubidium-87 is $1.3972 \times 10^{-11}$ per jaar.

Deel I — De monsters.

1. Welk monster is het rijkst aan rubidium ten opzichte van strontium?
2. Waarom begonnen alle mineralen met dezelfde $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$?
3. Waarom worden de verhoudingen op strontium-86 betrokken?
4. Welke van de drie isotopen is toegenomen sinds het graniet ontstond, en waarom?
5. Hoe zagen de vijf punten eruit in het diagram toen het graniet net was ontstaan?

Deel II — De isochroon.

6. Bereken de helling door het plagioklaas en het biotiet.
7. Bereken de helling door het plagioklaas en het hele gesteente.
8. Vergelijk de twee hellingen. Welke is betrouwbaarder, en waarom?
9. Bepaal waar de rechte van vraag 6 de verticale as snijdt.
10. Controleer dat het K-veldspaat op die rechte ligt.

Deel III — De helling en de ouderdom.

11. Schrijf de betrekking tussen de helling en $e^{\lambda t}$.
12. Bereken $\lambda t$.
13. Bereken de ouderdom $t$.
14. De schist is gedateerd op 480 miljoen jaar. Is de volgorde van de twee ouderdommen wat de terreinverhoudingen vereisen?
15. Het Carboon loopt van 358.9 tot 298.9 miljoen jaar geleden. In welke periode ontstond het graniet?

Deel IV — De beginverhouding en de bron.

16. Wat stelt het snijpunt, 0.7080, voor?
17. Een basalt uit de streek ontstond met een verhouding van 0.7035. Welk gesteente heeft de hoogste beginverhouding?
18. Waarom hebben korstgesteenten hogere verhoudingen dan de mantel?
19. Wat doet de beginverhouding van het graniet vermoeden over het gesteente dat smolt om het te maken?
20. Vat samen: hoe oud is het graniet van Varden?

Oplossing

Oplossing van Probleem 25.1.

1. Het biotiet ($x = 24.0$).

2. Ze kristalliseerden uit één magma, en mineralen die uit één smelt kristalliseren, nemen het strontium op met de isotopenverhouding van die smelt.

3. Strontium-86 is stabiel en wordt door geen enkel verval gemaakt: in een gesloten systeem verandert zijn aantal niet, dus is het een vaste maatstaf.

4. Strontium-87, gemaakt door het verval van rubidium-87; rubidium-87 is afgenomen en strontium-86 is gelijk gebleven.

5. Een horizontale lijn bij $y = 0.7080$: dezelfde verhouding, verschillende $x$.

6. $(0.81218 - 0.70952)/(24.0 - 0.35) = 0.10266/23.65 \approx 0.004341$.

7. $(0.72146 - 0.70952)/(3.10 - 0.35) = 0.01194/2.75 \approx 0.004342$.

8. Ze komen overeen tot op 1 op 4000. De eerste is betrouwbaarder: haar twee punten liggen ver uit elkaar, dus de afronding van de verhoudingen telt minder.

9. $0.70952 - 0.35 \times 0.004341 \approx 0.7080$.

10. $0.7080 + 6.40 \times 0.004341 \approx 0.73578$: precies de gemeten waarde.

11. $e^{\lambda t} = 1 + m = 1.004341$.

12. $\lambda t = \ln 1.004341 \approx 0.004331$.

13. $t = 0.004331/1.3972 \times 10^{-11} \approx 3.10 \times 10^{8}$ jaar.

14. Ja: het graniet doorsnijdt de schist, dus volgens het principe van doorsnijding is het jonger, en 310 is minder dan 480 miljoen jaar.

15. 310 miljoen jaar ligt tussen 358.9 en 298.9 miljoen jaar: het Carboon.

16. De verhouding $^{87}\mathrm{Sr}/^{86}\mathrm{Sr}$ van het magma toen het graniet kristalliseerde.

17. Het graniet: $0.7080 > 0.7035$.

18. Rubidium gaat naar de smelt wanneer de mantel smelt, dus is het in de korst geconcentreerd; met meer rubidium heeft de korst meer strontium-87 gemaakt.

19. Dat het magma minstens voor een deel uit gesmolten continentale korst kwam, en niet alleen uit de mantel.

20. Het graniet van Varden is 310 miljoen jaar oud.