2Teleskop, detektor dan fotometri

Hampir semua yang diketahui astronomi tentang bintang, selain sejumlah meteorit dan sampel yang dibawa pulang dari Bulan dan asteroid, diperolehnya dari cahaya yang dikirimkan bintang-bintang itu. Cahaya itu melintasi atmosfer Bumi, yang menyerap seluruh rentang panjang gelombang dan mengaburkan sisanya; ia dikumpulkan oleh cermin yang ukurannya membatasi seberapa redup dan seberapa halus rincian yang dapat terlihat; ia dihitung oleh detektor yang mengubah foton menjadi elektron, dan setiap hitungan membawa ketidakpastian statistik. Sebelum kecerahan menjadi luminositas atau jarak, setiap langkah ini harus dipahami dan dikoreksi. Bab ini mengikuti cahaya dari bintang sampai menjadi angka: jendela-jendela atmosfer dan hukum ekstingsi, teleskop dan kekaburan atmosfer, detektor dan deraunya, lalu magnitudo, paralaks dan warna yang mengubah fluks terukur menjadi sifat-sifat bintang. Atmosfer yang sama, bila dilihat dari bawah, menjadi pokok bab-bab iklim (Bab 27); fotometri yang sama, bila diterapkan pada planet, membuka bab berikutnya (Bab 3).

Yang sudah kamu ketahui

Objektif teleskop mengumpulkan cahaya di atas aperturnya dan membentuk bayangan di titik fokusnya; difraksi oleh apertur berdiameter $D$ membatasi sudut terkecil yang dapat dipisahkannya menjadi sekitar $1.22\,\lambda/D$, yaitu kriteria Rayleigh (volume Sarjana Tahun ke-1 buku fisika). Kisi menguraikan cahaya menurut panjang gelombang (Sarjana Tahun ke-2), dan sumber yang bergerak sepanjang garis pandang menggeser garis spektrumnya karena efek Doppler (kelas 12). Benda dalam kesetimbangan termal memancarkan spektrum benda hitam, yang puncaknya mengikuti hukum Wien (Sarjana Tahun ke-2). Dalam kimia, absorbansi suatu larutan bertambah sebanding dengan panjang lintasannya.

2.1 Jendela atmosfer

Atmosfer transparan terhadap sebagian panjang gelombang dan buram terhadap sebagian lainnya. Radiasi terutama diserap oleh uap air, karbon dioksida dan ozon, dan pada panjang gelombang terpendek oleh atom dan molekul di atmosfer atas itu sendiri.

Definisi 2.1 (Jendela atmosfer)

Yang disebut jendela atmosfer adalah rentang panjang gelombang tempat atmosfer meneruskan sebagian besar radiasi yang sampai di puncaknya hingga ke permukaan tanah. Jendela optik membentang dari ultraviolet dekat sampai inframerah dekat; jendela radio dari panjang gelombang sekitar satu sentimeter sampai sekitar sepuluh meter.

Gambar di bawah ini memperlihatkan opasitas atmosfer dari sinar gamma sampai gelombang radio panjang. Sinar gamma, sinar-X, dan ultraviolet di bawah sekitar $0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ tidak pernah mencapai permukaan tanah: ia diamati dari angkasa. Cahaya tampak melintas, dengan sedikit kekaburan. Sebagian besar inframerah diserap oleh uap air dan karbon dioksida, kecuali pada jendela-jendela sempit yang dimanfaatkan observatorium darat di tempat tinggi dan kering; pita fotometrik inframerah dekat berada di dalamnya, pada $1.24\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.65\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan $2.16\,\text{µ}\mathrm{m}$. Panjang gelombang dari sekitar $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ sampai satu milimeter terhalang lagi; gelombang radio dari beberapa sentimeter sampai sekitar sepuluh meter melintas, bahkan melalui awan; yang lebih panjang dipantulkan oleh ionosfer.

Ekstingsi

Bahkan di dalam jendela optik atmosfer menghilangkan sebagian cahaya, melalui serapan dan melalui hamburan oleh molekul dan aerosol. Lapisan tipis dengan tebal $\mathrm ds$ sepanjang sinar menghilangkan sebagian intensitas yang sebanding dengan $\mathrm ds$: $\mathrm dI = -\kappa I\,\mathrm ds$, dengan koefisien ekstingsi $\kappa$ (per meter) yang bergantung pada panjang gelombang dan pada komposisi udara di ketinggian itu. Ini adalah hukum absorbansi larutan, yang diterapkan pada sebuah kolom udara.

Proposisi 2.2 (Hukum Bouguer)

Sepanjang sinar yang melewati medium penyerap, intensitas berkurang menurut

$$I = I_0\,e^{-\tau}, \qquad \tau = \int_0^s \kappa\,\mathrm ds' ,$$

dengan $I_0$ intensitas yang memasuki medium dan $\tau$, kedalaman optik lintasan, adalah bilangan murni. Untuk atmosfer sejajar-bidang, bintang pada jarak zenit $z$ (sudut antara arahnya dan vertikal) diamati melalui kedalaman optik $\tau(z) = \tau_0\sec z$, dengan $\tau_0$ kedalaman optik di zenit.

Definisi 2.3 (Massa udara, koefisien ekstingsi atmosfer)

Yang disebut massa udara $X$ suatu pengamatan adalah kedalaman optik garis pandang dibagi kedalaman optik di zenit: $X = \tau(z)/\tau_0$. Nilainya 1 di zenit dan, untuk atmosfer sejajar-bidang, $X = \sec z$. Koefisien ekstingsi atmosfer $k$ pada suatu pita adalah peredupan, dalam magnitudo, yang dihasilkan oleh satu massa udara, sehingga bintang bermagnitudo $m_0$ di atas atmosfer diamati pada

$$m = m_0 + kX .$$

Magnitudo didefinisikan dalam Bagian 2.4; yang diperlukan di sini hanyalah bahwa peredupan dengan faktor $e^{-\tau}$ menambah $2.5\log_{10}e\;\tau = 1.086\,\tau$ magnitudo, sehingga $k = 1.086\,\tau_0$. Massa udara atmosfer sejajar-bidang sangat baik sampai ketinggian sekitar $30{}^{\circ}$ ($X = 2$) dan gagal di dekat cakrawala, tempat $\sec z$ tumbuh tanpa batas sementara lintasan sebenarnya melalui atmosfer yang melengkung tetap berhingga; pengamat menghindari ketinggian rendah karena alasan itu dan karena kekaburan yang bertambah seiring panjang lintasan.

Metode 2.4 (Garis ekstingsi)

Untuk mencari magnitudo $m_0$ yang akan dimiliki bintang di atas atmosfer:

1. ukurlah magnitudo $m$ bintang, atau bintang standar, pada beberapa massa udara sepanjang malam, saat ia terbit atau terbenam;
2. hitunglah setiap massa udara dari jarak zenit, $X = \sec z$;
3. gambarkan $m$ terhadap $X$ dan cocokkan garis lurus dengan kuadrat terkecil;
4. kemiringan garis adalah koefisien ekstingsi $k$ malam itu pada pita tersebut; perpotongannya pada $X = 0$ adalah $m_0$.

Koefisien $k$ yang sama kemudian mengoreksi setiap bintang lain yang diamati malam itu pada pita yang sama: $m_0 = m - kX$.

Contoh 2.5

Pada suatu malam, sebuah bintang diukur enam kali dalam pita V:

$X$	1.05	1.18	1.36	1.62	1.95	2.31
$m$	8.024	8.031	8.072	8.104	8.171	8.216

Garis kuadrat terkecil, yang digambar pada gambar di bawah, memiliki kemiringan $k = 0.160\,\mathrm{mag}$ per massa udara dan perpotongan $m_0 = 7.851$. Titik-titiknya tersebar di sekitar garis itu sebesar $0.006$ magnitudo, ketelitian fotometri malam yang baik. Di zenit bintang itu meredup sebesar $0.16$ magnitudo, kehilangan $1 - 10^{-0.4\times0.160} = 14\,\%$ dari cahayanya.

Kekaburan atmosfer

Udara di atas teleskop tidak pernah diam. Sel-sel udara dengan suhu yang sedikit berbeda, dan karena itu indeks bias yang sedikit berbeda, bergeser melintasi berkas dan membelokkannya dengan sudut acak kecil, berubah berkali-kali setiap detik. Mata melihat bintang berkelap-kelip; pemaparan panjang merekam bintik kabur yang jauh lebih besar daripada pola difraksi teleskop.

Definisi 2.6 (Kekaburan atmosfer)

Yang disebut kekaburan atmosfer di suatu tempat adalah diameter sudut citra sumber titik yang dikaburkan oleh turbulensi atmosfer dalam pemaparan panjang, diukur sebagai lebar penuh citra pada setengah maksimumnya, dalam detik busur.

Kekaburan atmosfer berubah dari malam ke malam dan dari jam ke jam. Tempat-tempat observasi dipilih berdasarkan hal ini: di puncak Maunakea, pada $4204\,\mathrm{m}$, median kekaburan atmosfer bebas kira-kira $0.40{}^{\prime\prime}$, dari sekitar $0.45{}^{\prime\prime}$ pada musim dingin sampai $0.35{}^{\prime\prime}$ pada musim panas, dengan sepersepuluh malam terbaik di bawah sekitar $0.25{}^{\prime\prime}$; tempat yang sama hanya memiliki median $0.9\,\mathrm{mm}$ uap air yang dapat mengendap di atasnya, yang membuka jendela inframerahnya.

2.2 Teleskop dan resolusi

Teleskop melakukan dua hal: ia mengumpulkan cahaya di atas luas objektifnya, dan ia membentuk citra yang rinciannya terpisah. Luas pengumpulan tumbuh sebagai $D^2$: cermin dua kali lebih lebar mengumpulkan empat kali lebih banyak foton dalam waktu yang sama dan menjangkau bintang empat kali lebih redup. Resolusinya dibatasi oleh difraksi sampai sekitar $1.22\,\lambda/D$, dan oleh kekaburan atmosfer.

Contoh 2.7

Teleskop Canada–France–Hawaii di Maunakea memiliki apertur $3.58\,\mathrm{m}$. Pada $550\,\mathrm{nm}$ batas difraksinya adalah

$$1.22\times\frac{550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}}{3.58\,\mathrm{m}} = 1.87 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.039{}^{\prime\prime},$$

sepuluh kali lebih halus daripada median kekaburan sebesar $0.40{}^{\prime\prime}$ di tempat yang sama. Kedua batas ini sama untuk cermin berdiameter $D = 1.22\lambda/\theta = 1.22\times550 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}/(0.40/206\,265) = 0.35\,\mathrm{m}$: setiap teleskop darat yang lebih lebar dari sekitar $35\,\mathrm{cm}$ dibatasi oleh kekaburan atmosfer, bukan oleh optiknya sendiri, pada panjang gelombang tampak.

Teleskop darat yang besar karena itu memperoleh luas pengumpulan, bukan ketajaman, kecuali ia mengoreksi turbulensi. Optik adaptif melakukan hal itu: sebuah sensor mengukur, berkali-kali setiap detik, bagaimana muka gelombang dari bintang terang (atau dari bintang buatan yang dibentuk dengan laser di atmosfer atas) terdistorsi, dan cermin tipis yang dilengkungkan oleh banyak aktuator kecil membatalkan distorsi itu. Koreksi bekerja paling baik di inframerah, tempat turbulensinya lebih lambat dan lebih lemah, dan pada medan kecil di sekitar bintang pemandu. Di angkasa tidak ada kekaburan sama sekali.

2.3 Detektor

Mata mengintegrasikan cahaya selama sebagian kecil detik dan hanya merespons sebagian kecil foton yang masuk ke dalamnya. Pelat fotografi mengintegrasikan cahaya selama berjam-jam tetapi hanya merekam sebagian kecil cahaya. Astronomi modern menggunakan detektor foton yang terbuat dari semikonduktor, tempat setiap foton yang diserap dengan energi yang cukup membebaskan sebuah elektron.

Definisi 2.8 (Efisiensi kuantum, rasio sinyal terhadap derau)

Yang disebut efisiensi kuantum $\eta$ suatu detektor pada panjang gelombang tertentu adalah pecahan foton datang yang dicatatnya sebagai fotoelektron: $\eta = N_\mathrm{e}/N_\gamma$. Rasio sinyal terhadap derau suatu pengukuran adalah sinyal terukur dibagi simpangan bakunya, yaitu ukuran khas kesalahan acaknya.

Perangkat terkopel muatan (CCD) adalah detektor standar jendela optik. Ia berupa lempeng silikon tipis yang dibagi menjadi kisi piksel, masing-masing sebuah sumur potensial yang menyimpan elektron yang dibebaskan oleh foton yang diserap di dalamnya selama pemaparan. Pada akhir pemaparan, tegangan yang diberikan berurutan pada elektroda menggeser muatan dari piksel ke piksel, baris demi baris, ke satu penguat yang mengukurnya satu per satu; citra adalah tabel hitungan. CCD merekam sebagian besar foton yang datang di hampir seluruh cahaya tampak, responsnya sebanding dengan cahaya yang diterima sampai muatan maksimum per piksel (kapasitas penuh piksel), dan ia dapat mengintegrasikan selama berjam-jam. Larik inframerah bekerja dengan prinsip yang sama pada semikonduktor lain, dibaca piksel demi piksel.

Foton datang secara acak. Jika suatu sumber rata-rata mengirimkan $N$ fotoelektron selama satu pemaparan, hitungan yang benar-benar tercatat berfluktuasi dari satu pemaparan ke pemaparan berikutnya dengan simpangan baku $\sqrt N$ (statistik Poisson, diterima dari teori peluang: hitungan kejadian langka yang saling bebas).

Proposisi 2.9 (Derau foton)

Ketika derau foton dari sumber itu sendiri mendominasi, sebuah sumber yang memberikan $R$ fotoelektron per detik diukur dalam waktu $t$ dengan rasio sinyal terhadap derau

$$\mathrm{SNR} = \frac{Rt}{\sqrt{Rt}} = \sqrt{Rt} ;$$

ia tumbuh sebagai akar kuadrat waktu pemaparan, dan sebanding dengan diameter teleskop (karena $R \propto D^2$). Galat pada magnitudo kemudian adalah $\sigma_m \approx 1.086/\mathrm{SNR}$.

Untuk mengukur magnitudo dengan galat $0.01$ diperlukan SNR sekitar 109, yaitu sekitar $12\,000$ fotoelektron. Untuk sumber yang redup, dua suku lain ikut berperan. Langit sendiri berpendar, dan setiap piksel citra bintang juga mengumpulkan foton langit, dengan laju $B$; penguat juga menambahkan derau baca $\sigma_r$ pada setiap piksel yang dibaca. Ungkapan lengkapnya,

pada $n$ piksel citra, tereduksi menjadi $\sqrt{Rt}$ untuk bintang terang dan menjadi $R\sqrt t/\sqrt B$ untuk sumber yang lebih redup daripada langit. Karena $B$ tumbuh dengan luas cakram kekaburan, kekaburan yang baik menguntungkan dua kali: citra yang lebih tajam memisahkan lebih banyak dan mengumpulkan lebih sedikit langit (Latihan 2.11).

Di lapangan — Semalam di teleskop

Fotometri dilakukan dengan kalibrasi sama banyaknya dengan bintang-bintang. Sebelum malam tiba, pengamat di observatorium profesional mengambil bingkai bias (pemaparan dengan panjang nol, yang merekam offset elektronik setiap piksel) dan bidang rata (citra bagian dalam kubah yang diterangi merata, atau langit senja, yang memetakan bagaimana sensitivitas berubah dari piksel ke piksel dan di seluruh medan); citra ilmiah dikoreksi dengan mengurangi bias dan membagi dengan bidang rata. Sepanjang malam, bintang standar dengan magnitudo yang diketahui diamati pada beberapa massa udara untuk menetapkan garis ekstingsi dan titik nol yang mengubah hitungan menjadi magnitudo. Malam disebut fotometrik bila ekstingsinya cukup stabil agar koreksi ini berlaku; di puncak Maunakea, $55\,\%$ malam bersifat fotometrik.

2.4 Fluks dan magnitudo

Definisi 2.10 (Fluks, luminositas)

Yang disebut fluks $F$ yang diterima dari suatu sumber adalah daya radiasinya yang melintasi satu satuan luas yang dipegang tegak lurus terhadap arahnya, dalam watt per meter persegi; jika dibatasi pada suatu rentang panjang gelombang, ia adalah fluks pada pita itu. Luminositas $L$ sumber adalah daya total yang dipancarkannya, dalam watt.

Proposisi 2.11 (Hukum kuadrat terbalik)

Sumber dengan luminositas $L$ yang memancar sama ke segala arah, yang diamati pada jarak $d$ melalui ruang hampa, memberikan fluks

$$F = \frac{L}{4\pi d^2} .$$

Contoh 2.12

Luminositas Matahari adalah $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. Pada satu satuan astronomi, $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, fluksnya adalah $3.828 \times 10^{26}/(4\pi\times (1.496 \times 10^{11})^2) = 1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$: iradiansi Matahari yang diterima Bumi di puncak atmosfernya.

Fluks mencakup rentang yang sangat besar, dan astronom membandingkannya pada skala logaritmik yang diwarisi dari kelas-kelas tempat bintang-bintang yang tampak dengan mata dahulu dikelompokkan: yang paling terang di magnitudo pertama, yang paling redup di magnitudo keenam.

Definisi 2.13 (Magnitudo tampak, pita fotometrik)

Yang disebut pita fotometrik adalah rentang panjang gelombang yang dipilih oleh filter standar dan diberi nama dengan huruf: U (ultraviolet), B (biru), V (visual), R (merah), I (inframerah dekat), dan J, H, K pada jendela inframerah. Sebuah magnitudo tampak $m$ suatu sumber pada suatu pita didefinisikan dari fluksnya $F$ pada pita itu oleh

$$m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}\frac{F_1}{F_2} ,$$

dengan titik nol ditentukan oleh bintang standar, mendekati magnitudo bintang Vega pada tiap pita. Selisih 5 magnitudo sama dengan faktor tepat 100 dalam fluks; satu magnitudo adalah faktor $100^{1/5} = 2.512$. Sumber yang lebih terang memiliki magnitudo yang lebih kecil, dan dapat bernilai negatif.

Panjang gelombang pivot filter standar U, B, V, R dan I adalah $358.5\,\mathrm{nm}$, $437.1\,\mathrm{nm}$, $547.8\,\mathrm{nm}$, $650.4\,\mathrm{nm}$ dan $802.0\,\mathrm{nm}$.

Pada pita V, Matahari memiliki magnitudo tampak $-26.74$, Sirius, bintang paling terang di langit malam, $-1.46$, dan Vega $0.03$. Matahari karena itu $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 1.29 \times 10^{10}$ kali lebih terang daripada Sirius di langit kita; itu belum mengatakan apa pun tentang mana di antara keduanya yang lebih benderang, yang memerlukan jaraknya.

Paralaks dan parsek

Ketika Bumi mengelilingi Matahari, sebuah bintang dekat tampak bergerak terhadap bintang-bintang latar yang jauh lebih jauh, dengan menelusuri dalam setahun sebuah elips kecil. Gerak semu itu adalah pengukuran jarak bintang yang paling langsung: ia memakai orbit Bumi sebagai garis dasar pengukuran, seperti juru ukur.

Definisi 2.14 (Paralaks tahunan, parsek)

Yang disebut paralaks tahunan $p$ suatu bintang adalah sudut yang dibentuk di bintang oleh jari-jari orbit Bumi, satu satuan astronomi, yang dilihat tegak lurus terhadap garis pandang; ia adalah setengah sumbu panjang elips tahunan yang tampak ditelusuri bintang itu. Parsek ($\mathrm{pc}$) adalah jarak tempat satu satuan astronomi membentuk sudut sebesar satu detik busur:

$$1\,\mathrm{pc} = \frac{1\,\mathrm{au}}{\tan1{}^{\prime\prime}} = 206\,265\,\mathrm{au} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly} .$$

Karena $p$ sangat kecil, $\tan p \approx p$ dalam radian, dan jarak langsung mengikuti:

Sirius memiliki paralaks sebesar $0.379\,21{}^{\prime\prime}$, sehingga ia berada pada $1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$, yaitu $8.60\,\mathrm{ly}$. Bahkan bintang-bintang terdekat memiliki paralaks di bawah satu detik busur, lebih kecil daripada kekaburan atmosfer: paralaks ditemukan dari pergeseran pusat citra bintang, yang banyak fotonnya dapat ditentukan jauh lebih teliti daripada lebar citra. Sebuah misi antariksa yang diuraikan di akhir bab ini telah mengukur posisi hampir dua miliar objek dengan cara ini.

Definisi 2.15 (Magnitudo mutlak, modulus jarak)

Yang disebut magnitudo mutlak $M$ suatu bintang pada suatu pita adalah magnitudo tampak yang akan dimilikinya pada jarak $10\,\mathrm{pc}$, dilihat melalui ruang hampa. Selisih $m - M$ disebut modulus jarak.

Proposisi 2.16 (Modulus jarak)

Untuk bintang pada jarak $d$ yang dilihat melalui ruang hampa,

$$m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\mathrm{pc}} .$$

Jika cahaya diredupkan dalam perjalanannya sebesar $A$ magnitudo ekstingsi, $m - M = 5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) + A$. Pada suatu pita, perbandingan luminositas dua bintang adalah $L_1/L_2 = 10^{0.4(M_2 - M_1)}$.

Matahari memiliki magnitudo mutlak $M_\odot = 4.83$ dan luminositas $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. Dengan membandingkan magnitudo mutlak sebuah bintang dalam V dengan milik Matahari, diperoleh luminositasnya dalam V dalam satuan Matahari, $L/L_\odot = 10^{0.4(4.83 - M)}$ — sebuah luminositas pita-V, karena bintang yang jauh lebih panas atau lebih dingin daripada Matahari memancarkan bagian daya yang berbeda di luar pita V.

Warna

Definisi 2.17 (Indeks warna)

Yang disebut indeks warna suatu bintang adalah selisih magnitudonya pada dua pita, pita yang lebih biru didahulukan; yang paling banyak dipakai adalah $B - V$. $B - V$ yang kecil atau negatif menandai bintang biru, yang besar menandai bintang merah.

Indeks warna tidak bergantung pada jarak, karena hukum kuadrat terbalik meredupkan kedua pita sama; ia mengukur bentuk spektrum, dan karenanya suhu permukaan bintang. Sebuah bintang memancarkan kira-kira seperti benda hitam yang spektrumnya memuncak pada $\lambda_\mathrm{max} = b/T$ (hukum Wien, dengan $b = 2.898 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$, diterima dari volume Sarjana Tahun ke-2 buku fisika). Gambar di bawah ini melukiskan tiga spektrum benda hitam: benda dingin pada $3500\,\mathrm{K}$ memuncak di inframerah dekat dan memberi lebih banyak fluks di V daripada di B; suhu efektif Matahari, $5772\,\mathrm{K}$, membuat puncaknya pada $502\,\mathrm{nm}$, di antara B dan V; benda pada $10\,000\,\mathrm{K}$ memuncak di ultraviolet dan lebih terang di B daripada di V. Rasio radiansi B dan V naik secara mantap dengan suhu, dari $0.46$ menjadi $0.97$ dan $1.53$ untuk ketiga kurva, itulah sebabnya $B - V$ turun ketika $T$ naik.

Empat bintang terang menunjukkan rentang warna:

Rigel berwarna putih kebiruan dan Betelgeuse, dalam rasi yang sama, jingga kemerahan: selisih warna yang dapat dilihat dengan mata telanjang. Tipe spektrum mereka, B8 dan M1–M2, mengatakan hal yang sama dalam bahasa spektrum, pokok bahasan volume Sarjana Tahun ke-3.

2.5 Spektrograf

Fotometri mengukur cahaya dalam beberapa pita lebar; spektrograf menguraikannya menjadi spektrum. Cahaya dari fokus teleskop melewati celah sempit, dibuat sejajar oleh kolimator, diuraikan oleh kisi (atau prisma), dan difokuskan oleh kamera ke detektor, tempat setiap panjang gelombang jatuh pada kolom piksel yang berbeda (lihat gambar di bawah). Kisi dengan $N$ garis yang disinari, dipakai pada orde $k$, memisahkan dua panjang gelombang yang berselisih $\Delta\lambda$ bila $\lambda/\Delta\lambda \le kN$, yaitu daya resolusinya (diingat kembali dari volume Sarjana Tahun ke-2 buku fisika).

Spektrum membawa tiga jenis informasi. Garis-garisnya, gelap ketika atom dan ion atmosfer bintang menyerap, dan terang ketika gas panas yang tipis memancar, mengidentifikasi unsur-unsur kimia yang hadir. Bentuk kontinumnya, dan kekuatan relatif garis-garis yang terbentuk pada suhu berbeda, memberikan suhu gas. Pergeseran Doppler garis-garisnya memberikan kecepatan sepanjang garis pandang: garis dengan panjang gelombang diam $\lambda$ bergeser sebesar $\Delta\lambda = \lambda v_r/c$ untuk kecepatan radial $v_r$ yang jauh lebih kecil daripada $c$. Mengukur $v_r$ hingga $1\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ memerlukan daya resolusi sekitar $c/v_r = 300\,000$, atau daya resolusi sedang dan banyak garis yang diukur bersama. Bagaimana spektrum mengungkap struktur, komposisi, dan gerak bintang serta galaksi adalah pokok bahasan volume Sarjana Tahun ke-3.

2.6 Pengamatan dari angkasa

Di atas atmosfer tidak ada jendela tertutup, tidak ada ekstingsi, tidak ada kekaburan, dan di inframerah tidak ada pendaran udara hangat. Teleskop antariksa membayarnya dengan biaya, dengan massa dan ukuran yang terbatas oleh apa yang dapat diluncurkan roket, dan, untuk sebagian besarnya, dengan kemustahilan perbaikan. Ia dipakai di tempat-tempat yang tidak dapat disaingi oleh darat: untuk sinar gamma, sinar-X dan cahaya ultraviolet, yang tidak pernah mencapai permukaan tanah; untuk inframerah di luar jendela sempit; untuk citra pada batas difraksi di medan yang luas; dan untuk pengukuran, seperti paralaks sangat banyak bintang, yang memerlukan instrumen yang stabil di luar udara yang bergolak.

Data tahun 2026

Tiga observatorium antariksa menunjukkan rentangnya. Teleskop Antariksa Hubble, yang diluncurkan pada 1990, memiliki cermin primer selebar $2.4\,\mathrm{m}$. Teleskop Antariksa James Webb, yang diluncurkan pada 25 Desember 2021, memiliki cermin primer selebar $6.5\,\mathrm{m}$ yang terdiri atas 18 segmen heksagonal, dengan luas pengumpulan $25\,\mathrm{m}^{2}$; ia bekerja dari $0.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ sampai $28.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan mengorbit Matahari di dekat titik Lagrange kedua, L2, sejauh $1.5$ juta kilometer dari Bumi di sisi yang membelakangi Matahari. Gaia, yang diluncurkan pada 19 Desember 2013 ke wilayah yang sama, menggunakan dua teleskop pada bidang fokus bersama berupa CCD untuk memetakan posisi dan gerak hampir dua miliar objek dalam tiga dimensi; pengamatannya telah selesai, dan katalognya sedang dirilis.

2.7 Latihan

Latihan 2.1 ★

Berapakah perbandingan fluks dua bintang bermagnitudo 1.0 dan 6.0? Berapakah perbandingan fluks Rigel ($V = 0.13$) dan Polaris ($V = 2.02$)? Mana yang lebih terang di langit?

Solusi

Solusi Latihan 2.1.

Selisih 5 magnitudo sama dengan faktor 100: bintang bermagnitudo 1.0 mengirimkan 100 kali lebih banyak fluks. Rigel dan Polaris: $10^{0.4\times(2.02 - 0.13)} = 10^{0.756} = 5.70$; Rigel, yang magnitudonya lebih kecil, lebih terang.

Latihan 2.2 ★

Paralaks Altair adalah $0.194\,95{}^{\prime\prime}$. Berikan jaraknya dalam parsek, dalam satuan astronomi, dan dalam tahun cahaya.

Solusi

Solusi Latihan 2.2.

$d = 1/0.19495 = 5.13\,\mathrm{pc}$, yaitu $5.1295\times206265 = 1.058 \times 10^{6}\,\mathrm{au}$ dan $5.1295\times3.2616 = 16.7\,\mathrm{ly}$.

Latihan 2.3 ★

Hitunglah batas difraksi teleskop antariksa $2.4\,\mathrm{m}$ pada $550\,\mathrm{nm}$, dalam detik busur, dan bandingkan dengan kekaburan $0.40{}^{\prime\prime}$. Lakukan hal yang sama untuk teleskop $6.5\,\mathrm{m}$ pada $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$.

Solusi

Solusi Latihan 2.3.

$1.22\times550 \times 10^{-9}/2.4 = 2.80 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.058{}^{\prime\prime}$, sekitar tujuh kali lebih halus daripada kekaburan $0.40{}^{\prime\prime}$: di angkasa teleskop mencapai batas difraksinya. Untuk $6.5\,\mathrm{m}$ pada $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: $1.22\times2.0 \times 10^{-6}/6.5 = 3.75 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad} = 0.077{}^{\prime\prime}$.

Latihan 2.4 ★

Dari tabel empat bintang terang, urutkan Rigel, Altair, Polaris dan Betelgeuse dari permukaan yang paling panas sampai yang paling dingin. Mengapa indeks warna dapat dibandingkan antarbintang yang berjarak sangat berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 2.4.

$B - V$ naik dari Rigel ($-0.03$) ke Altair (0.22), Polaris (0.60) dan Betelgeuse (1.85): yang paling panas adalah Rigel, lalu Altair, Polaris dan Betelgeuse. Jarak meredupkan kedua pita dengan faktor yang sama, sehingga $B - V$ tidak berubah olehnya (selama tidak ada debu yang memerahkan cahaya di perjalanan).

Latihan 2.5 ★★

Sebuah bintang diukur bermagnitudo 6.412 pada jarak zenit $30{}^{\circ}$ dan 6.590 pada $60{}^{\circ}$ pada malam yang sama. Dengan mengasumsikan atmosfer sejajar-bidang, hitunglah kedua massa udara, koefisien ekstingsi, dan magnitudo bintang di atas atmosfer.

Solusi

Solusi Latihan 2.5.

$X_1 = \sec30{}^{\circ} = 1.1547$, $X_2 = \sec60{}^{\circ} = 2.0000$. $k = (6.590 - 6.412)/(2.0000 - 1.1547) = 0.178/0.8453 = 0.211$ per massa udara, dan $m_0 = 6.412 - 0.2106\times1.1547 = 6.169$.

Latihan 2.6 ★★

Sebuah bintang memberikan 400 fotoelektron dalam pemaparan $10\,\mathrm{s}$, dan derau foton dari bintang itu sendiri mendominasi. Berapakah rasio sinyal terhadap deraunya? Berapa lama harus memaparkan untuk mencapai SNR 100? Berapa lama untuk mengukur magnitudonya hingga galat $0.01$?

Solusi

Solusi Latihan 2.6.

$\mathrm{SNR} = \sqrt{400} = 20$. SNR tumbuh sebagai $\sqrt t$: untuk 100, $t = 10\,\mathrm{s}\times(100/20)^2 = 250\,\mathrm{s}$. Galat $0.01$ magnitudo memerlukan $\mathrm{SNR} = 1.086/0.01 = 108.6$, sehingga $t = 10\times(108.6/20)^2 = 295\,\mathrm{s}$.

Latihan 2.7 ★★

Rigel memiliki $V = 0.13$ dan paralaks $0.003\,78{}^{\prime\prime}$. Dengan mengabaikan ekstingsi antara bintang itu dan kita, hitunglah jaraknya, magnitudo mutlaknya, dan luminositasnya dalam V dalam satuan Matahari ($M_\odot = 4.83$).

Solusi

Solusi Latihan 2.7.

Jaraknya adalah $d = 1/0.00378 = 264.6\,\mathrm{pc}$, dan magnitudo mutlaknya $M = 0.13 - 5\log_{10}26.46 = 0.13 - 7.11 = -6.98$. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 + 6.98)} = 10^{4.724} = 5.3 \times 10^{4}$ dalam V.

Latihan 2.8 ★★

Bandingkan luas pengumpulan cermin lingkaran $2.4\,\mathrm{m}$ (abaikan sumbatan pusatnya) dengan luas teleskop Webb ($25\,\mathrm{m}^{2}$). Berapa kali lebih pendek pemaparan yang diperlukan teleskop Webb untuk mengumpulkan jumlah foton yang sama? Berapa pecahan dari cakram penuh berdiameter $6.5\,\mathrm{m}$ yang diwakili luas pengumpulannya, dan mengapa nilainya kurang dari satu?

Solusi

Solusi Latihan 2.8.

$\pi\times1.2^2 = 4.52\,\mathrm{m}^{2}$, dan $25/4.52 = 5.5$: teleskop Webb mengumpulkan jumlah foton yang sama dalam pemaparan 5.5 kali lebih pendek. Cakram penuh berdiameter $6.5\,\mathrm{m}$ akan memiliki $\pi\times3.25^2 = 33.2\,\mathrm{m}^{2}$; cermin sebenarnya memiliki $25/33.2 = 75\,\%$ darinya, karena 18 heksagon meninggalkan tepi cakram itu tak tertutup dan celah antarsegmen serta bukaan di tengah tidak mengumpulkan apa pun.

Latihan 2.9 ★★

(a) Dari luminositas Matahari, $3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, hitunglah fluksnya pada $10\,\mathrm{pc}$. (b) Magnitudo tampak dan mutlak Matahari adalah $-26.74$ dan $4.83$. Gunakan modulus jarak untuk memperoleh kembali jarak Matahari–Bumi, dalam satuan astronomi.

Solusi

Solusi Latihan 2.9.

(a) $10\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{17}\,\mathrm{m}$, dan $F = 3.828 \times 10^{26}/(4\pi \times(3.0857 \times 10^{17})^2) = 3.828 \times 10^{26}/1.1965 \times 10^{36} = 3.20 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $1361/3.20 \times 10^{-10} = 4.3 \times 10^{12}$ kali lebih lemah daripada di Bumi. (b) $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = -26.74 - 4.83 = -31.57$, sehingga $d = 10\,\mathrm{pc}\times10^{-6.314} = 4.853 \times 10^{-6}\,\mathrm{pc}$, yaitu $4.853 \times 10^{-6}\times206265 = 1.001\,\mathrm{au}$.

Latihan 2.10 ★★★

Tunjukkan dari Proposisi 2.2 bahwa $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0$. Untuk malam garis ekstingsi ($k = 0.160$), hitunglah kedalaman optik zenit $\tau_0$ dan pecahan cahaya yang mencapai teleskop di zenit dan pada $X = 2.31$. Apa yang akan diprediksi atmosfer sejajar-bidang untuk massa udara pada jarak zenit $85{}^{\circ}$, dan mengapa nilai itu tidak boleh dipercaya?

Solusi

Solusi Latihan 2.10.

Di atas atmosfer fluksnya $F_0$; di bawahnya, $F = F_0e^{-\tau_0X}$. Maka $m - m_0 = -2.5\log_{10}(F/F_0) = 2.5\log_{10}e\;\tau_0X$, yang sama dengan $kX$ dengan $k = 2.5\log_{10}e\;\tau_0 = 1.0857\,\tau_0$. Untuk $k = 0.160$: $\tau_0 = 0.160/1.0857 = 0.147$. Di zenit $e^{-0.147} = 0.863$ cahaya tiba, $86\,\%$; pada $X = 2.31$, $e^{-0.147\times2.31} = e^{-0.340} = 0.712$, $71\,\%$. Pada $z = 85{}^{\circ}$, $\sec z = 11.5$; tetapi model sejajar-bidang membuat lintasan tak hingga di horizon, sedangkan lintasan melalui atmosfer yang melengkung tetap berhingga, dan refraksi juga membelokkan sinar: di dekat horizon rumus itu melebih-lebihkan massa udara dan galatnya tumbuh dengan cepat.

Latihan 2.11 ★★★

Sebuah galaksi redup memberikan $R = 50$ fotoelektron per detik di teleskop, dan langit di dalam luas citranya memberikan $B = 2000$ per detik ketika kekaburannya $0.80{}^{\prime\prime}$. Derau baca dapat diabaikan. (a) Berapa lama harus memaparkan untuk SNR 10? (b) Langit dalam citra bertambah sebanding dengan luas cakram kekaburan. Ulangi untuk kekaburan $0.40{}^{\prime\prime}$. (c) Tunjukkan bahwa, untuk sumber yang jauh lebih redup daripada langit, waktu pemaparan yang diperlukan untuk SNR tertentu berubah sebagai $\theta^2/D^2$, dengan $\theta$ kekaburan dan $D$ diameter teleskop.

Solusi

Solusi Latihan 2.11.

(a) $\mathrm{SNR} = Rt/\sqrt{(R + B)t}$, sehingga $t = \mathrm{SNR}^2(R + B)/R^2 = 100\times2050/2500 = 82\,\mathrm{s}$. (b) Membagi dua kekaburan membagi luas citra, dan karenanya $B$, dengan 4: $B = 500$ dan $t = 100\times550/2500 = 22\,\mathrm{s}$. (c) Untuk $B \gg R$, $t \approx \mathrm{SNR}^2B/R^2$. Laju sumber $R$ tumbuh sebagai $D^2$; laju langit $B$ tumbuh sebagai luas pengumpulan $D^2$ dikali luas langit citra, $\theta^2$. Maka $t \propto \theta^2D^2/D^4 = \theta^2/D^2$: membagi dua kekaburan sama bernilainya dengan menggandakan diameter.

Latihan 2.12 ★★★

Sebuah kisi dengan 1200 garis per milimeter disinari sepanjang $100\,\mathrm{mm}$ dan dipakai pada orde pertama. (a) Berapa daya resolusinya, dan berapa selisih panjang gelombang terkecil yang dapat dipisahkan pada $550\,\mathrm{nm}$? (b) Kecepatan radial apa yang sesuai dengan selisih itu? (c) Bumi mengelilingi Matahari dengan kecepatan $29.78\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Berapa besar gerak itu dapat menggeser garis pada $550\,\mathrm{nm}$, dan berapa elemen resolusi itu? Apa yang karena itu harus dilakukan pengamat yang mengukur kecepatan bintang?

Solusi

Solusi Latihan 2.12.

(a) $N = 1200\times100 = 120\,000$ garis; pada orde pertama daya resolusinya $1.2 \times 10^{5}$, dan $\Delta\lambda = 550/(1.2 \times 10^{5}) = 4.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$. (b) $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = c/(1.2 \times 10^{5}) = 2.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $\Delta\lambda = 550\times29.78/299\,792 = 0.055\,\mathrm{nm}$, sekitar 12 elemen resolusi. Pengamat harus menghitung, untuk tanggal dan waktu pengamatan, komponen kecepatan orbit Bumi ke arah bintang, lalu mengurangkannya, untuk memperoleh kecepatan bintang relatif terhadap Matahari.

2.8 Soal: Menimbang cahaya Sirius

Soal 2.1

Soal akhir pekan — seberapa jauh Sirius, seberapa terang ia tampak dan berapa banyak foton yang dikirimkannya, serta berapa banyak matahari yang dikalahkannya dalam kecerlangan

Sirius, bintang paling terang di langit malam, memiliki pendamping redup, katai putih Sirius B. Gunakan data berikut:

objek	$V$	paralaks
Sirius	$-1.46$	$0.379\,21{}^{\prime\prime}$
Sirius B	$8.44$	—
Vega	$0.03$	$0.130\,23{}^{\prime\prime}$
Matahari	$-26.74$	—

dengan $M_\odot = 4.83$ dalam V, $1\,\mathrm{pc} = 206\,265\,\mathrm{au} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 3.2616\,\mathrm{ly}$, dan koefisien ekstingsi $k = 0.15$ per massa udara di observatorium.

Bagian I — Seberapa jauh Sirius?

1. Hitunglah jarak Sirius dalam parsek.
2. Nyatakan dalam satuan astronomi dan dalam meter.
3. Nyatakan dalam tahun cahaya. Berapa lama lalu cahaya yang kita lihat malam ini meninggalkan Sirius?
4. Dalam setahun, dengan sudut total berapakah arah Sirius berayun dari sisi ke sisi? Bandingkan dengan kekaburan $0.40{}^{\prime\prime}$. Mengapa ayunan itu masih dapat diukur hingga pecahan kecil dari kekaburan?
5. Jika paralaksnya keliru sebesar $0.001{}^{\prime\prime}$, dengan pecahan berapakah jaraknya keliru, dan berapa tahun cahaya?

Bagian II — Seberapa terang ia tampak?

6. Hitunglah perbandingan fluks Sirius dan Vega dalam V.
7. Hitunglah perbandingan fluks Matahari dan Sirius.
8. Hitunglah perbandingan fluks Sirius dan Sirius B.
9. Dari Observatorium Paranal, Sirius melintasi meridian pada tinggi $82.09{}^{\circ}$ (Bab 1). Hitunglah massa udaranya, ekstingsinya, dan magnitudo yang diukur pada saat itu.
10. Ulangi pada tinggi $30{}^{\circ}$. Berapa pecahan cahaya yang hilang di perjalanan?
11. Mengapa rumus $X = \sec z$ dapat menyesatkan pengamat yang mengukur Sirius tepat setelah terbit?

Bagian III — Menghitung foton. Sebuah kamera pada teleskop $1\,\mathrm{m}$ merekam $3.0 \times 10^{4}$ fotoelektron per detik dari sebuah bintang bermagnitudo $V = 10.0$, setelah dikoreksi ekstingsi. Setiap piksel menampung paling banyak $1.0 \times 10^{5}$ elektron (kapasitas penuhnya).

12. Berapa fotoelektron per detik yang direkam kamera dari Sirius B?
13. Berapa lama pemaparan yang memberi Sirius B SNR 1000, dengan derau foton dari bintang itu sendiri? Berapa galat magnitudonya kemudian?
14. Berapa fotoelektron per detik yang direkam kamera dari Sirius?
15. Jika $20\,\%$ cahaya Sirius jatuh pada piksel terterangnya, berapa lama piksel itu terisi penuh?
16. Pada citra, sayap redup citra Sirius menyimpan, di tempat Sirius B, $10^{-4}$ cahaya Sirius per piksel, dan piksel terterang Sirius B mengumpulkan $20\,\%$ cahayanya sendiri. Bandingkan kedua laju di piksel itu.
17. Berapa pemaparan terpanjang yang tidak membuat piksel itu jenuh? Hitunglah SNR Sirius B di piksel itu dalam pemaparan $0.5\,\mathrm{s}$, dengan memperhitungkan derau foton kedua sumber. Apakah Sirius B dapat dideteksi, dan apa yang membuatnya sulit?

Bagian IV — Berapa banyak matahari?

18. Hitunglah modulus jarak Sirius.
19. Turunkan magnitudo mutlak Sirius dalam V, hingga dua desimal.
20. Hitunglah jarak dan magnitudo mutlak Vega.
21. Manakah di antara Sirius dan Vega yang secara intrinsik lebih terang dalam V, dan dengan faktor berapa?
22. Berapakah magnitudo tampak Matahari jika dilihat dari jarak Sirius? Dengan menganggap 6.0 sebagai magnitudo terredup yang terlihat dengan mata telanjang pada malam yang gelap, apakah ia akan terlihat?
23. Sampai jarak berapakah Sirius akan tetap terlihat dengan mata telanjang?
24. Hitunglah luminositas Sirius dalam V dalam satuan Matahari: berapa banyak matahari yang dikalahkan Sirius dalam kecerlangan?

Solusi

Solusi Soal 2.1.

1. $d = 1/0.37921 = 2.637\,\mathrm{pc}$.

2. $2.637\times206265 = 5.44 \times 10^{5}\,\mathrm{au}$; $2.637\times3.0857 \times 10^{16} = 8.14 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$.

3. $2.637\times3.2616 = 8.60\,\mathrm{ly}$: cahaya yang kita lihat malam ini meninggalkan Sirius 8.6 tahun yang lalu.

4. Arah itu berayun sebesar $2p = 0.758{}^{\prime\prime}$, sekitar dua kali kekaburan. Ayunan diukur dari posisi pusat citra, bukan dari tepinya: dirata-ratakan atas banyak foton, pusat itu dapat ditentukan hingga pecahan kecil dari lebar citra, makin teliti semakin banyak foton yang dihitung.

5. $\Delta d/d = \Delta p/p = 0.001/0.37921 = 0.26\,\%$, yaitu $8.60\times0.0026 = 0.023\,\mathrm{ly}$.

6. $10^{0.4\times(0.03 + 1.46)} = 10^{0.596} = 3.94$.

7. $10^{0.4\times(26.74 - 1.46)} = 10^{10.112} = 1.29 \times 10^{10}$.

8. $10^{0.4\times(8.44 + 1.46)} = 10^{3.96} = 9120$.

9. $z = 90{}^{\circ} - 82.09{}^{\circ} = 7.91{}^{\circ}$, $X = \sec7.91{}^{\circ} = 1.0096$; ekstingsi $0.15\times1.0096 = 0.151$ magnitudo; diukur $m = -1.46 + 0.151 = -1.31$.

10. $z = 60{}^{\circ}$, $X = 2.000$; ekstingsi 0.30 magnitudo, $m = -1.16$. Pecahan yang diteruskan adalah $10^{-0.4\times0.30} = 0.759$: $24\,\%$ cahaya hilang.

11. Saat terbit $z = 90{}^{\circ}$ dan $\sec z$ tak hingga, sedangkan lintasan sebenarnya melalui atmosfer yang melengkung panjang tetapi berhingga; refraksi juga membelokkan sinar. Di dekat horizon ekstingsi besar dan berubah cepat, dan koreksi sejajar-bidang keliru.

12. $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 - 8.44)} = 3.0 \times 10^{4} \times10^{0.624} = 3.0 \times 10^{4}\times4.21 = 1.26 \times 10^{5}$ fotoelektron per detik.

13. SNR 1000 memerlukan $N = 1000^2 = 1.0 \times 10^{6}$ fotoelektron: $t = 1.0 \times 10^{6}/1.26 \times 10^{5} = 7.9\,\mathrm{s}$. Galat magnitudonya adalah $1.086/1000 = 0.0011$.

14. $3.0 \times 10^{4}\times10^{0.4\times(10.0 + 1.46)} = 3.0 \times 10^{4} \times10^{4.584} = 1.15 \times 10^{9}$ fotoelektron per detik.

15. $0.20\times1.15 \times 10^{9} = 2.30 \times 10^{8}$ per detik di piksel terterang, yang terisi dalam $1.0 \times 10^{5}/2.30 \times 10^{8} = 4.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, kurang dari setengah milidetik.

16. Sayap Sirius memberikan $1.15 \times 10^{9}\times10^{-4} = 1.15 \times 10^{5}$ per detik; Sirius B memberikan $0.20\times1.26 \times 10^{5} = 2.52 \times 10^{4}$ per detik. Silau Sirius 4.6 kali lebih terang daripada puncak Sirius B.

17. Piksel itu menerima $1.15 \times 10^{5} + 2.52 \times 10^{4} = 1.40 \times 10^{5}$ per detik dan terisi dalam $1.0 \times 10^{5}/1.40 \times 10^{5} = 0.71\,\mathrm{s}$. Dalam $0.5\,\mathrm{s}$: sinyal $2.52 \times 10^{4}\times0.5 = 1.26 \times 10^{4}$, total $7.01 \times 10^{4}$, derau $\sqrt{7.01 \times 10^{4}} = 265$, sehingga $\mathrm{SNR} = 1.26 \times 10^{4}/265 = 48$. Sirius B dapat dideteksi sejauh menyangkut derau foton; yang membuatnya sulit adalah silau Sirius harus diketahui dan dikurangkan dengan ketelitian jauh lebih baik daripada seperlima nilainya, sementara inti Sirius jenuh dalam kurang dari satu milidetik.

18. $m - M = 5\log_{10}(2.637/10) = 5\times(-0.579) = -2.89$.

19. $M = -1.46 + 2.89 = 1.43$.

20. $d = 1/0.13023 = 7.679\,\mathrm{pc}$; $m - M = 5\log_{10}0.7679 = -0.57$, sehingga $M = 0.03 + 0.57 = 0.60$.

21. Vega, dengan magnitudo mutlak yang lebih kecil, dengan faktor $10^{0.4\times(1.43 - 0.60)} = 10^{0.332} = 2.15$. Sirius tampak lebih terang hanya karena ia lebih dekat.

22. $m = M_\odot + (m - M) = 4.83 - 2.89 = 1.94$: Matahari akan menjadi bintang yang cukup terang untuk dilihat dengan mata telanjang.

23. $5\log_{10}(d/10\,\mathrm{pc}) = 6.0 - 1.43 = 4.57$, sehingga $d = 10\times10^{0.914} = 82.0\,\mathrm{pc}$, sekitar $267\,\mathrm{ly}$.

24. $L/L_\odot = 10^{0.4\times(4.83 - 1.43)} = 10^{1.36} = 22.9$: dalam pita V, Sirius melampaui sekitar 23 matahari.