2La formación de los planetas y los meteoritos

Cada año entran en la atmósfera terrestre unas quince mil toneladas de polvo del espacio; la mayor parte se quema o se deposita como esférulas microscópicas, y de vez en cuando cae una piedra del tamaño de un puño con una bola de fuego y un estampido sónico. La mayoría de esas piedras son fragmentos de asteroides, y muchas apenas han cambiado desde que se formaron. Si se corta una y se pule, muestra esférulas milimétricas de roca que estuvo fundida, granos blancos irregulares de minerales de calcio y aluminio y escamas de metal, todo ello sujeto en un cemento oscuro de grano fino. Los granos blancos son los sólidos más antiguos del sistema solar: los isótopos del plomo les dan 4567 millones de años. Un segundo reloj, la desintegración de un isótopo radiactivo del aluminio desaparecido hace mucho, data los demás componentes con respecto a ellos con una precisión de una fracción de millón de años. Este capítulo sigue el disco del capítulo anterior mientras se convierte en planetas: qué sólidos condensan del gas que se enfría, y dónde; cómo el polvo crece hasta cuerpos de kilómetros y luego hasta planetas; qué son los meteoritos, y cómo datan esos acontecimientos; y por qué algunos de los primeros cuerpos se fundieron y formaron núcleos de hierro mientras otros quedaron tal como se habían formado.

Lo que ya sabes

Las estrellas jóvenes están rodeadas de discos protoplanetarios, que desaparecen en unos pocos millones de años; un grano iluminado a la distancia $r$ de una estrella de luminosidad $L$ se estabiliza a $T = \bigl(L/(16\pi\sigma r^2)\bigr)^{1/4}$ (Capítulo 1). Los asteroides son los cuerpos pequeños, rocosos o metálicos, del sistema solar, la mayoría de los cuales orbitan entre Marte y Júpiter (volumen de primer año). Un núcleo radiactivo se desintegra con la probabilidad $\lambda$ por unidad de tiempo: $N = N_0 e^{-\lambda t}$; el periodo de semidesintegración es $\ln 2/\lambda$, y la vida media $\tau = 1/\lambda$ (física). En un sistema cerrado, las muestras cogenéticas de distintas razones padre/hija se alinean en una recta, la isócrona, cuya pendiente da la edad y cuya ordenada en el origen es la razón inicial (volumen de primer año). Calentar una masa $m$ de capacidad calorífica específica $c$ en $\Delta T$ requiere la energía $mc\,\Delta T$ (física).

2.1 La nebulosa solar

Definición 2.1 (Nebulosa solar)

La nebulosa solar es el disco protoplanetario de gas y polvo que rodeaba al Sol joven y del que se formaron los planetas, sus satélites, los asteroides y los cometas.

¿Cuánta materia contenía? Un límite inferior lo dan los propios planetas. Si se añade a cada planeta el hidrógeno y el helio necesarios para darle la composición del Sol y se reparte el resultado sobre un anillo centrado en su órbita, la densidad superficial, la masa por unidad de área del disco, disminuye con la distancia al Sol. Esta reconstrucción es la nebulosa solar de masa mínima. En una versión muy usada la densidad superficial del gas es

y la de los sólidos $\Sigma_p = 33\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}\,Z_{\mathrm{rel}}\, (r/1\,\mathrm{au})^{-3/2}$, donde $Z_{\mathrm{rel}}$ es la fracción de la materia condensable que es realmente sólida: $0.33$ donde solo han condensado la roca y el metal, unos $0.78$ donde se les ha unido el hielo de agua, y $1$ más allá del lugar donde se congela el metano. Las cifras son inciertas: el contenido en elementos pesados de Júpiter solo se conoce dentro de un factor cuatro, y los planetas no tienen por qué haberse formado donde orbitan ahora.

Proposición 2.2 (Masa de un disco)

Un disco de densidad superficial $\Sigma(r) = \Sigma_1 (r/r_1)^{-3/2}$ contiene, dentro del radio $R$, la masa

$$M(R) = 4\pi\Sigma_1 r_1^2 \left(\frac{R}{r_1}\right)^{1/2}.$$

La mayor parte de la masa está lejos: duplicar el radio añade un $41\,\%$ a la masa.

Con $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ en $r_1 = 1\,\mathrm{au}$, la nebulosa de masa mínima contiene $0.03$ masas solares dentro de $100\,\mathrm{au}$ (Ejercicio 2.5). Los discos observados alrededor de estrellas de un millón de años, pesados por el brillo milimétrico de su polvo, contienen $0.001\text{ a }0.1$ masas solares: la nebulosa de masa mínima encaja sin dificultad entre ellos.

Casi toda esta masa es gas que nunca condensará. El Sol nació con una fracción másica de hidrógeno $X_0 = 0.711$, de helio $Y_0 = 0.274$ y de todos los elementos más pesados juntos solo $Z_0 = 0.0149$. Enfriar un gas de esta composición hasta que se haya congelado todo lo que puede congelarse convierte en sólidos solo el $1.5\,\%$ de su masa: un $0.49\,\%$ de roca y metal, y un $1.0\,\%$ de hielos de agua, metano y amoniaco, del que el hielo de agua por sí solo es el $0.57\,\%$. Todos los planetas rocosos, y los núcleos de los gigantes, se construyeron a partir de esta pequeña fracción.

La temperatura del disco decide qué es sólido y dónde. Un disco calentado solo por su estrella, un disco pasivo, es templado en su superficie, donde los granos ven directamente la estrella (la proposición del Capítulo 1), y mucho más frío en su plano medio, que solo recibe el infrarrojo reemitido por esos granos de superficie. Para una estrella joven de una masa solar, un modelo de un disco así da la temperatura del plano medio

La acreción de gas a través del disco, que libera energía gravitatoria, calienta más el plano medio, sobre todo al principio y cerca de la estrella (figura siguiente).

2.2 La secuencia de condensación

Imagínese el gas de la nebulosa, cerca del Sol joven, lo bastante caliente para que todos los elementos estén en forma de vapor, y déjese enfriar con la lentitud suficiente para que el gas y los sólidos permanezcan en equilibrio químico. A medida que baja la temperatura, cada elemento abandona a su vez el gas por un sólido, ya sea como compuesto propio o disuelto en un sólido que ya se ha formado.

Definición 2.3 (Temperatura de condensación, secuencia de condensación)

La temperatura de condensación de un elemento en un gas que se enfría, de composición y presión dadas, es la temperatura a la que la mitad de él ha pasado a sólidos en equilibrio químico (la temperatura de condensación al 50 por ciento; la temperatura a la que aparece su primer sólido es la temperatura de aparición). La secuencia de condensación es el orden en que aparecen los elementos y sus compuestos sólidos a medida que el gas se enfría.

Los cálculos para un gas de composición solar se hacen a una presión total de $10^{-4}$ bar, típica de la nebulosa cerca de $1\,\mathrm{au}$. Los primeros sólidos son óxidos de aluminio y de calcio (tabla siguiente), que se forman hacia $1700\,\mathrm{K}$; el grueso de la materia formadora de rocas, el silicato de magnesio y el hierro metálico, condensa cerca de $1350\,\mathrm{K}$; el sulfuro de hierro espera hasta $704\,\mathrm{K}$, y el hielo de agua hasta $182\,\mathrm{K}$.

sólido	fórmula	aparece a (K)
corindón	$\ce{Al2O3}$	1677
hibonita	$\ce{CaAl12O19}$	1659
perovskita	$\ce{CaTiO3}$	1593
espinela	$\ce{MgAl2O4}$	1397
metal hierro–níquel	$\ce{Fe}$, con $\ce{Ni}$, $\ce{Co}$, $\ce{Cr}$	1357
forsterita	$\ce{Mg2SiO4}$	1354
schreibersita	$\ce{Fe3P}$	1248
troilita	$\ce{FeS}$	704
magnetita	$\ce{Fe3O4}$	371
hielo de agua	$\ce{H2O}$	182
hidrato de amoniaco	$\ce{NH3.H2O}$	131
clatrato de metano	$\ce{CH4.7H2O}$	78

Las temperaturas de condensación al 50 por ciento clasifican los elementos en grupos de volatilidad (figura siguiente). Los elementos que condensan por encima del magnesio, el silicio y el hierro son refractarios; los que condensan por debajo, volátiles. Lodders subdivide cada lado: los elementos ultrarrefractarios, por encima de $1650\,\mathrm{K}$, incluyen el aluminio, el circonio, las tierras raras pesadas y los metales osmio, renio y wolframio; los muy refractarios ($1500\text{ a }1650\,\mathrm{K}$) incluyen el calcio y el titanio; los refractarios ($1360\text{ a }1500\,\mathrm{K}$) incluyen el estroncio, el bario, el vanadio y el platino; los elementos comunes magnesio, silicio y hierro condensan entre $1290$ y $1360\,\mathrm{K}$, junto con el níquel, el cobalto y el cromo; los elementos moderadamente volátiles, entre ellos el sodio, el potasio, el fósforo, el cobre, el cinc y el plomo, condensan entre $1290\,\mathrm{K}$ y la aparición de la troilita a $704\,\mathrm{K}$; los volátiles, entre ellos el azufre, el cadmio y el talio, entre $704$ y $371\,\mathrm{K}$; y los elementos muy volátiles, el carbono, el nitrógeno, el oxígeno como hielo, los gases nobles y el mercurio, por debajo.

La secuencia explica un patrón que recorre todo el sistema solar. Los sólidos más antiguos de los meteoritos están hechos de los primeros condensados; la Tierra y los demás planetas rocosos son pobres en elementos volátiles; las regiones lejanas del disco, lo bastante frías para conservar hielos, formaron cuerpos helados. La frontera más importante es la del agua, porque el hielo de agua es el sólido más abundante de todos: en masa, en un gas de composición solar hay tanto hielo de agua como roca y metal juntos, $1.17$ veces más.

Definición 2.4 (Línea de nieve)

La línea de nieve de un disco protoplanetario es la distancia a la estrella más allá de la cual el plano medio está lo bastante frío para que el hielo de agua sea estable, unos $180\,\mathrm{K}$ a las presiones del disco.

Proposición 2.5 (Línea de nieve de un disco pasivo)

Si la temperatura del plano medio disminuye como $T = T_1 (r/r_1)^{-3/7}$, la línea de nieve del agua, que condensa a $T_w$, está en

$$r_s = r_1 \left(\frac{T_1}{T_w}\right)^{7/3},$$

y más allá de ella la densidad superficial de sólidos salta en el factor $1 + m_w/m_r$, donde $m_w$ y $m_r$ son las masas de hielo de agua y de roca en el gas.

Para el disco pasivo anterior, $T_1 = 120\,\mathrm{K}$ y $T_w = 182\,\mathrm{K}$ dan $r_s = 0.38\,\mathrm{au}$; el metano, a $41\,\mathrm{K}$, se congela más allá de $12\,\mathrm{au}$ (Ejercicio 2.6). Con un $0.57\,\%$ de hielo de agua y un $0.49\,\%$ de roca, los sólidos saltan en un factor $1 + 0.571/0.489 = 2.2$. El modelo sitúa la línea de nieve muy dentro de la órbita de la Tierra, lo que solo muestra que un disco joven no era pasivo: calentado por la acreción, su plano medio interior era más templado, y la línea de nieve estaba más lejos, desplazándose hacia dentro a medida que el disco se adelgazaba. Más allá de ella, los planetas tenían más del doble de materia sólida con la que construirse, y esto, más que ninguna otra cosa, separa los pequeños planetas rocosos de los gigantes.

2.3 Del polvo a los planetas

Entre los granos micrométricos del medio interestelar y los planetas de miles de kilómetros median unos trece órdenes de magnitud de tamaño. El crecimiento se describe mejor en tres tramos. Por debajo de un centímetro, los granos que chocan suavemente se adhieren, unidos por enlaces químicos y fuerzas de van der Waals, y forman agregados esponjosos. Muy por encima del kilómetro, los cuerpos se mantienen unidos por su propia gravedad, y los fragmentos de una colisión vuelven a caer sobre el cuerpo mayor. Entre ambos está el tramo más difícil: los cuerpos de centímetros a metros son demasiado grandes para adherirse y demasiado pequeños para atraerse entre sí, y el gas los arrastra hacia dentro. En las simulaciones numéricas, los sólidos de $10\text{ a }100\,\mathrm{cm}$ se reúnen en densos enjambres que colapsan bajo su propio peso directamente en cuerpos de kilómetros, saltándose los tamaños problemáticos; cómo cruzó el sistema solar este tramo sigue en debate.

Definición 2.6 (Planetesimal, embrión planetario)

Un planetesimal es un cuerpo sólido de un disco protoplanetario lo bastante grande, desde un kilómetro hasta unos centenares de kilómetros, para que su crecimiento lo gobierne la gravedad y no la adhesión. Un embrión planetario es un cuerpo que ha crecido, al acretar planetesimales, lo bastante para dominar su propia región del disco y barrerla de planetesimales.

Una vez que manda la gravedad, el crecimiento se desboca: un cuerpo algo mayor que sus vecinos atrae planetesimales desde más lejos, crece más deprisa que ellos y se adelanta. Su crecimiento solo se frena cuando ha barrido los sólidos a su alcance. Cada embrión domina entonces su propio anillo del disco, y muchos embriones comparten la región de los planetas rocosos.

Proposición 2.7 (Masa de aislamiento)

Un embrión de masa $M$ a la distancia $r$ de una estrella de masa $M_*$ atrae los sólidos de un anillo cuya semianchura es unas pocas veces su radio de Hill $R_H = r\,(M/3M_*)^{1/3}$. Si reúne todos los sólidos de un anillo de anchura total $bR_H$ y densidad superficial $\Sigma_p$, deja de crecer al alcanzar la masa de aislamiento

$$M_{\mathrm{iso}} = \frac{(2\pi b\, r^2 \Sigma_p)^{3/2}}{(3M_*)^{1/2}} .$$

Los modelos toman $b \approx 5$. En la nebulosa de masa mínima la masa de aislamiento es de unas $0.05$ masas terrestres a $1\,\mathrm{au}$, entre las masas de la Luna ($0.012$) y de Marte ($0.11$): los embriones del sistema solar interior eran cuerpos de ese tamaño, y la Tierra necesitó muchos de ellos. Más allá de la línea de nieve, a $5.2\,\mathrm{au}$, los sólidos ricos en hielo dan unas $0.8$ masas terrestres, y un disco con $3.5$ veces la masa mínima de sólidos da unas cinco masas terrestres (Ejercicio 2.7): suficiente, en los modelos del crecimiento de Júpiter, para que un núcleo atraiga su envoltura de gas en menos de tres millones de años. Los planetas gigantes tuvieron que formarse antes de que desapareciera el gas del disco, en unos pocos millones de años; Urano y Neptuno son roca y hielo en un $80\text{ a }90\,\%$ de su masa: reunieron poco gas.

La última etapa de los planetas rocosos fue violenta. Una vez desaparecido el gas, las órbitas de los embriones se cruzaron, y se fusionaron en colisiones gigantes; se piensa que la Luna se formó a partir de los restos de una de ellas, que golpeó a la Tierra joven. La figura siguiente resume la secuencia.

Los planetas conservaron poca memoria de esta historia: se fundieron, se mezclaron y reelaboraron su materia. El registro está en los cuerpos que dejaron de crecer, los asteroides, y en los fragmentos suyos que llegan a la Tierra.

2.4 Los meteoritos

Definición 2.8 (Meteorito, caída de meteorito, hallazgo de meteorito)

Un meteorito es un objeto sólido natural procedente del espacio que ha sobrevivido a su paso por la atmósfera y ha llegado al suelo. Una caída de meteorito es un meteorito recogido después de que se observara su llegada, por lo general como bola de fuego; un hallazgo de meteorito es un meteorito reconocido en el suelo sin que se haya visto su caída.

La Tierra barre mucho más polvo que piedras. Medido en la nieve de la meseta antártica, unas $5200\,\mathrm{t}$ de polvo extraterrestre llegan al suelo cada año como micrometeoritos y esférulas fundidas, de unas $15\,000\,\mathrm{t}$ que entran en la atmósfera, la mayor parte desprendida por cometas y cerca de una quinta parte por asteroides. Los meteoritos, las piedras y los hierros lo bastante grandes para reconocerse uno a uno, son menos: el catálogo mundial contiene unos $45\,000$, de los cuales solo $1107$ son caídas.

La distinción importa. Una caída se recoge en cuestión de días, antes de que la lluvia y el oxígeno la hayan alterado, y todos los tipos de meteorito que caen se recogen por igual; un hallazgo puede haber estado en el suelo miles de años, y su probabilidad de ser encontrado depende de su aspecto y de dónde cayó. La mitad de todos los hallazgos se han hecho en la Antártida (recuadro siguiente), donde la búsqueda es sistemática. Las caídas son la muestra más fiel de lo que llega (figura siguiente): más de cuatro de cada cinco son condritas, tres de cada cuatro condritas ordinarias.

Sobre el terreno — La búsqueda de meteoritos en el hielo azul

La mayor parte del casquete antártico es nieve blanca, pero en cerca del $1\,\%$ de su superficie, donde las montañas bloquean el flujo del hielo, se pierden unos $5\,\mathrm{cm}$ de hielo al año y aflora hielo azul desnudo. Los meteoritos que cayeron sobre la nieve aguas arriba, a lo largo de decenas de miles de años, quedan enterrados, son transportados por el hielo y devueltos a la superficie donde este se consume: el hielo azul es una trampa. Desde que empezó la recolección sistemática a mediados de la década de 1970, los equipos han recuperado más de $30\,000$ ejemplares de esos campos, y en el catálogo la mitad de todos los hallazgos procede del sur de $60{}^{\circ}$ S. Los buscadores recorren el hielo en líneas, a pie o en motos de nieve, y cada piedra encontrada se recoge, por corriente que parezca, para que la colección no esté sesgada hacia las llamativas. Cada hallazgo se fotografía donde yace, para registrar su contexto, y recibe un número de campo; más tarde recibe su nombre oficial, un código de tres letras del campo de hielo seguido del año de la campaña y de un número de serie. En el laboratorio de conservación las piedras se fragmentan con herramientas de acero inoxidable o se cortan en seco con una sierra de cinta; las condritas carbonáceas, que pueden contener compuestos orgánicos, tienen un armario propio desde 1978.

2.4.1 Condritas

Definición 2.9 (Condrita, condrita carbonácea, cóndrulo, CAI)

Una condrita es un meteorito rocoso que nunca se fundió después de ensamblarse, y cuya composición, aparte de los elementos más volátiles, es cercana a la del Sol. La mayor parte está formada por cóndrulos, gotitas redondeadas, de una décima de milímetro a cerca de un centímetro de diámetro, de roca silicatada que solidificó a partir de un fundido, englobadas en una matriz de grano fino con granos de metal hierro–níquel y de sulfuro de hierro. Algunas condritas contienen inclusiones ricas en calcio y aluminio (CAI), granos blancos irregulares de los minerales de calcio, aluminio y titanio que son los primeros condensados de la nebulosa. Una condrita carbonácea es una condrita rica en carbono, en minerales hidratados y en matriz, cuyo contenido en elementos volátiles es el más cercano al del Sol.

Los cóndrulos estuvieron fundidos solo unos minutos y se enfriaron en horas o días: un calentamiento breve y local en la nebulosa, cuya causa aún se desconoce, fundió grumos de polvo, que se solidificaron como gotitas antes de ser barridos junto con polvo y metal hacia un planetesimal. Ocupan hasta el $90\,\%$ del volumen de los meteoritos más primitivos. Las CAI suponen desde menos del $1\,\%$ de las condritas ordinarias hasta más del $10\,\%$ de algunas carbonáceas, y se formaron en un intervalo de unos cien mil años.

Las condritas se dividen en grupos que difieren en el tamaño y la abundancia de sus cóndrulos, su contenido en metal, el contenido en hierro de su olivino y la proporción de su matriz (tabla siguiente). Las condritas ordinarias H, L y LL tienen contenidos altos, bajos y muy bajos de metal y de hierro total (razones atómicas Fe/Si de $0.80$, $0.59$ y $0.53$).

	H	L	LL	CI	CM	CV
cóndrulos (vol. %)	60–80	60–80	60–80	$\ll 1$	20	45
diámetro medio de los cóndrulos (mm)	0.3	0.7	0.9	—	0.3	1.0
CAI (vol. %)	0.1–1	0.1–1	0.1–1	$\ll 1$	5	10
matriz (vol. %)	10–15	10–15	10–15	$> 99$	70	40
metal hierro–níquel (vol. %)	10	5	2	0	0.1	0–5
fayalita en el olivino (mol %)	16–20	23–26	27–32
tipos petrológicos	3–6	3–6	3–6	1	2	3
temperatura máxima (K)	1220	1220	1220	430	670	870

Definición 2.10 (Tipo petrológico)

El tipo petrológico de una condrita es un número de 1 a 6 que registra lo que le ocurrió en su cuerpo progenitor: el tipo 3 es el menos alterado; los tipos 4 a 6 están cada vez más calentados, con los cóndrulos difuminados y los minerales recristalizados y de composición uniforme; los tipos 2 y 1 están cada vez más alterados por agua líquida, que transformó sus minerales en arcillas.

La última fila de la tabla da las temperaturas máximas alcanzadas por cada grupo: hasta unos $1220\,\mathrm{K}$ para las condritas ordinarias más calentadas, nunca más de $430\,\mathrm{K}$ para las condritas CI, empapadas de agua pero nunca calientes. El calentamiento, como muestra la última sección, vino del interior de los cuerpos progenitores.

2.4.2 Acondritas y meteoritos metálicos

Definición 2.11 (Acondrita, meteorito metálico, meteorito metalorrocoso)

Una acondrita es un meteorito rocoso que cristalizó a partir de un fundido o recristalizó a alta temperatura en un cuerpo que se fundió, y por eso no tiene cóndrulos. Un meteorito metálico está formado sobre todo por metal hierro–níquel. Un meteorito metalorrocoso está formado por metal y silicato en cantidades aproximadamente iguales.

Son los fragmentos de cuerpos que se fundieron y se diferenciaron: las acondritas son sus cortezas y sus mantos, los meteoritos metálicos sus núcleos de metal, y los metalorrocosos proceden del lugar donde se encontraban el metal y el silicato. La mayor familia de acondritas, las howarditas, eucritas y diogenitas (HED), basaltos y rocas ricas en piroxeno, supone el $5.5\,\%$ de todas las caídas. Su origen se rastreó, por su espectro y su órbita, hasta el asteroide Vesta, de unos $525\,\mathrm{km}$ de diámetro, y la sonda Dawn, que llegó a Vesta en 2011, lo confirmó: la química y la mineralogía de la superficie de Vesta coinciden con las de los meteoritos HED, una cuenca de $500\,\mathrm{km}$ de anchura cerca de su polo sur muestra de dónde se arrancaron los fragmentos, y su campo de gravedad indica un núcleo de hierro de unos $225\,\mathrm{km}$ de diámetro. Vesta se fundió, casi o por completo, al principio de su historia. Otras acondritas proceden de la Luna y de Marte. Los meteoritos de las colecciones parecen proceder de un centenar de cuerpos progenitores distintos.

Los meteoritos metálicos guardan el registro de cómo se enfriaron sus núcleos. Una cara cortada y atacada con ácido muestra un entramado de láminas (figura siguiente): a alta temperatura el metal es una sola aleación de hierro y níquel; al enfriarse lentamente, una aleación pobre en níquel crece en láminas a lo largo de los planos del cristal original, y cuanto más lento es el enfriamiento, más anchas son las láminas. Medidas en muchos meteoritos metálicos, las anchuras de las láminas dan las velocidades de enfriamiento de los núcleos de los que proceden.

2.5 La datación del sistema solar

La edad del sistema solar es la edad de sus sólidos más antiguos. Las isócronas uranio–plomo de las CAI, construidas como en el volumen de primer año, dan $4567\text{ a }4568\,\mathrm{Ma}$; las CAI se formaron en un intervalo de unos $0.1\,\mathrm{Myr}$, un tiempo lo bastante corto para tomar su edad como el nacimiento del Sol. Los acontecimientos de los pocos millones de años siguientes, la formación de los cóndrulos y el ensamblaje y la fusión de los primeros cuerpos, se datan mejor con respecto a las CAI, con relojes que corrían deprisa y se pararon pronto.

Definición 2.12 (Radionúclido de vida corta)

Un radionúclido de vida corta es un nucleido radiactivo con un periodo de semidesintegración de aproximadamente $0.1$ a $100\,\mathrm{Myr}$, presente cuando se formó el sistema solar y hoy extinto, cuya presencia pasada se manifiesta por un exceso de su hijo en minerales que eran ricos en su elemento.

El más conocido es el aluminio-26, que se desintegra en magnesio-26 con un periodo de semidesintegración de $0.717\,\mathrm{Myr}$ (una vida media de $1.035\,\mathrm{Myr}$). Cuando se formaron las CAI, uno de cada $19\,000$ átomos de aluminio era aluminio-26: la razón $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ era $(5.23 \pm 0.13)\times10^{-5}$, el valor canónico. Otros nucleidos de vida corta cubren intervalos más largos (tabla siguiente).

nucleido	hijo	referencia	periodo (Myr)	razón inicial
$\ce{^{26}Al}$	$\ce{^{26}Mg}$	$\ce{^{27}Al}$	0.717	$5.23\times10^{-5}$
$\ce{^{60}Fe}$	$\ce{^{60}Ni}$	$\ce{^{56}Fe}$	2.62	$1.0\times10^{-8}$
$\ce{^{53}Mn}$	$\ce{^{53}Cr}$	$\ce{^{55}Mn}$	3.74	$7\times10^{-6}$
$\ce{^{107}Pd}$	$\ce{^{107}Ag}$	$\ce{^{108}Pd}$	6.5	$6.6\times10^{-5}$
$\ce{^{182}Hf}$	$\ce{^{182}W}$	$\ce{^{180}Hf}$	8.90	$1.02\times10^{-4}$
$\ce{^{129}I}$	$\ce{^{129}Xe}$	$\ce{^{127}I}$	15.7	$1.28\times10^{-4}$

Proposición 2.13 (Edad relativa a partir de un nucleido extinto)

Si la razón de un nucleido de vida corta a su isótopo de referencia valía $R_0$ en todas partes cuando se formaron las CAI, y se halla que valía $R$ en un objeto cuando este se formó, el objeto se formó

$$\Delta t = \tau \ln\frac{R_0}{R}$$

después de las CAI, donde $\tau$ es la vida media del nucleido. Un error $\delta R$ en $R$ da el error $\tau\,\delta R/R$ en $\Delta t$.

Un error relativo del $10\,\%$ en la razón cuesta así $0.1\,\mathrm{Myr}$ con el aluminio-26, pero $0.54\,\mathrm{Myr}$ con el manganeso-53 y $1.3\,\mathrm{Myr}$ con el hafnio-182: cada reloj solo es preciso a lo largo de unas pocas de sus propias vidas medias, y el reloj adecuado depende del acontecimiento. La razón $R$ de un objeto se lee en sus minerales.

Proposición 2.14 (Isócrona aluminio–magnesio)

Supóngase que varios minerales de un objeto se forman juntos en el tiempo $\Delta t$ con la misma composición isotópica del magnesio, $(\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg})_0$, pero con razones $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ distintas, y permanecen cerrados desde entonces. Hoy se alinean en la recta

$$\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}} = \left(\frac{\ce{^{26}Mg}}{\ce{^{24}Mg}}\right)_0 + R\,\frac{\ce{^{27}Al}}{\ce{^{24}Mg}},$$

cuya pendiente es la razón $R = \ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ del objeto cuando se formó.

Los minerales ricos en aluminio y pobres en magnesio, como la plagioclasa, muestran grandes excesos de magnesio-26; el olivino, casi libre de aluminio, no muestra ninguno. Así se construyó la secuencia temporal del sistema solar primitivo: primero las CAI; los cóndrulos a lo largo de los pocos millones de años siguientes, con unos datos de los cóndrulos que fijan la duración del disco de gas en menos de cinco millones de años; los cuerpos progenitores de las condritas se ensamblaron después de sus cóndrulos más jóvenes. Las diogenitas, rocas del manto de Vesta, empezaron a cristalizar en el primer millón de años tras las CAI, y el núcleo de Vesta se formó en los primeros uno a cuatro millones de años: los meteoritos metálicos y las acondritas son más antiguos que muchas condritas.

2.6 El calor del aluminio-26 y la primera fusión

¿De dónde vino el calor que fundió Vesta y metamorfizó las condritas ordinarias? Los modelos y los meteoritos coinciden en que en los cuerpos más antiguos la fuente dominante fue la desintegración del aluminio-26. En una roca de composición condrítica aportaba, al principio, $5\,\mathrm{MJ}$ por kilogramo listos para liberarse en unos pocos millones de años: suficiente para calentar la roca miles de kelvin, si el calor no podía escapar.

Proposición 2.15 (Calentamiento de un planetesimal por el aluminio-26)

Una roca que recibe la potencia radiactiva $H_0 e^{-t/\tau}$ por kilogramo, de capacidad calorífica específica $c$ y que no pierde calor, se calienta tras su acreción en el tiempo $t_a$ según

$$T(t) = T_0 + \frac{H_0\tau}{c}\left(e^{-t_a/\tau} - e^{-t/\tau}\right),$$

y tiende a la temperatura máxima $T_{\max} = T_0 + (H_0\tau/c)\,e^{-t_a/\tau}$. Una temperatura crítica $T_c > T_0$ solo se alcanza si el cuerpo se acretó antes de

$$t_a^* = \tau\ln\frac{H_0\tau}{c\,(T_c - T_0)}.$$

Un modelo del cuerpo progenitor de las condritas ordinarias usa $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $T_0 = 250\,\mathrm{K}$. Entonces $H_0\tau/c$ vale unos $7400\,\mathrm{K}$. Importan tres temperaturas: hacia $750\,\mathrm{K}$ la roca porosa empieza a sinterizarse en una roca compacta; hacia $1200\,\mathrm{K}$ el metal y el sulfuro de hierro empiezan a fundirse juntos; hacia $1700\,\mathrm{K}$ se funden los últimos silicatos. Un cuerpo que se acretó antes de $1.7\,\mathrm{Myr}$ se fundió por completo; antes de $2.1\,\mathrm{Myr}$ su metal y su sulfuro se fundieron y pudieron hundirse para formar un núcleo; hasta unos $2.8\,\mathrm{Myr}$ quedó al menos sinterizado y metamorfizado; los cuerpos posteriores siguieron fríos (figura siguiente).

La proposición ignora las pérdidas de calor, lo que solo es válido en lo profundo de un cuerpo grande. El calor se difunde a lo largo de la distancia $\sqrt{\kappa t}$ en el tiempo $t$, donde $\kappa$ es la difusividad térmica de la roca: con los valores del modelo, unos $5\,\mathrm{km}$ en una vida media del aluminio-26 (Ejercicio 2.12). Los cuerpos mucho más pequeños que esto pierden su calor tan deprisa como lo producen; los modelos detallados muestran que los cuerpos de más de $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ de diámetro podían fundirse.

Definición 2.16 (Diferenciación planetaria)

La diferenciación planetaria es la separación de un cuerpo, total o parcialmente fundido, en capas de distinta composición y densidad: un núcleo de metal, un manto de silicatos y una corteza formada por los últimos fundidos.

Los meteoritos registran así dos tipos de cuerpos primitivos. Los que se formaron en los dos primeros millones de años aproximadamente tenían aluminio-26 suficiente para fundirse y diferenciarse: sus núcleos son los meteoritos metálicos, sus cortezas y mantos las acondritas, y Vesta es la superviviente. Los que se formaron más tarde siguieron siendo condritas, calentadas desde dentro en un grado fijado por su fecha de nacimiento y por la profundidad de cada fragmento: los más profundos llegaron al tipo 6, los más superficiales se quedaron en el tipo 3. La propia Tierra, construida con embriones y planetesimales de ambos tipos y golpeada por impactos gigantes, se diferenció en núcleo, manto y corteza.

2.7 Ejercicios

Ejercicio 2.1 ★

En la nebulosa solar de masa mínima, calcúlese la densidad superficial del gas a $1\,\mathrm{au}$ y a $5.2\,\mathrm{au}$, y la densidad superficial de los sólidos a $1\,\mathrm{au}$ (solo roca, $Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) y a $5.2\,\mathrm{au}$ (todos los hielos condensados, $Z_{\mathrm{rel}} = 1$). ¿Cuántas veces más pesado que los sólidos es el gas a $5.2\,\mathrm{au}$?

Solución

Solución de Ejercicio 2.1.

Gas: $2200\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$; a $5.2\,\mathrm{au}$, $2200\times5.2^{-3/2} = 2200/11.86 = 186\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$. Sólidos: $33\times0.33 = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$; $33/11.86 = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$ a $5.2\,\mathrm{au}$. A $5.2\,\mathrm{au}$ el gas es $186/2.78 = 67$ veces más pesado que los sólidos.

Ejercicio 2.2 ★

Con la figura de las temperaturas de condensación, ordénense el aluminio, el sodio, el magnesio, el hierro, el azufre y el oxígeno (como hielo de agua) del primero en condensar al último, y dese el grupo de volatilidad de cada uno. ¿Cuáles cabría esperar enriquecidos en las CAI, y cuáles empobrecidos en la Tierra respecto al Sol?

Solución

Solución de Ejercicio 2.2.

Aluminio ($1653\,\mathrm{K}$, ultrarrefractario), magnesio ($1336\,\mathrm{K}$, común), hierro ($1334\,\mathrm{K}$, común), sodio ($958\,\mathrm{K}$, moderadamente volátil), azufre ($664\,\mathrm{K}$, volátil), oxígeno como hielo de agua ($180\,\mathrm{K}$, muy volátil). Las CAI, los primeros condensados, están enriquecidas en aluminio (y en calcio y titanio); la Tierra está empobrecida en los volátiles, el sodio, el azufre y el agua, respecto al magnesio y al aluminio.

Ejercicio 2.3 ★

El catálogo recoge $1107$ caídas, de las cuales 856 son condritas ordinarias y 49 meteoritos metálicos, y $44\,534$ hallazgos, de los cuales $38\,647$ son condritas ordinarias, $1020$ metálicos y $22\,096$ proceden del sur de $60{}^{\circ}$ S. Calcúlese la proporción de condritas ordinarias y de meteoritos metálicos entre las caídas y entre los hallazgos, y la proporción de hallazgos antárticos. ¿Qué muestra se usaría para estimar las proporciones en que llegan las clases a la Tierra, y por qué?

Solución

Solución de Ejercicio 2.3.

Caídas: condritas ordinarias $856/1107 = 77.3\,\%$, meteoritos metálicos $49/1107 = 4.4\,\%$. Hallazgos: $38647/44534 = 86.8\,\%$ y $1020/44534 = 2.3\,\%$. Hallazgos antárticos: $22096/44534 = 49.6\,\%$. Las caídas: toda caída observada se recoge sea cual sea su clase, mientras que un hallazgo depende de lo bien que el meteorito sobrevive en el suelo, de su aspecto y de dónde se busca, y la mitad de los hallazgos proceden de un solo tipo de lugar.

Ejercicio 2.4 ★

Los minerales de un objeto dan la razón inicial $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al} = 1.0 \times 10^{-5}$. ¿Cuánto tiempo después de las CAI se formó? Tómense $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$ y una vida media de $1.035\,\mathrm{Myr}$.

Solución

Solución de Ejercicio 2.4.

$\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{-5}) = 1.035\ln 5.23 = 1.035\times1.654 = 1.71\,\mathrm{Myr}$ después de las CAI.

Ejercicio 2.5 ★★

Con la Proposición 2.2 y $\Sigma_1 = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$ a $1\,\mathrm{au}$ ($1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$), calcúlese la masa de la nebulosa de masa mínima dentro de $30\,\mathrm{au}$ y dentro de $100\,\mathrm{au}$, en masas solares. Compárese con los discos observados, $0.001\text{ a }0.1$ masas solares.

Solución

Solución de Ejercicio 2.5.

$4\pi\Sigma_1 r_1^2 = 4\pi\times2.2 \times 10^{4}\times(1.496 \times 10^{11})^2 = 6.19 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$. Dentro de $30\,\mathrm{au}$: $\times\sqrt{30} = 5.48$, es decir $3.39 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.017$ masas solares; dentro de $100\,\mathrm{au}$: $\times10$, $6.19 \times 10^{28}\,\mathrm{kg}$ $= 0.031$ masas solares. Ambas están dentro del intervalo observado, más cerca de su extremo superior: la nebulosa era un disco corriente.

Ejercicio 2.6 ★★

En el disco pasivo $T = 120\,\mathrm{K}\,(r/1\,\mathrm{au})^{-3/7}$, hállese dónde se vuelven estables el hielo de agua ($182\,\mathrm{K}$) y el hielo de metano ($41\,\mathrm{K}$). Un grano bajo luz solar directa alcanza $182\,\mathrm{K}$ a $2.3\,\mathrm{au}$. ¿Por qué difieren las dos estimaciones de la línea de nieve, y cuál se aplica a los cuerpos que construyeron los planetas?

Solución

Solución de Ejercicio 2.6.

$r = (120/T)^{7/3}$ au: para el agua, $(120/182)^{7/3} = 0.659^{7/3} = 0.38\,\mathrm{au}$; para el metano, $(120/41)^{7/3} = 2.93^{7/3} = 12.3\,\mathrm{au}$. El grano bajo luz solar directa es la capa superficial del disco; el plano medio, protegido por el polvo que tiene encima, es más frío, de modo que el hielo sobrevive más cerca. Los planetesimales se formaron en el plano medio, así que se aplica la estimación del plano medio, siempre que el disco sea pasivo; el calentamiento por acreción desplaza la línea de nieve hacia fuera.

Ejercicio 2.7 ★★

Calcúlese la masa de aislamiento, con $b = 5$, de un embrión a $1\,\mathrm{au}$ en la nebulosa de masa mínima ($\Sigma_p = 10.9\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), y a $5.2\,\mathrm{au}$ más allá de la línea de nieve ($\Sigma_p = 2.78\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$), en masas terrestres ($M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). ¿En cuánto se convierte a $5.2\,\mathrm{au}$ en un disco con $3.5$ veces más sólidos?

Solución

Solución de Ejercicio 2.7.

A $1\,\mathrm{au}$: $r^2 = 2.238 \times 10^{22}$, $\Sigma_p = 109\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, de modo que $2\pi b r^2\Sigma_p = 31.42\times2.238 \times 10^{22}\times109 = 7.66 \times 10^{25}$; $(7.66 \times 10^{25})^{3/2} = 6.71 \times 10^{38}$, dividido por $(3\times1.989 \times 10^{30})^{1/2} = 2.443 \times 10^{15}$: $2.75 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ $= 0.046$ masas terrestres. A $5.2\,\mathrm{au}$: $r^2 = 6.05 \times 10^{23}$, $\Sigma_p = 27.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$, $2\pi b r^2\Sigma_p = 5.29 \times 10^{26}$, $M = 1.22 \times 10^{40}/2.443 \times 10^{15} = 4.98 \times 10^{24}\,\mathrm{kg} = 0.83$ masas terrestres. Con $3.5$ veces más sólidos, $M$ crece como $3.5^{3/2} = 6.55$: 5.5 masas terrestres.

Ejercicio 2.8 ★★

Una roca de composición CI contenía $1.01 \times 10^{16}$ átomos de aluminio-26 por gramo cuando se formaron las CAI, y cada desintegración deja $5.00 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ de calor. Calcúlese el calor liberado por kilogramo a lo largo de toda la desintegración, y el aumento de temperatura que produciría con $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y sin pérdidas. ¿Cuántas veces supera al calor necesario para calentar la roca de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$?

Solución

Solución de Ejercicio 2.8.

Por kilogramo, $1.01 \times 10^{19}$ átomos, de modo que $1.01 \times 10^{19}\times5.00 \times 10^{-13} = 5.05 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. El aumento de temperatura sería $5.05 \times 10^{6}/837 = 6030\,\mathrm{K}$. Calentar de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$ requiere $837\times1450 = 1.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: el aluminio-26 suministraba unas cuatro veces eso.

Ejercicio 2.9 ★★

A lo largo de toda su desintegración, el aluminio-26 libera $5.07 \times 10^{10}\,\mathrm{erg}$ por gramo de roca CI y el hierro-60 $7.49 \times 10^{7}\,\mathrm{erg}$ por gramo. Calcúlese el cociente de las dos energías. El periodo de semidesintegración del hierro-60 es $2.62\,\mathrm{Myr}$: calcúlese su vida media, y el cociente de las dos potencias de calentamiento iniciales, energía dividida por vida media.

Solución

Solución de Ejercicio 2.9.

$5.07 \times 10^{10}/7.49 \times 10^{7} = 677$. La vida media del hierro-60 es $2.62/\ln2 = 3.78\,\mathrm{Myr}$. Potencias iniciales por gramo: $5.07 \times 10^{10}/1.035 = 4.90 \times 10^{10}$ y $7.49 \times 10^{7}/3.78 = 1.98 \times 10^{7}$ erg por gramo y por millón de años, un cociente de unos $2470$: el aluminio-26 dominaba con mucho.

Ejercicio 2.10 ★★★

Con los resultados del Ejercicio 2.9, hállese el tiempo a partir del cual el hierro-60 calienta la roca más deprisa que el aluminio-26. ¿Pudo el hierro-60 fundir un cuerpo acretado tan tarde? (Compárese la energía que aún le queda por liberar entonces con los $1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$ necesarios para calentar la roca de $250$ a $1700\,\mathrm{K}$.)

Solución

Solución de Ejercicio 2.10.

Las potencias son iguales cuando $4.90 \times 10^{10}\,e^{-t/1.035} = 1.98 \times 10^{7}\,e^{-t/3.78}$, es decir $t(1/1.035 - 1/3.78) = \ln(4.90 \times 10^{10}/1.98 \times 10^{7}) = \ln 2475 = 7.81$; con $0.966 - 0.265 = 0.702$ por millón de años, $t = 11.1\,\mathrm{Myr}$. Para entonces al hierro-60 le quedan $7.49 \times 10^{7}\,e^{-11.1/3.78} = 7.49 \times 10^{7}\times0.053 = 4.0 \times 10^{6}\,\mathrm{erg}\,\mathrm{g}^{-1}$, es decir $400\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$: miles de veces demasiado poco para fundir nada.

Ejercicio 2.11 ★★★

Con $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ y $T_0 = 250\,\mathrm{K}$ (un año de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$), calcúlense los momentos de acreción más tardíos para los que el centro de un cuerpo grande alcanza $1200\,\mathrm{K}$ y $1700\,\mathrm{K}$. Algunas medidas sugieren que el aluminio-26 inicial era solo la mitad del valor canónico en partes del disco: ¿cuánto se desplazarían ambos momentos? Demuéstrese que el desplazamiento no depende de la temperatura crítica.

Solución

Solución de Ejercicio 2.11.

$\tau = 1.035\times3.156 \times 10^{13} = 3.267 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$ y $H_0\tau = 6.21 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$. Para $1200\,\mathrm{K}$: $t_a^* = 1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 1.035\ln7.81 = 2.13\,\mathrm{Myr}$; para $1700\,\mathrm{K}$: $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times1450)\bigr) = 1.035\ln5.12 = 1.69\,\mathrm{Myr}$. Reducir $H_0$ a la mitad resta $\tau\ln2 = 0.72\,\mathrm{Myr}$ a ambos, ya que $t_a^* = \tau\ln H_0 + \tau\ln(\tau/c(T_c - T_0))$ y solo cambia el primer término: el desplazamiento es un periodo de semidesintegración, sea cual sea la temperatura crítica.

Ejercicio 2.12 ★★★

Una roca de conductividad $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, densidad $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ y capacidad calorífica específica $837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ tiene la difusividad térmica $\kappa = k/(\rho c)$. Calcúlese, así como la distancia $\sqrt{\kappa\tau}$ a lo largo de la cual se difunde el calor en una vida media del aluminio-26. Explíquese por qué la proposición del calentamiento se aplica al centro de un cuerpo de $100\,\mathrm{km}$ de diámetro pero no a un cuerpo de $2\,\mathrm{km}$, y compárese con los cuerpos más pequeños que podían fundirse, de $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ de diámetro.

Solución

Solución de Ejercicio 2.12.

$\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ y $\sqrt{\kappa\tau} = \sqrt{7.60 \times 10^{-7}\times3.267 \times 10^{13}} = 4980\,\mathrm{m}$, unos $5\,\mathrm{km}$. El centro de un cuerpo de $100\,\mathrm{km}$ de diámetro está a $50\,\mathrm{km}$ de profundidad, diez veces esa distancia: su calor no puede escapar mientras se desintegra el aluminio-26, y la proposición se aplica. Un cuerpo de $2\,\mathrm{km}$ pierde su calor tan deprisa como lo produce. La fusión exige un radio de unas cuantas veces $5\,\mathrm{km}$, es decir un diámetro de unos $10\text{ a }20\,\mathrm{km}$ o más, como encuentran los modelos.

2.8 Problema: la piedra que cayó en el lago helado

Problema 2.1

Problema de fin de semana — clasificar una piedra recién caída, datar sus cóndrulos con el aluminio-26 y averiguar cuánto se calentó su cuerpo progenitor

Una noche de invierno una bola de fuego cruza el cielo sobre un lago septentrional inventado, y se oye un estampido. A la mañana siguiente se recoge del hielo una piedra de $2.4\,\mathrm{kg}$ con corteza negra, en medio de un cráter reciente en la nieve. La piedra cortada muestra cóndrulos que ocupan el $75\,\%$ de su volumen, de $0.3\,\mathrm{mm}$ de diámetro medio, con bordes difuminados; el metal ocupa el $9\,\%$ de su volumen, y su olivino contiene un 18 por ciento molar de fayalita. Un laboratorio analiza un cóndrulo (tabla siguiente). Úsense las tablas del capítulo, $R_0 = 5.23 \times 10^{-5}$, $\tau = 1.035\,\mathrm{Myr}$, un año de $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $H_0 = 1.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $c = 837\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_0 = 250\,\mathrm{K}$, una conductividad de $2.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, una densidad de $3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ y $M_\oplus = 5.972 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

mineral	$\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$	$\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$
olivino	0.05	$0.139\,500$
vidrio	3.00	$0.139\,518$
plagioclasa	15.0	$0.139\,590$

Parte I — La piedra.

1. ¿Es la piedra una caída o un hallazgo? ¿Por qué eso la hace valiosa?
2. De las $1107$ caídas del catálogo, 856 son condritas ordinarias. ¿Cuál es la probabilidad de que una caída tomada al azar lo sea?
3. Con la tabla de los grupos de condritas, dígase a qué grupo pertenece la piedra.
4. Sus cóndrulos tienen bordes difuminados y sus minerales son de composición uniforme. ¿Qué tipos petrológicos sugiere eso, y cuál es la temperatura máxima que alcanzó su grupo, en kelvin y en grados Celsius?
5. ¿Por qué cabe esperar pocas CAI en ella, y por qué es aun así la piedra más joven que cualquier CAI?

Parte II — ¿Cuándo se formó el cóndrulo?

6. Explíquese por qué la razón $\ce{^{26}Mg}/\ce{^{24}Mg}$ aumenta con $\ce{^{27}Al}/\ce{^{24}Mg}$ de un mineral a otro.
7. A partir del olivino y la plagioclasa, calcúlese la pendiente de la isócrona. ¿Qué mide?
8. Compruébese que el vidrio está en la misma recta.
9. ¿Cuánto tiempo después de las CAI se formó el cóndrulo?
10. Tomando para las CAI una edad de $4567.5\,\mathrm{Ma}$, dese la edad del cóndrulo.
11. ¿Cuál habría sido la razón $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ en un mineral formado $10\,\mathrm{Myr}$ después de las CAI? ¿Qué nucleido de la tabla dataría mejor un acontecimiento así?

Parte III — El calentamiento del cuerpo progenitor. El cuerpo progenitor de la piedra, de $20\,\mathrm{km}$ de radio, se ensambló $2.4\,\mathrm{Myr}$ después de las CAI, poco después de sus cóndrulos.

12. Calcúlense la difusividad térmica de la roca y el tiempo $R^2/\kappa$ que tarda el calor en escapar del centro, en millones de años. ¿Puede tratarse el centro como si no perdiera calor?
13. Calcúlese la potencia de calentamiento del aluminio-26 por kilogramo de roca en el momento del ensamblaje.
14. Calcúlese el calor que queda por liberar por kilogramo después del ensamblaje.
15. Calcúlense el aumento de temperatura y la temperatura máxima en el centro.
16. Compárese con las tres temperaturas críticas del capítulo. ¿Se fundió el centro? ¿Es coherente con la pregunta 4?
17. ¿Cuál es el momento de ensamblaje más tardío para el que el metal y el sulfuro del centro habrían empezado a fundirse?
18. ¿Cuánto tiempo después del ensamblaje se alcanza el $90\,\%$ del aumento de temperatura? Dese la fecha respecto a las CAI.

Parte IV — Los vecinos.

19. Una acondrita procede de un cuerpo que se ensambló $0.8\,\mathrm{Myr}$ después de las CAI. Calcúlese la temperatura máxima que daría la proposición, y dígase qué le ocurrió realmente al cuerpo.
20. ¿Cuántas veces más aluminio-26 por kilogramo tenía ese cuerpo en su ensamblaje que el cuerpo progenitor de la piedra?
21. La piedra es más pobre que el Sol en cinc y plomo, pero no en magnesio ni en aluminio. Úsense las temperaturas de condensación para explicar por qué.
22. En la nebulosa de masa mínima, calcúlese la densidad superficial de la roca ($Z_{\mathrm{rel}} = 0.33$) a $2.5\,\mathrm{au}$, donde orbitaba el cuerpo progenitor.
23. Calcúlese la masa de aislamiento a $2.5\,\mathrm{au}$, con $b = 5$, en kilogramos y en masas terrestres, y compárese con la masa del cuerpo progenitor.
24. Indíquese la temperatura máxima del centro del cuerpo progenitor, la cifra clave de este problema, en grados Celsius.

Solución

Solución de Problema 2.1.

1. Una caída: se vio su llegada y se recogió a la mañana siguiente. No está meteorizada, y se suma a la muestra no sesgada de lo que llega a la Tierra.

2. $856/1107 = 0.77$: unas tres posibilidades de cada cuatro.

3. Cóndrulos de $0.3\,\mathrm{mm}$, un $9\,\%$ de metal y un olivino con un $18\,\%$ de fayalita: una condrita H ($10\,\%$ de metal, Fa 16–20).

4. Los cóndrulos difuminados y los minerales uniformes indican metamorfismo térmico: tipos 5 a 6. Las condritas ordinarias alcanzaron como mucho unos $1220\,\mathrm{K}$, es decir $947{}^{\circ}\mathrm{C}$.

5. Las condritas ordinarias solo contienen un $0.1\text{ a }1\,\%$ de CAI en volumen. La piedra está hecha de cóndrulos y matriz ensamblados después de las CAI, que son los sólidos más antiguos: toda roca que las contiene es más joven.

6. Cada mineral recibió al formarse el mismo magnesio más aluminio-26 en proporción a su aluminio; desde entonces el aluminio-26 se ha convertido en magnesio-26, de modo que cuanto más aluminio tenía un mineral por magnesio, más magnesio-26 ganó.

7. $(0.139590 - 0.139500)/(15.0 - 0.05) = 0.000\,090/14.95 = 6.02 \times 10^{-6}$: la razón $\ce{^{26}Al}/\ce{^{27}Al}$ del cóndrulo cuando se formó.

8. $0.139500 + 6.02 \times 10^{-6}\times3.00 = 0.139518$: en la recta.

9. $\Delta t = 1.035\ln(5.23 \times 10^{-5}/6.02 \times 10^{-6}) = 1.035\ln8.69 = 1.035\times2.162 = 2.24\,\mathrm{Myr}$.

10. $4567.5 - 2.2 = 4565.3\,\mathrm{Ma}$.

11. $5.23 \times 10^{-5}\,e^{-10/1.035} = 5.23 \times 10^{-5}\times6.4 \times 10^{-5} = 3.3 \times 10^{-9}$, demasiado poco magnesio-26 para medirlo. El hafnio-182 (periodo $8.9\,\mathrm{Myr}$) o el manganeso-53 ($3.7\,\mathrm{Myr}$) convienen a acontecimientos unos diez millones de años posteriores a las CAI.

12. $\kappa = 2.1/(3300\times837) = 7.60 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $R^2/\kappa = 4 \times 10^{8}/7.60 \times 10^{-7} = 5.26 \times 10^{14}\,\mathrm{s} = 16.7\,\mathrm{Myr}$, dieciséis veces la vida media del aluminio-26: el centro conserva su calor.

13. $1.9 \times 10^{-7}\,e^{-2.4/1.035} = 1.9 \times 10^{-7}\times0.0984 = 1.87 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

14. $1.87 \times 10^{-8}\times3.267 \times 10^{13} = 6.11 \times 10^{5}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$.

15. $\Delta T = 6.11 \times 10^{5}/837 = 730\,\mathrm{K}$; máximo $250 + 730 = 980\,\mathrm{K}$.

16. Por encima de $750\,\mathrm{K}$, así que la roca se sinterizó y se metamorfizó; por debajo de $1200\,\mathrm{K}$, así que no se fundieron ni el metal ni el sulfuro. La piedra es una condrita calentada, de tipo petrológico alto, por debajo de los $1220\,\mathrm{K}$ de la pregunta 4: coherente.

17. $1.035\ln\bigl(6.21 \times 10^{6}/(837\times950)\bigr) = 2.13\,\mathrm{Myr}$: unos $0.3\,\mathrm{Myr}$ antes.

18. El aumento es $\Delta T(1 - e^{-(t - t_a)/\tau})$; el $90\,\%$ exige $e^{-(t - t_a)/\tau} = 0.1$, $t - t_a = 1.035\ln10 = 2.38\,\mathrm{Myr}$, es decir $4.8\,\mathrm{Myr}$ después de las CAI.

19. $\Delta T = 7420\,e^{-0.8/1.035} = 7420\times0.462 = 3430\,\mathrm{K}$, máximo $3680\,\mathrm{K}$, muy por encima de los $1700\,\mathrm{K}$ a los que los silicatos están fundidos. El cuerpo se fundió (el calor de fusión contuvo su temperatura) y se diferenció en un núcleo de metal y un manto y una corteza de silicatos.

20. $e^{(2.4 - 0.8)/1.035} = e^{1.546} = 4.7$ veces más.

21. El cinc y el plomo condensan hacia $727\,\mathrm{K}$, moderadamente volátiles; el magnesio ($1336\,\mathrm{K}$) y el aluminio ($1653\,\mathrm{K}$) condensan mucho antes. Los sólidos de la región de la piedra se reunieron antes de que el gas se enfriara lo bastante para que todo el cinc y el plomo condensaran.

22. $33\times0.33\times2.5^{-3/2} = 10.89/3.95 = 2.76\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $27.6\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

23. $r^2 = (3.74\times10^{11})^2 = 1.40 \times 10^{23}$; $2\pi\times5\times1.40 \times 10^{23}\times27.6 = 1.21 \times 10^{26}$; $(1.21 \times 10^{26})^{3/2}/2.443 \times 10^{15} = 5.45 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $0.091$ masas terrestres. El cuerpo progenitor, $\tfrac43\pi(2 \times 10^{4})^3\times3300 = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, es cinco millones de veces más ligero: un planetesimal, no un embrión.

24. El centro del cuerpo progenitor alcanzó un máximo de unos $707{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($980 - 273$): lo bastante caliente para recristalizar la condrita, demasiado frío para fundir su metal.