8Stroomgebieden, rivieren en hoogwater

Een rivier kan twee dagen nadat de regen is opgehouden stijgen, bij een stad waar helemaal geen regen is gevallen. Het water dat haar straten overstroomt, viel eerder, op heuvels ver stroomopwaarts; het liep van hun hellingen naar beken, en de beken kwamen samen in de rivier die het, allemaal tegelijk, naar de stad bracht. Om een overstroming te begrijpen, moet je verder kijken dan de rivier, naar het hele gebied dat haar voedt, en het water daardoorheen volgen. Dit hoofdstuk definieert dat gebied, het stroomgebied; meet wat een rivier vervoert, haar afvoer; volgt een hoogwater terwijl het een punt van de rivier passeert; en laat zien hoe een lange reeks hoogwaters vertelt hoe vaak een bepaald hoogwater terugkomt.

Wat je al weet

Regen die de grond bereikt, zakt erin weg, stroomt over het oppervlak af of verdampt; de waterkringloop brengt hem terug naar zee (de natuurkundeboeken). Water zakt weg in doorlatende gesteenten en vult ze onder de grondwaterspiegel, waardoor watervoerende lagen ontstaan die bronnen en rivieren voeden (Boek 1, jaar 6). Een rivier slingert in meanders over haar vlakke overstromingsvlakte, die ze bij hoogwater bedekt (Boek 1, jaar 5). Hoogtelijnen verbinden punten van gelijke hoogte; de Varden Hills zijn het gebied dat op de kaarten van deze reeks is getekend (Boek 1, jaren 2 en 9).

Veiligheid

Overstromingswater is veel gevaarlijker dan het lijkt. Ongeveer $15\,\mathrm{cm}$ snelstromend water kan een volwassene omverduwen, en ongeveer $30\,\mathrm{cm}$ kan een auto meevoeren; de weg eronder kan zijn ingestort. Loop of rijd nooit door overstromingswater: keer om en neem een andere weg.

8.1 Het stroomgebied

Elke regendruppel die niet verdampt of diep wegzakt, stroomt bergafwaarts. Hij volgt de steilste helling van de grond, komt in een geultje terecht, dan in een beek, en de beken komen samen in rivieren. Al het land waarvan het water in dezelfde rivier eindigt, vormt één geheel.

Definitie 8.1 (Stroomgebied; waterscheiding)

Het stroomgebied van een punt van een rivier is het hele landoppervlak waarvan het afstromende water stroomopwaarts van dat punt naar de rivier stroomt en dat punt passeert. De waterscheiding is de lijn die twee aangrenzende stroomgebieden scheidt: ze volgt de kammen van het land, en de regen die aan weerszijden ervan valt, stroomt naar verschillende rivieren.

Een stroomgebied wordt altijd gedefinieerd voor een punt van de rivier, zijn uitstroompunt: het stroomgebied van een rivier waar ze de zee bereikt, is het grootste, en elk punt stroomopwaarts heeft een kleiner stroomgebied daarbinnen. Twee druppels die een meter uit elkaar vallen, aan weerszijden van een waterscheiding, kunnen in verschillende rivieren en zelfs in verschillende oceanen terechtkomen.

Het stroomgebied van de Varden

Een computer vindt een stroomgebied in een paar stappen uit een hoogtekaart. De kaart wordt in kleine vierkantjes verdeeld, hier met zijden van $50\,\mathrm{m}$. Voor elk vierkantje bekijkt de computer zijn acht buren en stuurt hij het water naar de buur die via de steilste helling naar beneden bereikt wordt. (Waar een kleine kom geen lagere buur heeft, wordt die eerst opgevuld tot het niveau waarop ze zou overlopen, zoals een plas dat doet.) Wie deze stappen van vierkantje tot vierkantje volgt, vindt de weg van een druppel vanaf elke plaats op de kaart. De vierkantjes waarvan de druppels de rivier bereiken, vormen het stroomgebied.

Het stroomgebied beslaat $66\,\mathrm{km}^{2}$ van de $80\,\mathrm{km}^{2}$ van de kaart, ongeveer vier vijfde ervan. In het noorden volgt de waterscheiding de kammen van de heuvels en loopt ze over hun toppen; daarachter helt het land van de rivier af en stroomt het water naar een ander dal. In de zuidwesthoek watert ook een klein gebied van de kaart af. De rivier zelf komt de kaart vanuit het westen binnen, zodat haar volledige stroomgebied groter is: het omvat ook het land stroomopwaarts, voorbij de rand van de kaart.

De grootste rivieren

Rivieren worden vergeleken naar de oppervlakte van hun stroomgebied en naar het water dat ze vervoeren. De verreweg grootste rivier ter wereld is de Amazone. De Mississippi, de grootste rivier van de Verenigde Staten, ontwatert ongeveer $1\,150\,000$ vierkante mijl, ongeveer 2.98 miljoen $\mathrm{km}^{2}$, van de Verenigde Staten en Canada.

8.2 Afvoer

Definitie 8.2 (Afvoer)

De afvoer van een rivier op een punt is het volume water dat in één seconde door een dwarsdoorsnede van de rivier stroomt. Ze wordt gemeten in kubieke meter per seconde, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Een afvoer van $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ is duizend liter per seconde, of $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$ per dag. Het water stroomt het snelst dicht bij het oppervlak in het midden van de bedding en het traagst langs de bodem en de oevers, waar het ertegen schuurt; de gemiddelde stroomsnelheid is de snelheid, gemiddeld over de hele dwarsdoorsnede.

Propositie 8.3 (Afvoer, stroomsnelheid en dwarsdoorsnede)

De afvoer $Q$ van een rivier is het product van de gemiddelde snelheid $v$ van het water en de oppervlakte $A$ van de natte dwarsdoorsnede:

$$Q = v\,A.$$

Een rivier met een dwarsdoorsnede van $50\,\mathrm{m}^{2}$ die met een gemiddelde snelheid van $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ stroomt, voert $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ af. Bij hoogwater nemen beide factoren toe: het water wordt dieper en breder, zodat de dwarsdoorsnede groeit, en het stroomt sneller.

Een afvoer meten

Omdat de snelheid over de breedte van de rivier verandert, wordt ze op verscheidene punten gemeten. De rivier wordt in verticale stroken verdeeld; in elke strook worden de diepte en de snelheid gemeten, en de afvoeren van de stroken worden opgeteld.

Methode 8.4 (De snelheid-oppervlaktemethode)

1. Span een meetlint over de rivier en kies verticalen op regelmatige afstanden $w$ langs het lint.
2. Meet bij elke verticaal de diepte $d$ en, met een stroomsnelheidsmeter, de gemiddelde snelheid $v$ van het water over die diepte.
3. Elke verticaal staat voor een strook met breedte $w$ en oppervlakte $w\,d$; de afvoer ervan is $v\,w\,d$.
4. Tel de afvoeren van alle stroken op: $Q = \sum v\,w\,d$. De dwarsdoorsnede is $A = \sum w\,d$ en de gemiddelde snelheid $Q/A$.

Voorbeeld 8.5 (Een afvoermeting)

In de beek van de figuur hebben de vijf stroken, elk $2\,\mathrm{m}$ breed, oppervlakten van $2 \times 0.4 = 0.8$, $2.0$, $2.8$, $2.2$ en $1.0\,\mathrm{m}^{2}$: de dwarsdoorsnede is $8.8\,\mathrm{m}^{2}$. Hun afvoeren zijn $0.3 \times 0.8 = 0.24$, $0.6 \times 2.0 = 1.20$, $0.8 \times 2.8 = 2.24$, $0.7 \times 2.2 = 1.54$ en $0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, dus de beek voert $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ af. De gemiddelde snelheid is $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, minder dan de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in het midden van de beek.

Een afvoermeting kost tijd en kan niet continu worden uitgevoerd. Een meetstation registreert in plaats daarvan het waterpeil, zonder onderbreking. Een paar afvoermetingen bij verschillende peilen geven een kromme die het peil aan de afvoer koppelt, en het station zet elk peil dat het registreert om in een afvoer.

Grote rivieren voeren enorme hoeveelheden water af. Van 1972 tot 2003 leverde de Amazone gemiddeld ongeveer $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ aan de Atlantische Oceaan, op ongeveer $6\,\%$ nauwkeurig: ongeveer $17\,\%$ van al het zoete water dat de rivieren van de wereld naar zee brengen. De Mississippi brengt gemiddeld $593\,000$ kubieke voet per seconde, ongeveer $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, naar de Golf van Mexico: de Amazone voert zo’n twaalf keer meer af.

8.3 De hydrograaf

Definitie 8.6 (Hydrograaf; basisafvoer; vertragingstijd)

Een hydrograaf is de grafiek van de afvoer van een rivier op één punt tegen de tijd. De basisafvoer is het deel van de afvoer dat door grondwater wordt gevoed, en dat de rivier tussen regenbuien laat stromen. De vertragingstijd van een hoogwater is de tijd tussen de piek van de neerslag op het stroomgebied en de piek van de afvoer.

Het water van een bui bereikt de rivier op verschillende tijdstippen. Regen die dicht bij de bedding valt, komt binnen minuten of uren aan; regen die ver stroomopwaarts valt, doet er veel langer over, omdat hij langs de hellingen en langs de rivier naar beneden moet stromen. De afvoer stijgt daarom steil, op de stijgende tak, terwijl het water van de nabije hellingen aankomt, bereikt een piek wanneer het meeste water tegelijk aankomt, en daalt langzamer, op de dalende tak, terwijl het laatste water uit de verre hoeken van het stroomgebied en uit de bodem wegloopt. Hoe groter het stroomgebied, hoe langer de vertragingstijd: uren voor een kleine beek, dagen voor een grote rivier.

Sommige stroomgebieden geven plotselinge hoogwaters, met een hoge, abrupte piek en een korte vertragingstijd; andere geven trage, vlakke hoogwaters. Dezelfde regen geeft een plotselinger hoogwater wanneer:

• het stroomgebied klein en steil is, zodat het water een korte, snelle weg te gaan heeft;
• de grond weinig water laat wegzakken: kale rots, klei, grond die al doorweekt is, bevroren grond, en vooral de daken, wegen en parkeerterreinen van een stad, die bijna alle regen rechtstreeks naar riolen en beken sturen;
• het stroomgebied een dicht netwerk van beken en riolen heeft, dat het water snel verzamelt.

Bossen, diepe doorlatende bodems en brede overstromingsvlakten doen het omgekeerde: ze houden het water vast en geven het langzaam af, wat de piek verlaagt en vertraagt.

Een echt hoogwater

De Potomac ontwatert stroomopwaarts van een meetstation bij Washington, in het oosten van de Verenigde Staten, een stroomgebied van $11\,560$ vierkante mijl, ongeveer $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. In januari 1996 registreerde het station de hydrograaf hieronder.

In de dagen voor het hoogwater voerde de rivier ongeveer $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ af, haar basisafvoer. Op 21 januari bereikte het daggemiddelde $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, bijna dertig keer meer. Verspreid over het hele stroomgebied zou het water dat die dag het station passeerde een laag vormen van $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$, ongeveer $27\,\mathrm{mm}$ dik: een flinke regenbui, in één dag geleverd door het hele stroomgebied tegelijk.

8.4 Hoogwaters en hun herhalingstijd

Op hoe groot een hoogwater moet een stad rekenen? Het antwoord komt uit het verleden: een meetstation dat al decennia werkt, heeft de grootste afvoer van elk jaar geregistreerd, de jaarpiek. Kleine pieken komen bijna elk jaar, grote zelden. Hoe zeldzamer een hoogwater, hoe groter het is.

Definitie 8.7 (Herhalingstijd)

De herhalingstijd $T$ van een hoogwater is de gemiddelde tijd, in jaren, tussen jaren waarvan de jaarpiek het evenaart of overschrijdt. Een hoogwater met herhalingstijd $T$, een $T$-jaarshoogwater, heeft elk jaar een kans $1/T$ om te worden geëvenaard of overschreden.

Een honderdjaarshoogwater is geen hoogwater dat eens in de honderd jaar komt, zoals volgens een dienstregeling. Het is een hoogwater dat elk jaar één kans op honderd heeft om te worden geëvenaard of overschreden, elk jaar opnieuw, wat er ook het jaar ervoor gebeurde. Er kunnen er twee in opeenvolgende jaren komen; er kan een eeuw voorbijgaan zonder een.

Methode 8.8 (Herhalingstijden uit een reeks jaarpieken)

1. Maak een lijst van de jaarpieken van $n$ jaar.
2. Rangschik ze van de grootste (rang $m = 1$) tot de kleinste (rang $m = n$).
3. Geef de piek met rang $m$ de herhalingstijd $T = (n + 1)/m$.
4. Zet de pieken uit tegen $T$ op een logaritmische schaal van $T$, en lees de afvoer af voor de gewenste herhalingstijd.

De grootste van $n$ pieken krijgt dus $T = n + 1$ jaar: in een reeks van $95$ jaar, $96$ jaar. De formule geeft weer wat de reeks laat zien: de piek met rang $m$ is in $m$ van de $n$ jaren geëvenaard of overschreden, ongeveer eens in de $n/m$ jaar. De methode kan niet betrouwbaar verder reiken dan de lengte van de reeks: een reeks van $50$ jaar zegt weinig over het $1000$-jaarshoogwater.

Cijfers van 2026

In de reeks van de Potomac bij Washington, van 1931 tot 2025, vielen de vijf grootste jaarpieken in maart 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), oktober 1942, juni 1972, april 1937 en januari 1996, de laatste twee gelijk met $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

De kans op een hoogwater over vele jaren

Een huis of een brug staat er decennia. Wat ertoe doet, is niet de kans op een hoogwater in één jaar, maar over de hele levensduur.

Propositie 8.9 (Minstens één hoogwater in $N$ jaar)

Als de jaren onafhankelijk van elkaar zijn, is de kans dat een hoogwater met herhalingstijd $T$ minstens één keer in $N$ jaar wordt geëvenaard of overschreden

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

Voor een honderdjaarshoogwater over dertig jaar is $(0.99)^{30} \approx 0.740$, en $P \approx 0.26$: één kans op vier. Over honderd jaar is $(0.99)^{100} \approx 0.366$ en $P \approx 0.63$: het is verre van zeker dat het honderdjaarshoogwater in honderd jaar komt.

8.5 Stuwdammen en dijken

Mensen bouwen al lang constructies die veranderen hoe een hoogwater passeert. Twee ervan veranderen het op tegengestelde manieren.

Een stuwdam houdt een stuwmeer tegen. Wanneer er een hoogwater aankomt, wordt een deel van het water opgeslagen in het stuwmeer, waarvan het peil stijgt, en daarna, over een langere tijd, weer afgegeven. Stroomafwaarts passeert hetzelfde volume water, maar uitgespreid: de piek is lager en later. Een stuwmeer verlaagt een hoogwater alleen zolang het nog ruimte heeft; is het eenmaal vol, dan stroomt al het water dat erin komt door.

Een dijk is een aarden wal die langs een rivier wordt gebouwd om haar hoogwaters van de overstromingsvlakte te houden. Tussen de dijken kan het water zich niet uitspreiden; om dezelfde afvoer door de smallere doorsnede te voeren, moet het hoger staan en sneller stromen. Het land achter de dijken blijft droog, zolang de dijken houden en niet overstromen. Maar de overstromingsvlakte slaat tijdens het hoogwater geen water meer op, zodat er meer, en sneller, stroomafwaarts gaat.

8.6 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Definieer een stroomgebied en een waterscheiding. Waarom kunnen twee regendruppels die een meter uit elkaar vallen in twee verschillende zeeën eindigen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

Het stroomgebied van een punt van een rivier is het hele landoppervlak waarvan het afstromende water stroomopwaarts van dat punt naar de rivier stroomt en dat punt passeert. De waterscheiding is de lijn, langs de kammen, die twee aangrenzende stroomgebieden scheidt. Twee druppels die een meter uit elkaar aan weerszijden van een waterscheiding vallen, lopen langs tegenovergestelde hellingen naar beneden, naar twee verschillende stroomgebieden: hun rivieren kunnen verschillende zeeën bereiken.

Oefening 8.2 ★

Definieer de afvoer van een rivier en geef de eenheid ervan. Hoeveel liter passeert er in één dag een punt van een rivier die $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ afvoert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

De afvoer is het volume water dat elke seconde door een dwarsdoorsnede van de rivier stroomt, in $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ is $1000\,\mathrm{L}$ per seconde; in een dag $1000 \times 86\,400 = 86.4$ miljoen liter.

Oefening 8.3 ★

Lees op de hydrograaf van de Potomac van januari 1996 de basisafvoer voor het hoogwater af, de piekafvoer en de datum ervan, en het aantal dagen dat de stijging duurde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

Voor het hoogwater voerde de rivier ongeveer $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ af (tussen ongeveer $240$ en $390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). De piek was $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ op 21 januari. De stijging begon op 18 januari ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$): ze duurde drie dagen.

Oefening 8.4 ★

Wat is de kans dat een $50$-jaarshoogwater volgend jaar wordt geëvenaard of overschreden? Vorig jaar kwam er een $50$-jaarshoogwater: is het dit jaar minder waarschijnlijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$1/50 = 0.02$, $2\,\%$. Nee: de jaren zijn onafhankelijk; de kans is dit jaar opnieuw $2\,\%$, wat er vorig jaar ook gebeurde.

Oefening 8.5 ★

De Mississippi brengt gemiddeld $593\,000$ kubieke voet water per seconde naar zee ($1$ voet = $0.3048\,\mathrm{m}$). Reken deze afvoer om naar $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, en vergelijk ze met de $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ van de Amazone.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

Eén kubieke voet is $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$, dus $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. De Amazone voert $206\,000/16\,800 \approx 12$ keer meer af.

Oefening 8.6 ★★

Een hydroloog meet de afvoer van een beek met vier verticalen op $1.5\,\mathrm{m}$ van elkaar. De diepten zijn $0.3$, $0.6$, $0.7$ en $0.4\,\mathrm{m}$; de gemiddelde snelheden $0.2$, $0.5$, $0.6$ en $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Bereken de dwarsdoorsnede, de afvoer en de gemiddelde snelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Oppervlakten van de stroken: $1.5 \times 0.3 = 0.45$, $0.90$, $1.05$ en $0.60\,\mathrm{m}^{2}$: $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$. Afvoeren: $0.2 \times 0.45 = 0.09$, $0.5 \times 0.90 = 0.45$, $0.6 \times 1.05 = 0.63$, $0.3 \times 0.60 = 0.18$: $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Gemiddelde snelheid $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Oefening 8.7 ★★

Een bui laat $20\,\mathrm{mm}$ regen vallen over het hele stroomgebied van de Varden op de kaart, $66\,\mathrm{km}^{2}$. Welk volume water is dat? Als alles in twee dagen het uitstroompunt bereikte, wat zou dan de gemiddelde extra afvoer zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. Twee dagen zijn $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$: $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ gemiddeld.

Oefening 8.8 ★★

De jaarpieken van een kleine rivier over negen jaar zijn, in $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: $42$, $65$, $38$, $120$, $51$, $47$, $88$, $35$, $59$. Rangschik ze en geef de herhalingstijden van de drie grootste. Wat is de herhalingstijd van de mediane piek?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

Gerangschikt: 120, 88, 65, 59, 51, 47, 42, 38, 35. Met $n = 9$ is $T = 10/m$: de grootste (120) heeft $T = 10$ jaar, de tweede (88) 5 jaar, de derde (65) ongeveer 3.3 jaar. De mediaan, 51, heeft rang 5 en $T = 2$ jaar: ze wordt één jaar op twee geëvenaard of overschreden.

Oefening 8.9 ★★

Dezelfde bui valt op twee stroomgebieden met dezelfde oppervlakte: het ene steil en bedekt door een stad, het andere zacht hellend en bebost. Schets hun twee hydrografen op dezelfde assen en verklaar de verschillen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

De hydrograaf van de stad stijgt eerder en veel hoger, en daalt snel: op steile hellingen, daken en wegen zakt weinig water weg en bereikt het afstromende water de beek snel en allemaal tegelijk; de vertragingstijd is kort. De hydrograaf van het beboste stroomgebied stijgt later, tot een lagere, bredere piek: de bodem en het bos nemen veel van de regen op en geven hem langzaam af, en het water stroomt traag over zachte hellingen. De basisafvoer blijft er na de bui hoger.

Oefening 8.10 ★★

Op de piek van 21 januari 1996 voerde de Potomac $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ af uit een stroomgebied van $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. Welke waterhoogte, verspreid over het hele stroomgebied, stelt één dag van deze afvoer voor? Vergelijk met de basisafvoer van $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, verspreid over $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$: ongeveer $0.027\,\mathrm{m}$, $27\,\mathrm{mm}$. De basisafvoer geeft $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$, ongeveer $1\,\mathrm{mm}$ per dag: de piekdag voerde zo’n 28 keer meer af.

Oefening 8.11 ★★

Wat is de kans dat een $10$-jaarshoogwater minstens één keer in $10$ jaar komt? Dat het in deze tien jaar helemaal niet komt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$: ongeveer $65\,\%$. Het komt helemaal niet met kans $0.9^{10} \approx 0.35$, ongeveer $35\,\%$.

Oefening 8.12 ★★★

De afvoer die bij een hoogwater een stuwmeer binnenkomt, stijgt gelijkmatig van $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ tot $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ in één dag, en daalt dan in twee dagen gelijkmatig terug tot $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ (basisafvoer verwaarloosd). Welk volume brengt het hoogwater? De dam laat hoogstens $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ door, en het stuwmeer kan $60$ miljoen $\mathrm{m}^{3}$ opslaan. Kan het alles boven $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ tegenhouden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

De hydrograaf is een driehoek van drie dagen lang en $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ hoog: zijn oppervlakte is $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, $156$ miljoen kubieke meter. Het deel boven $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ is een kleinere driehoek met dezelfde vorm, drie keer zo klein in hoogte ($400$ in plaats van $1200$) en in duur (één dag in plaats van drie): $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, $17$ miljoen kubieke meter. Dat is minder dan de $60$ miljoen die het stuwmeer kan opslaan: ja.

Oefening 8.13 ★★★

Een rivier van $100\,\mathrm{m}$ breed staat tot aan haar oevers vol bij $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, en stroomt dan met $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Er komt een hoogwater van $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ aan.

1. Zonder dijken spreidt de extra $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ zich uit over een overstromingsvlakte van $900\,\mathrm{m}$ breed, waar het water met $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ stroomt. Hoe diep is het water op de overstromingsvlakte?
2. Met dijken gaat het hele hoogwater ertussen door, met $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hoe diep is de rivier, en hoe ver boven haar oevers staat het water?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.13.

Tot aan haar oevers vol is de rivier $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$ diep. (1) De overstromingsvlakte voert $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ af over $900\,\mathrm{m}$ met $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: het water is er $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$ diep. (2) Tussen de dijken: $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$ diep, $2\,\mathrm{m}$ boven haar oevers, meer dan twee keer de diepte op de overstromingsvlakte zonder dijken.

Oefening 8.14 ★★★

Welke herhalingstijd $T$ geeft een hoogwater een kans van één op twee om minstens één keer in $30$ jaar te komen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.14.

We willen $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$, dus $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$, $1/T \approx 0.02284$ en $T \approx 44$ jaar.

Oefening 8.15 ★★★

Een kleine kaart is verdeeld in vierkantjes van $100\,\mathrm{m}$; hun hoogten in meter staan hieronder (noorden boven). Het water verlaat elk vierkantje naar de laagste van zijn vier buren (noord, zuid, oost, west), als die lager is; de vierkantjes op $34\,\mathrm{m}$ (noordwesthoek) en $30\,\mathrm{m}$ (zuidoosthoek) zijn de uitstroompunten van twee beken.

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

Teken de stroomrichting van elk vierkantje, zoek het stroomgebied van elk uitstroompunt en de oppervlakte ervan, en teken de waterscheiding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.15.

Elk vierkantje stuurt zijn water naar zijn laagste buur (rijen van noord naar zuid, kolommen van west naar oost):

uitstroompunt	west	west	west
noord	west	west	zuid
noord	noord	zuid	zuid
noord	oost	oost	uitstroompunt

Als je de pijlen volgt, wateren de vierkantjes 47, 39, 44, 37, 46 en 30 af naar het uitstroompunt in het zuidoosten: 6 vierkantjes, $0.06\,\mathrm{km}^{2}$. De andere 10 vierkantjes wateren af naar het uitstroompunt in het noordwesten: $0.10\,\mathrm{km}^{2}$. De waterscheiding loopt vanaf de oostrand tussen 50 en 47, dan tussen 48 en 47, tussen 48 en 44, tussen 49 en 44, tussen 49 en 46, en tussen 51 en 46 naar de zuidrand.

8.7 Probleem: het honderdjaarshoogwater

Probleem 8.1

Weekendprobleem — hoe vaak komt de rivier de stad in?

Stel je een stad voor aan de Potomac, net stroomopwaarts van Washington, bij een meetstation dat sinds 1931 elk jaar de grootste afvoer van de rivier heeft geregistreerd. De jaarpieken staan hieronder; de hydrograaf van januari 1996 staat in het hoofdstuk.

Deel I — Het stroomgebied en de afvoer.

1. Het stroomgebied van het station beslaat $11\,560$ vierkante mijl ($1$ mijl = $1.609\,\mathrm{km}$). Reken deze oppervlakte om naar $\mathrm{km}^{2}$.
2. Welke lijn op een kaart begrenst deze oppervlakte?
3. De grootste piek, op 19 maart 1936, was $484\,000$ kubieke voet per seconde. Reken die om naar $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ($1$ voet = $0.3048\,\mathrm{m}$).
4. De mediane jaarpiek is $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Hoeveel keer groter dan de mediaan was het hoogwater van 1936?
5. Stel dat de rivier op de piek van 1936 bij het station $400\,\mathrm{m}$ breed en gemiddeld $8\,\mathrm{m}$ diep was. Wat zou haar gemiddelde snelheid dan zijn geweest?

Deel II — Het hoogwater van 1996 lezen.

6. Wat was op de hydrograaf van januari 1996 de basisafvoer in de dagen voor het hoogwater?
7. Wat was de grootste daggemiddelde afvoer, en op welke dag?
8. Hoeveel dagen duurde de stijging, van $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ op 18 januari tot de piek?
9. Welke waterhoogte over het hele stroomgebied voerde de piekdag langs het station?
10. Een tweede, kleinere stijging bereikt haar piek op 29 januari. Wat zegt die over het water dat het stroomgebied bereikte?
11. De afvoer was op 7 februari terug rond $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Hoe lang na de piek was dat? Waarom duurt de dalende tak langer dan de stijgende tak?

Deel III — De hoogwaters rangschikken.

12. De reeks bevat $n = 95$ jaarpieken. Welke herhalingstijd geeft de methode aan de grootste?
13. De piek van oktober 1942 ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) staat tweede. Wat is zijn herhalingstijd?
14. De piek van juni 1972 ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) staat derde. Wat is zijn herhalingstijd?
15. De hoogwaters van april 1937 en januari 1996 waren gelijk ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Welke herhalingstijden krijgen ze met de rangen 4 en 5? Maakt het hier veel uit dat ze dezelfde waarde delen?
16. Tel op het staafdiagram de jaren waarvan de piek groter was dan $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Schat de kans op zo’n piek in een willekeurig jaar, en de herhalingstijd ervan.

Deel IV — De kans op een hoogwater.

17. Wat is de kans dat een $100$-jaarshoogwater in een bepaald jaar wordt geëvenaard of overschreden?
18. Wat is de kans dat dat in dat jaar niet gebeurt?
19. Wat is de kans dat het in $30$ jaar niet komt, de tijd dat een gezin in een huis aan de rivier zou kunnen wonen?
20. Wat is de kans op minstens één $100$-jaarshoogwater in $30$ jaar?

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$.

2. De waterscheiding van het stroomgebied stroomopwaarts van het station.

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ keer.

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ en $v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Ongeveer $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, op 21 januari.

8. Drie dagen.

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$: ongeveer $27\,\mathrm{mm}$.

10. Er bereikte nieuw water de rivier: een nieuwe regenbui op het stroomgebied (of smeltende sneeuw) stuurde een tweede, kleinere golf afstromend water.

11. Zeventien dagen na de piek. De stijging komt van het afstromende water van de hellingen dicht bij de beken, dat snel en allemaal tegelijk aankomt; op de dalende tak krijgt de rivier nog het water van de verste delen van het stroomgebied en het water dat langzaam uit de bodem wegloopt.

12. $T = n + 1 = 96$ jaar.

13. $96/2 = 48$ jaar.

14. $96/3 = 32$ jaar.

15. $96/4 = 24$ jaar en $96/5 = 19.2$ jaar. Niet veel: hoe dan ook komt deze afvoer ongeveer eens in de twintig jaar terug.

16. Vijf jaren (1936, 1937, 1943, 1972 en 1996): $5/95 \approx 0.053$, ongeveer $5\,\%$ per jaar, een herhalingstijd van ongeveer $96/5 \approx 19$ jaar.

17. $1/100 = 0.01$, $1\,\%$.

18. $1 - 0.01 = 0.99$.

19. $0.99^{30} \approx 0.740$.

20. $1 - 0.740 = 0.26$: de kans op minstens één honderdjaarshoogwater in 30 jaar is ongeveer $26\,\%$, één op vier.