8La diferenciación magmática

El 20 de febrero de 1943 un volcán empezó a entrar en erupción en el oeste de México, y siguió así durante nueve años. Sus primeras lavas fueron andesitas basálticas con un $55\,\%$ de sílice; las últimas, en febrero de 1952, fueron andesitas con algo más de un $60\,\%$. El volcán, el Parícutin, no cambió de fuente entretanto, y sus lavas se analizaron una tras otra a medida que salían. El magma que tenía debajo cambió por sí mismo: formó cristales y los dejó atrás, y asimiló parte de la roca granítica que lo rodeaba. Un magma que sale del manto como basalto puede acabar como riolita, y las rocas que deja atrás por el camino registran cómo lo hizo. Este capítulo sigue a un magma mientras se enfría: el orden en que cristalizan los minerales, las leyes que dicen cómo cambian los elementos mayores y en trazas cuando se retiran cristales, las rocas construidas con esos cristales, y lo que ocurre cuando el magma incorpora otro magma o la corteza.

Lo que ya sabes

Del volumen de bachillerato: las rocas ígneas y sus texturas; el orden en que cristalizan los minerales de un magma basáltico, el olivino primero y el cuarzo el último, hallado por los experimentos de Bowen. Del volumen de segundo año de los libros de química: los diagramas de fases binarios, las soluciones sólidas y la regla de la palanca. Del volumen de primer año: la plagioclasa, una solución sólida entre la anortita $\ce{CaAl2Si2O8}$ y la albita $\ce{NaAlSi3O8}$, y los demás silicatos formadores de rocas; las láminas delgadas con polarizadores cruzados. Del Capítulo 3: los coeficientes de reparto mineral–fundido y global, $\bar D = \sum_i x_i D_i$, los elementos compatibles e incompatibles, los diagramas normalizados y la anomalía de europio. Del Capítulo 4: las razones isotópicas como trazadores y la hipérbola de mezcla. Del Capítulo 7: el eutéctico diópsido–anortita, la fusión incongruente, los diagramas ternarios y los magmas primarios.

8.1 Secuencias de cristalización

Un magma basáltico no cristaliza todos sus minerales a la vez. Bowen halló experimentalmente que el olivino suele cristalizar primero, entre 1200 y $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; que la plagioclasa cálcica empieza más o menos cuando lo hace el piroxeno; y que el último líquido, rico en sílice, da feldespato potásico, cuarzo y quizá moscovita hacia 750 a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Entre ambos extremos, los minerales máficos no se limitan a acumularse: cada uno reacciona con el líquido para dar el siguiente.

Definición 8.1 (Serie de reacción de Bowen)

La serie de reacción de Bowen es el orden en que cristalizan los silicatos comunes de un magma basáltico que se enfría, en forma de dos ramas que confluyen al final. En la rama discontinua cada mineral máfico reacciona con el líquido y forma un mineral nuevo de otra estructura: olivino, piroxeno, anfíbol, biotita. En la rama continua la plagioclasa cristaliza todo el tiempo, y su composición cambia de forma continua de cálcica a sódica. El último líquido cristaliza feldespato potásico, moscovita y cuarzo.

Las dos ramas corresponden a los dos tipos de diagrama de fases del Capítulo 7. Una reacción discontinua es la fusión incongruente de la enstatita al revés: los cristales de forsterita reaccionan con un líquido más rico en sílice para dar enstatita. La rama continua es una solución sólida. Bowen la midió en 1913 con plagioclasas sintéticas, manteniendo cada composición a una temperatura conocida y buscando vidrio y cristales: la anortita funde a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, la albita a unos $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, y toda plagioclasa intermedia funde en un intervalo entre una curva inferior, el solidus, y una superior, el liquidus (figura siguiente).

Un líquido que cristaliza una solución sólida se enriquece en el componente que funde a menor temperatura: la primera plagioclasa de un líquido con un $50\,\%$ de anortita tiene un $81\,\%$, y el líquido se desplaza hacia la albita. Lo que ocurre después depende de si los cristales siguen dialogando con el líquido.

Definición 8.2 (Cristalización en equilibrio y cristalización fraccionada)

En la cristalización en equilibrio los cristales permanecen en equilibrio químico con todo el líquido hasta el final, reequilibrándose a medida que el líquido cambia; el sistema termina con la composición con la que empezó. En la cristalización fraccionada cada cristal, una vez formado, queda sustraído de la reacción con el líquido, porque sedimenta, porque se adhiere a las paredes de la cámara o porque queda blindado por un crecimiento posterior; el líquido evoluciona entonces como si los cristales se hubieran extraído del sistema.

En la cristalización en equilibrio la plagioclasa de la figura anterior pasa de un $81\,\%$ a un $50\,\%$ de anortita a medida que crece, pues cada cristal se reequilibra por difusión con el líquido, y el último líquido desaparece en el solidus, a $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. La difusión en el feldespato es lenta, y los cristales naturales rara vez siguen el ritmo: el interior de cada cristal queda aislado del líquido, que entonces se comporta como en la cristalización fraccionada y puede llegar a composiciones cercanas a la albita. La figura de la última sección de este capítulo calcula ambas trayectorias.

Definición 8.3 (Línea de descenso del líquido)

La línea de descenso del líquido de un magma es la sucesión de composiciones que adopta su líquido a medida que cristaliza, representada en un diagrama de variación o en un diagrama de fases.

Una línea de descenso del líquido es una propiedad solo del líquido. Las lavas emitidas con cristales no caen exactamente sobre ella, y Wilcox, al estudiar las lavas del Parícutin, usó tanto sus análisis de roca total como las composiciones de su pasta, la parte líquida, calculadas descontando los cristales.

8.2 Cristalización fraccionada de los elementos mayores

Retirar cristales cambia la composición del líquido de forma sencilla y lineal, y la herramienta más antigua para leerla es representar cada óxido frente a la sílice.

Definición 8.4 (Diagrama de Harker)

Un diagrama de Harker (diagrama de variación de la sílice) representa el porcentaje en masa de cada óxido de una serie de rocas emparentadas frente a su porcentaje en masa de $\ce{SiO2}$, un panel por óxido.

Las lavas del Parícutin muestran tales tendencias (los diagramas de Harker que siguen a la próxima proposición): al aumentar la sílice, la magnesia, la cal y la alúmina disminuyen y la potasa aumenta. Es lo que haría la retirada de olivino y plagioclasa: el olivino se lleva magnesia y hierro, la plagioclasa cal y alúmina, y ambos dejan el líquido más rico en sílice y álcalis. Si la retirada de minerales conocidos puede explicar las tendencias cuantitativamente es una cuestión de balance de masas.

Proposición 8.5 (Balance de masas de la retirada de cristales)

Cristalice un magma parental de composición $\mathbf p$ (un vector de fracciones másicas de óxidos) minerales de composiciones $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ en masas $x_1, \dots, x_k$ por unidad de masa de magma parental, y sea $\mathbf d$ la composición del líquido restante. Entonces

$$\mathbf p = \Big(1 - \sum_i x_i\Big)\mathbf d + \sum_i x_i \mathbf m_i .$$

Para un solo mineral, el magma parental está sobre el segmento recto que une el líquido y el mineral en todo diagrama de variación, y la fracción másica retirada es $x = (p_j - d_j)/(m_j - d_j)$ para cualquier óxido $j$: la regla de la palanca.

Con varios minerales las masas se hallan resolviendo las ecuaciones de conservación de otros tantos óxidos. Wilcox lo hizo gráficamente en 1954; hoy es un pequeño sistema lineal.

Método 8.6 (Balance de masas por mínimos cuadrados)

Para comprobar si un líquido hijo $\mathbf d$ deriva de un magma parental $\mathbf p$ por retirada de los minerales $\mathbf m_1, \dots, \mathbf m_k$ (y adición, si hace falta, de una roca asimilada, introducida con masa negativa): (1) para cada óxido $j$, escríbase la conservación de la proposición reordenada como ecuación lineal en las masas retiradas por cada $100\,\mathrm{g}$ de magma parental,

$$\sum_i x_i\,(m_{ij} - d_j) = 100\,(p_j - d_j);$$

(2) con exactamente $k$ óxidos, elegidos entre los que los minerales más cambian, resuélvase el sistema $k \times k$; con más óxidos, resuélvase por mínimos cuadrados (minimizando la suma de los cuadrados de las diferencias entre ambos miembros); (3) recalcúlese el líquido hijo a partir de las masas halladas y compárese con el análisis, óxido por óxido: residuos mayores que los errores analíticos, o una masa negativa para un mineral, rechazan el modelo.

Wilcox eligió la sílice, la alúmina y la magnesia como sus tres controles, y tres materiales: olivino de composición Fo$_{80}$, plagioclasa An$_{70}$, y la media de cuatro xenolitos graníticos ($72.5\,\%$ de $\ce{SiO2}$, $3.6\,\%$ de $\ce{K2O}$) hallados en las lavas. Mostró que ninguna combinación de olivino y plagioclasa sola se ajusta a la serie, y que añadir $25.4\,\mathrm{g}$ de xenolito y retirar $2.9\,\mathrm{g}$ de olivino y $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclasa de $100\,\mathrm{g}$ de la pasta de la primera lava da $112.9\,\mathrm{g}$ de un material cercano a la pasta de la lava de 1950. Resolver exactamente sus tres ecuaciones da $24.6\,\mathrm{g}$, $3.1\,\mathrm{g}$ y $9.9\,\mathrm{g}$; los mínimos cuadrados sobre siete óxidos dan otra respuesta, $28.7\,\mathrm{g}$, $2.4\,\mathrm{g}$ y $5.7\,\mathrm{g}$, lo que recuerda que tales resultados dependen de los controles elegidos. En cualquier caso el magma asimiló más granito del que cristalizó. Las lavas del Parícutin registran un sistema abierto, el tema de la última sección.

8.3 Elementos en trazas

Un elemento en trazas no cambia los minerales que cristalizan; los sigue, con su coeficiente de reparto global $\bar D$ (Capítulo 3), escrito aquí $D$, entre los cristales que se forman en cada momento y el líquido.

Teorema 8.7 (Ley de fraccionamiento de Rayleigh)

En una cristalización fraccionada perfecta con un coeficiente de reparto global constante $D$, la concentración de un elemento en trazas en el líquido es

$$\frac{C_L}{C_0} = F^{\,D-1},$$

donde $C_0$ es su concentración en el líquido inicial y $F$ la fracción másica de líquido restante. Esta es la ley de fraccionamiento de Rayleigh.

Proposición 8.8 (Cristalización en equilibrio de un elemento en trazas)

Si los cristales permanecen en equilibrio con el líquido, $C_L/C_0 = 1/(D + F(1-D))$.

Corolario 8.9 (Razones de elementos incompatibles)

Para dos elementos de coeficientes de reparto $D_1$ y $D_2$, la razón de sus concentraciones en el líquido cambia en el factor $F^{\,D_1-D_2}$ en la cristalización fraccionada. Si ambos son muy incompatibles ($D_1, D_2 \ll 1$) la razón apenas cambia: conserva el valor del magma parental, y por tanto el de su fuente.

La figura anterior se lee en dos sentidos. Los elementos incompatibles ($D \ll 1$) se comportan casi igual: su concentración crece casi como $1/F$, de modo que un líquido diez veces más rico en circonio ha cristalizado cerca de nueve décimas partes de su masa. Los elementos compatibles son mucho más sensibles. El níquel entra en el olivino con un coeficiente de reparto de cerca de 5 en líquidos magnesianos calientes: medido en 3.8 a $1550\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y en 5.0 a $1400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, aumenta unos 0.8 por cada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ de enfriamiento; el estroncio entra en la plagioclasa con cerca de 2.7; un basalto que cristaliza una quinta parte de su masa como olivino pierde más de la mitad de su níquel (Ejercicio 8.5). El níquel es por tanto el registro más sensible del fraccionamiento del olivino, y un basalto rico en níquel está cerca de un magma primario (Capítulo 7).

Dos observaciones fijan el alcance de estas leyes. En primer lugar, $D$ no es constante: cambia cuando un mineral nuevo se une al conjunto que cristaliza, y la ley se aplica entonces por etapas (Ejercicio 8.12). En segundo lugar, las mismas ecuaciones, con los papeles del sólido y del líquido intercambiados, describen la fusión de una fuente; cómo fraccionan los elementos en trazas la fusión en equilibrio y la fusión fraccionada se trata en el volumen de tercer año.

8.4 Cumulados e intrusiones estratificadas

¿Adónde van los cristales retirados de un magma? En una cámara magmática que se enfría despacio, sedimentan en su suelo, crecen en sus paredes y en su techo, y construyen rocas de un tipo particular.

Definición 8.10 (Cumulado; intrusión estratificada)

Un cumulado es una roca ígnea formada por la acumulación de cristales (los cristales cúmulo) de un magma, junto con los minerales crecidos más tarde a partir del líquido atrapado entre ellos (el material intercúmulo); su composición es la de unos cristales más un poco de líquido, no la de ningún magma. Una intrusión estratificada es un cuerpo grande, enfriado despacio, de cumulados máficos o ultramáficos dispuestos en capas, que registra la cristalización fraccionada del magma que lo llenó.

La intrusión de Skaergaard, en el este de Groenlandia, de unos $56\,\mathrm{Ma}$, es la referencia. Sus gabros estratificados afloran en unos 11 por $8\,\mathrm{km}$, y registran la diferenciación ininterrumpida de un basalto toleítico: una Serie Estratificada creció en el suelo, las Series de Borde en las paredes y el techo, y ambas se encontraron en el Horizonte Sándwich, donde el último líquido, el más evolucionado, cristalizó en el interior (figura siguiente). Los cumulados del suelo se dividen, de la base hacia arriba, en una Zona Oculta, que no aflora, y las Zonas Inferior, Media y Superior, que afloran. Quienes la estudiaron estimaron la fracción másica $F$ de líquido que quedaba cuando cristalizó cada nivel, ajustada a lo largo de la sección de referencia de la Serie Estratificada por

($H$ en metros sobre la base de la Zona Inferior). Una cuarta parte del magma ya había cristalizado, en las paredes, el techo y una zona oculta, cuando empezó la secuencia aflorante del suelo; el Horizonte Sándwich, $F = 0$, está unos $2.2\,\mathrm{km}$ más arriba (Ejercicio 8.7).

Los análisis de roca total de 134 muestras a lo largo de esta sección muestran en acción las leyes de la sección anterior (figura siguiente). El níquel, compatible, baja de unas $180\,\mathrm{ppm}$ en los cumulados de la Zona Inferior a $54\,\mathrm{ppm}$ en la Zona Media y $6\,\mathrm{ppm}$ en la Zona Superior. Un cumulado contiene $D$ veces el níquel del líquido del que creció, de modo que en ejes logarítmicos $\ln \mathrm{Ni} = \text{cte} + (D-1)\ln F$: la pendiente sobre las Zonas Inferior y Media, 1.38, da un $D \approx 2.4$ aparente. El circonio, incompatible, apenas varía en los cumulados: se queda en el líquido, y solo entra en un cumulado a través del líquido atrapado, hasta las últimas rocas de la Zona Superior, cristalizadas a partir de un líquido donde se había acumulado.

Las intrusiones más gruesas albergan menas: las intrusiones estratificadas que contienen cromitita tienen de media al menos $2\,\mathrm{km}$ de espesor. El Complejo del Bushveld, en Sudáfrica, de $(2043 \pm 11)\,\mathrm{Ma}$, cubre de $60\,000\text{ a }65\,000\,\mathrm{km}^{2}$, y su serie estratificada tiene unos $5\,\mathrm{km}$ de espesor, hasta $9\,\mathrm{km}$ en algunos lugares. Su Zona Crítica, de 1500 a $1700\,\mathrm{m}$ de espesor, repite ciclos de piroxenita, norita y anortosita y contiene capas de cromitita, una roca con más de un $90\,\%$ de cromita; una de ellas, la capa LG6, tiene de 0.5 a $1.05\,\mathrm{m}$ de espesor. Los modelos térmicos dan para el emplazamiento de sus magmas unos $75\,000$ años y para su cristalización $200\,000$. Cómo se forman capas tan finas y tan regulares, por sedimentación de cristales, por cristalización in situ en el suelo, por aportes de magma nuevo, sigue siendo objeto de debate.

8.5 Sistemas abiertos

Una cámara magmática rara vez está cerrada. Llega magma nuevo desde abajo, y las paredes de la cámara son rocas que el magma puede calentar, fundir y disolver.

Definición 8.11 (Mezcla de magmas; asimilación cortical; AFC)

La mezcla de magmas es la combinación de dos magmas de composiciones distintas en uno solo. La asimilación cortical es la incorporación de roca de la corteza a un magma, por fusión y disolución de la roca encajante o de bloques caídos en él. La asimilación con cristalización fraccionada (AFC) es su combinación en una misma cámara: el magma cristaliza, y el calor latente liberado funde y asimila la roca encajante.

Proposición 8.12 (La mezcla es lineal en las concentraciones)

Una mezcla de una fracción másica $s$ del magma A y $1-s$ del magma B tiene cada concentración $C = sC_A + (1-s)C_B$: en cualquier diagrama de una concentración frente a otra, las mezclas están sobre el segmento recto de A a B, y la regla de la palanca da $s$.

La mezcla y la retirada de cristales trazan ambas rectas en los diagramas de Harker; las razones isotópicas las distinguen. La cristalización no cambia una razón isotópica, mientras que la mezcla con una roca de razón distinta sí lo hace, a lo largo de la hipérbola del Capítulo 4. Un aumento de $^{87}$Sr/$^{86}$Sr con la sílice en una serie volcánica es por tanto la huella de la asimilación.

Proposición 8.13 (Asimilación con cristalización fraccionada)

Un magma cristaliza cristales con coeficiente de reparto global $D$ para un elemento y asimila roca encajante de concentración $C_a$ a un ritmo $r$ veces el de cristalización ($r \ne 1$). Con $F$ la masa de magma relativa a su masa inicial y $z = (r + D - 1)/(r - 1)$,

$$\frac{C}{C_0} = F^{-z} + \frac{r}{r - 1 + D}\,\frac{C_a}{C_0}\,\bigl(1 - F^{-z}\bigr).$$

Para $r = 0$ es la ley de Rayleigh. La razón isotópica del elemento en el magma es la media de la del magma inicial y la de la roca encajante, ponderada por los dos términos de esta suma.

DePaolo dio estas ecuaciones en 1981, y son el modelo estándar de un magma contaminado en su paso por la corteza. Esconden una restricción térmica. El calor para asimilar roca procede del calor latente de los cristales: calentar corteza de 150 a $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ exige cerca de $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{g}$, fundirla $300\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$, mientras que la cristalización del magma aporta unos $400\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$; así que deben cristalizar unos $3.25\,\mathrm{g}$ de magma por cada gramo de roca asimilada, y $r$ queda muy por debajo de 1. Wilcox hizo el mismo cálculo para el Parícutin: sus $25.4\,\mathrm{g}$ de monzonita cuarcífera, tomados a unos $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, necesitaban unos $31\,350\,\mathrm{J}$ para calentarse hasta $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y fundirse, el calor de cristalización de unos $85\,\mathrm{g}$ de plagioclasa, mucho más que los $12.5\,\mathrm{g}$ de cristales que retiraba su balance de masas. El magma emitido no pudo pagar su propia asimilación: el calor debió de proceder de un cuerpo de magma mayor que el que entró en erupción, que cristalizaba fuera de la vista (Ejercicio 8.11).

8.6 Leer los cristales zonados

Definición 8.14 (Zonación composicional)

Un cristal de una solución sólida presenta zonación composicional cuando su composición varía del núcleo al borde, registrando el líquido cambiante a partir del cual crecieron las capas sucesivas. La zonación es normal cuando el borde es más rico en el componente de baja temperatura (el sodio en la plagioclasa), inversa cuando es más rico en el de alta temperatura, y oscilatoria cuando alterna.

Un cristal zonado es la cristalización fraccionada sorprendida en el acto: su núcleo no se reequilibró con el líquido posterior. La figura siguiente calcula, sobre el bucle de Bowen, la plagioclasa que crece de un líquido con un $50\,\%$ de anortita. En equilibrio los cristales siguen siendo homogéneos y terminan en un $50\,\%$; en una cristalización fraccionada perfecta cada capa nueva está en equilibrio con un líquido cada vez más sódico, y el borde de los últimos cristales es albita casi pura. La zonación normal, de núcleo cálcico a borde sódico, es lo que predice la serie de Bowen para un magma que se enfría. Una zona inversa, una banda cálcica por fuera de una sódica, dice que el cristal quedó bañado de repente en un líquido más caliente o más cálcico: a menudo la llegada de magma nuevo, una mezcla en la cámara.

En el laboratorio — Leer los cristales zonados

Los petrólogos leen primero la zonación con polarizadores cruzados, donde las zonas de una plagioclasa se extinguen con ángulos ligeramente distintos y aparecen como bandas concéntricas. Después la miden: una microsonda electrónica (Capítulo 31) analiza puntos de unos pocos micrómetros a lo largo de un perfil del núcleo al borde, y los mapas de calcio y sodio muestran las zonas directamente. A partir de ese perfil calculan la composición del líquido del que creció cada zona, con el bucle de la figura anterior o con coeficientes de reparto, y cuentan las zonas inversas como el número de recargas de la cámara. Los elementos en trazas medidos a lo largo del mismo perfil por ablación láser, y las razones isotópicas medidas zona a zona, separan la cristalización, la mezcla y la asimilación en la historia de un solo cristal.

8.7 Ejercicios

Ejercicio 8.1 ★

Úsense las medidas de Bowen sobre las plagioclasas (solidus / liquidus, ${}^{\circ}\mathrm{C}$): An$_{100}$ 1550 / 1550; An$_{83.3}$ 1465 / 1521; An$_{66.7}$ 1372 / 1490; An$_{50}$ 1287 / 1450; An$_{33.3}$ 1205 / 1394; An$_{20}$ liquidus 1334; An$_{11.1}$ liquidus 1265, e interpólese linealmente entre puntos vecinos. Un líquido con un $50\,\%$ de anortita se enfría en equilibrio. (a) ¿A qué temperatura empieza a cristalizar, y cuál es la composición del primer cristal? (b) A $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, ¿cuáles son las composiciones del líquido y de los cristales, y qué fracción másica ha cristalizado (úsense las fracciones molares como si fueran fracciones másicas)? (c) ¿Cuál es la composición de la última gota de líquido?

Solución

Solución de Ejercicio 8.1.

(a) El liquidus de An$_{50}$ está a $1450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. El primer cristal está sobre el solidus a esa temperatura, entre An$_{66.7}$ (1372) y An$_{83.3}$ (1465): $66.7 + 16.6\times(1450 - 1372)/(1465 - 1372) = 66.7 + 13.9 = 80.6\,\%$ de anortita. (b) A $1394\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ el líquido está sobre el liquidus, An$_{33.3}$; los cristales sobre el solidus, $66.7 + 16.6\times22/93 = 70.6\,\%$. Por la regla de la palanca, la fracción cristalizada es $(50 - 33.3)/(70.6 - 33.3) = 16.7/37.3 = 0.448$. (c) El último líquido desaparece cuando los cristales alcanzan An$_{50}$, a la temperatura del solidus, $1287\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; el liquidus está allí entre An$_{11.1}$ (1265) y An$_{20}$ (1334): $11.1 + 8.9\times22/69 = 13.9\,\%$ de anortita.

Ejercicio 8.2 ★

Un cumulado gabroico contiene un $50\,\%$ de plagioclasa, un $35\,\%$ de clinopiroxeno y un $15\,\%$ de olivino. Con los coeficientes de reparto (olivino / clinopiroxeno / plagioclasa) Sr 0.000063 / 0.157 / 2.7, Zr 0.00068 / 0.195 / 0.001 y Rb 0.000044 / 0.0033 / 0.025, calcúlese el coeficiente de reparto global de cada elemento, y dígase cuál es compatible.

Solución

Solución de Ejercicio 8.2.

$\bar D_{\ce{Sr}} = 0.15\times0.000063 + 0.35\times0.157 + 0.50\times2.7 = 0.00001 + 0.0550 + 1.35 = 1.40$; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.0001 + 0.0683 + 0.0005 = 0.069$; $\bar D_{\ce{Rb}} = 0.00001 + 0.0012 + 0.0125 = 0.014$. Solo el estroncio, retenido por la plagioclasa, es compatible ($\bar D > 1$); el circonio y el rubidio son incompatibles, el rubidio más aún.

Ejercicio 8.3 ★

El cumulado del Ejercicio 8.2 cristaliza a partir de un basalto, por cristalización fraccionada, hasta que queda la mitad del líquido. (a) ¿En qué factor ha cambiado cada uno de Sr, Zr y Rb en el líquido (tómense los coeficientes globales 1.40, 0.069 y 0.014)? (b) ¿En qué factor ha cambiado la razón Zr/Rb? Coméntese con el corolario sobre las razones.

Solución

Solución de Ejercicio 8.3.

(a) $C_L/C_0 = 0.5^{D-1}$: Sr $0.5^{0.40} = 0.758$ (disminuye); Zr $0.5^{-0.931} = 1.907$; Rb $0.5^{-0.986} = 1.981$, cerca del límite 2. (b) Zr/Rb cambia en $0.5^{0.069 - 0.014} = 0.5^{0.055} = 0.963$, menos de un $4\,\%$ mientras cada elemento casi se duplicaba: como dice el corolario, la razón de dos elementos incompatibles conserva el valor del magma parental, y por tanto informa sobre la fuente, no sobre la cristalización.

Ejercicio 8.4 ★

La primera lava del Parícutin (febrero de 1943) tenía un $55.04\,\%$ de $\ce{SiO2}$, un $5.68\,\%$ de $\ce{MgO}$ y un $0.85\,\%$ de $\ce{K2O}$; la última (febrero de 1952), 60.07, 3.73 y $1.67\,\%$. (a) Calcúlese el cambio de cada óxido. (b) La potasa no entra en ninguno de los minerales que cristalizan. Si se hubiera concentrado solo por cristalización fraccionada, ¿qué fracción del líquido habría quedado? (c) El balance de masas de Wilcox solo retira unos $12.5\,\mathrm{g}$ de cristales por cada $100\,\mathrm{g}$ de magma. ¿Qué sugiere la comparación?

Solución

Solución de Ejercicio 8.4.

(a) $\ce{SiO2}$ $+5.03$, $\ce{MgO}$ $-1.95$, $\ce{K2O}$ $+0.82$ (por ciento); la potasa se multiplica por $1.67/0.85 = 1.96$. (b) Para un elemento perfectamente incompatible $C_L/C_0 = 1/F$, luego $F = 0.85/1.67 = 0.509$: tendría que haber cristalizado la mitad del magma. (c) Retirar $12.5\,\mathrm{g}$ por cada $100\,\mathrm{g}$ deja $F \approx 0.88$ y solo elevaría la potasa en un factor de $1/0.88 = 1.14$: la cristalización sola no puede explicar el aumento. La potasa vino de fuera, de los xenolitos graníticos, ricos en potasa ($3.6\,\%$), que el magma asimiló.

Ejercicio 8.5 ★★

Compárense la cristalización fraccionada y la cristalización en equilibrio: calcúlese $C_L/C_0$ con ambas leyes (a) para el níquel, $D = 5$, cuando ha cristalizado un $20\,\%$ del líquido; (b) para un elemento incompatible, $D = 0.01$, cuando ha cristalizado un $90\,\%$. (c) ¿Cuáles son los límites de ambas leyes cuando $F \to 0$? ¿Qué ley puede despojar a un líquido de un elemento compatible por completo?

Solución

Solución de Ejercicio 8.5.

(a) $F = 0.8$, $D = 5$. Fraccionada: $0.8^{4} = 0.410$; en equilibrio: $1/(5 + 0.8\times(1 - 5)) = 1/1.8 = 0.556$. (b) $F = 0.1$, $D = 0.01$. Fraccionada: $0.1^{-0.99} = 9.77$; en equilibrio: $1/(0.01 + 0.1\times0.99) = 1/0.109 = 9.17$. (c) Cuando $F \to 0$, la ley de Rayleigh tiende a $0$ para $D > 1$ y a infinito para $D < 1$, mientras que la ley de equilibrio tiende a $1/D$ (el último líquido en equilibrio con cristales de la composición global). Solo la cristalización fraccionada puede despojar a un líquido de un elemento compatible por completo.

Ejercicio 8.6 ★★

(a) Calcúlense los porcentajes en masa de $\ce{MgO}$, $\ce{FeO}$ y $\ce{SiO2}$ en el olivino Fo$_{80}$, $(\ce{Mg}_{0.8}\ce{Fe}_{0.2})_2\ce{SiO4}$ ($M$ = 40.30, 71.84 y $60.08\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). (b) Un basalto con un $10.0\,\%$ de $\ce{MgO}$ y un $49.0\,\%$ de $\ce{SiO2}$ cristaliza solo este olivino hasta que su líquido tiene un $8.0\,\%$ de $\ce{MgO}$. ¿Qué fracción másica de olivino se retiró? (c) ¿Cuál es entonces el contenido en sílice del líquido?

Solución

Solución de Ejercicio 8.6.

(a) Una unidad fórmula contiene 1.6 $\ce{MgO}$, 0.4 $\ce{FeO}$ y un $\ce{SiO2}$: $1.6\times 40.30 = 64.48$, $0.4\times71.84 = 28.74$, 60.08, en total $153.30\,\mathrm{g}$. Porcentajes en masa: $\ce{MgO}$ $42.06\,\%$, $\ce{FeO}$ $18.75\,\%$, $\ce{SiO2}$ $39.19\,\%$. (b) Regla de la palanca sobre $\ce{MgO}$: $x = (10.0 - 8.0)/(42.06 - 8.0) = 2.0/34.06 = 0.0587$, cerca de un $6\,\%$ de olivino. (c) Sílice del líquido: $(49.0 - 0.0587\times39.19)/(1 - 0.0587) = 46.70/0.9413 = 49.61\,\%$. Retirar olivino, más pobre en sílice que el basalto, eleva la sílice del líquido, pero solo despacio.

Ejercicio 8.7 ★★

Para la intrusión de Skaergaard, $F = 1.091 \times 10^{-7}H^2 - 5.9064 \times 10^{-4}H + 0.7678$. (a) Calcúlese $F$ en $H = 0$, 1000 y $2000\,\mathrm{m}$. (b) ¿A qué altura es $F = 0$? (c) ¿Qué fracción del magma había cristalizado antes de que se formara la base de la secuencia aflorante del suelo, y dónde podría estar?

Solución

Solución de Ejercicio 8.7.

(a) $F(0) = 0.768$; $F(1000) = 0.1091 - 0.5906 + 0.7678 = 0.286$; $F(2000) = 0.4364 - 1.1813 + 0.7678 = 0.023$. (b) El discriminante es $(5.9064\times10^{-4})^2 - 4\times1.091\times10^{-7}\times0.7678 = 3.4885\times10^{-7} - 3.3507\times10^{-7} = 1.379\times10^{-8}$, de raíz cuadrada $1.174\times10^{-4}$; la raíz menor es $H = (5.9064 - 1.174)\times10^{-4}/(2.182\times10^{-7}) = 2169\,\mathrm{m}$, el Horizonte Sándwich. (c) $1 - 0.768 = 0.232$: casi una cuarta parte del magma había cristalizado antes de que se formara la base de la Zona Inferior aflorante, en la Zona Oculta bajo ella y en las Series de Borde a lo largo de las paredes y el techo.

Ejercicio 8.8 ★★

A lo largo de la sección de Skaergaard, el cumulado mediano contiene $177\,\mathrm{ppm}$ de Ni en $F = 0.70$ (Zona Inferior a), $54\,\mathrm{ppm}$ en $F = 0.29$ (Zona Media) y $6.2\,\mathrm{ppm}$ en $F = 0.17$ (Zona Superior a). (a) Suponiendo que los cumulados contienen $D$ veces el níquel de su líquido y que el líquido sigue la ley de Rayleigh, calcúlese el $D$ aparente entre los dos primeros niveles. (b) Hágase lo mismo entre los dos últimos. (c) ¿Qué puede hacer cambiar el $D$ aparente?

Solución

Solución de Ejercicio 8.8.

El cumulado contiene $D\,C_L = D\,C_0F^{D-1}$, de modo que entre dos niveles $\ln(\mathrm{Ni}_2/\mathrm{Ni}_1) = (D - 1)\ln(F_2/F_1)$. (a) $D - 1 = \ln(54/177)/ \ln(0.29/0.70) = (-1.187)/(-0.881) = 1.35$, luego $D \approx 2.35$ (la regresión sobre los 66 cumulados con $F \ge 0.23$ da 2.38). (b) $D - 1 = \ln(6.2/54)/\ln(0.17/0.29) = (-2.164)/(-0.534) = 4.05$, luego $D \approx 5.05$. (c) El $D$ global cambia cuando cambia el conjunto que cristaliza (un mineral nuevo que capta níquel, o uno que deja de cristalizar), y los propios coeficientes mineral–fundido aumentan a medida que el líquido se enfría y cambia de composición, como se ha medido para el olivino; el líquido atrapado en los cumulados difumina la estimación.

Ejercicio 8.9 ★★

Compruébese la respuesta de Wilcox: $100\,\mathrm{g}$ de pasta de la primera lava ($\ce{SiO2}$ 55.53, $\ce{MgO}$ 4.66, $\ce{K2O}$ $0.88\,\%$) más $25.4\,\mathrm{g}$ del xenolito medio (72.48, 0.77, 3.64) menos $2.9\,\mathrm{g}$ de olivino Fo$_{80}$ (39.19, 42.06, 0) menos $9.6\,\mathrm{g}$ de plagioclasa An$_{70}$ (50.54, 0, 0). (a) ¿Qué masa queda? (b) Calcúlense sus $\ce{SiO2}$, $\ce{MgO}$ y $\ce{K2O}$ y compárense con la pasta de la lava 19 (60.16, 3.19 y $1.75\,\%$). (c) ¿Qué óxido se ajusta peor?

Solución

Solución de Ejercicio 8.9.

(a) $100 + 25.4 - 2.9 - 9.6 = 112.9\,\mathrm{g}$. (b) Gramos de $\ce{SiO2}$: $55.53 + 25.4\times0.7248 - 2.9\times0.3919 - 9.6\times0.5054 = 55.53 + 18.41 - 1.14 - 4.85 = 67.95\,\mathrm{g}$, luego $67.95/112.9 = 60.19\,\%$ frente a 60.16. $\ce{MgO}$: $4.66 + 0.20 - 1.22 = 3.64\,\mathrm{g}$, $3.22\,\%$ frente a 3.19. $\ce{K2O}$: $0.88 + 0.92 = 1.80\,\mathrm{g}$, $1.60\,\%$ frente a 1.75. (c) La sílice y la magnesia, dos de los tres controles, se ajustan con un margen de 0.03; la potasa, que no se usó como control, queda 0.15 por debajo, casi una décima parte de su valor: el material asimilado tenía más potasa que el xenolito medio, o se incorporó preferentemente un fundido de él rico en potasa.

Ejercicio 8.10 ★★★

Un magma asimila roca encajante con $r = 0.2$ mientras cristaliza, con $D_{\ce{Sr}} = 1.5$, $C_a/C_0 = 0.5$, $^{87}$Sr/$^{86}$Sr inicial = 0.7035 y roca encajante 0.7200. (a) Calcúlense $z$, $F^{-z}$ y $C/C_0$ en $F = 0.7$. (b) Compárese con la cristalización fraccionada pura con el mismo $F$, y explíquese la diferencia con la masa de cristales formada en cada caso. (c) Calcúlese la $^{87}$Sr/$^{86}$Sr del magma.

Solución

Solución de Ejercicio 8.10.

(a) $z = (0.2 + 1.5 - 1)/(0.2 - 1) = 0.7/(-0.8) = -0.875$; $F^{-z} = 0.7^{0.875} = 0.7319$; $C^*/C_0 = 0.2\times0.5/(0.2 - 1 + 1.5) = 0.1/0.7 = 0.1429$, luego $C/C_0 = 0.7319 + 0.1429\times(1 - 0.7319) = 0.7319 + 0.0383 = 0.770$. (b) Rayleigh: $0.7^{0.5} = 0.837$. El magma con AFC tiene menos estroncio por dos razones: para perder un $30\,\%$ de su masa ganando $r$ veces lo que cristaliza debe cristalizar $(1 - 0.7)/(1 - 0.2) = 0.375$ en lugar de 0.30, y el estroncio que gana procede de una roca la mitad de rica. (c) $(0.7319\times0.7035 + 0.0383\times0.7200)/0.7702 = (0.5149 + 0.0276)/0.7702 = 0.70432$: la razón ha subido 0.0008, mientras que la cristalización sola la habría dejado en 0.7035.

Ejercicio 8.11 ★★★

Sígase el balance térmico de Wilcox para el Parícutin. (a) ¿Cuánto calor necesita un gramo de monzonita cuarcífera para pasar de 200 a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (capacidad calorífica $1.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{g}\,\mathrm{K})$) y después fundirse ($250\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$)? (b) ¿Cuánto para $25.4\,\mathrm{g}$? (c) ¿Qué masa de plagioclasa An$_{70}$ (calor latente $370\,\mathrm{J}/\mathrm{g}$) debe cristalizar para aportarlo? (d) Compárese con los $12.5\,\mathrm{g}$ de cristales del balance de masas, calcúlese la razón $r$ entre asimilación y cristalización, y dígase qué implica.

Solución

Solución de Ejercicio 8.11.

(a) $1.1\times(1100 - 200) + 250 = 990 + 250 = 1240\,\mathrm{J}$ por gramo. (b) $25.4\times1240 = 31\,496\,\mathrm{J}$, cerca de los $31\,350\,\mathrm{J}$ de Wilcox. (c) $31496/370 = 85.1\,\mathrm{g}$ de plagioclasa. (d) El balance de masas solo retiró $2.9 + 9.6 = 12.5\,\mathrm{g}$ de cristales, cuyo calor latente (unos $4600\,\mathrm{J}$) cubre menos de una sexta parte de lo necesario; $r = 25.4/12.5 = 2.03$, el doble de roca asimilada que de cristales formados, mientras que el balance térmico solo permite un $r$ muy inferior a 1. El magma emitido no pudo aportar el calor por sí mismo: una masa mayor de magma debió de cristalizar y enfriarse en profundidad, fuera de la vista.

Ejercicio 8.12 ★★★

Un basalto con $250\,\mathrm{ppm}$ de Ni cristaliza primero olivino solo ($D = 5$) hasta $F = 0.8$, y después olivino con plagioclasa y clinopiroxeno ($D = 1.5$ global). (a) Calcúlese el factor en que cambia el níquel en cada etapa, y el contenido en níquel del líquido en $F = 0.5$. (b) ¿Qué habría predicho una única ley con $D = 5$? (c) Explíquese por qué la ley de Rayleigh debe aplicarse por etapas.

Solución

Solución de Ejercicio 8.12.

(a) Etapa 1, $F$ de 1 a 0.8 con $D = 5$: factor $0.8^{4} = 0.4096$. Etapa 2, de 0.8 a 0.5 con $D = 1.5$: la ley se aplica al líquido restante, así que el factor es $(0.5/0.8)^{0.5} = 0.7906$. Níquel: $250\times0.4096\times0.7906 = 81.0\,\mathrm{ppm}$. (b) $250\times0.5^{4} = 15.6\,\mathrm{ppm}$, cinco veces demasiado bajo. (c) La ley de Rayleigh supone un $D$ constante; cuando cambia el conjunto que cristaliza, $D$ salta, y la ley debe reiniciarse desde la composición del líquido alcanzada en el cambio, con $F$ medido respecto de ese líquido.

8.8 Problema: la intrusión que escribió su propia historia

Problema 8.1

Problema de fin de semana — de las capas de un gabro a la fracción de su magma que seguía líquida al final

Un sill de gabro estratificado (inventado) cristalizó a partir de un basalto cuyo borde enfriado da la composición parental: $\ce{SiO2}$ 49.5, $\ce{Al2O3}$ 16.0, $\ce{FeO}$ 10.0, $\ce{MgO}$ 9.0, $\ce{CaO}$ 11.5, $\ce{Na2O}$ 2.5, $\ce{K2O}$ $0.30\,\%$; $150\,\mathrm{ppm}$ de Ni y $80\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Los cumulados de la zona inferior constan de un $20\,\%$ de olivino, un $50\,\%$ de plagioclasa y un $30\,\%$ de clinopiroxeno; por encima del nivel donde desaparece el olivino, de un $55\,\%$ de plagioclasa y un $45\,\%$ de clinopiroxeno. Tómense los coeficientes de reparto (olivino / plagioclasa / clinopiroxeno) Ni 5.0 / 0 / 2.0 y Zr 0.0007 / 0.001 / 0.195. Composiciones de los minerales ($\%$): olivino $\ce{MgO}$ 42.06, $\ce{CaO}$ 0, $\ce{Al2O3}$ 0, $\ce{SiO2}$ 39.19; plagioclasa 0, 14.36, 31.70, 50.54; clinopiroxeno 16.0, 20.5, 3.0, 51.5. Un dique de roca de grano fino alimentado desde la cámara cuando cristalizó la capa más alta tiene $\ce{SiO2}$ 50.0, $\ce{Al2O3}$ 14.1, $\ce{FeO}$ 16.7, $\ce{MgO}$ 4.9, $\ce{CaO}$ 7.3, $\ce{Na2O}$ 3.4, $\ce{K2O}$ $0.75\,\%$ y $188\,\mathrm{ppm}$ de Zr.

Parte I — Los coeficientes de reparto de las capas.

1. Calcúlese el coeficiente de reparto global del níquel en la zona inferior.
2. Calcúlese el del circonio en la zona inferior.
3. Calcúlense ambos en la zona superior.
4. ¿Qué elemento es compatible en cada zona? ¿Sigue siendo compatible el níquel cuando desaparece el olivino?
5. ¿Qué mineral contiene la mayor parte del circonio de los cumulados, y por qué?
6. ¿En qué factor cambia Ni/Zr en el líquido cada vez que $F$ se reduce a la mitad en la zona inferior?

Parte II — Curvas de Rayleigh a lo largo de la sección.

7. ¿Qué contenido en níquel se espera en el cumulado más bajo, cristalizado en $F = 1$?
8. Un cumulado de la zona inferior situado más arriba contiene $190\,\mathrm{ppm}$ de Ni. ¿Con qué $F$ se formó?
9. ¿Cuál era entonces el contenido en circonio del líquido?
10. Con ese $F$, compárese el níquel del líquido dado por la ley fraccionada y por la ley de equilibrio.
11. El olivino desaparece en $F = 0.55$. Calcúlese el contenido en níquel del líquido en ese punto.
12. Calcúlese el níquel de los cumulados formados justo por debajo y justo por encima de ese nivel. ¿Qué rasgo vería un geólogo en el perfil?
13. Calcúlese el níquel del líquido y del cumulado en $F = 0.40$. Explíquese la tendencia.

Parte III — El balance de masas del último líquido.

14. Escríbase la ecuación de conservación del método para un óxido, con las masas $x_{\mathrm{ol}}, x_{\mathrm{pl}}, x_{\mathrm{cpx}}$ retiradas por cada $100\,\mathrm{g}$ de magma parental y el dique como líquido hijo.
15. Escríbase para $\ce{MgO}$, $\ce{CaO}$ y $\ce{Al2O3}$.
16. Resuélvase el sistema $3 \times 3$.
17. ¿Qué fracción del magma parental queda como líquido?
18. Compruébese la respuesta con $\ce{SiO2}$: recalcúlese la sílice del líquido a partir de las masas halladas.
19. Compárense las proporciones de los minerales retirados con las modas de las dos zonas.
20. La potasa no entra en ninguno de los minerales: ¿qué fracción de líquido da?

Parte IV — La fracción de líquido en la cima.

21. ¿En qué factor había aumentado el circonio en el líquido cuando el olivino desapareció en $F = 0.55$? Dese entonces el contenido en circonio.
22. A partir del circonio del dique, calcúlese la fracción de líquido restante cuando se formó, aplicando la ley de la zona superior desde $F = 0.55$.
23. Rehágase el cálculo con un único $D = 0.07$ desde el principio. ¿Es sensible la respuesta a los detalles de $D$?
24. El hierro pasó de un 10.0 a un $16.7\,\%$ en el líquido mientras la sílice apenas cambiaba. ¿Qué minerales son responsables, y qué tipo de serie magmática anuncia esto (Capítulo 9)?
25. Los cumulados más altos contienen $47\,\mathrm{ppm}$ de Zr. Los cristales cúmulo solos contendrían $\bar D$ veces el circonio del líquido; ¿qué fracción másica de líquido atrapado (con la composición del dique) explica el análisis?
26. Dese la fracción del magma original que seguía líquida cuando cristalizó la capa más alta, el número clave de este problema, y compárense las tres estimaciones (elementos mayores, potasa, circonio).

Solución

Solución de Problema 8.1.

Parte I.

1. $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.20\times5.0 + 0.50\times0 + 0.30\times2.0 = 1.60$.

2. $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.20\times0.0007 + 0.50\times0.001 + 0.30\times0.195 = 0.00014 + 0.0005 + 0.0585 = 0.059$.

3. Zona superior: $\bar D_{\ce{Ni}} = 0.45\times2.0 = 0.90$; $\bar D_{\ce{Zr}} = 0.55\times0.001 + 0.45\times0.195 = 0.088$.

4. El níquel es compatible en la zona inferior (1.60) y se vuelve ligeramente incompatible (0.90) cuando desaparece el olivino; el circonio es incompatible en ambas.

5. El clinopiroxeno: aporta $0.0585$ de los $0.059$ de la zona inferior, casi todo, porque es el único mineral con un coeficiente lejos de cero.

6. $(C_{\ce{Ni}}/C_{\ce{Zr}})$ cambia en $F^{D_{\ce{Ni}} - D_{\ce{Zr}}}$; por cada reducción a la mitad, $0.5^{1.60 - 0.059} = 0.5^{1.541} = 0.344$.

Parte II.

7. $1.60\times150 = 240\,\mathrm{ppm}$.

8. El líquido tenía $190/1.60 = 118.75\,\mathrm{ppm}$; $F = (118.75/150)^{1/0.6} = 0.7917^{1.667} = 0.68$.

9. $80\times0.68^{-0.941} = 80\times1.438 = 115\,\mathrm{ppm}$.

10. Fraccionada: $150\times0.68^{0.6} = 150\times0.793 = 119.0\,\mathrm{ppm}$; en equilibrio: $150/(1.6 + 0.68\times(1 - 1.6)) = 150\times0.839 = 125.8\,\mathrm{ppm}$. La diferencia es solo de un $6\,\%$ después de cristalizar un tercio del magma: para un elemento moderadamente compatible las dos leyes se mantienen próximas al principio.

11. $150\times0.55^{0.6} = 104.8\,\mathrm{ppm}$.

12. Justo por debajo: $1.60\times104.8 = 167.7\,\mathrm{ppm}$; justo por encima: $0.90\times104.8 = 94.3\,\mathrm{ppm}$. El perfil de níquel de los cumulados cae bruscamente un $44\,\%$ en el nivel donde el olivino desaparece de las capas: un escalón, no una curva suave.

13. Líquido: $104.8\times(0.40/0.55)^{0.90 - 1} = 104.8\times1.032 = 108.2\,\mathrm{ppm}$; cumulado $0.90\times108.2 = 97.4\,\mathrm{ppm}$. Con $\bar D < 1$ el níquel sube ahora despacio en el líquido y en los cumulados: el perfil, tras su escalón, asciende suavemente.

Parte III.

14. $x_{\mathrm{ol}}(m_{\mathrm{ol},j} - d_j) + x_{\mathrm{pl}} (m_{\mathrm{pl},j} - d_j) + x_{\mathrm{cpx}}(m_{\mathrm{cpx},j} - d_j) = 100\,(p_j - d_j)$.

15. $\ce{MgO}$: $37.16\,x_{\mathrm{ol}} - 4.9\,x_{\mathrm{pl}} + 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 410$; $\ce{CaO}$: $-7.3\,x_{\mathrm{ol}} + 7.06\,x_{\mathrm{pl}} + 13.2\,x_{\mathrm{cpx}} = 420$; $\ce{Al2O3}$: $-14.1\,x_{\mathrm{ol}} + 17.6\,x_{\mathrm{pl}} - 11.1\,x_{\mathrm{cpx}} = 190$.

16. Resolviendo (por eliminación o por la regla de Cramer): $x_{\mathrm{ol}} = 9.03$, $x_{\mathrm{pl}} = 30.84$, $x_{\mathrm{cpx}} = 20.32$ gramos por cada $100\,\mathrm{g}$.

17. Cristales $9.03 + 30.84 + 20.32 = 60.19\,\mathrm{g}$; líquido $39.81\,\mathrm{g}$: $F = 0.398$.

18. $(4950 - 9.03\times39.19 - 30.84\times50.54 - 20.32\times51.5)/39.81 = (4950 - 353.9 - 1558.7 - 1046.5)/39.81 = 1990.9/39.81 = 50.0\,\%$, como en el dique: el óxido no usado como control se reproduce.

19. Los cristales retirados son $9.03/60.19 = 15\,\%$ de olivino, un $51\,\%$ de plagioclasa y un $34\,\%$ de clinopiroxeno, entre las modas de las dos zonas. Corresponden al conjunto inferior cristalizando de $F = 1$ a 0.55 ($0.45\times20 = 9.0$, $0.45\times50 = 22.5$, $0.45\times30 = 13.5$) seguido del superior de 0.55 a 0.40 ($0.15\times55 = 8.25$, $0.15\times45 = 6.75$): 9.0, 30.75 y 20.25 gramos.

20. $0.30/0.75 = 0.40$.

Parte IV.

21. $0.55^{0.059 - 1} = 0.55^{-0.941} = 1.755$; $80\times1.755 = 140.4\,\mathrm{ppm}$.

22. $188/140.4 = 1.339 = (F/0.55)^{0.088 - 1}$, luego $F = 0.55\times1.339^{-1/ 0.912} = 0.55\times0.726 = 0.399$.

23. $(188/80)^{1/(0.07 - 1)} = 2.35^{-1.075} = 0.399$. Para los elementos incompatibles $C_L/C_0 \approx 1/F$ sea cual sea el pequeño $D$: la respuesta apenas depende de los detalles de $D$, lo que hace de los elementos incompatibles los mejores indicadores de $F$.

24. La plagioclasa, que no contiene hierro, forma la mitad de los cristales, y el piroxeno y el olivino juntos contienen menos hierro que magnesia: el líquido se enriquece en hierro y se empobrece en magnesia sin ganar sílice. Este enriquecimiento en hierro con la sílice casi constante es la huella de la serie toleítica del capítulo siguiente.

25. Los cristales cúmulo puros contendrían $0.088\times188 = 16.5\,\mathrm{ppm}$. Con una fracción másica $t$ de líquido atrapado, $16.5(1 - t) + 188\,t = 47$, luego $t = (47 - 16.5)/(188 - 16.5) = 30.5/171.5 = 0.18$: cerca de un $18\,\%$ de líquido atrapado.

26. Las tres estimaciones, elementos mayores (0.398), potasa (0.40) y circonio (0.399), coinciden: cuando cristalizó la capa más alta, seguía líquido un $40\,\%$ del magma original.