12Kinematika lempeng pada bola

Dua stasiun penentuan posisi satelit telah merekam posisinya setiap hari selama lebih dari seperempat abad: satu di Reykjavik, di barat Islandia, yang lain di dekat Stavanger, di pantai barat Norwegia. Garis lurus di antara keduanya, sepanjang $1546\,\mathrm{km}$, bertambah $17.5\,\mathrm{mm}$ setiap tahun, hampir dua sentimeter. Tidak ada yang tampak di permukaan tanah, namun dasar Atlantik Utara di antara kedua stasiun mencatat pelebaran yang sama selama jutaan tahun: lava yang meletus di Punggungan Atlantik Tengah mengambil arah medan magnet Bumi ketika mendingin, dan medan itu telah berbalik arah berkali-kali, sehingga dasar samudra memuat catatan bergaris tentang pertumbuhannya sendiri. Bab ini mengubah lempeng-lempeng dari tahun-tahun sekolah menjadi tudung kaku di atas bola, menggambarkan gerakannya dengan geometri rotasi, dan menunjukkan bagaimana catatan geologi dan satelit mengukur gerakan yang sama.

Yang sudah kamu ketahui

Pada bola, lingkaran besar adalah perpotongan dengan bidang yang melalui pusat, lingkaran kecil dengan bidang lain apa pun; kaidah kosinus memberikan jarak sudut antara dua titik dari lintang dan bujurnya, dan azimut suatu arah dihitung dari utara melalui timur (Bab 1). Benda tegar yang berputar terhadap sumbu tetap memiliki kecepatan sudut (fisika). Litosfer pecah menjadi lempeng-lempeng yang bergerak relatif satu sama lain beberapa sentimeter per tahun, dan dasar samudra memuat garis-garis magnetik yang mencatat pembalikan medan magnet Bumi (Buku 2, kelas 11).

12.1 Lempeng kaku pada bola

Sebuah lempeng menutupi sebagian besar bola: lempeng Eurasia membentang dari tengah Atlantik hingga Siberia timur. Geraknya tidak dapat digambarkan dengan kecepatan, seperti gerak mobil; ia harus digambarkan dengan rotasi.

Definisi 12.1 (Lempeng kaku)

Sebuah lempeng kaku adalah suatu wilayah litosfer yang bagian dalamnya tidak berdeformasi secara terukur: jarak antara dua titik mana pun di dalamnya tetap konstan. Gerak relatif dua lempeng diserap di sepanjang batas bersama mereka, sebuah zona sempit patahan, gempa dan gunung api.

Tidak ada lempeng yang benar-benar kaku: batasnya adalah zona yang lebarnya puluhan hingga ratusan kilometer, dan bagian dalamnya berdeformasi perlahan. Hipotesisnya adalah bahwa penyimpangan ini kecil dibanding gerak relatif; hipotesis itu diuji oleh konsistensi setiap hasil dalam bab ini.

Lempeng kaku di permukaan bola bergerak tanpa mengubah jarak antara dua titik mana pun di dalamnya, dan pusat Bumi tidak bergerak. Gerak semacam itu digambarkan oleh matriks $3\times3$ $R$ yang mempertahankan panjang, sebuah matriks ortogonal ($R^{\mathsf T}R = I$), dan yang mempertahankan orientasi ruang, sehingga $\det R = 1$: titik pada vektor posisi $\vec r$ pergi ke $R\vec r$.

Teorema 12.2 (Teorema rotasi Euler)

Setiap perpindahan lempeng kaku di atas bola adalah rotasi terhadap sumbu yang melalui pusat Bumi: ada vektor satuan $\vec n$ dengan $R\vec n = \vec n$, dan lempeng berputar terhadap $\vec n$ dengan suatu sudut.

Selama interval waktu yang cukup pendek agar gerak tidak berubah, rotasi berlangsung dengan laju tetap, dan gerak satu lempeng relatif terhadap lempeng lain adalah kecepatan sudut terhadap sumbu tetap.

Definisi 12.3 (Kutub Euler; vektor Euler)

Gerak lempeng B relatif terhadap lempeng A adalah rotasi terhadap sumbu yang melalui pusat Bumi. Kutub Euler pasangan itu adalah titik tempat sumbu ini memotong permukaan, dipilih sehingga rotasinya berlawanan arah jarum jam bila dilihat dari atasnya; titik antipodalnya adalah kutub yang berlawanan. Vektor Euler $\vec\omega_{BA}$ adalah kecepatan sudut B relatif terhadap A: ia menunjuk dari pusat Bumi ke kutub Euler, dan panjangnya $\omega$ adalah laju rotasinya.

Vektor Euler diberikan oleh lintang dan bujur kutubnya serta lajunya, biasanya dalam derajat per juta tahun. Gerak lempeng Eurasia relatif terhadap lempeng Amerika Utara, dirata-ratakan selama $3.16\,\mathrm{Ma}$ terakhir dari 453 laju penyebaran yang diukur pada punggungan di antara keduanya, memiliki kutubnya pada $61.8{}^{\circ}$ U, $139.6{}^{\circ}$ T, di Siberia timur, dan lajunya $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. Dalam radian per tahun,

satu putaran penuh dalam $1714\,\mathrm{Ma}$.

12.2 Kecepatan relatif

Teorema 12.4 (Kecepatan pada lempeng yang berputar)

Jika lempeng B berputar relatif terhadap lempeng A dengan vektor Euler $\vec\omega$, sebuah titik pada B di vektor posisi $\vec r$ (dari pusat Bumi) bergerak relatif terhadap A dengan kecepatan

$$\vec v = \vec\omega\times\vec r .$$

Sudut $\Delta$ adalah jarak sudut antara kutub Euler dan titik itu, yang dapat diberikan oleh kaidah kosinus dari lintang dan bujur.

Proposisi 12.5 (Kelajuan dan arah gerak relatif)

Misalkan kutub Euler berada pada lintang $\varphi_p$ dan bujur $\lambda_p$, dan titik pada $\varphi$ dan $\lambda$. Maka

1. jarak sudut $\Delta$ dari kutub ke titik memenuhi $\cos\Delta = \sin\varphi_p\sin\varphi + \cos\varphi_p\cos\varphi \cos(\lambda - \lambda_p)$;
2. kelajuan relatif adalah $v = \omega R\sin\Delta$: nol di kutub, terbesar, $\omega R$, pada lingkaran besar $90{}^{\circ}$ darinya;
3. arah gerak tegak lurus terhadap lingkaran besar yang menghubungkan titik dengan kutub: azimutnya adalah azimut kutub, dilihat dari titik, ditambah $90{}^{\circ}$.

Kelajuan gerak relatif karena itu berubah sepanjang batas lempeng bahkan ketika kedua lempeng benar-benar kaku, dan arah gerak berbelok bersamanya. Dua konsekuensi membentuk setiap peta batas lempeng.

Proposisi 12.6 (Transform mengikuti lingkaran kecil)

Sesar transform, sepanjang mana dua lempeng bergeser melewati satu sama lain tanpa membuka atau menutup, terletak pada lingkaran kecil di sekitar kutub Euler kedua lempeng. Arah penyebaran di punggungan, dan arah konvergensi di zona subduksi, juga berada sepanjang lingkaran kecil.

Punggungan Atlantik Tengah antara Eurasia dan Amerika Utara adalah tangga segmen-segmen punggungan yang digeser oleh sesar transform; transform itu membentang dekat dengan azimut yang diprediksi oleh vektor Euler, dan arahnya adalah salah satu data yang dipakai untuk menentukan kutub. Laju penyebaran di sepanjang batas yang sama bertambah dengan jarak sudut dari kutub: $11\text{ sampai }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di Punggungan Gakkel di Samudra Arktik, dekat kutub, dan $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ tepat di utara Azores, $78{}^{\circ}$ darinya. Gambar di bawah membandingkan laju yang diprediksi vektor Euler di sepanjang seluruh batas dengan laju model lempeng independen.

Metode 12.7 (Kecepatan pada suatu titik)

1. Ubah laju vektor Euler menjadi radian per tahun dan hitung $\omega R$, dalam $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ dengan $R = 6371\,\mathrm{km}$.
2. Hitung jarak sudut $\Delta$ dari kutub ke titik dengan kaidah kosinus; kelajuannya adalah $\omega R\sin\Delta$.
3. Hitung azimut $\beta$ kutub yang dilihat dari titik, dengan $\tan\beta = \sin(\lambda_p - \lambda)\cos\varphi_p / \bigl(\cos\varphi\sin\varphi_p - \sin\varphi\cos\varphi_p \cos(\lambda_p - \lambda)\bigr)$ dan kuadran pembilang dan penyebut; gerak menuju $\beta + 90{}^{\circ}$.
4. Periksa arahnya: gerak adalah gerak lempeng kedua relatif terhadap lempeng pertama. Menukar lempeng membaliknya.

Contoh 12.8 (Eurasia bergerak menjauhi Amerika Utara di Islandia)

Ambil bagian tengah Islandia pada $64.5{}^{\circ}$ U, $18{}^{\circ}$ B, dan vektor Euler Eurasia relatif terhadap Amerika Utara di atas. Maka $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan

$$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos64.5{}^{\circ}\cos(-18{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.60736,$$

maka $\Delta = 52.60{}^{\circ}$ dan $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Kutub terlihat pada azimut $\beta = 13.1{}^{\circ}$, sedikit timur dari utara, di atas Arktik; Eurasia bergerak menuju $103.1{}^{\circ}$, timur-tenggara, yaitu $18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke timur dan $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke selatan.

12.3 Menggabungkan gerak; titik tiga

Kecepatan relatif bertambah seperti kecepatan dalam mekanika: jika B bergerak relatif terhadap A dan C relatif terhadap B, maka C bergerak relatif terhadap A dengan jumlah kedua kecepatan itu.

Proposisi 12.9 (Vektor Euler dapat dijumlahkan)

Untuk tiga lempeng A, B, C,

$$\vec\omega_{CA} = \vec\omega_{CB} + \vec\omega_{BA}, \qquad \vec\omega_{AB} = -\vec\omega_{BA}.$$

Untuk menjumlahkan vektor Euler, tulis masing-masing dalam komponen Kartesius, yaitu $\omega(\cos\varphi_p \cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$, jumlahkan komponen-komponennya, dan ubah kembali menjadi kutub dan laju. Kutub tidak dapat dijumlahkan; vektor Euler dapat. Hubungan ini adalah kendala yang kuat. Gerak lempeng Nubia (Afrika) relatif terhadap Eurasia lambat, dan catatan geologi memberikan sedikit ukuran langsung tentangnya: antara Azores dan Gibraltar, satu-satunya ukuran adalah azimut dari satu transform, sesar Gloria. Gerak itu justru diturunkan dari dua gerak penyebaran yang terukur baik melintasi Atlantik: dengan $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ (kutub $79.2{}^{\circ}$ U, $40.2{}^{\circ}$ T, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$) dan $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ di atas, $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ memiliki kutubnya pada $20.9{}^{\circ}$ U, $18.3{}^{\circ}$ B, di lepas Afrika Barat, dan lajunya $0.123{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$ (Latihan 12.7).

Definisi 12.10 (Titik tiga; titik tiga stabil)

Sebuah titik tiga adalah titik tempat tiga lempeng bertemu, dan bersama mereka tiga batas lempeng, masing-masing berupa punggungan (R), palung (T) atau sesar transform (F). Sebuah titik tiga adalah stabil jika, ketika lempeng bergerak, ia mempertahankan geometri yang sama: tiga jenis batas yang sama bertemu pada sudut yang sama.

Setiap batas memungkinkan titik itu bergerak hanya dengan cara tertentu tanpa mengubah geometrinya. Punggungan simetris tetap di tengah antara kedua lempengnya; transform mempertahankan arahnya apa pun yang dilakukan titik itu di sepanjangnya; palung terpaku pada lempeng yang menindihnya. Pertanyaannya adalah apakah satu gerak titik memenuhi ketiga batas sekaligus. Jawabannya diberikan dalam ruang kecepatan: diagram tempat setiap lempeng adalah sebuah titik yang vektor posisinya adalah kecepatan lempeng di titik itu, relatif terhadap salah satu lempeng mana pun, sehingga sisi yang menghubungkan dua titik adalah kecepatan relatif kedua lempeng itu.

Proposisi 12.11 (Titik punggungan–punggungan–punggungan adalah stabil)

Sebuah titik tiga dari tiga punggungan, masing-masing menyebar secara simetris dan tegak lurus terhadap sumbunya, adalah stabil apa pun kecepatan relatif ketiga lempeng itu.

McKenzie dan Morgan, yang memperkenalkan perbedaan antara titik tiga stabil dan tidak stabil pada 1969, menganalisis kombinasi-kombinasi ini dengan cara ini. Sebuah transform membiarkan titik bergerak hanya sepanjang dirinya sendiri, yaitu sepanjang garis yang melalui titik-titik dari kedua lempengnya: titik tiga dari tiga transform karena itu tidak pernah stabil, sebab ketiga garis yang melalui sisi-sisi sebuah segitiga tidak memiliki titik persekutuan. Untuk jenis lainnya, kestabilan menempatkan syarat pada orientasi batas dan pada kecepatan relatif.

Titik tiga Azores, pada sekitar $39.4{}^{\circ}$ U, $29.8{}^{\circ}$ B, tempat lempeng Amerika Utara, Eurasia dan Nubia bertemu, adalah titik tiga punggungan–punggungan–punggungan: Punggungan Atlantik Tengah membentang ke utara dan selatannya, dan Rift Terceira yang lambat membentang ke timur-tenggara darinya. Di titik itu kedua vektor Euler pasangan Amerika Utara memberikan Eurasia $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $95{}^{\circ}$ dan Nubia $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $104{}^{\circ}$; Eurasia karena itu menjauhi Nubia pada $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $59{}^{\circ}$, sebuah pembukaan berarah timur-timur laut–barat-barat daya yang melintasi Rift Terceira. Titik sebenarnya bukan sebuah titik: laju penyebaran sepanjang punggungan turun secara bertahap dari $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pada $40{}^{\circ}$ U hingga $19.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pada $38{}^{\circ}$ U, melintasi lempeng kecil sekitar $100\,\mathrm{km}$ lebarnya yang terjepit di antara ketiga lempeng besar itu, mikrolempeng Azores.

12.4 Rotasi berhingga

Vektor Euler menggambarkan gerak sekarang, dirata-ratakan selama beberapa juta tahun. Untuk mengembalikan lempeng ke tempatnya di masa lalu yang jauh, diperlukan rotasi yang membawa sebuah lempeng dari posisinya sekarang ke posisinya di masa lalu.

Definisi 12.12 (Rotasi berhingga)

Sebuah rotasi berhingga adalah rotasi bola, yang diberikan oleh sebuah kutub (lintang, bujur) dan sebuah sudut, yang membawa sebuah lempeng, atau sepotong tepinya, dari posisi sekarangnya ke posisinya pada waktu tertentu relatif terhadap lempeng lain. Sudut positif berputar berlawanan arah jarum jam bila dilihat dari atas kutub.

Proposisi 12.13 (Rumus Rodrigues)

Rotasi sebesar sudut $\alpha$ terhadap vektor satuan $\vec n$ membawa vektor $\vec r$ menjadi

$$\vec r\,' = \cos\alpha\,\vec r + (1 - \cos\alpha)(\vec n\cdot\vec r)\,\vec n + \sin\alpha\,\vec n\times\vec r .$$

Rumus ini linear dalam $\vec r$; ditulis dengan matriks, $\vec r\,' = R\vec r$ dengan

matriks ortogonal dengan determinan $1$, seperti yang disyaratkan teorema Euler. Jejaknya adalah $1 + 2\cos\alpha$, yang memberikan sudut setiap matriks rotasi (Latihan 12.10).

Rotasi berhingga tidak komutatif. Putar titik di $0{}^{\circ}$ U, $0{}^{\circ}$ T, pada sumbu $x$, sebesar $90{}^{\circ}$ terhadap kutub utara: ia pergi ke $0{}^{\circ}$ U, $90{}^{\circ}$ T, pada sumbu $y$; lalu sebesar $90{}^{\circ}$ terhadap sumbu $x$: ia mencapai kutub utara. Dilakukan dengan urutan sebaliknya, rotasi pertama membiarkan titik di tempatnya dan rotasi kedua membawanya ke $0{}^{\circ}$ U, $90{}^{\circ}$ T (Latihan 12.8). Serangkaian gerak lempeng karena itu harus digabung dengan mengalikan matriks dalam urutan yang benar, tidak pernah dengan menjumlahkan sudut; hanya kecepatan sudut, yang menggambarkan rotasi sangat kecil, yang menjumlah sebagai vektor.

Kesesuaian pantai Amerika Selatan dan Afrika, yang lama diperhatikan pada peta, menjadi sebuah perhitungan. Dengan rotasi $120.6\,\mathrm{Ma}$, pantai timur laut Brasil di dekat Recife ($8.05{}^{\circ}$ S, $34.9{}^{\circ}$ B) jatuh pada $3.4{}^{\circ}$ U, $8.3{}^{\circ}$ T, di pantai Teluk Guinea, setelah perjalanan sekitar $5000\,\mathrm{km}$ sepanjang lingkaran kecilnya: rata-rata pembukaan sekitar $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Kesesuaiannya tidak sempurna di mana-mana: selama sekitar empat belas juta tahun sebelum samudra terbuka, kedua benua perlahan teregang menjauh, dan rekonstruksi yang cermat harus lebih dulu memulihkan tepi-tepi yang teregang dan cekungan rift di kedua sisi.

Sejarah — Tektonik pada bola

Pada 1965 Edward Bullard dan dua rekannya mencocokkan benua-benua di sekitar Atlantik dengan komputer, dengan kriteria kuadrat terkecil: kecocokan terbaik mengikuti bagian curam dari tepi benua, pada kedalaman 500 depa (sekitar $900\,\mathrm{m}$), bukan garis pantai. Pada tahun yang sama Tuzo Wilson menggambarkan kelas baru sesar, sesar transform, dan kaitannya dengan pergeseran benua. Pada 1967 Dan McKenzie dan Robert Parker menunjukkan, dengan Pasifik Utara sebagai contoh, bahwa bagian permukaan yang tidak seismik bergerak sebagai lempeng kaku di atas bola. Pada 1968 Jason Morgan menggambarkan permukaan sebagai blok-blok kerak yang dibatasi oleh punggungan, palung dan sesar besar, dan Xavier Le Pichon mengaitkan penyebaran dasar laut dengan pergeseran benua. Dalam tiga tahun, pergeseran benua telah menjadi kinematika tudung kaku di atas bola.

12.5 Mengukur gerak lempeng

Catatan magnetik dasar samudra

Lava yang meletus di punggungan memperoleh, ketika mendingin, magnetisasi searah medan Bumi pada saat itu, dan mempertahankannya ketika ia bergerak menjauhi punggungan. Karena medan itu berbalik arah pada selang waktu yang tidak teratur, dasar samudra termagnetisasi dalam arah yang berselang-seling, dalam pita-pita sejajar punggungan.

Definisi 12.14 (Anomali magnetik laut; kron polaritas; skala waktu polaritas)

Sebuah anomali magnetik laut adalah selisih antara intensitas medan magnet yang diukur di laut dan intensitas model acuan medan utama Bumi di tempat yang sama: ia positif di atas kerak yang termagnetisasi searah medan sekarang, dan negatif di atas kerak yang termagnetisasi dalam arah sebaliknya. Sebuah kron polaritas adalah selang waktu ketika medan mempertahankan satu polaritas, diberi nama dengan sebuah angka dan huruf n (normal, seperti sekarang) atau r (terbalik). Skala waktu polaritas geomagnetik adalah urutan kron polaritas dengan umur batas-batasnya.

Skala waktu dibangun dengan menentukan umur urutan pembalikan di darat dan dalam inti sedimen laut dalam, dan dengan mencocokkan pola anomali dasar samudra, yang lebarnya mempertahankan durasi relatif kron. Kron normal sekarang, C1n, dimulai $0.781\,\mathrm{Ma}$ yang lalu, dan medan telah berbalik pada selang waktu yang tidak teratur: skala waktu menghitung dua puluh lima selang normal dalam sebelas juta tahun terakhir, sebagian berlangsung lebih dari satu juta tahun, yang lain hanya sedikit lebih dari sepuluh ribu tahun. Gambar di bawah menunjukkan sejarah itu, hingga akhir kron C5n, dan garis-garis yang ditulisnya di dasar punggungan yang lambat dan yang cepat.

Definisi 12.15 (Laju penyebaran setengah dan penuh)

Di sebuah punggungan, laju penyebaran setengah suatu sisi adalah laju tempat kerak sisi itu bergerak menjauhi sumbu punggungan. Laju penyebaran penuh adalah laju tempat kedua lempeng bergerak saling menjauh, jumlah dari kedua laju setengah; ia dua kali laju setengah bila penyebarannya simetris.

Metode 12.16 (Laju penyebaran dari anomali magnetik)

1. Pada profil magnetik tegak lurus terhadap punggungan, kenali urutan anomali di kedua sisi dari pola pita lebar dan sempitnya, dan cocokkan dengan skala waktu polaritas.
2. Ukur jarak dari sumbu ke batas kron yang sama di setiap sisi, dan bagi dengan umurnya: ini adalah dua laju setengah penyebaran, dirata-ratakan sejak waktu itu. Laju penuh adalah jumlahnya, atau jarak antara kedua batas dibagi umurnya.
3. Utamakan batas yang tua daripada yang muda: galat satu kilometer pada jarak seratus kilometer lebih ringan bobotnya daripada pada jarak sepuluh kilometer.
4. Bila profilnya tidak tegak lurus terhadap punggungan, proyeksikan jarak ke arah penyebaran.

Poin ketiga bukan hanya soal galat membaca. Kerak tidak memperoleh magnetisasinya sepanjang satu garis saja: lava mengalir di atas kerak yang berdekatan dan sedikit lebih tua, dike menyusup ke dalamnya, dan kerak bawah termagnetisasi lebih lambat daripada kerak atas. Semua proses ini menggeser batas antara pita menjauhi sumbu, sehingga jarak antara dua batas dari umur yang sama melebihi lebar kerak yang sebenarnya terbentuk. Pergeseran dua sisi itu $1\text{ sampai }3\,\mathrm{km}$ di sebagian besar punggungan dan mencapai $5.0\,\mathrm{km}$ di Punggungan Reykjanes. Kompilasi yang cermat mengoreksi laju ke bawah untuk pergeseran keluar ini, sebesar $0.6\text{ sampai }2.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan merata-ratakannya selama $3.16\,\mathrm{Ma}$ terakhir di punggungan yang lambat, kembali ke anomali kron C2An, dan selama $0.78\,\mathrm{Ma}$ di yang cepat. Di Punggungan Gakkel, yang kekurangan magma, anomali subkron Jaramillo yang pendek dan kron C2n tidak ada, sedangkan di Punggungan Reykjanes di selatan Islandia, yang menyebar kurang dari $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ tetapi dengan pasokan magma melimpah, keduanya dikenali dengan jelas.

Geodesi satelit

Sejak 1990-an, posisi stasiun permanen telah diukur setiap hari dengan penentuan posisi satelit. Deret posisi harian selama sepuluh tahun atau lebih memberikan kecepatan sebuah stasiun, setelah gerak musiman dan lompatan yang disebabkan gempa atau perubahan peralatan ditangani (Latihan 12.12).

Di lapangan — Stasiun permanen

Stasiun penentuan posisi satelit permanen adalah instrumen yang tenang. Antenanya, di bawah kubah tahan cuacanya, berada di atas pilar atau tiang berpenopang yang dicor ke dalam batuan, sehingga ia bergerak bersama kerak dan tidak bergerak lain; penerima di dasar merekam sinyal setiap satelit yang terlihat, terus-menerus, dan mengirimkannya ke pusat data. Di sana, analis menghitung posisi setiap hari, dalam kerangka acuan yang diikatkan pada jaringan stasiun di seluruh dunia, dan menerbitkan deret waktu dan kecepatan. Riwayat stasiun sama pentingnya dengan datanya: setiap penggantian antena atau penerima dicatat, karena ia dapat menggeser posisi yang dihitung.

Kecepatan stasiun di bagian dalam dua lempeng memberikan vektor Euler sendiri, tidak bergantung pada catatan geologi. Untuk Eurasia relatif terhadap Amerika Utara, vektor seperti itu memprediksi $17.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di Islandia, sekitar $8\,\%$ lebih sedikit daripada $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ yang dirata-ratakan selama $3.16\,\mathrm{Ma}$ (gambar di atas). Garis di antara Reykjavik dan Stavanger, keduanya di bagian stabil lempengnya, bertambah $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; vektor satelit memprediksi $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, vektor geologi $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Di seluruh Atlantik Utara, laju yang diukur selama beberapa dekade dan laju yang dirata-ratakan selama tiga juta tahun karena itu sepakat hingga sepersepuluh: di sana lempeng-lempeng bergerak hari ini hampir seperti yang telah mereka lakukan selama jutaan tahun.

Di dalam zona batas gambarannya kurang sederhana, karena stasiun bergerak lebih daripada lempeng-lempengnya. Lebih dari sepersepuluh Islandia berada di bawah tudung es, dan sebagian besar darinya telah kehilangan massa sejak sekitar 1890: kerak di bawahnya naik ketika beban berkurang, dan bergerak mendatar menjauhi es yang menipis. Stasiun di Höfn, di pantai tenggara dekat tudung es terbesar, naik sebesar $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

12.6 Latihan

Ambil $R = 6371\,\mathrm{km}$ di seluruh bagian.

Latihan 12.1 ★

Vektor Euler Eurasia relatif terhadap Amerika Utara memiliki laju $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. (a) Ubah ke $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ dan ke $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Berapa lama satu putaran penuh? (c) Hitung $\omega R$ dalam $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solusi

Solusi Latihan 12.1.

(a) $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Ma} = 0.210\times\pi/180 = 3.665 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ per juta tahun, yaitu $3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; dengan $1\,\mathrm{yr} = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $1.161 \times 10^{-16}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $360/0.210 = 1714\,\mathrm{Ma}$, lebih dari sepertiga umur Bumi. (c) $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Latihan 12.2 ★

Dengan vektor Euler yang sama, hitung kelajuan relatif kedua lempeng pada $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$ dan $90{}^{\circ}$ dari kutub Euler. Di mana sepanjang batas lempeng penyebaran paling cepat?

Solusi

Solusi Latihan 12.2.

$v = \omega R\sin\Delta = 23.35\sin\Delta$: $11.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pada $30{}^{\circ}$, $20.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pada $60{}^{\circ}$ dan $23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ pada $90{}^{\circ}$. Penyebaran paling cepat di tempat batas paling jauh dari kutub, hingga $90{}^{\circ}$: antara Eurasia dan Amerika Utara, di ujung selatan batas, dekat Azores, $78{}^{\circ}$ dari kutub.

Latihan 12.3 ★

Subkron normal Jaramillo berlangsung dari $1.072\,\mathrm{Ma}$ hingga $0.988\,\mathrm{Ma}$. (a) Seberapa lebar pita yang dibuatnya di setiap sisi punggungan dengan laju penyebaran setengah $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? Dengan $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$? (b) Berapa lebar total pita kron normal sekarang, yang dimulai $0.781\,\mathrm{Ma}$, di punggungan dengan laju setengah $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$?

Solusi

Solusi Latihan 12.3.

Subkron berlangsung $1.072 - 0.988 = 0.084\,\mathrm{Ma}$, dan laju setengah dalam $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ juga merupakan laju dalam $\mathrm{km}/\mathrm{Ma}$. (a) $50\times0.084 = 4.2\,\mathrm{km}$ pada $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $10\times0.084 = 0.84\,\mathrm{km}$ pada $10\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) Pita itu mengapit sumbu: $2\times10\times0.781 = 15.6\,\mathrm{km}$.

Latihan 12.4 ★

Pada suatu profil melintasi sebuah punggungan, tepi muda anomali kron C2An, berumur $2.581\,\mathrm{Ma}$, berada $66\,\mathrm{km}$ di barat sumbu dan $64\,\mathrm{km}$ di timur. Hitung dua laju setengah penyebaran dan laju penyebaran penuh. Apakah penyebarannya simetris?

Solusi

Solusi Latihan 12.4.

Laju setengah adalah $66/2.581 = 25.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke barat dan $64/2.581 = 24.8\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke timur; laju penuh adalah $130/2.581 = 50.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Penyebaran hampir simetris: sisi barat tumbuh sekitar $3\,\%$ lebih cepat.

Latihan 12.5 ★★

Sebuah titik di Punggungan Gakkel, di Samudra Arktik, berada pada $85{}^{\circ}$ U, $0{}^{\circ}$ T. Hitung jarak sudutnya dari kutub Euler Eurasia–Amerika Utara ($61.8{}^{\circ}$ U, $139.6{}^{\circ}$ T, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$) dan laju penyebarannya di sana. Bandingkan dengan laju terukur $11\text{ sampai }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

Solusi

Solusi Latihan 12.5.

$\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin85{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos85{}^{\circ} \cos(0{}^{\circ} - 139.6{}^{\circ}) = 0.8813\times0.9962 + 0.4726\times0.08716\times (-0.7615) = 0.87795 - 0.03137 = 0.84658$, sehingga $\Delta = 32.16{}^{\circ}$ dan $v = 23.35\sin32.16{}^{\circ} = 12.4\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Ini sedikit di atas $11\text{ sampai }12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ yang terukur, tetapi vektor Euler adalah satu kecocokan terbaik untuk 453 laju, dari mana laju-laju menyimpang rata-rata sebesar $0.7\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan laju-laju individual dekat Punggungan Gakkel yang lambat termasuk yang paling tidak presisi.

Latihan 12.6 ★★

Pada titik tiga Azores, $39.44{}^{\circ}$ U, $29.83{}^{\circ}$ B, hitung (a) jarak sudut ke kutub Euler Eurasia–Amerika Utara, (b) laju penyebaran, dan (c) azimut gerak relatif. (d) Trend apa yang Anda prediksikan untuk sesar transform punggungan tepat di utara titik itu?

Solusi

Solusi Latihan 12.6.

(a) $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin39.44{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ}\cos39.44{}^{\circ} \cos(169.43{}^{\circ}) = 0.20111$: $\Delta = 78.40{}^{\circ}$. (b) $v = 23.35 \sin78.40{}^{\circ} = 22.87\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $23\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ yang terukur tepat di utara titik tiga. (c) Dengan rumus metode ini, pembilangnya adalah $\sin169.43{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.08668$ dan penyebutnya $\cos39.44{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin39.44{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos169.43{}^{\circ} = 0.97573$: kutub terlihat pada $\beta = 5.08{}^{\circ}$, hampir tepat utara, dan Eurasia bergerak menuju $95.1{}^{\circ}$. (d) Sesar transform sejajar dengan gerak relatif: mereka membentang sekitar $095{}^{\circ}$, hampir timur–barat.

Latihan 12.7 ★★

(a) Tuliskan vektor Euler $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}}$ ($61.8{}^{\circ}$ U, $139.6{}^{\circ}$ T, $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$) dan $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}}$ ($79.2{}^{\circ}$ U, $40.2{}^{\circ}$ T, $0.233{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$) dalam komponen Kartesius, dalam ${}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. (b) Turunkan $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}}$, kutub dan lajunya. (c) Mengapa ini cara terbaik untuk mengetahui gerak Nubia relatif terhadap Eurasia?

Solusi

Solusi Latihan 12.7.

(a) $\vec\omega = \omega(\cos\varphi_p\cos\lambda_p, \cos\varphi_p\sin\lambda_p, \sin\varphi_p)$: $\vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (-0.0756, 0.0643, 0.1851)$ dan $\vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} = (0.0333, 0.0282, 0.2289)$, dalam ${}^{\circ}/\mathrm{Ma}$. (b) $\vec\omega_{\mathrm{NB\,EU}} = \vec\omega_{\mathrm{NB\,NA}} - \vec\omega_{\mathrm{EU\,NA}} = (0.1089, -0.0361, 0.0438)$, dengan panjang

$$\sqrt{0.011859 + 0.001303 + 0.001918} = 0.1228{}^{\circ}/\mathrm{Ma}.$$

Kutubnya berada pada lintang $\arcsin(0.0438/0.1228) = 20.9{}^{\circ}$ U dan bujur $\arctan(-0.0361/0.1089) = -18.3{}^{\circ}$, yaitu $18.3{}^{\circ}$ B (komponen $x$ positif, tidak ada $180{}^{\circ}$ yang ditambahkan). (c) Batas antara Nubia dan Eurasia memberikan sedikit pengukuran langsung: antara Azores dan Gibraltar, hanya azimut sesar Gloria. Dua gerak penyebaran melintasi Atlantik diukur oleh ratusan laju, dan selisihnya mewarisi presisinya.

Latihan 12.8 ★★

Misalkan $\vec e_x$ menunjuk ke $0{}^{\circ}$ U, $0{}^{\circ}$ T, $\vec e_y$ ke $0{}^{\circ}$ U, $90{}^{\circ}$ T dan $\vec e_z$ ke kutub utara. Dengan rumus Rodrigues, hitung bayangan $\vec e_x$ (a) oleh rotasi $90{}^{\circ}$ terhadap $\vec e_z$ diikuti rotasi $90{}^{\circ}$ terhadap $\vec e_x$; (b) oleh dua rotasi yang sama dalam urutan sebaliknya. (c) Apa artinya ini bagi rekonstruksi posisi lempeng di masa lalu?

Solusi

Solusi Latihan 12.8.

(a) Sekitar $\vec e_z$ sebesar $90{}^{\circ}$: $\cos90{}^{\circ} = 0$, $\vec e_z\cdot\vec e_x = 0$ dan $\vec e_z\times\vec e_x = \vec e_y$, sehingga $\vec e_x$ pergi ke $\vec e_y$. Lalu sekitar $\vec e_x$ sebesar $90{}^{\circ}$: $\vec e_x\cdot\vec e_y = 0$ dan $\vec e_x\times\vec e_y = \vec e_z$, sehingga $\vec e_y$ pergi ke $\vec e_z$: titik berakhir di kutub utara. (b) Sekitar $\vec e_x$ dahulu: $\vec e_x$ berada pada sumbu, $\vec e_x\times\vec e_x = \vec 0$ dan $(1 - \cos90{}^{\circ})(\vec e_x\cdot\vec e_x) \vec e_x = \vec e_x$, sehingga ia tidak bergerak; lalu sekitar $\vec e_z$ ia pergi ke $\vec e_y$, pada $0{}^{\circ}$ U, $90{}^{\circ}$ T. (c) Hasilnya berbeda: rotasi berhingga tidak komutatif. Rekonstruksi berurutan harus digabung dengan mengalikan matriks rotasi dalam urutan yang benar, tidak pernah dengan menjumlahkan sudut atau kutub.

Latihan 12.9 ★★

Tiga lempeng A, B dan C bertemu pada sebuah titik tiga punggungan–punggungan–punggungan. Relatif terhadap A, lempeng B bergerak sebesar $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju timur dan lempeng C sebesar $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju selatan. (a) Gambarkan segitiga kecepatannya. (b) Hitung kelajuan dan azimut C relatif terhadap B. (c) Berapa trend punggungan antara B dan C jika ia menyebar tegak lurus terhadap sumbunya?

Solusi

Solusi Latihan 12.9.

(a) Dalam ruang kecepatan letakkan $a$ di titik asal, $b$ $30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke timur dan $c$ $40\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke selatan. (b) $\vec v_{CB} = \vec v_{CA} - \vec v_{BA} = (0, -40) - (30, 0) = (-30, -40)$ (komponen timur, utara): $50\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju azimut $\arctan\bigl((-30)/(-40)\bigr) + 180{}^{\circ} = 216.9{}^{\circ}$, barat daya. (c) Punggungan tegak lurus terhadap arah ini: ia membentang $216.9{}^{\circ} - 90{}^{\circ} = 126.9{}^{\circ}$, yaitu barat laut–tenggara.

Latihan 12.10 ★★★

(a) Tunjukkan bahwa jejak matriks $R$ dari rotasi sebesar $\alpha$ terhadap sumbu mana pun adalah $1 + 2\cos\alpha$. (b) Matriks

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$

adalah ortogonal dengan determinan $1$. Cari sumbunya, sebagai lintang dan bujur, dan sudutnya. (c) Periksa jawaban Anda dengan menerapkan $R$ pada $\vec e_x$, $\vec e_y$ dan $\vec e_z$.

Solusi

Solusi Latihan 12.10.

(a) Dalam matriks Rodrigues, matriks identitas menyumbang $3\cos\alpha$, matriks $\vec n\,\vec n^{\mathsf T}$ menyumbang jejak $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$, dikali $1 - \cos\alpha$, dan matriks antisimetris tidak menyumbang apa-apa: $\operatorname{tr}R = 3\cos\alpha + 1 - \cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha$. (b) Di sini $\operatorname{tr}R = 0$, sehingga $\cos\alpha = -1/2$ dan $\alpha = 120{}^{\circ}$. Sumbunya memenuhi $R\vec n = \vec n$: $R(x, y, z) = (z, x, y)$, sehingga $x = y = z$ dan $\vec n = (1, 1, 1)/\sqrt3$, pada lintang $\arcsin(1/\sqrt3) = 35.26{}^{\circ}$ U dan bujur $45{}^{\circ}$ T. (c) $R\vec e_x = \vec e_y$, $R\vec e_y = \vec e_z$, $R\vec e_z = \vec e_x$: ketiga sumbu saling bertukar, seperti yang dilakukan sepertiga putaran terhadap diagonal. Rumus Rodrigues dengan $\alpha = +120{}^{\circ}$ terhadap $\vec n$ memang memberikan $\vec e_x\mapsto -\tfrac12\vec e_x + \tfrac12(1, 1, 1) + \tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}(0, 1, -1) = (0, 1, 0)$, sehingga rotasinya berlawanan arah jarum jam bila dilihat dari atas $35.26{}^{\circ}$ U, $45{}^{\circ}$ T.

Latihan 12.11 ★★★

Sebelum penentuan posisi satelit, kutub Euler ditemukan dari arah sesar transform. (a) Tunjukkan bahwa kutub Euler berada pada lingkaran besar yang melalui sebuah titik sesar transform dan tegak lurus terhadap sesar di sana, dan bahwa kutub itu karena itu berada sepanjang $\vec t_1\times\vec t_2$, dengan $\vec t_1$ dan $\vec t_2$ vektor satuan sepanjang dua sesar transform dari batas yang sama. (b) Sesar transform membentang pada $95{}^{\circ}$ di dekat titik tiga Azores ($39.44{}^{\circ}$ U, $29.83{}^{\circ}$ B) dan pada $103{}^{\circ}$ di Islandia ($64.5{}^{\circ}$ U, $18{}^{\circ}$ B). Vektor satuan horizontal pada lintang $\varphi$ dan bujur $\lambda$ yang menunjuk ke azimut $\beta$ adalah $\sin\beta\,\vec e + \cos\beta\,\vec n$, dengan $\vec e = (-\sin\lambda, \cos\lambda, 0)$ dan $\vec n = (-\sin\varphi\cos\lambda, -\sin\varphi\sin\lambda, \cos\varphi)$. Tentukan kutubnya. (c) Seberapa baik dua transform menentukan kutub?

Solusi

Solusi Latihan 12.11.

(a) Pada sesar transform kecepatan relatif $\vec\omega\times\vec r$ berada sepanjang sesar, sehingga sejajar dengan $\vec t$; ia tegak lurus terhadap $\vec\omega$, maka $\vec t\cdot\vec\omega = 0$. Bidang yang tegak lurus $\vec t$ melalui pusat memuat $\vec r$ (karena $\vec t$ horizontal) dan $\vec\omega$: ia adalah bidang lingkaran besar yang melalui titik itu tegak lurus terhadap sesar, dan kutubnya berada pada lingkaran itu. Dua bidang seperti itu bertemu sepanjang garis $\vec t_1\times\vec t_2$. (b) $\vec t_1 = (0.5436, 0.8367, -0.0673)$ di titik tiga, dan $\vec t_2 = (0.4942, 0.8639, -0.0968)$ di Islandia, sehingga $\vec t_1\times\vec t_2 = (-0.02285, 0.01936, 0.05612)$, dengan panjang $0.06362$. Lintangnya adalah $\arcsin(0.05612/0.06362) = 61.9{}^{\circ}$ U dan bujurnya $180{}^{\circ} - \arctan(0.01936/0.02285) = 139.7{}^{\circ}$ T (komponen $x$ negatif): kutub dalam bab ini. (c) Buruk: kedua lingkaran besar berpotongan pada sudut kecil, karena arah kedua transform hanya berbeda $8{}^{\circ}$ sepanjang $26{}^{\circ}$ batas. Mengubah salah satu arah sebesar satu derajat menggeser kutub sekitar $15{}^{\circ}$. Penentuan nyata menggabungkan banyak transform dengan laju penyebaran, yang variasinya sepanjang batas menetapkan jarak sudut ke kutub.

Latihan 12.12 ★★★

Posisi timur sebuah stasiun, setiap tiga bulan selama tiga tahun, adalah (dalam milimeter, dari $t = 0$):

$t$ (yr)	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3
$x$ (mm)	4	5	6	15	24	25	26	65	74	75	76	85	94

Deret ini terdiri atas gerak yang mantap, osilasi musiman dan lompatan yang disebabkan oleh gempa. (a) Hitung kecepatan dari posisi pertama dan terakhir. (b) Hitung sembilan selisih antara posisi yang berjarak tepat satu tahun, dan median-nya. (c) Jelaskan mengapa median selisih satu tahunan adalah perkiraan yang tangguh untuk kecepatan mantap, dan kapan ia akan gagal.

Solusi

Solusi Latihan 12.12.

(a) $(94 - 4)/3 = 30\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (b) Selisih berjarak satu tahun adalah $24 - 4 = 20$, $25 - 5 = 20$, $26 - 6 = 20$, $65 - 15 = 50$, $74 - 24 = 50$, $75 - 25 = 50$, $76 - 26 = 50$, $85 - 65 = 20$ dan $94 - 74 = 20$ (mm). Diurutkan: lima nilai 20 dan empat 50; median adalah $20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. (c) Dua posisi berjarak satu tahun berada pada fase yang sama dari osilasi musiman, yang saling meniadakan dalam selisihnya. Sebuah lompatan hanya memengaruhi pasangan yang melintasinya, di sini empat dari sembilan; selama kurang dari separuh pasangan melintasi lompatan, median mengabaikannya, sedangkan estimasi titik-ujung di (a) menganggap seluruh lompatan sebagai gerak dan menghasilkan nilai $50\,\%$ terlalu tinggi. Metode ini gagal bila lompatan begitu sering sehingga sebagian besar pasangan satu tahun mengandung satu, atau bila stasiun bergerak tidak mantap, misalnya setelah gempa besar.

12.7 Soal: Islandia terbelah

Soal 12.1

Soal akhir pekan — pembukaan Atlantik Utara di seluruh Islandia, diukur dengan tiga cara

Islandia terletak di atas Punggungan Atlantik Tengah, di antara lempeng Amerika Utara di barat dan lempeng Eurasia di timur. Ambil $R = 6371\,\mathrm{km}$ dan, untuk Eurasia relatif terhadap Amerika Utara, vektor Euler dengan kutubnya pada $61.8{}^{\circ}$ U, $139.6{}^{\circ}$ T dan laju $0.210{}^{\circ}/\mathrm{Ma}$.

Bagian I — Vektor lempeng.

1. Ubah laju ke $\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$ dan hitung $\omega R$ dalam $\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.
2. Hitung jarak sudut $\Delta$ dari kutub ke pusat Islandia, $64.5{}^{\circ}$ U, $18{}^{\circ}$ B.
3. Turunkan laju penyebaran penuh di seluruh Islandia yang diprediksi oleh vektor lempeng.
4. Hitung azimut kutub yang dilihat dari Islandia, dan azimut gerak Eurasia relatif terhadap Amerika Utara.
5. Uraikan kecepatan ini menjadi komponen timur dan utara.
6. Di Punggungan Gakkel, pada $86{}^{\circ}$ U, $60{}^{\circ}$ T, laju apa yang diberikan vektor yang sama? Mengapa batas di sana jauh lebih lambat?

Bagian II — Pita magnetik. Sebuah profil magnetik kapal melintasi Punggungan Reykjanes, di barat daya Islandia dekat $63{}^{\circ}$ U, $23{}^{\circ}$ B, dijalankan searah penyebaran, memberikan jarak berikut dari sumbu ke tiga batas kron (profil yang disusun untuk soal ini):

batas	umur (Ma)	barat sumbu (km)	timur sumbu (km)
dasar C1n	0.781	9.7	10.1
tepi muda C2An	2.581	26.8	27.3
tepi muda C5n	9.779	94	97

7. Dari tepi muda C5n, hitung dua laju penyebaran setengah.
8. Turunkan laju penyebaran penuh sejak $9.8\,\mathrm{Ma}$.
9. Hitung juga laju penuh dari dua batas yang lebih muda. Apakah ketiganya sepakat? Jelaskan bagaimana mereka berubah dengan umur batas.
10. Apakah penyebarannya simetris? Apakah asimetri itu mengubah laju penuh?
11. Di Punggungan Reykjanes, batas antara pita tergeser menjauhi sumbu sebesar $5.0\,\mathrm{km}$ secara keseluruhan, kedua sisi bersama-sama. Koreksi ketiga laju penuh. Mengapa koreksi itu paling berpengaruh pada batas yang termuda?
12. Berapa lebar pita subkron Jaramillo ($1.072\text{ sampai }0.988\,\mathrm{Ma}$) di setiap sisi, pada laju setengah yang terkoreksi? Bandingkan dengan pergeseran pada soal 11. Anomali Jaramillo tetap dikenali dengan jelas pada profil Punggungan Reykjanes, tetapi tidak ada di Punggungan Gakkel: apa yang disarankan oleh itu?
13. Vektor lempeng memprediksi $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di profil itu. Bandingkan dengan laju-laju terkoreksi Anda.

Bagian III — Satelit. Stasiun permanen REYK (Reykjavik, $64.139{}^{\circ}$ U, $21.955{}^{\circ}$ B) dan STAS (Stavanger, $59.018{}^{\circ}$ U, $5.599{}^{\circ}$ T) terletak di lempeng Amerika Utara dan Eurasia. Kecepatan terukur mereka membuat garis di antara keduanya bertambah sebesar $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

14. Hitung jarak sudut antara kedua stasiun, dan panjang garis lurusnya.
15. Berapa lama garis itu memerlukan waktu untuk bertambah satu meter?
16. Vektor lempeng memberi STAS kecepatan $18.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $114.8{}^{\circ}$ relatif terhadap Amerika Utara. Lingkaran besar dari REYK tiba di STAS dengan arah menuju $123.1{}^{\circ}$. Hitung komponen kecepatan sepanjang arah ini, lalu pertambahan garis yang diprediksi, yang membentuk sudut $\Delta/2$ dengan horizontal di STAS.
17. Bandingkan pertambahan yang terukur dan yang diprediksi. Apa yang mungkin menjelaskan selisihnya?
18. Relatif terhadap Amerika Utara, REYK bergerak sebesar $1.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke barat dan $0.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke selatan, dan stasiun HOFN (Höfn, Islandia tenggara) sebesar $21.12\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke timur dan $6.97\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke selatan. Hitung kelajuan dan azimut HOFN relatif terhadap REYK.
19. Bandingkan dengan Bagian I. HOFN juga naik sebesar $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Mengapa stasiun di dalam Islandia adalah ukuran gerak lempeng yang buruk?

Bagian IV — Sepuluh juta tahun, dan titik tiga di selatan.

20. Selama $10\,\mathrm{Ma}$, melalui sudut berapa Eurasia berputar relatif terhadap Amerika Utara terhadap kutub?
21. Sejauh mana sebuah titik Eurasia di tengah Islandia menempuh lingkaran kecilnya dalam waktu itu? Bandingkan dengan lebar kerak yang terkoreksi, yang terbentuk sejak tepi muda C5n dalam Bagian II.
22. Di titik tiga Azores, vektor lempeng memberikan Eurasia $22.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $95.1{}^{\circ}$ dan Nubia $19.2\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $103.8{}^{\circ}$, keduanya relatif terhadap Amerika Utara. Hitung kecepatan Eurasia relatif terhadap Nubia.
23. Apakah titik tiga ini stabil? Jenis batas apa yang diimplikasikan oleh kecepatan pada soal 22 antara Eurasia dan Nubia?
24. Kumpulkan laju pembukaan dari Bagian I, II dan III. Mana yang sepakat, dan metode mana yang mengukur gerak lempeng dalam waktu terpendek?
25. Hingga milimeter per tahun terdekat, laju penyebaran penuh di seluruh Islandia apa yang diberikan oleh vektor lempeng dan oleh pita magnetik yang terkoreksi?

Solusi

Solusi Soal 12.1.

1. $\omega = 0.210\times(\pi/180)/10^{6} = 3.665 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $\omega R = 3.665 \times 10^{-9}\times6.371 \times 10^{9}\,\mathrm{mm} = 23.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

2. $\cos\Delta = \sin61.8{}^{\circ}\sin64.5{}^{\circ} + \cos61.8{}^{\circ} \cos64.5{}^{\circ}\cos(-157.6{}^{\circ}) = 0.79546 - 0.18809 = 0.60737$, sehingga $\Delta = 52.60{}^{\circ}$.

3. $v = 23.35\sin52.60{}^{\circ} = 23.35\times0.7944 = 18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

4. Pembilangnya adalah $\sin157.6{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ} = 0.18011$ dan penyebutnya

$$\cos64.5{}^{\circ}\sin61.8{}^{\circ} - \sin64.5{}^{\circ}\cos61.8{}^{\circ}\cos157.6{}^{\circ} = 0.37940 + 0.39436 = 0.77376;$$

keduanya positif, sehingga $\beta = \arctan 0.2328 = 13.1{}^{\circ}$. Eurasia bergerak menuju $13.1{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 103.1{}^{\circ}$.

5. Timur: $18.55\sin103.1{}^{\circ} = 18.07\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; utara: $18.55\cos103.1{}^{\circ} = -4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, yaitu $4.20\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ ke selatan.

6. $\cos\Delta = 0.8851$, $\Delta = 27.74{}^{\circ}$, $v = 23.35 \sin27.74{}^{\circ} = 10.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Kedua lempeng berputar terhadap kutub di Siberia timur: Punggungan Gakkel dekat dengan kutub itu, dan kelajuannya turun dengan $\sin\Delta$ meskipun lempengnya sama.

7. Barat: $94/9.779 = 9.61\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; timur: $97/9.779 = 9.92\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

8. $(94 + 97)/9.779 = 191/9.779 = 19.53\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

9. Dari C2An: $54.1/2.581 = 20.96\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; dari dasar C1n: $19.8/0.781 = 25.35\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Keduanya tidak sepakat: semakin muda batasnya, semakin tinggi lajunya. Perubahan laju yang nyata mungkin terjadi, tetapi selisih jarak yang tetap, sama di semua umur, akan menghasilkan persis hal ini.

10. Rasio jarak barat terhadap timur adalah 0.96 hingga 0.98: sisi timur tumbuh beberapa persen lebih banyak. Laju penuh hanya bergantung pada jumlah kedua jarak, sehingga asimetri tidak mengubahnya.

11. $(191 - 5.0)/9.779 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(54.1 - 5.0)/2.581 = 19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; $(19.8 - 5.0)/0.781 = 18.95\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Ketiganya kini sepakat dalam $0.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Pergeseran $5\,\mathrm{km}$ yang sama adalah seperempat dari $19.8\,\mathrm{km}$ pasangan termuda tetapi kurang dari $3\,\%$ dari $191\,\mathrm{km}$ pasangan tertua; batas-batas tua memberikan laju yang lebih andal.

12. Laju setengah yang terkoreksi adalah $186/9.779/2 = 9.51\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan $9.51\times0.084 = 0.80\,\mathrm{km}$, sepertiga dari $2.5\,\mathrm{km}$ tempat setiap batas tergeser. Orang akan mengharapkan pita yang sempit itu kabur karenanya. Bahwa ia dikenali di Punggungan Reykjanes, sedangkan tidak ada di Punggungan Gakkel, yang kekurangan magma, menunjukkan bahwa pasokan magma yang melimpah mencatat medan dengan setia bahkan dalam pita yang sempit.

13. Laju terkoreksi, 18.95 hingga $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, sepakat dengan $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ vektor lempeng; tanpa koreksi, mereka melebihinya sebesar 3 hingga 33 persen.

14. $\cos\Delta = \sin64.139{}^{\circ}\sin59.018{}^{\circ} + \cos64.139{}^{\circ}\cos59.018{}^{\circ}\cos27.554{}^{\circ} = 0.97054$, sehingga $\Delta = 13.94{}^{\circ}$; panjang garis itu $2R\sin(\Delta/2) = 12742\times\sin6.97{}^{\circ} = 1546\,\mathrm{km}$.

15. $1000/17.5 = 57$ tahun.

16. Kedua arah berbeda $123.1{}^{\circ} - 114.8{}^{\circ} = 8.3{}^{\circ}$: komponen horizontal sepanjang lingkaran besar adalah $18.9\cos8.3{}^{\circ} = 18.70\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan sepanjang garis $18.70\cos6.97{}^{\circ} = 18.56\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, sekitar $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.

17. Garis itu bertambah $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, $6\,\%$ lebih sedikit daripada $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ yang diprediksi. Kedua stasiun berada jauh dari batas lempeng, sehingga selisihnya bukan lokal. Entah lempeng bergerak sedikit lebih lambat hari ini daripada rata-rata selama tiga juta tahun terakhir, atau salah satu dari dua estimasi membawa galat sistematis kecil; pengukuran saja tidak dapat memberitahukannya. Vektor Euler yang dihitung dari penentuan posisi satelit saja memprediksi $17.1\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ untuk garis ini, dekat dengan nilai terukur.

18. Timur: $21.12 - (-1.07) = 22.19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; utara: $-6.97 - (-0.97) = -6.00\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$. Kelajuan $\sqrt{22.19^2 + 6.00^2} = 23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, menuju $180{}^{\circ} - \arctan(22.19/6.00) = 105.1{}^{\circ}$.

19. Arahnya dekat dengan $103{}^{\circ}$ dari vektor lempeng, tetapi kelajuannya melebihi $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ sebesar seperempat. Kedua stasiun berada di dalam zona tempat batas berdeformasi, dan Höfn, dekat tudung es terbesar, bergerak mengikuti pemantulan kerak ketika es menipis: naik sebesar $12.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, dan ke samping, menjauhi es. Stasiun di dalam zona batas mengukur gerak lempeng ditambah deformasi lokal.

20. $0.210\times10 = 2.10{}^{\circ}$.

21. Titik itu menempuh lingkaran kecil berjari-jari $R\sin\Delta$: $6371\times0.7944\times(2.10\times\pi/180) = 185.5\,\mathrm{km}$. Lebar kerak yang terkoreksi yang terbentuk sejak tepi muda C5n, $186\,\mathrm{km}$ dalam $9.8\,\mathrm{Ma}$, hampir sama: gerak itu telah mantap selama sepuluh juta tahun.

22. Komponen (timur, utara): Eurasia $(22.9\sin95.1{}^{\circ}, 22.9\cos95.1{}^{\circ}) = (22.81, -2.04)$, Nubia $(19.2\sin103.8{}^{\circ}, 19.2\cos103.8{}^{\circ}) = (18.65, -4.58)$. Eurasia relatif terhadap Nubia: $(4.16, 2.54)$, yaitu $4.9\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ menuju $\arctan(4.16/2.54) = 58.6{}^{\circ}$, timur-timur laut.

23. Sebuah titik tiga dari tiga punggungan stabil apa pun kecepatannya. Kecepatan pada soal 22 membuat Eurasia dan Nubia bergerak saling menjauh, dari timur-timur laut ke barat-barat daya: batas mereka di titik itu harus membuka, perlahan; itu adalah Rift Terceira, yang arah timur-tenggaranya membuat pembukaan itu miring.

24. Bagian I: $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di pusat Islandia ($19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di profil Bagian II). Bagian II: 18.95 hingga $19.02\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ setelah dikoreksi. Bagian III: garis Reykjavik–Stavanger bertambah $17.5\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, di mana vektor lempeng memprediksi $18.6\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$; pasangan di dalam Islandia memberikan $23.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$, yang bukan gerak lempeng. Vektor lempeng dan pita sepakat; satelit berbeda sebesar $6\,\%$. Pita merata-ratakan selama hingga sepuluh juta tahun, vektor lempeng selama $3.16\,\mathrm{Ma}$; satelit mengukur gerak dua puluh hingga tiga puluh tahun terakhir.

25. Vektor lempeng memberikan sekitar $18.55\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di seluruh Islandia, dan pita terkoreksi $19.0\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$ di sebelahnya: hingga milimeter per tahun terdekat, laju penyebaran penuh di seluruh Islandia adalah $19\,\mathrm{mm}\,\mathrm{yr}^{-1}$.