7La fusión del manto

El manto es sólido. Las ondas sísmicas de cizalla lo atraviesan de arriba abajo, y la peridotita que sube de él es una roca cristalina. Sin embargo, solo a lo largo de las dorsales oceánicas aporta unos veinte kilómetros cúbicos de corteza oceánica nueva cada año, y cada metro cúbico de ella procede de un fundido. La paradoja se disuelve cuando se sabe que el manto no se funde porque se calienta: se funde porque la presión que soporta baja, o porque se le añade agua. Bajo una dorsal el manto sube, su presión cae más deprisa que su temperatura, y cruza su curva de fusión; sobre una placa que se hunde, el agua liberada por la placa rebaja esa curva bajo la cuña del manto. En ambos casos solo se funde una pequeña fracción de la roca, y esa fracción, separada de su residuo, se convierte en el basalto del fondo oceánico y de los arcos volcánicos. Este capítulo describe primero la roca del manto y los diagramas de fases que dicen cómo se funden esas rocas, y sigue después el manto en su ascenso bajo una dorsal hasta el espesor de la corteza que forma.

Lo que ya sabes

Del volumen de segundo año de los libros de química: los diagramas de fases binarios, el solidus y el liquidus, el punto eutéctico, la fusión congruente, las soluciones sólidas y la regla de la palanca, según la cual las proporciones de dos fases coexistentes son inversamente proporcionales a sus distancias a la composición global. De los libros de física: el calor específico, el calor latente, la entropía y el segundo principio, según el cual un proceso adiabático reversible conserva la entropía. Del volumen de primer año: los principales minerales formadores de rocas, el olivino, los piroxenos, el granate y la espinela, sus soluciones sólidas y el número de Mg; la adiabata del manto, $\mathrm dT/\mathrm dz = \alpha gT/c_p$; la corteza oceánica, de $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ de espesor lejos de los puntos calientes y de unos $20\,\mathrm{km}$ sobre el núcleo de una pluma; las placas que subducen y el agua que transportan. Del Capítulo 3: el basalto de dorsal oceánica (MORB), los coeficientes de reparto y los elementos incompatibles.

7.1 La roca del manto

La roca del manto llega a la superficie como fragmentos arrastrados por los magmas, los xenolitos, y como la base de láminas de litosfera oceánica empujadas sobre los continentes, las ofiolitas. Casi toda ella es peridotita.

Definición 7.1 (La peridotita y sus tipos)

Una peridotita es una roca ultramáfica de grano grueso que contiene más de un $40\,\%$ de olivino, y el resto son piroxenos y un poco de un mineral alumínico (espinela o granate). Una dunita contiene más de un $90\,\%$ de olivino. Por debajo de ese valor, una lherzolita contiene ortopiroxeno y clinopiroxeno; una harzburgita contiene ortopiroxeno pero casi nada de clinopiroxeno; una wehrlita contiene clinopiroxeno pero casi nada de ortopiroxeno. Las rocas con menos de un $40\,\%$ de olivino son piroxenitas.

La clasificación se lee en un triángulo cuyos vértices son el olivino, el ortopiroxeno y el clinopiroxeno (figura siguiente): cada punto representa una roca, y sus distancias a los tres lados dan las proporciones de los tres minerales. Una composición modelo del manto superior empobrecido que se funde bajo las dorsales tiene un $57\,\%$ de olivino, un $28\,\%$ de ortopiroxeno, un $13\,\%$ de clinopiroxeno y un $2\,\%$ de espinela: una lherzolita.

Las tres peridotitas no son tres tipos de roca independientes: son etapas de un mismo proceso. El clinopiroxeno y el mineral alumínico se agotan primero cuando la peridotita se funde (Sección 7.4), de modo que una lherzolita que ha perdido un fundido se empobrece en ellos; tras una fusión suficiente es una harzburgita, y una roca que ha perdido casi todo su piroxeno es una dunita.

Definición 7.2 (Manto fértil y manto residual)

Un manto fértil es una peridotita, típicamente una lherzolita, que aún contiene el clinopiroxeno y el mineral alumínico a partir de los cuales se forma el basalto. Un manto residual es la peridotita que queda una vez extraído de ella un fundido: más pobre en clinopiroxeno, aluminio, calcio y elementos incompatibles, más rica en olivino y con un número de Mg más alto.

El manto empobrecido isotópico del Capítulo 4 es un reservorio, definido por sus razones; un manto residual es una roca, definida por lo que ha perdido. Ambos están relacionados, ya que el manto empobrecido lo está porque se le extrajo fundido hace mucho tiempo, pero uno se lee en un espectrómetro de masas y el otro al microscopio.

7.2 Diagramas de fases de las rocas

Una roca es una mezcla de minerales, y se funde en un intervalo de temperaturas, no en un punto. Los diagramas que describen esto se midieron primero en mezclas de minerales sintéticos puros, manteniendo una pequeña carga a una temperatura conocida hasta que alcanzaba el equilibrio, templándola y buscando al microscopio vidrio, que había sido líquido, y cristales.

Un eutéctico binario: diópsido y anortita

Un basalto consta esencialmente de una plagioclasa cálcica y de un clinopiroxeno, y Bowen eligió la anortita y el diópsido puros como su modelo más sencillo. Mezclados y calentados, forman un sistema eutéctico ordinario (figura siguiente): el diópsido funde a $1391.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y la anortita a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, pero una mezcla de un $58\,\%$ de diópsido y un $42\,\%$ de anortita en masa funde por completo a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Leído desde arriba, el diagrama da el orden de cristalización. Un líquido con un $20\,\%$ de anortita empieza a cristalizar diópsido a $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; el líquido, al perder diópsido, se enriquece en anortita y desciende por el liquidus hasta alcanzar el eutéctico, donde la anortita se une al diópsido y la temperatura se mantiene en $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta que se agota todo el líquido. Leído desde abajo, dice cómo se funde la roca: sean cuales sean las proporciones de los dos minerales, el primer líquido aparece a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y tiene la composición eutéctica. Es la primera lección para el manto. El primer fundido de una roca no tiene la composición de la roca: tiene la composición que fijan los minerales a partir de los que se funde, y aparece a una temperatura muy inferior a los puntos de fusión de todos ellos.

Fusión incongruente: forsterita y sílice

Algunos minerales no funden en un líquido de su propia composición.

Definición 7.3 (Fusión incongruente, punto peritéctico)

Un mineral presenta fusión incongruente cuando, al calentarse, se descompone en otro sólido y un líquido de composición distinta, en lugar de fundir en un líquido de su propia composición. En un diagrama de fases binario, el punto en el que ese líquido coexiste con ambos sólidos es un punto peritéctico: a diferencia de un eutéctico, no está entre las composiciones de los dos sólidos.

La enstatita, el ortopiroxeno magnésico $\ce{MgSiO3}$, funde de forma incongruente. A la presión atmosférica se descompone a $1557\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en forsterita, $\ce{Mg2SiO4}$, y un líquido algo más rico en sílice que ella misma; solo a $1577\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ se ha disuelto toda la forsterita (figura siguiente). Bowen y Andersen hallaron en 1914 que la descomposición da un $5.5\,\%$ de forsterita y un $94.5\,\%$ de líquido, como predice la regla de la palanca a partir de las tres composiciones (Ejercicio 7.6). Más hacia la sílice, la enstatita y la cristobalita funden juntas en un eutéctico, a $1543\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

El peritéctico es la segunda lección para el manto. Cuando una peridotita se funde, su ortopiroxeno no se disuelve sin más: cede olivino al residuo y sílice al fundido. El fundido es por tanto más rico en sílice que los piroxenos, y el residuo más rico en olivino que la roca: el camino de la lherzolita a la harzburgita y la dunita.

Tres componentes: el diagrama ternario

Las rocas reales tienen más de dos minerales. Con tres, la composición necesita un triángulo, y la temperatura se convierte en una tercera dimensión.

Definición 7.4 (Diagrama de fases ternario, línea cotéctica, eutéctico ternario)

Un diagrama de fases ternario representa los equilibrios de un sistema de tres componentes a una presión dada: cada punto de un triángulo representa una composición, los vértices los componentes puros, y la superficie del liquidus se dibuja como curvas de nivel de la temperatura o como los campos de los minerales que cristalizan primero. Una línea cotéctica es la línea a lo largo de la cual el líquido está saturado en dos minerales a la vez y cristaliza ambos al enfriarse. Las líneas cotécticas descienden desde los eutécticos binarios de los lados del triángulo y se encuentran en el eutéctico ternario, la temperatura más baja a la que existe líquido, donde los tres minerales cristalizan juntos.

Método 7.5 (Leer una trayectoria de cristalización en un diagrama ternario)

Sitúese la composición global $X$ en el triángulo y el campo en el que se encuentra: el mineral de ese campo cristaliza primero. Mientras ese mineral cristaliza solo, el líquido se desplaza en línea recta alejándose directamente del vértice del mineral, a través de $X$, porque retirar un componente puro solo cambia su proporción; según la regla de la palanca, la fracción másica de cristales es la distancia de $X$ al líquido dividida por la distancia del vértice al líquido. Cuando el líquido alcanza una línea cotéctica, se une el segundo mineral y el líquido sigue la cotéctica pendiente abajo hasta el eutéctico ternario, donde cristaliza el último líquido. Un componente que no entra en ninguno de los cristales permanece en el líquido, de modo que su concentración da la fracción de líquido restante: $f_{\text{líquido}} = c_X/c_{\text{líquido}}$.

Los sistemas de tres minerales formadores de rocas se leen del mismo modo. Las reglas que fijan cuántas fases pueden coexistir, y las superficies de energía libre a partir de las cuales se calculan estos diagramas, corresponden al volumen de tercer año de esta serie.

7.3 Solidus, adiabata y tres maneras de fundir

La peridotita del manto tiene un solidus, la temperatura a la que aparece su primer fundido, y un liquidus muy por encima. Ambos suben con la presión. Los experimentos con peridotitas naturales, compilados y ajustados por Katz, Spiegelman y Langmuir en 2003, dan para el solidus seco

(en grados Celsius, con $P$ en gigapascales): $1086\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la superficie, $1331\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $2\,\mathrm{GPa}$. A las mismas profundidades el manto es más caliente o más frío que esto según dónde esté, y para comparar mantos se elimina el efecto de la profundidad.

Definición 7.6 (Temperatura potencial del manto)

La temperatura potencial del manto $T_p$ es la temperatura que tendría una porción de manto en convección si se la llevara hasta la superficie a lo largo de la adiabata del manto, sin intercambiar calor y sin fundirse.

A lo largo de la adiabata $\mathrm dT/\mathrm dP = \alpha T/(\rho c_p)$, la forma en presión del gradiente $\alpha gT/c_p$ recordado más arriba, ya que $\mathrm dP = \rho g\,\mathrm dz$. Con $\alpha = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ y $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, vale unos $20\,\mathrm{K}$ por gigapascal, siendo un gigapascal $30.9\,\mathrm{km}$ de manto (Ejercicio 7.3). El volumen de primer año dio al manto una temperatura potencial de unos $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a partir de la física de minerales; las estimaciones petrológicas para el manto bajo las dorsales van de 1280 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Proposición 7.7 (Inicio de la fusión por descompresión)

Un manto de temperatura potencial $T_p$ que sube a lo largo de la adiabata $T = T_p + GP$ ($G$ constante) empieza a fundirse a la presión $P_0$ a la que la adiabata corta el solidus $T_{\mathrm s}(P) = a_1 + a_2P + a_3P^2$, la menor raíz de

$$-a_3P^2 + (G - a_2)P + (T_p - a_1) = 0 .$$

Un manto más caliente en $\Delta T_p$ empieza a fundirse más abajo, en $\Delta P_0 \approx \Delta T_p/(T_{\mathrm s}'(P_0) - G)$.

Para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el inicio está a $2.66\,\mathrm{GPa}$, a unos $82\,\mathrm{km}$ de profundidad, a $1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de temperatura potencial lo desplaza unos $0.12\,\mathrm{GPa}$, o $3.6\,\mathrm{km}$. La figura siguiente muestra el solidus y las adiabatas.

El diagrama muestra las tres maneras de llevar una roca por encima de su solidus.

Definición 7.8 (Fusión parcial, por descompresión y por aporte de fluidos)

La fusión parcial es la fusión de una fracción de una roca, entre su solidus y su liquidus. La fusión por descompresión es la fusión parcial de una roca que sube, y por tanto pierde presión, más deprisa de lo que se enfría, hasta cruzar su solidus. La fusión por aporte de fluidos, o fusión hidratada, es la fusión parcial causada por la adición de un volátil, sobre todo agua, que rebaja el solidus por debajo de la temperatura de la roca. La tercera manera, calentar una roca por encima de su solidus a presión constante, requiere una fuente externa de calor, como un magma caliente.

El calentamiento es la menos eficaz en el manto, que conduce el calor despacio; en la corteza, el calor del magma basáltico puede fundir las rocas que lo rodean (Capítulo 12). La descompresión alimenta las dorsales y los puntos calientes; la fusión por aporte de fluidos alimenta los arcos volcánicos.

7.4 Fusión por descompresión bajo una dorsal

Una vez que el manto ascendente cruza su solidus, sigue subiendo, y la cuestión pasa a ser cuánto fundido produce.

Definición 7.9 (Fracción de fundido)

La fracción de fundido $F$ de una roca parcialmente fundida es la masa de fundido que ha producido dividida por su masa inicial. Entre el solidus ($F = 0$) y el liquidus ($F = 1$), la temperatura sobre la superficie de fusión es una función $T(P, F)$.

La fusión consume calor: el calor latente, $T\Delta S$ por kilogramo de fundido, donde $\Delta S$ es la entropía de fusión. Una porción que sube no intercambia calor con su entorno, de modo que el calor latente procede de su propia temperatura, y sube a lo largo de una trayectoria de entropía constante que queda entre el solidus y el liquidus.

Proposición 7.10 (Productividad de la fusión isentrópica)

Para un manto que sube sin intercambiar calor, con calor específico $c_p$, coeficiente de dilatación térmica $\alpha$, densidad $\rho$ y entropía de fusión $\Delta S$, la productividad de la fusión, el fundido producido por unidad de caída de presión, es

$$-\frac{\mathrm dF}{\mathrm dP} = \frac{\dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial P}\Big)_F - \dfrac{\alpha}{\rho}} {\Delta S + \dfrac{c_p}{T}\Big(\dfrac{\partial T}{\partial F}\Big)_P}\,,$$

con $T$ en kelvin.

El numerador es el exceso de la pendiente de las curvas de fusión sobre la de la adiabata, el motor; el denominador contiene el calor latente y el calor necesario para elevar la temperatura de la roca que se funde a lo largo del intervalo de fusión, los frenos. Con los parámetros de Katz y colaboradores, $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, y una fracción de fundido que crece linealmente entre el solidus y el liquidus de la lherzolita, la productividad a $2\,\mathrm{GPa}$ es de cerca de un $11\,\%$ por gigapascal (Ejercicio 7.8): cada kilómetro de ascenso funde cerca de un tercio de por ciento de la roca. Su función de fusión ajustada, que hace que el primer uno por ciento de fundido se forme despacio, da algo menos de media, cerca de un $9\,\%$ por gigapascal desde el inicio hasta la superficie para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La productividad cae cuando se agota el clinopiroxeno, tras fracciones de fundido de $M_{\mathrm{cpx}}/(0.50 + 0.08P)$ en su modelo, del 25 al $30\,\%$ para un manto con un 13 a un $15\,\%$ de clinopiroxeno: un residuo de harzburgita se funde a regañadientes.

El fundido no se queda donde se forma. Con unos $2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ es más ligero que la peridotita sólida, de $3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, de modo que se separa de su residuo y sube a través de él; bajo una dorsal se concentra hacia el eje. La corteza se construye con los fundidos de toda una región del manto.

Proposición 7.11 (Corteza de una región de fusión triangular)

Bajo una dorsal que se expande a la semivelocidad $U$, suba el manto verticalmente a la velocidad $U$ a través de una región de fusión triangular de altura $H$, con el vértice arriba, bajo el eje, y lados a $45{}^{\circ}$, y salga de ella horizontalmente a la velocidad $U$ a través de sus lados; crezca la fracción de fundido linealmente de $0$ en la base a $F_{\max}$ en el vértice, extráigase todo el fundido hacia la corteza, y tengan el manto y la corteza la misma densidad. Entonces la corteza tiene un espesor

$$h_c = \int_0^H F(z)\,\mathrm dz = \tfrac12 F_{\max}H$$

y el fundido agregado tiene la fracción de fundido media $F_{\max}/2$.

El resultado no depende de la velocidad de expansión, como se observa (volumen de primer año). Para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ la columna de la figura anterior, con su arranque lento, da $\int F\,\mathrm dz = 9.0\,\mathrm{km}$ de corteza, algo más que los $7.1\,\mathrm{km}$ medidos; un manto $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más frío da $5.5\,\mathrm{km}$, y uno $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más caliente $19\,\mathrm{km}$, cerca de los $20\,\mathrm{km}$ sobre el núcleo de una pluma (figura siguiente). El espesor de la corteza es un termómetro, y sensible: como $h_c \propto P_0^2$ cuando la productividad es constante, diez grados lo cambian en cerca de una décima parte (problema de fin de semana).

7.5 Fusión por aporte de fluidos sobre una placa

En una zona de subducción la cuña del manto no sube; es arrastrada hacia abajo a lo largo de la placa. Lo que la funde es el agua. La placa transporta agua hacia abajo en sus minerales y la libera a medida que estos se descomponen con la presión y la temperatura (volumen de primer año); el agua sube hacia la cuña caliente que hay encima. El agua se disuelve en el fundido silicatado, y un fundido que contiene agua es estable a menor temperatura. En la parametrización de Katz y colaboradores, un $X$ por ciento de agua disuelta en el fundido rebaja el solidus en

$43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para un $1\,\%$, $144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para un $5\,\%$, hasta la cantidad que satura el fundido, que es nula a la presión atmosférica, de cerca del $13\,\%$ a $1\,\mathrm{GPa}$, y crece con la presión. El solidus saturado en agua es la curva azul de la figura del solidus: cerca de $920\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ entre 1 y $2\,\mathrm{GPa}$, unos $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por debajo del seco (Ejercicio 7.12).

El agua es incompatible: entra en el fundido con mucha más facilidad que en los minerales, con un coeficiente de reparto de cerca de 0.01. Incluso un manto con un centenar de partes por millón de agua produce por tanto un primer fundido con cerca de un uno por ciento de agua, lo que rebaja su solidus unos $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que la fusión empieza más abajo que en un manto seco y se forma una larga cola de pequeñas fracciones de fundido (Ejercicio 7.9). Sobre una placa el aporte de agua es mucho mayor, y la cuña se funde donde su temperatura supera el solidus húmedo: los fundidos de los arcos nacen húmedos.

7.6 Grado de fusión y magmas primarios

Definición 7.12 (Magma primario)

Un magma primario es un fundido cuya composición no ha cambiado desde que salió de su fuente: está en equilibrio con el manto residual, y ni ha cristalizado minerales ni ha reaccionado con las rocas durante su ascenso.

Un magma que cristaliza minerales durante su ascenso, o que se mezcla con otros, deja de ser primario; cómo cambia entonces es el tema del Capítulo 8. Un magma primario registra su fuente: su fracción de fundido, ya que un grado de fusión bajo concentra los elementos incompatibles en el fundido (Capítulo 3), y la presión a la que se equilibró por última vez con el residuo. Cómo se reparten los elementos en trazas entre el fundido y el residuo durante la fusión en equilibrio y la fusión fraccionada se modeliza en el volumen de tercer año. El residuo, por su parte, es la harzburgita y la peridotita que se encuentran en la base de las ofiolitas.

Sobre el terreno — Leer el manto en la superficie

Los geólogos encuentran el manto de dos formas. Los xenolitos del manto, nódulos de peridotita verde en basaltos y kimberlitas, fueron arrancados de las paredes del conducto y subidos en días o semanas, demasiado deprisa para perder los minerales que tenían en profundidad. Las ofiolitas exponen el manto bajo una sección de corteza oceánica, con su harzburgita y otras peridotitas en la base de la secuencia. Allí los geólogos cartografían las peridotitas y la dunita que hay entre ellas, las muestrean a lo largo de transectos, y miden en el laboratorio las proporciones de los minerales, sus composiciones y los elementos en trazas de los residuos; cada muestra se sitúa en el triángulo de clasificación y en las trayectorias de fusión de este capítulo.

7.7 Ejercicios

Ejercicio 7.1 ★

Nómbrese cada roca según sus proporciones de olivino, ortopiroxeno y clinopiroxeno (por ciento): (a) 93, 5, 2; (b) 75, 25, 0; (c) 60, 27, 13; (d) 30, 45, 25. (e) Dese el nombre del manto superior modelo (57, 28, 13 y $2\,\%$ de espinela) tras renormalizar sus tres silicatos al $100\,\%$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.1.

(a) Más de un $90\,\%$ de olivino: dunita. (b) Olivino y ortopiroxeno sin clinopiroxeno: harzburgita. (c) Más de un $40\,\%$ de olivino con los dos piroxenos: lherzolita. (d) Menos de un $40\,\%$ de olivino: una piroxenita (una websterita olivínica, con los dos piroxenos). (e) $57/98 = 58.2\,\%$, $28/98 = 28.6\,\%$, $13/98 = 13.3\,\%$: una lherzolita.

Ejercicio 7.2 ★

En el diagrama diópsido–anortita, se enfría un líquido con un $60\,\%$ de anortita. (a) ¿A qué temperatura empieza a cristalizar, y qué mineral se forma? (b) ¿A qué temperatura aparece el segundo mineral, y cuál es entonces la composición del líquido? (c) ¿Cuál es la composición del primer líquido cuando se calienta una roca con un $80\,\%$ de diópsido y un $20\,\%$ de anortita, y a qué temperatura aparece?

Solución

Solución de Ejercicio 7.2.

(a) El liquidus con un $60\,\%$ de anortita está a $1390\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en el campo de la anortita: la anortita cristaliza primero. (b) El diópsido aparece en el eutéctico, a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, cuando el líquido tiene un $42\,\%$ de anortita. (c) El primer líquido de cualquier mezcla de los dos minerales es el líquido eutéctico, con un $42\,\%$ de anortita, a $1270\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Ejercicio 7.3 ★

(a) Calcúlese el gradiente adiabático $\alpha T/(\rho c_p)$ en kelvin por gigapascal para $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (b) ¿Cuántos kilómetros de manto forman un gigapascal ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$)? Conviértase el gradiente a kelvin por kilómetro y compárese con un gradiente geotérmico típico cerca de la superficie, de unos $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

Solución

Solución de Ejercicio 7.3.

(a) $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} = 19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (b) $10^{9}/(3300\times9.81) = 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{m}$, o sea $30.9\,\mathrm{km}$ por gigapascal; $19.7/30.9 = 0.64\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, unas cincuenta veces menos que los $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ cerca de la superficie, donde el calor se conduce y no se transporta.

Ejercicio 7.4 ★

(a) Calcúlese el solidus seco de la peridotita a 0, 1, 2 y $3\,\mathrm{GPa}$. (b) ¿Cuántos grados sube por gigapascal cerca de $2\,\mathrm{GPa}$? (c) Explíquese en una frase por qué un manto a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $3\,\mathrm{GPa}$ es sólido, y el mismo manto llevado a $2\,\mathrm{GPa}$ sin intercambiar calor está parcialmente fundido.

Solución

Solución de Ejercicio 7.4.

(a) $T_{\mathrm s}(0) = 1085.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(1) = 1085.7 + 132.9 - 5.1 = 1213.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(2) = 1085.7 + 265.8 - 20.4 = 1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm s}(3) = 1085.7 + 398.7 - 45.9 = 1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $132.9 - 2\times5.1\times2 = 112.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. (c) A $3\,\mathrm{GPa}$, $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ está por debajo del solidus, $1438.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; al subir hasta $2\,\mathrm{GPa}$ por la adiabata se enfría solo unos $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, hasta cerca de $1380\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mientras el solidus baja a $1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: la roca queda por encima de su solidus y una parte se funde.

Ejercicio 7.5 ★★

Se enfría un líquido con un $70\,\%$ de diópsido y un $30\,\%$ de anortita. (a) Estímese su temperatura de liquidus interpolando entre el liquidus con un $20\,\%$ de anortita ($1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) y con un $40\,\%$ ($1277.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$). (b) ¿Qué mineral cristaliza primero? (c) ¿Qué fracción másica del sistema ha cristalizado cuando el líquido alcanza el eutéctico? (d) ¿Cuáles son las proporciones de diópsido y anortita en la roca final?

Solución

Solución de Ejercicio 7.5.

(a) $1350 + (1277.5 - 1350)\times(30 - 20)/(40 - 20) = 1314\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) La composición está del lado del diópsido respecto al eutéctico: diópsido. (c) El líquido alcanza el eutéctico con un $42\,\%$ de anortita; la anortita se queda en el líquido, así que la fracción líquida es $30/42 = 0.714$ y un $1 - 0.714 = 29\,\%$ del sistema ha cristalizado como diópsido. (d) Todo cristaliza: $70\,\%$ de diópsido y $30\,\%$ de anortita, la composición global.

Ejercicio 7.6 ★★

(a) Calcúlese el porcentaje en masa de $\ce{SiO2}$ en la forsterita $\ce{Mg2SiO4}$ y en la enstatita $\ce{MgSiO3}$ ($M_{\ce{MgO}} = 40.30\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $M_{\ce{SiO2}} = 60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Bowen y Andersen hallaron que el líquido peritéctico tenía un $97.5\,\%$ de $\ce{MgSiO3}$ y un $2.5\,\%$ de $\ce{SiO2}$: ¿cuál es su contenido en sílice? (c) Úsese la regla de la palanca para calcular la fracción másica de forsterita formada cuando la enstatita funde en el peritéctico, y compárese con su $5.5\,\%$. (d) ¿Qué implica esto para el contenido en sílice de un fundido de peridotita comparado con el de su ortopiroxeno?

Solución

Solución de Ejercicio 7.6.

(a) Forsterita: $60.08/(2\times40.30 + 60.08) = 60.08/140.68 = 42.71\,\%$ de $\ce{SiO2}$; enstatita: $60.08/100.38 = 59.85\,\%$. (b) $0.975\times59.85 + 2.5 = 60.85\,\%$. (c) La enstatita está entre la forsterita y el líquido: la fracción de forsterita es $(60.85 - 59.85)/(60.85 - 42.71) = 1.00/18.14 = 5.5\,\%$, el valor de Bowen y Andersen. (d) El fundido es más rico en sílice que el ortopiroxeno del que procede, y el residuo gana olivino.

Ejercicio 7.7 ★★

Con la adiabata $T = T_p + 20P$ y el solidus seco del texto, calcúlense la presión y la profundidad ($30.9\,\mathrm{km}$ por gigapascal) a las que empieza la fusión para (a) $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y (b) $T_p = 1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) ¿Cuántos kilómetros por cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ se profundiza el inicio cerca de $T_p = 1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? Úsese la Proposición 7.7.

Solución

Solución de Ejercicio 7.7.

(a) $5.1P^2 - 112.9P + 214.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 - 4371.7})/10.2 = (112.9 - 91.51)/10.2 = 2.10\,\mathrm{GPa}$, a $2.097\times30.9 = 64.8\,\mathrm{km}$. (b) $5.1P^2 - 112.9P + 364.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - 72.90)/10.2 = 3.92\,\mathrm{GPa}$, a $121\,\mathrm{km}$. (c) $T_{\mathrm s}'(2.10) = 132.9 - 21.4 = 111.5\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, luego $\Delta P_0 = 10/(111.5 - 20) = 0.109\,\mathrm{GPa}$ por cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o sea $3.4\,\mathrm{km}$.

Ejercicio 7.8 ★★

A $2.0\,\mathrm{GPa}$, tómese una fracción de fundido que crece linealmente desde el solidus seco hasta el liquidus de la lherzolita $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 80.0P - 3.2P^2$. Para $F = 0.10$: (a) calcúlese la temperatura de la roca que se funde; (b) calcúlense $(\partial T/\partial P)_F$ y $(\partial T/\partial F)_P$; (c) calcúlese la productividad con $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\alpha/\rho = 1.21 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ y $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. (d) ¿Cuánto valdría sin calor latente?

Solución

Solución de Ejercicio 7.8.

(a) $T_{\mathrm s} = 1331.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 160.0 - 12.8 = 1622.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T = 1331.1 + 0.10\times291.1 = 1360.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, o sea $1633\,\mathrm{K}$. (b) $(\partial T/\partial P)_F = 112.5 + 0.10\times(67.2 - 112.5) = 108.0\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $(\partial T/\partial F)_P = T_{\mathrm l} - T_{\mathrm s} = 291.1\,\mathrm{K}$. (c) $c_p/T = 0.612$; con $\alpha/\rho = 12.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ por gigapascal, el numerador es $0.612\times108.0 - 12.1 = 54.0$ y el denominador $300 + 0.612\times291.1 = 478.2$: $-\mathrm dF/\mathrm dP = 0.113$, un $11.3\,\%$ por gigapascal. (d) $54.0/178.2 = 0.303$, un $30\,\%$ por gigapascal: el calor latente divide la productividad por un factor de 2.7.

Ejercicio 7.9 ★★

(a) ¿Cuánto rebajan el solidus un 1, un 5 y un $13\,\%$ de agua disuelta en el fundido? (b) ¿Cuál es el solidus saturado en agua a $1\,\mathrm{GPa}$? (c) Un manto contiene $125\,\mathrm{ppm}$ de agua en masa, y el coeficiente de reparto del agua entre minerales y fundido es 0.01. En la primerísima fusión, el fundido contiene $X = X_{\text{global}}/D$: calcúlese, y el descenso del solidus que causa.

Solución

Solución de Ejercicio 7.9.

(a) $43\times1 = 43\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $43\times5^{0.75} = 43\times3.34 = 144\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $43\times13^{0.75} = 43\times6.85 = 294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $125\,\mathrm{ppm}$ son un $0.0125\,\%$, así que $X = 0.0125/0.01 = 1.25\,\%$ y $\Delta T = 43\times1.25^{0.75} = 43\times1.18 = 51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

Ejercicio 7.10 ★★★

(a) En la Proposición 7.11, compruébese que el manto que entra por la base del triángulo cada año es igual al manto que sale por sus lados. ¿Por qué deben estar los lados a $45{}^{\circ}$ para un manto que sube a $U$ y sale a $U$? (b) Demuéstrese que, con una productividad constante $\Pi$ por gigapascal, $h_c = \Pi\,\rho g\,z_0^2/2$ (con $P_0 = \rho g z_0$), de modo que la corteza crece como el cuadrado de la profundidad del inicio. (c) Una dorsal se expande a una velocidad total de $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$ y produce $7.1\,\mathrm{km}$ de corteza: ¿qué volumen de corteza produce cada kilómetro de dorsal al año, y qué volumen de manto funde si la fracción de fundido media es del $12\,\%$?

Solución

Solución de Ejercicio 7.10.

(a) La base mide $2H$ de ancho y el manto la atraviesa a $U$: $2UH$ por unidad de longitud de dorsal y de tiempo. Cada lado abarca la altura $H$ y se atraviesa horizontalmente a $U$: $UH$ cada uno, $2UH$ en total. Con lados a $\theta$ la base mediría $2H/\tan\theta$ y la entrada sería $2UH/\tan\theta$, igual a la salida solo si $\tan\theta = 1$: en este modelo el ángulo lo fija la conservación de la masa. (b) Con productividad constante la fracción de fundido en el vértice es $F_{\max} = \Pi P_0 = \Pi\rho g z_0$, y $H = z_0$: $h_c = F_{\max}z_0/2 = \Pi\rho g z_0^2/2$. (c) Cada año se forman $50\,\mathrm{mm}$ de placa nueva, $0.05\,\mathrm{m}\times1000\,\mathrm{m}\times7100\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ de corteza por kilómetro de dorsal; con una fracción de fundido media del $12\,\%$ procede de $3.6 \times 10^{5}/0.12 = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de manto.

Ejercicio 7.11 ★★★

En el sistema ternario de la figura esquemática, el líquido $X$ tiene un $60\,\%$ de A, un $20\,\%$ de B y un $20\,\%$ de C; el eutéctico binario $e_{AB}$ está en A 40, B 60 (por ciento), y el eutéctico ternario E en A 25, B 30, C 45. (a) Escríbase la composición del líquido cuando ha cristalizado una fracción másica $t$ de A puro, y demuéstrese que la razón de B a C se mantiene en 1. (b) La cotéctica de $e_{AB}$ a E es la línea de los puntos $e_{AB} + s(E - e_{AB})$: hállese dónde la encuentra el líquido, y la fracción de A cristalizada hasta entonces. (c) Cuando el líquido alcanza E, ¿qué fracción del sistema sigue siendo líquida? (C no entra en ningún cristal antes de E.) (d) ¿Cuánto A y cuánto B han cristalizado hasta entonces?

Solución

Solución de Ejercicio 7.11.

(a) Cuando una masa $t$ de A ha salido de una unidad de masa de líquido, el líquido contiene $0.6 - t$ de A, 0.2 de B y 0.2 de C en una masa $1 - t$: $\big((0.6 - t), 0.2, 0.2\big)/(1 - t)$, y B/C sigue valiendo 1. (b) Sobre la cotéctica, $(0.40 - 0.15s, 0.60 - 0.30s, 0.45s)$; B = C da $0.60 - 0.30s = 0.45s$, $s = 0.8$: $L_1$ tiene A 28, B 36, C 36. Entonces $0.2/(1 - t) = 0.36$, $t = 0.44$: un $44\,\%$ del sistema ha cristalizado como A. (c) Todo el C está en el líquido: $f = 20/45 = 0.44$, un $44\,\%$ sigue siendo líquido. (d) A: $0.60 - 0.444\times0.25 = 0.49$; B: $0.20 - 0.444\times0.30 = 0.07$; con el líquido, $49 + 7 + 44 = 100\,\%$.

Ejercicio 7.12 ★★★

El contenido en agua de un fundido saturado es $X_{\mathrm{sat}} = 12P^{0.6} + P$ (por ciento, con $P$ en gigapascales). (a) Calcúlense a 1 y a $2\,\mathrm{GPa}$, el descenso del solidus que produce y el solidus saturado en agua a ambas presiones. (b) ¿Por qué el solidus saturado apenas cambia entre 1 y $2\,\mathrm{GPa}$ mientras que el seco sube más de $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$? (c) En una cuña del manto a $2\,\mathrm{GPa}$ y $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ¿cuánta agua debe contener el fundido para que la roca se funda?

Solución

Solución de Ejercicio 7.12.

(a) $X_{\mathrm{sat}}(1) = 12 + 1 = 13\,\%$, $\Delta T = 294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, solidus saturado $1213.5 - 294 = 919\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $X_{\mathrm{sat}}(2) = 12\times1.516 + 2 = 20.2\,\%$, $\Delta T = 43\times20.2^{0.75} = 43\times9.53 = 410\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, solidus saturado $1331.1 - 410 = 921\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) El fundido disuelve más agua a mayor presión, y el mayor descenso compensa la subida de $118\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ del solidus seco. (c) El solidus debe bajar $1331.1 - 1100 = 231\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $X = (231/43)^{1/0.75} = 5.37^{1.333} = 9.4\,\%$ de agua, menos que el $20.2\,\%$ de saturación, así que la cuña puede fundirse.

7.8 Problema: Bajo la dorsal

Problema 7.1

Problema de fin de semana — de la adiabata del manto al espesor de la corteza oceánica, y de vuelta a la temperatura del manto

El manto sube bajo una dorsal a lo largo de la adiabata y se funde. Datos: coeficiente de dilatación térmica $\alpha = 4.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$; densidad $\rho = 3300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; calor específico $c_p = 1000\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$; entropía de fusión $\Delta S = 300\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; solidus seco $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$ y liquidus de la lherzolita $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 80.0P - 3.2P^2$ (${}^{\circ}\mathrm{C}$, con $P$ en $\mathrm{GPa}$); productividad media del modelo de fusión ajustado, $\Pi = 9\,\%$ por gigapascal; coeficiente de reacción del clinopiroxeno cerca de la superficie, 0.50; corteza observada, $(7.1 \pm 0.8)\,\mathrm{km}$ en las dorsales normales y $20\,\mathrm{km}$ sobre el núcleo de la pluma de Islandia. Tómense el manto y la corteza de la misma densidad.

Parte I — Dónde empieza la fusión.

1. Conviértase $T_p = 1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a kelvin.
2. Calcúlese el gradiente adiabático $\alpha T_p/(\rho c_p)$ en kelvin por gigapascal, y redondéese a la decena más próxima.
3. ¿Cuántos kilómetros de manto forman un gigapascal? Dese el gradiente en kelvin por kilómetro.
4. Con la adiabata $T = 1350 + 20P$, escríbase la ecuación de segundo grado de la presión de inicio $P_0$ y resuélvase.
5. Dense la profundidad y la temperatura a las que empieza la fusión.
6. Compruébese que el solidus en $P_0$ da la misma temperatura.

Parte II — Cuánto fundido.

7. A $1.5\,\mathrm{GPa}$, calcúlense el solidus, el liquidus de la lherzolita y su diferencia.
8. Con una fracción de fundido que crece linealmente entre ambos, dese la temperatura de la roca para $F = 0.10$, en grados Celsius y en kelvin.
9. Calcúlense allí $(\partial T/\partial P)_F$ y $(\partial T/\partial F)_P$.
10. Calcúlese la productividad de la Proposición 7.10, en tanto por ciento por gigapascal.
11. El modelo ajustado da de media $\Pi = 9\,\%$ por gigapascal. ¿Por qué es menor? Con $\Pi$, ¿qué fracción de fundido $F_{\max}$ se alcanza en la superficie?
12. El manto modelo contiene un $13\,\%$ de clinopiroxeno. ¿Con qué fracción de fundido se agota cerca de la superficie? ¿Es el residuo bajo el eje una lherzolita o una harzburgita?

Parte III — La corteza.

13. Úsese la Proposición 7.11 con $H = z_0$ para calcular el espesor de la corteza.
14. ¿Cuál es la fracción de fundido media del fundido agregado?
15. Compárese con el espesor observado.
16. El modelo completo de la figura da $9.0\,\mathrm{km}$. ¿Por qué es más delgado que la estimación obtenida?
17. Demuéstrese que $h_c = k P_0^2$ y calcúlese $k$ en kilómetros por gigapascal al cuadrado.

Parte IV — La temperatura del manto.

18. Calcúlese la presión de inicio $P_0$ que produce $7.1\,\mathrm{km}$ de corteza.
19. Dese la profundidad correspondiente del inicio.
20. Con la adiabata $T = T_p + 20P$, calcúlese la temperatura potencial que sitúa el inicio a esa presión.
21. Rehágase el cálculo para 6.3 y $7.9\,\mathrm{km}$: ¿qué intervalo de $T_p$ permite la dispersión de la corteza?
22. La corteza tiene $20\,\mathrm{km}$ de espesor sobre el núcleo de la pluma de Islandia. Calcúlese allí la temperatura potencial, y su exceso sobre la de la pregunta 20.
23. Las lavas de las islas oceánicas sugieren plumas de 200 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más calientes que el manto circundante. Propóngase por qué la corteza da un exceso menor.
24. ¿En qué porcentaje se engrosa la corteza para un manto $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más caliente, cerca de la dorsal normal?
25. Las dorsales muy lentas producen una corteza más delgada. Explíquese por qué con el triángulo.
26. Dese la temperatura potencial del manto bajo una dorsal normal que da el espesor de la corteza, el número clave de este problema, y compárese con los $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de la física de minerales y con el intervalo de 1280 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de las lavas.

Solución

Solución de Problema 7.1.

1. $1350 + 273 = 1623\,\mathrm{K}$. 2. $4.0 \times 10^{-5}\times1623/(3300\times1000) = 1.97 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa} = 19.7\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, redondeado a $20\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$. 3. $10^{9}/(3300\times9.81) = 30.9\,\mathrm{km}$; $20/30.9 = 0.65\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$. 4. $1350 + 20P = 1085.7 + 132.9P - 5.1P^2$, es decir $5.1P^2 - 112.9P + 264.3 = 0$: $P_0 = (112.9 - \sqrt{12746.4 - 5391.7})/10.2 = (112.9 - 85.76)/10.2 = 2.66\,\mathrm{GPa}$. 5. $2.66\times30.9 = 82\,\mathrm{km}$; $T = 1350 + 20\times2.66 = 1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 6. $1085.7 + 132.9\times2.66 - 5.1\times2.66^2 = 1085.7 + 353.5 - 36.1 = 1403\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 7. $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 199.4 - 11.5 = 1273.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_{\mathrm l} = 1475.0 + 120.0 - 7.2 = 1587.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; diferencia $314.2\,\mathrm{K}$. 8. $1273.6 + 0.10\times314.2 = 1305.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1578\,\mathrm{K}$. 9. $T_{\mathrm s}' = 132.9 - 15.3 = 117.6\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm l}' = 80.0 - 9.6 = 70.4\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$: $(\partial T/\partial P)_F = 117.6 + 0.10\times(70.4 - 117.6) = 112.9\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $(\partial T/\partial F)_P = 314.2\,\mathrm{K}$. 10. $c_p/T = 1000/1578 = 0.634$; numerador $0.634\times112.9 - 12.1 = 71.6 - 12.1 = 59.5$; denominador $300 + 0.634\times314.2 = 499.2$: $0.119$, o sea un $11.9\,\%$ por gigapascal. 11. Con la función ajustada $F = T'^{1.5}$, donde $T'$ es la fracción del camino del solidus al liquidus, la temperatura debe subir mucho con $F$ para formar el primer uno por ciento de fundido, de modo que $(\partial T/\partial F)_P$ es grande cerca del solidus y la fusión empieza despacio. $F_{\max} = 0.09\times2.66 = 0.24$, un $24\,\%$. 12. $0.13/0.50 = 0.26$: el clinopiroxeno se agota con un $26\,\%$ de fusión. Con un $24\,\%$ el residuo bajo el eje aún conserva un poco: una lherzolita pobre en clinopiroxeno, al borde de la harzburgita. 13. $h_c = 0.24\times82/2 = 9.8\,\mathrm{km}$. 14. $F_{\max}/2 = 12\,\%$. 15. $9.8\,\mathrm{km}$ es un $38\,\%$ más que $7.1\,\mathrm{km}$, por encima del intervalo de la corteza normal. 16. Una productividad constante da demasiado fundido al manto más profundo; el modelo ajustado forma despacio el primer fundido, $F(z)$ se mantiene más bajo cerca del inicio, y $\int F\,\mathrm dz$ es menor. 17. $F_{\max} = \Pi P_0$ y $H = 30.9P_0$ (km): $h_c = \Pi P_0\times30.9P_0/2 = kP_0^2$ con $k = 0.09\times30.9/2 = 1.39\,\mathrm{km}/\mathrm{GPa}^{2}$. 18. $P_0 = \sqrt{7.1/1.39} = \sqrt{5.11} = 2.26\,\mathrm{GPa}$. 19. $2.26\times30.9 = 70\,\mathrm{km}$. 20. $T_{\mathrm s}(2.26) = 1085.7 + 300.4 - 26.0 = 1360.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y $T_p = 1360.0 - 20\times2.26 = 1360.0 - 45.2 = 1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 21. Para $6.3\,\mathrm{km}$: $P_0 = \sqrt{4.53} = 2.13\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s} = 1345.6\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p = 1303\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Para $7.9\,\mathrm{km}$: $P_0 = \sqrt{5.68} = 2.38\,\mathrm{GPa}$, $T_{\mathrm s} = 1373.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $T_p = 1326\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La dispersión de la corteza permite $1315 \pm 12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 22. $P_0 = \sqrt{20/1.39} = \sqrt{14.39} = 3.79\,\mathrm{GPa}$; $T_{\mathrm s} = 1085.7 + 503.7 - 73.3 = 1516.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $T_p = 1516.1 - 75.8 = 1440\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, un exceso de $1440 - 1315 = 125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 23. Ambos usan indicios distintos. Las lavas registran el manto más caliente, en el centro de la pluma; la corteza promedia los fundidos de todo el manto que atraviesa la región de fusión, en gran parte más frío. El modelo simple también mantiene constante la productividad, aunque el clinopiroxeno se agota con un $26\,\%$ mientras que aquí $\Pi P_0 = 0.09\times3.79 = 0.34$: el manto caliente real se funde menos, y necesita una temperatura más alta para formar la misma corteza. 24. $T_{\mathrm s}'(2.26) = 132.9 - 23.1 = 109.8\,\mathrm{K}/\mathrm{GPa}$; $\Delta P_0 = 10/(109.8 - 20) = 0.111\,\mathrm{GPa}$; como $h_c \propto P_0^2$, $\Delta h_c/h_c = 2\times0.111/2.26 = 9.8\,\%$, cerca de una décima parte por cada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. 25. En una dorsal muy lenta el manto sube tan despacio que pierde calor por conducción hacia la superficie fría; abandona la adiabata, su fusión se detiene a más profundidad, y se recorta la parte alta del triángulo, donde $F$ es mayor: la corteza es más delgada. 26. La corteza de las dorsales normales da una temperatura potencial del manto de $1315\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, con un margen de unos $12\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por debajo de los $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de la física de minerales, cuya incertidumbre es más o menos la misma, y muy dentro del intervalo de 1280 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de las lavas. Tres termómetros independientes coinciden en un manto de cerca de $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $1350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.