6Metode lapangan dan laboratorium I

Seorang ahli geologi yang memetakan Perbukitan Varden hanya membawa sedikit barang: buku catatan, pensil, penerima satelit, kompas-klinometer, kaca pembesar, dan beberapa kantong sampel. Dengan itu ia menetapkan di mana ia berdiri, mengukur orientasi perlapisan, menamai batuan, dan membawa pulang sampel yang akan dipotong, digerinda, dan diamati melalui mikroskop di laboratorium. Setiap angka dalam bab-bab sebelumnya — orientasi pada peta, kemiringan dalam penampang — bermula dari pembacaan semacam ini, dengan galatnya sendiri. Bab ini menguraikan bagaimana para profesional membuat pengamatan ini, dan bagaimana pembacaan berulang dirata-ratakan serta sebarannya diubah menjadi ketidakpastian. Bab ini diakhiri dengan serangkaian pembacaan di sayap timur antiklin Varden.

Yang sudah kamu ketahui

Orientasi bidang ditulis sebagai arah kemiringan/kemiringan, misalnya $081/12$, atau sebagai jurus menurut kaidah tangan kanan dengan kemiringannya (Bab 4). Deklinasi magnetik adalah sudut antara utara geografis dan arah ke mana jarum kompas menunjuk (fisika, kelas 11). Mineral dikenali di tangan dari kilapnya, belahannya, kekerasannya, dan warnanya (Buku 2, kelas 11). Rata-rata dan simpangan baku suatu himpunan bilangan merangkum pusat dan sebarannya (matematika).

6.1 Buku catatan dan peta

Definisi 6.1 (Stasiun lapangan, buku catatan lapangan)

Sebuah stasiun lapangan adalah tempat bernomor tempat seorang ahli geologi membuat dan mencatat pengamatan: posisinya, batuan yang terlihat, orientasinya, dan sampel yang diambil. Buku catatan lapangan adalah catatan berjilid tentang stasiun-stasiun itu, menurut urutan kunjungannya, dengan nomornya, sketsa, dan pengukuran, yang ditulis di tempat.

Buku catatan adalah catatan primer: apa yang tidak ditulis di stasiun hilang, dan peta yang digambar malam hari hanya sebaik catatan di baliknya. Setiap stasiun memiliki nomor yang muncul pada peta lapangan, di buku catatan, dan pada setiap kantong sampel yang diambil di sana. Sketsa memperlihatkan apa yang tidak dapat ditunjukkan oleh daftar angka — bagaimana dua satuan bertemu, ke arah mana lapisan yang lebih muda berbaring, di mana pembacaan diambil pada permukaan yang terlipat — dan mencatat skala serta orientasinya. Fakta dan interpretasi dipisahkan: “batu gamping di atas serpih, kontak tajam” adalah pengamatan; “ketidakselarasan” adalah inferensi, dan ditulis sebagai demikian.

Di lapangan — Sehari memetakan

Seorang ahli geologi pemetaan merencanakan lintasan melintang jurusnya, agar menemui setiap satuan secara bergiliran, dan berhenti di mana pun sebuah kontak, perubahan batuan, atau permukaan yang dapat diukur tampak. Di setiap stasiun ia menulis nomor dan posisinya, membuat sketsa apa yang dilihatnya, mengukur orientasi, dan mencatat sampelnya. Posisi diperoleh dari penerima satelit: penerima biasa, seperti yang ada di ponsel, umumnya akurat sampai sekitar $4.9\,\mathrm{m}$ di bawah langit terbuka, lebih buruk di dekat tebing dan pepohonan, sedangkan penerima survei yang memakai dua frekuensi atau layanan koreksi mencapai beberapa sentimeter. Pada skala peta 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ adalah setengah milimeter: penerima biasa cukup baik untuk pemetaan, tetapi tidak untuk mengukur gerak lambat tanah (Bab 12).

6.2 Mengukur orientasi

Orientasi sebuah bidang — perlapisan, sesar, kekar — diukur dengan kompas-klinometer: kompas magnetik untuk membaca azimut, dan bandul atau nivo untuk membaca sudut dari horizontal. Tepinya diletakkan sepanjang jurus permukaan untuk membaca jurus, atau instrumen diletakkan pada permukaan sepanjang garis paling curamnya untuk membaca kemiringan dan, dari azimut garis itu, arah kemiringan.

Sebuah garis — sumbu lipatan, goresan pada permukaan sesar, sumbu panjang kerikil — memiliki orientasinya sendiri.

Definisi 6.2 (Trend dan penunjaman)

Trend suatu garis adalah azimut proyeksi horizontalnya, diukur ke arah ujung garis yang menunjuk ke bawah. Penunjaman adalah sudut antara garis dan horizontal, diukur dalam bidang vertikal yang memuat garis itu. Garis yang menunjam $20{}^{\circ}$ ke arah $015{}^{\circ}$ ditulis $20\to015$.

Sebuah garis dengan trend $t$ dan penunjaman $p$ memiliki vektor satuan yang mengarah ke bawah $(\cos p\sin t, \cos p\cos t, -\sin p)$ dalam komponen timur, utara, dan atas; sebuah garis yang terletak pada bidang dengan arah kemiringan $\alpha$ dan kemiringan $\delta$ menunjam sebesar kemiringan semu bidang itu dalam bidang vertikal berazimut $t$, sehingga $\tan p = \tan\delta\cos(\alpha - t)$ (Teorema 5.4).

6.2.1 Deklinasi magnetik

Jarum kompas menunjuk ke utara magnetik, bukan utara geografis; sudut di antara keduanya adalah deklinasi magnetik, dihitung positif bila utara magnetik berada di timur utara geografis. Peta dan orientasi dalam buku ini memakai azimut geografis.

Metode 6.3 (Mengoreksi azimut kompas)

1. Carilah deklinasi magnetik $D$ untuk tempat dan tanggal itu, dari model medan Bumi (timur positif, barat negatif).
2. Tambahkan ke setiap azimut yang dibaca pada kompas: azimut geografis $=$ azimut magnetik $+ D$, diambil modulo $360{}^{\circ}$.
3. Biarkan kemiringan dan penunjaman: keduanya diukur dari horizontal, dengan gravitasi, bukan dengan jarum.

Kebanyakan kompas lapangan dapat diatur untuk menambahkan $D$ secara mekanis; pengaturannya, dan tahun untuk mana ia dibuat, dicatat di buku catatan.

Data tahun 2026

Pada 1 Januari 2026, Model Medan Magnet Dunia (versi 2025) memberikan deklinasi magnetik sebesar $-0.47{}^{\circ}$ (barat) di Edinburgh, berubah $+0.20{}^{\circ}$ per tahun; $-11.28{}^{\circ}$ di Reykjavik, berubah $+0.30{}^{\circ}$ per tahun; $+14.20{}^{\circ}$ (timur) di Anchorage, berubah $-0.28{}^{\circ}$ per tahun; dan $+23.23{}^{\circ}$ di Wellington. Seorang ahli geologi yang lupa mengoreksi di Wellington akan salah menempatkan setiap azimut lebih dari $23{}^{\circ}$; yang memakai pengaturan Edinburgh dari sepuluh tahun sebelumnya akan membawa galat sekitar $2{}^{\circ}$.

6.2.2 Pembacaan berulang

Satu pembacaan pada bidang perlapisan memuat galat: permukaannya tidak pernah bidang yang sempurna, instrumennya tidak diatur sempurna, dan pembacaannya dibulatkan ke derajat. Karena itu ahli geologi mengukur permukaan yang sama beberapa kali, atau beberapa permukaan pada sayap yang sama, lalu merata-ratakan. Merata-ratakan azimut perlu hati-hati: pembacaan $355{}^{\circ}$ dan $005{}^{\circ}$ menggambarkan arah yang berjarak $10{}^{\circ}$, tetapi rata-rata aritmetiknya, $180{}^{\circ}$, menunjuk ke arah sebaliknya. Rata-rata yang benar bekerja dengan vektor.

Definisi 6.4 (Orientasi rata-rata (rata-rata vektor))

Untuk sebuah bidang dengan arah kemiringan $\alpha$ dan kemiringan $\delta$, misalkan

$$\vec n = (\sin\delta\sin\alpha,\ \sin\delta\cos\alpha,\ \cos\delta)$$

adalah normal satuan ke atasnya dalam komponen timur, utara, dan atas. Orientasi rata-rata (atau rata-rata vektor) dari $N$ pembacaan normal $\vec n_1, \dots, \vec n_N$ adalah bidang yang normalnya $\vec m = \vec S/\|\vec S\|$, dengan $\vec S = \sum_i \vec n_i$ adalah resultannya; $\bar R = \|\vec S\|/N$ adalah panjang resultan rata-rata. Arah kemiringan dan kemiringan rata-rata adalah $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(S_E, S_N)$ dan $\bar\delta = \arccos(S_U/\|\vec S\|)$.

Bahwa $\vec n$ adalah normal mengikuti dari Bab 4: bidang $z = -\tan\delta\,(x\sin\alpha + y\cos\alpha)$ memiliki normal ke atas $(\tan\delta\sin\alpha, \tan\delta\cos\alpha, 1)$, yang panjangnya $1/\cos\delta$.

Proposisi 6.5 (Rata-rata vektor adalah arah terdekat)

Di antara semua vektor satuan $\vec u$, normal rata-rata $\vec m$ memaksimalkan $\sum_i \vec n_i\cdot\vec u = \sum_i \cos\theta_i(\vec u)$, dengan $\theta_i(\vec u)$ adalah sudut antara $\vec n_i$ dan $\vec u$; ekuivalennya, ia meminimumkan $\sum_i \|\vec n_i - \vec u\|^2$. Lebih lanjut

$$\bar R = \frac1N\sum_i \cos\theta_i, \qquad \theta_i = \theta_i(\vec m),$$

sehingga $0 < \bar R \le 1$, dengan $\bar R = 1$ hanya jika semua pembacaan sepakat, dan, ketika sebarannya kecil, sudut rata-rata kuadrat antara pembacaan dan rata-ratanya adalah

$$\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2(1 - \bar R)} \quad\text{(radian)}.$$

Bagaimana galat pada kedua sudut menggerakkan normal? Dengan menurunkan $\vec n$,

yang pertama panjangnya 1, yang kedua panjangnya $\sin\delta$, dan keduanya saling tegak lurus. Galat kecil $\Delta\delta$ dan $\Delta\alpha$ karena itu memutar normal sebesar sudut

Pada perlapisan yang landai, galat pada arah kemiringan hampir tidak mengubah bidangnya: pada perlapisan yang miring $12{}^{\circ}$, galat $3{}^{\circ}$ pada arah kemiringan hanya memutar bidang sebesar $3\sin12{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$. Kebalikannya adalah kesulitan ahli geologi lapangan: arah kemiringan perlapisan yang landai kurang tertentu oleh bidangnya, dan ketidakrataan kecil pada permukaan menyebarkannya secara lebar. Galat baku rata-rata dari $N$ pembacaan bebas dengan simpangan baku $s$ adalah $s/\sqrt N$ (matematika): untuk memangkasnya separuh, diperlukan empat kali lebih banyak pembacaan.

6.3 Lensa tangan dan identifikasi lapangan

Sebagian besar batuan dinamai di lapangan, sebelum pekerjaan laboratorium, dari mineral yang ditunjukkan oleh kaca pembesar dan dari cara batuan itu pecah. Ahli geologi memandang permukaan segar, karena pelapukan melapisi dan memucatkan batuan, dan mencatat ukuran butirnya (apakah dapat dilihat dengan mata telanjang, dengan kaca pembesar, atau tidak sama sekali), bentuknya, apakah ia saling mengunci seperti mosaik atau tersemen seperti pasir, dan setiap penjajaran. Mineral dikenali dari sifat-sifat yang diingat kembali di awal bab: kilap kaca dan tiadanya belahan pada kuarsa, dua belahan dan keputihan kusam pada feldspar, serpih mika, belahan rombohedral kalsit. Kekerasan diuji dengan ujung baja: kuarsa lebih keras daripada baja dan kalsit jauh lebih lunak.

Para profesional membawa botol tetes kecil asam klorida encer: batuan karbonat melepaskan gelembung karbon dioksida di tempat tetesan jatuh (kimia). Kalsit bereaksi cepat; dolomit bereaksi lemah kecuali bila dihaluskan. Asam ditangani dengan sarung tangan dan pelindung mata, dan tidak pernah oleh pembaca buku ini: uraian ini menggambarkan praktik profesional.

6.4 Sampel

Definisi 6.6 (Sampel terorientasi)

Sebuah sampel terorientasi adalah sampel batuan tempat ahli geologi telah menandai, sebelum mengambilnya, orientasi salah satu permukaannya (garis jurus dan panah kemiringan, atau trend suatu garis), sehingga sampel itu dapat dikembalikan ke posisi lapangannya di laboratorium.

Sampel hanya berguna bila ia mewakili satuan yang diwakilinya — segar, tidak lapuk, tidak diambil dari urat atau balok yang jatuh — dan bila asalnya pasti. Setiap sampel menerima nomor stasiun dan nomor sampel, yang ditulis pada batuannya dan pada kantongnya, serta dicantumkan di buku catatan dengan posisinya, satuannya, dan alasan pengambilannya. Sampel untuk analisis kimia atau isotop, yang hasilnya mungkin diterbitkan puluhan tahun kemudian, dilacak dari lapangan ke laboratorium dengan catatan tertulis tentang setiap tangan yang dilaluinya — rantai penyimpanan — sehingga tidak ada keraguan tentang batuan mana yang memberi nomor mana. Sampel terorientasi diperlukan setiap kali arah sesuatu di dalam batuan penting: penjajaran mineral, fabrik yang terlihat di bawah mikroskop, atau arah magnetisasi yang diperoleh batuan ketika ia terbentuk.

6.5 Sayatan tipis dan mikroskop polarisasi

Definisi 6.7 (Sayatan tipis)

Sebuah sayatan tipis adalah irisan batuan, yang direkatkan pada kaca objek dan digerinda hingga ketebalan baku $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, cukup tipis agar sebagian besar mineral meneruskan cahaya.

Di laboratorium — Membuat sayatan tipis

Di laboratorium persiapan, seorang teknisi memotong sebuah balok kecil dari sampel dengan gergaji intan, menggerinda satu permukaannya hingga benar-benar rata, dan merekatkannya pada kaca objek dengan resin epoksi yang indeks biasnya, 1.54 hingga 1.55, hampir sama dengan kuarsa. Sebagian besar balok itu kemudian digergaji, dan irisannya digerinda pada piringan berputar dengan abrasif yang makin halus hingga tebalnya $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Teknisi memeriksa ketebalannya di bawah mikroskop dari warna yang diperlihatkan butir kuarsa (Bab 8), dan menyelesaikannya dengan kaca penutup tipis atau permukaan yang dipoles. Batuan yang berpori atau rapuh lebih dahulu direndam dalam resin agar tetap utuh.

Sayatan tipis diamati dengan mikroskop yang dilengkapi dua filter polarisasi. Polarisasi linear adalah pokok bahasan fisika: di sini cukup bahwa filter polarisasi hanya meneruskan cahaya yang bergetar pada satu arah, dan bahwa dua filter yang diatur tegak lurus tidak meneruskan apa pun.

Definisi 6.8 (Mikroskop polarisasi, cahaya terpolarisasi bidang, polarisasi silang)

Sebuah mikroskop polarisasi adalah mikroskop cahaya yang diteruskan dengan filter polarisasi (polarisator) di bawah meja yang berputar sepanjang $360{}^{\circ}$ terhadap skala berderajat, dan filter polarisasi kedua (analisator) di antara objektif dan okuler, yang dapat digerakkan masuk atau keluar dari jalur cahaya, dengan arah getarnya tegak lurus terhadap arah polarisator. Dengan analisator keluar, spesimen terlihat dalam cahaya terpolarisasi bidang; dengan analisator masuk, ia terlihat di antara polarisasi silang.

Di antara polarisasi silang, kaca objek, epoksi, dan mineral isotropik apa pun (yang sifat optiknya sama di setiap arah, seperti pada kristal kubik) tetap hitam apa pun putaran mejanya. Sebagian besar mineral tidak isotropik: mereka mengubah polarisasi cahaya yang melewatinya, dan tampak dalam warna interferensi yang berubah ketika meja berputar serta menghilang empat kali dalam satu putaran penuh. Mengapa demikian, dan bagaimana warna serta sudut itu mengidentifikasi suatu mineral, adalah pokok bahasan Bab 8. Mineral dalam sayatan tipis biasanya diamati pada pembesaran sekitar $16\times$ sampai $400\times$.

Keselamatan

Kerja lapangan dan laboratorium dibuat aman oleh aturan profesional, bukan oleh keberuntungan. Di lapangan, ahli geologi bekerja berpasangan atau meninggalkan rencana tertulis tentang rute dan waktu kembalinya; mereka membawa prakiraan cuaca, peta, dan pertolongan pertama, menjauh dari kaki dan tepi tebing serta muka kuari, dan memakai helm serta pelindung mata di mana pun batuan dapat jatuh atau pecah; kerja di lokasi aktif mengikuti aturan pengelolanya. Di laboratorium, gergaji dan piringan bekerja di balik pelindung dengan air untuk menekan debu, resin dan asam ditangani dengan sarung tangan dan kacamata di bawah pengisapan, dan setiap bahan kimia memiliki lembar data keselamatannya. Tidak satu pun kegiatan ini ditujukan untuk pembaca buku ini saja: bab ini menguraikan praktik profesional.

6.6 Latihan

Latihan 6.1 ★

Sebuah penerima satelit memberikan posisi dalam sekitar $4.9\,\mathrm{m}$. Seberapa besar itu pada peta 1:10 000? Pada 1:25 000?

Solusi

Solusi Latihan 6.1.

Pada 1:10 000, $4.9\,\mathrm{m}$ menjadi $4.9/10\,000 = 0.49\,\mathrm{mm}$; pada 1:25 000, $4.9/25\,000 = 0.20\,\mathrm{mm}$, kira-kira lebar satu garis pensil.

Latihan 6.2 ★

Sebuah kompas tanpa pengaturan deklinasi membaca arah kemiringan $052{}^{\circ}$ pada suatu perlapisan. Berikan arah kemiringan geografisnya bila pembacaan dibuat di Reykjavik pada 1 Januari 2026, lalu di Wellington pada hari yang sama (kotak bertanggal).

Solusi

Solusi Latihan 6.2.

Di Reykjavik $D = -11.28{}^{\circ}$: $52 - 11.28 = 040.7{}^{\circ}$. Di Wellington $D = +23.23{}^{\circ}$: $52 + 23.23 = 075.2{}^{\circ}$. Pembacaan kompas yang sama berarti arah yang berjarak $34.5{}^{\circ}$.

Latihan 6.3 ★

Sebuah sumbu lipatan menunjam $20{}^{\circ}$ ke arah $015{}^{\circ}$. Tuliskan orientasinya seperti dalam teks dan berikan vektor satuan ke bawahnya dalam komponen timur, utara, dan atas.

Solusi

Solusi Latihan 6.3.

$20\to015$. Dengan $t = 15{}^{\circ}$ dan $p = 20{}^{\circ}$, vektor satuan ke bawahnya adalah

$$(\cos20{}^{\circ}\sin15{}^{\circ},\ \cos20{}^{\circ}\cos15{}^{\circ},\ -\sin20{}^{\circ}) = (0.2432,\ 0.9077,\ -0.3420).$$

Latihan 6.4 ★

Tiga pembacaan sebuah kekar vertikal memberikan azimut normalnya $350{}^{\circ}$, $358{}^{\circ}$ dan $006{}^{\circ}$. Hitunglah rata-rata aritmetiknya, lalu azimut jumlah ketiga vektor satuan horizontalnya. Rata-rata mana yang benar?

Solusi

Solusi Latihan 6.4.

Rata-rata aritmetiknya adalah $(350 + 358 + 6)/3 = 238{}^{\circ}$, hampir berlawanan dengan ketiga pembacaan. Vektor satuan horizontalnya $(\sin a, \cos a)$ dijumlahkan menjadi $(-0.1736 - 0.0349 + 0.1045,\ 0.9848 + 0.9994 + 0.9945) = (-0.1040, 2.9787)$, dan azimutnya adalah $\operatorname{atan2}(-0.1040, 2.9787) = -2.0{}^{\circ}$, yaitu $358.0{}^{\circ}$: rata-rata yang benar, di tengah pembacaan.

Latihan 6.5 ★★

Lima pembacaan kemiringan satu perlapisan adalah $34{}^{\circ}$, $37{}^{\circ}$, $35{}^{\circ}$, $33{}^{\circ}$ dan $36{}^{\circ}$. Hitunglah rata-ratanya, simpangan bakunya, dan galat baku rata-ratanya.

Solusi

Solusi Latihan 6.5.

Rata-rata $175/5 = 35.0{}^{\circ}$. Simpangan $-1, 2, 0, -2, 1$; jumlah kuadratnya 10; $s = \sqrt{10/4} = 1.58{}^{\circ}$. Galat baku $1.58/\sqrt5 = 0.71{}^{\circ}$.

Latihan 6.6 ★★

Seorang ahli geologi merata-ratakan satu pembacaan pada tiap sayap lipatan simetris: $090/30$ dan $270/30$. Hitunglah rata-rata vektor dan $\bar R$. Apa yang salah?

Solusi

Solusi Latihan 6.6.

Normalnya adalah $(\sin30{}^{\circ}, 0, \cos30{}^{\circ}) = (0.5, 0, 0.866)$ dan $(-0.5, 0, 0.866)$; $\vec S = (0, 0, 1.732)$ vertikal: rata-ratanya adalah bidang horizontal, dan $\bar R = 1.732/2 = 0.866$, dengan setiap pembacaan berjarak $30{}^{\circ}$ dari rata-rata. Kedua pembacaan tidak mencuplik satu permukaan dengan galat: keduanya termasuk dua sayap lipatan, dua populasi yang berbeda, dan rata-ratanya tidak menggambarkan keduanya. Setiap sayap dirata-ratakan sendiri; bersama-sama mereka menentukan sumbu lipatan, garis yang sama bagi kedua bidang, di sini horizontal dan utara–selatan.

Latihan 6.7 ★★

Goresan pada permukaan perlapisan berorientasi $080/12$ memiliki trend $120{}^{\circ}$. Berapakah penunjamannya? Berapakah bila trend-nya $170{}^{\circ}$?

Solusi

Solusi Latihan 6.7.

$\tan p = \tan12{}^{\circ}\cos(80{}^{\circ} - 120{}^{\circ}) = 0.2126\times0.7660 = 0.1628$: $p = 9.2{}^{\circ}$, goresan itu menunjam ke arah $120{}^{\circ}$. Untuk trend $170{}^{\circ}$, $\cos(-90{}^{\circ}) = 0$: garisnya horizontal, sepanjang jurus.

Latihan 6.8 ★★

Di Edinburgh deklinasi magnetik adalah $-0.47{}^{\circ}$ pada 1 Januari 2026 dan berubah $+0.20{}^{\circ}$ per tahun. Dengan asumsi perubahannya tetap, kapan ia mencapai nol, dan berapakah nilainya pada 1 Januari 2030?

Solusi

Solusi Latihan 6.8.

$0.47/0.20 = 2.35$ tahun setelah 1 Januari 2026, yaitu musim semi 2028. Pada 1 Januari 2030: $-0.47 + 4\times0.20 = +0.33{}^{\circ}$, ke timur dari utara geografis.

Latihan 6.9 ★★

Tiga pembacaan satu perlapisan adalah $080/10$, $080/12$ dan $080/14$. Tunjukkan bahwa rata-rata vektornya adalah $080/12$, hitunglah $\bar R$ dan taksiran $\sqrt{2(1 - \bar R)}$ dari $\theta_{\text{rms}}$, dan bandingkan dengan sudut akar rata-rata kuadrat yang eksak.

Solusi

Solusi Latihan 6.9.

Ketiga normal terletak pada bidang vertikal berazimut $080{}^{\circ}$, pada $10{}^{\circ}$, $12{}^{\circ}$ dan $14{}^{\circ}$ dari vertikal; dua yang terluar simetris terhadap yang di tengah, sehingga jumlahnya berada di sepanjangnya: rata-ratanya adalah $080/12$, dengan $\theta = 2{}^{\circ}, 0, 2{}^{\circ}$. Maka $\bar R = (1 + 2\cos2{}^{\circ})/3 = (1 + 1.998782)/3 = 0.999594$, dan $\sqrt{2(1 - \bar R)} = \sqrt{0.000812} = 0.028\,50\,\mathrm{rad} = 1.633{}^{\circ}$; secara eksak, $\theta_{\text{rms}} = \sqrt{(4 + 0 + 4)/3} = 1.633{}^{\circ}$.

Latihan 6.10 ★★★

Sebuah sayatan tipis memotong butir bola berjari-jari $r$ pada jarak $h$ dari pusatnya, dengan $h$ sama mungkin di mana saja antara 0 dan $r$. Tunjukkan bahwa jari-jari rata-rata lingkaran yang terlihat dalam sayatan adalah $\pi r/4$. Butir kuarsa selebar $0.50\,\mathrm{mm}$ rata-rata tampak seberapa besar dalam sayatan tipis?

Solusi

Solusi Latihan 6.10.

Penampang berupa lingkaran berjari-jari $\sqrt{r^2 - h^2}$. Rata-ratanya adalah $\frac1r\int_0^r\sqrt{r^2 - h^2}\,\mathrm dh = \frac1r\cdot\frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r}{4}$, karena integralnya adalah luas seperempat cakram. Butir selebar $0.50\,\mathrm{mm}$ rata-rata tampak selebar $0.50\times\pi/4 = 0.39\,\mathrm{mm}$ dalam sayatan: sayatan tipis meremehkan ukuran butir.

Latihan 6.11 ★★★

Tunjukkan bahwa bila setiap arah kemiringan dari suatu himpunan pembacaan ditambah dengan sudut yang sama $D$, arah kemiringan rata-rata vektornya bertambah $D$ dan kemiringannya tidak berubah. Mengapa ini penting bagi koreksi deklinasi?

Solusi

Solusi Latihan 6.11.

Rotasi sebesar $D$ terhadap vertikal, $(x, y, z) \mapsto (x\cos D + y\sin D,\ -x\sin D + y\cos D,\ z)$, membawa $(\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ menjadi $(\sin\delta\sin(\alpha + D), \sin\delta\cos(\alpha + D), \cos\delta)$: ia menambahkan $D$ pada setiap arah kemiringan. Karena linear, ia membawa resultan $\vec S$ ke resultan normal-normal yang diputar; ia mempertahankan panjang dan komponen vertikal, sehingga kemiringan rata-rata $\arccos(S_U/\|\vec S\|)$ tidak berubah, dan ia memutar bagian horizontal $\vec S$ sebesar $D$, sehingga arah kemiringan rata-rata bertambah $D$. Mengoreksi setiap pembacaan terhadap deklinasi, atau hanya rata-ratanya, memberikan hasil yang sama.

Latihan 6.12 ★★★

Pada perlapisan yang miring $12{}^{\circ}$, normal satu pembacaan tersebar dengan simpangan baku $2{}^{\circ}$ pada masing-masing dua arah yang saling tegak lurus: sepanjang garis kemiringan paling curam, yang mengubah kemiringan, dan melintangnya, yang mengubah arah kemiringan. Berapa pembacaan yang diperlukan agar galat baku kemiringan rata-rata $0.5{}^{\circ}$? Agar arah kemiringan rata-rata $1{}^{\circ}$?

Solusi

Solusi Latihan 6.12.

Sebaran sepanjang garis kemiringan paling curam adalah sebaran kemiringan: galat bakunya $2/\sqrt N \le 0.5$ untuk $N \ge 16$. Melintangnya, putaran normal sebesar $2{}^{\circ}$ mengubah arah kemiringan sebesar $2/\sin12{}^{\circ} = 9.62{}^{\circ}$; galat baku arah kemiringan rata-rata adalah $9.62/\sqrt N \le 1$ untuk $N \ge 92.5$, yaitu 93 pembacaan. Kemiringan yang landai cepat diketahui; arahnya tidak.

6.7 Soal: Musim lapangan di sayap timur Varden

Soal 6.1

Soal akhir pekan — merata-ratakan dua belas pembacaan kompas, mengukur sebarannya, mengoreksinya, dan membandingkannya dengan lubang bor

Seorang ahli geologi mengukur perlapisan sayap timur antiklin Varden di dua belas stasiun, dengan kompas yang diatur untuk deklinasi, dan membulatkan ke derajat. Tabel memberikan setiap pembacaan (arah kemiringan/kemiringan) dan komponen normal satuan ke atasnya $\vec n = (n_E, n_N, n_U)$, dibulatkan ke empat desimal.

	pembacaan	$n_E$	$n_N$	$n_U$		pembacaan	$n_E$	$n_N$	$n_U$
1	$076/11$	0.1851	0.0462	0.9816	7	$083/11$	0.1894	0.0233	0.9816
2	$081/13$	0.2222	0.0352	0.9744	8	$083/12$	0.2064	0.0253	0.9781
3	$078/16$	0.2696	0.0573	0.9613	9	$085/12$	0.2071	0.0181	0.9781
4	$081/11$	0.1885	0.0298	0.9816	10	$078/11$	0.1866	0.0397	0.9816
5	$076/10$	0.1685	0.0420	0.9848	11	$081/13$
6	$083/14$	0.2401	0.0295	0.9703	12	$082/11$

Bagian I — Orientasi rata-rata.

1. Hitunglah rata-rata aritmetik dari dua belas arah kemiringan dan dari dua belas kemiringan.
2. Berikan contoh dua pembacaan yang rata-rata aritmetik arah kemiringannya tidak masuk akal, dan jelaskan mengapa di sini aman.
3. Tunjukkan bahwa $\vec n = (\sin\delta\sin\alpha, \sin\delta\cos\alpha, \cos\delta)$ adalah vektor satuan yang tegak lurus pada garis kemiringan dan pada garis jurus bidang $\alpha/\delta$.
4. Lengkapi tabel untuk pembacaan 11 dan 12.
5. Hitunglah resultan $\vec S$ dari dua belas normal.
6. Hitunglah $\|\vec S\|$ dan panjang resultan rata-rata $\bar R$.
7. Turunkan rata-rata vektornya: arah kemiringan dan kemiringannya.

Bagian II — Sebaran.

8. Hitunglah simpangan baku sampel dari arah kemiringan dan dari kemiringan.
9. Dengan memakai Proposisi 6.5, taksirkan sudut akar rata-rata kuadrat $\theta_{\text{rms}}$ antara pembacaan dan rata-ratanya, dalam derajat.
10. Prediksikan $\theta_{\text{rms}}$ dari kedua simpangan baku soal 8 dan rumus galat dalam bab ini, lalu bandingkan.
11. Di antara kedua simpangan baku, mana yang paling banyak berkontribusi pada $\theta_{\text{rms}}$, dan mengapa?
12. Hitunglah galat baku kemiringan rata-rata dan arah kemiringan rata-rata.
13. Apakah sebaran arah kemiringan, $2.9{}^{\circ}$, merupakan tanda pengukuran yang ceroboh? Jelaskan.

Bagian III — Deklinasi.

14. Seorang ahli geologi kedua lupa mengatur deklinasi. Dua belas pembacaannya memiliki rata-rata vektor $083.1/12.1$ dalam azimut magnetik. Anggaplah deklinasi magnetik di Perbukitan Varden tahun itu adalah $2.5{}^{\circ}$ barat. Berapakah rata-ratanya dalam azimut geografis?
15. Mengapa kemiringan rata-ratanya benar tanpa koreksi?
16. Dapatkah ia mengoreksi setiap pembacaan sebelum merata-ratakan, bukan rata-ratanya? Apakah itu mengubah jawabannya (Latihan 6.11)?
17. Sepuluh tahun kemudian, seorang mahasiswa memakai kembali pengaturan deklinasinya sementara deklinasinya telah berubah $0.2{}^{\circ}$ per tahun. Berapa besar galatnya, dibandingkan dengan galat baku soal 12?
18. Berikan jurus orientasi rata-rata ahli geologi pertama menurut kaidah tangan kanan.

Bagian IV — Kompas dan lubang bor.

19. Dari tiga lubang bor, Bab 4 memperoleh orientasi $080.6/12.2$ untuk dasar batu gamping. Bandingkan dengan rata-rata vektor soal 7, sudut demi sudut.
20. Hitunglah sudut antara kedua normal.
21. Galat baku arah rata-rata kira-kira $\theta_{\text{rms}}/\sqrt N$. Apakah selisih soal 20 bermakna?
22. Berapa pembacaan yang akan memangkas galat baku itu separuh?
23. Sebutkan dua galat yang tidak akan dikurangi oleh berapa pun jumlah pembacaan.
24. Berikan orientasi rata-rata sayap timur dari dua belas pembacaan, dalam bentuk arah kemiringan/kemiringan yang dibulatkan ke derajat.

Solusi

Solusi Soal 6.1.

1. Arah kemiringan: $967/12 = 80.6{}^{\circ}$; kemiringan: $145/12 = 12.1{}^{\circ}$.

2. $355{}^{\circ}$ dan $005{}^{\circ}$ rata-rata menjadi $180{}^{\circ}$, arah yang berlawanan. Di sini semua arah kemiringan terletak antara $076{}^{\circ}$ dan $085{}^{\circ}$, jauh dari lompatan di $000{}^{\circ}$, sehingga rata-rata aritmetik berfungsi.

3. $\|\vec n\|^2 = \sin^2\delta(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\delta = 1$. Garis kemiringan ke bawah memiliki arah $(\cos\delta\sin\alpha, \cos\delta\cos\alpha, -\sin\delta)$, dan hasil kali titiknya dengan $\vec n$ adalah $\sin\delta\cos\delta - \cos\delta\sin\delta = 0$; garis jurus adalah horizontal dan tegak lurus arah kemiringan, $(\cos\alpha, -\sin\alpha, 0)$, dan hasil kali titiknya dengan $\vec n$ adalah $\sin\delta\sin\alpha\cos\alpha - \sin\delta\cos\alpha\sin\alpha = 0$.

4. Pembacaan 11 sama dengan pembacaan 2: $(0.2222, 0.0352, 0.9744)$. Pembacaan 12:

$$(\sin11{}^{\circ}\sin82{}^{\circ},\ \sin11{}^{\circ}\cos82{}^{\circ},\ \cos11{}^{\circ}) = (0.1890,\ 0.0266,\ 0.9816).$$

5. $\vec S = (2.4747,\ 0.4082,\ 11.7294)$.

6. $\|\vec S\| = \sqrt{6.1241 + 0.1666 + 137.5788} = 11.99457$, dan $\bar R = 11.99457/12 = 0.999547$.

7. $\bar\alpha = \operatorname{atan2}(2.4747, 0.4082) = 80.6{}^{\circ}$ dan $\bar\delta = \arccos(11.7294/11.99457) = \arccos 0.977893 = 12.1{}^{\circ}$: rata-rata vektornya adalah $080.6/12.1$, sama dengan rata-rata aritmetiknya di sini.

8. Arah kemiringan: $s = 2.94{}^{\circ}$; kemiringan: $s = 1.68{}^{\circ}$.

9. $\theta_{\text{rms}} \approx \sqrt{2\times0.000453} = 0.0301\,\mathrm{rad} = 1.72{}^{\circ}$.

10. $\sqrt{1.68^2 + (\sin12.1{}^{\circ}\times2.94)^2} = \sqrt{2.82 + 0.38} = 1.79{}^{\circ}$, dekat dengan $1.72{}^{\circ}$: pembacaan berperilaku seperti yang dikatakan model galat, dalam batas efek pembulatan ke derajat dan sampel kecil.

11. Kemiringan: ia menyumbang 2.82 dari 3.20 (dalam derajat kuadrat). Arah kemiringan hanya berpengaruh melalui $\sin\delta = 0.21$, karena pada perlapisan yang landai perubahan arah kemiringan memutar bidang sangat sedikit.

12. Kemiringan rata-rata: $1.68/\sqrt{12} = 0.48{}^{\circ}$; arah kemiringan rata-rata: $2.94/\sqrt{12} = 0.85{}^{\circ}$.

13. Tidak: $2.9{}^{\circ}$ arah kemiringan pada perlapisan yang miring $12{}^{\circ}$ hanya $2.9\sin12.1{}^{\circ} = 0.6{}^{\circ}$ putaran bidang, lebih kecil daripada $1.7{}^{\circ}$ dari kemiringan. Ketidakrataan kecil pada permukaan perlapisan yang landai menyebarkan arah kemiringannya secara lebar.

14. $D = -2.5{}^{\circ}$: $83.1 - 2.5 = 080.6{}^{\circ}$; rata-ratanya adalah $080.6/12.1$, sama dengan milik ahli geologi pertama.

15. Kemiringan dibaca dengan klinometer, terhadap vertikal yang diberikan gravitasi; jarum tidak berperan.

16. Ya: putaran terhadap vertikal menggerakkan setiap pembacaan dan rata-ratanya dengan sudut yang sama (Latihan 6.11); jawabannya sama.

17. $10\times0.2 = 2{}^{\circ}$ galat pada setiap arah kemiringan, lebih dari dua kali galat baku $0.85{}^{\circ}$: galat sistematis yang tidak dapat dideteksi oleh perataan.

18. $80.6 - 90 = 350.6{}^{\circ}$; orientasinya jurus $351{}^{\circ}$, kemiringan $12{}^{\circ}$ ke timur.

19. Arah kemiringan $080.6$ dan $080.6$: tidak ada selisih pada ketelitian ini; kemiringan $12.1$ dan $12.2$: $0.1{}^{\circ}$.

20. Normal $(\sin12.2{}^{\circ}\sin80.6{}^{\circ}, \sin12.2{}^{\circ}\cos80.6{}^{\circ}, \cos12.2{}^{\circ})$ dan $\vec S/\|\vec S\|$ membentuk sudut $0.13{}^{\circ}$.

21. $1.72/\sqrt{12} = 0.50{}^{\circ}$; selisihnya, $0.13{}^{\circ}$, adalah seperempatnya: tidak bermakna. Kompas dan lubang bor sepakat.

22. Empat kali lebih banyak: 48 pembacaan.

23. Misalnya: pengaturan deklinasi yang keliru atau usang; kompas yang dibelokkan oleh besi di dekatnya (kendaraan, perkakas, batuan magnetik); klinometer yang tidak sesuai penyetelannya; pembacaan hanya pada permukaan yang paling tersingkap, yang mungkin tidak mewakili sayap itu. Perataan mengurangi galat acak, bukan galat sistematis.

24. Orientasi rata-rata sayap timur adalah 081/12: arah kemiringan $081{}^{\circ}$, kemiringan $12{}^{\circ}$.