10Anggaran Panas Bumi

Di bawah sebuah gunung di Alpen Jepang, di dalam rongga tambang tua, sebuah tangki berisi seribu ton cairan sintilator mengamati kilatan cahaya yang samar. Sebagian besar berasal dari antineutrino yang dihasilkan di reaktor nuklir negeri di sekitarnya, tetapi sebagian datang dari bawah: uranium dan torium di dalam Bumi memancarkan antineutrino ketika meluruh, dan antineutrino ini menembus seluruh planet seolah-olah kosong. Dalam 2135 hari pencacahan, detektor mencatat 841 kejadian calon, dan 106 di antaranya dikaitkan dengan Bumi sendiri. Dari segenggam kilatan itu, timnya memperkirakan pada 2011 bahwa peluruhan uranium dan torium memanaskan Bumi dengan kira-kira 20 terawatt. Planet secara keseluruhan kehilangan sekitar 47. Bab ini menjelaskan selisih itu: dari mana panas Bumi berasal, bagaimana aliran panas yang keluar darinya diukur, bagaimana suhu naik dengan kedalaman ketika panas dibawa oleh konduksi, mengapa mantel harus berkonveksi, dan mengapa lempeng-lempeng adalah batas atas dingin dari konveksi itu.

Yang sudah kamu ketahui

Panas mengalir dari panas ke dingin; konduktivitas termal batuan $k$ mengukur seberapa mudah panas melintasinya, dan difusivitasnya $\kappa = k/(\rho c)$ mengukur seberapa cepat perubahan suhu menyebar (fisika, Sarjana Tahun ke-2). Inti radioaktif meluruh dengan waktu paruh tetap (fisika). Suhu naik dengan kedalaman sepanjang geoterm, dan mantel berkonveksi (Buku 2, kelas 11 dan 12). Litosfer adalah cangkang luar Bumi yang kuat (Bab 9).

10.1 Dari mana panas berasal

Definisi 10.1 (Aliran panas)

Aliran panas $q$ di suatu titik permukaan Bumi, atau fluks panas permukaan, adalah daya bersumber internal yang melintasi permukaan di sana, per satuan luas, dihitung positif ke luar. Ia diukur dalam $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, dalam praktiknya dalam $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Diintegralkan ke seluruh permukaan, ia memberikan kehilangan panas Bumi $Q = \oint q\,\mathrm dS$.

Aliran panas telah diukur di puluhan ribu lokasi. Sebuah kompilasi $38\,347$ pengukuran, yang diterbitkan pada 2010, memberikan nilai rata-rata di bawah ini, dengan samudra dan benua dihitung terpisah:

Totalnya, dibulatkan ke ketidakpastiannya, adalah $Q = (47 \pm 2)\,\mathrm{TW}$. Dua pertiga darinya keluar melalui dasar samudra, yang lebih muda dan lebih tipis daripada benua. Ini adalah aliran yang kecil: Matahari mengirimkan sekitar $173\,000\,\mathrm{TW}$ ke Bumi, dan panas internal berjumlah $0.03\,\%$ dari anggaran energi di permukaan. Tetapi aliran inilah yang menggerakkan gunung api, lempeng dan pembentukan pegunungan, dan ia memiliki dua sumber.

Definisi 10.2 (Produksi panas radiogenik)

Produksi panas radiogenik $A$ suatu batuan adalah panas yang dilepaskan per satuan volume dan per satuan waktu oleh peluruhan inti-inti radioaktif yang dikandungnya, dalam $\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, dalam praktiknya dalam $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Batuan dengan massa jenis $\rho$ yang mengandung fraksi massa $C_i$ dari unsur-unsur penghasil panas, yang masing-masing melepaskan $H_i$ watt per kilogram unsur, memiliki

$$A = \rho \sum_i C_i H_i .$$

Empat isotop menghasilkan hampir seluruh panas ini, karena berumur panjang, cukup melimpah, dan energik: $\ce{^{238}U}$, $\ce{^{235}U}$, $\ce{^{232}Th}$ dan $\ce{^{40}K}$. Panas per kilogram tiap unsur adalah panas per kilogram isotop radioaktifnya dikali bagian isotop itu dari unsurnya (Latihan 10.3):

Kalium melepaskan tiga puluh ribu kali lebih sedikit panas per kilogram daripada uranium, tetapi ia adalah unsur utama dalam banyak batuan, dihitung dalam persen sementara uranium dan torium dihitung dalam bagian per juta. Batuan yang kaya ketiganya adalah granit dan kerabatnya; yang paling miskin adalah peridotit mantel. Sebuah kompilasi $2188$ analisis memberikan median berikut, dalam $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$:

Sebaran di dalam setiap kelompok lebar: seperempat granit menghasilkan kurang dari $1.74\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, seperempat lebih dari $3.23\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Kerak benua diperkaya unsur-unsur ini, kerak samudra dan mantel dikurangi; tetapi mantel sangat besar sehingga ia tetap memuat bagian besar dari sumber panas planet.

Definisi 10.3 (Pendinginan sekuler)

Pendinginan sekuler adalah bagian dari kehilangan panas Bumi yang dipasok oleh penurunan lambat suhu bagian dalamnya, mantel dan inti: pelepasan panas yang tersimpan sejak pembentukan planet, dengan laju $-\sum_j M_j c_j\,\mathrm dT_j/\mathrm dt$ untuk reservoir bermassa $M_j$, kalor jenis $c_j$ dan suhu rata-rata $T_j$.

Kekekalan energi memberikan anggaran seluruh Bumi: panas yang hilang di permukaan adalah produksi radiogenik ditambah pendinginan sekuler,

Geoneutrino mengukur sebagian suku pertama: hasil 2011, yang menggabungkan dua detektor, mengaitkan $20\,\mathrm{TW}$ dengan uranium dan torium, dan $\ce{^{40}K}$, yang antineutrinonya terlalu lemah untuk dideteksi dengan cara itu, diketahui menambahkan sekitar $4\,\mathrm{TW}$.

Sekitar separuh kehilangan panas karena itu berasal dari peluruhan radiogenik, dan separuh lainnya, sekitar $23\,\mathrm{TW}$, adalah pendinginan sekuler. Sebagian dari pendinginan itu berasal dari inti: panas yang melintasi batas inti–mantel diperkirakan $5\text{ sampai }15\,\mathrm{TW}$. Angka-angka ini tidak pasti: pengukuran itu sendiri memiliki ketidakpastian sekitar $9\,\mathrm{TW}$, dan hasil geoneutrino sejauh ini hanya membatasi bagian radiogenik pada $15\text{ sampai }41\,\mathrm{TW}$, sementara model Bumi dari berbagai jenis tersebar dari $14\text{ sampai }46\,\mathrm{TW}$. Totalnya, yang diukur di permukaan, adalah suku anggaran yang paling dikenal (gambar di bawah).

Panas radiogenik dahulu lebih besar, karena isotopnya lebih melimpah: $\ce{^{235}U}$ dan $\ce{^{40}K}$, yang berumur pendek, ketika itu menyumbang jauh lebih banyak (Buku 2, kelas 12). Mesin panas Bumi perlahan kehabisan tenaga, pada kedua hitungan itu.

10.2 Mengukur aliran panas

Aliran panas tidak diukur secara langsung: ia dihitung dari gradien suhu dan konduktivitas.

Proposisi 10.4 (Hukum Fourier)

Dalam medium dengan konduktivitas termal $k$, panas dikonduksikan menurun sepanjang gradien suhu dengan laju per satuan luas yang sebanding dengannya. Dengan $z$ kedalaman, dihitung positif ke bawah, dan $q$ dihitung positif ke atas,

$$q = k\,\frac{\mathrm dT}{\mathrm dz} .$$

Hukum ini ditetapkan dalam volume Sarjana Tahun ke-2 buku-buku fisika. Sebagian besar batuan menghantarkan panas pada $1.5\text{ sampai }3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ di bawah $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, lebih kecil ketika panas; model aliran panas benua memberikan kerak atas granitik sekitar $2.7\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$;

gradien $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ di dalamnya berarti aliran panas sekitar $70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Ketika batuan yang dilintasi sebuah lubang bor memiliki konduktivitas yang berbeda, gradiennya berubah dari satu batuan ke batuan berikutnya, tetapi aliran panasnya tidak, selama tidak ada panas yang dihasilkan atau tersimpan di antaranya. Proposisi berikut mengubah itu menjadi uji.

Proposisi 10.5 (Plot Bullard)

Misalkan $R(z) = \int_0^z \mathrm d\zeta/k(\zeta)$ resistansi termal, per satuan luas, dari batuan antara permukaan dan kedalaman $z$, dalam $\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Jika aliran panas $q$ sama di setiap kedalaman sebuah lubang bor, suhu merupakan fungsi linear dari resistansi termal: $T(z) = T_0 + q\,R(z)$.

Metode 10.6 (Aliran panas dari sebuah lubang bor)

1. Catat suhu di sepanjang lubang bor jauh setelah pengeboran, ketika gangguan dari fluida pengebor sudah hilang, dan abaikan puluhan meter terdangkal, yang mengikuti musim.
2. Ukur konduktivitas sampel inti dari setiap batuan yang dilintasi, di laboratorium, dan hitung resistansi termal $R(z)$ pada setiap kedalaman yang dicatat.
3. Plot $T$ terhadap $R$: gradien garis lurus itu adalah aliran panasnya. Lengkungan menyingkapkan air yang mengalir melalui batuan, perubahan suhu permukaan di masa lalu, atau kesalahan pada suatu konduktivitas.
4. Koreksi, bila perlu, untuk relief, yang membengkokkan isoterm di bawah bukit dan lembah, dan untuk pemanasan lambat sejak glasiasi terakhir, yang masih mengganggu kilometer teratas kira-kira.

Di laut, lubang bor tidak diperlukan. Suhu di dasar samudra dalam sangat stabil, sehingga beberapa meter sedimen lunak sudah membawa gradien keseimbangan. Sebuah tombak baja yang membawa deretan sensor suhu dijatuhkan dari kapal dan ditancapkan ke dalam sedimen oleh beban berat (gambar di bawah); sensor-sensor itu merekam gradien, dan denyut panas yang dikirim sepanjang tombak memberikan konduktivitas sedimen di tempat. Dasar samudra punya satu jebakan. Di kerak muda, air laut bersirkulasi melalui basal yang retak dan membawa sebagian besar panas pergi melalui adveksi, sehingga aliran panas konduktif yang terukur jauh lebih kecil daripada kehilangan sebenarnya. Kehilangan melalui dasar samudra termuda karena itu dihitung dari model pendinginan pada Bagian 10.5, dikalibrasi pada kerak tua tempat sirkulasi telah berhenti: bagian yang dihitung ini, $23.1\,\mathrm{TW}$, kira-kira separuh dari total global.

Di lapangan — Aliran panas di laut

Di kapal riset, probe aliran panas adalah tombak berat yang digantung dari derek buritan. Ia diturunkan dengan kabel kapal hingga tepat di atas dasar laut, lalu dilepas: beban itu menancapkannya ke dalam sedimen, dan kru menunggu di dek sementara sensor menyesuaikan diri dengan suhu lumpur, lalu menariknya keluar dan pindah ke stasiun berikutnya yang tidak jauh. Sederet stasiun semacam itu melintasi sisi punggungan memberikan penurunan aliran panas terhadap umur dasar samudra, dan sebaran antara stasiun-stasiun yang bertetangga menunjukkan di mana air mengalir melalui kerak di bawahnya.

10.3 Geoterm mantap secara konduktif

Definisi 10.7 (Geoterm)

Geoterm di bawah suatu titik permukaan adalah suhu sebagai fungsi kedalaman di sana, $T(z)$. Ia adalah geoterm konduktif yang mantap ketika tidak berubah terhadap waktu dan panas dibawa sepanjang itu oleh konduksi saja.

Di dalam litosfer, jauh dari gunung api aktif dan dari sirkulasi air, panas dibawa oleh konduksi, dan dalam skala jutaan tahun geoterm itu mantap. Bentuknya kemudian mengikuti dari keseimbangan energi.

Teorema 10.8 (Konduksi mantap dengan produksi panas)

Sepanjang geoterm konduktif yang mantap, dalam medium dengan konduktivitas seragam $k$, dengan produksi panas $A(z)$ dan tanpa aliran panas horizontal,

$$\frac{\mathrm dq}{\mathrm dz} = -A(z), \qquad\text{yaitu}\qquad k\,\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dz^2} = -A(z).$$

Dibaca dari permukaan ke bawah, aliran panas berkurang terhadap kedalaman sebesar panas yang dihasilkan di atas setiap level: apa yang melintasi permukaan adalah panas yang datang dari bawah ditambah semua panas yang dihasilkan sepanjang jalan. Dua distribusi $A$ memberikan bentuk tertutup.

Proposisi 10.9 (Lapisan radiogenik seragam)

Misalkan produksi panas adalah $A$ dari permukaan hingga kedalaman $h$ dan nol di bawahnya, permukaan berada pada suhu $T_0$, dan aliran panas permukaan adalah $q_0$. Maka untuk $0 \le z \le h$

$$q(z) = q_0 - A z, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_0 z}{k} - \frac{A z^2}{2k},$$

dan di bawah $h$ aliran panas seragam, $q_m = q_0 - A h$, dan geoterm berupa garis lurus dengan gradien $q_m/k$.

Teorema 10.10 (Produksi panas eksponensial dan hubungan aliran panas linear)

Misalkan produksi panas berkurang terhadap kedalaman sebagai $A(z) = A_0 e^{-z/D}$, aliran panas mendekati $q_m$ pada kedalaman besar, dan permukaan berada pada $T_0$. Maka

$$q(z) = q_m + A_0 D\,e^{-z/D}, \qquad T(z) = T_0 + \frac{q_m z}{k} + \frac{A_0 D^2}{k}\bigl(1 - e^{-z/D}\bigr),$$

dan aliran panas permukaan adalah

$$q_0 = q_m + A_0 D .$$

Baris terakhir adalah prediksi yang dapat diuji di permukaan. Pluton granit di satu wilayah memiliki aliran panas dalam $q_m$ yang sama dan, jika mereka berbeda hanya dalam seberapa kaya mereka akan uranium, torium dan kalium, skala yang sama $D$; maka aliran panas yang diukur di atas setiap pluton seharusnya merupakan fungsi linear dari produksi panas yang diukur pada batuannya, dengan gradien $D$, suatu panjang, dan intersep $q_m$, aliran panas tereduksi, yang berasal dari bawah lapisan radiogenik. Francis Birch pertama kali mengamati garis semacam itu, yang dilaporkan pada 1968, dan pada tahun yang sama tiga provinsi didefinisikan menurut garisnya:

Intersep-intersep, yang diterbitkan sebagai 0.8, 1.4 dan $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, dikonversi dengan $1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (Latihan 10.4). Gradien hanya sedikit bervariasi, dari 7 hingga $10\,\mathrm{km}$; aliran panas tereduksi bervariasi banyak, dan peta-petanya menunjukkan di mana mantel di bawahnya panas, seperti di bawah kerak yang meregang di Basin and Range. Lapisan seragam dari Proposisi 10.9 juga memberikan garis lurus, dengan gradien $h$: kedua model cocok dengan data, tetapi hanya model eksponensial yang tetap berupa garis lurus dengan gradien yang sama ketika pluton tererosi pada kedalaman yang berbeda (Latihan 10.10), itulah sebabnya ia lebih disukai.

Metode 10.11 (Suhu pada kedalaman di bawah pluton)

1. Ukur aliran panas permukaan $q_0$ di atas pluton (metode lubang bor) dan produksi panasnya $A_0$ dari kandungan U, Th dan K-nya.
2. Dari garis provinsi, atau dengan nilai $D$ sekitar $10\,\mathrm{km}$, hitung $q_m = q_0 - A_0 D$.
3. Terapkan Teorema 10.10. Di bawah beberapa kali $D$, $e^{-z/D}$ dapat diabaikan dan geoterm berupa garis lurus $T_0 + A_0D^2/k + q_m z/k$: lapisan radiogenik telah menaikkan setiap suhu dalam sebesar $A_0D^2/k$.

Pada gambar, suhu di Moho berkisar dari sekitar $320{}^{\circ}\mathrm{C}$ untuk aliran panas terendah hingga lebih dari $700{}^{\circ}\mathrm{C}$ untuk yang tertinggi: aliran panas di permukaan memuat pembacaan langsung suhu kerak dalam, yang mengatur kekuatannya (Bab 16).

10.4 Konduksi melawan konveksi

Konduksi lambat. Seberapa lambat itu mengikuti dari persamaan panas, yang diturunkan buku-buku fisika dari hukum Fourier dan keseimbangan Teorema 10.8 dengan penyimpanan ditambahkan: dalam satu dimensi, tanpa produksi panas, $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2 T/\partial z^2$.

Proposisi 10.12 (Skala waktu konduktif)

Perubahan suhu yang dikenakan pada batas suatu benda konduktif menyebar sepanjang jarak $L$ dalam waktu berorde

$$\tau = \frac{L^2}{\kappa} .$$

Batuan memiliki $\kappa \approx 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Siklus suhu harian mencapai beberapa puluh sentimeter ke dalam tanah, yang tahunan beberapa meter, dan pemanasan sejak glasiasi terakhir sekitar satu kilometer. Melintasi litosfer setebal $100\,\mathrm{km}$, $\tau = 10^{16}\,\mathrm{s}$, sekitar $300\,\mathrm{Ma}$. Melintasi mantel setebal $2900\,\mathrm{km}$, $\tau = 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, atau $270\,\mathrm{Ga}$: enam puluh kali umur Bumi, $4.54\,\mathrm{Ga}$. Konduksi saja tidak mungkin membawa panas mantel dalam ke dekat permukaan. Mantel berkonveksi, dan di bagian dalamnya panas dibawa oleh gerakan batuan itu sendiri, dengan kecepatan lempeng, sentimeter per tahun.

Definisi 10.13 (Adiabat mantel)

Adiabat mantel adalah geoterm dari bagian dalam yang tercampur baik dari mantel yang berkonveksi: suhu yang diambil batuan mantel ketika ia naik atau turun cukup cepat untuk tidak bertukar panas dengan sekelilingnya, mendingin karena ekspansi ketika ia naik dan menghangat karena kompresi ketika ia turun.

Termodinamika memberikan gradiennya, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha g T/c_p$, dengan $\alpha$ ekspansivitas termal dan $c_p$ kalor jenis (fisika, diterima di sini). Gradien itu kecil. Evaluasi terkini dari fisika mineral memberikan $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ pada kedalaman $50\,\mathrm{km}$, menurun menjadi $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ pada $410\,\mathrm{km}$, lalu 0.41 hingga $0.23\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ melalui mantel bawah, dengan $1646\,\mathrm{K}$ pada $50\,\mathrm{km}$ dan $2587\,\mathrm{K}$ pada $2800\,\mathrm{km}$.

Diekstrapolasi ke permukaan, adiabat memberikan suhu potensial mantel, $1619\,\mathrm{K}$ atau sekitar $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$: suhu yang akan dimiliki mantel jika dibawa naik ke permukaan tanpa bertukar panas. Konsep suhu potensial didefinisikan, untuk atmosfer dan samudra, dalam Bab 26. Suhu yang naik hanya $0.5\,\mathrm{K}$ per kilometer sementara geoterm konduktif dekat permukaan naik sebesar $25\,\mathrm{K}$ adalah tanda konveksi.

Sejarah — John Perry dan Bumi yang mendingin

Pada 1862–1863 William Thomson, kemudian Lord Kelvin, menghitung umur Bumi dari pendinginannya. Ia memperlakukannya sebagai padatan yang mendingin secara konduktif dari suhu seragam sekitar $3900{}^{\circ}\mathrm{C}$; dengan gradien rata-rata masa itu yang ia pilih dari pengukuran zamannya, sekitar $36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, dan difusivitas $1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, waktu yang diperlukan untuk mencapai gradien hari ini sekitar $96\,\mathrm{Ma}$, di antara batas 24 dan $400\,\mathrm{Ma}$ (Latihan 10.9). Para ahli geologi menemukan angka itu jauh terlalu pendek. Pada 1895, setahun sebelum radioaktivitas ditemukan, mantan asistennya John Perry menunjuk sebuah asumsi lain: jika bagian dalam sebagian cair dan berkonveksi, ia akan membawa panas seolah-olah memiliki konduktivitas yang sangat besar, dan seluruh bagian dalam, bukan cangkang luar yang tipis, akan memberi makan aliran panas permukaan. Argumennya diabaikan dan dilupakan; konveksi mantel, yang ditetapkan jauh kemudian, membuktikan dirinya benar: mantel dalam mendingin dengan konveksi, dan itulah pendinginan sekuler dalam anggaran.

Proposisi 10.14 (Bumi teraduk baik menurut Perry)

Misalkan sebuah bola dengan jari-jari $R$ memiliki bagian dalam yang teraduk baik pada suhu seragam $T_i(t)$, dengan kapasitas panas $\rho c$ per satuan volume, di bawah tutup konduktif setebal $L \ll R$ dan konduktivitas $k$ yang permukaannya berada pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan misalkan tidak ada produksi panas. Maka

$$T_i(t) = T_i(0)\,e^{-t/\tau_P}, \qquad \tau_P = \frac{RL}{3\kappa},$$

dan aliran panas permukaan $kT_i/L$ meluruh dengan konstanta waktu yang sama.

Untuk $R = 6400\,\mathrm{km}$, $L = 100\,\mathrm{km}$ dan $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau_P = 6.8\,\mathrm{Ga}$: Bumi yang berkonveksi mempertahankan aliran panas tinggi selama miliaran tahun, sedangkan Bumi konduktif Kelvin kehilangannya dalam puluhan juta tahun (Latihan 10.11).

10.5 Litosfer sebagai lapisan batas termal

Definisi 10.15 (Lapisan batas termal, litosfer termal)

Dalam fluida yang berkonveksi, lapisan batas termal adalah lapisan di sepanjang suatu batas tempat panas melintas secara konduktif dan suhunya berubah dari suhu batas ke suhu bagian dalam yang tercampur baik. Litosfer termal adalah lapisan batas termal atas mantel: cangkang luar Bumi dari permukaan ke bawah hingga kedalaman tempat geoterm konduktif bertemu adiabat mantel.

Lempeng-lempeng adalah bagian atas dingin dari konveksi mantel, lapisan batas atasnya. Dasarnya, tempat geoterm konduktif yang curam membengkok menjadi adiabat yang landai, berada pada $70\text{ sampai }230\,\mathrm{km}$ dalam gambar geoterm untuk aliran panas benua dari 70 hingga $40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, dalam rentang yang diukur seismologi (Bab 9): litosfer yang didefinisikan oleh kekuatannya dan litosfer yang didefinisikan oleh suhunya kira-kira merupakan cangkang yang sama, karena kekuatan bergantung pada suhu. Di dasar mantel, lapisan D$''$ adalah lapisan batas bawah, dipanaskan dari bawah oleh inti.

Di bawah samudra, lapisan batas lahir di punggungan, tempat mantel panas naik ke permukaan, dan menebal ketika lempeng menjauh dan mendingin. Pendinginan setengah-ruang dari suhu seragam, yang diselesaikan oleh Fourier dan dipakai oleh Kelvin untuk seluruh Bumi, menggambarkannya dengan baik (Bab 13 dan volume Sarjana Tahun ke-3 menurunkannya): isoterm menjadi lebih dalam sebanding dengan akar kuadrat umur dasar (gambar di bawah), dan aliran panas berkurang sebagai

nilai yang dipakai dalam anggaran global. Pada $100\,\mathrm{Ma}$ setengah-ruang telah mendingin hingga sekitar $130\,\mathrm{km}$ (Latihan 10.12). Lempeng yang sebenarnya berhenti menebal lebih cepat: gelombang seismik yang melintasi Pasifik paling baik dicocokkan oleh lempeng yang mendingin dan cenderung menuju ketebalan $85\text{ sampai }95\,\mathrm{km}$, perataan dasar laut tua yang dijumpai lagi di Bab 13.

Anggaran panas, aliran panas dan struktur termal lempeng bersatu dalam bab-bab berikutnya: lempeng yang mendingin tenggelam (Bab 13), dan litosfer dingin yang tenggelam di zona subduksi adalah bagian turun dari konveksi yang menjadi miliknya.

10.6 Latihan

Latihan 10.1 ★

Sebuah lubang bor di granit dengan konduktivitas $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ menunjukkan gradien mantap $22\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$. Hitung aliran panas, dan daya yang melintasi satu kilometer persegi permukaan di sana.

Solusi

Solusi Latihan 10.1.

$q = k\,\mathrm dT/\mathrm dz = 2.5\times0.022\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 0.055\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2} = 55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Melalui $1\,\mathrm{km}^{2}$ $= 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}$: $5.5 \times 10^{4}\,\mathrm{W}$, yaitu $55\,\mathrm{kW}$.

Latihan 10.2 ★

Dari luas dan aliran panas rata-rata benua ($2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$) dan samudra ($3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $105.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$), hitung kehilangan panas masing-masing, totalnya, dan aliran panas rata-rata di seluruh permukaan Bumi ($5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). Berapa fraksinya dari $173\,000\,\mathrm{TW}$ yang diterima dari Matahari?

Solusi

Solusi Latihan 10.2.

Benua $2.073 \times 10^{14}\times0.0709 = 1.470 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.70\,\mathrm{TW}$; samudra $3.028 \times 10^{14}\times0.1054 = 31.92\,\mathrm{TW}$; total $46.61\,\mathrm{TW}$, dan aliran panas rata-rata $4.661 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} = 91.4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ (angka terbitan 46.7 dan 91.6 berbeda hanya karena pembulatan kedua rata-rata). Fraksi dari masukan Matahari adalah $46.6/173000 = 2.7 \times 10^{-4}$, atau $0.027\,\%$.

Latihan 10.3 ★

Dari tabel empat isotop, hitung panas yang dilepaskan per kilogram uranium alami ($99.274\,\%$ $\ce{^{238}U}$ dan $0.720\,\%$ $\ce{^{235}U}$ dari atom; massanya berbeda sekitar $1\,\%$, jadi anggap ini sebagai fraksi massa) dan per kilogram kalium alami, yang $\ce{^{40}K}$-nya membentuk $0.0117\,\%$ dari atom (anggap massa sebuah atom $\ce{^{40}K}$ sebesar $39.96/39.10$ kali massa rata-rata atom kalium).

Solusi

Solusi Latihan 10.3.

Uranium: $0.99274\times9.513 \times 10^{-5} + 0.00720\times5.685 \times 10^{-4} = 9.444 \times 10^{-5} + 4.09 \times 10^{-6} = 9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$; $\ce{^{235}U}$ yang langka menyumbang $4\,\%$ darinya. Kalium: fraksi massa $\ce{^{40}K}$ adalah $1.17 \times 10^{-4}\times39.96/39.10 = 1.196 \times 10^{-4}$, sehingga $1.196 \times 10^{-4}\times2.847 \times 10^{-5} = 3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

Latihan 10.4 ★

Ubah intersep ketiga provinsi, 0.8, 1.4 dan $0.4\times10^{-6}\,\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, menjadi $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ ($1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$). Perkirakan aliran panas permukaan di atas granit dengan produksi panas $3.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ di setiap provinsi.

Solusi

Solusi Latihan 10.4.

$1\,\text{µ}\mathrm{cal}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 4.184 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}/10^{-4}\,\mathrm{m}^{2} = 41.84\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: Amerika Serikat timur $33.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Basin and Range $58.6\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, Sierra Nevada $16.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Dengan $A_0D$ dalam $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ bila $A_0$ dalam $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $D$ dalam $\mathrm{km}$: $33.5 + 3.0\times7.5 = 56.0\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $58.6 + 3.0\times9.4 = 86.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, $16.7 + 3.0\times10 = 46.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Granit yang sama memberikan aliran panas hampir dua kali lipat di Basin and Range dibandingkan di Sierra Nevada: selisihnya ada di mantel di bawahnya.

Latihan 10.5 ★★

Sebuah kerak memiliki produksi panas seragam $2.0\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$ di $10\,\mathrm{km}$ atasnya dan tidak ada di bawahnya, konduktivitas $2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, aliran panas permukaan $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ dan suhu permukaan $10{}^{\circ}\mathrm{C}$. Hitung suhu pada $10\,\mathrm{km}$, aliran panas di bawah lapisan radiogenik, dan suhu pada Moho, $35\,\mathrm{km}$ ke bawah.

Solusi

Solusi Latihan 10.5.

$T(10\,\text{km}) = 10 + \frac{0.060\times10^4}{2.5} - \frac{2 \times 10^{-6}\times10^8}{2\times2.5} = 10 + 240 - 40 = 210{}^{\circ}\mathrm{C}$. Di bawah, $q_m = 60 - 2.0\times10 = 40\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, gradien $16\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, dan $T(35\,\text{km}) = 210 + 16\times25 = 610{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Latihan 10.6 ★★

Sebuah lubang bor menembus $300\,\mathrm{m}$ serpih ($k = 1.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), lalu granit ($k = 3.0\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Suhu keseimbangannya $12.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ di permukaan, $24.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada $300\,\mathrm{m}$ dan $34.0{}^{\circ}\mathrm{C}$ pada $800\,\mathrm{m}$. Hitung gradien dan aliran panas di setiap batuan, resistansi termal pada $300\,\mathrm{m}$ dan pada $800\,\mathrm{m}$, dan gradien plot Bullard. Apakah aliran panasnya konstan?

Solusi

Solusi Latihan 10.6.

Serpih: gradien $12.0/0.300 = 40\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 1.5\times0.040 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. Granit: $10.0/0.500 = 20\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, $q = 3.0\times0.020 = 60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. $R(300) = 300/1.5 = 200\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$, $R(800) = 200 + 500/3.0 = 366.7\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}\,\mathrm{W}^{-1}$. Tiga titik $(0, 12.0)$, $(200, 24.0)$, $(366.7, 34.0)$ berada pada satu garis, dengan gradien $22.0/366.7 = 0.0600\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: aliran panasnya sama, $60\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, di kedua batuan; hanya gradiennya yang berubah, berbanding terbalik dengan konduktivitas.

Latihan 10.7 ★★

Dengan $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, hitung skala waktu konduktif untuk $L = 1\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{km}$ dan $2900\,\mathrm{km}$, masing-masing dalam satuan yang sesuai. Siklus suhu permukaan mana yang masih terasa $10\,\mathrm{m}$ di bawah tanah? Bandingkan waktu terakhir dengan umur Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 10.7.

$\tau = L^2/\kappa$: $1\,\mathrm{m}$, $10^{6}\,\mathrm{s}$ atau $12$ hari; $10\,\mathrm{m}$, $10^{8}\,\mathrm{s}$ atau $3.2$ tahun; $100\,\mathrm{km}$, $10^{16}\,\mathrm{s}$ atau $317\,\mathrm{Ma}$; $2900\,\mathrm{km}$, $8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$ atau $267\,\mathrm{Ga}$. Pada $10\,\mathrm{m}$ siklus harian sama sekali tidak terasa, dan siklus tahunan, yang lebih pendek daripada tiga tahun yang diperlukan untuk menembus $10\,\mathrm{m}$, hanya sangat lemah: hanya perubahan yang berlangsung bertahun-tahun atau lebih yang sampai. Waktu terakhir itu adalah $267/4.54 = 59$ kali umur Bumi.

Latihan 10.8 ★★

Adiabat mantel berada pada $1646\,\mathrm{K}$ di kedalaman $50\,\mathrm{km}$, dengan gradien $0.54\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ di sana, yang menurun menjadi $0.36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ pada $410\,\mathrm{km}$. (a) Ekstrapolasikan ke permukaan dengan gradien pada $50\,\mathrm{km}$, dan berikan suhu potensial dalam kelvin dan dalam derajat Celsius. (b) Perkirakan suhu pada $410\,\mathrm{km}$ dengan rata-rata kedua gradien, dan bandingkan dengan $1799\,\mathrm{K}$ yang diterbitkan tepat di atas diskontinuitas.

Solusi

Solusi Latihan 10.8.

(a) $1646 - 0.54\times50 = 1619\,\mathrm{K}$, yaitu $1346{}^{\circ}\mathrm{C}$, yang diterbitkan sebagai $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$ setelah pembulatan. (b) Gradien rata-rata $(0.54 + 0.36)/2 = 0.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, sehingga $1646 + 0.45\times360 = 1808\,\mathrm{K}$, $9\,\mathrm{K}$ ($0.5\,\%$) di atas $1799\,\mathrm{K}$: gradien tidak menurun secara linear, tetapi perkiraannya dekat.

Latihan 10.9 ★★

Sebuah setengah-ruang yang didinginkan dari suhu seragam $T_0$, dengan permukaannya dipertahankan pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, memiliki setelah waktu $t$ gradien permukaan $G = T_0/\sqrt{\pi\kappa t}$ (dianggap benar). (a) Nyatakan $t$ dalam $G$. (b) Dengan nilai Kelvin, $T_0 = 3900{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 1.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $G = 1/50$ derajat Fahrenheit per kaki, hitung $G$ dalam $\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ dan umurnya. (c) Ulangi dengan $T_0 = 1300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $G = 36\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

Solusi

Solusi Latihan 10.9.

(a) $G^2 = T_0^2/(\pi\kappa t)$ memberikan $t = T_0^2/(\pi\kappa G^2)$. (b) $G = 0.02\times\tfrac59\,\mathrm{K}/0.3048\,\mathrm{m} = 0.036\,45\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}^{-1} = 36.45\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$; $t = 3900^2/(\pi\times1.2 \times 10^{-6}\times0.03645^2) = 1.521 \times 10^{7}/5.009 \times 10^{-9} = 3.04 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$, yaitu $96\,\mathrm{Ma}$, angka Kelvin. (c) $t = 1300^2/(\pi\times10^{-6}\times0.036^2) = 4.15 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 13\,\mathrm{Ma}$: suhu awal yang lebih realistis membuat Bumi konduktif menjadi lebih muda lagi.

Latihan 10.10 ★★★

Sebuah provinsi terkikis: sebuah ketebalan $e$ diambil dari atas setiap pluton, dengan aliran panas dalam $q_m$ tidak berubah. (a) Dalam model eksponensial, tunjukkan bahwa produksi panas permukaan dan aliran panas yang baru, $A_0'$ dan $q_0'$, tetap memenuhi $q_0' = q_m + A_0'D$. (b) Dalam model lapisan seragam dengan ketebalan $h$, tunjukkan bahwa pluton yang terkikis sebesar $e$ berada pada garis dengan gradien $h - e$. (c) Pluton-pluton dari satu provinsi terkikis dengan jumlah yang berbeda-beda. Model mana yang memprediksi bahwa mereka tetap berada pada satu garis?

Solusi

Solusi Latihan 10.10.

(a) Setelah erosi, permukaan baru berada pada kedalaman lama $e$, tempat produksi panas adalah $A_0' = A_0e^{-e/D}$ dan aliran panas $q(e) = q_m + A_0De^{-e/D} = q_m + A_0'D$; diukur dari permukaan baru, produksinya tetap berkurang sebagai $A_0'e^{-z'/D}$. Pluton bergerak turun sepanjang garis yang sama. (b) Lapisan kini setebal $h - e$ dengan $A$ yang sama, sehingga $q_0' = q_m + A(h - e)$: pada garis dengan gradien $h - e$ melalui $q_m$. (c) Hanya model eksponensial: dalam model lapisan seragam, pluton yang tererosi pada kedalaman berbeda akan berada pada garis-garis dengan gradien berbeda, dan titik-titik satu provinsi akan tersebar. Bahwa satu garis yang teramati mendukung produksi yang berkurang kira-kira secara eksponensial terhadap kedalaman.

Latihan 10.11 ★★★

Dalam model Perry (Proposisi 10.14) ambil $R = 6400\,\mathrm{km}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ dan suhu bagian dalam awal $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Hitung $\tau_P$ untuk tutup setebal 50 dan $100\,\mathrm{km}$. (b) Untuk tutup $50\,\mathrm{km}$, hitung aliran panas permukaan pada awal dan setelah $2\,\mathrm{Ga}$. (c) Setengah-ruang konduktif Kelvin dengan $k$ dan $T_0$ yang sama memiliki aliran panas permukaan $kT_0/\sqrt{\pi\kappa t}$: hitung setelah $2\,\mathrm{Ga}$, dan bandingkan.

Solusi

Solusi Latihan 10.11.

(a) $\tau_P = RL/(3\kappa)$: untuk $50\,\mathrm{km}$, $6.4 \times 10^{6}\times5 \times 10^{4}/3 \times 10^{-6} = 1.07 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.4\,\mathrm{Ga}$; untuk $100\,\mathrm{km}$, $6.8\,\mathrm{Ga}$. (b) $q = kT_i/L = 3\times1300/5 \times 10^{4} = 78\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ pada awal, dan $78\,e^{-2/3.38} = 43\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ setelah $2\,\mathrm{Ga}$. (c) $3\times1300/\sqrt{\pi\times10^{-6}\times6.31 \times 10^{16}} = 3900/4.45 \times 10^{5} = 8.8\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$: Bumi yang teraduk baik masih kehilangan lima kali lebih banyak panas setelah dua miliar tahun. Seluruh bagian dalamnya memberi makan permukaan, tetapi pada Bumi konduktif hanya cangkang luarnya.

Latihan 10.12 ★★★

Aliran panas permukaan dari setengah-ruang yang mendingin adalah $q = k\,\Delta T/\sqrt{\pi\kappa t}$ (Latihan 10.9). (a) Dengan $k = 3\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ dan $\Delta T = 1336\,\mathrm{K}$ (dari suhu potensial hingga dasar laut sekitar $10{}^{\circ}\mathrm{C}$), hitung konstanta $C$ dari $q = C/\sqrt t$, dengan $t$ dalam juta tahun, dan bandingkan dengan $490\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Ma}^{1/2}$ yang dicocokkan dengan data. (b) Dengan $C = 490$, berikan aliran panas pada 1, 10 dan $100\,\mathrm{Ma}$. (c) Isoterm $1200{}^{\circ}\mathrm{C}$ dari gambar isoterm yang mendingin berada di tempat $z = 2\times1.163\sqrt{\kappa t}$; hitung kedalamannya pada $100\,\mathrm{Ma}$.

Solusi

Solusi Latihan 10.12.

(a) $\sqrt{\pi\kappa\times1\,\mathrm{Ma}} = \sqrt{\pi\times10^{-6}\times3.156 \times 10^{13}} = 9957\,\mathrm{m}$, sehingga $C = 3\times1336/9957 = 0.403\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ untuk $t$ dalam Ma, $403\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Ma}^{1/2}$: $82\,\%$ dari 490 yang dicocokkan. Model memerlukan $k\,\Delta T$ yang lebih besar (sekitar $4900\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}$): konduktivitas mantel yang lebih tinggi, atau bagian dalam yang lebih panas, seperti sepanjang adiabat. (b) $490/\sqrt1 = 490$, $490/\sqrt{10} = 155$ dan $490/\sqrt{100} = 49\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) $z = 2.326\sqrt{10^{-6}\times3.156 \times 10^{15}} = 2.326\times56\,180\,\mathrm{m} = 131\,\mathrm{km}$.

10.7 Soal: Batuan panas di bawah pluton

Soal 10.1

Soal akhir pekan — aliran panas dan produksi panas lima pluton granit, hubungan linear, dan suhu kerak dalam

Lima pluton granit dari satu provinsi telah dibor. Di setiap lubang bor, suhu keseimbangan dicatat pada $100\,\mathrm{m}$ dan $500\,\mathrm{m}$, konduktivitas granit diukur pada inti; kandungan uranium, torium, dan kaliumnya dianalisis pada sampel permukaan. Kelima granit memiliki massa jenis $2650\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

pluton	$T$ pada $100\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$T$ pada $500\,\mathrm{m}$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$)	$k$ ($\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$)	U, Th (ppm)	K ($\%$)
A	13.1	19.2	2.9	2.0, 8	3.0
B	12.4	20.2	2.6	3.5, 14	3.5
C	13.6	21.4	3.1	5.0, 18	4.0
D	12.9	23.1	2.7	7.0, 25	4.2
E	14.2	25.5	3.0	10.0, 35	4.5

Gunakan panas unsur $9.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (U), $2.63 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (Th) dan $3.40 \times 10^{-9}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$ (K). Di bawah pluton, ambil $k = 2.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ untuk seluruh kerak dan suhu permukaan sebesar $10{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Bagian I — Aliran panas.

1. Hitung gradien suhu di setiap lubang bor.
2. Mengapa suhu harus dicatat berminggu-minggu atau berbulan-bulan setelah pengeboran, dan mengapa $100\,\mathrm{m}$ teratas ditinggalkan?
3. Hitung aliran panas di setiap pluton.
4. Bandingkan dengan aliran panas rata-rata benua, $70.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
5. Gradien B dan C sama. Mengapa aliran panasnya tidak?
6. Pluton-pluton berada di bawah bukit. Apakah relief akan menaikkan atau menurunkan gradien yang terukur di bawah puncak? (Pikirkan bentuk isotermnya.)

Bagian II — Produksi panas dan garisnya.

7. Hitung produksi panas akibat uranium di setiap pluton.
8. Sama untuk torium.
9. Sama untuk kalium.
10. Jumlahkan untuk memperoleh $A_0$ setiap pluton. Unsur mana yang memberikan sumbangan paling kecil?
11. Plot $q_0$ terhadap $A_0$. Apakah titik-titiknya berada dekat garis lurus?
12. Hitung rata-rata $A_0$ dan $q_0$, dan jumlah $\sum (A_0 - \bar A_0)^2$ dan $\sum (A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0)$.
13. Turunkan garis kuadrat terkecil $q_0 = q_m + D A_0$: gradiennya $D$ (dalam $\mathrm{km}$) dan intersepnya $q_m$.
14. Bandingkan $D$ dan $q_m$ dengan ketiga provinsi dalam bab ini. Provinsi mana yang mirip dengan provinsi ini?

Bagian III — Geoterm di bawah pluton E. Bulatkan $D$ menjadi $10\,\mathrm{km}$ dan $q_m$ menjadi $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, dan untuk pluton E ambil yang dibulatkan, yaitu $A_0 = 5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$.

15. Tuliskan geoterm $T(z)$ dari Teorema 10.10 dengan nilai-nilai ini.
16. Hitung aliran panas pada 10, 20 dan $35\,\mathrm{km}$.
17. Berapa fraksi aliran panas permukaan di atas E yang berasal dari bawah lapisan radiogenik?
18. Hitung suhu pada $10\,\mathrm{km}$.
19. Hitung suhu pada $20\,\mathrm{km}$.

Bagian IV — Kerak dalam.

20. Hitung suhu pada Moho, $35\,\mathrm{km}$ ke bawah, di bawah pluton A ($A_0 = 1.35\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$).
21. Berapa besar lapisan radiogenik A dan E menaikkan suhu dalam? Jelaskan selisih antara kedua pluton itu.
22. Di bawah $50\,\mathrm{km}$, $e^{-z/D}$ dapat diabaikan. Cari kedalaman isoterm $1300{}^{\circ}\mathrm{C}$ di bawah pluton E, dan di bawah pluton A.
23. Bandingkan kedalaman ini dengan ketebalan litosfer benua yang ditemukan dalam Bab 9.
24. Berapa suhu di Moho di bawah pluton E?

Solusi

Solusi Soal 10.1.

1. Gradien $= (T_{500} - T_{100})/0.4\,\mathrm{km}$: A $15.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$, B $19.50$, C $19.50$, D $25.50$, E $28.25\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$.

2. Pengeboran mengganggu suhu batuan (fluida pengebor mendinginkan atau memanaskan dinding), dan gangguan itu memerlukan berminggu-minggu hingga berbulan-bulan untuk hilang. Puluhan meter teratas mengikuti siklus musiman dan perubahan suhu permukaan yang baru terjadi.

3. $q_0 = k\times$gradien: A $2.9\times15.25 = 44.225\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, B $50.70\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, C $60.45\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, D $68.85\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, E $84.75\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

4. A sampai D berada di bawah rata-rata benua, E di atasnya sebesar $13.9\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, atau $20\,\%$.

5. Aliran panas adalah konduktivitas dikali gradien: C menghantarkan lebih baik (3.1 terhadap 2.6), sehingga gradien yang sama membawa $19\,\%$ lebih banyak panas.

6. Isoterm hanya sebagian mengikuti relief: di bawah puncak mereka naik lebih sedikit daripada permukaan, sehingga mereka lebih berjauhan di bawahnya, dan gradien yang terukur menjadi lebih rendah (dan lebih tinggi di bawah lembah). Koreksi relief diperlukan sebelum membandingkan pluton-pluton.

7. $\rho C_U H_U$: A $2650\times2.0 \times 10^{-6}\times9.85 \times 10^{-5} = 0.522\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, B 0.914, C 1.305, D 1.827, E 2.610.

8. Torium: A 0.558, B 0.976, C 1.255, D 1.742, E 2.439.

9. Kalium: A $2650\times0.030\times3.40 \times 10^{-9} = 0.270$, B 0.315, C 0.360, D 0.378, E 0.405.

10. $A_0$ = 1.35, 2.20, 2.92, 3.95 dan $5.46\,\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$. Kalium memberikan sumbangan paling kecil, dari $20\,\%$ dari total di A turun ke $7\,\%$ di E; uranium dan torium membagi sisanya hampir sama.

11. Ya: kelima titik itu naik secara mantap, dalam kira-kira $1.5\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ dari sebuah garis lurus.

12. $\bar A_0 = 15.88/5 = 3.176$, $\bar q_0 = 308.975/5 = 61.795$; $\sum(A_0 - \bar A_0)^2 = 10.1681$; $\sum(A_0 - \bar A_0)(q_0 - \bar q_0) = 101.146$.

13. $D = 101.146/10.1681 = 9.95$ (dalam $\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ per $\text{µ}\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-3}$, yaitu dalam km): $D = 9.95\,\mathrm{km}$, dan $q_m = 61.795 - 9.95\times3.176 = 30.20\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

14. Gradiennya, sekitar $10\,\mathrm{km}$, sama dengan ketiga provinsi; aliran panas tereduksi, $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, dekat dengan $33\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ milik Amerika Serikat timur: provinsi yang tenang dengan mantel dingin di bawahnya, tidak seperti Provinsi Basin and Range.

15. $q_m/k = 12\,\mathrm{K}\,\mathrm{km}^{-1}$ dan $A_0D^2/k = 5.46 \times 10^{-6}\times10^{8}/2.5 = 218.4\,\mathrm{K}$: $T(z) = 10 + 12z + 218.4\,(1 - e^{-z/10})$, $z$ dalam km, $T$ dalam ${}^{\circ}\mathrm{C}$.

16. $q(z) = 30 + 54.6\,e^{-z/10}$: $50.1\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ pada $10\,\mathrm{km}$, $37.4$ pada $20\,\mathrm{km}$ dan $31.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ pada $35\,\mathrm{km}$.

17. $30/84.6 = 35\,\%$: hampir dua pertiga aliran panas di atas E dihasilkan di dalam lapisan radiogeniknya.

18. $T(10) = 10 + 120 + 218.4\times0.632 = 268{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. $T(20) = 10 + 240 + 218.4\times0.865 = 439{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. Di bawah A, $A_0D^2/k = 1.35\times100/2.5 = 54.0\,\mathrm{K}$: $T(35) = 10 + 420 + 54.0\times0.970 = 482{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. Menurut $A_0D^2/k$: $54\,\mathrm{K}$ di bawah A dan $218\,\mathrm{K}$ di bawah E. Aliran panas dalamnya sama; kerak E empat kali lebih kaya sumber panas, dan panas yang dihasilkannya harus dikonduksikan naik melalui batuan yang sama, yang memerlukan gradien yang lebih curam sepanjang jalan.

22. $1300 = 10 + 218.4 + 12z$ memberikan $z = 89.3\,\mathrm{km}$ di bawah E; $1300 = 10 + 54.0 + 12z$ memberikan $103.0\,\mathrm{km}$ di bawah A.

23. Keduanya berada dalam rentang litosfer benua, dari seratus kilometer atau kurang di wilayah muda hingga sekitar $250\,\mathrm{km}$ di bawah kraton, menuju sisi tipisnya: dengan aliran panas tereduksi $30\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ dan konduktivitas ini, geoterm konduktif mencapai suhu mantel pada sekitar $100\,\mathrm{km}$; di bawah pluton yang lebih radioaktif, $14\,\mathrm{km}$ lebih cepat.

24. $T(35) = 10 + 420 + 218.4\times(1 - e^{-3.5}) = 430 + 211.8$: Moho di bawah pluton E berada pada $642{}^{\circ}\mathrm{C}$.