29Yacimientos minerales

El cobre constituye alrededor del $0.006\,\%$ de la corteza; se extrae de rocas que contienen alrededor del $0.5\,\%$. Toda mina de cobre se asienta, por tanto, sobre una roca unas ochenta veces más rica que la corteza que la rodea, y todo yacimiento mineral es obra de un concentrador natural: un magma que segregó un líquido sulfurado, una salmuera caliente que disolvió metales y los depositó en una fractura, un río que separó los granos pesados de los ligeros, la lluvia que lixivió la parte alta de un cuerpo mineralizado y volvió a depositar su cobre más abajo. Este capítulo sigue a estos concentradores, mide después sus productos —cuánta mena, con qué ley— y termina con la manera de encontrar los yacimientos.

Lo que ya sabes

De los volúmenes escolares: yacimiento mineral y factor de concentración, filón, placer, reserva y recurso; circulación hidrotermal y fumarolas negras en las dorsales. De los libros de química: mena; solubilidad, iones complejos y redox. Del volumen de primer año: la velocidad de sedimentación de un grano y la ley de Stokes; laterita; evaporita. Del Capítulo 3: elemento calcófilo, el coeficiente de reparto mineral–fundido. Del Capítulo 8: intrusión estratificada y cumulado. Del Capítulo 18: formación de hierro bandeado, cratón. De los libros de matemáticas: las distribuciones normal y lognormal, y la función de distribución normal $\Phi$.

29.1 Mena, ley y concentración

Definición 29.1 (Ganga)

En una mena, la ganga es todo lo que carece de valor económico: los minerales formadores de roca, hidrotermales y de alteración que acompañan a los minerales de mena y que se separan de ellos y se desechan durante el tratamiento.

La mayor parte de la mena es ganga. En un yacimiento de pórfido cuprífero, la principal fuente de cobre del mundo, más del $98\,\%$ de la mena es ganga, y los minerales de cobre constituyen el resto.

Definición 29.2 (Ley, ley de corte, tonelaje)

La ley de un volumen de roca es la fracción másica del elemento o mineral valioso que contiene: en tanto por ciento para los metales base, en gramos por tonelada para el oro, la plata y los elementos del grupo del platino. La ley de corte es la ley más baja a la que un bloque de roca se cuenta como mena; por debajo de ella, el bloque es estéril. El tonelaje de un yacimiento es la masa de roca por encima de la ley de corte; con su ley media $\bar g$ da el metal contenido, $M = T\bar g$.

El tonelaje y la ley de un yacimiento no son, por tanto, dos hechos sobre la roca, sino dos respuestas a una sola pregunta, planteada para una ley de corte dada. Batu Hijau, un yacimiento de pórfido de cobre y oro de Indonesia, figura con $914\,\mathrm{Mt}$ al $0.53\,\%$ de cobre por encima de una ley de corte del $0.3\,\%$, y con $1640\,\mathrm{Mt}$ al $0.44\,\%$ en una compilación mundial que toma la ley de corte más baja disponible: bajar la ley de corte casi duplica el tonelaje y reduce la ley media. En un yacimiento sedimentario de zinc y plomo, el yacimiento Tom, en Canadá, una reducción de la ley de corte de alrededor de un punto porcentual de zinc más plomo multiplicaría las reservas por cinco.

Definición 29.3 (Factor de concentración)

El factor de concentración de un elemento en una mena es la razón $\mathrm{CF} = g/a$ entre su ley $g$ y su abundancia $a$ en un reservorio de referencia, que se indica junto a él: la corteza continental entera, la corteza continental superior o la roca de la que se formó el yacimiento.

El factor depende de la referencia. Tomar $0.006\,\%$ de cobre para la corteza y $0.5\,\%$ para la mena da un factor de 83; tomar la corteza continental superior, $28\,\mathrm{ppm}$, y la ley media de los pórfidos cupríferos de 2008, $0.44\,\%$, da 157. El oro, con $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$ en la corteza superior y explotado a unos pocos gramos por tonelada, tiene factores de varios miles; el hierro, con varios puntos porcentuales en la corteza y explotado a alrededor del $50\,\%$, solo necesita un factor de alrededor de diez.

Definición 29.4 (Yacimiento mineral)

Un yacimiento mineral es un cuerpo de roca en el que procesos naturales han concentrado un elemento o un mineral hasta una ley superior a la de corte, en un tonelaje lo bastante grande para extraerlo con beneficio. Es a la vez un objeto geológico, definido por los procesos que lo formaron, y un objeto económico, definido por los precios, los costes y la tecnología.

A causa de su mitad económica, el tamaño de un yacimiento cambia con el tiempo. Los recursos identificados de un elemento son las concentraciones de las que la extracción es viable hoy o puede llegar a serlo; sus reservas son la parte que podía extraerse de forma rentable en el momento de evaluarlas. Las reservas mundiales de cobre eran de $280\,\mathrm{Mt}$ en 1970; desde entonces se han extraído unos $697\,\mathrm{Mt}$, y en 2024 se situaban en $980\,\mathrm{Mt}$.

Proposición 29.5 (Balance de masa de un yacimiento)

Un yacimiento que contiene una masa $M$ de un elemento con ley media $g$ fue alimentado por una fuente en la que el elemento tenía una abundancia $a$. Si el proceso de concentración extrajo una fracción $\eta \leq 1$ del elemento de la fuente y la llevó al yacimiento, la masa de roca fuente procesada fue

$$m_{\mathrm{source}} = \frac{M}{\eta\,a} = \frac{\mathrm{CF}}{\eta}\, T ,\tag{29.1}$$

con $T = M/g$ el tonelaje y $\mathrm{CF} = g/a$: al menos CF toneladas de fuente por tonelada de mena.

Bingham Canyon, el yacimiento de pórfido que se muestra abajo, figura con $3230\,\mathrm{Mt}$ al $0.882\,\%$ de cobre, $28.5\,\mathrm{Mt}$ de cobre. Su factor respecto de la corteza superior es 315, y hasta un proceso de eficiencia perfecta habría tenido que drenar $1.02 \times 10^{12}$ toneladas de corteza superior media, unos $377\,\mathrm{km}^{3}$: un cubo de $7.2\,\mathrm{km}$ de arista. Los procesos formadores de mena son, por tanto, procesos que hacen pasar mucha materia —magma, agua, sedimento— por un volumen pequeño en el que el elemento queda atrapado.

Definición 29.6 (Tipos de yacimiento)

Un tipo de yacimiento es una clase de yacimientos que comparten un marco geológico, una roca encajante, una forma, una mineralogía de mena y un proceso de formación, de modo que la descripción de la clase predice dónde se encuentran sus miembros. Los tipos se agrupan en cuatro familias según el proceso: magmáticos (el metal lo concentra un magma al cristalizar o al separarse en dos líquidos), hidrotermales (un fluido acuoso caliente), sedimentarios (el transporte y el depósito de sedimento, o la precipitación a partir del agua en la superficie) y supergénicos (la meteorización de un yacimiento anterior).

29.2 Yacimientos magmáticos

La cromita de las intrusiones estratificadas. La cromita, la única fuente comercial de cromo, se concentra en capas de cromitita masiva, con más del $90\,\%$ de cromita, en las partes inferiores ultramáficas de las intrusiones estratificadas. Las intrusiones miden de 2 a $180\,\mathrm{km}$ de diámetro y hasta $15\,\mathrm{km}$ de espesor, y las capas van de menos de un centímetro a 5–$8\,\mathrm{m}$; juntas contienen la mayor parte de las reservas mundiales de cromo, y el complejo de Bushveld, visto en el Capítulo 8, es la única intrusión que hoy se explota por su cromita. Su origen, una capa de cumulado llevada al campo de la cromita por la mezcla de magmas o por un cambio de presión o del estado de oxidación, sigue siendo objeto de debate.

Sulfuros de níquel, cobre y EGP. Un magma máfico o ultramáfico, producido por grados elevados de fusión del manto (del $20\,\%$ al $25\,\%$ o más, con más de un 12 por ciento de MgO en peso), asciende subsaturado en azufre. Si asimila azufre de la corteza, o se enfría lo suficiente, se satura y un líquido sulfurado inmiscible se separa en gotas. Los metales calcófilos pasan a esas gotas: la razón $D$ entre su concentración en el líquido sulfurado y su concentración en el líquido silicatado, un coeficiente de reparto del mismo tipo que el que hay entre un mineral y un fundido, vale de $10^2$ a $10^3$ para el cobre y el níquel y de $10^3$ a $10^4$ para los elementos del grupo del platino (EGP). Cuánto metal reúne una gota depende entonces de cuánto magma encuentra.

Proposición 29.7 (Factor R)

Sea una masa unidad de líquido sulfurado que se separa de una masa $R$ de magma silicatado, el factor R, y se equilibra con ella en un sistema cerrado; sea $C_L$ la concentración de un metal en el magma antes de la separación del sulfuro, y $D$ su coeficiente de reparto sulfuro–silicato. Entonces la concentración del metal en el sulfuro es

$$C_S = C_L\,\frac{D\,(R + 1)}{R + D} .\tag{29.2}$$

Para $R \gg D$, $C_S \to D\,C_L$; para $R \ll D$, $C_S \approx (R + 1)\,C_L$.

Los dos límites explican por qué existen dos clases de mena sulfurada. Cuando $R \ll D$ el sulfuro toma casi todo el metal del magma que encuentra y $C_S$ crece con $R$; cuando $R \gg D$ está saturado en $D\,C_L$ y más magma no añade nada. El níquel y el cobre, con $D$ de unos cientos, alcanzan su techo con $R$ de unos cientos a unos miles, el intervalo de la mayoría de las menas de níquel y cobre; el platino y el paladio, con $D$ cercano a $10^4$, siguen ganando hasta $R$ de $10\,000$ a $100\,000$. Las menas ricas en elementos del grupo del platino, como el Merensky Reef del Bushveld y algunas menas de Norilsk, registran por tanto una pequeña masa de sulfuro lavada por una masa muy grande de magma (ejercicios 29.5 y 29.11).

Kimberlitas y diamantes. La mayoría de los diamantes, y casi todos los explotados, se formaron en la base de una litosfera continental gruesa, en las raíces de los cratones; los magmas kimberlíticos, que proceden de profundidades mayores de 120 a $150\,\mathrm{km}$ y ascienden hasta a $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, los llevan a la superficie lo bastante deprisa para que sobrevivan. Las kimberlitas hacen erupción preferentemente a través de una litosfera gruesa y antigua, que es donde busca la exploración de diamantes.

Pegmatitas. Las pegmatitas de litio, cesio y tántalo son diques graníticos enriquecidos en estos elementos raros, producidos en orógenos de colisión; cristalizan a unos 350 a $550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, una temperatura notablemente baja para un fundido granítico, en días o años, y desarrollan cristales enormes: un cristal de espodumena medía $14\,\mathrm{m}$ de largo. Sus minerales de litio, espodumena, petalita y lepidolita, aportan alrededor de una cuarta parte del litio del mundo.

29.3 Yacimientos hidrotermales

Definición 29.8 (Fluido hidrotermal y tipos de yacimiento hidrotermal)

Un fluido hidrotermal es un fluido acuoso caliente, liberado por un magma o por reacciones metamórficas, o bien agua de mar, agua meteórica o salmuera de cuenca calentadas, que disuelve, transporta y deposita elementos al fluir a través de la roca. Los principales tipos de yacimiento hidrotermal son:

• el yacimiento de pórfido cuprífero: un cuerpo grande y de baja ley de vetillas y sulfuros de cobre diseminados en un pequeño stock porfídico y a su alrededor, formado por fluidos magmáticos a pocos kilómetros de la superficie por encima de una zona de subducción;
• el yacimiento epitermal: filones y diseminaciones de oro y plata formados a menos de alrededor de $1.5\,\mathrm{km}$ de la superficie, a unos 100 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, en arcos volcánicos;
• el yacimiento de sulfuros masivos vulcanogénicos (VMS, por sus siglas en inglés): una lente de sulfuros masivos formada sobre el fondo marino o justo debajo de él, en una surgencia hidrotermal de un entorno volcánico submarino;
• el yacimiento sedimentario exhalativo (sedex): sulfuros laminados de zinc y plomo en lutitas marinas de una cuenca de rift, precipitados sobre el fondo marino o justo debajo de él a partir de salmueras de cuenca que ascienden por fallas;
• el yacimiento de tipo Mississippi Valley (MVT): sulfuros de zinc y plomo que reemplazan carbonatos de plataforma, epigenéticos y sin relación con la actividad ígnea, depositados por salmueras de cuenca;
• el yacimiento de oro orogénico: filones de cuarzo aurífero en cinturones metamórficos, a lo largo de grandes fallas, depositados por fluidos de baja salinidad y ricos en CO$_2$, de origen metamórfico.

Transporte y depósito. La mayoría de los metales viajan en los fluidos hidrotermales en forma de complejos: el zinc, el plomo y el cobre como complejos clorurados, de modo que la salinidad controla su solubilidad, y el oro, en fluidos reducidos, como complejos de azufre como AuHS(H$_2$S)$_3$. Un fluido deposita su carga cuando la solubilidad disminuye: cuando se enfría; cuando hierve al bajar su presión, con pérdida de H$_2$S y de CO$_2$ y cambio de pH; cuando se mezcla con un fluido de composición distinta —una salmuera que encuentra agua rica en H$_2$S precipita esfalerita y galena casi al instante—; y cuando reacciona con la roca encajante, lo que cambia su pH o su estado de oxidación. Cada tipo de yacimiento es una combinación de fluido, vía de circulación y trampa.

Pórfidos cupríferos. Los yacimientos de pórfido aportan alrededor del $60\,\%$ del cobre del mundo y contienen alrededor del $65\,\%$ de sus recursos. Se centran en pequeños stocks cilíndricos o enjambres de diques, las cúpulas de plutones mayores, emplazados a menos de 5–$10\,\mathrm{km}$ de profundidad en arcos por encima de zonas de subducción, el marco del Capítulo 9. Un yacimiento mide de 0.1 a $1\,\mathrm{km}$ de diámetro, con una altura similar; la roca alterada puede extenderse $10\,\mathrm{km}$ o más a su alrededor. Al cristalizar el magma, se separa de él un fluido con un 3 a 5 por ciento de sal en peso; al ascender y descomprimirse, se divide en una salmuera y un vapor, ambos portadores de metales, y su sobrepresión fractura la roca. Los filones de cuarzo precipitan a unos 700 a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y la reacción del fluido con la roca zona la alteración, como en el corte de abajo. Como se forman a poca profundidad en márgenes activos, donde la erosión es rápida, más del $90\,\%$ de los yacimientos de pórfido conocidos son cenozoicos o mesozoicos.

Oro epitermal. Por encima de algunos sistemas porfídicos, y en los arcos volcánicos en general, el mismo tipo de fluidos alcanza los $1.5\,\mathrm{km}$ superiores de la corteza a unos 100 a $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, donde hierven y se mezclan con el agua subterránea; depositan oro y plata en filones de cuarzo, con una alteración que registra fluidos casi neutros (adularia, illita) o muy ácidos (caolinita, dickita, pirofilita).

Sulfuros masivos en el fondo marino. El agua de mar que desciende hacia la corteza caliente de una dorsal o de un arco vuelve a salir por surgencias en forma de fumarolas negras a unos $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, observadas por primera vez en la dorsal del Pacífico Oriental en 1979. Donde el campo de surgencias perdura, sus sulfuros edifican un montículo; la mena tiene más del $40\,\%$ de sulfuros, sobre un stockwork de filones que marca el conducto de alimentación. Los metales se zonan según la temperatura, el hierro y el cobre en la base caliente, el zinc, el hierro, el plomo y el bario en la cima y los márgenes, más fríos, como en el montículo dibujado en la sección siguiente. Los yacimientos de sulfuros masivos vulcanogénicos van desde bolsadas de menos de una tonelada hasta las $1.5\,\mathrm{Gt}$ de Río Tinto, en España, y en edad desde $3.55\,\mathrm{Ga}$ hasta yacimientos que se forman hoy.

Salmueras de cuenca: sedex y MVT. Las salmueras de cuenca, con un 10 a un $30\,\%$ de sales disueltas y calentadas a 100–$200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ por el enterramiento, transportan zinc y plomo como complejos clorurados y forman los dos tipos alojados en sedimentos. Los yacimientos sedex se forman donde la salmuera sale a una cuenca restringida y reductora a lo largo de una falla de rift y encuentra sulfuro de hidrógeno, lo que produce fangos sulfurados laminados; contienen más de la mitad de las reservas mundiales de zinc y plomo. Los yacimientos MVT se forman donde la salmuera, expulsada de una cuenca, alcanza una plataforma carbonatada en su margen y la reemplaza a temperaturas de 75 a unos $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; contienen el $38\,\%$ del plomo y el zinc de los yacimientos alojados en sedimentos, con unas diez veces más zinc que plomo.

Oro orogénico. En los cinturones metamórficos, las reacciones de desvolatilización liberan un fluido casi neutro, de baja salinidad y rico en CO$_2$; canalizado a lo largo de grandes fallas, deposita filones de cuarzo aurífero a unos $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y de 4 a $12\,\mathrm{km}$ de profundidad. Los filones son continuos en grandes alturas: $3.2\,\mathrm{km}$ en Kolar, en la India.

29.4 Yacimientos sedimentarios y supergénicos

Definición 29.9 (Placer)

Un placer es un yacimiento sedimentario de minerales densos y resistentes concentrados por el agua o el viento en movimiento porque, a igual tamaño, sedimentan más deprisa y son arrastrados con menos facilidad que los granos de cuarzo que los rodean.

Los minerales de densidad superior a unos 2.85 se llaman pesados, frente a 2.65 para el cuarzo: la ilmenita y el circón rondan 4.7, la magnetita 5.2, el oro de 15 a 19.3. Según la ley de Stokes, la velocidad de sedimentación de un grano crece con su exceso de densidad $\rho_s - \rho_w$, once veces mayor para el oro que para el cuarzo, de modo que el oro de un tamaño dado se encuentra con cuarzo tres veces mayor (Ejercicio 29.3); el oro suele quedarse en las gravas fluviales sobre el sustrato rocoso, mientras que la ilmenita, el rutilo y el circón llegan a las playas y las dunas. Las leyes de las arenas de minerales pesados son el tanto por ciento en peso de minerales pesados.

Los sedimentos químicos también son menas. Las formaciones de hierro bandeado del Capítulo 18, precipitadas a medida que se oxidaba el hierro disuelto de los océanos, son una mena común de hierro; las evaporitas aportan halita y las sales de potasio; las lateritas, el residuo de una meteorización tropical profunda, concentran el aluminio en forma de bauxita. La meteorización también enriquece yacimientos anteriores.

Definición 29.10 (Enriquecimiento supergénico, gossan)

El enriquecimiento supergénico es la concentración de un metal por el agua subterránea descendente: por encima del nivel freático, el agua oxigenada y ácida disuelve el metal de los sulfuros de un cuerpo mineralizado, y por debajo de él, en condiciones reductoras, lo vuelve a depositar, sobre todo reemplazando los sulfuros primarios. Un gossan (o sombrero de hierro) es la roca porosa, rica en óxidos de hierro, que queda en la superficie sobre un cuerpo sulfurado meteorizado, con sus sulfuros reemplazados por goethita, hematites y jarosita.

En los yacimientos de pórfido, la zona lixiviada por encima del nivel freático alcanza hasta varios cientos de metros de espesor; por debajo, las zonas de sulfuros enriquecidos en calcosina, de decenas a varios cientos de metros de espesor, llegan a más de $1.5\,\mathrm{Gt}$ con un 0.4 a un $1.7\,\%$ de cobre, siempre más ricas que la mena primaria, hipogénica, que hay debajo. Los óxidos de hierro de un gossan y de una zona lixiviada conservan las texturas de los sulfuros que reemplazaron y guían la búsqueda en profundidad; los gossans y sus manchas de hierro revelaron muchos yacimientos de sulfuros masivos a los primeros mineros.

29.5 Ley y tonelaje

Una compilación mundial recoge 422 yacimientos de pórfido cuprífero con su tonelaje, para la ley de corte más baja disponible, y su ley media de cobre. Una décima parte supera las $1500\,\mathrm{Mt}$ y otra décima parte contiene menos de $33\,\mathrm{Mt}$, con una mediana de $240\,\mathrm{Mt}$; las leyes van del $0.24\,\%$ al $0.75\,\%$ entre los mismos deciles, con una mediana del $0.44\,\%$. Entre los deciles, el tonelaje se extiende sobre un factor de 45 y la ley sobre un factor de 3. En ejes logarítmicos, ambos histogramas se acercan a curvas normales, como muestra la figura siguiente: los logaritmos del tonelaje tienen una media de 2.373 y una desviación típica de 0.654, los de la ley $-0.364$ y 0.199 (logaritmos en base 10, tonelaje en megatoneladas, ley en tanto por ciento). El ajuste es imperfecto: las leyes son más apuntadas que una ley lognormal, y unos pocos yacimientos de ley muy baja hacen que se aparten de ella en un contraste formal. Además, ambos son casi independientes, con una correlación de 0.1 entre sus logaritmos.

Proposición 29.11 (Producto de variables lognormales)

Si $\log_{10} T$ y $\log_{10} g$ son conjuntamente normales, con medias $\mu_T$ y $\mu_g$, desviaciones típicas $\sigma_T$ y $\sigma_g$ y correlación $\rho$, entonces el metal contenido $M = Tg/100$ ($g$ en tanto por ciento) es lognormal: $\log_{10} M$ es normal con

$$\mu_M = \mu_T + \mu_g - 2 , \qquad \sigma_M^2 = \sigma_T^2 + \sigma_g^2 + 2\rho\,\sigma_T\sigma_g .\tag{29.3}$$

Para los yacimientos de pórfido, $\sigma_M = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2 + 2 \times 0.1 \times 0.654 \times 0.199} = 0.702$ y $\mu_M = 0.009$: el yacimiento mediano contiene alrededor de $1\,\mathrm{Mt}$ de cobre, y el metal contenido se dispersa todavía más que el tonelaje. Una ley lognormal con una dispersión tan grande pone la mayor parte del metal en unos pocos yacimientos: la décima parte mayor contiene alrededor del $63\,\%$ del cobre según la ley, el $64\,\%$ en los datos (Ejercicio 29.12). La figura siguiente representa cada yacimiento por su tonelaje y su ley, con líneas de igual cobre contenido; Bingham, con $28.5\,\mathrm{Mt}$, queda entre las líneas de 10 y de $100\,\mathrm{Mt}$.

Definición 29.12 (Curva ley–tonelaje)

La curva ley–tonelaje de un yacimiento da, en función de la ley de corte $c$, el tonelaje $T(c)$ de los bloques con ley superior a $c$ y su ley media $\bar g(c)$.

Proposición 29.13 (Curva ley–tonelaje de un yacimiento lognormal)

Si las leyes de los bloques de un yacimiento de tonelaje total $T_0$ son lognormales, con $\ln g$ normal de media $\mu$ (la ley mediana es $e^{\mu}$) y desviación típica $s$, entonces, con $z = (\mu - \ln c)/s$,

$$T(c) = T_0\,\Phi(z), \qquad \bar g(c) = e^{\mu + s^2/2}\,\frac{\Phi(z + s)}{\Phi(z)} ,\tag{29.4}$$

y el metal por encima de la ley de corte es $M(c) = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s)$, una fracción $\Phi(z + s)$ del total.

Cuando $c \to 0$ se conserva todo el yacimiento, con la ley media $e^{\mu + s^2/2}$, que es superior a la mediana. Subir la ley de corte elimina tonelaje más deprisa que metal, porque los bloques eliminados son los más pobres: en el yacimiento ilustrativo de la figura, subir la ley de corte del 0.2 al $0.5\,\%$ conserva el $41\,\%$ del tonelaje pero el $61\,\%$ del cobre.

29.6 Exploración

Los yacimientos se encuentran por las huellas que dejan más allá de su mena. El halo de alteración de un sistema porfídico tiene kilómetros de ancho y, donde la roca aflora, sus minerales pueden cartografiarse desde aviones y satélites por sus espectros infrarrojos; sus metales se dispersan en los suelos, los sedimentos fluviales, las aguas y las plantas de su entorno; y sus sulfuros y rocas alteradas cambian las propiedades físicas que mide la geofísica.

Definición 29.14 (Anomalía geoquímica)

Una anomalía geoquímica es una concentración de un elemento, o de un grupo de elementos, en un medio muestreado —roca, suelo, sedimento fluvial, agua, plantas— que se aparta de su fondo en la región, el intervalo de concentraciones que se encuentra donde no hay mineralización.

Como las leyes, las concentraciones se extienden sobre varios órdenes de magnitud, de modo que una anomalía suele juzgarse sobre los logaritmos; un umbral sencillo, usado en el Ejercicio 29.9, es la media de los logaritmos del fondo más dos veces su desviación típica. Una muestra de sedimento fluvial mezcla el sedimento de toda su cuenca, de modo que una anomalía se atenúa aguas abajo a medida que se le une sedimento limpio, y el gradiente de las concentraciones apunta aguas arriba, por la red de drenaje, hacia la fuente. En suelos sobre pegmatitas enterradas se han seguido anomalías de litio, rubidio, cesio, tántalo y estaño por encima de cuerpos que no afloran.

Los métodos geofísicos se eligen por el contraste que ofrece un tipo de yacimiento. Los sulfuros diseminados hacen que una roca se comporte como un condensador: el método de polarización inducida, que mide esta cargabilidad, se desarrolló para los pórfidos cupríferos y responde sobre todo a la zona sericítica rica en pirita, ya que el núcleo potásico es más pobre en sulfuros. Las prospecciones magnéticas y gravimétricas cartografían los plutones con los que se relacionan los yacimientos. Ningún método ve la mena directamente, y toda interpretación es no única hasta que un sondeo la pone a prueba.

Método 29.15 (De los análisis a una estimación de recursos)

Los datos son sondeos dispuestos en una malla sobre el yacimiento, con su testigo descrito y analizado por tramos de longitud conocida.

1. Compósitos. Promédiense los análisis sobre longitudes iguales, ponderando cada análisis por su longitud, para que cada compósito represente el mismo volumen.
2. Modelo. Divídase el yacimiento en bloques y estímese la ley de cada uno a partir de los compósitos cercanos, ponderándolos según la distancia y la correlación espacial de las leyes (el método geoestadístico del krigeado, que se admite).
3. Informe. Aplíquese una ley de corte: tonelaje y ley media de los bloques que la superan, con la densidad de la roca, en cada nivel de confianza que permita el espaciado de los sondeos.

Sobre el terreno — Descripción de testigos de sondeo

En un proyecto de exploración, el testigo de cada sondeo se dispone en cajas metálicas en el orden en que salió del terreno. Los geólogos recorren las cajas, tramo a tramo, y anotan qué roca es, cómo está alterada, qué filones la cortan y en qué proporción, y qué sulfuros contiene; marcan por dónde se cortará y muestreará el testigo. La descripción precede a los análisis y se compara con ellos: una zona de alteración o un tipo de filón que lleva el metal se convierte en lo que hay que seguir de un sondeo a otro, y a partir de la descripción los geólogos dibujan los cortes con los que se planifican los sondeos siguientes.

Ejercicios

Datos de los ejercicios, salvo aviso contrario: corteza continental superior, cobre $28\,\mathrm{ppm}$, oro $1.5\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, cromo $92\,\mathrm{ppm}$; la población de pórfidos cupríferos de la Sección 29.5, tonelaje (Mt) en $\log_{10}$ de media 2.373 y desviación típica 0.654, ley (%) en $\log_{10}$ de media $-0.364$ y desviación típica 0.199, correlación $\rho = 0.100$. Redondéese a tres cifras significativas.

Ejercicio 29.1 ★

Hállese el factor de concentración respecto de la corteza superior de: (a) una mena de cobre al $0.5\,\%$; (b) una mena de oro de $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$; (c) una cromitita con un $90\,\%$ de cromita, tomando la cromita como FeCr$_2$O$_4$ (masas atómicas Cr 52.00, Fe 55.85, O 16.00).

Solución

Solución de Ejercicio 29.1.

(a) $0.5\,\% = 5000\,\mathrm{ppm}$, y $5000/28 = 179$. (b) $6\,\mathrm{g}/\mathrm{t} = 6000\,\mathrm{ng}/\mathrm{g}$, y $6000/1.5 = 4000$. (c) La cromita contiene una fracción másica de cromo de $2 \times 52.00/(55.85 + 104.00 + 64.00) = 0.4646$; la cromitita, $0.9 \times 0.4646 = 0.418$, es decir, $418\,000\,\mathrm{ppm}$, y $418000/92 = 4540$.

Ejercicio 29.2 ★

Batu Hijau figura con $914\,\mathrm{Mt}$ al $0.53\,\%$ de Cu y $0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ de Au por encima de una ley de corte del $0.3\,\%$, y con $1640\,\mathrm{Mt}$ al $0.44\,\%$ de Cu y $0.45\,\mathrm{g}/\mathrm{t}$ de Au para la ley de corte más baja disponible. (a) Hállense el cobre (Mt) y el oro (t) contenidos en cada estimación. (b) ¿Qué tonelaje y qué cobre añaden los bloques adicionales de la segunda estimación, y con qué ley media? (c) ¿Por qué son correctas ambas estimaciones?

Solución

Solución de Ejercicio 29.2.

(a) $914 \times 0.0053 = 4.84\,\mathrm{Mt}$ de cobre y $914 \times 10^6 \times 0.40 = 3.66 \times 10^{8}$ g, $366\,\mathrm{t}$ de oro; $1640 \times 0.0044 = 7.22\,\mathrm{Mt}$ y $738\,\mathrm{t}$. (b) $1640 - 914 = 726\,\mathrm{Mt}$ que contienen $7.216 - 4.844 = 2.37\,\mathrm{Mt}$ de cobre, con una ley media de $2.372/726 = 0.327\,\%$: los bloques adicionales están por debajo de la ley de corte del $0.3\,\%$ y justo por encima de ella. (c) Responden a la pregunta para dos leyes de corte; ninguna es el tamaño del yacimiento sin su ley de corte.

Ejercicio 29.3 ★

En la ley de Stokes, la velocidad de sedimentación de un grano de diámetro $d$ es proporcional a $(\rho_s - \rho_w)\,d^2$. Tómense $\rho_w = 1.00$, cuarzo 2.65, oro 19.3, circón 4.7 (en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). (a) ¿Cuántas veces más deprisa sedimenta un grano de oro que un grano de cuarzo del mismo tamaño? (b) ¿Cuál es la razón entre los diámetros de un grano de oro y uno de cuarzo que sedimentan a la misma velocidad? (c) ¿Qué grano de cuarzo sedimenta como un grano de circón de $0.1\,\mathrm{mm}$?

Solución

Solución de Ejercicio 29.3.

(a) $(19.3 - 1.00)/(2.65 - 1.00) = 18.3/1.65 = 11.1$. (b) Velocidades iguales exigen $(\rho_g - 1)d_g^2 = (\rho_q - 1)d_q^2$, así que $d_g/d_q = \sqrt{1.65/18.3} = 0.300$: un grano de oro sedimenta como un grano de cuarzo unas tres veces mayor. (c) $d_q = 0.1\sqrt{3.7/1.65} = 0.150\,\mathrm{mm}$.

Ejercicio 29.4 ★

Una mena primaria de cobre tiene una ley del $0.4\,\%$. La meteorización lixivia todo su cobre en un espesor de $150\,\mathrm{m}$ y lo vuelve a depositar en una capa de $50\,\mathrm{m}$ de espesor justo debajo, con la misma densidad. (a) Hállese la ley de la capa. (b) Lo mismo si solo se vuelve a depositar el $80\,\%$ del cobre lixiviado. (c) ¿Qué espesor lixiviado daría un $1.7\,\%$ si todo el cobre se volviera a depositar?

Solución

Solución de Ejercicio 29.4.

Por unidad de superficie y de densidad, la capa conserva su propio cobre y recibe el de la columna lixiviada: $g = g_0(h_e + \eta h_l)/h_e$. (a) $0.4 \times (50 + 150)/50 = 1.6\,\%$. (b) $0.4 \times (50 + 0.8 \times 150)/50 = 1.36\,\%$. (c) $h_l = 50 \times (1.7/0.4 - 1) = 163\,\mathrm{m}$. Estas leyes caen en el intervalo 0.4–$1.7\,\%$ de las capas de enriquecimiento de los pórfidos.

Ejercicio 29.5 ★★

Un magma contiene $10\,\mathrm{ppb}$ de platino y $200\,\mathrm{ppm}$ de níquel; tómense $D_{\mathrm{Pt}} = 10^4$ y $D_{\mathrm{Ni}} = 500$. (a) Con (29.2), hállense los contenidos en platino (ppm) y en níquel (% en peso) del sulfuro para $R = 100$, $1000$, $10\,000$ y $100\,000$. (b) Hállense sus límites cuando $R \to \infty$. (c) Explíquese por qué una mena de níquel dice poco sobre $R$, y una mena de platino mucho.

Solución

Solución de Ejercicio 29.5.

(a) Platino, $C_S = 10 \times 10^4 (R + 1)/(R + 10^4)$ ppb: $1.00\,\mathrm{ppm}$ para $R = 100$, $9.10\,\mathrm{ppm}$ para $1000$, $50.0\,\mathrm{ppm}$ para $10\,000$, $90.9\,\mathrm{ppm}$ para $100\,000$. Níquel, $C_S = 200 \times 500 (R + 1)/(R + 500)$ ppm: $1.68\,\%$, $6.67\,\%$, $9.52\,\%$, $9.95\,\%$. (b) $D\,C_L$: $100\,\mathrm{ppm}$ de platino, $10\,\%$ de níquel. (c) El níquel está a menos del $5\,\%$ de su techo a partir de $R = 10\,000$, así que su contenido apenas cambia en un factor diez de $R$; el platino todavía casi se duplica en ese intervalo, de modo que su contenido mide $R$.

Ejercicio 29.6 ★★

Con (29.3) para la población de pórfidos cupríferos: (a) hállense la media y la desviación típica de $\log_{10} M$, y el cobre contenido mediano. (b) ¿Qué fracción de los yacimientos contiene más de $10\,\mathrm{Mt}$ de cobre? ¿Cuántos de los 422? (c) Repítase (b) sin tener en cuenta la correlación.

Solución

Solución de Ejercicio 29.6.

(a) $\mu_M = 2.373 - 0.364 - 2 = 0.009$; $\sigma_M = 0.702$; mediana $10^{0.009} = 1.02\,\mathrm{Mt}$. (b) $z = (1 - 0.009)/0.702 = 1.412$, $1 - \Phi(1.412) = 0.0790$: unos 33 yacimientos de 422. (c) $\sigma = \sqrt{0.654^2 + 0.199^2} = 0.684$, $z = 1.449$, $1 - \Phi = 0.0737$, unos 31: la débil correlación añade unos pocos gigantes.

Ejercicio 29.7 ★★

Para el yacimiento ilustrativo de la figura ($T_0 = 1000\,\mathrm{Mt}$, mediana del $0.40\,\%$, $s = 0.60$), úsese (29.4) para hallar el tonelaje, la ley media y el cobre contenido por encima de leyes de corte del $0.3\,\%$ y del $0.6\,\%$. Compruébese un punto en la figura.

Solución

Solución de Ejercicio 29.7.

Media de todos los bloques $0.40\,e^{0.18} = 0.479\,\%$. Para $c = 0.3$: $z = \ln(0.40/0.3)/0.60 = 0.4795$, $\Phi(z) = 0.6842$, $\Phi(z + s) = 0.8598$: $T = 684\,\mathrm{Mt}$, $\bar g = 0.479 \times 0.8598/0.6842 = 0.602\,\%$, $M = 1000 \times 0.00479 \times 0.8598 = 4.12\,\mathrm{Mt}$. Para $c = 0.6$: $z = -0.6758$, $\Phi = 0.2496$, $\Phi(z + s) = 0.4698$: $250\,\mathrm{Mt}$ al $0.901\,\%$, $2.25\,\mathrm{Mt}$. En la figura, para una ley de corte del $0.3\,\%$ la curva azul marca unas $680\,\mathrm{Mt}$ y la roja alrededor del $0.6\,\%$.

Ejercicio 29.8 ★★

Un yacimiento de pórfido contiene $5\,\mathrm{Mt}$ de cobre. Supóngase que su fluido magmático transportaba $1000\,\mathrm{ppm}$ de cobre, de las que la mitad se depositó en la mena, y que el magma liberó el $3.5\,\%$ de su masa como fluido. (a) Hállense la masa de fluido y la de magma necesarias. (b) Hállese el volumen del magma, de densidad $2600\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$. (c) Si el magma contenía $50\,\mathrm{ppm}$ de cobre, ¿qué fracción de él acabó en la mena?

Solución

Solución de Ejercicio 29.8.

(a) Fluido: $5 \times 10^{6}/(1 \times 10^{-3} \times 0.5) = 1.00 \times 10^{10}\,\mathrm{t}$; magma: $1 \times 10^{10}/0.035 = 2.86 \times 10^{11}\,\mathrm{t}$. (b) $2.86 \times 10^{14}/2600 = 1.10 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{3}$, $110\,\mathrm{km}^{3}$, un cubo de magma de unos $4.8\,\mathrm{km}$ de arista. (c) El magma contenía $2.86 \times 10^{11} \times 50 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{7}\,\mathrm{t}$ de cobre, y la mena $5/14.3 = 0.350$ de él.

Ejercicio 29.9 ★★

Ocho sedimentos fluviales de fondo dan $\log_{10}$ Cu (ppm) de 1.30, 1.45, 1.38, 1.52, 1.41, 1.35, 1.48 y 1.40. (a) Hállense la media y la desviación típica (poblacional) de los logaritmos, la mediana del fondo y el umbral media más dos desviaciones típicas, en ppm. (b) Un afluente que drena $4\,\mathrm{km}^{2}$ de terreno mineralizado lleva sedimento con $400\,\mathrm{ppm}$; se une a un río que drena $36\,\mathrm{km}^{2}$ con la mediana del fondo. Suponiendo que cada kilómetro cuadrado aporta la misma masa de sedimento, ¿es anómalo el sedimento mezclado? (c) ¿Hasta qué superficie total de cuenca se mantiene la anomalía por encima del umbral?

Solución

Solución de Ejercicio 29.9.

(a) Media de los logaritmos 1.411, desviación típica 0.0664; mediana $10^{1.411} = 25.8\,\mathrm{ppm}$; umbral $10^{1.411 + 0.133} = 10^{1.544} = 35.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $(4 \times 400 + 36 \times 25.8)/40 = 63.2\,\mathrm{ppm}$, por encima de $35.0\,\mathrm{ppm}$: sigue siendo anómalo tras la dilución con nueve partes de sedimento limpio. (c) $4 \times 400 + (A - 4) \times 25.8 = 35.0\,A$ da $A = 4 \times (400 - 25.8)/(35.0 - 25.8) = 163\,\mathrm{km}^{2}$.

Ejercicio 29.10 ★★★

(a) Demuéstrese que $e^{su}\varphi(u) = e^{s^2/2}\varphi(u - s)$. (b) Dedúzcase la media de una variable lognormal, $e^{\mu + s^2/2}$. (c) Demuéstrese que la fracción del metal por encima de la ley de corte, $\Phi(z + s)$, siempre supera la fracción del tonelaje, $\Phi(z)$, e interprétese.

Solución

Solución de Ejercicio 29.10.

(a) $e^{su}\,e^{-u^2/2} = e^{-(u - s)^2/2 + s^2/2}$; divídase por $\sqrt{2\pi}$. (b) $E[e^{\mu + su}] = e^{\mu}\int e^{su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}\int\varphi(u - s)\,\mathrm{d}u = e^{\mu + s^2/2}$. (c) $\Phi$ es creciente y $s > 0$, así que $\Phi(z + s) > \Phi(z)$: los bloques conservados son más ricos que los desechados, de modo que cada ley de corte conserva una parte mayor del metal que de la roca; la diferencia crece con $s$, la variabilidad del yacimiento.

Ejercicio 29.11 ★★★

(a) A partir de (29.2), hállese el $R$ para el que $C_S$ alcanza una fracción $f$ de su techo $D\,C_L$. (b) Evalúese para $f = 0.5$ y $0.9$ con $D = 300$ (níquel) y $D = 10^4$ (platino). (c) Compárese con los intervalos de $R$ de las menas de níquel y cobre y de los niveles de EGP dados en el texto.

Solución

Solución de Ejercicio 29.11.

(a) $D(R + 1)/(R + D) = fD$ da $R + 1 = fR + fD$, $R = (fD - 1)/(1 - f)$. (b) $f = 0.5$: $R = D - 2$, 298 y $9998$; $f = 0.9$: $R = 9D - 10$, $2690$ y $89\,990$. (c) El níquel alcanza el $50\,\%$ de su techo dentro del intervalo de las menas de níquel y cobre (de 100 a $2000$), y el 90 justo por encima; el platino necesita $R$ de $10\,000$ a $100\,000$, el intervalo de los niveles de EGP.

Ejercicio 29.12 ★★★

(a) Para una variable lognormal $M$ con $\ln M$ de desviación típica $s$, demuéstrese que los yacimientos por encima del cuantil de orden $q$ contienen una fracción $\Phi\bigl(s - \Phi^{-1}(q)\bigr)$ del metal total. (b) Evalúese para la población de pórfidos y $q = 0.9$. (c) Lo mismo para $q = 0.99$; compárese con los cuatro yacimientos mayores, que contienen el $26.6\,\%$ del cobre de la compilación.

Solución

Solución de Ejercicio 29.12.

(a) Con $\ln M = m + s u$, los yacimientos por encima del cuantil tienen $u > \Phi^{-1}(q)$; su metal es $\int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} e^{m + su}\varphi(u)\,\mathrm{d}u = e^{m + s^2/2}[1 - \Phi(\Phi^{-1}(q) - s)]$, y dividir por el total $e^{m + s^2/2}$ da $\Phi(s - \Phi^{-1}(q))$. (b) $s = 0.702 \ln 10 = 1.616$; $\Phi(1.616 - 1.282) = \Phi(0.334) = 0.631$. (c) $\Phi(1.616 - 2.326) = \Phi(-0.710) = 0.239$, frente a 0.266 para los cuatro mayores: los yacimientos más grandes son algo mayores de lo que espera la ley lognormal.

Problema 29.1

Problema de fin de semana — Un prospecto de pórfido

Se ha perforado un prospecto de pórfido (inventado). Su sondeo de descubrimiento cortó ocho tramos, de arriba abajo (longitud en metros, ley de cobre en tanto por ciento): 30 m al 0.12; 40 al 0.35; 50 al 0.62; 60 al 0.48; 40 al 0.27; 30 al 0.81; 50 al 0.41; 30 al 0.18. Un estudio geoestadístico de todos los sondeos concluye que las leyes de los bloques son lognormales, con mediana del $0.38\,\%$ y $s = 0.55$ para $\ln g$. El cuerpo mineralizado se aproxima a un cilindro vertical de radio $450\,\mathrm{m}$ y altura $700\,\mathrm{m}$, de densidad $2.7\,\mathrm{t}\,\mathrm{m}^{-3}$. Úsense los datos de los ejercicios y redondéese a tres cifras significativas (las probabilidades a cuatro).

Parte I — El sondeo de descubrimiento.

1. Hállense la longitud muestreada del sondeo y su ley media ponderada por la longitud.
2. Hállese la media aritmética de las ocho leyes. ¿Por qué es la media ponderada la correcta?
3. ¿Qué fracción de la longitud supera el $0.3\,\%$, y con qué ley media?
4. Hállese el factor de concentración de la ley media ponderada respecto de la corteza superior.
5. Lo mismo para el tramo más rico.
6. Hállese la ley media de todos los bloques del yacimiento. ¿Es representativo el sondeo de descubrimiento?

Parte II — Tonelaje por encima de la ley de corte.

7. Hállense el volumen y el tonelaje $T_0$ del cuerpo; consérvese $T_0 = 1200\,\mathrm{Mt}$.
8. Para una ley de corte del $0.3\,\%$, hállense $z$ y la fracción de los bloques que la superan.
9. Hállese el tonelaje por encima de leyes de corte del 0.2, del 0.3 y del $0.5\,\%$.
10. Hállese la ley media por encima de la ley de corte del $0.3\,\%$.
11. Lo mismo por encima del 0.2 y del $0.5\,\%$.
12. Al subir la ley de corte del 0.3 al $0.5\,\%$, ¿por qué factores cambian el tonelaje y la ley media?
13. ¿Con qué ley de corte se conserva la mitad del tonelaje, y cuál es su ley media?

Parte III — El prospecto entre los pórfidos del mundo.

14. Hállese el cobre contenido en todo el cuerpo, con su ley media.
15. Hállese la puntuación tipificada de su tonelaje en la población mundial, y su percentil.
16. Lo mismo para su ley media.
17. Hállese la desviación típica de $\log_{10} M$ con la correlación y sin ella.
18. Hállese el percentil de su cobre contenido.
19. ¿Cuántos de los 422 yacimientos cabría esperar que contengan más cobre?

Parte IV — El cobre por encima de la ley de corte.

20. Hállese el cobre contenido por encima de la ley de corte del $0.2\,\%$.
21. Lo mismo por encima del $0.5\,\%$.
22. ¿Qué fracción del cobre se encuentra por encima del $0.3\,\%$, y qué fracción del tonelaje?
23. Explíquese por qué bajar la ley de corte por debajo del $0.3\,\%$ añade mucha roca y poco cobre, usando las respuestas a las preguntas 9 y 20.
24. En resumen: ¿cuánto cobre contiene el prospecto por encima de la ley de corte del $0.3\,\%$?

Solución

Solución de Problema 29.1.

1. $330\,\mathrm{m}$; $\sum l\,g = 138.4$, media $138.4/330 = 0.419\,\%$. 2. $3.24/8 = 0.405\,\%$; cada tramo representa una longitud de testigo, y por tanto un volumen de roca: un tramo largo debe contar más que uno corto. 3. $230/330 = 0.697$, con $118.6/230 = 0.516\,\%$. 4. $4190/28 = 150$. 5. $8100/28 = 289$. 6. $0.38\,e^{0.55^2/2} = 0.38\,e^{0.1513} = 0.442\,\%$; el sondeo, con un $0.419\,\%$, queda a menos del $6\,\%$ de ese valor: es representativo. 7. $\pi \times 450^2 \times 700 = 4.45 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$; $\times 2.7 = 1.20 \times 10^{9}$ t, $1200\,\mathrm{Mt}$. 8. $z = \ln(0.38/0.3)/0.55 = 0.4298$; $\Phi(z) = 0.6663$. 9. $z = 1.167$, 0.4298, $-0.4990$; $\Phi = 0.8784$, 0.6663, 0.3089; $T = 1050\,\mathrm{Mt}$, $800\,\mathrm{Mt}$, $371\,\mathrm{Mt}$. 10. $\Phi(z + s) = \Phi(0.9798) = 0.8364$; $\bar g = 0.442 \times 0.8364/0.6663 = 0.555\,\%$. 11. $0.442 \times 0.9570/0.8784 = 0.482\,\%$; $0.442 \times 0.5203/0.3089 = 0.744\,\%$. 12. Tonelaje $\times\, 370.7/799.6 = 0.464$; ley $\times\, 0.744/0.555 = 1.34$. 13. En la mediana, $0.38\,\%$ ($z = 0$): $600\,\mathrm{Mt}$ con $0.442 \times \Phi(0.55)/0.5 = 0.442 \times 0.7088/0.5 = 0.627\,\%$. 14. $1200 \times 0.00442 = 5.30\,\mathrm{Mt}$. 15. $(\log_{10} 1200 - 2.373)/0.654 = (3.0792 - 2.373)/0.654 = 1.080$; $\Phi = 0.8599$: el percentil 86, un yacimiento grande. 16. $(\log_{10} 0.442 + 0.364)/0.199 = (-0.3546 + 0.364)/0.199 = 0.047$; $\Phi = 0.5187$: una ley corriente, percentil 52. 17. 0.702 con la correlación, 0.684 sin ella. 18. $\mu_M = 0.009$; $(\log_{10} 5.30 - 0.009)/0.702 = (0.7243 - 0.009)/0.702 = 1.019$; $\Phi = 0.8459$: el percentil 85. 19. $422 \times (1 - 0.8459) = 65$. 20. $M = T_0\,e^{\mu + s^2/2}\,\Phi(z + s) = 1200 \times 0.00442 \times 0.9570 = 5.08\,\mathrm{Mt}$. 21. $1200 \times 0.00442 \times 0.5203 = 2.76\,\mathrm{Mt}$. 22. $\Phi(z + s) = 0.8364$ del cobre, en $\Phi(z) = 0.6663$ del tonelaje. 23. Del 0.3 al $0.2\,\%$, el tonelaje crece en $1054 - 800 = 254\,\mathrm{Mt}$ ($32\,\%$) y el cobre en $5.08 - 4.44 = 0.64\,\mathrm{Mt}$ ($14\,\%$): los bloques añadidos tienen una ley media de $0.64/254 = 0.25\,\%$, los más pobres del yacimiento. 24. $1200 \times 0.00442 \times 0.8364 = 800 \times 0.00555$: el prospecto contiene $4.44\,\mathrm{Mt}$ de cobre por encima de la ley de corte del $0.3\,\%$.