13Platen en hun bewegingen

Vlak bij de top van de Mauna Kea, op het eiland Hawaii, staat een antenne die aan het gesteente is vastgezet en die sinds oktober 1996 elke dag de signalen van plaatsbepalingssatellieten ontvangt. Elke dag berekent een computer waar de antenne staat, tot op een paar millimeter. Dertig jaar aan posities vertellen elk jaar hetzelfde verhaal: de antenne, de berg en het hele eiland bewegen ongeveer $7\,\mathrm{cm}$ per jaar naar het west-noordwesten, zonder te stoppen en zonder te draaien. In 2026 stond de antenne meer dan twee meter van haar beginpunt. Dit hoofdstuk meet zulke bewegingen, laat zien hoe ze op een bol in elkaar passen, en leest dezelfde beweging af in de keten van dode vulkanen die zich van Hawaii door het noorden van de Grote Oceaan uitstrekt.

Wat je al weet

De lithosfeer is gebroken in tektonische platen die ten opzichte van elkaar bewegen met een paar centimeter per jaar; hun grenzen zijn ruggen, troggen, botsingszones en transformbreuken (Boek 1, jaar 7). Een hotspot is een plaats diep in de mantel die een vulkaan voedt op de plaat erboven; de plaat voert de vulkaan mee terwijl er boven de hotspot een nieuwe groeit (Boek 1, jaar 7). Een ontvanger voor satellietplaatsbepaling berekent zijn eigen positie uit de signalen van verscheidene satellieten (Boek 1, jaar 9). De magnetische strepen van de oceaanbodem geven de spreidingssnelheid van een rug (Hoofdstuk 10), en de lithosfeer is de starre buitenste schil van de Aarde, ongeveer $100\,\mathrm{km}$ dik (Hoofdstuk 12). Een snelheid van $1\,\mathrm{cm}$ per jaar is $10\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, en $1\,\mathrm{mm}$ per jaar is $1\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar.

13.1 Starre platen op een bol

Aardbevingen liggen niet willekeurig over de Aarde verspreid: bijna allemaal vinden ze plaats langs smalle gordels, de plaatgrenzen (Boek 1, jaar 7). Binnen een plaat breekt het gesteente nauwelijks. Een plaat is dus geen zacht vel dat uitrekt en rimpelt terwijl het beweegt, maar een stijf stuk lithosfeer dat als geheel beweegt.

Definitie 13.1 (Starre plaat)

Een starre plaat is een stuk lithosfeer dat als één blok beweegt: de afstanden tussen punten erop veranderen niet, en de vervorming is samengebracht in smalle zones langs de grenzen.

Het model van starre platen is een benadering. Sommige gebieden vervormen over honderden kilometers, zoals de hoogvlakten achter de Himalaya of het westen van Noord-Amerika, en het model behandelt ze als brede grenzen. Maar over het grootste deel van het aardoppervlak werkt het opmerkelijk goed: de snelheden die het voor starre platen voorspelt, komen tot op een paar millimeter per jaar overeen met wat satellietstations meten (Sectie 13.4), terwijl platen met centimeters per jaar ten opzichte van elkaar bewegen.

Hoe kan een starre kap over het oppervlak van een bol bewegen? Ze kan niet in een rechte lijn glijden, want een rechte lijn verlaat de bol. Wat de beweging van een starre kap ook is, het is een rotatie om een as door het middelpunt van de Aarde. De as snijdt het oppervlak in de rotatiepool van de plaat. Een punt op de plaat beweegt langs een kleine cirkel rond die pool, en hoe verder het van de pool ligt, hoe groter zijn cirkel en hoe sneller het beweegt (figuur hieronder). Het bewijs dat elke beweging van een starre kap zo’n rotatie is, en het gebruik van rotatiepolen om plaatgrenzen te beschrijven, horen bij Boek 3; hier worden alleen de snelheden gebruikt.

De snelheid van een punt is makkelijk te berekenen. Een punt op een hoekafstand $\theta$ van de pool ligt op de afstand $R\sin\theta$ van de as, waarbij $R = 6371\,\mathrm{km}$ de straal van de Aarde is. Als de plaat $\omega$ graden per miljoen jaar draait, legt het punt in een miljoen jaar het deel $\omega/360$ af van de cirkel met straal $R\sin\theta$:

Voor $\omega = 1{}^{\circ}$ per miljoen jaar en $\theta = 90{}^{\circ}$ is dat $\pi \times 6371/180 \approx 111\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, $11.1\,\mathrm{cm}$ per jaar. Een plaat heeft dus geen enkelvoudige snelheid: haar punten bewegen met snelheden van nul bij de rotatiepool (als de pool op de plaat ligt) tot een maximum op $90{}^{\circ}$ ervan. De transformbreuken langs een rug, waarlangs twee platen langs elkaar glijden, lopen langs kleine cirkels rond de pool van de relatieve rotatie van de twee platen.

Gepubliceerde reeksen rotatiepolen geven voor elke plaat de positie van haar pool en haar draaisnelheid. Een ervan, vooral opgebouwd uit de spreidingssnelheden en de spreidingsrichtingen die langs de ruggen zijn gemeten, beschrijft 56 platen; de Pacifische plaat draait met $0.651{}^{\circ}$ per miljoen jaar, de Euraziatische plaat met $0.223{}^{\circ}$. Uit deze getallen berekent een computer de snelheid van elk punt van elke plaat (kaart hieronder).

13.2 De bewegingen meten

13.2.1 Twee manieren om een snelheid te meten

De magnetische strepen van de oceaanbodem geven de snelheid waarmee twee platen over een rug uit elkaar bewegen (Hoofdstuk 10): deel de afstand van een streep tot de as van de rug door haar ouderdom. De verkregen snelheid is een gemiddelde over de ouderdom van de streep, vaak de laatste paar miljoen jaar, en het is een relatieve snelheid, die van de ene plaat gezien vanaf de andere. Strepen zeggen niets over platen die elkaar ontmoeten bij een trog of een botsingszone, want daar wordt geen oceaanbodem gemaakt.

Satellietplaatsbepaling meet de beweging van één enkel punt, vandaag, over een paar jaar of decennia. Een vast station is aan vast gesteente verankerd, zodat het met de plaat meebeweegt; zijn dagelijkse posities, uitgezet tegen de tijd, liggen op een rechte lijn waarvan de helling de snelheid van het station is.

Methode 13.2 (Een snelheid uit een tijdreeks van posities)

1. Zet de oostpositie en de noordpositie van het station uit tegen de tijd, in twee grafieken of in dezelfde grafiek.
2. Trek de rechte lijn die elke reeks het best volgt (of lees er twee punten ver uit elkaar op af). Haar helling, in millimeter per jaar, is de oostsnelheid $v_E$ of de noordsnelheid $v_N$; een station dat naar het westen of zuiden beweegt, heeft een negatieve snelheid.
3. De snelheid van het station is $v = \sqrt{v_E^2 + v_N^2}$; haar richting maakt met de oost-westlijn de hoek $\alpha$ zodat $\tan\alpha = |v_N|/|v_E|$, naar het noorden als $v_N > 0$ en naar het oosten als $v_E > 0$.

Voorbeeld 13.3 (Het station op de Mauna Kea)

Van oktober 1996 tot september 2026 volgen de maandelijkse posities van het station op de Mauna Kea twee rechte lijnen met hellingen $v_E = -63.2\,\mathrm{mm}$ per jaar (naar het westen) en $v_N = +34.5\,\mathrm{mm}$ per jaar. De snelheid is $\sqrt{63.2^2 + 34.5^2} \approx 72\,\mathrm{mm}$ per jaar, en $\tan\alpha = 34.5/63.2 \approx 0.546$ geeft $\alpha \approx 29{}^{\circ}$: het station beweegt $7.2\,\mathrm{cm}$ per jaar in een richting $29{}^{\circ}$ ten noorden van het westen. De rotatiepool van de Pacifische plaat voorspelt op deze plaats $6.9\,\mathrm{cm}$ per jaar, $28{}^{\circ}$ ten noorden van het westen.

De punten liggen een paar millimeter rond de lijnen verspreid, veel minder dan de beweging van één jaar: na een paar jaar meten is de snelheid van een station beter dan tot op een millimeter per jaar bekend.

13.2.2 Relatieve en absolute beweging

Een snelheid wordt altijd gemeten ten opzichte van iets. Het station op de Mauna Kea beweegt $7.2\,\mathrm{cm}$ per jaar ten opzichte van een referentiestelsel dat aan de hele Aarde vastzit; gezien vanaf een station in Noord-Amerika, dat zelf beweegt, is zijn snelheid anders.

Definitie 13.4 (Relatieve beweging; absolute beweging)

De relatieve beweging van een plaat $A$ ten opzichte van een plaat $B$ is haar beweging zoals een waarnemer die op $B$ staat die ziet. De absolute beweging van een plaat is haar beweging ten opzichte van een referentiestelsel dat aan de diepe Aarde vastzit, bijvoorbeeld een reeks hotspots die vast worden verondersteld, of het stelsel waarin de lithosfeer als geheel niet draait.

Ruggen, troggen en transformbreuken worden gevormd door relatieve bewegingen: wat bij een grens telt, is hoe de twee platen ten opzichte van elkaar bewegen. Relatieve snelheden worden opgeteld zoals de verplaatsingen die ze veroorzaken.

Propositie 13.5 (Relatieve snelheden tellen op als pijlen)

Zij $\vec v_{A/B}$ de snelheid van plaat $A$ ten opzichte van plaat $B$, in een gegeven punt van de grens, en evenzo voor de andere paren. Voor elke drie platen $A$, $B$, $C$ geldt

$$\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}, \qquad\text{en}\qquad \vec v_{B/A} = -\vec v_{A/B}.$$

Methode 13.6 (Een snelheidsdriehoek sluiten)

1. Schrijf elke bekende snelheid met haar oost- en noordcomponent, allemaal in hetzelfde punt gemeten.
2. Om $\vec v_{A/B}$ te vinden uit de snelheden van $A$ en $B$ in hetzelfde stelsel $C$, trek je af: $\vec v_{A/B} = \vec v_{A/C} - \vec v_{B/C}$, component voor component.
3. Zet in een tekening de staarten van $\vec v_{A/C}$ en $\vec v_{B/C}$ in hetzelfde punt: de pijl van de punt van $\vec v_{B/C}$ naar de punt van $\vec v_{A/C}$ is $\vec v_{A/B}$, en die sluit de driehoek.
4. Bereken haar lengte en richting zoals in Methode 13.2.

Voorbeeld 13.7 (De San Andreasbreuk)

In het midden van Californië, op $35.5{}^{\circ}$ NB en $120.5{}^{\circ}$ WL, geven de rotatiepolen de Pacifische plaat de snelheid $(-42.1, +26.4)$ en de Noord-Amerikaanse plaat $(-11.9, -14.8)$, in millimeter per jaar (oost, noord), in het stelsel van de hele lithosfeer. De Pacifische plaat ten opzichte van Noord-Amerika beweegt met $(-42.1 + 11.9,\ 26.4 + 14.8) = (-30.2, +41.2)$, dat wil zeggen $\sqrt{30.2^2 + 41.2^2} \approx 51\,\mathrm{mm}$ per jaar, in een richting $36{}^{\circ}$ ten westen van het noorden (figuur hieronder). De San Andreasbreuk, die naar het noordwesten loopt, neemt het grootste deel van dit glijden op.

13.3 Hotspotsporen

13.3.1 Een plaat boven een vaste pluim

Hawaii ligt midden op de Pacifische plaat, meer dan $3000\,\mathrm{km}$ van de dichtstbijzijnde plaatgrens.

Zijn vulkanen worden gevoed door een hotspot (Boek 1, jaar 7). De plaat beweegt eroverheen, en elke vulkaan wordt van de hotspot weggevoerd terwijl er achter hem een nieuwe groeit.

Definitie 13.8 (Hotspotspoor)

Een hotspotspoor is de rij vulkanen, en verdronken vulkanen die onderzeese bergen heten, die een plaat van een hotspot wegvoert terwijl ze eroverheen beweegt: de actieve vulkaan staat boven de hotspot, en de vulkanen zijn steeds ouder naarmate ze verder ervan liggen.

Propositie 13.9 (Snelheid uit een hotspotspoor)

Als een hotspot vast blijft in de diepe mantel en de plaat erboven met een constante snelheid $v$ in een constante richting beweegt, ligt een vulkaan die een tijd $t$ geleden boven de hotspot stond, nu op de afstand

$$d = v\,t$$

van de actieve vulkaan, langs het spoor. De ouderdommen van de vulkanen, uitgezet tegen hun afstanden, liggen op een rechte lijn door de oorsprong met helling $1/v$, en $v$ is de absolute snelheid van de plaat.

13.3.2 De Hawaii-Keizerketen

Vanaf het eiland Hawaii loopt een rij eilanden, riffen en onderzeese bergen zo’n $3400\,\mathrm{km}$ naar het west-noordwesten, maakt dan een scherpe bocht en loopt verder naar het noorden als de Keizerbergen, waarvan de berg Suiko alleen al $4860\,\mathrm{km}$ van de Kilauea ligt, tot aan de troggen voor Kamtsjatka en de Aleoeten (beeld hieronder).

Kalium-argondatering van lava’s van 37 vulkanen van de keten, verzameld op de eilanden, opgebaggerd van de onderzeese bergen of door hun sedimenten heen geboord, geeft hun ouderdom (grafiek hieronder). De Mauna Kea is ongeveer $0.4$ miljoen jaar oud, Kauai $5.1$, Midway $27.7$, en de berg Suiko, bij het verre einde van de Keizerketen, $64.7$. De ouderdommen nemen toe met de afstand tot de Kilauea, de actieve vulkaan, zoals een hotspotspoor voorspelt.

Langs de Hawaiiketen, tot ongeveer $3300\,\mathrm{km}$, liggen de punten verspreid rond een rechte lijn door de oorsprong. De lijn die het best past bij de 26 gedateerde vulkanen van dit deel, stijgt met een miljoen jaar per $91\,\mathrm{km}$: volgens Propositie 13.9 is de Pacifische plaat met ongeveer $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar over de hotspot bewogen, $9.1\,\mathrm{cm}$ per jaar. De auteurs van de ouderdommen, die de hele keten op hun eigen manier aanpasten, vonden $8.6\,\mathrm{cm}$ per jaar.

Voorbij de knik nemen de ouderdommen sneller toe met de afstand: langs de Keizerketen bewoog de plaat langzamer, gemiddeld ongeveer $6.5\,\mathrm{cm}$ per jaar (beste rechte lijn door de negen gedateerde onderzeese bergen). En de keten verandert van richting. Als de hotspot op zijn plaats bleef, registreert de knik een verandering in de bewegingsrichting van de Pacifische plaat. Nieuwere ouderdommen leggen het begin van de knik bij de onderzeese berg Kimmei, ongeveer 50 miljoen jaar geleden, op hetzelfde moment als een reorganisatie van de spreidingsruggen van de Grote Oceaan en de eerste vulkanen van de eilandbogen langs haar westrand: de plaat veranderde van koers.

13.4 De voorspellende kracht van het model

Het platenmodel zegt dat een paar starre platen om hun rotatiepolen draaien, en dat bijna alles bij hun grenzen gebeurt. Zijn kracht is dat metingen met totaal verschillende methoden, over heel verschillende tijdspannen, dezelfde antwoorden geven.

• Aardbevingen en vulkanen verzamelen zich langs de grenzen, en het soort grens voorspelt hun soort: ondiepe aardbevingen langs de ruggen, diepe alleen bij troggen (Hoofdstuk 15).
• De oceaanbodem is het jongst langs de ruggen en steeds ouder verder ervandaan, symmetrisch aan beide kanten (Hoofdstuk 10).
• Gebergtegordels rijzen op waar platen convergeren: India beweegt nog altijd met ongeveer $4.5\,\mathrm{cm}$ per jaar naar Eurazië toe over de Himalaya, zoals berekend uit de rotatiepolen (Hoofdstuk 20).
• Snelheden stemmen overeen tussen methoden: de tabel hieronder vergelijkt de snelheden die vandaag met satellietplaatsbepaling worden gemeten met die welke de rotatiepolen voorspellen, waarvan de spreidingssnelheden vooral uit magnetische strepen komen en de beweging middelen over de laatste $0.8$ tot $3.2$ miljoen jaar, en met de snelheid die een hotspotspoor over tientallen miljoenen jaren registreert.

De snelheden uit de rotatiepolen en die van de stations komen tot op $0.3\,\mathrm{cm}$ per jaar overeen, hoewel de eerste miljoenen jaren middelen en de tweede maar decennia: de platen bewegen vandaag zoals ze al miljoenen jaren bewegen. De snelheid uit de hotspot is groter: ze is gemeten in een ander referentiestelsel, dat van de hotspot zelf, en over een veel langere tijd.

Er verschijnt nog een patroon wanneer de snelheden van hele platen worden vergeleken. De platen die het snelst bewegen, Cocos, Nazca, Pacifische, Australische en Filipijnse plaat, hebben allemaal een lange rand die bij een trog in de mantel wegzakt; hun gemiddelde snelheden liggen gemiddeld rond $6.5\,\mathrm{cm}$ per jaar. De platen zonder zo’n rand, waaronder de Euraziatische, Noord- en Zuid-Amerikaanse, Afrikaanse en Antarctische plaat, bewegen gemiddeld met ongeveer $2.4\,\mathrm{cm}$ per jaar. Deze aanwijzing over wat de platen aandrijft, wordt opgepakt in Hoofdstuk 15.

13.5 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Definieer een starre plaat. Waar is de vervorming van de lithosfeer samengebracht, en welke alledaagse seismische waarneming laat dat zien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

Een starre plaat is een stuk lithosfeer dat als één blok beweegt: de afstanden tussen zijn punten veranderen niet, en zijn vervorming is samengebracht in smalle zones langs zijn grenzen. De aardbevingen laten dat zien: bijna allemaal vinden ze plaats langs smalle gordels, de plaatgrenzen, en heel weinig binnen de platen.

Oefening 13.2 ★

Het station op de Mauna Kea beweegt $72\,\mathrm{mm}$ per jaar. Druk deze snelheid uit in kilometer per miljoen jaar. Hoe ver beweegt het station in 30 jaar? In een miljoen jaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

$72\,\mathrm{mm}$ per jaar is $72\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar. In 30 jaar beweegt het station $72 \times 30 = 2160\,\mathrm{mm}$, ongeveer $2.2\,\mathrm{m}$; in een miljoen jaar $72\,\mathrm{km}$.

Oefening 13.3 ★

In tien jaar bewoog een station $30\,\mathrm{cm}$ naar het oosten en $40\,\mathrm{cm}$ naar het noorden. Bereken zijn oost- en noordsnelheid, zijn snelheid, en de hoek die zijn richting met het noorden maakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

$v_E = 30/10 = 3\,\mathrm{cm}$ per jaar en $v_N = 40/10 = 4\,\mathrm{cm}$ per jaar. De snelheid is $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}$ per jaar. De hoek $\beta$ met het noorden voldoet aan $\tan\beta = 3/4$, dus $\beta \approx 37{}^{\circ}$: het station beweegt naar het noordoosten, $37{}^{\circ}$ ten oosten van het noorden.

Oefening 13.4 ★

Definieer een hotspotspoor. Waar ligt langs de Hawaiiketen de jongste vulkaan, en in welke richting nemen de ouderdommen toe? Wat zegt dat over de richting waarin de Pacifische plaat beweegt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

Een hotspotspoor is de rij vulkanen en onderzeese bergen die een plaat van een hotspot wegvoert terwijl ze eroverheen beweegt, steeds ouder naarmate ze verder van de actieve vulkaan liggen. De jongste vulkaan, de Kilauea, staat aan het zuidoostelijke einde van de keten, op het eiland Hawaii; de ouderdommen nemen toe naar het west-noordwesten. De plaat voert haar vulkanen van de hotspot weg in de richting van haar beweging: de Pacifische plaat beweegt naar het west-noordwesten.

Oefening 13.5 ★

Kauai ligt langs de keten $519\,\mathrm{km}$ van de Kilauea, en zijn oudste lava’s zijn $5.1$ miljoen jaar oud. Met welke gemiddelde snelheid heeft de plaat het eiland meegevoerd, als de hotspot vast ligt, in kilometer per miljoen jaar en in centimeter per jaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

$519/5.1 \approx 102\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, dat wil zeggen $102\,\mathrm{mm}$ per jaar, ongeveer $10\,\mathrm{cm}$ per jaar.

Oefening 13.6 ★★

In de grafiek van de twee stationsreeksen bewoog het station Wettzell in 31 jaar ongeveer $63\,\mathrm{cm}$ naar het oosten en $48\,\mathrm{cm}$ naar het noorden. Bereken zijn oost- en noordsnelheid, zijn snelheid en zijn richting. Vergelijk zijn snelheid met die van de Mauna Kea.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

$v_E = 63/31 \approx 20.3\,\mathrm{mm}$ per jaar en $v_N = 48/31 \approx 15.5\,\mathrm{mm}$ per jaar. De snelheid is $\sqrt{20.3^2 + 15.5^2} \approx 25.5\,\mathrm{mm}$ per jaar; $\tan\alpha = 15.5/20.3 \approx 0.76$ geeft $\alpha \approx 37{}^{\circ}$: het station beweegt $37{}^{\circ}$ ten noorden van het oosten, naar het noordoosten. De Mauna Kea beweegt $72/25.5 \approx 2.8$ keer sneller.

Oefening 13.7 ★★

In IJsland, op $64.5{}^{\circ}$ NB en $18{}^{\circ}$ WL, geven de rotatiepolen de Noord-Amerikaanse plaat de snelheid $(-10.5, +20.6)$ en de Euraziatische plaat $(+7.7, +16.3)$, in millimeter per jaar (oost, noord). (1) Bereken de snelheid van Noord-Amerika ten opzichte van Eurazië, haar grootte en haar richting. (2) Wat is deze snelheid voor de rug die door IJsland loopt? (3) Vergelijk met de snelheid van $2\,\mathrm{cm}$ per jaar die vaak wordt genoemd voor de Noord-Atlantische Oceaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

(1) In millimeter per jaar,

$$\vec v_{\mathrm{NA/EU}} = (-10.5 - 7.7,\ 20.6 - 16.3) = (-18.2, +4.3).$$

De grootte is $\sqrt{18.2^2 + 4.3^2} \approx 18.7\,\mathrm{mm}$ per jaar, en $\tan\alpha = 4.3/18.2 \approx 0.24$ geeft $13{}^{\circ}$ ten noorden van het westen. (2) De twee platen bewegen met ongeveer $1.9\,\mathrm{cm}$ per jaar uit elkaar over de rug: dat is de volledige spreidingssnelheid van de rug in IJsland. (3) Ze komt overeen met de $2\,\mathrm{cm}$ per jaar die voor de Noord-Atlantische Oceaan wordt genoemd.

Oefening 13.8 ★★

De Pacifische plaat draait met $0.651{}^{\circ}$ per miljoen jaar. (1) Bereken de snelheid van een punt op $90{}^{\circ}$ van haar rotatiepool, in centimeter per jaar. (2) En van een punt op $30{}^{\circ}$ van de pool? (3) Waar op een plaat is de snelheid nul? Kan de snelheid van een hele plaat met één getal worden gegeven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

(1) $v = \pi \times 0.651 \times 6371/180 \approx 72.4\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, ongeveer $7.2\,\mathrm{cm}$ per jaar. (2) $72.4 \times \sin30{}^{\circ} \approx 36.2\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, ongeveer $3.6\,\mathrm{cm}$ per jaar. (3) Bij de rotatiepool, als die op de plaat ligt. De snelheid verandert van punt tot punt, van nul bij de pool tot haar grootste waarde op $90{}^{\circ}$ ervan: een hele plaat heeft geen enkelvoudige snelheid, alleen een snelheid in elk punt (of een gemiddelde over haar oppervlak).

Oefening 13.9 ★★

Ten noorden van de Himalaya, op $28{}^{\circ}$ NB en $85{}^{\circ}$ OL, geven de rotatiepolen de Indische plaat de snelheid $(+40.6, +38.6)$ en de Euraziatische plaat $(+24.0, -3.3)$, in millimeter per jaar (oost, noord). (1) Bereken de snelheid van India ten opzichte van Eurazië, haar grootte en haar richting. (2) Als ze gelijk bleef, hoeveel zouden de twee platen dan in 10 miljoen jaar convergeren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

(1) In millimeter per jaar,

$$\vec v_{\mathrm{IN/EU}} = (40.6 - 24.0,\ 38.6 + 3.3) = (+16.6, +41.9).$$

De grootte is $\sqrt{16.6^2 + 41.9^2} \approx 45\,\mathrm{mm}$ per jaar; de hoek $\beta$ met het noorden voldoet aan $\tan\beta = 16.6/41.9 \approx 0.40$, dus $\beta \approx 22{}^{\circ}$: India beweegt naar Eurazië toe, $22{}^{\circ}$ ten oosten van het noorden. (2) $45\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, dus $450\,\mathrm{km}$ in 10 miljoen jaar.

Oefening 13.10 ★★

Necker ligt $1058\,\mathrm{km}$ van de Kilauea en is $10.3$ miljoen jaar oud; Midway ligt $2432\,\mathrm{km}$ ver en is $27.7$ miljoen jaar oud. Bereken de snelheid van de plaat boven de hotspot tussen de momenten waarop de twee vulkanen werden gebouwd. Vergelijk met $9.1\,\mathrm{cm}$ per jaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

$(2432 - 1058)/(27.7 - 10.3) = 1374/17.4 \approx 79\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, ongeveer $7.9\,\mathrm{cm}$ per jaar, iets minder dan $9.1\,\mathrm{cm}$ per jaar. De ouderdommen zijn elk onzeker met ongeveer een half miljoen jaar; het ouderdomsverschil, $17.4 \pm 1.0$ miljoen jaar, geeft een snelheid tussen ongeveer 75 en $84\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar. Tussen deze twee vulkanen lijkt de plaat iets langzamer te zijn bewogen dan gemiddeld.

Oefening 13.11 ★★

In een punt beweegt plaat $A$ $3\,\mathrm{cm}$ per jaar naar het oosten ten opzichte van plaat $B$, en plaat $B$ $4\,\mathrm{cm}$ per jaar naar het noorden ten opzichte van plaat $C$. (1) Teken de snelheidsdriehoek en bereken de snelheid van $A$ ten opzichte van $C$: grootte en richting. (2) Wat is de snelheid van $C$ ten opzichte van $A$?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

(1) $\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}$: $3\,\mathrm{cm}$ per jaar naar het oosten plus $4\,\mathrm{cm}$ per jaar naar het noorden. De twee pijlen staan loodrecht op elkaar, en de derde zijde van de driehoek heeft de lengte $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}$ per jaar, in de richting $37{}^{\circ}$ ten oosten van het noorden ($\tan\beta = 3/4$). (2) $\vec v_{C/A} = -\vec v_{A/C}$: $5\,\mathrm{cm}$ per jaar in de tegenovergestelde richting, $37{}^{\circ}$ ten westen van het zuiden.

Oefening 13.12 ★★★

De Mauna Kea ligt $54\,\mathrm{km}$ van de Kilauea en is $0.375$ miljoen jaar oud. (1) Welke snelheid geeft dat voor de plaat? (2) Een vulkaan is enkele tientallen kilometers breed, en hij groeit gedurende een paar honderdduizend jaar. Neem aan dat zijn afstand tot de hotspot onzeker is met $25\,\mathrm{km}$: tussen welke waarden ligt de snelheid dan? (3) Leg uit waarom jonge vulkanen dicht bij de hotspot een slechte schatting van de snelheid geven, en waarom de vulkanen ver ervandaan beter zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

(1) $54/0.375 = 144\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, $14.4\,\mathrm{cm}$ per jaar. (2) Van $29/0.375 \approx 77$ tot $79/0.375 \approx 211\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar: tussen ongeveer 8 en $21\,\mathrm{cm}$ per jaar. (3) Dicht bij de hotspot is de afstand niet groter dan de afmeting van een vulkaan of van het gebied waarover de hotspot vulkanen voedt, en de ouderdom niet groter dan de tijd die een vulkaan nodig heeft om te groeien: beide zijn relatief gezien heel onzeker. Ver van de hotspot is een fout van $25\,\mathrm{km}$ op $2400\,\mathrm{km}$, of van een half miljoen jaar op 28 miljoen, maar een of twee procent.

Oefening 13.13 ★★★

De maandelijkse posities van een station liggen ongeveer $5\,\mathrm{mm}$ rond hun rechte lijn verspreid. Een beweging is duidelijk te zien zodra ze tien keer de spreiding overschrijdt. (1) Hoe lang moet je meten om de beweging van het station op de Mauna Kea, $72\,\mathrm{mm}$ per jaar, duidelijk te zien? (2) En een beweging van $5\,\mathrm{mm}$ per jaar, zoals over een langzaam vervormend gebied binnen een continent? (3) Waarom werden plaatsnelheden al met magnetische strepen gemeten lang voordat satellieten ze konden meten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.13.

(1) Tien keer de spreiding is $50\,\mathrm{mm}$: $50/72 \approx 0.7$ jaar, ongeveer acht maanden. (2) $50/5 = 10$ jaar. (3) Over miljoenen jaren bewegen de platen tientallen tot honderden kilometers, afstanden die de magnetische strepen vastleggen en die op zee makkelijk te meten waren; plaatsbepaling tot op een paar millimeter, die een beweging in maanden zichtbaar maakt, kwam veel later.

Oefening 13.14 ★★★

Op de Midden-Atlantische Rug op $30{}^{\circ}$ ZB ($13.5{}^{\circ}$ WL) geven de rotatiepolen de Zuid-Amerikaanse plaat de snelheid $(-4.9, +11.0)$ en de Afrikaanse plaat $(+27.1, +17.9)$, in millimeter per jaar (oost, noord). (1) Bereken de snelheid van Zuid-Amerika ten opzichte van Afrika, haar grootte en haar richting. (2) Leid de volledige en de halve spreidingssnelheid van de rug af. (3) De sedimenten van de Zuid-Atlantische Oceaan gaven een halve snelheid van ongeveer $1.9\,\mathrm{cm}$ per jaar, gemiddeld over de laatste 66 miljoen jaar (Hoofdstuk 10). Vergelijk, en geef aan wat het verschil zou kunnen betekenen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.14.

(1) In millimeter per jaar,

$$\vec v_{\mathrm{SA/AF}} = (-4.9 - 27.1,\ 11.0 - 17.9) = (-32.0, -6.9).$$

De grootte is $\sqrt{32.0^2 + 6.9^2} \approx 32.7\,\mathrm{mm}$ per jaar, en $\tan\alpha = 6.9/32.0 \approx 0.22$ geeft $12{}^{\circ}$ ten zuiden van het westen. (2) De volledige spreidingssnelheid is ongeveer $3.3\,\mathrm{cm}$ per jaar, de halve ongeveer $1.6\,\mathrm{cm}$ per jaar. (3) De halve snelheid van de laatste paar miljoen jaar, $1.6\,\mathrm{cm}$ per jaar, is iets kleiner dan de $1.9\,\mathrm{cm}$ per jaar gemiddeld over 66 miljoen jaar: de Zuid-Atlantische Oceaan is recent misschien iets langzamer opengegaan dan gemiddeld, of het verschil kan komen van de onzekerheden in de ouderdom van de sedimenten. Beide metingen zijn het erover eens dat de rug langzaam is.

Oefening 13.15 ★★★

Een station beweegt gelijkmatig $20\,\mathrm{mm}$ per jaar naar het oosten. Precies halverwege tien jaar meten verschuift een aardbeving het plotseling $50\,\mathrm{mm}$ naar het westen. (1) Schets zijn oostpositie tegen de tijd. (2) Welke snelheid zou je vinden uit alleen de eerste en de laatste positie? (3) Welke snelheid geven de twee helften van de reeks, elk afzonderlijk? (4) Hoe moet een geodeet met zo’n sprong omgaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.15.

(1) Een rechte lijn die met $20\,\mathrm{mm}$ per jaar stijgt, een plotselinge daling van $50\,\mathrm{mm}$ na vijf jaar, en dan een lijn die weer met dezelfde helling stijgt. (2) Het station eindigt $10 \times 20 - 50 = 150\,\mathrm{mm}$ ten oosten van zijn begin: $150/10 = 15\,\mathrm{mm}$ per jaar, een kwart te weinig. (3) Elke helft geeft $20\,\mathrm{mm}$ per jaar. (4) De sprong is een afzonderlijke, plotselinge beweging die de aardbeving veroorzaakt: de geodeet meet de grootte ervan uit de posities vlak ervoor en vlak erna, haalt haar uit de reeks (of past de twee delen aan met dezelfde helling en een stap ertussen), en houdt $20\,\mathrm{mm}$ per jaar aan als de snelheid van het station.

13.6 Probleem: de Hawaii-Keizerketen lezen

Probleem 13.1

Weekendprobleem — de snelheid van een plaat, geschreven in vulkanen

De tabel geeft de afstand tot de Kilauea, gemeten langs de keten, en de kalium-argonouderdom van dertien vulkanen van de Hawaii-Keizerketen. De Kilauea is de actieve vulkaan boven de hotspot; de knik ligt tussen Abbott en Daikakuji.

vulkaan	afstand ($\mathrm{km}$)	ouderdom ($\mathrm{Ma}$)	vulkaan	afstand ($\mathrm{km}$)	ouderdom ($\mathrm{Ma}$)
Mauna Kea	54	0.375	Abbott	3280	38.7
Kauai	519	5.1	Daikakuji	3493	42.4
Nihoa	780	7.2	Koko (zuid)	3758	48.1
Necker	1058	10.3	Ojin	4102	55.2
Laysan	1818	19.9	Nintoku	4452	56.2
Midway	2432	27.7	Suiko (midden)	4860	64.7
Colahan	3128	38.6

Deel I — Ouderdommen en afstanden.

1. Welke vulkaan uit de tabel is de jongste, en welke de oudste? Hoe veranderen de ouderdommen langs de keten?
2. Toon aan dat een afstand in kilometer gedeeld door een ouderdom in miljoenen jaren een snelheid in millimeter per jaar is.
3. Bereken de gemiddelde snelheid $d/t$ die Kauai geeft.
4. Bereken $d/t$ voor Necker, Laysan, Midway, Colahan en Abbott.
5. Zet de ouderdom uit tegen de afstand voor de acht vulkanen uit de tabel die vóór de knik liggen. Liggen de punten dicht bij een rechte lijn door de oorsprong?

Deel II — De snelheid van de plaat boven de hotspot.

6. Leg uit waarom voor een vaste hotspot en een plaat die met een constante snelheid $v$ beweegt, de ouderdom $t$ en de afstand $d$ voldoen aan $t = d/v$.
7. Bereken het gemiddelde van de vijf snelheden van vraag 4.
8. De rechte lijn door de oorsprong die het best past bij alle 26 gedateerde vulkanen van de Hawaiiketen, geeft $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar. Vergelijk met vraag 7.
9. Hoe lang zou de plaat met deze snelheid nodig hebben om Kauai van de hotspot naar zijn huidige plaats te brengen? Vergelijk met zijn ouderdom.
10. In welke richting beweegt de Pacifische plaat boven de hotspot?

Deel III — De knik.

11. Bereken de gemiddelde snelheid van de plaat tussen de momenten waarop Daikakuji en Suiko (midden) werden gebouwd.
12. De beste rechte lijn door de negen gedateerde vulkanen vanaf Daikakuji geeft $65\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar. Vergelijk met de snelheid langs de Hawaiiketen.
13. Nieuwere ouderdommen leggen het begin van de knik bij de onderzeese berg Kimmei, $3668\,\mathrm{km}$ van de Kilauea, ongeveer 50 miljoen jaar geleden. Welke gemiddelde snelheid geeft dat voor de hele Hawaiiketen? Vergelijk met $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, en leg uit waarom beide kunnen kloppen.
14. Als de hotspot vast bleef, wat registreert de knik dan over de Pacifische plaat?
15. Het nieuwere dateringswerk vond grote snelheidsveranderingen langs de Keizerketen met weinig verandering in haar richting. Leg uit waarom de richting van een keten en de spreiding van haar ouderdommen twee onafhankelijke stukken informatie zijn.

Deel IV — Vergelijking met de satellietmeting van vandaag.

16. Het station op de Mauna Kea beweegt $-63.2\,\mathrm{mm}$ per jaar naar het oosten en $+34.5\,\mathrm{mm}$ per jaar naar het noorden. Bereken zijn snelheid en zijn richting.
17. De Hawaiiketen loopt vanaf de Kilauea naar het west-noordwesten. Is de richting van het station daarmee in overeenstemming?
18. Het station geeft $7.2\,\mathrm{cm}$ per jaar, de keten $9.1\,\mathrm{cm}$ per jaar. Geef twee redenen waarom de twee getallen niet gelijk hoeven te zijn.
19. Hoe lang zal de plaat bij $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar nodig hebben om de Mauna Kea nog eens $100\,\mathrm{km}$ verder van de hotspot te brengen?
20. Besluit: met welke snelheid is de Pacifische plaat de laatste 40 miljoen jaar over de hotspot van Hawaii bewogen?

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. De Mauna Kea ($0.375$ miljoen jaar) is de jongste, Suiko (midden) ($64.7$ miljoen jaar) de oudste. De ouderdommen nemen toe met de afstand tot de Kilauea.

2. $1\,\mathrm{km} = 10^6~\mathrm{mm}$ en een miljoen jaar is $10^6$ jaar: $1\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar is $10^6~\mathrm{mm}/10^6$ jaar, $1\,\mathrm{mm}$ per jaar.

3. $519/5.1 \approx 102\,\mathrm{mm}$ per jaar.

4. Necker $1058/10.3 \approx 102.7$; Laysan $1818/19.9 \approx 91.4$; Midway $2432/27.7 \approx 87.8$; Colahan $3128/38.6 \approx 81.0$; Abbott $3280/38.7 \approx 84.8$ (millimeter per jaar).

5. De punten (54; 0.375), (519; 5.1), (780; 7.2), (1058; 10.3), (1818; 19.9), (2432; 27.7), (3128; 38.6), (3280; 38.7) liggen dicht bij een rechte lijn door de oorsprong, met enige spreiding (tegenover een lijn van $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar liggen Kauai, Nihoa en Necker er iets onder, Laysan erop, Colahan en Abbott er iets boven).

6. Elke vulkaan is boven de hotspot gebouwd en is sindsdien met de plaat meebewogen. In de tijd $t$ is de plaat $v\,t$ in een constante richting bewogen, dus de vulkaan ligt op $d = v\,t$ van het punt dat nu boven de hotspot ligt: $t = d/v$.

7. $(102.7 + 91.4 + 87.8 + 81.0 + 84.8)/5 \approx 89.5\,\mathrm{mm}$ per jaar.

8. 89.5 tegenover $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar: ze verschillen minder dan $2\,\%$.

9. $519/91 \approx 5.7$ miljoen jaar, tegenover een ouderdom van $5.1$ miljoen jaar: dichtbij, waarbij Kauai iets jonger is dan de gemiddelde lijn voorspelt.

10. De vulkanen zijn steeds ouder naar het west-noordwesten: de plaat voert ze in die richting mee. De Pacifische plaat beweegt naar het west-noordwesten over de hotspot.

11. $(4860 - 3493)/(64.7 - 42.4) = 1367/22.3 \approx 61\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, ongeveer $6.1\,\mathrm{cm}$ per jaar.

12. $65/91 \approx 0.71$: langs de Keizerketen bewoog de plaat ongeveer $30\,\%$ langzamer dan langs de Hawaiiketen.

13. $3668/50 \approx 73\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar, ongeveer $7.3\,\mathrm{cm}$ per jaar, minder dan $91\,\mathrm{km}$ per miljoen jaar. De lijn door de oorsprong gebruikt de ouderdommen van 1987, die het einde van de Hawaiiketen op 39 tot 43 miljoen jaar leggen; de nieuwere ouderdom van ongeveer 50 miljoen jaar voor het begin van de knik spreidt dezelfde afstand over een langere tijd. Beide kloppen als de plaat in het vroege deel van de Hawaiiketen langzamer bewoog en later sneller: de snelheid was niet constant.

14. Een verandering in de bewegingsrichting van de Pacifische plaat, ongeveer 50 miljoen jaar geleden.

15. De richting van de keten is de richting waarin de plaat bewoog; de spreiding van de ouderdommen erlangs is haar snelheid. Een plaat kan versnellen of vertragen zonder te draaien, of draaien zonder van snelheid te veranderen, dus de twee zijn onafhankelijk. Snelheidsveranderingen zonder richtingsverandering langs de Keizerketen laten zien dat haar snelheidsregistratie en de knik afzonderlijke gebeurtenissen zijn: de knik is niet ontstaan doordat de hotspot vertraagde.

16. $\sqrt{63.2^2 + 34.5^2} \approx 72.0\,\mathrm{mm}$ per jaar, en $\tan\alpha = 34.5/63.2 \approx 0.55$ geeft $29{}^{\circ}$ ten noorden van het westen.

17. West-noordwest is $22.5{}^{\circ}$ ten noorden van het westen, noordwest $45{}^{\circ}$: de richting van het station, $29{}^{\circ}$ ten noorden van het westen, ligt tussen de twee, dicht bij de richting van de keten. Ze is ermee in overeenstemming.

18. De snelheid van het station is gemeten ten opzichte van een stelsel waarin de lithosfeer als geheel niet draait, terwijl de keten de beweging ten opzichte van de hotspot geeft: als de twee stelsels ten opzichte van elkaar bewegen, verschillen de snelheden. En het station meet de laatste 30 jaar, de keten de laatste 40 miljoen jaar, waarin de snelheid veranderd kan zijn. De spreiding van de ouderdommen laat ook een onzekerheid van een paar millimeter per jaar op de snelheid van de keten.

19. $100/91 \approx 1.1$ miljoen jaar.

20. De Pacifische plaat is de laatste 40 miljoen jaar met ongeveer $9\,\mathrm{cm}$ per jaar over de hotspot van Hawaii bewogen, naar het west-noordwesten; vóór de knik bewoog ze langzamer, en in een andere richting.