5Los magmas y su emplazamiento

Un fundido basáltico a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fluye con una viscosidad de unos $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: espeso, pero se vierte. Un fundido riolítico seco a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tiene una viscosidad cercana a $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y un bloque de él tardaría horas en combarse de forma visible bajo su propio peso. Entre ambos hay diez órdenes de magnitud, más que entre el agua y el basalto, y la mayor parte de la diferencia se debe a dos cosas: la sílice, que enlaza el fundido en una red, y la temperatura, que es varios cientos de grados más baja en los magmas silícicos. Unos pocos por ciento de agua disuelta, que un magma riolítico puede contener en profundidad, reducen su viscosidad en un factor $10^{5}$, y el magma vuelve a perderlos a medida que sube y el agua sale en forma de burbujas. Estos números deciden si un magma llega a la superficie con calma, explota o se congela a kilómetros de profundidad como dique, filón capa o plutón. Este capítulo trata el magma como un material: su densidad, su viscosidad y sus volátiles, la física de su ascenso por grietas y en forma de masas, las formas que adopta cuando se detiene, y el calor que cede a las rocas que lo rodean.

Lo que ya sabes

Flujo viscoso (volumen de segundo año de los libros de física): en un fluido newtoniano de viscosidad $\eta$ la tensión de cizalla es $\eta$ por el gradiente de velocidad; entre dos paredes paralelas un gradiente de presión impone un perfil parabólico (de Poiseuille plano); una esfera que se mueve despacio en un fluido viscoso sufre el arrastre de Stokes $6\pi\eta a v$. Conducción del calor (mismo volumen): la temperatura obedece a $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$, con difusividad $\kappa = k/(\rho c)$, y un escalón de temperatura se extiende como una función error sobre una distancia del orden de $\sqrt{\kappa t}$. Flotabilidad (volumen de primer año de los libros de física): un cuerpo sumergido en un fluido más denso sufre una fuerza neta hacia arriba igual al peso del fluido desalojado menos el suyo propio. Equilibrio químico (libros de química): en el equilibrio las actividades de productos y reactivos cumplen la ley de acción de masas con una constante $K$ que depende de la temperatura. Del volumen de primer año de esta serie: la presión litostática $p = \rho g z$ y la geoterma; de los volúmenes escolares: rocas máficas y félsicas, fenocristales y texturas porfídicas.

5.1 Qué es un magma

Definición 5.1 (Magma)

Un magma es roca fundida o parcialmente fundida bajo la superficie: un fundido silicatado, el líquido formado sobre todo por silicio, oxígeno y cationes metálicos, junto con los cristales y las burbujas de gas que lleve. Una papilla cristalina es un magma tan rico en cristales que estos se tocan y forman un armazón: no puede fluir como un líquido, y su fundido solo puede moverse por los poros entre los cristales.

La composición del fundido se da, como la de las rocas, en porcentaje en masa de óxidos. Tres fundidos sirven de referencia a lo largo del capítulo, todos ellos estudiados en el laboratorio: un basalto toleítico dragado en una dorsal oceánica (cerca de un $51\,\%$ de SiO$_2$, un $12\,\%$ de óxido de hierro y un $7\,\%$ de MgO), una andesita ($63\,\%$ de SiO$_2$) y una riolita ($78\,\%$ de SiO$_2$, $8\,\%$ de Na$_2$O $+$ K$_2$O y casi nada de hierro ni de magnesio). Sus temperaturas de erupción difieren tanto como sus composiciones: los magmas basálticos entran en erupción de $1000\text{ a }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (la lava que corre por un tubo del Kilauea se ha medido cerca de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), los andesíticos de $800\text{ a }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y los riolíticos de $650\text{ a }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un magma riolítico es más frío porque es el residuo de una larga cristalización o el primer fundido de rocas corticales, dos procesos que ocurren a baja temperatura (Capítulo 8).

El contenido en cristales decide si un magma fluye. Los estudios de campo y geocronológicos de grandes cuerpos graníticos concluyen que el flujo magmático en masa requiere una fracción de fundido de al menos un $30\text{ a }50\,\%$ en volumen; por debajo, los cristales quedan soldados a sus vecinos y el material se deforma como un sólido con poros llenos de fundido. Se cree que buena parte del magma almacenado en la corteza está en ese estado, como una papilla que vuelve a ser móvil cuando se le añade magma caliente desde abajo.

5.2 Densidad y viscosidad

5.2.1 La densidad de un fundido

Un fundido silicatado no tiene red cristalina, pero su volumen puede construirse igualmente a partir de sus componentes. Los experimentos con muchos fundidos muestran que cada óxido aporta un volumen casi fijo por mol, su volumen molar parcial, que cambia lenta y linealmente con la temperatura y la presión; el volumen del fundido es la suma de estas contribuciones. La tabla siguiente da los valores usados en este capítulo.

Óxido	$\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$)	$\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$)	$\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$)
SiO$_2$	26.86	0	$-1.89$
Al$_2$O$_3$	37.42	2.62	$-2.26$
FeO	12.68	3.69	$-0.45$
MgO	12.02	3.27	$0.27$
CaO	16.90	3.74	$0.34$
Na$_2$O	29.65	7.68	$-2.40$
K$_2$O	47.28	12.08	$-6.75$
H$_2$O	22.9	9.5	$-3.20$

Proposición 5.2 (Densidad de un fundido silicatado)

Contenga un fundido componentes óxidos $i$ con fracciones molares $X_i$, masas molares $M_i$ y volúmenes molares parciales $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. Si los componentes se mezclan idealmente en volumen,

$$\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.$$

El agua tiene una masa molar de solo $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ pero un volumen molar parcial de $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$, cercano al de la sílice: reduce mucho la densidad de un fundido. Aplicada a los tres fundidos de referencia, la proposición da $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para el basalto a $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para la andesita a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para la riolita seca a $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; un uno por ciento de agua disuelta resta unos $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ al basalto, tanto como varios cientos de grados de calentamiento. Un fundido basáltico es por tanto más ligero que la peridotita del manto de la que procede (unos $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ bajo la corteza en el modelo terrestre de referencia) y algo más ligero que la corteza inferior de ese modelo ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), mientras que un fundido riolítico es más ligero incluso que su corteza superior ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Esta diferencia impulsa los magmas hacia arriba.

5.2.2 Viscosidad

La viscosidad de un fundido silicatado la fija la red de tetraedros SiO$_4$ enlazados por oxígenos compartidos: para fluir, el fundido debe romper y rehacer enlaces silicio–oxígeno. La sílice y la alúmina construyen la red; los cationes de magnesio, hierro, calcio y los alcalinos la rompen, y también el agua, que convierte los oxígenos puente en grupos hidroxilo. Las medidas de laboratorio en fundidos naturales abarcan más de quince órdenes de magnitud, de $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ a $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y no siguen una ley de Arrhenius sencilla: la viscosidad crece más deprisa que una exponencial en $1/T$ a medida que el fundido se enfría hacia su transición vítrea.

Proposición 5.3 (Ley de Vogel–Fulcher–Tammann)

La viscosidad de un fundido silicatado de composición fija sigue, con un margen de unas pocas décimas de unidad logarítmica,

$$\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},$$

con $\eta$ en pascales segundo y $T$ en kelvin. Para los fundidos naturales $A$ es cercano a $-4.55$ sea cual sea la composición; $B$ y $C$ (en kelvin) son combinaciones lineales de los porcentajes molares de los óxidos, con algunos productos de ellos, ajustadas a unas $1800$ medidas.

La figura siguiente muestra la ley para los tres fundidos de referencia y para la riolita con agua disuelta. A $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el basalto tiene $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; la andesita a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ tiene unos $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; la riolita seca a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, unos $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Un cuatro por ciento de agua baja esa misma riolita a $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, y un seis por ciento a $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Una ecuación independiente ajustada solo a fundidos graníticos hidratados da los mismos valores con un margen de media unidad logarítmica (Ejercicio 5.1). El efecto del agua es máximo a baja temperatura, donde unas pocas décimas de por ciento cambian la viscosidad en órdenes de magnitud.

Los cristales hacen el magma aún más rígido. Una suspensión de partículas rígidas resiste la cizalla más que su líquido solo, porque el líquido debe fluir alrededor de las partículas, y cuando las partículas están tan apretadas que se tocan se traban en un armazón.

Proposición 5.4 (Relación de Einstein–Roscoe)

Una suspensión de una fracción de volumen $\phi$ de esferas rígidas en un líquido newtoniano de viscosidad $\eta_{\ell}$ tiene la viscosidad

$$\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,$$

donde $\phi_m$ es la fracción de empaquetamiento máxima, a la que la suspensión se bloquea. Para $\phi$ pequeña se reduce a la de Einstein, $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

Un veinte por ciento de cristales duplica la viscosidad, un cuarenta por ciento la multiplica por siete y un sesenta por ciento por más de sesenta (Ejercicio 5.5); en los magmas reales, donde los cristales son alargados y de muchos tamaños, el bloqueo llega antes, hacia un $50\text{ a }70\,\%$ de cristales en que los datos de campo sitúan el final del flujo en masa.

5.3 Volátiles

Definición 5.5 (Volátiles magmáticos)

Un volátil magmático es un componente de un magma que está disuelto en el fundido en profundidad y forma una fase gaseosa separada a baja presión: sobre todo agua, luego dióxido de carbono, luego especies de azufre. La exsolución de volátiles es la separación de un volátil del fundido en burbujas de gas. La presión de saturación en volátiles de un fundido es la presión por debajo de la cual sus volátiles disueltos superan su solubilidad, de modo que debe formarse una fase gaseosa.

Los magmas máficos llevan típicamente un $1\text{ a }3\,\%$ de volátiles en masa, los intermedios un $3\text{ a }4\,\%$ y los félsicos un $4\text{ a }7\,\%$, y la exsolución de un $4\text{ a }6\,\%$ de agua impulsa la mayoría de las erupciones explosivas. Cuánta agua puede contener un fundido depende ante todo de la presión. La figura siguiente muestra medidas en fundidos basálticos y riolíticos mantenidos a una presión de agua conocida hasta la saturación, templados luego a vidrio y analizados: la solubilidad crece deprisa a baja presión y más despacio a alta presión.

Proposición 5.6 (Ley de la raíz cuadrada para el agua)

Supóngase que el agua se disuelve en un fundido silicatado sobre todo como grupos hidroxilo, mediante la reacción $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$, con el oxígeno del fundido en gran exceso. Entonces, con contenidos de agua bajos, el agua disuelta es proporcional a la raíz cuadrada de la presión de agua: $w \approx s\sqrt{p}$, con $s$ una constante del fundido y de la temperatura.

Ajustada por mínimos cuadrados a las medidas, $w = s\sqrt p$ da $s = 0.34$ por ciento en masa por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ para los basaltos y $s = 0.44$ para las riolitas; todas las medidas quedan a menos de un uno por ciento de agua de su curva. La presión de saturación de un fundido con un $w$ por ciento de agua es entonces $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ para una riolita con un $5\,\%$ de agua, a unos $5\,\mathrm{km}$ de profundidad en la corteza, pero solo $2\,\mathrm{MPa}$ para un basalto con un $0.5\,\%$, a cien metros o menos.

El dióxido de carbono es mucho menos soluble que el agua. Se disuelve como moléculas en las riolitas y como grupos carbonato en los basaltos, más en los fundidos alcalinos que en las toleítas, y su solubilidad también crece con la presión. Un magma que lleva ambos gases empieza por tanto a exsolverlos en profundidad, con un gas muy rico en CO$_2$, y el gas se enriquece en agua a medida que el magma sube. Los basaltos emitidos en el fondo oceánico profundo contienen vesículas de más de un $95\,\%$ de CO$_2$, lo que exigió la saturación en CO$_2$ incluso bajo $5\,\mathrm{km}$ de agua. Las estimaciones del contenido inicial en CO$_2$ de los basaltos parentales del Kilauea van de $0.2\text{ a }0.6\,\%$, y las inclusiones de fundido atrapadas en sus cristales de olivino registran presiones de saturación de hasta $500\,\mathrm{MPa}$.

El gas exsuelto ocupa un gran volumen. Un uno por ciento de agua en un magma a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ocupa, como gas ideal, cerca del $12\,\%$ del volumen a $100\,\mathrm{MPa}$, el $57\,\%$ a $10\,\mathrm{MPa}$ y más del $99\,\%$ a la presión atmosférica (Ejercicio 5.7). Las burbujas bajan aún más la densidad del magma y lo impulsan hacia arriba más deprisa; en un magma viscoso no pueden escapar, y el Capítulo 6 muestra cómo lo fragmentan.

5.4 El ascenso

Un cuerpo de magma menos denso que su entorno sufre una fuerza de flotabilidad de $\Delta\rho\,g$ por unidad de volumen, donde $\Delta\rho$ es la diferencia de densidad. Puede subir de dos maneras: por una grieta que abre por delante de sí, o como una masa caliente y blanda que aparta la roca circundante.

5.4.1 Los diques

En profundidad la roca está sometida a una gran presión litostática, pero una grieta llena de magma a una presión algo mayor que el esfuerzo principal mínimo puede abrirse y alargarse por su extremo. El magma llena la grieta a medida que crece, y el resultado es una lámina delgada de magma, de metros de anchura y kilómetros de longitud, que se abre camino hacia arriba: un dique en formación. El magma fluye entonces entre dos paredes casi paralelas.

Proposición 5.7 (Flujo del magma en un dique)

Un magma newtoniano de viscosidad $\eta$ impulsado hacia arriba por un gradiente de presión $G$ (en el flujo por flotabilidad, $G = \Delta\rho\,g$) entre dos paredes paralelas separadas una distancia $w$ fluye con la velocidad media

$$\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},$$

y el caudal volumétrico por unidad de longitud de dique es $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

El cubo de la anchura hace los diques anchos mucho más eficaces que los estrechos. Un basalto de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en un dique de $1\,\mathrm{m}$ de anchura, con $\Delta\rho = 300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, sube a unos $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y atraviesa $10\,\mathrm{km}$ de corteza en una hora; una riolita de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en el mismo dique tardaría más de un año, y se congelaría por el camino, de modo que los magmas silícicos necesitan diques mucho más anchos (Ejercicio 5.6). El número de Reynolds $\rho\bar u w/\eta$ de estos flujos es lo bastante pequeño para que sigan siendo laminares. Las velocidades de ascenso estimadas para los magmas durante las erupciones separan las erupciones efusivas, por debajo de unos $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, de las explosivas, por encima, con un intervalo de transición de $0.005\text{ a }0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el que se dan ambos estilos; las kimberlitas, que proceden de profundidades de más de $150\,\mathrm{km}$, se han estimado en $0.1\text{ a }30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y un estudio de difusión de una de ellas da $0.02\text{ a }0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de media en los últimos $80\text{ a }110\,\mathrm{km}$, un viaje de $5\text{ a }74$ días.

5.4.2 Los diapiros

Definición 5.8 (Diapiro, nivel de flotabilidad neutra, stoping)

Un diapiro es un cuerpo de material flotante, magma o roca parcialmente fundida, que sube a través de su entorno apartándolo al fluir. El nivel de flotabilidad neutra de un magma es la profundidad a la que su densidad es igual a la de la roca circundante: por debajo, el magma flota; por encima, es más denso que su entorno. El stoping magmático es el desprendimiento de bloques de la roca de las paredes o del techo, que se hunden en el magma; los bloques que quedan englobados en la roca solidificada son xenolitos.

Proposición 5.9 (Ascenso de Stokes)

Una esfera de radio $a$ y déficit de densidad $\Delta\rho$ que sube despacio a través de un medio newtoniano de viscosidad $\eta$ alcanza la velocidad terminal

$$v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}$$

si es rígida, y $1.5$ veces esta si es un fluido de viscosidad despreciable.

La roca que rodea un diapiro no es un fluido de $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ sino un sólido caliente, cuya viscosidad es muchos órdenes de magnitud mayor que la de cualquier fundido: en la corteza, una esfera de magma de un kilómetro de diámetro sube solo milímetros al año, y pierde su calor mucho antes de haber subido lejos (Ejercicio 5.9). Los diapiros funcionan donde el entorno es caliente y blando, en el manto y en las raíces profundas de las cordilleras, y donde el material flotante es una masa parcialmente fundida de kilómetros de diámetro; la corteza somera la atraviesan los diques.

5.5 El emplazamiento

La mayor parte del magma nunca llega a la superficie. Se detiene donde deja de flotar, o donde lo bloquea una capa más resistente, y se extiende en un cuerpo cuya forma registra cómo se hizo sitio.

Definición 5.10 (Cuerpos intrusivos)

Un plutón es cualquier cuerpo de magma que se solidificó dentro de la corteza. Un dique es un plutón laminar que corta la estratificación de su roca encajante (o cualquier lámina si el encajante no está estratificado); un filón capa es un plutón laminar paralelo a la estratificación. Un lacolito es un filón capa que ha engrosado levantando las capas suprayacentes en forma de domo. Un batolito es un gran plutón, o un conjunto de plutones, con una superficie aflorante de más de $100\,\mathrm{km}^{2}$.

Dónde se detiene un magma depende en primer lugar de su densidad. En una corteza cuya densidad aumenta con la profundidad, un magma sube hasta su nivel de flotabilidad neutra y se extiende lateralmente allí, como filón capa o como lente; los sedimentos ligeros cercanos a la superficie son trampas especialmente eficaces para el magma basáltico denso. Una capa resistente y rígida puede también detener un dique y desviarlo a lo largo de su base. La figura siguiente muestra el principio.

Un plutón debe hacerse sitio. Puede levantar su techo, como hace un lacolito; puede apartar sus paredes donde son blandas; puede llenar el espacio abierto por fallas; y puede desprender su techo, bloque a bloque. Durante mucho tiempo se imaginaron los grandes plutones como enormes depósitos de magma emplazados de una sola vez. La datación ha cambiado esa imagen. Los circones de la Suite Intrusiva de Tuolumne, un batolito granítico de California, muestran que se emplazó entre $95$ y $85\,\mathrm{Ma}$, con lo más antiguo en los bordes y lo más joven en el centro, y una sola de sus unidades durante más de $3\,\mathrm{Myr}$, entre $92.8\,\mathrm{Ma}$ y $88.8\,\mathrm{Ma}$. Un único cuerpo de magma de $5\,\mathrm{km}$ de espesor y $20\,\mathrm{km}$ de anchura emplazado a $15\,\mathrm{km}$ de profundidad se habría enfriado por debajo de $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, donde está cristalizado a medias, en unos $500\,000$ años. Estos plutones deben de haberse ensamblado de forma incremental, a partir de muchas intrusiones menores, como láminas y diques, a lo largo de millones de años (Ejercicio 5.11).

5.6 Enfriamiento y metamorfismo de contacto

Una intrusión pierde su calor por conducción hacia su roca encajante. El modelo más sencillo trata la intrusión y su encajante como un único medio conductor de difusividad uniforme $\kappa$: en el instante cero una lámina de espesor $b$ está a la temperatura de intrusión $T_m$ y el encajante a $T_0$. La solución de la ecuación del calor, con $x$ medida desde el centro de la lámina, es

La figura siguiente la muestra para un filón capa de $100\,\mathrm{m}$ de espesor.

Proposición 5.11 (Temperatura de contacto)

En este modelo, mientras $\sqrt{\kappa t}$ sea pequeño frente a $b$, la temperatura en el contacto de la intrusión se mantiene en la media $(T_m + T_0)/2$ de las temperaturas de la intrusión y del encajante.

Un dique basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en rocas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ calienta así su contacto a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El calor de cristalización, típicamente de $700\text{ a }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, mantiene el magma caliente más tiempo y eleva este valor: con $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ liberados entre $1150$ y $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el mismo modelo da $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, mientras que las conductividades dependientes de la temperatura y los encajantes húmedos rebajan ambas estimaciones entre 50 y $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

La escala de tiempo del enfriamiento es el tiempo que el calor necesita para difundirse a través de la intrusión, del orden de $(b/2)^2/\kappa$: unos $16$ días para un dique de $2\,\mathrm{m}$ de anchura, un siglo para un filón capa de $100\,\mathrm{m}$ de espesor, cien mil años para un plutón de unos pocos kilómetros. El calor latente la alarga, y también la necesidad de solidificar el magma y no solo enfriarlo.

Proposición 5.12 (Solidificación de una intrusión)

Llene un magma a su temperatura de solidificación $T_m$, con calor latente $L$ por unidad de volumen, el espacio $y > 0$ junto a una roca encajante a $T_0$ que ocupa $y < 0$, ambos de capacidad calorífica $\rho c$ por unidad de volumen y difusividad $\kappa$. El frente de solidificación avanza como $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$, donde $\lambda$ es la raíz de

$$\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},$$

y el contacto se mantiene a $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. Un filón capa de espesor $b$, que se solidifica desde ambas paredes, es sólido al cabo de $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

Con el calor latente de un basalto y un encajante a unos $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $\lambda$ vale cerca de $0.65$: un filón capa de $100\,\mathrm{m}$ de espesor se solidifica en unos setenta años, y su contacto se mantiene cerca de $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en lugar de $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ mientras lo hace. El problema de fin de semana desarrolla este caso. Como el tiempo crece como el cuadrado del espesor, un filón capa diez veces más grueso tarda cien veces más.

Definición 5.13 (La aureola de contacto y sus rocas)

Un borde de enfriamiento rápido es el borde de grano fino o vítreo de una intrusión, donde el magma se enfrió deprisa contra una roca encajante más fría. Una aureola de contacto es la zona de roca encajante que rodea una intrusión y que fue metamorfizada por su calor. La corneana es la roca dura, de grano fino y no foliada en que se convierten las lutitas y las rocas volcánicas en una aureola de contacto. El skarn es la roca que se forma donde los fluidos magmáticos calientes reaccionan con un encajante carbonatado y depositan silicatos de calcio, hierro y magnesio como el granate y el piroxeno, a menudo con magnetita y sulfuros metálicos.

Las aureolas de contacto van de unos pocos centímetros alrededor de los diques y filones capa pequeños a varias decenas de metros alrededor de un stock grande, y el metamorfismo de contacto abarca desde unos $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ hasta más de $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Una lutita se convierte en una corneana, una caliza en un mármol, una arenisca en una cuarcita. Un magma emplazado a gran profundidad en rocas que ya están calientes apenas forma aureola: la anchura depende del tamaño y de la temperatura de la intrusión y de la temperatura de su encajante, como predice el modelo de enfriamiento (Ejercicio 5.12). Los minerales que crecen en una aureola, y lo que dicen de la temperatura, corresponden al Capítulo 10; los metales que concentran los skarns, al Capítulo 29.

Sobre el terreno — Leer los contactos de un dique

Donde aflora un dique, un geólogo sigue primero sus contactos con la roca encajante. Un borde de grano más fino o más vítreo que el centro del dique indica que el magma se enfrió bruscamente contra una roca fría; un dique de $25\,\mathrm{cm}$ de anchura estudiado en la costa de la Columbia Británica tiene bordes de enfriamiento rápido de $2\,\mathrm{cm}$ de espesor. A continuación se examina la roca encajante junto al contacto en busca de cocción: un cambio de color, un endurecimiento, minerales nuevos que se desvanecen al alejarse del dique. La anchura de la zona cocida y del borde de enfriamiento rápido, medida frente a la anchura del dique, indica lo caliente que estaba el encajante cuando llegó el dique; un dique sin borde de enfriamiento rápido ni aureola se intruyó en rocas que ya estaban calientes. Se toman muestras a través del dique, del borde al centro, para la geoquímica de su fundido y para el tamaño de sus cristales.

5.7 Ejercicios

Ejercicio 5.1 ★

Para los fundidos graníticos hidratados, una ecuación ajustada a medidas da $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln w]\}$, con $\eta$ en $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $w$ el contenido en agua en porcentaje en masa y $T$ en kelvin. Calcúlese $\log_{10}\eta$ a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ para $w = 1$ y $w = 4$, y el factor en que los tres por ciento de agua adicionales reducen la viscosidad.

Solución

Solución de Ejercicio 5.1.

$T = 1073\,\mathrm{K}$. Para $w = 1$, $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 + 9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. Para $w = 4$, $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$, $B = 9601 - 3283 = 6318$, $C = 195.7 + 44.7 = 240.4$, y $\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. La viscosidad baja en un factor $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

Ejercicio 5.2 ★

Con la ley de la raíz cuadrada, $s = 0.44$ para una riolita y $s = 0.34$ para un basalto (por ciento en masa por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$), calcúlense la presión de saturación de una riolita con un $6\,\%$ de agua y de un basalto con un $0.5\,\%$, y las profundidades correspondientes en una corteza de densidad $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

Solución

Solución de Ejercicio 5.2.

Riolita: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$, a una profundidad de $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 7.3\,\mathrm{km}$. Basalto: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$, a $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. La riolita empieza a formar burbujas en lo profundo de la corteza, y el basalto solo cerca de la superficie (si no lleva CO$_2$).

Ejercicio 5.3 ★

Calcúlese la temperatura de contacto de un dique basáltico a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ intruido en rocas a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y luego en rocas a $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿Cuál de los dos diques tendrá el borde de enfriamiento rápido más ancho?

Solución

Solución de Ejercicio 5.3.

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El dique en la roca fría se enfría más bruscamente en su contacto, y tiene el borde de enfriamiento rápido más ancho.

Ejercicio 5.4 ★

Nómbrese cada cuerpo. (a) Una lámina de dolerita de $30\,\mathrm{m}$ de espesor situada entre dos capas de arenisca a lo largo de $20\,\mathrm{km}$. (b) Una lámina vertical de basalto de $2\,\mathrm{m}$ de anchura que corta calizas horizontales. (c) Un granito que aflora en $2000\,\mathrm{km}^{2}$, formado por una docena de unidades de edades distintas. (d) Una lente de pórfido de $1\,\mathrm{km}$ de diámetro, plana en su base, sobre la cual las capas están arqueadas. (e) Una lámina horizontal de basalto en un granito.

Solución

Solución de Ejercicio 5.4.

(a) Un filón capa, paralelo a la estratificación. (b) Un dique, que corta la estratificación. (c) Un batolito, de más de $100\,\mathrm{km}^{2}$ y ensamblado a partir de muchas intrusiones. (d) Un lacolito, que ha abombado su techo. (e) Un dique: el granito no tiene estratificación, de modo que cualquier lámina en él es un dique, sea cual sea su orientación.

Ejercicio 5.5 ★★

Un fundido basáltico tiene $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Con la relación de Einstein–Roscoe ($R = 1.35$), calcúlese la viscosidad del magma con un $5\,\%$, un $20\,\%$, un $40\,\%$ y un $60\,\%$ de cristales, y compárese la primera con la fórmula diluida de Einstein. ¿Con qué fracción de cristales predice la relación el bloqueo?

Solución

Solución de Ejercicio 5.5.

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: para $\phi = 0.05$, $0.9325^{-2.5} = 1.19$, es decir $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, frente a $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$, $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, con la fórmula de Einstein (cercanos, como debe ser en el límite diluido). Para $0.20$: $0.73^{-2.5} = 2.20$, $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$, $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; para $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$, unos $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Bloqueo para $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

Ejercicio 5.6 ★★

Un magma con una densidad $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ menor que la de sus paredes sube por un dique. (a) Para un basalto ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) en un dique de $1\,\mathrm{m}$ de anchura, calcúlense la velocidad media, el caudal por metro de dique, el número de Reynolds y el tiempo para subir $10\,\mathrm{km}$. (b) El mismo tiempo para una riolita de $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ en un dique de $1\,\mathrm{m}$ de anchura, y luego de $10\,\mathrm{m}$. (c) Un dique de $1\,\mathrm{m}$ de anchura pierde su calor en un tiempo del orden de $(w/2)^2/\kappa$, con $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: ¿cuál de los tres ascensos puede tener éxito?

Solución

Solución de Ejercicio 5.6.

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (a) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) = 2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$, laminar; $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$, cerca de $1.1\,\mathrm{h}$. (b) $\bar u = 2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ días; con $w = 10\,\mathrm{m}$, $\bar u$ es cien veces mayor, $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y $t = 4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ días. (c) El dique de $1\,\mathrm{m}$ se enfría en unos $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, 2.9 días; el dique de $10\,\mathrm{m}$, en $5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 289 días. El basalto ($1.1\,\mathrm{h}$) y la riolita en el dique ancho (4.7 días) llegan antes de que sus diques se congelen; la riolita en el dique de $1\,\mathrm{m}$ (472 días) no puede.

Ejercicio 5.7 ★★

Un magma de densidad $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ libera el $1\,\%$ de su masa como vapor de agua. Tratando el vapor como un gas ideal ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), calcúlese la fracción de volumen de gas en el magma a $100\,\mathrm{MPa}$, $10\,\mathrm{MPa}$ y $0.1\,\mathrm{MPa}$. ¿Cuál de los tres valores es el menos fiable, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 5.7.

Por kilogramo de magma, $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ de agua y $nRT = 0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$; el fundido restante ocupa $0.99/2400 = 4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, fracción $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. A $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$, fracción $0.57$. A $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$, fracción $0.992$. El valor a $100\,\mathrm{MPa}$ es el menos fiable: el vapor de agua a esa presión es denso y está lejos de ser ideal (y buena parte del agua seguiría de hecho disuelta).

Ejercicio 5.8 ★★

En una cuenca, la densidad de las rocas aumenta con la profundidad $z$ según $\rho(z) = 2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $z$ en $\mathrm{km}$) hasta $10\,\mathrm{km}$. (a) ¿Dónde está el nivel de flotabilidad neutra de un fundido basáltico de $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? (b) El modelo de densidad de este capítulo muestra que un uno por ciento de agua disuelta reduce la densidad de un fundido basáltico en unos $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. ¿Dónde se detiene un fundido con un uno por ciento más de agua? (c) ¿Cuál es la fuerza de flotabilidad por metro cúbico del fundido seco $2\,\mathrm{km}$ por debajo de su nivel de flotabilidad neutra?

Solución

Solución de Ejercicio 5.8.

(a) $2300 + 60z = 2650$ da $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (b) El fundido tiene $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$, cerca de $1.2\,\mathrm{km}$ más arriba. (c) A $z = 7.8\,\mathrm{km}$ la roca tiene $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; la fuerza es $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ por metro cúbico, hacia arriba.

Ejercicio 5.9 ★★

Supóngase que un diapiro granítico de radio $1\,\mathrm{km}$ y déficit de densidad $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ sube a través de una corteza inferior de viscosidad $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Calcúlense su velocidad de Stokes (esfera rígida) en milímetros por año y el tiempo para subir $10\,\mathrm{km}$. Compárese con la escala de tiempo $a^2/\kappa$ de su enfriamiento, con $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. ¿Qué se concluye?

Solución

Solución de Ejercicio 5.9.

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, es decir $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ al año, $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. Subir $10\,\mathrm{km}$ lleva $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. La escala de tiempo del enfriamiento es $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: el cuerpo se solidifica tras subir unos $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. Un diapiro magmático no puede atravesar una corteza así; necesita un entorno más caliente y blando.

Ejercicio 5.10 ★★★

El agua se disuelve en un fundido a la vez como moléculas, $x_m = K_1 f$, y como grupos hidroxilo, $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (con el oxígeno del fundido en gran exceso), de modo que el agua disuelta total es $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (a) Exprésese $x$ en función de $f$ y demuéstrese que se comporta como $\sqrt f$ para $f$ baja y como $f$ para $f$ alta. (b) ¿A qué fugacidad son igual de abundantes las dos formas del agua? (c) Con $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ y $K_2 = 0.2$, calcúlense esa fugacidad y la proporción de agua disuelta como hidroxilo a $100\,\mathrm{MPa}$.

Solución

Solución de Ejercicio 5.10.

(a) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$, de modo que $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. El cociente entre el primer término y el segundo es $2\sqrt{K_1f/K_2}$: tiende a cero cuando $f \to 0$ (domina la raíz cuadrada) y crece sin límite con $f$ (domina el término lineal). (b) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ da $K_1^2f^2 = K_1K_2f/4$, de modo que $f = K_2/(4K_1)$. (c) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. A $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$, $\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} = \frac12\times0.0447 = 0.0224$, de modo que $x = 0.0324$ y la proporción de hidroxilo es $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

Ejercicio 5.11 ★★★

Un plutón granítico de $1000\,\mathrm{km}^{3}$ se ensambla a lo largo de $4\,\mathrm{Myr}$. (a) Calcúlese su aporte medio de magma en $\mathrm{km}^{3}$ por año y en $\mathrm{m}^{3}$ por segundo. (b) Lo alimenta un único dique de $1\,\mathrm{km}$ de longitud y $2\,\mathrm{m}$ de anchura, con una velocidad media de $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ¿cuánto tardaría el dique en aportar todo el plutón? ¿Qué fracción de los $4\,\mathrm{Myr}$ es eso? (c) Si el plutón está formado por láminas de $20\,\mathrm{m}$ de espesor y $10\,\mathrm{km}$ por $10\,\mathrm{km}$ de extensión, ¿cuántas láminas hacen falta, y cuánto tiempo separa de media dos de ellas? (d) Con $\lambda = 0.65$ y $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, ¿cuánto tarda una lámina en solidificarse? ¿Es el plutón alguna vez un único gran cuerpo de magma?

Solución

Solución de Ejercicio 5.11.

(a) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ al año, es decir $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ al año, o $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, unos ocho litros por segundo. (b) El dique transporta $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, y aporta $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ en $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, unos 20 años: $5 \times 10^{-6}$ de los $4\,\mathrm{Myr}$. (c) Cada lámina contiene $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} = 2\,\mathrm{km}^{3}$, de modo que hacen falta 500 láminas, una cada $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ años de media. (d) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, 2.7 años. Cada lámina se solidifica miles de años antes de que llegue la siguiente: salvo que el aporte llegue en pulsos rápidos, el plutón nunca es un único gran cuerpo de magma, como sugiere la datación de los grandes plutones.

Ejercicio 5.12 ★★★

Lejos de un dique delgado de anchura $b$ (a distancias $x \gg b$), su calor actúa como una fuente plana instantánea: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (a) Demuéstrese que a la distancia $x$ la temperatura es máxima en $t^* = x^2/(2\kappa)$, y que este aumento máximo es $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) Para un dique de $2\,\mathrm{m}$ de anchura con $T_m - T_0 = 1100\,\mathrm{K}$, ¿a qué distancia se calienta la roca como mucho $100\,\mathrm{K}$, y cuándo ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)? (c) ¿Por qué son tan estrechas las aureolas de los diques delgados?

Solución

Solución de Ejercicio 5.12.

(a) Para $x$ fija, $\ln(T - T_0) = \text{cte} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$, cuya derivada $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ se anula en $t^* = x^2/(2\kappa)$. Entonces $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ y $\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$, de modo que $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (b) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$, que se alcanza al cabo de $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, unos 230 días (a solo 2.7 anchuras de dique, la aproximación de fuente plana es tosca). (c) El calentamiento decrece como $b/x$: un dique delgado lleva poco calor, y la roca solo se calienta de forma apreciable a unas pocas anchuras de dique.

5.8 Problema: el filón capa bajo la meseta

Problema 5.1

Problema de fin de semana — seguir un magma basáltico desde su dique alimentador hasta un filón capa, su agua, y el tiempo que el filón capa tarda en solidificarse

Bajo una meseta imaginaria, unos sedimentos (lutita y arenisca) de densidad media $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ descansan a $3.0\,\mathrm{km}$ de profundidad sobre un basamento cristalino de densidad $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. Un magma basáltico subió desde $15\,\mathrm{km}$ por un dique de $2.0\,\mathrm{m}$ de anchura y se extendió a lo largo de la base de los sedimentos como un filón capa de dolerita de $100\,\mathrm{m}$ de espesor. Datos: temperatura de intrusión $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; ley de viscosidad del fundido $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ en kelvin); densidad del fundido con su agua $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; un $20\,\%$ de cristales en volumen (Einstein–Roscoe, $R = 1.35$); agua disuelta $0.40\,\%$, solubilidad $s = 0.34$ por ciento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; temperatura del encajante en el filón capa $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$, calor latente $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, considerándose que el magma se solidifica a su temperatura de intrusión; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; un año son $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

Parte I — El magma.

1. Calcúlense $\log_{10}\eta$ y $\eta$ del fundido a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1423\,\mathrm{K}$).
2. Lo mismo a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. ¿En qué factor cambia la viscosidad en estos $50\,\mathrm{K}$?
3. Calcúlese la viscosidad del magma con sus cristales a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
4. ¿Con qué fracción de cristales haría la relación de Einstein–Roscoe que el magma se bloqueara? Compárese con la estimación de campo del final del flujo en masa.
5. Calcúlese la diferencia de densidad entre el magma y el basamento, y entre el magma y los sedimentos.
6. Calcúlese la presión litostática al nivel del filón capa.

Parte II — Subiendo por el dique.

7. Calcúlese el gradiente de presión por flotabilidad $\Delta\rho\,g$ que impulsa el magma a través del basamento.
8. Calcúlese la velocidad media del magma en el dique.
9. Calcúlense el caudal por metro de dique y el caudal total si el dique tiene $1.0\,\mathrm{km}$ de longitud.
10. Calcúlese el número de Reynolds del flujo. ¿Es laminar?
11. ¿Cuánto tarda el magma en subir de $15\,\mathrm{km}$ a $3.0\,\mathrm{km}$?
12. Compárese con la escala de tiempo $(w/2)^2/\kappa$ en la que el dique pierde su calor. ¿Puede mantenerse abierto?
13. Explíquese por qué el magma se detuvo a $3.0\,\mathrm{km}$ y se extendió lateralmente, usando el vocabulario del capítulo.

Parte III — El agua.

14. Calcúlese la presión de saturación del agua del fundido, y la profundidad en los sedimentos a la que se alcanza.
15. ¿Cuánta agua podría contener el fundido al nivel del filón capa? ¿Exsuelve agua el magma del filón capa?
16. Las vesículas del borde de enfriamiento rápido del filón capa contienen sobre todo CO$_2$. Explíquese.
17. Si todo el $0.40\,\%$ de agua saliera en la superficie, a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $0.1\,\mathrm{MPa}$, ¿qué fracción de volumen del magma ocuparía el vapor (gas ideal)?

Parte IV — Enfriamiento y solidificación.

18. Sin tener en cuenta el calor latente, calcúlese la temperatura de contacto del filón capa.
19. Sin tener en cuenta el calor latente, calcúlese la temperatura $10\,\mathrm{m}$ por encima del contacto superior $10$ años después de la intrusión.
20. Con el mismo modelo, calcúlese la temperatura en el centro del filón capa al cabo de $10$ años y de $50$ años.
21. Con el mismo modelo, $80\,\mathrm{m}$ por encima del contacto superior, calcúlese la temperatura al cabo de $300$, $363$ y $420$ años. ¿Llega alguna vez la roca de ese punto a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$?
22. Calcúlese $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ para el filón capa.
23. Evalúese $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ para $\lambda = 0.64$, $0.65$ y $0.66$ ($\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$, $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$, $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$), y dese $\lambda$ con dos decimales.
24. Con calor latente, calcúlese la temperatura de contacto mientras el filón capa se solidifica. ¿Por qué es más alta que en la pregunta 18?
25. Calcúlese la escala de tiempo $(b/2)^2/\kappa$ en años.
26. Calcúlese el tiempo que tarda el filón capa en solidificarse, en años, el número clave de este problema, y explíquese por qué es más corto que la escala de tiempo de la pregunta anterior aunque haya que evacuar el calor latente.

Solución

Solución de Problema 5.1.

1. $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$; $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

2. $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$, $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: un factor $480/172 = 2.8$ en $50\,\mathrm{K}$.

3. $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 = 378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

4. $\phi = 1/1.35 = 0.74$. Los datos de campo sitúan el final del flujo en masa en una fracción de fundido de un $30\text{ a }50\,\%$, es decir, un $50\text{ a }70\,\%$ de cristales: antes, porque los cristales reales no son esferas de un solo tamaño.

5. Basamento: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; el magma es más ligero. Sedimentos: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; el magma es más denso.

6. $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

7. $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

8. $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

9. $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; en $1.0\,\mathrm{km}$, unos $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

10. $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: laminar.

11. $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$, unas $4.3\,\mathrm{h}$.

12. $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, 16.5 días, mucho más que $4.3\,\mathrm{h}$: el dique se mantiene abierto mientras fluye el magma.

13. A $3.0\,\mathrm{km}$ el magma encuentra sedimentos más ligeros que él: la base de los sedimentos es su nivel de flotabilidad neutra. Por encima, el magma sería más denso que su entorno, de modo que se extiende lateralmente a lo largo del contacto como un filón capa.

14. $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$, que se alcanza a $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ bajo la superficie.

15. $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$, mucho más que el $0.40\,\%$ presente: el magma del filón capa no exsuelve agua.

16. El CO$_2$ es mucho menos soluble que el agua: se satura y forma burbujas en lo profundo del ascenso, de modo que el primer gas de un basalto es sobre todo CO$_2$.

17. Por kilogramo, $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$, $V = 0.222\times8.314\times1423/ 10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$; el fundido ocupa $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; la fracción es $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$, un $98.6\,\%$.

18. $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. Al cabo de 10 años, $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} = 29.7\,\mathrm{m}$. El punto está a $x = 60\,\mathrm{m}$ del centro: $T = 100 + 525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 + 1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. En el centro, $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: al cabo de 10 años $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$, $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; al cabo de 50 años, $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$, $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$, $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. En $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ al cabo de 300 años, $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ al cabo de 363 años (el máximo) y $295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ al cabo de 420 años. Sin calor latente, la roca situada $80\,\mathrm{m}$ por encima del filón capa nunca llega del todo a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

22. $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

23. $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$; $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$; $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. El valor $0.608$ queda entre $0.65$ y $0.66$, cerca de $0.65$: $\lambda = 0.65$.

24. $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El calor latente liberado en el frente de solidificación mantiene el lado del magma a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ más tiempo, de modo que el contacto recibe más calor.

25. $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, 113 años.

26. $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} = 2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, de modo que $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: el filón capa es sólido al cabo de $67\,$ años. Es más corto que $(b/2)^2/\kappa$ en el factor $1/(4\lambda^2) = 0.59$: esa escala de tiempo solo fija el orden de magnitud, y las dos paredes del filón capa extraen calor hacia un encajante frío a la vez, lo bastante deprisa para evacuar también el calor latente.