28Peligros geológicos y riesgo

Un edificio diseñado para el movimiento del suelo que se supera, por término medio, una vez cada 475 años tiene una probabilidad entre diez de sufrirlo durante una vida útil de cincuenta años. Las dos afirmaciones son la misma cifra leída de dos maneras, y pasar de una a otra es el trabajo diario de la ciencia de los peligros. Este capítulo construye sus herramientas: la probabilidad de los sucesos raros, la curva de peligrosidad de un emplazamiento, la estabilidad de un talud, la velocidad y el remonte de un tsunami, la frecuencia de las crecidas, y la física que determina con cuánta antelación puede avisarse de cada peligro.

Lo que ya sabes

De los volúmenes escolares: peligro natural, catástrofe natural y deslizamiento de tierra; vulnerabilidad, riesgo, prevención y mapa de peligrosidad; tsunami; el periodo de retorno de una crecida, y la fórmula del rango $T = (n + 1)/m$ para un registro de $n$ caudales máximos anuales. Del volumen de primer año: la ley de Gutenberg–Richter $\log_{10} N(\geq M) = a - bM$ y su valor b; el momento sísmico y la magnitud de momento; la presión intersticial, la tensión efectiva $\sigma' = \sigma - u$ y el criterio de rotura de Coulomb $\tau = c' + \sigma' \tan\varphi'$. Del Capítulo 6: las corrientes de densidad piroclásticas, los lahares y la caída de tefra. De los libros de matemáticas: las distribuciones de Poisson y exponencial, la distribución normal y su función de distribución $\Phi$. Del volumen de segundo año de los libros de física: la relación de dispersión de las ondas de gravedad superficiales, $\omega^2 = gk\tanh(kh)$.

28.1 Peligro, exposición y riesgo

Definición 28.1 (Peligro geológico, exposición, riesgo de desastre)

Un peligro geológico es un proceso o fenómeno que se origina en los procesos internos de la Tierra —un terremoto, una erupción, un movimiento de masa como un deslizamiento o un flujo de derrubios— y que puede causar pérdida de vidas, lesiones, daños o perturbaciones. Se caracteriza por su localización, su intensidad o magnitud, y su frecuencia o probabilidad. La exposición a un peligro es la situación de las personas, los edificios, las infraestructuras y otros bienes situados donde el peligro puede alcanzarlos, medida por su número o su valor. El riesgo de desastre es la posible pérdida de vidas, de salud o de bienes que podría producirse en un periodo dado, determinada probabilísticamente a partir del peligro, la exposición y la vulnerabilidad de lo expuesto.

La terminología internacional clasifica aparte los tsunamis: desencadenados por terremotos y otros sucesos geológicos, se convierten en un proceso oceánico y golpean como un peligro costero, relacionado con el agua. Este capítulo los trata con los demás, porque su origen es geológico.

La definición contiene un producto. Si los sucesos de intensidad $i$ se producen con una tasa anual $\lambda_i$, si los bienes expuestos valen $E$ y si un suceso de intensidad $i$ destruye una fracción $V_i$ de ellos (la vulnerabilidad, entre 0 y 1), la pérdida anual esperada es

a menudo abreviada como riesgo = peligro $\times$ exposición $\times$ vulnerabilidad. El riesgo se anula cuando se anula cualquier factor: un volcán violento en una isla deshabitada, una ciudad poblada sobre un cratón tranquilo, o unos edificios que resisten la sacudida. La ciencia de los peligros mide el primer factor; la figura siguiente lo sitúa entre los tres.

28.2 La probabilidad de los sucesos raros

Definición 28.2 (Periodo de retorno)

Supóngase que sucesos de un tipo dado —una crecida por encima de un caudal, un movimiento del suelo por encima de un nivel, un terremoto por encima de una magnitud— se producen con una tasa anual media $\lambda$. Su periodo de retorno es $T = 1/\lambda$: el intervalo medio entre dos de ellos, y la inversa de su tasa anual, no un calendario.

Definición 28.3 (Probabilidad de excedencia)

La probabilidad de excedencia de un nivel en un tiempo de exposición $t$ es la probabilidad de que el nivel se iguale o se supere al menos una vez durante $t$.

Proposición 28.4 (Modelo de recurrencia de Poisson)

Supóngase que los sucesos se producen de uno en uno, con independencia unos de otros y del tiempo transcurrido, con una tasa media constante $\lambda = 1/T$. Entonces el número $N$ de sucesos en un tiempo $t$ sigue la distribución de Poisson de media $\lambda t$; la probabilidad de excedencia en $t$ es

$$P(t) = 1 - e^{-t/T};\tag{28.2}$$

y el intervalo entre sucesos consecutivos sigue la distribución exponencial de media $T$.

Dos consecuencias se usan en todas partes. Para una probabilidad $p$ en un tiempo de exposición $t$, el periodo de retorno es $T = -t/\ln(1 - p)$: un $10\,\%$ en 50 años da $T = 50/0.10536 = 474.6$ años, el movimiento «de 475 años» de las normas de construcción, y un $2\,\%$ en 50 años da 2475 años. Y cuando $t \ll T$, $P \approx t/T$: la tasa puede leerse como una probabilidad anual. A lo largo de un periodo de retorno completo, en cambio, la probabilidad es $1 - e^{-1} = 63\,\%$, no 1. La figura siguiente (izquierda) representa (28.2) para tres periodos de retorno.

¿Es cierto el modelo? El catálogo mundial de terremotos de magnitud igual o superior a 7 contiene 696 sucesos de 1976 a 2025, 695 intervalos con una media de 26.2 días. Si fueran un proceso de Poisson, la fracción de intervalos más largos que $t$ sería $e^{-t/26.2}$, una recta en un eje logarítmico. La figura siguiente (derecha) muestra que casi lo es: el $30.4\,\%$ de los intervalos es más largo que 30 días, frente al $31.8\,\%$ del modelo, y la desviación típica de los intervalos es 1.07 veces su media, frente a exactamente 1. El defecto está en los intervalos cortos: 36 pares caen el mismo día, réplicas y dobletes que un proceso sin memoria no agruparía. Por eso los mapas de peligrosidad eliminan de un catálogo los sucesos dependientes, lo desagrupan, de modo que los terremotos principales restantes puedan tratarse como un proceso de Poisson; sus tasas por magnitud proceden de la ley de Gutenberg–Richter.

28.3 El peligro sísmico

Definición 28.5 (Análisis probabilista de la peligrosidad sísmica, ecuación de predicción del movimiento del suelo, aceleración máxima del suelo, curva de peligrosidad)

La aceleración máxima del suelo (PGA, por sus siglas en inglés) en un emplazamiento es la mayor aceleración horizontal absoluta del suelo durante un terremoto, expresada habitualmente como una fracción de $g$. Una ecuación de predicción del movimiento del suelo (GMPE) da la distribución de probabilidad de una medida de la sacudida, como la PGA, en un emplazamiento —una mediana y una dispersión— en función de la magnitud, la distancia a la fuente y las condiciones del terreno. El análisis probabilista de la peligrosidad sísmica (PSHA) combina todos los terremotos que pueden afectar a un emplazamiento, con sus tasas y distancias, con una GMPE, para dar la tasa anual con que se supera cada nivel de sacudida. La curva de esa tasa frente al nivel es la curva de peligrosidad del emplazamiento.

La PGA es lo que experimenta una partícula del suelo. Un edificio responde a la parte del movimiento cercana a su propio periodo natural, y las normas cartografían también esa respuesta, la aceleración espectral; la PGA mantiene sencillo el razonamiento y es la que se usa aquí.

Método 28.6 (Un análisis probabilista de la peligrosidad sísmica)

1. Fuentes. Cartografíense las fallas y las zonas sismogénicas en torno al emplazamiento, y la distancia $d$ de cada una a él.
2. Recurrencia. Para cada fuente, tómese la tasa anual de terremotos por magnitud a partir de una ley de Gutenberg–Richter, truncada en una magnitud máxima $M_{\max}$: $N(\geq m) = 10^{a - bm} - 10^{a - bM_{\max}}$, desde una magnitud mínima $M_{\min}$. Divídase el intervalo en franjas de tasa $\nu_j$ en torno a magnitudes $m_j$.
3. Movimiento del suelo. De la GMPE, tómense la mediana $\mu_j = \log_{10}\mathrm{PGA}$ y la dispersión $\sigma$ de cada franja; la probabilidad de que la PGA supere $a$ es $1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)$.
4. Suma. La tasa anual de excedencia de $a$ es $\lambda(a) = \sum_j \nu_j \bigl[1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)\bigr]$, sumada sobre todas las fuentes.
5. Lectura. La PGA con una probabilidad $p$ de excedencia en $t$ años es el nivel en el que $\lambda(a) = -\ln(1 - p)/t$: $2.107 \times 10^{-3}$ por año para un $10\,\%$ en 50 años.

La GMPE que se usa en este capítulo es la de Boore, Joyner y Fumal, ajustada a 271 registros de 20 terremotos del oeste de Norteamérica: para una componente horizontal aleatoria, en unidades de $g$,

con $M$ la magnitud de momento, $d$ la distancia en kilómetros a la proyección en superficie de la ruptura, y una dispersión $\sigma = 0.230$ en torno a la mediana. Es válida para $5.0 \leq M \leq 7.7$ y $d \leq 100\,\mathrm{km}$. La constante de $5.57\,\mathrm{km}$ es una profundidad ficticia ajustada por la regresión, que mantiene finito el movimiento sobre la fuente. Una magnitud 6 a $15\,\mathrm{km}$ da una mediana de $0.091\,\mathrm{g}$, una magnitud 7.5, $0.200\,\mathrm{g}$; una desviación típica multiplica o divide la mediana por $10^{0.230} = 1.70$.

Los términos $G_B$ y $G_C$ recogen el efecto de sitio. Los emplazamientos se clasifican según la velocidad media de las ondas de cizalla en sus $30\,\mathrm{m}$ superiores: clase A por encima de $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = G_C = 0$), clase B de 360 a $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = 1$) y clase C de 180 a $360\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_C = 1$). Un terreno blando multiplica el movimiento en roca por $10^{0.162} = 1.45$ en la clase B y por $10^{0.251} = 1.78$ en la clase C: una onda que entra en un material más lento se frena, se acorta y crece en amplitud, y una capa blanda o una cuenca rellena de sedimentos puede entrar en resonancia y atraparla.

La figura siguiente aplica el método a una sola zona sismogénica a $15\,\mathrm{km}$ de un emplazamiento en roca, con $a = 4.0$, $b = 1.0$, $M_{\min} = 5$ y $M_{\max} = 7.5$: unos 0.1 terremotos de magnitud 5 o más por año. Para una PGA pequeña, la curva tiende a esa tasa, ya que todo terremoto supera un nivel débil. La PGA del $10\,\%$ en 50 años es de $0.22\,\mathrm{g}$. Si cada terremoto produjera exactamente su mediana, la misma tasa se alcanzaría con $0.13\,\mathrm{g}$, y ningún nivel por encima de la mediana del mayor terremoto, $0.20\,\mathrm{g}$, podría superarse nunca. La dispersión domina los niveles raros: el movimiento de 475 años procede en gran parte de terremotos moderados que sacuden más que su mediana.

28.4 El peligro volcánico

Un volcán amenaza a través de varios procesos a la vez, cada uno con su propio alcance: la tefra cae lejos, a sotavento; las corrientes de densidad piroclásticas y los lahares siguen los valles; las coladas de lava avanzan despacio (Capítulo 6). Su mapa de peligrosidad dibuja una zona para cada uno, a partir de los depósitos de las erupciones pasadas y de modelos de flujo y de caída. Las probabilidades se construyen de forma distinta a las de los terremotos, porque un volcán que despierta no es un proceso estacionario. Un árbol de eventos lleva de la agitación a los desenlaces a través de ramas, cada una desde un suceso previo necesario hasta un desenlace más específico: agitación, magmática o no; erupción o no; explosiva o efusiva; un flujo piroclástico que alcanza un valle dado o no. La probabilidad de un desenlace es el producto de las probabilidades condicionadas a lo largo de su rama. Con $M$ una agitación magmática, $E$ una erupción, $X$ una erupción explosiva y $V$ un flujo en el valle,

cada factor estimado a partir del pasado del volcán, de volcanes comparables o de modelos, y revisado con el teorema de Bayes a medida que llegan nuevos datos de vigilancia (Ejercicio 28.8).

28.5 Los deslizamientos

Un talud se mantiene mientras la resistencia de su material, a lo largo de cualquier superficie sobre la que pudiera deslizar, supere la tensión que la gravedad aplica allí. La resistencia es el criterio de Coulomb del volumen de primer año, escrito en tensiones efectivas: el agua de los poros soporta parte de la carga normal y reduce el rozamiento.

Definición 28.7 (Factor de seguridad, flujo de derrubios)

El factor de seguridad $F$ de un talud a lo largo de una superficie de deslizamiento potencial es la razón entre la resistencia a la cizalla disponible en la superficie y la tensión de cizalla necesaria para el equilibrio. El talud es estable si $F > 1$ y rompe cuando $F$ desciende a 1. Un flujo de derrubios es un flujo rápido de barro, arena, grava, bloques y madera saturados de agua que desciende por un canal como una única masa densa, en la que los granos soportan gran parte de su peso, y se extiende sobre el abanico de la desembocadura del canal.

Proposición 28.8 (Talud infinito)

Una capa de suelo de peso específico $\gamma$ y espesor $z$, medido en vertical, descansa sobre una superficie de deslizamiento paralela al terreno con un ángulo $\beta$; su resistencia viene dada por $c'$ y $\varphi'$, y la presión intersticial sobre la superficie es $u = r_u \gamma z$. Si la capa es lo bastante larga para despreciar sus extremos,

$$F = \frac{c' + \gamma z\,(\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'}{\gamma z \sin\beta\cos\beta}.\tag{28.4}$$

Para una capa seca y sin cohesión, $F = \tan\varphi'/\tan\beta$: se sostiene hasta $\beta = \varphi'$.

La ecuación (28.4) nombra los dos desencadenantes habituales. La lluvia eleva el nivel freático y con él $r_u$; $F$ disminuye linealmente con $r_u$, de modo que un talud que es seguro en seco rompe cuando está húmedo: en la figura anterior, el talud de $35{}^{\circ}$ rompe con $r_u = 0.19$, el de $25{}^{\circ}$ solo con 0.46. La sacudida añade una fuerza horizontal: si se representa por $kW$, con $k$ una fracción de $g$, el numerador pierde $\gamma z k \sin\beta\cos\beta\tan\varphi'$ y el denominador gana $\gamma z k\cos^2\beta$ —un análisis pseudoestático, admitido aquí, que sustituye una sacudida breve por una fuerza constante—. El término de cohesión, $c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta)$, disminuye a medida que la capa se engrosa, de modo que la cohesión protege los suelos delgados más que los profundos.

En diciembre de 1999, una tormenta de tres días descargó $911\,\mathrm{mm}$ de lluvia en Maiquetía, en la costa al norte de Caracas. Miles de deslizamientos superficiales se iniciaron en las laderas de la sierra del Ávila, en pendientes de $30{}^{\circ}$ a más de $60{}^{\circ}$, $42{}^{\circ}$ de media. En los canales se fusionaron en flujos de derrubios, que se movieron a velocidades de 3 a $14\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ a juzgar por la sobreelevación de su superficie en las curvas, y arrastraron bloques de hasta $11\,\mathrm{m}$ de longitud. En el abanico de Caraballeda, que se muestra abajo, dejaron hasta $6\,\mathrm{m}$ de derrubios con bloques, unos 1.8 millones de metros cúbicos. El número de muertos se cifra generalmente en unos $30\,000$.

28.6 Los tsunamis

Un tsunami generado por el levantamiento repentino del fondo marino tiene una longitud de onda de decenas a cientos de kilómetros, mucho mayor que la profundidad del océano. Es una onda larga, y su velocidad solo depende de la profundidad.

Proposición 28.9 (Ondas largas)

Una onda de gravedad superficial cuya longitud de onda es mucho mayor que la profundidad del agua $h$ se propaga a $c = \sqrt{gh}$, sea cual sea su longitud de onda. Donde avanza despacio hacia aguas menos profundas sin reflejarse ni romper, su amplitud $A$ crece como $h^{-1/4}$.

Sobre $4000\,\mathrm{m}$ de agua, un tsunami viaja a $198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $713\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; sobre $5000\,\mathrm{m}$, a $797\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, los «más de 800 km/h» que citan los servicios de alerta. Cerca de la costa, en $10\,\mathrm{m}$ de agua, se frena hasta $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; el agua que viene detrás alcanza su frente, la onda se acorta y se empina, y su altura crece.

Definición 28.10 (Remonte de un tsunami)

El remonte de un tsunami en un punto de la costa es la altura, sobre el nivel del mar en ese momento, del terreno más alto que el agua alcanza tierra adentro allí. La distancia horizontal desde la línea de costa hasta ese punto es la distancia de inundación.

Los equipos de campo miden los remontes a partir de las marcas del agua, las líneas de restos y los daños tras cada tsunami. La base de datos mundial de tsunamis contiene $2177$ observaciones de remonte del tsunami del océano Índico del 26 de diciembre de 2004, generado por un terremoto de magnitud 9.1 frente a Sumatra, con una altura máxima del agua de $50.9\,\mathrm{m}$, y $6429$ del tsunami del 11 de marzo de 2011 frente a Honshu, también de magnitud 9.1, con un máximo de $39.3\,\mathrm{m}$. Los dos mataron a $227\,899$ y $18\,423$ personas. En Banda Aceh, el agua llegó a la mitad del segundo piso de la mezquita que se ve abajo.

28.7 Las crecidas

Definición 28.11 (Curva de frecuencia de crecidas)

La curva de frecuencia de crecidas de un río en una estación de aforo es la curva del caudal máximo anual frente a su periodo de retorno, o a su probabilidad anual de excedencia, construida a partir del registro de caudales máximos anuales de la estación y extendida habitualmente mediante una ley de probabilidad ajustada.

La fórmula del rango de los volúmenes escolares sitúa los puntos de la curva. Tiene una razón de ser.

Proposición 28.12 (Posición de trazado de Weibull)

Sean $n$ caudales máximos anuales independientes y extraídos de una misma distribución continua, y sea $G(x)$ la probabilidad de que el máximo de un año supere $x$. El máximo de rango $m$, contado desde el mayor, tiene una probabilidad de excedencia esperada $m/(n + 1)$, de modo que se representa en $T = (n + 1)/m$.

El mayor máximo de un registro de 30 años se representa así en 31 años, y nada en el registro fija la crecida de 100 años. Para alcanzarla, los máximos se ajustan con una ley de extremos, a menudo la de Gumbel, $\Pr(\text{máximo} \leq x) = \exp\bigl(-e^{-(x - u)/\alpha}\bigr)$, cuya crecida de $T$ años es $x_T = u - \alpha\ln\bigl(-\ln(1 - 1/T)\bigr)$: una recta frente a $-\ln(-\ln(1 - 1/T))$, extrapolada más allá del registro con un riesgo que crece con la distancia.

28.8 Vigilancia y alerta temprana

Definición 28.13 (Sistema de alerta temprana)

Un sistema de alerta temprana es un sistema integrado de vigilancia del peligro, previsión, evaluación del riesgo, comunicación y preparación que permite actuar a tiempo antes de un suceso peligroso. Reúne cuatro elementos: el conocimiento del riesgo; la detección, la vigilancia y la previsión del peligro; la difusión de las alertas; y la preparación para responder.

La física fija cuánto tiempo puede dar cada alerta. Es imposible adelantarse a las ondas sísmicas, pero las ondas S, las que causan daños, viajan a unos $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ en la corteza superior, frente a $5.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ de las ondas P: una alerta calculada a partir de las primeras ondas P registradas cerca del epicentro llega a una ciudad antes que las ondas S, con $d(1/3.2 - 1/5.8) = 0.14\,\mathrm{s}$ por kilómetro de distancia $d$, menos el tiempo de detección y de cálculo. Una ciudad a $100\,\mathrm{km}$ gana como mucho $14\,\mathrm{s}$; cerca de la fuente, una zona ciega no recibe ninguno (Ejercicio 28.12). Un tsunami que cruza $100\,\mathrm{km}$ de mar de $2000\,\mathrm{m}$ de profundidad tarda 12 minutos; a través de un océano tarda horas. En 2011, la alerta japonesa se emitió unos tres minutos después del terremoto, pero con una magnitud estimada demasiado baja, porque los instrumentos se saturaron; se actualizó con los datos de una boya GPS mar adentro unos 28 minutos después. Unos registradores de presión de mar profundo, que convierten la presión sobre el fondo marino cada 15 segundos en una altura de la superficie del mar, informan hoy por satélite del paso de los tsunamis.

Sobre el terreno — Vigilar un talud que se mueve

En un talud conocido por su reptación, los equipos de vigilancia instalan instrumentos que miden las variables de la ecuación del talud infinito. Los piezómetros en sondeos registran la presión intersticial sobre la superficie de deslizamiento; los tubos inclinométricos, leídos a intervalos de profundidad, muestran dónde se curva el terreno y a qué velocidad; las estaciones GNSS y los extensómetros registran el movimiento de la superficie; un pluviómetro registra el desencadenante. Los equipos comparan el movimiento con la lluvia y la presión del agua, estación tras estación, y buscan la aceleración que precede a la rotura.

Ejercicios

Datos de los ejercicios, salvo aviso contrario: $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; peso específico del agua $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$; la GMPE (28.3) en roca ($G_B = G_C = 0$), $\sigma = 0.230$; velocidades P y S en la corteza superior, 5.8 y $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Redondéese a tres cifras significativas.

Ejercicio 28.1 ★

Con el modelo de Poisson: (a) ¿cuál es la probabilidad de al menos una crecida de 100 años en 30 años? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que pase un siglo sin una crecida de 100 años? (c) Hállese el periodo de retorno del movimiento con una probabilidad de excedencia del $5\,\%$ en 50 años.

Solución

Solución de Ejercicio 28.1.

(a) $1 - e^{-30/100} = 0.259$. (b) $e^{-100/100} = e^{-1} = 0.368$: más de un siglo de cada tres pasa sin ninguna. (c) $T = -50/\ln 0.95 = 975$ años.

Ejercicio 28.2 ★

Dos ciudades se enfrentan a sacudidas fuertes. En la ciudad A, se producen con una tasa de una vez cada 200 años y destruirían el $2\,\%$ de sus 5000 edificios; en la ciudad B, una vez cada 50 años, y destruirían el $10\,\%$ de sus 800 edificios. (a) Hállese el número esperado de edificios destruidos por año en cada ciudad. (b) ¿Qué ciudad tiene el mayor riesgo, aunque tenga la menor exposición? (c) ¿Cuál de los tres factores marca la diferencia?

Solución

Solución de Ejercicio 28.2.

(a) Ciudad A: $(1/200) \times 5000 \times 0.02 = 0.5$ edificios por año; ciudad B: $(1/50) \times 800 \times 0.10 = 1.6$. (b) La ciudad B, con 6.25 veces menos edificios expuestos. (c) Su peligro es 4 veces más frecuente y su vulnerabilidad 5 veces mayor: en conjunto un factor 20, que compensa con creces la menor exposición.

Ejercicio 28.3 ★

(a) Hállese la velocidad de un tsunami sobre profundidades de 4000, 200 y $10\,\mathrm{m}$. (b) ¿Cuánto tarda en cruzar $1500\,\mathrm{km}$ de océano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidad? (c) ¿A qué profundidad viajaría a $800\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

Solución

Solución de Ejercicio 28.3.

(a) $\sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 200} = 44.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\sqrt{9.81 \times 10} = 9.90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $1.5 \times 10^{6}/198.1 = 7570\,\mathrm{s}$, $2.10\,\mathrm{h}$. (c) $800/3.6 = 222.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, y $h = c^2/g = 222.2^2/9.81 = 5030\,\mathrm{m}$.

Ejercicio 28.4 ★

Una arena seca y sin cohesión con $\varphi' = 33{}^{\circ}$ forma un talud largo. (a) Hállese su factor de seguridad a $25{}^{\circ}$. (b) ¿Cuál es el talud más empinado que puede formar? (c) El talud se satura, con el nivel freático en la superficie y una filtración paralela a ella, de modo que $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$ con $\gamma = 20\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Demuéstrese que $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$ y calcúlese a $25{}^{\circ}$.

Solución

Solución de Ejercicio 28.4.

(a) $\tan33{}^{\circ}/\tan25{}^{\circ} = 0.6494/0.4663 = 1.39$. (b) $F = 1$ cuando $\beta = \varphi' = 33{}^{\circ}$. (c) Con $c' = 0$, $F = (\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta)$, y $\cos^2\beta - r_u = \cos^2\beta\,(1 - \gamma_w/\gamma)$, así que $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$: el agua reduce el rozamiento a la mitad. $(1 - 9.81/20) \times 1.393 = 0.510 \times 1.393 = 0.710$: el talud rompe.

Ejercicio 28.5 ★★

El catálogo mundial contiene 696 terremotos de magnitud igual o superior a 7 en los 50 años 1976–2025, y el intervalo medio entre ellos es de 26.2 días. (a) Hállese su tasa anual media. (b) Con el modelo de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que pasen 30 días sin ninguno? Compárese con la fracción observada de intervalos más largos que 30 días, 0.304. (c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos uno en una semana dada?

Solución

Solución de Ejercicio 28.5.

(a) $696/50 = 13.9$ por año. (b) $e^{-30/26.2} = 0.318$, frente a 0.304 observado: cercano. El valor observado es algo menor porque las réplicas y los dobletes agrupados añaden intervalos cortos. (c) $1 - e^{-7/26.2} = 0.234$.

Ejercicio 28.6 ★★

(a) Hállese la PGA mediana de un terremoto de magnitud 6.5 en roca a $d = 0$, 10, 30 y $100\,\mathrm{km}$. (b) ¿Cuál sería a $10\,\mathrm{km}$ en un emplazamiento de clase C? (c) ¿Entre qué valores se sitúa la PGA en roca a $10\,\mathrm{km}$ con una probabilidad de alrededor del $68\,\%$?

Solución

Solución de Ejercicio 28.6.

(a) El término de magnitud es $-0.105 + 0.229 \times 0.5 = 0.0095$. Para $d = 0$, 10, 30 y $100\,\mathrm{km}$, $r = 5.57$, 11.45, 30.51 y $100.2\,\mathrm{km}$, $\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.571$, $-0.814$, $-1.145$ y $-1.547$, y la PGA mediana es 0.269, 0.153, 0.0715 y $0.0284\,\mathrm{g}$. (b) $0.153 \times 10^{0.251} = 0.153 \times 1.78 = 0.272\,\mathrm{g}$. (c) Una desviación típica a cada lado: de $0.153/1.70 = 0.0900\,\mathrm{g}$ a $0.153 \times 1.70 = 0.260\,\mathrm{g}$.

Ejercicio 28.7 ★★

Los caudales máximos anuales de un río durante 12 años fueron, en $\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$: 212, 148, 305, 176, 251, 133, 188, 420, 160, 229, 195, 268. (a) Dense los periodos de retorno de los cuatro mayores. (b) Estímese la crecida de 10 años interpolando linealmente en $\ln T$ entre los dos mayores. (c) ¿Por qué este registro no puede decir nada fiable sobre la crecida de 100 años?

Solución

Solución de Ejercicio 28.7.

(a) Ordenados: 420 ($T = 13/1 = 13$ años), 305 (6.5), 268 (4.33), 251 (3.25). (b) $305 + (420 - 305)\ln(10/6.5)/\ln(13/6.5) = 305 + 115 \times 0.621 = 376\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) El mayor máximo se representa en 13 años; cualquier valor a 100 años extrapola muy lejos del registro, con una ley de extremos cuya elección y cuyos parámetros apenas acotan los 12 puntos.

Ejercicio 28.8 ★★

En un volcán agitado, el observatorio estima: agitación magmática, 0.6; erupción si es magmática, 0.4; explosiva si hay erupción, 0.5; un flujo piroclástico que alcanza un valle dado si es explosiva, 0.3. (a) Hállese la probabilidad de un flujo piroclástico en el valle. (b) Hállese la probabilidad de una erupción, y la de una erupción sin flujo en el valle. (c) Nuevos datos de deformación elevan la probabilidad de una erupción, si la agitación es magmática, a 0.7. Actualícese (a).

Solución

Solución de Ejercicio 28.8.

(a) $0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.036$. (b) $P(\text{erupción}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$; sin flujo en el valle, $0.24 - 0.036 = 0.204$. (c) $0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.3 = 0.063$.

Ejercicio 28.9 ★★

Un suelo seco con $c' = 8\,\mathrm{kPa}$, $\varphi' = 30{}^{\circ}$ y $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ descansa sobre un talud de $35{}^{\circ}$. (a) Hállese el espesor $z_c$ para el que $F = 1$. (b) Hállese $F$ para una capa de $2\,\mathrm{m}$ de espesor. (c) La misma capa se satura, con el nivel freático en la superficie y $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$. Hállese $F$.

Solución

Solución de Ejercicio 28.9.

Aquí $\sin\beta\cos\beta = 0.4698$, $\cos^2\beta = 0.6710$ y $\tan30{}^{\circ}/\tan35{}^{\circ} = 0.8245$. (a) $F = c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta) + 0.8245 = 1$ da $z_c = 8/(19 \times 0.4698 \times 0.1755) = 5.11\,\mathrm{m}$. (b) $8/(19 \times 2 \times 0.4698) + 0.8245 = 0.448 + 0.825 = 1.27$. (c) $r_u = 9.81 \times 0.6710/19 = 0.3465$; $F = [8 + 38 \times (0.6710 - 0.3465) \times 0.5774]/(38 \times 0.4698) = 15.12/17.85 = 0.847$: la capa saturada rompe.

Ejercicio 28.10 ★★★

(a) Demuéstrese que el modelo de Poisson no tiene memoria: la probabilidad de ningún suceso en $[s, s + t]$, sabiendo que no hubo ninguno en $[0, s]$, es $e^{-t/T}$, sea cual sea $s$. (b) Una falla tiene un periodo de retorno de 475 años para sus grandes terremotos y no ha tenido ninguno en 400 años. ¿Cuál es, según el modelo, la probabilidad de uno en los próximos 50 años? (c) El rebote elástico del volumen de primer año sugiere que la probabilidad debería crecer, en cambio, con el tiempo transcurrido desde el último terremoto. ¿Qué hipótesis del modelo de Poisson contradice, y por qué los mapas de peligrosidad conservan el modelo para las fuentes zonales?

Solución

Solución de Ejercicio 28.10.

(a) $\Pr(\text{ninguno en } [0, s+t] \mid \text{ninguno en } [0, s]) = e^{-(s+t)/T}/e^{-s/T} = e^{-t/T}$. (b) Los 400 años de calma no cambian nada: $1 - e^{-50/475} = 0.0999$, un $10\,\%$. (c) Contradice la hipótesis de que la tasa no depende del tiempo transcurrido: tras el rebote, la tensión debe acumularse de nuevo, así que la tasa es baja justo después de un terremoto y crece después. Una zona sismogénica contiene muchas fallas en etapas distintas de sus ciclos; la suma de muchas secuencias independientes de sucesos se comporta casi como un proceso de Poisson, y la tasa es todo lo que se sabe de cada una.

Ejercicio 28.11 ★★★

Un tsunami de $0.5\,\mathrm{m}$ de amplitud y 20 minutos de periodo cruza un océano de $4000\,\mathrm{m}$ de profundidad. (a) Con el argumento del flujo de energía de la proposición sobre las ondas largas, hállese su amplitud en $10\,\mathrm{m}$ de agua. (b) Hállese su longitud de onda en ambas profundidades. (c) Dense dos razones por las que el remonte en la costa puede diferir mucho de esta estimación.

Solución

Solución de Ejercicio 28.11.

(a) $A = 0.5 \times (4000/10)^{1/4} = 0.5 \times 4.47 = 2.24\,\mathrm{m}$. (b) $\lambda = cT$: $198.1 \times 1200 = 238\,\mathrm{km}$ en el océano profundo, $9.90 \times 1200 = 11.9\,\mathrm{km}$ en $10\,\mathrm{m}$ de agua. (c) La amplitud ya no es pequeña frente a la profundidad ($2.2\,\mathrm{m}$ en $10\,\mathrm{m}$), así que la onda se empina y puede romper; parte de la energía se refleja o se concentra por la forma del fondo marino y de las bahías; en tierra, el remonte depende de la pendiente y de la rugosidad del terreno.

Ejercicio 28.12 ★★★

Un sistema de alerta temprana sísmica emite una alerta 4 segundos después de que la onda P llegue a su estación más cercana al epicentro, a $10\,\mathrm{km}$. Despréciese la profundidad de la fuente. (a) ¿Cuándo se emite la alerta tras el terremoto? (b) ¿Cuántos segundos antes de la onda S la recibe una ciudad a $50\,\mathrm{km}$ del epicentro? ¿Y una ciudad a $100\,\mathrm{km}$? (c) Hállese el radio de la zona ciega, donde la onda S llega antes que la alerta.

Solución

Solución de Ejercicio 28.12.

(a) $10/5.8 + 4 = 1.72 + 4 = 5.72\,\mathrm{s}$. (b) La onda S llega a $50\,\mathrm{km}$ al cabo de $50/3.2 = 15.6\,\mathrm{s}$: $15.6 - 5.72 = 9.90\,\mathrm{s}$ de aviso; a $100\,\mathrm{km}$, $31.3 - 5.72 = 25.5\,\mathrm{s}$. (c) $3.2 \times 5.72 = 18.3\,\mathrm{km}$.

Problema 28.1

Problema de fin de semana — Una ciudad entre una falla y un talud

Una ciudad sobre roca se encuentra a $10\,\mathrm{km}$ de una zona sismogénica; todos sus terremotos se toman a $d = 10\,\mathrm{km}$. Su recurrencia es $\log_{10} N(\geq M) = 4.0 - 1.0\,M$ por año para $M \geq 5$, truncada en $M_{\max} = 7.5$. La sacudida sigue la GMPE (28.3) con $\sigma = 0.230$. Por encima de la ciudad, una capa de suelo de $3\,\mathrm{m}$ de espesor descansa sobre un talud de $30{}^{\circ}$, con $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$, $c' = 4\,\mathrm{kPa}$ y $\varphi' = 34{}^{\circ}$; el agua tiene un peso específico de $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. Redondéese a tres cifras significativas.

Parte I — La recurrencia.

1. Hállense las tasas anuales de terremotos de magnitud igual o superior a 5, 6 y 7, sin tener en cuenta la truncación.
2. Dense los periodos de retorno correspondientes.
3. Con la truncación, hállense la tasa de terremotos por encima de 7.5 y la tasa de los comprendidos entre 7 y 7.5.
4. Hállense las tasas de las franjas de magnitud 5–6 y 6–7.
5. ¿Cuál es la probabilidad de al menos un terremoto de magnitud 6 o más en 50 años?
6. ¿Y de magnitud 7 o más?

Parte II — El movimiento del suelo en la ciudad.

7. Hállense $r$ y el término de distancia $-0.778\log_{10} r$.
8. Represéntense las tres franjas por las magnitudes 5.5, 6.5 y 7.25. Hállense la mediana de $\log_{10}\mathrm{PGA}$ y la PGA mediana de cada una.
9. Hállese la PGA que una magnitud 6.5 supera con una probabilidad del $16\,\%$.
10. ¿Cuál es la probabilidad de que una magnitud 6.5 produzca más de $0.3\,\mathrm{g}$?
11. ¿Cuál es la PGA mediana del mayor terremoto posible?

Parte III — La curva de peligrosidad.

12. Hállese la tasa anual de excedencia de $0.2\,\mathrm{g}$, sumada sobre las tres franjas.
13. Lo mismo para $0.3\,\mathrm{g}$.
14. Lo mismo para $0.4\,\mathrm{g}$.
15. ¿Qué tasa anual corresponde a un $10\,\%$ en 50 años?
16. ¿Entre cuáles de los tres niveles se sitúa esa tasa?
17. Interpolando linealmente $\ln\lambda$ frente a $\ln a$, hállese la PGA con una probabilidad de excedencia del $10\,\%$ en 50 años.
18. ¿Qué franjas contribuyen más a la tasa en $0.3\,\mathrm{g}$? Coméntese, usando la respuesta a la pregunta 11.

Parte IV — El talud sobre la ciudad.

19. Hállese el factor de seguridad del talud seco.
20. Hállese ese factor cuando la capa está saturada, con el nivel freático en la superficie ($r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$).
21. ¿Hasta qué fracción del espesor de la capa puede subir el nivel freático antes de que el talud rompa?
22. En un análisis pseudoestático (admitido), la sacudida añade una fuerza horizontal $kW$. Hállese el $k$ crítico del talud seco, para el que $F = 1$.
23. Tomando $k$ igual a la PGA en unidades de $g$, ¿qué magnitud produce el valor crítico como su mediana en la ciudad? Compárese con la respuesta a la pregunta 17.
24. En resumen: ¿cuál es la aceleración máxima del suelo con una probabilidad del $10\,\%$ de superarse en 50 años en la ciudad?

Solución

Solución de Problema 28.1.

Los logaritmos se conservan con cuatro decimales en los pasos intermedios. 1. $10^{4-5} = 0.1$, $10^{4-6} = 0.01$ y $10^{4-7} = 0.001$ por año. 2. 10, 100 y 1000 años. 3. $10^{4-7.5} = 3.16 \times 10^{-4}$ por año; $0.001 - 3.16 \times 10^{-4} = 6.84 \times 10^{-4}$ por año. 4. $0.1 - 0.01 = 0.09$ y $0.01 - 0.001 = 0.009$ por año. 5. $1 - e^{-0.01 \times 50} = 0.393$. 6. $1 - e^{-0.001 \times 50} = 0.0488$. 7. $r = \sqrt{10^2 + 5.57^2} = 11.45\,\mathrm{km}$; $\log_{10} r = 1.0588$ y $-0.778 \times 1.0588 = -0.8237$. 8. $\mu = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$: $-1.0432$, $-0.8142$ y $-0.6424$; medianas 0.0905, 0.153 y $0.228\,\mathrm{g}$. 9. $10^{-0.8142 + 0.230} = 0.260\,\mathrm{g}$. 10. $z = (\log_{10} 0.3 + 0.8142)/0.230 = (-0.5229 + 0.8142)/0.230 = 1.266$, y $1 - \Phi(1.266) = 0.103$. 11. $-0.105 + 0.229 \times 1.5 - 0.8237 = -0.5852$: $0.260\,\mathrm{g}$. 12. Las probabilidades de superar $0.2\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.2 = -0.6990$) son 0.0672 ($z = 1.497$), 0.308 ($z = 0.501$) y 0.597 ($z = -0.246$): $\lambda = 0.09 \times 0.0672 + 0.009 \times 0.308 + 6.84 \times 10^{-4} \times 0.597 = 6.05 \times 10^{-3} + 2.77 \times 10^{-3} + 4.08 \times 10^{-4} = 9.23 \times 10^{-3}$ por año. 13. Para $0.3\,\mathrm{g}$: $z = 2.262$, 1.266 y 0.520, probabilidades 0.0118, 0.103 y 0.302; $\lambda = 1.07 \times 10^{-3} + 9.24 \times 10^{-4} + 2.06 \times 10^{-4} = 2.20 \times 10^{-3}$ por año. 14. Para $0.4\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.4 = -0.3979$): $z = 2.805$, 1.810 y 1.063, probabilidades 0.00251, 0.0352 y 0.144; $\lambda = 2.26 \times 10^{-4} + 3.17 \times 10^{-4} + 9.84 \times 10^{-5} = 6.41 \times 10^{-4}$ por año. 15. $-\ln 0.9/50 = 2.107 \times 10^{-3}$ por año, un periodo de retorno de 475 años. 16. Entre $0.3\,\mathrm{g}$ ($2.20 \times 10^{-3}$) y $0.4\,\mathrm{g}$ ($6.41 \times 10^{-4}$). 17. La pendiente es $\ln(6.41/22.0)/\ln(4/3) = -1.233/0.2877 = -4.29$, y $a = 0.3 \times (2.107/2.20)^{-1/4.29} = 0.3 \times 1.0101 = 0.303\,\mathrm{g}$. 18. En $0.3\,\mathrm{g}$, la franja 5–6 aporta el $48.5\,\%$ de la tasa; la 6–7, el $42.1\,\%$; y la 7–7.5, solo el $9.4\,\%$. Incluso el mayor terremoto tiene una mediana de $0.260\,\mathrm{g}$, por debajo de $0.3\,\mathrm{g}$: el nivel solo se alcanza en la cola superior de la dispersión, y los frecuentes terremotos moderados aportan la mayor parte. 19. $4/(19 \times 3 \times 0.4330) + \tan34{}^{\circ}/\tan30{}^{\circ} = 0.162 + 1.168 = 1.33$. 20. $r_u = 9.81 \times 0.75/19 = 0.387$; $F = [4 + 57 \times (0.75 - 0.387) \times 0.6745]/(57 \times 0.4330) = 17.95/24.68 = 0.727$: el talud saturado rompe. 21. Con el nivel freático a una fracción $m$ del espesor, $r_u = 0.387\,m$. $F = 1$ cuando $0.75 - 0.387\,m = (24.68 - 4)/(57 \times 0.6745) = 0.538$: $m = 0.548$, un nivel freático al $55\,\%$ de la capa. 22. Al dividir $F = 1$ por $\gamma z$: $0.0702 + (0.75 - 0.4330\,k) \times 0.6745 = 0.4330 + 0.75\,k$, así que $k_c = (0.0702 + 0.5059 - 0.4330)/(0.2921 + 0.75) = 0.1431/1.042 = 0.137$. 23. $\log_{10} 0.137 = -0.8633 = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ da $M = 6.29$. Esos terremotos se producen con una tasa de $10^{4 - 6.29} - 10^{-3.5} = 4.81 \times 10^{-3}$ por año, una vez cada 208 años aproximadamente, y la PGA de 475 años de la pregunta 17 es más del doble de los $0.137\,\mathrm{g}$ críticos: según este análisis, el talud seco rompe con una sacudida muy inferior al movimiento de 475 años. 24. La aceleración máxima del suelo con una probabilidad del $10\,\%$ de superarse en 50 años en la ciudad es de $0.303\,\mathrm{g}$.