22Sistemas meteorológicos

Una predicción a cuatro días es hoy tan precisa como lo era una predicción a un día hace treinta años, y cada década ha añadido aproximadamente un día de predicción útil. Sin embargo, ninguna predicción del tiempo de un día dado, en un lugar dado, es fiable mucho más allá de diez días, y unos ordenadores mejores no bastarán por sí solos para alejar mucho ese límite: la atmósfera amplifica sus propias pequeñas incertidumbres. Este capítulo describe los sistemas meteorológicos que siguen las predicciones, los frentes y las depresiones de las latitudes medias, las ondas de la corriente en chorro y los ciclones tropicales, y después la manera en que se predicen y por qué la predicción tiene que detenerse en algún punto.

Lo que ya sabes

De los volúmenes escolares: las masas de aire, los frentes, los frentes fríos y cálidos, las depresiones y los anticiclones, las isobaras y las predicciones meteorológicas; el ciclón tropical, su ojo y su pared del ojo, la escala de Saffir–Simpson. Del volumen de primer año: la fuerza del gradiente de presión, el parámetro de Coriolis $f = 2\Omega\sin\varphi$, el equilibrio geostrófico, los ciclones y los anticiclones, las tres células, los vientos del oeste y las corrientes en chorro. De los libros de física: las máquinas térmicas y el rendimiento de un ciclo de Carnot. Del Capítulo 21: la saturación, la adiabática húmeda, $\theta_e$, la inestabilidad condicional y la CAPE.

22.1 Los frentes

Los volúmenes escolares dibujaban los frentes como líneas en un mapa. Un frente es la línea donde una superficie inclinada que separa dos masas de aire corta el suelo, y su tiempo procede de esa inclinación.

Definición 22.1 (Superficie frontal; frente estacionario; frente ocluido)

La superficie frontal de un frente es la superficie inclinada que separa las dos masas de aire, con la más densa y fría debajo, en forma de cuña; el frente del mapa es su intersección con el suelo. Un frente estacionario es un frente que se desplaza muy despacio o no se desplaza. Un frente ocluido es un compuesto de dos frentes, formado cuando un frente frío alcanza a un frente cálido o estacionario.

Un frente estacionario se forma cuando ninguna de las dos masas de aire puede empujar a la otra, porque los vientos soplan a lo largo del frente en lugar de atravesarlo; puede permanecer días, nuboso y húmedo, antes de volver a moverse como frente frío o cálido. En un mapa alterna los triángulos azules de un frente frío, que apuntan hacia el aire cálido, con los semicírculos rojos de un frente cálido, que apuntan hacia el aire frío. Un frente ocluido se dibuja en violeta con ambos símbolos del mismo lado. Cuando el aire de detrás del frente frío es el más frío, se desliza bajo el frente cálido y lo levanta en altura: una oclusión fría; cuando el aire de delante del frente cálido es el más frío, el frente frío asciende por encima de él: una oclusión cálida.

¿Qué inclinación tiene una superficie frontal? La respuesta une el equilibrio hidrostático al equilibrio geostrófico del volumen de primer año.

Proposición 22.2 (Pendiente de una superficie frontal)

Sea una superficie frontal que separa aire frío a la temperatura $T_c$ de aire cálido a $T_w$, con vientos geostróficos $v_c$ y $v_w$ a lo largo del frente. Tómese el eje $x$ a través del frente hacia el aire frío y el eje $y$ a lo largo de él, de modo que $(x, y, z)$ sea directo. Entonces la superficie frontal se eleva hacia el aire frío con la pendiente

$$\tan\alpha \approx \frac{f\,\bar T\,(v_c - v_w)}{g\,(T_w - T_c)},$$

donde $\bar T$ es la temperatura media. Una superficie frontal en equilibrio necesita un salto del viento a lo largo de ella, $v_c > v_w$: el viento gira ciclónicamente a través del frente.

Ejemplo 22.3 (Una pendiente típica)

A $45{}^{\circ}$ N, $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. A través de un frente con $\bar T = 280\,\mathrm{K}$, un contraste de temperatura de $5\,\mathrm{K}$ y un viento que cambia $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a lo largo de él, $\tan\alpha = 1.03 \times 10^{-4} \times 280 \times 10/(9.81 \times 5) = 0.0059$, aproximadamente 1 por cada 170: la superficie frontal alcanza una altura de $1\,\mathrm{km}$ a unos $170\,\mathrm{km}$ del frente en el suelo. Un salto de viento más brusco da una superficie más empinada; un contraste de temperatura mayor, una más suave.

Los frentes reales tienen pendientes de este orden, y la cuña poco inclinada explica su tiempo. Por delante de un frente cálido, el aire cálido asciende por una pendiente suave a lo largo de cientos de kilómetros: llegan primero las nubes altas, cirros y cirrostratos, luego los altostratos, y las nubes se espesan y bajan hasta que empieza a llover cerca del frente. Un frente frío, más empinado y más rápido, hasta el doble de rápido que un frente cálido, levanta bruscamente el aire cálido: cúmulos y cumulonimbos, chubascos, rachas y una caída repentina de la temperatura, con una presión que deja de bajar y empieza a subir al paso del frente. Un frente donde el aire cálido desciende por la superficie frontal en lugar de ascender por ella se llama catafrente.

22.2 Los ciclones extratropicales

Definición 22.4 (Ciclón extratropical; modelo del frente polar; ciclogénesis)

Un ciclón extratropical es un ciclón de las latitudes medias y altas, a menudo de unos $2000\,\mathrm{km}$ de diámetro, que suele contener frentes, con un frente frío que se extiende cientos de kilómetros hacia el ecuador. El modelo del frente polar describe su vida como una onda que crece sobre el frente polar, el largo frente entre el aire polar y el tropical. La ciclogénesis es la formación o la intensificación de un ciclón.

El modelo sigue a un ciclón a través de cuatro etapas, tal como las dibuja la figura de abajo. Un frente estacionario separa aire frío que se mueve hacia el oeste en su lado polar de aire cálido que se mueve hacia el este en su lado ecuatorial. Una perturbación curva el frente en una onda; la presión baja en su cresta, se forma una baja, y el frente al este de la baja avanza hacia el polo como frente cálido mientras que el frente al oeste de ella avanza hacia el ecuador como frente frío. Entre ambos queda el sector cálido. El frente frío se mueve más deprisa que el frente cálido, el sector cálido se estrecha y el frente frío alcanza al frente cálido cerca de la baja: la oclusión se extiende hacia fuera desde el centro, separando el aire cálido del suelo, y el ciclón, privado de su aporte de aire cálido, se rellena y muere. El punto donde se unen los tres frentes se llama punto triple. En las imágenes de satélite un ciclón maduro muestra una nube en forma de coma, y una ranura seca de aire despejado que se enrolla en su lado sur y este.

Los frentes del modelo no son más que la traza en superficie de los flujos de aire del ciclón, que los meteorólogos describen como tres corrientes: una cinta transportadora cálida, el aire húmedo que asciende desde el sector cálido por delante del frente frío; una cinta transportadora fría en el lado frío de los frentes; y una intrusión seca, una corriente de aire de la troposfera alta, a veces de la parte más baja de la estratosfera, que desciende hacia la superficie por detrás del frente frío y se abre en abanico cerca del suelo.

¿De dónde procede la energía de un ciclón? No solo del calor latente, como en una tormenta, sino del contraste de temperatura entre el aire polar y el tropical. Los ciclones de latitudes medias se refuerzan en las zonas baroclinas, donde la temperatura varía horizontalmente sobre una superficie de presión constante y el viento cambia con la altura. Un ciclón que crece lleva aire cálido hacia el polo y hacia arriba y aire frío hacia el ecuador y hacia abajo: baja el centro de masas de la atmósfera y convierte energía potencial en la energía cinética de sus vientos. El volumen de tercer año estudia esa conversión.

22.3 Las corrientes en chorro y las ondas de Rossby

Los ciclones no están repartidos al azar. El chorro polar, el núcleo rápido de los vientos del oeste por encima del frente polar, acompaña la posición y el movimiento de las altas y las bajas de las latitudes medias; es más rápido en sus máximos de viento (jet streaks), los tramos donde su velocidad culmina, y no rodea el polo como un anillo: serpentea.

Definición 22.5 (Onda de Rossby; vaguada y dorsal en altura)

Una onda de Rossby es una onda del flujo del oeste de la troposfera alta, una sucesión de vaguadas y dorsales de miles de kilómetros de longitud con una gran amplitud norte–sur. Una vaguada en altura es una región alargada de presión relativamente baja en una onda así, donde el flujo se curva hacia el ecuador; una dorsal en altura es una región alargada de presión relativamente alta, donde se curva hacia el polo.

Las ondas de Rossby existen porque el parámetro de Coriolis aumenta hacia el polo. El aire empujado hacia el polo encuentra un $f$ mayor y, conservando su vorticidad absoluta, vuelve hacia el ecuador; el aire empujado hacia el ecuador vuelve hacia el polo. El ritmo al que $f$ aumenta hacia el norte, $\beta = \mathrm{d}f/\mathrm{d}y = 2\Omega\cos\varphi/a$ con $a$ el radio de la Tierra, fija su velocidad. El volumen de tercer año deduce, a partir de la conservación de la vorticidad, la velocidad de fase de una onda de longitud de onda $\lambda$ en un viento del oeste uniforme $U$:

Admítase aquí. Respecto del aire, toda onda de Rossby se desplaza hacia el oeste, y tanto más deprisa cuanto más larga es la onda; el viento la lleva hacia el este. Las ondas cortas son arrastradas hacia el este casi a la velocidad del viento; las largas derivan despacio, se quedan quietas o incluso se desplazan hacia el oeste.

Ejemplo 22.6 (Tres ondas a 45° N)

Con $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ (un día sidéreo de $23.9345\,\mathrm{h}$) y $a = 6371\,\mathrm{km}$, $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ a $45{}^{\circ}$ N. En un viento del oeste de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, una onda de $4000\,\mathrm{km}$ tiene $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y se desplaza hacia el este a $8.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; una de $6000\,\mathrm{km}$ tiene $\beta/k^2 = 14.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y apenas se mueve, a $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; una de $8000\,\mathrm{km}$ se desplaza hacia el oeste a $11.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Las vaguadas de las ondas largas se desplazan despacio y duran mucho; las ondas cortas que viajan a través de ellas, las vaguadas de onda corta, inducen aire ascendente por delante, en su lado este, donde la presión en superficie baja y se forman bajas. Una vaguada cuyo eje se inclina de sureste a noroeste suele ser signo de un sistema en formación o en intensificación.

A veces la configuración deja de moverse por completo.

Definición 22.7 (Bloqueo atmosférico)

El bloqueo atmosférico es un sistema de altas presiones grande, persistente y casi estacionario, a veces emparejado con una baja, que interrumpe el flujo normal hacia el este de la corriente en chorro. Los métodos de detección de bloqueos exigen casi todos que dure al menos cinco días.

Un bloqueo desvía el chorro y los ciclones a su alrededor y mantiene el mismo tiempo sobre la misma región durante días: los bloqueos traen olas de calor, sequías, incendios forestales, olas de frío e inundaciones a las latitudes medias. A finales de junio y principios de julio de 2021, un fuerte bloqueo provocó la ola de calor del Noroeste del Pacífico de América del Norte, que causó más de mil muertes. Los procesos físicos que hay detrás del bloqueo todavía no se comprenden bien, y los modelos numéricos tienen dificultades para reproducir la frecuencia con que se producen los bloqueos y su duración.

22.4 Los ciclones tropicales

Los ciclones tropicales no tienen frentes ni contraste de temperatura del que alimentarse. Obtienen su energía del océano cálido, a través del calor latente del agua que evaporan, tal como lo midió el Capítulo 21. Seis condiciones favorecen su formación: agua oceánica de al menos $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en un espesor del orden de $50\,\mathrm{m}$; una atmósfera que se enfríe lo bastante deprisa con la altura para ser inestable para la convección húmeda; una troposfera media húmeda, hacia $5\,\mathrm{km}$; una distancia de al menos unos $500\,\mathrm{km}$ al ecuador, para que la fuerza de Coriolis pueda mantener la baja en equilibrio; una perturbación preexistente cerca de la superficie; y una cizalladura vertical del viento débil, por debajo de unos $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entre la superficie y la troposfera alta. Son necesarias pero no suficientes: muchas perturbaciones que las cumplen nunca se desarrollan.

Una vez formado, un ciclón tropical es una máquina térmica. El aire converge en espiral hacia el centro sobre el mar a temperatura casi constante, ganando calor y humedad del océano; en la pared del ojo asciende adiabáticamente; en la salida cerca de la tropopausa pierde calor por radiación a una temperatura baja, casi constante; y desciende de nuevo lejos del centro, completando un ciclo que se parece al de Carnot. El trabajo del ciclo mueve los vientos contra el rozamiento de la superficie del mar.

Proposición 22.8 (Intensidad potencial)

La intensidad potencial de un ciclón tropical, la velocidad máxima del viento cerca de la superficie que el océano y la atmósfera que lo rodean pueden mantener, viene dada aproximadamente por

$$V_{\max}^2 = \frac{C_k}{C_D}\,\frac{T_s - T_o}{T_o}\,\bigl(h_o^* - h^*\bigr),$$

donde $T_s$ es la temperatura de la superficie del mar, $T_o$ la temperatura de la salida, $C_k/C_D$ el cociente de los coeficientes de intercambio de entalpía y de cantidad de movimiento entre el mar y el aire, que suele tomarse igual a 0.9, y $h_o^* - h^*$ el exceso de $c_pT + gz + Lq$ en la saturación en la superficie del mar sobre su valor de saturación en el aire por encima de la capa límite (se admite).

La fracción $(T_s - T_o)/T_o$ no es el rendimiento de Carnot $(T_s - T_o)/T_s$ de los libros de física: es mayor en el factor $T_s/T_o$, porque el rozamiento que disipa el trabajo calienta el aire que entra cerca de la superficie del mar, y la máquina vuelve a usar ese calor. El último factor es el combustible. En una atmósfera tropical cuya temperatura sigue la adiabática húmeda del aire de su capa límite, $h^*$ es el valor de $c_pT + gz + Lq$ en ese aire, y $h_o^* - h^*$ mide lo lejos que está el aire sobre el mar de la saturación a la temperatura del mar:

con $T_a$ y $q_a$ la temperatura y la humedad específica del aire cerca de la superficie y $q_s^*$ la humedad específica de saturación a la temperatura de la superficie del mar.

Ejemplo 22.9 (Una intensidad potencial)

Sobre un mar a $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, el aire a $1015\,\mathrm{hPa}$ está a $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con una humedad relativa del $80\,\%$, y la salida está a $200\,\mathrm{K}$, una media anual típica sobre los océanos tropicales cálidos. Por la Proposiciones 21.5 y 21.2, $e_s(29\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 41.0\,\mathrm{hPa}$, así que $q_s^* = 25.5\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, y el aire, con $e = 0.8 \times 38.7\,\mathrm{hPa}$, tiene $q_a = 19.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. Entonces $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0063 = 16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, el factor $(T_s - T_o)/T_o$ es $(302.15 - 200)/200 = 0.511$, y $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.511 \times 16\,800} = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Las tormentas más fuertes se acercan a esos valores: lo más alto de la escala de Saffir–Simpson, la categoría 5, empieza en $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y cinco tormentas recientes han superado los $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La mayoría de las tormentas rara vez alcanzan su intensidad potencial: las tormentas reales casi nunca están en el estado estacionario que supone la teoría, y la teoría deja fuera la cizalladura vertical del viento, el aire seco que entra en la tormenta y el descenso del aire que la rodea, que debilitan una tormenta.

22.5 La predicción numérica del tiempo

Definición 22.10 (Predicción numérica del tiempo; asimilación de datos; predicción por conjuntos; límite de predictibilidad)

La predicción numérica del tiempo es la predicción por ordenador: las ecuaciones que rigen el movimiento, la energía y el agua de la atmósfera se integran hacia delante en el tiempo a partir de su estado observado. La asimilación de datos combina las observaciones más recientes con una predicción a corto plazo hecha a partir de observaciones anteriores para obtener la mejor estimación del estado presente, el análisis, del que parte la predicción. Una predicción por conjuntos es un conjunto de predicciones lanzadas desde estados iniciales ligeramente distintos, y con versiones ligeramente distintas del modelo, para mostrar el abanico de tiempos posibles y su probabilidad. El límite de predictibilidad es el plazo más allá del cual una predicción del estado del tiempo no es mejor que una conjetura basada en el clima, porque los errores del estado inicial han crecido hasta igualar las diferencias entre dos estados cualesquiera de la atmósfera.

La primera predicción numérica se calculó en 1950 en el ENIAC, uno de los primeros ordenadores electrónicos. Un modelo global divide hoy la atmósfera en una malla de celdas de unos pocos kilómetros de lado y parte de un análisis que combina observaciones de estaciones meteorológicas, aviones, radiosondas, barcos, boyas y, sobre todo, satélites, que aportan la mayor contribución a la calidad de las predicciones globales. En un gran centro de predicción el conjunto tiene 51 miembros, una pasada de control y 50 perturbadas, con una resolución de unos $9\,\mathrm{km}$, lanzadas dos veces al día hasta 15 días vista.

¿Por qué perturbar una predicción que podría partir del mejor análisis? Porque la atmósfera es caótica, sensible a su estado inicial. Un sistema de tres variables, publicado en 1963, lo muestra a la escala más pequeña.

Proposición 22.11 (El sistema de Lorenz)

El sistema

$$\dot x = \sigma(y - x), \qquad \dot y = x(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz,$$

con $\sigma = 10$, $r = 28$ y $b = 8/3$, tiene las propiedades siguientes.

1. Sus puntos fijos son el origen y $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{b(r - 1)}, \pm\sqrt{b(r - 1)}, r - 1\bigr) = (\pm 8.49, \pm 8.49, 27)$.
2. Todo volumen de su espacio de fases se contrae como $\mathrm{e}^{-(\sigma + 1 + b)t}$: sus trayectorias acaban en un conjunto de volumen nulo, el atractor.
3. Sobre el atractor, dos trayectorias que parten a una pequeña distancia $\delta_0$ se separan, en promedio, como $\delta(t) \approx \delta_0\,\mathrm{e}^{\lambda t}$, con $\lambda = 0.906$, hasta que $\delta$ alcanza el tamaño del atractor (calculado, se admite). Los errores pequeños se duplican cada $\ln 2/\lambda = 0.77$ unidades de tiempo.

Las figuras muestran lo que significa la proposición. Dos pasadas que parten a $10^{-5}$ de distancia se siguen durante unas quince unidades de tiempo, y después se separan para siempre: cada una sigue pareciendo una trayectoria plausible del sistema, pero ya no son la misma trayectoria. Promediada sobre 200 pares de pasadas iniciadas a $10^{-8}$ de distancia, la distancia crece exponencialmente al ritmo $\lambda$, una recta en escala logarítmica, hasta saturarse en el tamaño del atractor. Sea cual sea el error inicial, alcanza ese tamaño: un error inicial menor solo retrasa el momento, en $\ln 10/\lambda = 2.5$ unidades de tiempo por cada reducción a la décima parte.

La atmósfera se comporta de la misma manera, con muchas más variables y con errores que crecen a ritmos distintos en escalas distintas. A partir de las predicciones de la década de 1980 se halló que los errores pequeños se duplicaban en unos 2.4 días, y la predicción fiable del estado del tiempo se detiene antes de unos diez días. Los experimentos que reducen la incertidumbre actual del estado inicial, con un modelo supuesto perfecto, encuentran que unas condiciones iniciales perfectas solo añadirían de cuatro a cinco días, y que una reducción del 90 por ciento ya da casi todo ese margen: a medida que los errores se hacen más pequeños, crecen más deprisa, por la liberación de calor latente en la convección, en escalas más pequeñas de las que la predicción puede resolver. El límite de predictibilidad de las latitudes medias se sitúa en torno a dos semanas. Las predicciones ganan aproximadamente un día por década porque unas observaciones, una asimilación y unos modelos mejores las acercan a ese límite; no pueden cruzarlo.

El conjunto convierte esto en una herramienta. Sus miembros parten de análisis que difieren aproximadamente tanto como es incierto el propio análisis; mientras coinciden, la predicción es nítida; cuando se dispersan, la predicción debe decirlo, y da probabilidades. Una predicción se llama fiable cuando los sucesos que anuncia con una probabilidad del $70\,\%$ ocurren en el $70\,\%$ de los casos.

En el laboratorio — Un día en un centro de predicción

En un centro de predicción global el día gira en torno a dos horas, las 00 y las 12 UTC. Las observaciones válidas en torno a cada hora llegan por millones, de satélites, radiosondas, aviones, barcos, boyas y estaciones meteorológicas; la asimilación de datos las combina con la predicción corta anterior en el análisis. Los modelos parten de él, el conjunto también, y las predicciones llegan a sus usuarios varias horas después, cuando los superordenadores han calculado los 15 días siguientes. Los predictores comparan entonces las pasadas, las contrastan con las últimas observaciones y las imágenes de satélite, siguen los ciclones y los frentes, y convierten las probabilidades del conjunto en avisos y predicciones.

Ejercicios

Datos de los ejercicios, salvo aviso contrario: $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $c_p = 1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, y la presión de vapor de saturación de los ejercicios del Capítulo 21.

Ejercicio 22.1 ★

A $50{}^{\circ}$ N un frente frío separa aire a $275\,\mathrm{K}$ de aire a $281\,\mathrm{K}$, y el viento a lo largo de él cambia $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Calcúlese $f$. (b) Calcúlese la pendiente de la superficie frontal, en la forma 1 por cada $N$. (c) ¿A qué distancia por detrás del frente en el suelo alcanza la superficie frontal $1\,\mathrm{km}$? (d) ¿Qué le ocurre a la pendiente si el contraste de temperatura se duplica con el mismo salto de viento?

Solución

Solución de Ejercicio 22.1.

(a) $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Con $\bar T = 278\,\mathrm{K}$, $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 278 \times 15/(9.81 \times 6) = 0.00791$, aproximadamente 1 por cada 126. (c) $1/0.00791 = 126$: a unos $126\,\mathrm{km}$ por detrás del frente. (d) La pendiente es inversamente proporcional al contraste de temperatura: se reduce a la mitad, a 1 por cada 253.

Ejercicio 22.2 ★

Una superficie frontal cálida se eleva con una pendiente de 1 por cada 150 y avanza a $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (a) ¿A qué distancia por delante del frente en el suelo está la superficie frontal a $6\,\mathrm{km}$ de altura? (b) Un observador ve formarse nubes altas sobre ella allí. ¿Cuánto tiempo después llega el frente al observador? (c) Descríbase la sucesión de nubes que el observador ve entretanto.

Solución

Solución de Ejercicio 22.2.

(a) $6 \times 150 = 900\,\mathrm{km}$ por delante. (b) $900/25 = 36\,\mathrm{h}$, un día y medio. (c) Primero los cirros altos, luego los cirrostratos, luego los altostratos; la nubosidad se espesa y baja, y la lluvia empieza a caer de la nube baja y espesa cuando el frente se acerca.

Ejercicio 22.3 ★

En un mapa del hemisferio norte, (a) una línea con triángulos azules en su lado sureste va hacia el suroeste desde una baja; (b) una línea con semicírculos rojos en su lado norte va hacia el este desde la misma baja; (c) una línea violeta con ambos símbolos va desde otra baja hasta un punto donde empiezan otros dos frentes; (d) una línea alterna triángulos azules en su lado sur y semicírculos rojos en su lado norte. Nómbrese cada frente, dígase dónde está el aire frío y hacia dónde se mueve cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 22.3.

Los símbolos apuntan hacia donde se mueve el frente, y hacia el aire más cálido por delante de un frente frío o el aire más frío por delante de un frente cálido. (a) Un frente frío: el aire frío está al noroeste, por detrás de él; se mueve hacia el sureste. (b) Un frente cálido: el aire frío está al norte, por delante de él; se mueve hacia el norte. (c) Un frente ocluido, que une la baja con el punto triple donde empiezan los frentes frío y cálido; hay aire frío a ambos lados, con el aire cálido levantado por encima; se mueve hacia donde apuntan sus símbolos. (d) Un frente estacionario: los triángulos apuntan al sur, hacia el aire cálido, así que el aire frío está al norte; apenas se mueve.

Ejercicio 22.4 ★

A $45{}^{\circ}$ N en un viento del oeste de $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: (a) calcúlese $\beta$. (b) Calcúlese la velocidad de fase de ondas de $4000\,\mathrm{km}$ y $8000\,\mathrm{km}$. (c) ¿Hacia dónde se mueve cada una, y cuánto en un día?

Solución

Solución de Ejercicio 22.4.

(a) $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos45{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) Para $4000\,\mathrm{km}$, $k = 1.571 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $c = 12 - 6.6 = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; para $8000\,\mathrm{km}$, $\beta/k^2 = 26.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $c = -14.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) La onda corta se desplaza hacia el este, $470\,\mathrm{km}$ al día; la larga se desplaza hacia el oeste, $1240\,\mathrm{km}$ al día, contra el viento.

Ejercicio 22.5 ★★

(a) Demuéstrese que una onda de Rossby se queda quieta en un viento del oeste $U$ cuando $\lambda = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (b) Calcúlese a $45{}^{\circ}$ N para $U = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) ¿Cuántas ondas así caben alrededor del círculo de latitud? (d) ¿Por qué un viento del oeste más fuerte favorecería ondas estacionarias menos numerosas y más largas?

Solución

Solución de Ejercicio 22.5.

(a) $c = 0$ cuando $U = \beta/k^2$, así que $k = \sqrt{\beta/U}$ y $\lambda = 2\pi/k = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (b) $2\pi\sqrt{12/(1.62 \times 10^{-11})} = 5410\,\mathrm{km}$. (c) El círculo de latitud $45{}^{\circ}$ mide $2\pi \times 6371 \times \cos45{}^{\circ} = 28\,300\,\mathrm{km}$: unas 5.2 ondas, así que cinco en la práctica. (d) $\lambda$ crece como $\sqrt U$: un viento del oeste más fuerte alarga las ondas estacionarias, y caben menos alrededor del hemisferio.

Ejercicio 22.6 ★★

Para el sistema de Lorenz: (a) compruébese que $C_+$ es un punto fijo calculando allí las tres derivadas. (b) ¿En qué factor se contrae un pequeño volumen del espacio de fases en una unidad de tiempo? (c) ¿Por qué no impide esto que dos trayectorias próximas se separen?

Solución

Solución de Ejercicio 22.6.

(a) En $C_+ = (\sqrt{72}, \sqrt{72}, 27)$: $\dot x = 10(\sqrt{72} - \sqrt{72}) = 0$, $\dot y = \sqrt{72}(28 - 27) - \sqrt{72} = 0$, $\dot z = 72 - \tfrac83 \times 27 = 72 - 72 = 0$. (b) $\mathrm{e}^{-13.67} = 1.16 \times 10^{-6}$: el volumen se contrae casi un millón de veces en una unidad de tiempo. (c) Un volumen puede contraerse mientras se estira en una dirección y se comprime con mucha más fuerza en las otras: la distancia según la dirección de estiramiento crece, y dos trayectorias próximas se separan a lo largo de ella, mientras el volumen entre ellas se anula.

Ejercicio 22.7 ★★

Tómense $\lambda = 0.906$ para el sistema de Lorenz y un atractor de tamaño 10. (a) Calcúlese el tiempo de duplicación de los errores pequeños. (b) ¿Cuánto tarda un error de $10^{-8}$ en alcanzar el tamaño del atractor? (c) ¿Cuánto retrasa ese momento un error inicial mil veces menor? ¿Qué fracción del tiempo hallado en (b) representa?

Solución

Solución de Ejercicio 22.7.

(a) $\ln 2/0.906 = 0.765$ unidades de tiempo. (b) $\ln(10/10^{-8})/0.906 = \ln(10^9)/0.906 = 22.9$ unidades de tiempo. (c) $\ln 1000/0.906 = 7.6$ unidades de tiempo: mejorar mil veces el estado inicial solo compra un tercio del tiempo hallado en (b), ya que $\ln 10^3/\ln 10^9 = 1/3$.

Ejercicio 22.8 ★★

Un mar a $303\,\mathrm{K}$ tiene una salida a $195\,\mathrm{K}$; el desequilibrio es $h_o^* - h^* = 15\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y $C_k/C_D = 0.9$. (a) Calcúlese la intensidad potencial. (b) Compárese con el umbral de la categoría 5 y con las tormentas recientes más rápidas. (c) ¿Por qué la mayoría de las tormentas no la alcanzan?

Solución

Solución de Ejercicio 22.8.

(a) $(303 - 195)/195 = 0.554$ y $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.554 \times 15\,000} = 86.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Muy por encima de los $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la categoría 5, cerca de los $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ que han superado cinco tormentas recientes. (c) Las tormentas rara vez permanecen mucho tiempo en el estado estacionario que supone la teoría; la cizalladura vertical del viento, el aire seco que entra en la tormenta y el aire que desciende a su alrededor, que la teoría deja fuera, las debilitan.

Ejercicio 22.9 ★★

Para la tormenta del Ejercicio 22.8: (a) calcúlese el rendimiento de Carnot de una máquina que funcione entre la superficie del mar y la salida. (b) Calcúlense el factor $(T_s - T_o)/T_o$ de la Proposición 22.8 y el cociente de ambos. (c) Explíquese la diferencia.

Solución

Solución de Ejercicio 22.9.

(a) $(303 - 195)/303 = 0.356$. (b) $(303 - 195)/195 = 0.554$; el cociente es $0.554/0.356 = 303/195 = 1.554$. (c) En una máquina de Carnot el trabajo sale de la máquina. En un ciclón tropical el trabajo se disipa por rozamiento cerca de la superficie del mar, y ese calor calienta el aire que entra a la temperatura $T_s$, donde la máquina toma su calor: se vuelve a usar, y la máquina se comporta como si fuera más eficiente en el factor $T_s/T_o$.

Ejercicio 22.10 ★★★

(a) Vuélvase a deducir la Proposición 22.2 conservando las densidades exactas, y demuéstrese que el aire frío debe estar debajo. (b) A través de una zona frontal de $50\,\mathrm{km}$ de anchura a $45{}^{\circ}$ N, el viento a lo largo del frente cambia $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcúlese la vorticidad relativa de la zona y compárese con $f$. (c) ¿Es la zona ciclónica o anticiclónica?

Solución

Solución de Ejercicio 22.10.

(a) La deducción de la Proposición 22.2 sin aproximación da $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = f(\rho_c v_c - \rho_w v_w)/[g(\rho_c - \rho_w)]$. Un fluido más denso que descansa sobre otro más ligero es inestable: la menor perturbación lo hace volcar. En un frente en reposo, el aire frío y más denso debe estar por tanto debajo, que es la cuña de la definición; entonces $\rho_c > \rho_w$, la superficie se eleva hacia el aire frío y $\rho_c v_c > \rho_w v_w$. (b) $\zeta = \partial v/\partial x = 10/(50 \times 10^3) = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, unas $1.9f$ con $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) Positiva en el hemisferio norte: ciclónica, y tan grande como el propio parámetro de Coriolis; los frentes son bandas de fuerte vorticidad ciclónica.

Ejercicio 22.11 ★★★

Supóngase que los errores de predicción se duplican cada 2.4 días, empiezan en $0.5\,\mathrm{K}$ y hacen inútil la predicción a $6\,\mathrm{K}$. (a) Hállese el horizonte de las predicciones útiles. (b) ¿En qué factor debe reducirse el error inicial cada década para ganar un día por década, si el modelo fuera perfecto? (c) Los experimentos encuentran que un error inicial diez veces menor solo gana de 4 a 5 días. ¿Qué tiempo de duplicación implica eso para los errores pequeños, y qué dice sobre cómo crecen los errores pequeños?

Solución

Solución de Ejercicio 22.11.

(a) $\log_2(6/0.5) = \log_2 12 = 3.58$ duplicaciones, $3.58 \times 2.4 = 8.6$ días. (b) Un día más de predicción exige un tiempo de duplicación menos de crecimiento antes de que el error sea inútil: el error inicial debe reducirse en un factor $2^{1/2.4} = 1.33$ cada década. (c) Una reducción a la décima parte equivale a $\log_2 10 = 3.32$ duplicaciones; si solo gana de 4 a 5 días, los errores pequeños se duplican en $4/3.32 = 1.2$ a $5/3.32 = 1.5$ días: los errores pequeños crecen más deprisa que los mayores medidos en las predicciones de la década de 1980, por el calor latente liberado en la convección a pequeña escala.

Ejercicio 22.12 ★★★

Tómese el Ejemplo 22.9 y caliéntense el mar y el aire $1\,\mathrm{K}$, con la humedad relativa y la temperatura de la salida sin cambios. (a) Vuélvanse a calcular $q_s^*$, $q_a$ y el desequilibrio. (b) Vuélvase a calcular la intensidad potencial. (c) ¿En qué tanto por ciento por kelvin aumenta, y qué factor contribuye más?

Solución

Solución de Ejercicio 22.12.

(a) A $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $e_s = 43.5\,\mathrm{hPa}$ y $q_s^* = 27.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; el aire a $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tiene $e = 0.8 \times 41.0 = 32.8\,\mathrm{hPa}$ y $q_a = 20.4\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0067 = 17.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, frente a $16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $(303.15 - 200)/200 = 0.516$ y $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.516 \times 17\,800} = 90.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, frente a $87.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Alrededor de un $3.4\,\%$ por kelvin. El desequilibrio aumenta un $6\,\%$, lo que añade un $3\,\%$ a la velocidad; el factor $(T_s - T_o)/T_o$ aumenta un $1\,\%$, lo que añade un $0.5\,\%$: el combustible, la humedad que puede aportar el mar más cálido, es lo que más contribuye, por el aumento exponencial de $e_s$.

Problema 22.1

Problema de fin de semana — ¿Con cuánta antelación?

Un mapa meteorológico inventado a $50{}^{\circ}$ N muestra un frente frío que avanza hacia una ciudad, con una onda de Rossby en la corriente en chorro por encima. El problema sigue el frente, luego la onda, y después pregunta con cuánta antelación puede predecirse todo ello. Úsense los datos de los ejercicios.

Parte I — El frente. A las 06 UTC el frente frío está a $480\,\mathrm{km}$ al oeste de la ciudad, a las 12 UTC a $390\,\mathrm{km}$. Por detrás el aire está a $277\,\mathrm{K}$, en el sector cálido a $285\,\mathrm{K}$, y el viento a lo largo del frente cambia $16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a través de él.

1. Hállese la velocidad del frente.
2. ¿A qué hora llega a la ciudad?
3. Calcúlese $f$ a $50{}^{\circ}$ N.
4. Calcúlese la pendiente de la superficie frontal.
5. ¿A qué altura está la superficie frontal sobre la ciudad seis horas después del paso del frente?
6. ¿Cuánto tiempo después del paso alcanza el aire frío $1.5\,\mathrm{km}$ sobre la ciudad?
7. ¿Qué tiempo ve la ciudad al pasar el frente, y cómo cambia la presión?

Parte II — La onda en altura. En el chorro, por encima, el viento del oeste es de $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y la onda tiene una longitud de onda de $5000\,\mathrm{km}$.

8. Calcúlese $\beta$ a $50{}^{\circ}$ N.
9. Calcúlense $k$ y $\beta/k^2$.
10. Hállese la velocidad de fase de la onda.
11. ¿Cuánto se desplaza una vaguada en 24 horas?
12. Hállense la longitud de onda que se quedaría quieta en este viento, y cuántas ondas así caben alrededor de $50{}^{\circ}$ N.
13. ¿Dónde, respecto de la vaguada en altura, debería profundizarse el ciclón de superficie?

Parte III — Una atmósfera de juguete. En la figura del crecimiento de los errores en el sistema de Lorenz, la recta ajustada pasa por unos $5 \times 10^{-7}$ en $t = 4$ y $3.9 \times 10^{-3}$ en $t = 14$.

14. A partir de estas dos lecturas, calcúlese el ritmo de crecimiento $\lambda$.
15. Calcúlese el tiempo de duplicación.
16. Compárese con el exponente publicado, 0.906.
17. ¿Por qué la distancia deja de crecer, hacia 15?
18. ¿Cuánto más tarde alcanza ese tamaño un error diez veces menor?

Parte IV — ¿Con cuánta antelación? Tómense el tiempo de duplicación de 2.4 días hallado para los errores pequeños de las predicciones de la década de 1980, un error inicial de $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la temperatura en algún nivel, y una predicción que se vuelve inútil cuando el error alcanza $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. ¿Cuántas duplicaciones separan el error inicial del error que inutiliza la predicción?
20. ¿Cuántos días lleva eso?
21. ¿Cuántos días ganaría reducir a la mitad el error inicial?
22. Con la estimación anterior de un tiempo de duplicación de 5 días, ¿qué horizonte se hallaría?
23. Los experimentos modernos encuentran que un error inicial diez veces menor, e incluso un estado inicial perfecto, solo gana de 4 a 5 días. ¿Por qué sugiere eso que la estimación de la pregunta 20 es optimista?
24. En resumen: ¿con cuánta antelación, en días, podría ser útil esta predicción?

Solución

Solución de Problema 22.1.

1. $(480 - 390)/6 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. 2. $390/15 = 26\,\mathrm{h}$ después de las 12 UTC: a las 14 UTC del día siguiente. 3. $f = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. 4. Con $\bar T = 281\,\mathrm{K}$, $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 281 \times 16/(9.81 \times 8) = 0.0064$, aproximadamente 1 por cada 156. 5. El frente está entonces a $6 \times 15 = 90\,\mathrm{km}$ más allá de la ciudad; la superficie está a $90\,000 \times 0.0064 = 576\,\mathrm{m}$ por encima de ella. 6. $1500/0.0064 = 234\,\mathrm{km}$ por detrás del frente, alcanzados $234/15 = 15.6\,\mathrm{h}$ después del paso. 7. Cúmulos y cumulonimbos, chubascos, quizá tormenta, rachas y una caída repentina de la temperatura; la presión, que baja mientras el frente se acerca, empieza a subir a su paso; después un aire más fresco y más limpio. 8. $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos50{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.47 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. 9. $k = 2\pi/(5 \times 10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ y $\beta/k^2 = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. 10. $c = 20 - 9.3 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hacia el este. 11. $10.7 \times 86\,400 = 924\,\mathrm{km}$ hacia el este. 12. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{20/(1.47 \times 10^{-11})} = 7330\,\mathrm{km}$; el círculo de latitud $50{}^{\circ}$ mide $2\pi \times 6371 \times \cos50{}^{\circ} = 25\,700\,\mathrm{km}$, unas 3.5 ondas así. 13. Por delante de ella, en su lado este, donde las ondas cortas inducen aire ascendente y la presión en superficie baja. 14. $\lambda = \ln(3.9 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-7})/(14 - 4) = \ln 7800/10 = 0.896$. 15. $\ln 2/0.896 = 0.77$ unidades de tiempo. 16. Un $1\,\%$ por debajo de 0.906: la media de 200 pares, un tiempo finito y lecturas hechas en una gráfica. 17. Una vez que las dos pasadas están muy separadas, ocupan puntos sin relación del atractor, y su distancia no puede superar su tamaño: el crecimiento se satura. 18. $\ln 10/0.896 = 2.6$ unidades de tiempo más tarde. 19. $\log_2(3/0.1) = \log_2 30 = 4.91$ duplicaciones. 20. $4.91 \times 2.4 = 11.8$ días. 21. Un tiempo de duplicación: 2.4 días. 22. $4.91 \times 5 = 24.5$ días: la estimación antigua era demasiado optimista. 23. Con un tiempo de duplicación de 2.4 días, un error diez veces menor ganaría $3.32 \times 2.4 = 8.0$ días, no de 4 a 5: los errores pequeños crecen más deprisa que una duplicación cada 2.4 días, y una estimación basada en ese tiempo de duplicación sobrevalora el horizonte. 24. Esta predicción podría ser útil durante unos 12 días como mucho, y en la práctica menos.