8Mineralogi optik

Di antara polarisator silang, sayatan tipis gabro menyala seperti kaca patri. Balok-balok panjang abu-abu dan putih, bergaris seperti kode batang, melintasi medan; di antaranya, butir-butir berpendar biru, kuning, dan magenta; beberapa tetap hitam apa pun sudutnya. Setiap efek ini memiliki penyebab yang dapat dihitung, dan masing-masing menunjukkan mineral apa yang ada di sana. Bab ini menjelaskan bagaimana cahaya melintasi kristal, mengapa mineral di antara polarisator silang berwarna, bagaimana warna itu mengukur sifat mineral, dan bagaimana seorang petrolog menamai butir-butir sayatan tipis hanya dengan mikroskop. Bab ini diakhiri dengan sayatan tak dikenal, yang mineral-mineralnya dan ketebalan sebenarnya ditemukan dari apa yang ditampilkannya.

Yang sudah kamu ketahui

Sayatan tipis adalah irisan batuan setebal sekitar $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada kaca objek; mikroskop polarisasi melihatnya dalam cahaya terpolarisasi bidang (satu polarisator) dan di antara polarisator silang (Bab 6). Indeks bias $n$ suatu medium adalah perbandingan laju cahaya dalam vakum terhadap lajunya dalam medium, dan pembiasan pada suatu antarmuka mematuhi hukum Snell $n_1\sin i_1 = n_2\sin i_2$ (fisika, Sarjana Tahun ke-1). Cahaya adalah gelombang transversal; sebuah polarisator hanya meneruskan komponen medan listrik sepanjang arahnya, sehingga analisator pada sudut $\alpha$ terhadapnya meneruskan pecahan $\cos^2\alpha$ dari intensitas (hukum Malus, fisika).

8.1 Cahaya dalam kristal

Dalam kaca, cairan, atau kristal kubik, cahaya merambat dengan laju yang sama di setiap arah dan apa pun arah getarnya. Pada sebagian besar mineral tidak demikian: susunan atom berbeda sepanjang arah yang berbeda, dan begitu pula tanggapan elektron terhadap medan listrik gelombang.

Definisi 8.1 (Mineral isotropik dan anisotropik)

Sebuah mineral adalah mineral isotropik bila indeks biasnya sama untuk setiap arah rambat dan getaran cahaya; mineral kubik (garnet, halit, spinel) dan kaca bersifat isotropik. Ia adalah mineral anisotropik bila indeks biasnya bergantung pada arah getar; semua mineral sistem kristal lain bersifat anisotropik.

Sebuah keping yang dipotong dari kristal anisotropik tidak melewatkan cahaya sebagai satu gelombang tunggal. Kita menerima hasil berikut dari optik kristal (fisika, Sarjana Tahun ke-2): untuk arah rambat tertentu, sebuah keping mineral anisotropik meneruskan dua gelombang yang bergetar pada dua arah tegak lurus yang tetap pada keping, arah getarnya, dan merambat dengan dua indeks bias berbeda $n_1$ dan $n_2$. Cahaya yang bergetar sepanjang salah satu arah ini melintasi keping tanpa berubah polarisasinya; cahaya yang bergetar pada arah lain terurai menjadi dua komponen sepanjang keduanya. Kedua indeks bergantung pada arah rambat, dan ada arah-arah khusus tempat keduanya sama.

Definisi 8.2 (Sumbu optik, mineral uniaksial dan biaksial)

Sebuah sumbu optik suatu mineral anisotropik adalah arah rambat sepanjang mana cahaya merambat dengan satu indeks bias tunggal, apa pun arah getarnya, seperti dalam medium isotropik. Sebuah mineral disebut uniaksial bila memiliki satu sumbu optik (mineral sistem trigonal, tetragonal, dan heksagonal, seperti kuarsa dan kalsit), dan biaksial bila memiliki dua (mineral ortorombik, monoklinik, dan triklinik, seperti olivin, piroksen, amfibol, mika, dan feldspar).

Geometri itu diringkas oleh sebuah permukaan, indikatriks: elipsoid yang jari-jarinya di setiap arah adalah indeks bias untuk cahaya yang bergetar pada arah itu. Irisan elipsoid tegak lurus arah rambat adalah elips yang sumbunya adalah kedua arah getar dan sumbu semi-nya $n_1$ dan $n_2$. Untuk mineral uniaksial elipsoidnya adalah elipsoid putar terhadap sumbu optik, dengan dua indeks utama $n_\omega$ dan $n_\varepsilon$: kuarsa memiliki $n_\omega = 1.544$ dan $n_\varepsilon = 1.553$, kalsit $1.658$ dan $1.486$.

Mineral biaksial memiliki tiga indeks utama $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ dan dua penampang melingkar, tegak lurus kedua sumbu optiknya: forsterit memiliki $1.635$, $1.651$, dan $1.670$.

Definisi 8.3 (Birefringensi (suatu mineral))

Birefringensi suatu mineral adalah selisih $\delta = n_{\max} - n_{\min}$ antara indeks bias utamanya yang terbesar dan terkecil: $n_\varepsilon - n_\omega$ dalam nilai mutlak untuk mineral uniaksial, $n_\gamma - n_\alpha$ untuk yang biaksial. Dalam butir yang dipotong pada arah lain, selisih $|n_1 - n_2|$ berada antara 0 (penampang tegak lurus sumbu optik) dan $\delta$ (penampang yang memuat arah $n_{\max}$ dan $n_{\min}$).

Birefringensi adalah sifat mineral, seperti massa jenisnya: kuarsa $0.009$, kalsit $0.172$, forsterit $0.035$, fayalit $0.052$. Sayatan tipis memotong butir-butir suatu mineral pada setiap orientasi, sehingga butirnya menunjukkan setiap nilai dari 0 sampai $\delta$; hanya yang tertinggi yang khas.

8.2 Pengamatan dalam cahaya terpolarisasi bidang

Dengan polarisator bawah saja, mikroskop memperlihatkan bentuk butir, warnanya, belahannya, dan reliefnya.

Definisi 8.4 (Pleokroisme)

Sebuah mineral bersifat pleokroik bila warnanya, yang terlihat dalam cahaya terpolarisasi bidang, berubah ketika meja diputar; pleokroisme adalah perubahan ini. Ia timbul karena penyerapan cahaya bergantung pada arah getarnya dalam kristal.

Biotit adalah kasus buku teks: butir yang dipotong melintasi belahannya berpindah dari cokelat kekuningan pucat ke cokelat gelap ketika ia berputar, paling gelap ketika jejak belahannya sejajar polarisator. Hornblende berubah dari kuning ke hijau. Sebagian besar silikat pembentuk batuan lain (kuarsa, feldspar, olivin, diopsid, muskovit) tidak berwarna dalam sayatan tipis, dan butir-butir yang tidak berwarnanya dibedakan dengan cara lain.

Definisi 8.5 (Relief, garis Becke)

Relief butir dalam sayatan tipis adalah seberapa kuat garis tepi, retakan, dan permukaannya menonjol terhadap medium pemasang; ia tinggi bila indeks bias butir dan medium berbeda jauh, rendah bila keduanya dekat. Garis Becke adalah garis cerah tipis yang membatasi butir yang indeksnya berbeda dari sekitarnya bila mikroskop sedikit keluar fokus.

Proposisi 8.6 (Relief dan indeks bias)

Sinar yang melintasi batas dengan sudut datang $i$ antara medium pemasang berindeks $n_m$ dan butir berindeks $n$ yang dekat dengan $n_m$ dibelokkan sebesar

$$\varepsilon \approx \frac{|n - n_m|}{n_m}\,\tan i$$

(dalam radian), sampai orde pertama dalam $(n - n_m)/n_m$. Deviasi pada tepi miring suatu butir, dan karenanya reliefnya, tumbuh sebanding dengan $|n - n_m|$.

Sebuah sayatan tipis dipasang dalam resin dengan indeks sekitar $1.54$.

Kuarsa ($1.544$–$1.553$) dan feldspar ($1.52$–$1.59$) hampir tak terlihat terhadapnya: relief rendah, batas butir sulit dilihat. Olivin ($1.64$–$1.88$), piroksen, dan amfibol menonjol dengan tepi gelap dan permukaan yang tampak kasar: relief tinggi. Garnet ($1.83$) tampak hampir berbatas hitam. Kalsit, yang indeksnya berkisar dari $1.486$ hingga $1.658$ menurut arah getar, mengubah reliefnya ketika meja berputar, efek yang disebut berkelip.

Relief hanya memberi tahu seberapa jauh $n$ dari $n_m$, bukan di sisi mana; garis Becke memberi tahu sisinya.

Metode 8.7 (Uji garis Becke)

Fokuskan pada tepi suatu butir dalam cahaya terpolarisasi bidang, tutup sedikit diafragma apertur, dan naikkan fokus sedikit (jauhkan objektif dari sayatan). Garis Becke yang cerah bergerak ke dalam medium berindeks lebih tinggi: bila ia bergerak ke dalam butir, butir itu berindeks lebih tinggi (relief positif); bila ia bergerak keluar ke dalam pemasang atau butir tetangga, butir itu berindeks lebih rendah (relief negatif).

Metode ini bekerja karena batas butir tidak pernah tepat vertikal: pada batas yang miring, cahaya dibiaskan ke arah sisi berindeks lebih tinggi, dan melewati sudut kritis ia dipantulkan total pada sisi itu, sehingga cahaya yang melintasi batas terkonsentrasi di atas medium berindeks lebih tinggi. Menaikkan fokus melihat bidang di atas sayatan, tempat cahaya yang terkonsentrasi itu berada di dalam bahan berindeks lebih tinggi.

8.3 Di antara polarisator silang

Dengan analisator dimasukkan, tegak lurus pada polarisator, butir isotropik tampak hitam di setiap posisi: cahaya mencapainya bergetar sepanjang polarisator dan keluar darinya bergetar dengan cara yang sama, dan analisator menghentikannya sepenuhnya. Butir anisotropik umumnya terang dan berwarna. Alasannya adalah tunda antara kedua gelombangnya.

Definisi 8.8 (Retardasi (dalam keping kristal))

Retardasi $\Delta$ suatu keping mineral anisotropik adalah selisih jalur optik kedua gelombangnya saat keluar dari keping, gelombang yang lebih lambat tertinggal di belakang yang lebih cepat.

Proposisi 8.9 (Retardasi dan birefringensi)

Keping berketebalan $d$ yang kedua gelombangnya memiliki indeks $n_1 > n_2$ memiliki retardasi

$$\Delta = d\,(n_1 - n_2),$$

dan kedua gelombangnya keluar dengan selisih fase $\varphi = 2\pi\Delta/\lambda$ untuk cahaya dengan panjang gelombang $\lambda$ dalam vakum. Dalam sayatan tipis, retardasi terbesar yang ditunjukkan butir-butir suatu mineral adalah $d\,\delta$.

Butir kuarsa dengan orientasi paling menguntungkan dalam sayatan setebal $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ memiliki $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$; butir kalsit $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$.

Teorema 8.10 (Intensitas di antara polarisator silang)

Keping dengan retardasi $\Delta$ yang arah getarnya membentuk sudut $\theta$ dengan polarisator, di antara polarisator silang, meneruskan pada panjang gelombang $\lambda$ intensitas

$$I = I_0\,\sin^2 2\theta\,\sin^2\frac{\pi\Delta}{\lambda},$$

dengan $I_0$ intensitas yang keluar dari polarisator.

Teorema ini memuat seluruh yang ditampilkan mikroskop di antara polarisator silang. Faktor pertamanya hanya bergantung pada orientasi butir di meja; yang kedua hanya pada retardasi butir dan warna cahaya.

Definisi 8.11 (Posisi pemadaman, sudut pemadaman)

Sebuah butir anisotropik di antara polarisator silang berada dalam posisi pemadaman bila ia gelap karena arah getarnya sejajar polarisator dan analisator. Sudut pemadaman suatu butir adalah sudut antara suatu arah yang terlihat padanya (jejak belahan, pemanjangan, bidang kembaran) dan posisi pemadaman terdekat, dibaca pada meja berskala.

Faktor $\sin^2 2\theta$ menghilang pada $\theta = 0$, $90{}^{\circ}$, $180{}^{\circ}$ dan $270{}^{\circ}$: sebuah butir menjadi gelap empat kali dalam satu putaran penuh meja, dan paling terang di tengah, pada $45{}^{\circ}$ dari pemadaman (gambar di bawah). Butir dengan $\Delta = 0$ — mineral isotropik, atau penampang tegak lurus sumbu optik — tetap gelap sepanjang waktu. Sudut pemadaman bergantung pada simetri kristal: mineral yang arah getarnya terikat pada belahannya, seperti mineral ortorombik, padam sejajar dengannya (pemadaman lurus); mineral monoklinik atau triklinik umumnya tidak (pemadaman miring). Sudut pemadaman terbesar antara jejak belahan dan arah getar lambat adalah sekitar $38{}^{\circ}$ pada diopsid dan $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$ pada hornblende, pada penampang sejajar $(010)$: salah satu cara membedakan piroksen dari amfibol dalam sayatan tipis.

8.3.1 Warna interferensi

Dalam cahaya putih, faktor kedua $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ bertindak sebagai filter yang bergantung pada panjang gelombang. Butir dengan $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ meneruskan hampir semua hijau dan kuning ($\lambda$ dekat $2\Delta = 540$ nm, tempat faktornya 1) dan agak lebih sedikit ungu dan merah: ia tampak putih. Butir dengan $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ menekan kuning-hijau ($\lambda = \Delta$) dan meneruskan merah dan biru: ia tampak magenta. Ketika $\Delta$ tumbuh, panjang gelombang yang tertekan bergeser melintasi spektrum dan yang baru muncul, dan warnanya berjalan melalui urutan yang tetap.

Definisi 8.12 (Warna interferensi, orde, diagram Michel-Lévy)

Yang disebut warna interferensi suatu butir anisotropik adalah warnanya di antara polarisator silang dalam cahaya putih, pada $45{}^{\circ}$ dari pemadaman; ia hanya bergantung pada retardasi $\Delta$-nya. Warnanya berulang dalam pita-pita sekitar $550\,\mathrm{nm}$ retardasi, masing-masing berakhir dengan rona merah-ungu; setiap pita adalah sebuah orde (pertama, kedua, ketiga…). Diagram Michel-Lévy memperlihatkan warna interferensi terhadap retardasi, dengan garis-garis $\Delta = d\,\delta$ yang menghubungkan tebal sayatan, birefringensi mineral, dan warnanya.

Bagan ini dihitung persis seperti teorema. Untuk setiap retardasi, setiap panjang gelombang cahaya dibobot dengan $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$; spektrum yang diteruskan lalu diubah menjadi warna seperti yang dilihat mata, dengan fungsi pencocokan warna standar kolorimetri, dan menjadi merah, hijau, dan biru layar atau pencetak dengan transformasi sRGB. Tiga hal patut diperhatikan. Orde pertama dimulai dari hitam, melewati kelabu dan putih (satu-satunya putih pada bagan berada dekat $270\,\mathrm{nm}$, tempat spektrumnya diteruskan hampir seluruhnya), lalu kuning, jingga, dan merah. Orde kedua dan ketiga paling terang, dengan biru, hijau, kuning, dan magenta yang cerah. Melewati orde keempat warnanya memudar: bila $\Delta$ berpuluh-puluh panjang gelombang, faktor $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ berosilasi beberapa kali melintasi spektrum tampak, meneruskan setiap warna secara bergiliran dan, rata-rata, setengah cahaya: butir tampak abu-abu kemerahan atau kehijauan pucat, putih orde tinggi kalsit.

Membaca bagan adalah inti mineralogi optik. Pada sayatan dengan tebal yang diketahui, warna tertinggi yang ditunjukkan suatu mineral memberi birefringensinya: ikuti tebal itu ke warnanya, lalu garis melalui titik itu kembali ke birefringensinya. Sebaliknya, mineral dengan birefringensi yang diketahui memberi tebalnya: pada sayatan $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ yang baik, kuarsa tidak pernah menunjukkan lebih dari putih orde pertama atau kuning paling pucat, dan sayatan yang kuarsanya tampak kuning atau jingga terlalu tebal.

Sejarah — Auguste Michel-Lévy

Auguste Michel-Lévy (1844–1911), yang menjadi direktur Survei Geologi Prancis, termasuk yang pertama mengidentifikasi mineral dalam batuan secara sistematis dengan mikroskop polarisasi. Sebelum dia, warna mineral di antara polarisator silang dipakai secara empiris; dia menunjukkan bahwa yang penting adalah birefringensi maksimum tiap mineral, yang dapat diukur dengan mencocokkan warna butirnya terhadap baji kuarsa yang retardasinya tumbuh secara mantap sepanjang panjangnya. Bersama muridnya Alfred Lacroix, pada 1888 dia menerbitkan Les minéraux des roches, buku pegangan sifat optik mineral pembentuk batuan. Bagan yang menyandang namanya, warna terhadap retardasi dengan garis birefringensi yang sama, masih menjadi cara membaca warna interferensi.

Dua gelombang yang keluar dari suatu butir dapat diberi retardasi tambahan yang diketahui oleh keping pelengkap yang diletakkan di atas sayatan pada $45{}^{\circ}$ terhadap polarisator. Yang paling umum dipotong untuk memperlihatkan merah orde pertama, retardasi sekitar $540\,\mathrm{nm}$. Bila arah getar lambat butir sejajar arah lambat keping, tundanya bertambah dan warna butir naik sekitar satu orde; bila sejajar arah cepat, keduanya saling mengurangi dan warnanya turun. Butir kelabu orde pertama sebesar $100\,\mathrm{nm}$ menjadi biru orde kedua ($640\,\mathrm{nm}$) pada satu orientasi dan jingga orde pertama ($440\,\mathrm{nm}$) pada orientasi lain; uji ini menunjukkan arah getar mana dari dua arah getar butir yang lambat, sifat yang dipakai untuk mengidentifikasi mineral berbentuk memanjang.

8.4 Mengidentifikasi mineral dalam sayatan tipis

Definisi 8.13 (Kembaran, kembaran polisintetik)

Sebuah kembaran adalah pertumbuhan bersama dari dua kristal atau lebih dari mineral yang sama yang kisinya berhubungan oleh simetri yang tidak dimiliki kristal itu sendiri, seperti pencerminan melalui suatu bidang (bidang kembaran). Kembaran polisintetik adalah kembaran berulang pada bidang-bidang sejajar, yang membagi kristal menjadi lamel-lamel sejajar yang tipis dengan orientasi bergantian.

Di antara polarisator silang lamel-lamel kembaran polisintetik padam bergantian: separuhnya gelap ketika separuh lainnya terang, dan kristal tampak bergaris. Plagioklas hampir selalu memperlihatkan garis-garis ini, yang membedakannya seketika dari kuarsa dan feldspar alkali; ciri lainnya, relief rendah dan warna kelabu hingga putih orde pertama, ia miliki bersama mereka. Sudut pemadaman kedua himpunan lamel, diukur di kedua sisi bidang kembaran, bergantung pada komposisi plagioklas, dan bagan sudut itu memberikan kandungan anortitnya.

Metode 8.14 (Mengidentifikasi mineral dalam sayatan tipis)

1. Dalam cahaya terpolarisasi bidang: catat apakah butir itu opak; warna dan pleokroismenya (putar meja); reliefnya, dan di sisi mana dari $1.54$ indeksnya berada (garis Becke); bentuk dan belahannya, serta sudut antara dua belahan.
2. Di antara polarisator silang: periksa apakah ia tetap gelap (isotropik, atau penampang tegak lurus sumbu optik); di antara butir mineral yang sama, carilah warna interferensi tertinggi dan bacalah birefringensi pada diagram Michel-Lévy untuk tebal sayatan.
3. Ukur sudut pemadaman pada butir yang memperlihatkan belahan atau pemanjangan; carilah kembaran (garis polisintetik, kembaran sederhana).
4. Bandingkan dengan tabel sifat optik (Table 8.1) dan dengan mineral yang dapat dikandung batuan (Bab 7).

mineral	warna (PPL)	indeks	birefringensi	warna tertinggi pada $30\,\text{µ}\mathrm{m}$	ciri lain
kuarsa	tak berwarna	1.544–1.553	0.009	putih orde pertama	tanpa belahan; tanpa kembaran terlihat; uniaksial
ortoklas	tak berwarna, sering keruh	1.518–1.525	0.005	kelabu orde pertama	relief negatif; kembaran sederhana
plagioklas	tak berwarna	1.526–1.590	0.008–0.013	putih hingga kuning pucat orde pertama	kembaran polisintetik
muskovit	tak berwarna	1.552–1.618	0.035–0.042	orde kedua hingga ketiga yang cerah	satu belahan sempurna; pemadaman lurus
biotit	cokelat, hijau	1.565–1.696	0.04–0.07	tertutup oleh warnanya sendiri	pleokroisme kuat; satu belahan sempurna
hornblende	hijau, cokelat	1.675–1.695	0.020	biru orde kedua	pleokroik; belahan pada $56{}^{\circ}$/$124{}^{\circ}$; pemadaman $15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$
diopsid	tak berwarna	1.664–1.694	0.030	kuning orde kedua	belahan pada sekitar $87{}^{\circ}$/$93{}^{\circ}$; pemadaman sekitar $38{}^{\circ}$
olivin	tak berwarna (Mg) hingga kuning pucat (Fe)	1.635–1.879	0.035–0.052	ujung orde kedua hingga orde ketiga	relief tinggi; retakan tak beraturan, tanpa belahan baik
garnet	tak berwarna hingga merah muda pucat	1.830 (almandin)	isotropik	hitam	relief sangat tinggi; garis tepi enam atau delapan sisi
kalsit	tak berwarna	1.486–1.658	0.172	putih orde tinggi	relief berubah ketika diputar; belahan rombohedral
magnetit	opak	—	—	—	hitam dalam kedua cahaya

Di laboratorium — Sesi di mikroskop

Seorang petrolog yang mendeskripsikan sayatan tipis baru mengerjakannya pertama dengan pembesaran rendah, untuk melihat tekstur dan mineral utama, lalu butir demi butir. Untuk setiap mineral ia mencatat pengamatan dengan metode di atas, memperkirakan proporsinya di lapangan, dan mencatat bagaimana butir-butirnya bersentuhan: mana yang mengkristal lebih dulu, mana yang mengisi ruang yang tersisa, mana yang menggantikan yang lain. Pengukuran cahaya dilakukan dengan meja berskala derajat dan keping pelengkap; komposisi, bila penting, diukur kemudian dengan mikroprobe pada sayatan yang sama. Laboratorium pengajaran bekerja dengan cara yang sama, satu mikroskop per mahasiswa dan sekotak sayatan acuan mineral yang diketahui di sampingnya.

8.5 Latihan

Latihan 8.1 ★

Hitunglah retardasi terbesar kuarsa ($\delta = 0.009$) dan kalsit ($\delta = 0.172$) dalam sayatan setebal $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Dengan diagram Michel-Lévy, gambarkan warna masing-masing.

Solusi

Solusi Latihan 8.1.

Kuarsa: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$, putih orde pertama. Kalsit: $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.172 = 5160\,\mathrm{nm}$, jauh di luar bagan: putih orde tinggi yang pucat, sedikit merah muda atau hijau.

Latihan 8.2 ★

Sebuah butir diputar pada meja di antara polarisator silang. Hitunglah $I/I_0$, sebagai pecahan dari maksimumnya, pada $\theta = 0$, $22.5{}^{\circ}$, $45{}^{\circ}$, $67.5{}^{\circ}$ dan $90{}^{\circ}$ dari posisi pemadaman.

Solusi

Solusi Latihan 8.2.

$I/I_{\max} = \sin^2 2\theta$: $0$ pada $0{}^{\circ}$; $\sin^245{}^{\circ} = 0.5$ pada $22.5{}^{\circ}$; $1$ pada $45{}^{\circ}$; $0.5$ pada $67.5{}^{\circ}$; $0$ pada $90{}^{\circ}$.

Latihan 8.3 ★

Jelaskan mengapa garnet tetap hitam di antara polarisator silang apa pun posisi mejanya, dan mengapa butir kuarsa mungkin melakukan hal yang sama. Bagaimana kedua mineral itu dibedakan dalam cahaya terpolarisasi bidang?

Solusi

Solusi Latihan 8.3.

Garnet bersifat kubik, sehingga isotropik: cahaya meninggalkannya bergetar seperti ketika masuk, sepanjang polarisator, dan analisator menghentikannya; $\Delta = 0$ pada setiap posisi. Butir kuarsa yang dipotong tegak lurus sumbu optiknya juga memiliki $n_1 = n_2$ untuk cahaya yang merambat sepanjang sumbu itu, sehingga $\Delta = 0$: ia pun tetap gelap. Dalam cahaya terpolarisasi bidang garnet memiliki relief sangat tinggi ($1.83$ terhadap $1.54$), kuarsa hampir tanpa relief.

Latihan 8.4 ★

Urutkan menurut relief, dalam pemasang berindeks $1.54$, ortoklas ($n$ sekitar $1.52$), kuarsa ($1.55$), forsterit ($1.65$), dan almandin ($1.83$). Yang mana memiliki relief negatif? Ke arah mana garis Becke-nya bergerak ketika fokus dinaikkan?

Solusi

Solusi Latihan 8.4.

$|n - 1.54|$: almandin $0.29$, forsterit $0.11$, ortoklas $0.02$, kuarsa $0.01$; relief dalam urutan itu, dari yang tertinggi ke yang terendah. Ortoklas memiliki indeks yang lebih rendah: relief negatif, dan garis Becke-nya bergerak keluar dari butir, ke dalam pemasang, ketika fokus dinaikkan.

Latihan 8.5 ★★

Pada sayatan $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, butir-butir mineral hijau pleokroik dengan dua belahan pada $56{}^{\circ}$ dan $124{}^{\circ}$ hanya menunjukkan biru orde kedua paling tinggi, dibaca pada bagan sebagai $\Delta = 650\,\mathrm{nm}$. Hitunglah birefringensinya dan namai mineral itu dengan Table 8.1.

Solusi

Solusi Latihan 8.5.

$\delta = 650/30000 = 0.022$. Mineral hijau pleokroik dengan belahan pada $56{}^{\circ}$ dan $124{}^{\circ}$ dan birefringensi sekitar $0.020$: hornblende.

Latihan 8.6 ★★

Dengan memakai Proposisi 8.6 dengan $n_m = 1.54$ dan $i = 30{}^{\circ}$, hitunglah deviasi di tepi butir kuarsa ($n = 1.553$) dan butir forsterit ($n = 1.651$), dalam derajat, dan perbandingan keduanya. Periksa yang kedua dengan hukum Snell secara tepat.

Solusi

Solusi Latihan 8.6.

$\tan30{}^{\circ} = 0.5774$. Untuk kuarsa: $(0.013/1.54)\times0.5774 = 0.004\,87\,\mathrm{rad} = 0.28{}^{\circ}$. Untuk forsterit: $(0.111/1.54)\times0.5774 = 0.0416\,\mathrm{rad} = 2.38{}^{\circ}$. Perbandingan $0.111/0.013 = 8.5$. Secara tepat: $\sin r = 1.54\sin30{}^{\circ}/1.651 = 0.4664$, $r = 27.80{}^{\circ}$, deviasi $2.20{}^{\circ}$: rumus orde pertama melebih-lebihkan sebesar $8\,\%$ untuk selisih indeks yang sebesar ini.

Latihan 8.7 ★★

Sebuah keping merah orde pertama memiliki $\Delta = 540\,\mathrm{nm}$. Sebuah butir kuarsa dengan $\Delta = 270\,\mathrm{nm}$ diletakkan pada $45{}^{\circ}$ dengan keping dimasukkan. Berapakah kedua retardasi total yang mungkin, dan warna yang diberikannya pada bagan? Orientasi mana yang membuat kedua arah lambat sejajar?

Solusi

Solusi Latihan 8.7.

$270 + 540 = 810\,\mathrm{nm}$, orde kedua hijau, bila arah lambat butir dan keping sejajar (tundanya bertambah); $|270 - 540| = 270\,\mathrm{nm}$, putih orde pertama lagi, bila arah lambat butir sejajar arah cepat keping.

Latihan 8.8 ★★

Pada tepinya yang meruncing, sebuah butir fayalit ($\delta = 0.052$) menipis dari $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ hingga nol. Berapa rona merah-ungu, yang mengakhiri orde pada 542, 1074 dan $1605\,\mathrm{nm}$, muncul sebagai pita berwarna di antara tepi dan bagian tebal penuh butir?

Solusi

Solusi Latihan 8.8.

Pada tebal penuh $\Delta = 30\,000\,\mathrm{nm}\times0.052 = 1560\,\mathrm{nm}$. Dari tepi ($\Delta = 0$) ke dalam, retardasi melewati 542 dan $1074\,\mathrm{nm}$ tetapi tidak $1605\,\mathrm{nm}$: dua pita merah-ungu.

Latihan 8.9 ★★

Pada beberapa butir memanjang dengan satu belahan baik, seorang ahli geologi mengukur sudut pemadaman $0{}^{\circ}$, $21{}^{\circ}$, $36{}^{\circ}$ dan $37{}^{\circ}$ antara jejak belahan dan arah getar lambat. Mengapa nilainya berbeda? Apakah mineral itu lebih mungkin diopsid atau hornblende?

Solusi

Solusi Latihan 8.9.

Sudut pemadaman yang diukur pada sebuah butir bergantung pada bagaimana butir itu dipotong: hanya penampang dengan orientasi tertentu yang menunjukkan sudut terbesar, dan yang lain menunjukkan lebih sedikit, sampai nol. Nilai terbesar, sekitar $37{}^{\circ}$, adalah yang dibandingkan: ia cocok dengan diopsid (sekitar $38{}^{\circ}$), bukan hornblende (paling tinggi $19{}^{\circ}$).

Latihan 8.10 ★★★

Ulangi pembuktian Teorema 8.10 dengan analisator sejajar polarisator, dan tunjukkan bahwa $I_\parallel = I_0\bigl(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda)\bigr)$. Warna apa yang ditunjukkan butir $\Delta = 550\,\mathrm{nm}$ pada $45{}^{\circ}$ di antara polarisator sejajar?

Solusi

Solusi Latihan 8.10.

Dengan analisator sepanjang $x$, komponen $x$ dari kedua gelombang adalah $E_0\cos\theta\cdot\cos\theta$ dan $-E_0\sin\theta\,e^{-i\varphi}\cdot(-\sin\theta)$, sehingga $A = E_0(\cos^2\theta + \sin^2\theta\,e^{-i\varphi})$ dan

$$|A|^2 = E_0^2\bigl(\cos^4\theta + \sin^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi\bigr) = E_0^2\bigl(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta\,(1 - \cos\varphi)\bigr),$$

menggunakan $\cos^4\theta + \sin^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$. Karena $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac12\sin^2 2\theta$ dan $1 - \cos\varphi = 2\sin^2(\varphi/2)$, $I_\parallel = I_0(1 - \sin^2 2\theta\sin^2(\pi\Delta/\lambda))$. Pada setiap panjang gelombang, $I_\parallel + I_\perp = I_0$: warna di antara polarisator sejajar adalah komplemen dari warna di antara polarisator silang. Butir $550\,\mathrm{nm}$, magenta di antara polarisator silang, tampak hijau kekuningan pucat di antara polarisator sejajar.

Latihan 8.11 ★★★

Untuk sebuah butir kalsit dengan $\Delta = 5000\,\mathrm{nm}$, faktor $\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$ menghilang setiap kali $\Delta/\lambda$ adalah bilangan bulat. (a) Berapa kali ia menghilang antara $400$ dan $700\,\mathrm{nm}$? (b) Tunjukkan bahwa di dekat $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ dua nol berturut-turut berjarak sekitar $\lambda^2/\Delta$, dan hitunglah. (c) Jelaskan mengapa butir itu tampak hampir putih.

Solusi

Solusi Latihan 8.11.

(a) $\Delta/\lambda$ berjalan dari $5000/700 = 7.14$ hingga $5000/400 = 12.5$; ia melewati bilangan bulat 8 sampai 12: lima nol. (b) Nol-nolnya berada pada $\lambda_k = \Delta/k$; dua yang berurutan berjarak $\Delta/k - \Delta/(k + 1) = \Delta/(k(k + 1)) \approx \lambda^2/\Delta$, yaitu $550^2/5000 = 60.5\,\mathrm{nm}$ dekat $550\,\mathrm{nm}$. (c) Lima pita gelap sempit yang tersebar di spektrum menghilangkan sedikit dari setiap warna, dan sisanya diteruskan dengan bobot rata-rata setengah: mata melihat rona pucat yang hampir netral.

Latihan 8.12 ★★★

Tunjukkan bahwa, dirata-ratakan atas satu putaran penuh meja, butir di antara polarisator silang meneruskan $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Seorang ahli geologi memperkirakan birefringensi dari warna tertinggi setiap mineral, dengan menganggap $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, pada sayatan yang sebenarnya setebal $25\,\text{µ}\mathrm{m}$. Dengan faktor berapakah semua nilainya keliru, dan ke arah mana?

Solusi

Solusi Latihan 8.12.

Rata-rata $\sin^2 2\theta$ atas satu putaran adalah $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\, \mathrm d\theta = \frac12$, sehingga intensitas rata-ratanya adalah $\frac12 I_0\sin^2(\pi\Delta/\lambda)$. Dia menghitung $\delta = \Delta/30000$ bukan $\Delta/25000$ (dalam nm): semua nilainya adalah $25/30 = 0.83$ dari yang benar, terlalu rendah sebesar $17\,\%$.

8.6 Soal: Mengidentifikasi mineral sayatan tipis tak dikenal

Soal 8.1

Soal akhir pekan — mengamati relief, pleokroisme dan warna interferensi, mengukur tebal sayatan dengan kuarsa, dan menamai mineralnya

Sebuah sayatan tipis batuan beku tak dikenal, dipasang dalam resin berindeks $1.540$, dikatakan setebal $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Ia mengandung lima mineral, diberi label A sampai E. Gunakan tabel sifat optik bab ini, diagram Michel-Lévy, dan nilai-nilai berikut: kuarsa $n_\omega = 1.544$, $n_\varepsilon = 1.553$; diopsid $n_\alpha = 1.664$, $n_\beta = 1.672$, $n_\gamma = 1.694$.

Bagian I — Cahaya terpolarisasi bidang.

1. Mineral A tak berwarna, dengan batas butir sulit dilihat. Mineral B tak berwarna, dengan tepi gelap tebal dan dua belahan yang bertemu pada sekitar $87{}^{\circ}$. Yang mana memiliki relief lebih tinggi?
2. Untuk A, dianggap kuarsa, dan B, dianggap diopsid, hitunglah $|n - n_m|$ dengan memakai rata-rata indeks utama masing-masing.
3. Dengan memakai Proposisi 8.6, hitunglah perbandingan deviasi di tepi mereka untuk gradien batas yang sama.
4. Ketika fokus dinaikkan, garis Becke dari B bergerak ke dalam butir. Apa yang ditunjukkan ini?
5. Mineral C berubah dari kuning pucat menjadi cokelat gelap ketika meja berputar, paling gelap ketika belahan tunggalnya sejajar polarisator. Sebutkan sifatnya dan mineralnya.
6. Mineral D tak berwarna, dengan relief rendah, dalam bilah panjang; E hijau hingga kuning dan pleokroik, dengan dua belahan pada $124{}^{\circ}$. Apa yang disarankan sudut itu untuk E?

Bagian II — Tebal sayatan.

7. Berapakah retardasi terbesar kuarsa dalam sayatan persis $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? Warna apa yang ditunjukkannya?
8. Mengapa retardasi terbesar harus dicari di antara banyak butir A, bukan diukur pada salah satu dari mereka?
9. Warna tertinggi yang ditunjukkan butir-butir A adalah kuning pucat orde pertama; komparator baji kuarsa memberikan retardasinya sebagai $342\,\mathrm{nm}$. Hitunglah tebal sebenarnya sayatan.
10. Dengan berapa persen sayatan itu lebih tebal daripada seharusnya?
11. Pada $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ dan $45{}^{\circ}$ dari pemadaman, hitunglah $I/I_0$ untuk butir kuarsa ini, dan untuk butir yang sama dalam sayatan setebal $30\,\text{µ}\mathrm{m}$.
12. Hitunglah rentang retardasi D, dianggap plagioklas ($\delta = 0.008$ sampai $0.013$), dalam sayatan ini, dan katakan apakah warnanya tetap di orde pertama.

Bagian III — Birefringensi B.

13. Warna tertinggi B adalah biru yang dibaca sebagai $\Delta = 1140\,\mathrm{nm}$. Dalam orde berapakah ia?
14. Hitunglah birefringensi B dengan tebal yang ditemukan pada soal 9.
15. Birefringensi apa yang akan ditemukan bila dianggap $30\,\text{µ}\mathrm{m}$? Mineral tak berwarna berelief tinggi mana yang akan disarankannya, dan mengapa ia tidak cocok dalam batuan dengan kuarsa (pertimbangkan $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$)?
16. Bandingkan hasil soal 14 dengan tabel, bersama dengan relief dan belahan B, dan simpulkan.
17. Warna apa yang paling tinggi ditunjukkan B dalam sayatan $30\,\text{µ}\mathrm{m}$ yang benar?
18. Sayatan itu digerinda hingga $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Berapa banyak ia harus ditipiskan, dan berapakah warna tertinggi kuarsa kemudian?

Bagian IV — Pemadaman dan kembaran.

19. Lath D terbagi menjadi garis-garis sejajar yang padam bergantian. Sebutkan ciri itu dan mineralnya.
20. Garis-garis satu bilah padam pada $27{}^{\circ}$ dan $28{}^{\circ}$ di kedua sisi bidang kembaran. Apa yang diberikan sudut-sudut seperti itu, yang diukur pada banyak bilah, bila dibandingkan dengan bagan yang diterbitkan?
21. Sudut pemadaman tertinggi antara belahan E dan arah getar lambatnya adalah $17{}^{\circ}$. Namai E.
22. Hitunglah retardasi terbesar E dalam sayatan ini dan warna yang ditunjukkannya.
23. Sebuah butir B tetap gelap selama satu putaran penuh. Jelaskan bagaimana ia dapat merupakan mineral yang sama dengan butir B yang terang.
24. Daftarkan mineral A sampai E, dan katakan jenis batuan apa yang mereka bentuk.
25. Berapakah tebal sebenarnya sayatan, dalam mikrometer?

Solusi

Solusi Soal 8.1.

1. B: tepi gelap menandakan relief tinggi; batas A yang nyaris tak terlihat menandakan relief rendah.

2. A: $(1.544 + 1.553)/2 = 1.5485$, $|n - n_m| = 0.0085$. B: $(1.664 + 1.672 + 1.694)/3 = 1.6767$, $|n - n_m| = 0.1367$.

3. Deviasi sebanding dengan $|n - n_m|$: $0.1367/0.0085 = 16.1$.

4. B memiliki indeks yang lebih tinggi daripada pemasang: relief positif.

5. Pleokroisme; biotit.

6. Dua belahan pada $56{}^{\circ}$ dan $124{}^{\circ}$: sebuah amfibol.

7. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.009 = 270\,\mathrm{nm}$: putih orde pertama.

8. Setiap butir dipotong dengan orientasinya sendiri dan menunjukkan nilai $|n_1 - n_2|$ antara 0 dan $\delta$; hanya butir yang dipotong sejajar sumbu optik yang menunjukkan $\delta$ itu sendiri. Warna tertinggi di antara banyak butir adalah yang dipakai.

9. $d = 342/0.009 = 38\,000\,\mathrm{nm} = 38\,\text{µ}\mathrm{m}$.

10. $(38 - 30)/30 = 26.7\,\%$.

11. $\sin^2(\pi\times342/550) = 0.861$; pada $30\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin^2(\pi\times270/550) = 0.999$.

12. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.008 = 304\,\mathrm{nm}$ hingga $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.013 = 494\,\mathrm{nm}$: putih hingga jingga-merah, semuanya di bawah akhir orde pertama pada $542\,\mathrm{nm}$.

13. Antara 1074 dan $1605\,\mathrm{nm}$: orde ketiga.

14. $\delta = 1140/38000 = 0.030$.

15. $1140/30000 = 0.038$, yang akan menyarankan olivin. Olivin kaya magnesium dan kuarsa bereaksi menghasilkan piroksen, $\ce{Mg2SiO4 + SiO2 -> 2 MgSiO3}$; batuan yang telah mengkristal dengan kuarsa tidak seharusnya memiliki keduanya.

16. $0.030$ adalah birefringensi diopsid; relief tingginya, ketiadaan warnanya, dan dua belahannya di dekat $87{}^{\circ}$ cocok: B adalah klinopiroksen, diopsid.

17. $30\,000\,\mathrm{nm}\times0.030 = 900\,\mathrm{nm}$: kuning orde kedua.

18. Dengan menipiskan hingga $8\,\text{µ}\mathrm{m}$; kuarsa kemudian paling tinggi menunjukkan $270\,\mathrm{nm}$, putih orde pertama.

19. Kembaran polisintetik: D adalah plagioklas.

20. Komposisi plagioklas (kandungan anortitnya).

21. Sebuah amfibol dengan sudut pemadaman $17{}^{\circ}$: hornblende ($15{}^{\circ}$–$19{}^{\circ}$), bukan piroksen ($38{}^{\circ}$ untuk diopsid).

22. $38\,000\,\mathrm{nm}\times0.020 = 760\,\mathrm{nm}$: hijau orde kedua.

23. Ia dipotong tegak lurus sumbu optik: kedua indeksnya sama untuk cahaya yang merambat sepanjang sumbu itu, $\Delta = 0$, dan ia tetap gelap seperti butir isotropik.

24. A kuarsa, B diopsid, C biotit, D plagioklas, E hornblende: batuan beku menengah dengan sedikit kuarsa, seperti diorit kuarsa.

25. Sayatan itu setebal $38\,\text{µ}\mathrm{m}$.