16Tegangan, regangan dan reologi

Pada 1960-an, air limbah yang dipompa ke sumur pembuangan di Rocky Mountain Arsenal, dekat Denver, menyebar ke dalam batuan dasar kristalin yang retak antara $3.7\,\mathrm{km}$ dan $7.0\,\mathrm{km}$ di bawah permukaan, dan gempa bumi menyusul. Gempa-gempa itu tetap berada di dalam bagian batuan tempat tekanan fluida telah naik lebih dari sekitar $3.2\,\mathrm{MPa}$.

Setengah abad kemudian hal yang sama terjadi dalam skala yang lebih besar di Oklahoma, tempat air asin yang terbawa bersama minyak dan gas dipompa kembali ke bawah tanah. Di dalam dan sekitar negara bagian itu, gempa bumi bermagnitudo 3 atau lebih berjumlah satu hingga lima per tahun dari 2005 hingga 2008, lalu $20$ pada 2009, $585$ pada 2014 dan $888$ pada 2015, lebih dari dua per hari; guncangan bermagnitudo 5.7 dan 5.8 mengguncang Prague, pada 2011, dan Pawnee, pada 2016. Empat sumur pembuangan bervolume tinggi saja dapat menjelaskan seperlima gempa bumi di Amerika Serikat tengah, dan memicu sebagian yang berjarak lebih dari $30\,\mathrm{km}$.

Air itu tidak mendorong apa pun ke samping; ia hanya menaikkan tekanan fluida di dalam pori-pori batuan. Mengapa itu membuat sebuah sesar tergelincir? Jawabannya memerlukan tiga gagasan, yang menjadi pokok bab ini: tegangan pada bidang di dalam batuan, kondisi tempat bidang itu menyerah, dan fakta bahwa tekanan fluida pori bekerja melawan gaya yang menekan kedua sisi bersama. Dengan ketiganya, dan dengan hukum rayapan untuk batuan panas, kita dapat menggambar kekuatan seluruh litosfer terhadap kedalaman.

Yang sudah kamu ketahui

Gaya yang tersebar pada suatu permukaan bekerja melalui gaya per satuan luasnya, dalam pascal; tekanan dalam fluida diam bertambah dengan kedalaman sebagai $\rho g z$ (buku fisika). Pegas, dan padatan dalam deformasi kecil, mematuhi hukum Hooke: regangan sebanding dengan tegangan, dengan modulus Young sebagai konstanta; fluida kental menahan sebanding dengan laju gesernya, dengan viskositas sebagai konstanta. Buku fisika volume Tahun ke-3 menggambarkan tegangan dan regangan dalam tiga dimensi dengan tensor; bab ini hanya memerlukan dua. Matriks $2\times2$ simetris memiliki dua nilai eigen real dan dua vektor eigen yang tegak lurus (matematika, Tahun 1). Geoterm pada Bab 10 memberi suhu pada kedalaman; sesar telah ditemui di Buku 1, kelas 7.

16.1 Tegangan dalam dua dimensi

Potong sebuah batuan dalam pikiran sepanjang permukaan datar kecil. Batuan di satu sisi menekan batuan di sisi lain dengan gaya, dan gaya per satuan luas adalah traksi pada permukaan itu, dalam istilah buku fisika. Arahnya, pada umumnya, bukan arah normal terhadap permukaan.

Definisi 16.1 (Tegangan normal)

Pada suatu bidang melalui sebuah titik batuan, gaya per satuan luas yang dikerjakan batuan di satu sisi pada sisi lain memiliki komponen sepanjang normal bidang, tegangan normal $\sigma_n$, dan komponen sepanjang bidang, tegangan geser $\tau$. Dalam ilmu kebumian tegangan normal dihitung positif ketika ia memampatkan.

Konvensi tandanya berlawanan dengan konvensi insinyur. Ia dipilih karena hampir setiap tegangan di Bumi padat adalah kompresi: berat batuan di atas menekan segala sesuatu di bawahnya.

Kita bekerja pada bidang vertikal, dengan sumbu $x$ horizontal dan sumbu $y$. Pada bidang yang tegak lurus $x$ tegangan normalnya adalah $\sigma_{xx}$ dan tegangan gesernya $\sigma_{xy}$; pada bidang yang tegak lurus $y$ keduanya adalah $\sigma_{yy}$ dan $\sigma_{yx}$. Kedua tegangan geser itu sama: pada sebuah kotak kecil, gaya geser pada sisi-sisi vertikal membentuk kopel dengan momen $\sigma_{xy}a\cdot a$ untuk sisi $a$, dan yang pada sisi-sisi horizontal kopel $\sigma_{yx}a\cdot a$ yang berputar ke arah sebaliknya, dan kotak itu akan berputar jika keduanya berbeda. Jadi tiga bilangan menggambarkan tegangan pada sebuah titik, dan itu cukup untuk memberikannya pada setiap bidang.

Proposisi 16.2 (Tegangan pada bidang miring)

Misalkan sebuah bidang memiliki normal satuan $\vec n = (\cos\theta, \sin\theta)$, pada sudut $\theta$ dari sumbu $x$, dan misalkan $\vec m = (-\sin\theta, \cos\theta)$ menjadi vektor satuan sepanjang bidang itu. Tegangan normal dan geser pada bidang itu adalah vektor satuan sepanjang bidang itu. Tegangan normal dan geser pada bidang itu adalah

$$\begin{align*} \sigma_n &= \sigma_{xx}\cos^2\theta + 2\sigma_{xy}\sin\theta\cos\theta + \sigma_{yy}\sin^2\theta = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} + \frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\cos2\theta + \sigma_{xy}\sin2\theta, \\ \tau &= (\sigma_{yy}-\sigma_{xx})\sin\theta\cos\theta + \sigma_{xy}(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = -\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\sin2\theta + \sigma_{xy}\cos2\theta , \end{align*}$$

dengan $\tau$ dihitung positif sepanjang $\vec m$.

Teorema 16.3 (Tegangan utama)

Pada setiap titik batuan terdapat dua bidang yang saling tegak lurus tempat tegangan gesernya nol. Tegangan normal pada keduanya adalah tegangan normal terbesar dan terkecil di atas semua bidang melalui titik itu,

$$\sigma_{1,3} = \frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\Bigr)^2 + \sigma_{xy}^2}, \qquad \tan2\theta_p = \frac{2\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}},$$

dengan $\theta_p$ adalah sudut dari sumbu $x$ ke normal bidang yang membawa $\sigma_1$.

Definisi 16.4 (Tegangan utama, tegangan diferensial)

Tegangan utama pada sebuah titik adalah tegangan normal $\sigma_1 \ge \sigma_3$ pada kedua bidang yang bebas dari tegangan geser, dan arahnya adalah arah utama. Dalam tiga dimensi terdapat tiga, $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$, pada tiga bidang yang saling tegak lurus. Tegangan diferensial adalah $\sigma_1 - \sigma_3$, dan tegangan rata-rata dalam bidang adalah $(\sigma_1+\sigma_3)/2$.

Keadaan tegangan paling mudah dibaca pada arah utamanya. Jika kita mengukur sudut $\theta$ dari arah $\sigma_1$, alih-alih dari sumbu $x$, rumusnya kehilangan suku terakhirnya.

Proposisi 16.5 (Lingkaran Mohr)

Pada bidang yang normalnya membentuk sudut $\theta$ dengan arah $\sigma_1$,

$$\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos2\theta, \qquad |\tau| = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\,|\sin2\theta| .$$

Ketika $\theta$ berputar, titik $(\sigma_n, |\tau|)$ menelusuri setengah atas lingkaran dengan pusat $((\sigma_1+\sigma_3)/2,\, 0)$ dan jari-jari $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, pada sudut $2\theta$ dari ujung $\sigma_1$-nya. Tegangan geser terbesar, $(\sigma_1-\sigma_3)/2$, bekerja pada bidang-bidang yang membentuk $45{}^{\circ}$ dengan arah utama.

Tanda $\tau$ hanya menyatakan ke arah mana kedua sisi akan meluncur, sehingga setengah atas lingkaran biasanya digambar sendiri. Konstruksi ini dinamai menurut insinyur Christian Otto Mohr, yang juga membangun di atasnya sebuah kriteria keruntuhan, dan ke sanalah kita menuju (Bagian 16.3).

Tegangan pada kedalaman

Definisi 16.6 (Tekanan litostatik, tekanan fluida pori, tegangan efektif)

Pada kedalaman $z$, berat batuan di atasnya, per satuan luas horizontal, adalah tegangan vertikal $\sigma_v = \int_0^z\rho g\,\mathrm dz'$, yang sama dengan $\rho g z$ dalam lapisan dengan massa jenis seragam $\rho$. Ketika tegangan sama di setiap arah dan sama dengannya, batuan berada di bawah tekanan litostatik. Tekanan air, minyak atau gas di dalam pori dan retakan batuan adalah tekanan fluida pori $P$; ia hidrostatik, $P = \rho_w g z$, ketika pori-pori terhubung ke permukaan. Tegangan efektif adalah tegangan dikurangi tekanan pori, $\sigma' = \sigma - P$, pada setiap bidang; $\lambda = P/\sigma_v$ adalah rasio tekanan pori.

Dalam kerak dengan massa jenis $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, tegangan vertikal bertambah sekitar $2700\times9.81\times1000 = 26.5\,\mathrm{MPa}$ per kilometer dan tekanan pori hidrostatik sebesar $9.81\,\mathrm{MPa}$ per kilometer: $\lambda = 1000/2700 = 0.37$. Fluida pori mendorong butiran-butiran terpisah dengan tekanan yang sama di setiap arah; ia tidak mengambil apa pun dari tegangan geser, tetapi ia mengambil $P$ dari setiap tegangan normal. Di tempat pori-pori tersegel, misalnya oleh lempung atau garam, fluida dapat menanggung sebagian berat batuan di atasnya, dan $\lambda$ naik menuju 1.

Tegangan dalam kerak tidak litostatik. Lempeng-lempeng mendorong dan menarik, kerak membengkok, pegunungan menekan akarnya, dan tegangan horizontal berbeda dari yang vertikal. Dekat permukaan, yang tidak menanggung tegangan geser, salah satu arah utama vertikal, seperti ditunjukkan Bab 17: $\sigma_v$ adalah $\sigma_1$, $\sigma_2$ atau $\sigma_3$, dan ketiga kasus itu adalah tiga cara sesar bergerak.

16.2 Regangan

Tegangan adalah sebab; regangan adalah yang direkam batuan. Fosil yang ditarik memanjang, kerikil yang dipipihkan, lapisan yang dipendekkan menjadi lipatan semuanya mengukur perubahan bentuk.

Definisi 16.7 (Perpanjangan, peregangan, regangan geser)

Sebuah garis bahan dengan panjang $\ell_0$ yang terdeformasi menjadi panjang $\ell$ memiliki perpanjangan $e = (\ell - \ell_0)/\ell_0$ dan peregangan $S = \ell/\ell_0 = 1 + e$; pemendekan adalah perpanjangan negatif, peregangan di bawah 1. Dua garis bahan yang tadinya tegak lurus dan kini membentuk sudut $90{}^{\circ} - \psi$ telah tergeser sebesar sudut $\psi$, dan regangan geser adalah $\gamma = \tan\psi$.

Regangan homogen ketika setiap daerah kecil batuan terdeformasi dengan cara yang sama. Posisi baru $\vec x'$ dari titik $\vec x$ kemudian merupakan fungsi linear, $\vec x' = F\vec x$, dengan matriks konstan $2\times2$ $F$ (dan $\det F > 0$, karena batuan tidak terbalik ke dalam). Garis lurus tetap lurus dan garis sejajar tetap sejajar; persegi menjadi jajar genjang, dan lingkaran menjadi elips.

Proposisi 16.8 (Elips regangan)

Di bawah regangan homogen $\vec x' = F\vec x$, lingkaran berjari-jari 1 menjadi elips yang semi-sumbunya adalah akar kuadrat $S_1 \ge S_2$ dari nilai eigen $FF^{\mathsf T}$, sepanjang vektor eigennya yang tegak lurus. $S_1$ dan $S_2$ adalah peregangan terbesar dan terkecil dari semua garis bahan, dan luasnya dikalikan $\det F = S_1S_2$.

Definisi 16.9 (Elips regangan)

Elips regangan adalah elips tempat regangan homogen memutar lingkaran berjari-jari 1; semi-sumbunya adalah peregangan utama $S_1 \ge S_2$, dan sumbunya adalah arah utama regangan.

Dua regangan yang mengubah bentuk suatu benda secara sama dapat sangat berbeda.

Definisi 16.10 (Geser murni, geser sederhana)

Sebuah geser murni adalah regangan homogen yang mempertahankan luas dan mempertahankan arah utamanya tetap dalam batuan: $F = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k\end{pmatrix}$ dalam sumbu-sumbu itu, dengan $k > 1$. Sebuah geser sederhana menggerakkan setiap titik sejajar dengan satu arah, arah geser, sebesar $\gamma$ kali jaraknya dari bidang tetap yang sejajar dengannya: $F = \begin{pmatrix} 1 & \gamma \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

Keduanya mempertahankan luas, karena kedua determinannya 1. Pada geser murni garis-garis bahan di sepanjang sumbu elips regangan adalah garis yang sama pada setiap tahap: regangannya koaksial. Pada geser sederhana tidak demikian, seperti ditunjukkan proposisi berikutnya dan gambar sesudahnya.

Proposisi 16.11 (Elips geser sederhana)

Sebuah geser sederhana $\gamma$ memiliki peregangan utama

$$S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2 ,$$

dan sumbu panjang elips regangannya membentuk dengan arah geser sudut $\theta'$ yang diberikan oleh $\tan2\theta' = 2/\gamma$.

Elips regangan mencatat regangan total, atau hingga. Deformasi yang berlangsung selama jutaan tahun adalah jumlah dari banyak kenaikan kecil, masing-masing berupa regangan infinitesimal; untuk $\gamma$ kecil proposisi memberi $S_{1,2} \approx 1 \pm \gamma/2$ dan $\theta' \approx 45{}^{\circ}$. Pada geser sederhana kenaikan-kenaikan selalu meregang paling cepat pada $45{}^{\circ}$ dari arah geser, sementara elips hingga berputar mendekatinya, $31.7{}^{\circ}$ pada $\gamma = 1$, $22.5{}^{\circ}$ pada $\gamma = 2$, makin dekat ketika $\gamma$ tumbuh. Inilah sebabnya kerikil yang pipih dan mineral yang tertarik dalam zona geser intens terletak hampir pada bidangnya, dan mengapa sudut yang mereka bentuk dengan zona itu mengukur seberapa jauh zona itu telah bergerak.

16.3 Reologi

Definisi 16.12 (Reologi, perilaku rapuh dan duktil)

Reologi suatu bahan adalah cara ia terdeformasi dan mengalir di bawah tegangan: hubungan antara tegangan, regangan dan laju regangan. Batuan menunjukkan perilaku rapuh ketika ia terdeformasi dengan patah atau dengan tergelincir pada rekahan, pada permukaan diskrit, dengan kehilangan kekuatan yang tiba-tiba; ia menunjukkan perilaku duktil ketika ia terdeformasi secara permanen dan kontinu melalui volumenya, tanpa kehilangan kohesinya.

Batuan menunjukkan semua perilaku buku fisika. Di bawah tegangan kecil dan singkat mereka elastik: regangan sebanding dengan tegangan, seperti dalam hukum Hooke, dan menghilang bersamanya; gelombang seismik (Bab 9) merambat melalui batuan elastik. Dalam waktu yang lama mantel panas mengalir seperti fluida yang sangat kental, dengan laju regangan yang bertambah bersama tegangan. Di antaranya, batuan dingin pecah dan tergelincir, dan batuan hangat merayap. Perilaku mana yang menang bergantung pada tegangan, suhu, tekanan, fluida di dalam pori-pori dan waktu yang tersedia.

Kegagalan rapuh

Definisi 16.13 (Kriteria keruntuhan Coulomb)

Batuan mematuhi kriteria keruntuhan Coulomb jika sebuah bidang melaluinya pecah, atau rekahan yang ada tergelincir, segera setelah pada bidang itu

$$\tau = C + \mu\,\sigma_n' , \qquad \sigma_n' = \sigma_n - P ,$$

di mana $C \ge 0$ adalah kohesi batuan, $\mu$ koefisien gesekan internal dan $\phi = \arctan\mu$ sudut gesekan internal.

Kriteria ini memakai nama Coulomb dan Mohr. Konstantanya diukur pada sampel di laboratorium, dan berbeda dari batuan ke batuan. Rekahan yang sudah ada telah kehilangan kohesinya: untuknya, $C = 0$, dan gesekannya hampir tidak bergantung pada batuan (Proposisi 16.15), dengan $\mu$ antara 0.6 dan 0.85, sudut gesekan antara $31{}^{\circ}$ dan $40{}^{\circ}$.

Teorema 16.14 (Sudut keruntuhan)

Batuan yang mematuhi kriteria Coulomb pertama-tama pecah pada bidang-bidang yang membentuk sudut $45{}^{\circ} - \phi/2$ dengan arah $\sigma_1$, di kedua sisinya, dan ia pecah ketika

$$\frac{\sigma_1' - \sigma_3'}{2} = C\cos\phi + \frac{\sigma_1' + \sigma_3'}{2}\,\sin\phi .$$

Dengan $\phi = 30{}^{\circ}$, batuan pecah pada bidang-bidang yang membentuk $30{}^{\circ}$ dengan $\sigma_1$, dan kedua bidang yang mungkin membentuk $60{}^{\circ}$ satu sama lain, dipotong dua oleh $\sigma_1$. Inilah sudut antara sesar konjugat yang terlihat di lapangan, dan alasan, seperti ditunjukkan Bab 17, mengapa sesar normal miring curam dan sesar dorong miring landai.

Untuk tergelincir pada rekahan yang sudah ada, eksperimen memberi gesekan itu sendiri, dan ia memberikannya dengan kesederhanaan yang mengejutkan.

Proposisi 16.15 (Hukum Byerlee)

Untuk sebagian besar batuan, tergelincir pada rekahan atau sesar yang ada dimulai ketika tegangan geser mencapai

$$\tau = 0.85\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' < 200\,\mathrm{MPa}), \qquad \tau = 50\,\mathrm{MPa} + 0.6\,\sigma_n' \quad (\sigma_n' > 200\,\mathrm{MPa}),$$

apa pun jenis batuannya: inilah hukum Byerlee.

Hukum ini adalah hasil eksperimen, bukan teori. James Byerlee mengukur, pada 1975, kekuatan rekah dan kekuatan gesek sebuah batupasir di bawah tekanan pengurung dan tekanan pori, dan mendapati keduanya hanya diatur oleh tegangan efektif, selisih antara kedua tekanan; kekuatan rekah bervariasi hingga $20\,\%$ bergantung pada semen di antara butiran, tetapi gesekan tidak bergantung pada batuan, dan hukum yang sama berlaku untuk gabro, dunit, serpentinit, granit dan batugamping. Kedua garis bertemu di $\sigma_n' = 200\,\mathrm{MPa}$, tempat keduanya memberi $170\,\mathrm{MPa}$.

Hukum tegangan efektif adalah kunci pembukaan bab ini. Menaikkan tekanan pori sebesar $\Delta P$ menurunkan setiap tegangan normal efektif sebesar $\Delta P$ dan membiarkan setiap tegangan geser seperti semula: lingkaran Mohr bergeser ke kiri, tidak berubah ukurannya, menuju garis keruntuhan. Sebuah sesar yang tadinya aman dapat dibuat tergelincir tanpa perubahan apa pun pada tegangan tektonik. Tegangan geser kritis pada sebuah sesar adalah $\tau_c = \tau_0 + \mu(\sigma_n - P)$, dan injeksi bekerja pada suku terakhirnya. Di Denver gempa bumi tetap berada di batuan tempat tekanan pori telah naik lebih dari sekitar $3.2\,\mathrm{MPa}$, seolah kenaikan itulah yang dibutuhkan sesar di sana.

Metode 16.16 (Menguji sesar untuk tergelincir)

Untuk memutuskan apakah sebuah sesar pada kedalaman $z$ akan tergelincir, dan apa yang akan membuatnya tergelincir:

1. Cari tegangan utama pada bidang yang tegak lurus terhadap jurus sesar: $\sigma_v = \rho g z$, dan tegangan horizontal, diukur atau diasumsikan; ambil tekanan pori $P$ (hidrostatik, $\rho_w g z$, jika tidak ada yang lain diketahui).
2. Ukur sudut $\theta$ antara normal sesar dan arah $\sigma_1$.
3. Hitung $\sigma_n$ dan $\tau$ pada sesar dengan Proposisi 16.5, lalu $\sigma_n' = \sigma_n - P$.
4. Bandingkan $\tau$ dengan gesekan pada Proposisi 16.15: di bawahnya, sesar bertahan; $\tau/\sigma_n'$ terhadap 0.85 mengukur marginnya.
5. Kenaikan tekanan pori yang membawanya ke tergelincir adalah $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85$ pada cabang bawah hukum ($\sigma_n' - (\tau - 50)/0.6$, dalam megapascal, pada cabang atasnya).

Rayapan duktil

Batuan panas tidak menunggu untuk pecah. Di atas beberapa ratus derajat dalam batuan kaya kuarsa, dan pada suhu yang lebih tinggi dalam olivin, kristal terdeformasi oleh gerakan lambat cacat melalui kisinya, dan batuan merayap dengan laju yang tumbuh tajam bersama tegangan dan suhu.

Proposisi 16.17 (Rayapan hukum pangkat)

Pada suhu tinggi batuan yang terdeformasi oleh rayapan dislokasi mengalir dengan laju regangan

$$\dot\varepsilon = A\,(\sigma_1 - \sigma_3)^n \exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

di mana $T$ adalah suhu absolut, $P$ tekanan, $R$ konstanta gas, dan $A$, $n$, $E$ (energi aktivasi) dan $V$ (volume aktivasi) adalah konstanta bahan, diukur di laboratorium. Untuk mengalir pada laju $\dot\varepsilon$, ia memerlukan tegangan diferensial

$$\sigma_1 - \sigma_3 = \Bigl(\frac{\dot\varepsilon}{A}\Bigr)^{1/n} \exp\Bigl(\frac{E + PV}{nRT}\Bigr).$$

Mekanisme di balik hukum ini adalah pokok bahasan volume Tahun ke-3. Konstantanya berasal dari eksperimen; untuk kuarsit basah, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$ dan $A = 1.1 \times 10^{-4}$ (tegangan dalam megapascal, waktu dalam detik), menurut Gleason dan Tullis (1995); untuk olivin kering, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 18\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ dan $A = 10^{5}$, menurut Hirth dan Kohlstedt (2003); $R = 8.314\,462\,618\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$.

Dua ciri hukum ini membentuk litosfer. Tegangan hanya sedikit bergantung pada laju: sepuluh kali lebih cepat hanya memerlukan $10^{1/4} = 1.78$ kali lebih banyak tegangan kuarsit. Dan ia sangat bergantung pada suhu: eksponensial membagi kekuatan kuarsit dengan beberapa untuk setiap seratus derajat. Laju regangan alami lambat. Sabuk kerak selebar $300\,\mathrm{km}$ yang menyerap $1\,\mathrm{cm}$ gerak lempeng setahun terdeformasi pada $0.01/(3.16 \times 10^{7}\times3 \times 10^{5}) \approx 1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$, laju yang akan kita gunakan.

Di laboratorium — Mengukur kekuatan batuan

Laboratorium mekanika batuan mengukur kekuatan dalam sel triaksial. Silinder batuan, dibor dan digerinda rata di ujungnya, disegel dalam selubung karet atau logam lunak yang menjaga fluida pengurung keluar dari porinya. Ia berada di dalam bejana tekanan berdinding tebal: minyak di sekelilingnya menetapkan tekanan pengurung, yang berperan sebagai $\sigma_2 = \sigma_3$; sebuah piston menekan ujung-ujungnya dan menambahkan beban aksial, $\sigma_1$. Saluran terpisah mengisi pori dengan air pada tekanannya sendiri, sehingga tegangan efektif dapat divariasikan dengan tegangan total tetap. Mesin mencatat gaya aksial dan pemendekan sampel ketika ia dibebani pada laju yang mantap, hingga ia pecah atau, pada sampel yang digergaji melintang sebelumnya, hingga potongan itu mulai meluncur. Tungku di dalam bejana memanaskan sampel untuk eksperimen rayapan, yang dijalankan pada laju regangan beberapa orde besaran lebih cepat daripada laju mana pun di Bumi dan harus diekstrapolasi ke sana.

16.4 Kekuatan litosfer

Pada setiap kedalaman litosfer dapat gagal dengan dua cara: dengan tergelincir pada sesar, dengan kekuatan yang tumbuh bersama tekanan efektif, atau dengan rayapan, dengan kekuatan yang turun ketika ia makin panas. Ia terdeformasi dengan cara mana pun yang memerlukan tegangan lebih kecil.

Definisi 16.18 (Amplop kekuatan, transisi rapuh–duktil, lapisan seismogenik)

Amplop kekuatan litosfer adalah kurva, terhadap kedalaman, dari tegangan diferensial terbesar yang dapat ditahannya pada laju regangan tertentu: pada setiap kedalaman, yang lebih kecil dari kekuatan gesek dan kekuatan rayapan. Transisi rapuh–duktil adalah kedalaman tempat keduanya sama: di atasnya batuan terdeformasi dengan patahan, di bawahnya dengan rayapan. Lapisan seismogenik adalah rentang kedalaman tempat sebagian besar gempa bumi dimulai.

Proposisi 16.19 (Kekuatan gesek terhadap kedalaman)

Dalam lapisan dengan massa jenis $\rho$, dengan tekanan pori hidrostatik, satu tegangan utama vertikal, sesar dari setiap orientasi dan tanpa kohesi, tergelincir dengan gesekan $\mu$ dimulai pada tegangan diferensial

$$\begin{align*} \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} + \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{jika $\sigma_v = \sigma_1$}, \\ \sigma_1 - \sigma_3 &= \frac{2\mu}{\sqrt{1+\mu^2} - \mu}\,\rho g z(1-\lambda) && \text{jika $\sigma_v = \sigma_3$}, \end{align*}$$

dengan $\lambda = \rho_w/\rho$: kasus pertama memberi sesar normal, yang kedua sesar dorong.

Dengan $\mu = 0.85$ dan $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $S$ bertambah sebesar $16.7\,\mathrm{MPa}$ per kilometer dan kekuatan gesek sebesar $13.1\,\mathrm{MPa}$ per kilometer di bawah peregangan dan $61.3\,\mathrm{MPa}$ per kilometer di bawah kompresi, hampir lima kali lebih banyak: kerak jauh lebih mudah ditarik terpisah daripada didorong bersama. Melampaui tegangan normal efektif $200\,\mathrm{MPa}$, cabang atas hukum Byerlee mengambil alih, dan kemiringannya turun, dalam kompresi, menjadi sekitar $35\,\mathrm{MPa}$ per kilometer.

Gambar di atas menggabungkan kedua kekuatan untuk dua litosfer. Benua memiliki geoterm Bab 10 dengan aliran panas permukaan $55\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, kerak kuarsit basah setebal $35\,\mathrm{km}$, dan olivin kering di bawahnya; dasar samudra berumur $60\,\mathrm{Ma}$, dengan geoterm setengah-ruang dari bab yang sama, dan olivin dari dasar laut ke bawah. Laju regangannya $10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$. $35\,\mathrm{km}$ adalah kedalaman rata-rata Moho di bawah benua dalam model acuan Bumi Bab 9.

Di bawah benua transisi rapuh–duktil jatuh pada $13.7\,\mathrm{km}$ dalam kompresi, pada $249{}^{\circ}\mathrm{C}$, dan pada $17.1\,\mathrm{km}$ dalam peregangan. Kerak yang lebih hangat akan menaikkannya, dan yang lebih dingin menurunkannya, karena hukum rayapan bergantung pada suhu saja pada tegangan tertentu. Transisi itu adalah tingkat terkuat kerak. Di bawahnya kekuatan runtuh: di Moho, pada $527{}^{\circ}\mathrm{C}$, kuarsit mengalir di bawah $7.6\,\mathrm{MPa}$, sedangkan olivin pada suhu yang sama memerlukan sekitar $30\,000\,\mathrm{MPa}$, jauh melampaui kekuatan gesek sehingga bagian atas mantel kembali rapuh. Transisi kedua mengikuti pada $44.6\,\mathrm{km}$ dalam kompresi. Kerak bawah model ini adalah lapisan lunak di antara dua lapisan kuat: “sandwich jeli”. Di bawah samudra seluruh litosfer adalah olivin, dan kekuatannya tumbuh ke bawah hingga satu transisi tunggal pada $38.2\,\mathrm{km}$, pada $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Gempa bumi sesuai dengan amplop samudra: di dalam lempeng samudra, mereka mencapai kedalaman tempat suhunya $600\text{ sampai }800{}^{\circ}\mathrm{C}$, dekat dengan $641{}^{\circ}\mathrm{C}$ transisi tunggal model itu. Gempa yang lebih dalam hanya terjadi di tempat satu lempeng menunjam di bawah yang lain, hingga lebih dari $700\,\mathrm{km}$ (Bab 14).

Mantel benua adalah tempat gambarannya diperdebatkan. Selama sekitar dua puluh tahun sandwich jeli adalah pandangan yang berlaku, dibangun di atas pengukuran laboratorium olivin kering dan atas beberapa gempa bumi yang diduga berada di bawah Moho. Pada 2002 James Jackson berpendapat bahwa ia harus ditinggalkan: kedalaman yang lebih baik menunjukkan bahwa gempa bumi di benua terbatas pada satu lapisan, biasanya kerak atas, kadang seluruh kerak, tanpa gempa bumi yang meyakinkan di mantel di bawahnya, bahkan di tempat Moho hanya $300\text{ sampai }500{}^{\circ}\mathrm{C}$. Sedikit air, beberapa bagian per juta dalam olivin, cukup untuk melemahkannya secara drastis, dan mantel benua mungkin memang memuat sebanyak itu; kekuatan benua kemudian sebagian besar terletak di kerak mereka. Kedua pandangan menggambar amplop yang berbeda dari hukum yang sama, dengan olivin kering atau basah di bawah Moho.

Apa pun yang benar, amplop adalah batas dan bukan pengukuran: hukum laboratorium diekstrapolasi melalui banyak orde besaran laju regangan, dan tegangan puncak yang ditunjukkannya, lebih dari satu gigapascal, jauh di atas $1\text{ sampai }10\,\mathrm{MPa}$ yang terlihat dilepaskan gempa bumi.

16.5 Latihan

Latihan 16.1 ★

Ambil kerak dengan massa jenis $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$. Pada kedalaman $10\,\mathrm{km}$, hitung (a) tegangan vertikal, (b) tekanan pori hidrostatik, (c) tegangan efektif vertikal dan rasio tekanan pori $\lambda$.

Solusi

Solusi Latihan 16.1.

(a) $\sigma_v = 2700\times9.81\times10\,000 = 2.65 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 264.9\,\mathrm{MPa}$. (b) $P = 1000\times9.81\times10\,000 = 98.1\,\mathrm{MPa}$. (c) $\sigma_v' = 264.9 - 98.1 = 166.8\,\mathrm{MPa}$, dan $\lambda = 98.1/264.9 = 0.370$, yang sama dengan $1000/2700$.

Latihan 16.2 ★

(a) Sebuah lapisan sepanjang $10\,\mathrm{km}$ diregangkan hingga $13\,\mathrm{km}$: berikan perpanjangan dan perengangannya. (b) Lapisan lain, sepanjang $10\,\mathrm{km}$, dipendekkan hingga $7\,\mathrm{km}$. (c) Dua garis batuan yang tadinya tegak lurus kini membentuk sudut $60{}^{\circ}$: berapa sudut geser dan regangan gesernya?

Solusi

Solusi Latihan 16.2.

(a) $e = (13-10)/10 = 0.30$ dan $S = 1.30$. (b) $e = (7-10)/10 = -0.30$, pemendekan sebesar $30\,\%$, dan $S = 0.70$. (c) Sudut itu telah menyempit sebesar $\psi = 30{}^{\circ}$, dan $\gamma = \tan30{}^{\circ} = 0.577$.

Latihan 16.3 ★

Pada suatu titik, $\sigma_1 = 100\,\mathrm{MPa}$ dan $\sigma_3 = 40\,\mathrm{MPa}$. (a) Gambarkan lingkaran Mohr. (b) Berapa tegangan geser terbesar, pada bidang mana ia bekerja, dan tegangan normal apa yang bekerja pada bidang-bidang itu? (c) Hitung $\sigma_n$ dan $\tau$ pada bidang yang normalnya membentuk $30{}^{\circ}$ dengan $\sigma_1$.

Solusi

Solusi Latihan 16.3.

(a) Pusat $70\,\mathrm{MPa}$, jari-jari $30\,\mathrm{MPa}$. (b) Tegangan geser terbesar adalah jari-jari, $30\,\mathrm{MPa}$, pada bidang-bidang yang membentuk $45{}^{\circ}$ dengan $\sigma_1$ dan $\sigma_3$, yang membawa tegangan normal pusat, $70\,\mathrm{MPa}$. (c) $2\theta = 60{}^{\circ}$: $\sigma_n = 70 + 30\cos60{}^{\circ} = 85\,\mathrm{MPa}$ dan $\tau = 30\sin60{}^{\circ} = 26.0\,\mathrm{MPa}$.

Latihan 16.4 ★

Sebuah batuan memiliki kohesi $10\,\mathrm{MPa}$ dan sudut gesekan internal $30{}^{\circ}$. (a) Pada sudut berapa terhadap $\sigma_1$ ia pecah, dan sudut apa yang dibentuk oleh kedua bidang rekahan yang mungkin satu sama lain? (b) Dengan $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_1'$ efektif berapa yang memecahkannya?

Solusi

Solusi Latihan 16.4.

(a) $45{}^{\circ} - 30{}^{\circ}/2 = 30{}^{\circ}$ terhadap $\sigma_1$, di kedua sisinya, sehingga kedua bidang membentuk $60{}^{\circ}$ satu sama lain. (b) Dengan $c' = 20 + r$, syarat Teorema 16.14 menjadi $r = C\cos\phi + (20 + r)\sin\phi$, sehingga

$$r = \frac{C\cos\phi + 20\sin\phi}{1 - \sin\phi} = \frac{8.66 + 10}{0.5} = 37.3\,\mathrm{MPa},$$

dan $\sigma_1' = 20 + 2r = 94.6\,\mathrm{MPa}$.

Latihan 16.5 ★★

Dalam sumbu $x$ (horizontal) dan $y$ (vertikal), $\sigma_{xx} = 60\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 20\,\mathrm{MPa}$ dan $\sigma_{xy} = 15\,\mathrm{MPa}$. (a) Hitung tegangan utama dan sudut $\theta_p$. (b) Periksa dengan Proposisi 16.2 bahwa bidang dengan normal $\theta_p$ tidak membawa tegangan geser dan tegangan normal $\sigma_1$. (c) Berapa tegangan geser terbesar pada titik ini?

Solusi

Solusi Latihan 16.5.

(a) $c = 40$ dan $R = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\,\mathrm{MPa}$: $\sigma_1 = 65\,\mathrm{MPa}$ dan $\sigma_3 = 15\,\mathrm{MPa}$; $\tan2\theta_p = 30/40 = 0.75$, $2\theta_p = 36.87{}^{\circ}$, $\theta_p = 18.43{}^{\circ}$. (b) Pada sudut ini $\cos^2\theta = 0.9$, $\sin^2\theta = 0.1$ dan $\sin\theta\cos\theta = 0.3$: $\sigma_n = 60\times0.9 + 2\times15\times0.3 + 20\times0.1 = 54 + 9 + 2 = 65\,\mathrm{MPa}$, dan $\tau = (20-60)\times0.3 + 15\times(0.9-0.1) = -12 + 12 = 0$. (c) $R = 25\,\mathrm{MPa}$, pada bidang-bidang pada $45{}^{\circ}$ terhadap arah utama.

Latihan 16.6 ★★

Sebuah zona geser telah mendeformasi batuannya dengan geser sederhana $\gamma = 2$. (a) Hitung peregangan utama dan sudut sumbu panjang elips regangan terhadap arah geser. (b) Periksa bahwa luasnya tidak berubah. (c) Sebuah garis bahan berada pada $45{}^{\circ}$ terhadap arah geser, naik searah dengan geser: di mana ia sekarang, dan berapa peregangannya? Bandingkan dengan (a).

Solusi

Solusi Latihan 16.6.

(a) $S_{1,2} = \sqrt{1 + 1} \pm 1$: $S_1 = 2.414$ dan $S_2 = 0.414$; $\tan2\theta' = 2/2 = 1$, $\theta' = 22.5{}^{\circ}$. (b) $S_1S_2 = (\sqrt2 + 1)(\sqrt2 - 1) = 1$, yang merupakan $\det F$: tidak ada perubahan luas. (c) Garis sepanjang $(1, 1)$ menjadi $F(1, 1) = (1 + 2, 1) = (3, 1)$, pada $\arctan(1/3) = 18.4{}^{\circ}$ dari arah geser, dengan peregangan $\sqrt{10}/\sqrt2 = 2.24$. Ia telah berputar melewati sumbu panjang elips, pada $22.5{}^{\circ}$, menuju bidang geser; peregangannya sedikit kurang dari $S_1$, seperti yang harus terjadi, karena tidak ada garis yang meregang lebih dari $S_1$.

Latihan 16.7 ★★

Dalam zona geser setebal $200\,\mathrm{m}$, bintik-bintik bulat kecil dalam batusabak telah menjadi elips dengan sumbu dalam perbandingan 4 banding 1. Anggap geser sederhana, tanpa perubahan luas. (a) Cari $S_1$, $S_2$ dan $\gamma$. (b) Pada sudut berapa terhadap dinding zona itu sumbu panjangnya harus terletak? (c) Seberapa jauh satu dinding telah bergerak melewati yang lain?

Solusi

Solusi Latihan 16.7.

(a) $S_1/S_2 = 4$ dan $S_1S_2 = 1$ memberi $S_1 = 2$ dan $S_2 = 0.5$; menurut Proposisi 16.11, $\gamma = S_1 - S_2 = 1.5$. (b) $\tan2\theta' = 2/1.5 = 1.333$, $2\theta' = 53.1{}^{\circ}$: sumbu panjang harus terletak pada $26.6{}^{\circ}$ dari dinding. (c) $1.5\times200 = 300\,\mathrm{m}$.

Latihan 16.8 ★★

Sebuah sesar pada kedalaman $3\,\mathrm{km}$, dalam kerak dengan massa jenis $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, memikul tegangan normal $70\,\mathrm{MPa}$ dan tegangan geser $30\,\mathrm{MPa}$. (a) Dengan tekanan pori hidrostatik, apakah ia tergelincir menurut hukum Byerlee? (b) Bagaimana jika porinya tersegel dan $\lambda = 0.6$? (c) Cari nilai $\lambda$ pada saat ia mulai tergelincir.

Solusi

Solusi Latihan 16.8.

$\sigma_v = 2700\times9.81\times3000 = 79.46\,\mathrm{MPa}$. (a) $P = 29.43\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 70 - 29.43 = 40.57\,\mathrm{MPa}$, dan Byerlee mengizinkan $0.85\times40.57 = 34.5\,\mathrm{MPa}$, lebih dari $30\,\mathrm{MPa}$ yang diterapkan: sesar bertahan. (b) $P = 0.6\times79.46 = 47.68\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_n' = 22.32\,\mathrm{MPa}$, dan gesekan hanya memberi $19.0\,\mathrm{MPa}$: sesar tergelincir. (c) $30 = 0.85\,(70 - 79.46\,\lambda)$ memberi $\lambda = (70 - 35.29)/79.46 = 0.437$.

Latihan 16.9 ★★

Gunakan hukum rayapan kuarsit basah (Proposisi 16.17). (a) Dengan faktor berapa tegangan harus naik agar ia mengalir sepuluh kali lebih cepat? (b) Dengan faktor berapa kekuatannya turun antara $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $500{}^{\circ}\mathrm{C}$, pada laju yang sama dan dengan $V = 0$? (c) Jelaskan dengan kedua hasil ini mengapa kedalaman transisi rapuh–duktil jauh lebih bergantung pada geoterm daripada pada laju regangan.

Solusi

Solusi Latihan 16.9.

(a) Tegangan berubah sebagai $\dot\varepsilon^{1/4}$: $10^{1/4} = 1.78$. (b) Perbandingan kekuatannya adalah

$$\exp\Bigl[\frac{E}{nR}\Bigl(\frac{1}{673.15} - \frac{1}{773.15}\Bigr)\Bigr] = \exp\bigl(6705\times1.921 \times 10^{-4}\bigr) = \exp(1.288) = 3.63 .$$

(c) Perubahan laju sepuluh kali lipat mengubah kekuatan rayapan sebesar faktor 1.78, yang dilakukan suhu hanya dalam $100\times\ln1.78/\ln3.63 \approx 45{}^{\circ}\mathrm{C}$; pada geoterm sekitar $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ per kilometer, itu menggeser transisi sekitar $2\,\mathrm{km}$. Perubahan geoterm menggeser isoterm, dan bersamanya transisi, jauh lebih banyak.

Latihan 16.10 ★★★

Di mana tegangan vertikal adalah $\sigma_2$, sesar adalah sesar geser-mendatar. Anggap bahwa tegangan efektif vertikal kemudian adalah rata-rata $(\sigma_1' + \sigma_3')/2$. (a) Tunjukkan bahwa tergelincir dengan gesekan $\mu$ dan tanpa kohesi dimulai pada $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\mu\,\rho g z(1-\lambda)/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) Hitung gradiennya dalam megapascal per kilometer untuk $\mu = 0.85$ dan $\rho = 2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, dan letakkan di antara gradien sesar normal dan sesar dorong. (c) Nyatakan masing-masing dari ketiga gradien sebagai kelipatan tegangan vertikal efektif.

Solusi

Solusi Latihan 16.10.

(a) Dengan $C = 0$, sesar tergelincir ketika $r = \mu c'/\sqrt{1+\mu^2}$ (Teorema 16.14). Di sini $c' = S = \rho g z(1-\lambda)$, sehingga $\sigma_1 - \sigma_3 = 2r = 2\mu S/\sqrt{1+\mu^2}$. (b) $S$ bertambah sebesar $2700\times9.81\times1000\times(1 - 1000/2700) = 16.68\,\mathrm{MPa}$ per kilometer, dan $2\times0.85/1.3124 = 1.295$: gradiennya adalah $21.6\,\mathrm{MPa}$ per kilometer, di antara $13.1$ (sesar normal) dan $61.3\,\mathrm{MPa}$ per kilometer (sesar dorong). (c) $2\mu/(k+\mu) = 0.786$, $2\mu/k = 1.295$ dan $2\mu/(k-\mu) = 3.68$, dengan $k = 1.3124$: tegangan diferensial saat tergelincir adalah 0.79, 1.30 dan 3.68 kali tegangan vertikal efektif.

Latihan 16.11 ★★★

Modelkan litosfer samudra berumur $60\,\mathrm{Ma}$ sebagai setengah-ruang yang didinginkan dari $1350{}^{\circ}\mathrm{C}$, dengan permukaan pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $T = 1350\operatorname{erf}\bigl(z/(2\sqrt{\kappa t})\bigr)$. (a) Hitung $2\sqrt{\kappa t}$. (b) Cari kedalaman isoterm $600{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $800{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Gempa bumi di dalam lempeng samudra mencapai kedalaman tempat suhunya $600\text{ sampai }800{}^{\circ}\mathrm{C}$. Bandingkan dengan transisi rapuh–duktil dalam amplop kekuatan samudra bab ini, pada $38.2\,\mathrm{km}$ dan $641{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Solusi

Solusi Latihan 16.11.

(a) $t = 60\times10^{6}\times3.156 \times 10^{7} = 1.89 \times 10^{15}\,\mathrm{s}$ dan $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{1.89 \times 10^{9}} = 87.0\,\mathrm{km}$. (b) $\operatorname{erf}x = 600/1350 = 0.444$ untuk $x = 0.417$: $z = 0.417\times87.0 = 36.3\,\mathrm{km}$; $\operatorname{erf}x = 800/1350 = 0.593$ untuk $x = 0.586$: $z = 51.0\,\mathrm{km}$. (c) Gempa bumi seharusnya mencapai $36\text{ sampai }51\,\mathrm{km}$; amplop menempatkan dasar lapisan rapuh pada $38.2\,\mathrm{km}$, di dalam rentang itu dan dekat puncaknya, pada suhu $641{}^{\circ}\mathrm{C}$, dalam rentang yang teramati.

Latihan 16.12 ★★★

Sebuah batuan dilintasi rekahan dari setiap orientasi, semuanya memuat arah $\sigma_2$, tanpa kohesi dan gesekan 0.85. Tegangan utama efektifnya adalah $\sigma_1' = 110\,\mathrm{MPa}$ dan $\sigma_3' = 20\,\mathrm{MPa}$. (a) Tunjukkan bahwa beberapa rekahan tergelincir. (b) Cari rentang sudut antara rekahan yang tergelincir dan $\sigma_1$. Yang manakah yang berada di tengah rentang itu? (c) Sampai nilai $\sigma_1'$ berapa, dengan $\sigma_3'$ tetap, setidaknya satu rekahan masih tergelincir?

Solusi

Solusi Latihan 16.12.

(a) $r = 45$ dan $c' = 65\,\mathrm{MPa}$; jarak dari pusat ke garis $\tau = 0.85\sigma_n'$ adalah $0.85\times65/1.3124 = 42.1\,\mathrm{MPa}$, kurang dari jari-jari: lingkaran memotong garis, dan bidang-bidang pada busur di atasnya tergelincir. (b) Dengan $2\theta$ sudut dari ujung $\sigma_1$, tergelincir memerlukan $45\sin2\theta \ge 0.85\,(65 + 45\cos2\theta)$, yaitu $45\sin2\theta - 38.25\cos2\theta \ge 55.25$, atau $59.06\sin(2\theta - 40.36{}^{\circ}) \ge 55.25$, dengan $40.36{}^{\circ} = \phi$. Maka $\sin(2\theta - \phi) \ge 0.9355$, $2\theta - \phi$ antara $69.31{}^{\circ}$ dan $110.69{}^{\circ}$, $2\theta$ antara $109.67{}^{\circ}$ dan $151.06{}^{\circ}$: normal-normalnya terletak pada $54.8{}^{\circ}$ hingga $75.5{}^{\circ}$ dari $\sigma_1$, dan rekahan yang tergelincir pada $14.5{}^{\circ}$ hingga $35.2{}^{\circ}$ dari $\sigma_1$. Titik tengah rentang itu, $24.8{}^{\circ}$, adalah $45{}^{\circ} - \phi/2$, bidang Teorema 16.14. (c) Hanya bidang itu yang tergelincir ketika lingkaran hanya menyentuh garis: $r = \mu(20 + r)/k$, $r = 20\mu/(k - \mu) = 17/0.4624 = 36.8\,\mathrm{MPa}$, dan $\sigma_1' = 20 + 2r = 93.5\,\mathrm{MPa}$.

16.6 Masalah: Akankah sesar tergelincir?

Soal 16.1

Soal akhir pekan — tegangan pada sesar normal pada kedalaman lima kilometer, margin keamanannya, dan kenaikan tekanan pori yang akan membuatnya tergelincir

Sebuah sesar berjurus utara–selatan dan miring $60{}^{\circ}$ ke timur. Sebuah sumur pembuangan mencapainya pada kedalaman $5.00\,\mathrm{km}$, dalam kerak dengan massa jenis $2700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ yang porinya terhubung ke permukaan. Sebuah pengukuran di dalam sumur memberi tegangan horizontal tegak lurus sesar, $75.0\,\mathrm{MPa}$; tegangan horizontal sepanjang jurus berada di antara itu dan tegangan vertikal, sehingga soalnya dua dimensi dalam bidang vertikal timur–barat. Ambil $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, air dengan massa jenis $1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan hukum Byerlee. Berikan tegangan hingga $0.01\,\mathrm{MPa}$.

Bagian I — Keadaan tegangan.

1. Hitung tegangan vertikal pada kedalaman sesar.
2. Hitung tekanan pori hidrostatik di sana, dan rasio $\lambda$.
3. Manakah dari kedua tegangan itu yang $\sigma_1$ dan yang $\sigma_3$? Jenis sesar apa yang didorong oleh keadaan tegangan ini?
4. Hitung tegangan diferensial, pusat dan jari-jari lingkaran Mohr.
5. Hitung tegangan utama efektif dan pusat lingkaran efektif.
6. Dengan $x$ horizontal ke timur dan $y$ vertikal, tuliskan ketiga komponen $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$, $\sigma_{xy}$. Mengapa $\sigma_{xy}$ nol?

Bagian II — Tegangan pada sesar.

7. Berikan normal satuan sesar dalam sumbu pada soal 6, dan sudut $\theta$ antara normal itu dan $\sigma_1$.
8. Hitung $\sigma_n$ dan $\tau$ pada sesar dengan Proposisi 16.2.
9. Periksa kedua nilai dengan lingkaran Mohr: pada sudut berapa dari ujung $\sigma_1$ sesar itu terletak?
10. Hitung tegangan normal efektif pada sesar.
11. Hitung rasio $\tau/\sigma_n'$ dan bandingkan dengan 0.85.
12. Tegangan geser berapa yang akan membuat sesar tergelincir di bawah tegangan normal efektif sekarang? Dengan berapa megapascal ia kurang?

Bagian III — Lingkaran Mohr dan hukum Byerlee.

13. Gambarkan lingkaran Mohr efektif dan garis Byerlee dengan skala.
14. Hitung jarak dari pusat lingkaran ke garis dan bandingkan dengan jari-jarinya. Dapatkah bidang mana pun melalui batuan itu tergelincir?
15. Bidang manakah yang akan tergelincir lebih dulu? Berikan sudutnya terhadap $\sigma_1$ dan kemiringannya.
16. Dengan Proposisi 16.19, hitung tegangan diferensial pada saat sesar normal tergelincir pada kedalaman ini, dan periksa dengan gradien $13.1\,\mathrm{MPa}$ per kilometer.
17. Seberapa rendah tegangan horizontal harus turun agar bidang yang paling baik orientasinya tergelincir?
18. Seberapa rendah untuk sesar dalam soal ini agar tergelincir? Jelaskan mengapa ia lebih rendah.

Bagian IV — Injeksi.

19. Jelaskan mengapa kenaikan $\Delta P$ pada tekanan pori menggeser lingkaran efektif sejauh $\Delta P$ ke kiri tanpa mengubah jari-jarinya.
20. Hitung kenaikan tekanan pori yang membuat bidang yang paling baik orientasinya tergelincir.
21. Sumur penuh dengan air. Tekanan ekstra apa yang harus diberikan pompa di kepala sumur untuk menaikkan tekanan pori di sesar sebesar jumlah itu? Setinggi apa kolom air yang setara dengannya?
22. Jika gesekan pada sesar 0.6 alih-alih 0.85, apakah ia sudah tergelincir? Apa yang dikatakan ketenangan sesar tentang gesekannya?
23. Pada rasio $\lambda$ berapa bidang yang paling baik orientasinya tergelincir?
24. Hingga satu desimal, dalam megapascal, kenaikan tekanan pori berapa yang membuat sesar ini tergelincir?

Solusi

Solusi Soal 16.1.

1. $\sigma_v = 2700\times9.81\times5000 = 132.44\,\mathrm{MPa}$.

2. $P = 1000\times9.81\times5000 = 49.05\,\mathrm{MPa}$, dan $\lambda = 49.05/132.44 = 0.370$.

3. $\sigma_1 = \sigma_v = 132.44\,\mathrm{MPa}$, vertikal, dan $\sigma_3 = 75.00\,\mathrm{MPa}$, horizontal timur–barat: kerak sedang diregangkan timur–barat di bawah beratnya sendiri, keadaan yang mendorong sesar normal, seperti sesar ini.

4. $\sigma_1 - \sigma_3 = 57.44\,\mathrm{MPa}$; pusat $(132.44 + 75.00)/2 = 103.72\,\mathrm{MPa}$; jari-jari $28.72\,\mathrm{MPa}$.

5. $\sigma_1' = 132.44 - 49.05 = 83.39\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3' = 75.00 - 49.05 = 25.95\,\mathrm{MPa}$, pusat $103.72 - 49.05 = 54.67\,\mathrm{MPa}$.

6. $\sigma_{xx} = 75.00\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{yy} = 132.44\,\mathrm{MPa}$ dan $\sigma_{xy} = 0$: sumbunya adalah arah utama, satu di antaranya vertikal, sehingga bidang-bidang yang tegak lurus padanya tidak membawa tegangan geser.

7. Di sepanjang kemiringannya sesar berjalan sepanjang vektor satuan $(\cos60{}^{\circ}, -\sin60{}^{\circ})$, ke timur dan ke bawah; normal ke atasnya adalah $\vec n = (\sin60{}^{\circ}, \cos60{}^{\circ}) = (0.866, 0.500)$, pada $30{}^{\circ}$ dari $x$. Kosinus sudutnya dengan $\sigma_1$, sepanjang $y$, adalah 0.500: $\theta = 60{}^{\circ}$.

8. Dengan $30{}^{\circ}$ dari $x$: $\sigma_n = 75.00\times0.75 + 132.44\times0.25 = 56.25 + 33.11 = 89.36\,\mathrm{MPa}$, dan $\tau = (132.44 - 75.00)\times \sin30{}^{\circ}\cos30{}^{\circ} = 57.44\times0.4330 = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

9. Pada $2\theta = 120{}^{\circ}$ dari ujung $\sigma_1$: $\sigma_n = 103.72 + 28.72\cos120{}^{\circ} = 103.72 - 14.36 = 89.36\,\mathrm{MPa}$ dan $\tau = 28.72\sin120{}^{\circ} = 24.87\,\mathrm{MPa}$.

10. $\sigma_n' = 89.36 - 49.05 = 40.31\,\mathrm{MPa}$.

11. $24.87/40.31 = 0.617$, di bawah 0.85: sesar bertahan.

12. $0.85\times40.31 = 34.26\,\mathrm{MPa}$; tegangan geser kurang darinya sebesar $9.39\,\mathrm{MPa}$.

13. Lingkaran memiliki pusat pada $54.67\,\mathrm{MPa}$ dan jari-jari $28.72\,\mathrm{MPa}$, dari $25.95$ hingga $83.39\,\mathrm{MPa}$; garis Byerlee adalah $\tau = 0.85\,\sigma_n'$ (semua tegangan normal di sini di bawah $200\,\mathrm{MPa}$); sesar berada pada titik $(40.31, 24.87)$, pada $120{}^{\circ}$ dari ujung $\sigma_1$.

14. $0.85\times54.67/\sqrt{1 + 0.85^2} = 46.47/1.3124 = 35.41\,\mathrm{MPa}$, lebih besar dari jari-jari, $28.72\,\mathrm{MPa}$: seluruh lingkaran berada di bawah garis, dan tidak ada bidang melalui batuan yang dapat tergelincir.

15. $\phi = \arctan0.85 = 40.36{}^{\circ}$: bidang pada $45{}^{\circ} - \phi/2 = 24.8{}^{\circ}$ dari $\sigma_1$ vertikal, dengan kemiringan $65.2{}^{\circ}$.

16. $S = \sigma_v' = 83.39\,\mathrm{MPa}$ dan $\sigma_1 - \sigma_3 = 2\times0.85\times83.39/(1.3124 + 0.85) = 65.55\,\mathrm{MPa}$; gradien memberi $13.11\times5 = 65.55\,\mathrm{MPa}$.

17. $\sigma_3 = 132.44 - 65.55 = 66.88\,\mathrm{MPa}$.

18. Sesar tergelincir ketika $r\sin120{}^{\circ} = 0.85\,(c' + r\cos120{}^{\circ})$ dengan $c' = (83.39 + \sigma_3')/2$ dan $r = (83.39 - \sigma_3')/2$; menyelesaikannya memberi $\sigma_3' = 17.18\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_3 = 66.23\,\mathrm{MPa}$. Ia lebih rendah daripada untuk bidang terbaik: sesar tidak terletak di titik tempat lingkaran pertama kali menyentuh garis, sehingga lingkaran harus tumbuh lebih jauh sebelum mencapai titik sesar itu sendiri.

19. Setiap tegangan normal efektif, termasuk $\sigma_1'$ dan $\sigma_3'$, turun sebesar $\Delta P$, dan selisihnya tidak berubah; tegangan geser sama sekali tidak bergantung pada tekanan pori.

20. Bidang terbaik tergelincir ketika jarak sama dengan jari-jari: $0.85\,(54.67 - \Delta P)/1.3124 = 28.72$, sehingga $\Delta P = 54.67 - 28.72\times1.3124/0.85 = 54.67 - 44.34 = 10.33\,\mathrm{MPa}$.

21. Kolom air di dalam sumur beratnya sama seperti sebelumnya, sehingga pompa harus menambahkan seluruh $10.33\,\mathrm{MPa}$ di kepala sumur, sekitar 103 kali tekanan atmosfer: berat kolom air $10.33 \times 10^{6}/(1000\times9.81) = 1053\,\mathrm{m}$ tingginya.

22. Dengan $\mu = 0.6$ sesar hanya dapat menahan $0.6\times40.31 = 24.19\,\mathrm{MPa}$, lebih kecil dari $24.87\,\mathrm{MPa}$ yang dibawanya: ia sudah akan tergelincir. Karena ia tenang, gesekannya setidaknya $0.617$, atau ia memiliki kohesi tertentu.

23. Bidang terbaik tergelincir ketika tekanan pori mencapai $49.05 + 10.33 = 59.38\,\mathrm{MPa}$, yaitu $\lambda = 59.38/132.44 = 0.448$, jauh di bawah nilai litostatik 1.

24. $\Delta P = \sigma_n' - \tau/0.85 = 40.309 - 24.870/0.85 = 40.309 - 29.259 = 11.049\,\mathrm{MPa}$, lebih dari $10.33\,\mathrm{MPa}$ yang akan menggerakkan bidang orientasi terbaik. Hingga satu desimal, kenaikan tekanan pori yang membawa sesar ke tergelincir adalah $11.0\,\mathrm{MPa}$.