1El medio interestelar y la formación de estrellas

En la constelación de Tauro, a unos $140\,\mathrm{pc}$ del Sol, una mancha oscura tapa las estrellas que hay detrás. Vista con un radiotelescopio sintonizado en las líneas del monóxido de carbono, la mancha es una nube de gas frío de una masa unas veinte mil veces la del Sol, surcada de filamentos; dentro de sus nudos más densos están naciendo estrellas, y alrededor de una de ellas, HL Tauri, un disco de polvo muestra un dibujo de anillos brillantes y oscuros donde quizá ya se estén formando planetas. El Sol, la Tierra y cada átomo de las rocas de este libro estuvieron una vez en una nube así. Este capítulo sigue la materia de un sistema planetario desde el gas tenue entre las estrellas hasta un disco alrededor de una estrella recién nacida: de qué está hecho el medio interestelar, por qué llega a colapsar una nube sostenida por su propio calor, cuánto dura el colapso, cómo reúne una estrella su masa y por qué la materia que no cae en ella acaba en un disco.

Lo que ya sabes

Una estrella de la secuencia principal brilla fusionando hidrógeno en helio en su núcleo y se sostiene por su presión frente a su propio peso; su posición en el diagrama de Hertzsprung–Russell la fija su masa (física, tercer año universitario). Un cuerpo en órbita cerrada alrededor de una masa $M$ cumple la tercera ley de Kepler, $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (física, primer año universitario). Un cuerpo negro de temperatura $T$ emite $\sigma T^4$ por unidad de área (física, segundo año universitario). En un gas ideal de $N$ partículas la energía cinética media de traslación es $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. El pársec, $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, es la unidad de distancia del volumen de primer año.

1.1 La materia entre las estrellas

El espacio entre las estrellas no está vacío. Cerca del Sol contiene en promedio un átomo de hidrógeno por centímetro cúbico, una densidad de masa de $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$; el aire que respiramos contiene unas $10^{19}$ veces más moléculas en el mismo volumen (Ejercicio 1.1). Repartida por la Galaxia, esta materia tenue supone aun así un $10\text{ a }15\,\%$ de la masa del disco galáctico.

Definición 1.1 (Medio interestelar, polvo interestelar)

El medio interestelar es el gas y el polvo que llenan el espacio entre las estrellas de una galaxia. El polvo interestelar es la parte que está en granos sólidos, de unos pocos nanómetros a cerca de un micrómetro de tamaño, hechos de silicatos, compuestos de carbono y, en las regiones frías, hielos.

Su composición es la que se mide en el Sol y en los meteoritos: en masa, $70.4\,\%$ de hidrógeno, $28.1\,\%$ de helio y $1.5\,\%$ de elementos más pesados. Solo un $0.5\text{ a }1\,\%$ de la masa está en el polvo, y sin embargo el polvo retiene la mayor parte de algunos elementos: el gas es más pobre que el Sol en magnesio, silicio y hierro por factores de 10 a 100, porque esos átomos están encerrados en los granos, mientras que el carbono, el nitrógeno y el oxígeno solo están empobrecidos por factores de 1.2 a 3. Los granos son los primeros sólidos de un futuro sistema planetario; el Capítulo 2 los sigue.

1.1.1 Cinco fases

El gas dista mucho de ser uniforme. Se presenta en unos pocos estados distintos, o fases, cada uno con su propio intervalo de temperatura y de densidad (tabla siguiente). Cerca de la mitad de su masa está en nubes que ocupan solo un $1\text{ a }2\,\%$ del volumen; el resto, templado o caliente, llena el espacio entre ellas.

fase	temperatura (K)	densidad $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$)
molecular	10–20	$10^2$–$10^6$
atómica fría	50–100	20–50
atómica templada	6000–10 000	0.2–0.5
ionizada templada	unos 8000	0.2–0.5
ionizada caliente	unos $10^6$	unos 0.0065

La tabla esconde una regularidad. La presión de un gas ideal es $P = n k_{\mathrm B} T$, de modo que el producto $nT$ la mide. Para el gas atómico frío $nT$ vale unos $30\times75 \approx 2000$ (en $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$), para el gas atómico templado unos $0.3\times8000 \approx 2400$, para el gas caliente unos $0.0065\times10^6 = 6500$: salvo un factor de unas pocas unidades, las tres fases que comparten el espacio entre las nubes están a la misma presión (figura siguiente). Donde un gas caliente y uno frío se tocan a igual presión, ninguno empuja al otro; un gas que se enfría a presión constante se vuelve más denso en proporción y pasa de la fase templada a la fría. Las nubes moleculares alcanzan presiones mucho más altas, hasta miles de veces mayores en sus partes densas: las mantiene unidas su propia gravedad, no la presión de su entorno.

El polvo se manifiesta de tres maneras. Atenúa la luz de las estrellas que hay detrás, y atenúa más la luz azul que la roja, de modo que las estrellas vistas a través de él parecen más rojas de lo que son. Brilla en el infrarrojo lejano y en longitudes de onda milimétricas, a la temperatura de unas pocas decenas de kelvin a la que lo calienta la luz estelar. Y oculta a los telescopios ópticos todo lo que hay dentro de una nube densa, razón por la cual la formación estelar se observa en longitudes de onda de radio e infrarrojas. El gas se rastrea por sus líneas: el hidrógeno atómico por su línea de radio de $21\,\mathrm{cm}$, el hidrógeno molecular, que apenas radia cuando está frío, por las líneas de las moléculas que lo acompañan, la primera de ellas el monóxido de carbono.

1.2 Nubes moleculares

La fase más fría y densa es donde se forman las estrellas.

Definición 1.2 (Nube molecular, núcleo denso)

Una nube molecular es una región del medio interestelar lo bastante densa y opaca para que su hidrógeno esté sobre todo en moléculas, $\ce{H2}$, protegidas por el polvo de la luz ultravioleta de las estrellas que las rompería; su temperatura es de unos $10\,\mathrm{K}$ a $20\,\mathrm{K}$. Un núcleo denso es una condensación compacta dentro de una nube molecular, de unas pocas décimas de pársec de diámetro o menos, con densidades de $10^4$ a $10^5$ partículas por centímetro cúbico, a partir de la cual se forma una sola estrella o un pequeño grupo de estrellas.

Las nubes se organizan en una jerarquía (tabla siguiente). Una nube oscura como Tauro contiene grumos, y los grumos contienen núcleos, cada nivel más denso, más pequeño y más tranquilo que el anterior: en un núcleo el gas se mueve como mucho a unas pocas décimas de kilómetro por segundo, la velocidad del sonido en un gas a $10\,\mathrm{K}$. La región de Tauro cartografiada en monóxido de carbono contiene unas $2.4 \times 10^{4}$ masas solares de gas; solo un $0.3\text{ a }1.2\,\%$ se ha convertido en las estrellas jóvenes que se ven allí, a un ritmo de unas ocho estrellas cada cien mil años durante los últimos tres millones de años. La formación estelar es lenta y derrochadora.

	nubes oscuras	grumos	núcleos densos
masa (masas solares)	$10^3$–$10^4$	50–500	0.5–5
tamaño (pc)	2–15	0.3–3	0.03–0.2
densidad media ($\mathrm{cm}^{-3}$)	50–500	$10^3$–$10^4$	$10^4$–$10^5$
temperatura del gas (K)	unos 10	10–20	8–12
ejemplos	Tauro, Musca	—	L1544, B68

¿Por qué son tan frías las nubes? El gas pierde energía emitiendo fotones que escapan, y las moléculas son emisoras eficaces: una colisión eleva una molécula de monóxido de carbono a un nivel de rotación superior, la molécula vuelve a caer emitiendo un fotón de longitud de onda milimétrica, y el fotón sale de la nube llevándose la energía de la colisión. El polvo, calentado por la débil luz estelar que entra, radia en el infrarrojo lejano. El calentamiento, por los rayos cósmicos y por la luz estelar filtrada por el polvo, es débil; el balance se estabiliza cerca de $10\,\mathrm{K}$. En un gas así la presión térmica es pequeña, y la gravedad puede imponerse.

1.3 El colapso gravitatorio

Una nube es un equilibrio entre dos energías: la energía térmica de su gas, que empuja hacia fuera, y su energía gravitatoria, que tira hacia dentro. La segunda crece con la masa más deprisa que la primera; por encima de cierta masa, la gravedad se impone.

Proposición 1.3 (Energía gravitatoria de una esfera uniforme)

Una esfera de densidad uniforme, de masa $M$ y radio $R$, tiene la energía potencial gravitatoria

$$U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.$$

Un cuerpo autogravitante en equilibrio cumple el teorema del virial: en promedio temporal, el doble de su energía cinética más su energía gravitatoria es cero, $2K + U = 0$ (física, tercer año universitario, donde se deduce de las ecuaciones del movimiento). Para una nube en reposo, $K$ es la energía térmica de sus partículas. Si $2K > |U|$ el gas se expande; si $2K < |U|$ la gravedad no tiene equilibrio que la contrarreste y la nube se contrae.

Proposición 1.4 (Criterio de Jeans)

Una nube uniforme e isoterma de temperatura $T$ y densidad $\rho$, formada por partículas de masa media $\mu m_u$, colapsa bajo su propia gravedad si su masa supera la masa de Jeans

$$M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},$$

o, de forma equivalente, si su radio supera la longitud de Jeans

$$R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.$$

Este es el criterio de Jeans.

Definición 1.5 (Masa de Jeans, longitud de Jeans)

La masa de Jeans $M_J$ y la longitud de Jeans $R_J$ de un gas de temperatura y densidad dadas son la masa y el radio por encima de los cuales una esfera uniforme de ese gas colapsa bajo su propia gravedad (Proposición 1.4).

La masa de Jeans crece como $T^{3/2}$ y disminuye como $\rho^{-1/2}$: el gas frío y denso es el que colapsa con más facilidad. En una nube molecular la masa media por partícula es $\mu = 2.33$ unidades de masa atómica, hidrógeno molecular con un átomo de helio por cada cinco moléculas aproximadamente. A $10\,\mathrm{K}$ y $10^4$ partículas por centímetro cúbico, $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $M_J = 5.5$ masas solares, dentro de una longitud de Jeans de $0.13\,\mathrm{pc}$: la masa y el tamaño de un núcleo denso. A la densidad media de una nube oscura, $100$ partículas por centímetro cúbico, la masa de Jeans es diez veces mayor, 55 masas solares, y una nube de $24\,000$ masas solares como Tauro contiene cientos de ellas (figura siguiente).

Una nube que empieza a colapsar se vuelve más densa, y su masa de Jeans disminuye como $\rho^{-1/2}$ mientras sigue fría, cosa que hace mientras pueda radiar el calor de compresión. Algunas partes de la nube se vuelven entonces inestables por sí solas y colapsan por separado: la nube se fragmenta. Por eso las estrellas se forman en grupos y por eso sus masas son pequeñas comparadas con las de las nubes que las originan. La fragmentación se detiene cuando el gas se vuelve demasiado denso para dejar escapar su radiación: el calor de compresión queda atrapado, la temperatura sube y la masa de Jeans deja de disminuir.

¿Cuánto dura un colapso? Si la presión es despreciable, cada capa de la nube cae libremente hacia el centro.

Proposición 1.6 (Tiempo de caída libre)

Una esfera uniforme de densidad $\rho$, inicialmente en reposo y sin presión, colapsa hasta su centro en el tiempo

$$t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},$$

independiente de su radio.

Definición 1.7 (Tiempo de caída libre)

El tiempo de caída libre de un gas de densidad $\rho$ es $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$, el tiempo que tardaría en colapsar una esfera uniforme de esa densidad bajo su propia gravedad únicamente.

Para un núcleo denso de $10^4$ partículas por centímetro cúbico el tiempo de caída libre es de $0.34\,\mathrm{Myr}$; para toda una nube oscura de $10^2$, $3.4\,\mathrm{Myr}$. Si todas las nubes moleculares de la Galaxia colapsaran en un tiempo de caída libre y se convirtieran en estrellas, la Galaxia formaría estrellas mucho más deprisa de lo que lo hace: en Tauro, el gas convertido realmente en estrellas durante los últimos tres millones de años es cerca de un uno por ciento de la nube. Las nubes se ven frenadas por movimientos turbulentos y por campos magnéticos que la fracción ionizada del gas arrastra consigo, y la mayor parte de su gas lo dispersan los vientos y la luz de las primeras estrellas masivas antes de que pueda colapsar: de ahí la baja eficiencia medida en Tauro.

Historia — James Jeans

James Jeans (1877–1946) publicó en 1902 el análisis de la estabilidad de un gas bajo su propia gravedad del que proceden la masa y la longitud de Jeans. Estudió el crecimiento de pequeñas ondas de densidad en un gas uniforme infinito y halló que las ondas más largas que una longitud crítica no son frenadas por la presión sino que crecen: el gas se rompe en condensaciones de aproximadamente ese tamaño. Su longitud crítica difiere del radio hallado arriba solo en un factor numérico; la física, la gravedad frente a la presión térmica, es la misma.

1.4 Protoestrellas

El colapso de un núcleo no es uniforme. El centro, algo más denso, cae primero; allí se forma un objeto pequeño, denso y caliente que crece tragándose el gas que sigue lloviendo sobre él.

Definición 1.8 (Protoestrella)

Una protoestrella es una estrella en formación que todavía gana la mayor parte de su masa por acreción del gas de su núcleo progenitor; brilla por la energía que libera el gas que cae, no por fusión nuclear.

¿A qué ritmo crece una protoestrella? Un núcleo a punto de colapsar contiene cerca de una masa de Jeans y cae en aproximadamente un tiempo de caída libre, de modo que la masa llega a un ritmo del orden de $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

Proposición 1.9 (Tasa de acreción de una protoestrella)

Sea $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ la velocidad isoterma del sonido del gas de un núcleo. El cociente entre la masa de Jeans y el tiempo de caída libre no depende de la densidad, y

$$\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:$$

una protoestrella crece a un ritmo del orden de $c_s^3/G$, fijado únicamente por la temperatura de su núcleo.

A $10\,\mathrm{K}$, $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $c_s^3/G$ vale $1.6 \times 10^{-6}$ masas solares por año: una estrella como el Sol se ensambla en unos $600\,000$ años, un tiempo comparable al tiempo de caída libre de su núcleo. En un núcleo más templado, a $20\,\mathrm{K}$, la tasa es $2^{3/2} = 2.8$ veces mayor.

Mientras acreta, la protoestrella brilla por la energía del gas que cae. Una vez agotada la envoltura, sigue brillando, todavía sin fusión, contrayéndose.

Proposición 1.10 (La contracción alimenta a una estrella joven)

Una esfera de gas autogravitante en equilibrio que se contrae lentamente radia la mitad de la energía gravitatoria que libera y conserva la otra mitad como calor: se calienta a la vez que pierde energía.

Definición 1.11 (Escala de tiempo de Kelvin–Helmholtz)

La escala de tiempo de Kelvin–Helmholtz de una estrella de masa $M$, radio $R$ y luminosidad $L$ es $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$, el orden de magnitud del tiempo durante el cual la contracción por sí sola puede suministrar su luminosidad.

Para el Sol actual, $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Myr}$: mucho menos que su edad, razón por la cual el Sol tiene que quemar hidrógeno. Para una estrella joven de una masa solar, el doble del radio del Sol y el doble de su luminosidad, vale $8\,\mathrm{Myr}$ (Ejercicio 1.6). La contracción termina cuando el centro se calienta lo bastante para que la fusión del hidrógeno suministre la luminosidad: la estrella llega a la secuencia principal (véase el recuadro inicial).

Definición 1.12 (Estrella T Tauri, flujo bipolar)

Una estrella T Tauri es una estrella joven de menos de unas dos masas solares que ha perdido su envoltura y se ha hecho visible pero aún no ha llegado a la secuencia principal: brilla por contracción, varía de brillo y suele estar rodeada por un disco del que todavía acreta. Un flujo bipolar es un par de chorros o vientos rápidos de gas expulsados por una estrella joven en sentidos opuestos a lo largo del eje de rotación de su disco.

Los flujos se llevan parte del momento angular del gas que el disco aporta a la estrella, y despejan la envoltura a lo largo del eje; la estrella de HL Tauri, al final de su etapa protoestelar, impulsa uno muy colimado.

1.5 Discos

Un núcleo denso gira, lentamente: a través de un núcleo la velocidad del gas cambia en unas pocas décimas de kilómetro por segundo por pársec. Al colapsar el núcleo, su momento angular se conserva, y la rotación lenta se vuelve rápida.

Proposición 1.13 (Radio centrífugo)

Un gas de momento angular específico $j$ (momento angular por unidad de masa) que cae hacia una masa $M$ no puede alcanzar el centro: se instala en una órbita circular de radio

$$r_c = \frac{j^2}{G M}.$$

El gas que cae a lo largo del eje de rotación tiene poco momento angular y va directamente a la estrella; el gas que cae en el plano ecuatorial conserva su rotación. El gas que cae desde lados opuestos por trayectorias distintas choca por encima y por debajo del plano ecuatorial, pierde su movimiento vertical y se reúne en un disco delgado en rotación de radio cercano a $r_c$. Para un núcleo de $0.1\,\mathrm{pc}$ que da una vuelta en unos veinte millones de años, $r_c$ es de unos pocos centenares de unidades astronómicas (Ejercicio 1.11): el tamaño de los discos observados.

Definición 1.14 (Disco protoplanetario)

Un disco protoplanetario (o disco protoestelar) es el disco aplanado de gas y polvo en rotación casi kepleriana alrededor de una estrella joven, formado por la materia de su núcleo progenitor que conservó demasiado momento angular para caer sobre la estrella; en él se forman los planetas.

El disco lo calienta la estrella. Un grano a la distancia $r$ absorbe luz estelar sobre su sección transversal y radia por toda su superficie.

Proposición 1.15 (Temperatura de un grano iluminado por una estrella)

Un grano pequeño que se comporta como un cuerpo negro, a la distancia $r$ de una estrella de luminosidad $L$ e iluminado por un solo lado, se estabiliza a la temperatura

$$T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},$$

que disminuye como $r^{-1/2}$.

A $1\,\mathrm{au}$ de una estrella como el Sol el grano está a $278\,\mathrm{K}$; a $5.2\,\mathrm{au}$, donde orbita Júpiter, a $122\,\mathrm{K}$. El hielo de agua se condensa donde los granos están por debajo de unos $180\,\mathrm{K}$ (las temperaturas de condensación son las del Capítulo 2), es decir más allá de unas $2.4\,\mathrm{au}$: el primer indicio de la frontera, la línea de nieve, que separa los planetas rocosos de los helados. Un disco real es opaco, y su plano medio está protegido de la luz estelar directa; la proposición da el orden de magnitud correcto y la pendiente correcta para las capas superficiales que ve la estrella.

Los discos no duran. El exceso infrarrojo, el brillo del polvo templado por encima de lo que la estrella sola emitiría, revela si una estrella conserva todavía un disco. Contar las estrellas con ese exceso en cúmulos de distintas edades da la fracción de estrellas que conservan su disco en función del tiempo (figura siguiente): la mayoría de las estrellas tienen uno al nacer, la mitad lo han perdido hacia los tres millones de años, y casi ninguna lo conserva más allá de seis. Los gigantes gaseosos, que deben reunir su gas del disco, tienen que formarse en esos pocos millones de años.

En el laboratorio — Ver a través del polvo con ondas de radio

El gas y el polvo fríos son invisibles para los telescopios ópticos pero brillan en longitudes de onda milimétricas, donde la atmósfera solo es transparente sobre lugares altos y secos. Una antena de radio del tamaño de una casa resuelve poco a esas longitudes de onda, así que los astrónomos combinan muchas: en un interferómetro cada par de antenas, separadas por una línea de base, mide una componente del patrón de brillo del cielo, y un ordenador reconstruye la imagen a partir de los cientos de pares que forman unas treinta antenas. La resolución es la de un único telescopio tan ancho como la línea de base más larga: con antenas repartidas sobre $15\,\mathrm{km}$, el disco de HL Tauri se fotografió con detalles de unas pocas unidades astronómicas a $140\,\mathrm{pc}$. Los operadores trasladan las antenas en transportadores entre configuraciones, y el correlador combina sus señales en tiempo real.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.1 ★

La densidad interestelar media cerca del Sol es $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Tomando la masa de un átomo de hidrógeno como $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$, calcúlese el número de átomos de hidrógeno por centímetro cúbico. Compárese con el número de moléculas por centímetro cúbico en el aire a $101\,325\,\mathrm{Pa}$ y $288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

Solución

Solución de Ejercicio 1.1.

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ átomos de hidrógeno por centímetro cúbico. En el aire, $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, es decir $2.5 \times 10^{19}$ moléculas por centímetro cúbico: unas $1.6\times10^{19}$ veces más.

Ejercicio 1.2 ★

Con el valor $M_J = 5.46$ masas solares a $10\,\mathrm{K}$ y $10^4$ partículas por centímetro cúbico, y la dependencia de $M_J$ con la densidad, calcúlese la masa de Jeans a $10\,\mathrm{K}$ y $10^2$ partículas por centímetro cúbico. ¿Cuántas masas de Jeans contiene la nube de Tauro, de $24\,000$ masas solares?

Solución

Solución de Ejercicio 1.2.

$M_J \propto n^{-1/2}$: dividir $n$ entre 100 multiplica $M_J$ por 10, de modo que $M_J = 54.6$ masas solares a $10^2$ partículas por centímetro cúbico. La nube contiene $24\,000/54.6 \approx 440$ masas de Jeans: no puede ser estable en su conjunto, y tiene que fragmentarse.

Ejercicio 1.3 ★

Calcúlese la velocidad isoterma del sonido $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ del gas molecular ($\mu = 2.33$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) a $10\,\mathrm{K}$ y a $100\,\mathrm{K}$. ¿Cuánto tarda una onda sonora en atravesar un núcleo de radio $0.1\,\mathrm{pc}$ a $10\,\mathrm{K}$, en millones de años?

Solución

Solución de Ejercicio 1.3.

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $10\,\mathrm{K}$; $\sqrt{10}$ veces más, $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, a $100\,\mathrm{K}$. Para atravesar $0.1\,\mathrm{pc}$: $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, es decir $0.52\,\mathrm{Myr}$.

Ejercicio 1.4 ★

Calcúlese el tiempo de caída libre de un núcleo denso de $10^5$ partículas por centímetro cúbico y de una nube oscura de $10^2$ ($\mu = 2.33$). ¿Cuál colapsa más deprisa, y en qué factor?

Solución

Solución de Ejercicio 1.4.

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ con $n$ en $\mathrm{m}^{-3}$. Para $10^5$ partículas por centímetro cúbico, $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Myr}$; para $10^2$, $\rho$ es $1000$ veces menor y $t_{\mathrm{ff}}$ $\sqrt{1000} = 31.6$ veces más largo, $3.38\,\mathrm{Myr}$. El núcleo denso colapsa 32 veces más deprisa.

Ejercicio 1.5 ★★

Demuéstrese que $M_J$ puede escribirse $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. A temperatura fija, ¿en qué factor debe aumentar la densidad de un núcleo para reducir a la mitad su masa de Jeans? A densidad fija, ¿en qué factor cambia la masa de Jeans si el núcleo se calienta de $10\,\mathrm{K}$ a $20\,\mathrm{K}$?

Solución

Solución de Ejercicio 1.5.

Con $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$, $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} = 5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$, lo que da la fórmula. Como $M_J \propto \rho^{-1/2}$, reducir $M_J$ a la mitad exige una densidad cuatro veces mayor. Como $M_J \propto T^{3/2}$, calentar de $10\,\mathrm{K}$ a $20\,\mathrm{K}$ la multiplica por $2^{3/2} = 2.83$.

Ejercicio 1.6 ★★

Una estrella joven tiene la masa del Sol, el doble de su radio y el doble de su luminosidad ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). Calcúlese su tiempo de Kelvin–Helmholtz en millones de años, y compárese con la duración de los discos.

Solución

Solución de Ejercicio 1.6.

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times 6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, es decir $7.8\,\mathrm{Myr}$. Es más largo que la duración de la mayoría de los discos (la mitad han desaparecido tras unos $3\,\mathrm{Myr}$): la estrella todavía se está contrayendo cuando su disco desaparece.

Ejercicio 1.7 ★★

Calcúlese la tasa de acreción $c_s^3/G$ de una protoestrella en un núcleo a $10\,\mathrm{K}$, en masas solares por año, y el tiempo que tarda en reunir una masa solar. Las mismas preguntas para un núcleo a $20\,\mathrm{K}$.

Solución

Solución de Ejercicio 1.7.

A $10\,\mathrm{K}$, $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, es decir $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ masas solares por año, y una masa solar tarda $0.62\,\mathrm{Myr}$. A $20\,\mathrm{K}$ la tasa es $2^{3/2} = 2.83$ veces mayor, $4.5 \times 10^{-6}$ masas solares por año, y una masa solar tarda $0.22\,\mathrm{Myr}$.

Ejercicio 1.8 ★★

Con la Proposición 1.15 y $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, calcúlese la distancia al Sol, en unidades astronómicas, a la que un grano alcanza $1300\,\mathrm{K}$, cerca de la temperatura a la que condensan los silicatos comunes (Capítulo 2), y la temperatura de un grano a la distancia de Júpiter, $5.2\,\mathrm{au}$.

Solución

Solución de Ejercicio 1.8.

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ con $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})} = 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$: a $1300\,\mathrm{K}$, $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$, muy dentro de la órbita de Mercurio. A $5.2\,\mathrm{au}$, $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

Ejercicio 1.9 ★★

El gas del disco de HL Tauri gira alrededor de una estrella de unas $1.3$ masas solares. Calcúlense la velocidad kepleriana y el periodo orbital a $100\,\mathrm{au}$. Si el sistema tiene un millón de años, ¿cuántas vueltas ha dado el gas a $100\,\mathrm{au}$ desde que se formó la estrella?

Solución

Solución de Ejercicio 1.9.

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}} = 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, y $P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ años (o, de forma equivalente, $\sqrt{100^3/1.3}$ años). En un millón de años el gas ha dado $10^6/877 \approx 1140$ vueltas: el disco es viejo comparado con su propia rotación, y por eso sus anillos son círculos regulares.

Ejercicio 1.10 ★★★

Hállese la energía gravitatoria de una esfera de radio $R$ en la que la densidad disminuye como $\rho(r) = \rho_0 R/r$, y compárese con la de una esfera uniforme de la misma masa y el mismo radio. Concentrar la masa hacia el centro, ¿hace la nube más fácil o más difícil de sostener por su energía térmica?

Solución

Solución de Ejercicio 1.10.

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$, y dentro de $r$, $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. Con $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$,

$$U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5 = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},$$

usando $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. Es $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ veces el valor uniforme: la nube concentrada está más ligada y necesita un $11\,\%$ más de energía térmica para sostenerse; colapsa con más facilidad.

Ejercicio 1.11 ★★★

Un núcleo de radio $0.1\,\mathrm{pc}$ gira como un sólido rígido con la velocidad angular $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calcúlense su periodo de rotación, el momento angular específico $j = \Omega R^2$ del gas en su ecuador y el radio centrífugo de ese gas alrededor de una estrella de una masa solar, en unidades astronómicas. ¿Por qué el gas del interior del núcleo cae más cerca de la estrella?

Solución

Solución de Ejercicio 1.11.

Periodo $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, unos $20\,\mathrm{Myr}$. Con $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$, $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, y $r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. En rotación de sólido rígido $j = \Omega r^2$ crece como el cuadrado de la distancia al eje: el gas del interior del núcleo tiene menos momento angular, y cae más cerca de la estrella.

Ejercicio 1.12 ★★★

Las fracciones de discos de los cinco cúmulos más jóvenes de la figura de la última sección son $0.85$, $0.80$, $0.65$, $0.52$ y $0.12$ a 0.3, 1.5, 2.3, 3.2 y $5.0\,\mathrm{Myr}$. Ajústese a mano una recta de mínimos cuadrados $f = a - bt$ (calcúlense las medias, y después $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ y $\sum(t - \bar t)^2$). ¿A qué edad llega a un medio, y a cero? ¿Por qué una recta es un mal modelo más allá de esa edad?

Solución

Solución de Ejercicio 1.12.

$\bar t = 2.46$, $\bar f = 0.588$; $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$, $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$, de modo que $b = 2.018/12.612 = 0.160$ por millón de años y $a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. La recta llega a $0.5$ en $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Myr}$ y a cero en $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Myr}$, como en la figura. Una fracción no puede bajar de cero: los cúmulos más viejos, como NGC 1960 a $30\,\mathrm{Myr}$, conservan una pequeña fracción cercana a cero que una recta no puede describir.

1.7 Problema: un núcleo en la nube de Aldra

Problema 1.1

Problema de fin de semana — la masa y la estabilidad de un núcleo denso leídas en un mapa de polvo, el nacimiento de su protoestrella y el tamaño de su disco

La nube de Aldra es una nube oscura inventada. Un mapa milimétrico de su polvo muestra un núcleo redondo de radio $0.08\,\mathrm{pc}$, con una densidad de columna media de $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ moléculas de hidrógeno por centímetro cuadrado. Una línea del amoniaco da la temperatura del gas, $10\,\mathrm{K}$, y un gradiente de velocidad de $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ por pársec a través del núcleo, interpretado como rotación de sólido rígido. Úsense $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, $k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$, $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, un año de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$; la masa por molécula de hidrógeno, helio incluido, es $2.8\,m_u$, y la masa media por partícula $2.33\,m_u$.

Parte I — Masa y densidad.

1. Conviértase el radio del núcleo a metros.
2. Calcúlese la masa por metro cuadrado de la columna, $2.8\,m_u N$.
3. Dedúzcase la masa del núcleo, en kilogramos y en masas solares.
4. Calcúlense su volumen y su densidad media.
5. Calcúlese el número de partículas por centímetro cúbico.
6. ¿Es un núcleo denso en el sentido de la tabla de la segunda sección?

Parte II — Estabilidad.

7. Calcúlese la masa de Jeans del gas del núcleo, en masas solares.
8. ¿Cuántas masas de Jeans contiene el núcleo? ¿Es estable?
9. Calcúlese la longitud de Jeans y compárese con el radio del núcleo.
10. ¿Cuál sería la masa de Jeans si el gas estuviera a $20\,\mathrm{K}$? ¿Seguiría colapsando el núcleo?
11. Calcúlese el tiempo de caída libre del núcleo, en miles de años.
12. Compárese con el tiempo que tarda una onda sonora en atravesar el núcleo. ¿Qué proceso es más rápido, y qué significa eso?

Parte III — La protoestrella.

13. Calcúlese la velocidad del sonido en el núcleo.
14. Calcúlese la tasa de acreción $c_s^3/G$, en masas solares por año.
15. Calcúlese el tiempo necesario para reunir una masa solar a este ritmo.
16. Si un tercio del núcleo acaba en estrellas, ¿cuántas estrellas de una masa solar puede formar?
17. Agotada la envoltura, la estrella tiene una masa solar, tres radios solares y cuatro luminosidades solares. Calcúlese su tiempo de Kelvin–Helmholtz.
18. ¿Es más largo o más corto que el tiempo de acreción? ¿Qué tipo de estrella es entonces?

Parte IV — El disco.

19. Conviértase el gradiente de velocidad en una velocidad angular $\Omega$, en $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.
20. Calcúlese el momento angular específico $j = \Omega R^2$ del gas en el ecuador del núcleo.
21. Calcúlese su radio centrífugo alrededor de una estrella de una masa solar, en unidades astronómicas.
22. Calcúlese la temperatura de un grano a $1\,\mathrm{au}$ y a $30\,\mathrm{au}$ de una estrella de una luminosidad solar.
23. ¿Dónde está la línea de nieve de este disco, si el hielo de agua sobrevive por debajo de $180\,\mathrm{K}$?
24. Indíquese el tiempo necesario para ensamblar la estrella de la pregunta 15, la cifra clave de este problema, en miles de años, y compárese con el tiempo de caída libre de la pregunta 11.

Solución

Solución de Problema 1.1.

1. $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

2. $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$, de modo que $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} = 0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

3. $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$, es decir $6.7$ masas solares.

4. $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ y $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

5. $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, es decir $5.5 \times 10^{4}$ partículas por centímetro cúbico.

6. Sí: su densidad está entre $10^4$ y $10^5$, su radio entre 0.03 y $0.2\,\mathrm{pc}$; su masa, 6.7 masas solares, está en lo alto del intervalo de los núcleos.

7. $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ masas solares.

8. $6.7/2.33 = 2.9$ masas de Jeans: el núcleo es inestable y colapsa.

9. $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$, menor que el radio, $0.08\,\mathrm{pc}$: la misma conclusión.

10. $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ masas solares: aproximadamente la masa del núcleo. A $20\,\mathrm{K}$ el núcleo sería marginal; es el frío lo que lo hace colapsar.

11. $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})} = 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, unos $145\,000$ años.

12. $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $414\,000$ años: tres veces más que la caída libre. Una onda de presión no puede atravesar el núcleo antes de que este haya colapsado; la presión no puede reaccionar lo bastante deprisa para detener el colapso.

13. $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (Ejercicio 1.3).

14. $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$, $1.6 \times 10^{-6}$ masas solares por año.

15. $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ años.

16. Un tercio de 6.7 es $2.2$: dos estrellas de una masa solar.

17. $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, $2.6\,\mathrm{Myr}$.

18. Más largo, cuatro veces el tiempo de acreción: cuando la acreción se detiene, la estrella todavía se contrae y brilla sin fusión; es una estrella T Tauri, que aún no está en la secuencia principal.

19. $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

20. $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

21. $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$, es decir $314\,\mathrm{au}$: más que el disco de HL Tauri, como cabe esperar para gas del borde del núcleo.

22. $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ a $1\,\mathrm{au}$, y $278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ a $30\,\mathrm{au}$.

23. $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, es decir $2.4\,\mathrm{au}$, como en el texto.

24. La estrella de una masa solar tarda $624\,$ mil años en ensamblarse, unas cuatro veces el tiempo de caída libre de su núcleo ($145\,000$ años): el gas exterior llega a la protoestrella solo gradualmente, de dentro hacia fuera.