6Las erupciones volcánicas

El 15 de junio de 1991, el monte Pinatubo, en Filipinas, expulsó más de cinco kilómetros cúbicos de material; su nube de ceniza subió hasta $35\,\mathrm{km}$, la cima se hundió formando una caldera de $2.5\,\mathrm{km}$ de diámetro, y los veinte millones de toneladas de dióxido de azufre que inyectó en la estratosfera enfriaron todo el planeta cerca de medio grado durante dos años. Una semana antes, el primer magma que llegó a la superficie no había hecho nada parecido: tras perder la mayor parte de su gas durante el ascenso, salió lentamente como un domo de lava. En el Kīlauea, en Hawái, la erupción del Pu‘u ‘Ō‘ō emitió $4.4\,\mathrm{km}^{3}$ de lava, un volumen comparable, durante treinta y cinco años, en forma de fuentes y coladas que destruyeron 215 edificios sin levantar nunca una gran columna de ceniza. La misma Tierra, la misma física, tres comportamientos: lo que los separa es cuánto gas lleva un magma, si ese gas puede abandonar el fundido con calma, y con qué rapidez sube el magma. Este capítulo sigue una erupción desde las burbujas del conducto hasta la columna que se alza sobre la boca y los depósitos que deja, después mide las erupciones, las cuenta y vigila los volcanes en busca de las señales de que se acerca una.

Lo que ya sabes

De los volúmenes escolares: un volcán, su boca y su cráter, la cámara magmática que hay debajo, la lava y la ceniza volcánica. Del Capítulo 5: los volátiles magmáticos, su exsolución por debajo de la presión de saturación, la ley de la raíz cuadrada de la solubilidad del agua, $w = s\sqrt p$, con $s \approx 0.34$ por ciento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ para el basalto y $0.44$ para la riolita, y las viscosidades de los fundidos, separadas por diez órdenes de magnitud. De los libros de física: la ley de los gases ideales $pV = nRT$; la flotabilidad; el análisis dimensional, que construye la única combinación de las magnitudes dadas que tiene la dimensión de la respuesta; el alcance de un proyectil, $v^2\sin 2\theta/g$ sin rozamiento del aire. De los libros de matemáticas: el proceso de Poisson, en el que sucesos independientes a un ritmo constante $\lambda$ dan al menos un suceso en un tiempo $t$ con probabilidad $1 - e^{-\lambda t}$; las rectas de mínimos cuadrados. Del volumen de primer año: los terremotos y sus magnitudes.

6.1 Efusiva o explosiva

Definición 6.1 (Erupciones efusivas y explosivas, fragmentación)

Una erupción efusiva está dominada por la emisión de lava, que se aleja de la boca como un líquido coherente. Una erupción explosiva produce sobre todo fragmentos, ceniza, pómez y proyectiles balísticos, transportados por un gas en expansión. La fragmentación del magma es la rotura de un fundido continuo que contiene burbujas en un gas continuo que transporta gotas y fragmentos de fundido; convierte un flujo efusivo en uno explosivo.

Lo que impulsa la transición es el gas. Un magma que sube desde la profundidad lleva agua y dióxido de carbono disueltos; por debajo de su presión de saturación los volátiles salen de la disolución en forma de burbujas, y las burbujas se expanden al bajar la presión. Si se quedan en el fundido, el gas pronto llena la mayor parte del volumen.

Proposición 6.2 (Fracción de volumen de gas en la desgasificación en sistema cerrado)

Contenga un magma una fracción másica $w_0$ de agua, con solubilidad $w(p) = s\sqrt p$, y supóngase que el agua exsuelta permanece con el fundido como un gas ideal a la temperatura $T$. Por debajo de la presión de saturación $p_s = (w_0/s)^2$, un kilogramo de magma contiene $x = w_0 - s\sqrt p$ kilogramos de vapor, y la fracción de volumen de gas es

$$\phi(p) = \frac{V_g}{V_g + V_m}, \qquad V_g = \frac{x\,RT}{M p}, \qquad V_m = \frac{1 - x}{\rho_m},$$

donde $M = 0.018\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$ es la masa molar del agua y $\rho_m$ la densidad del fundido.

Como $V_g$ crece como $1/p$, la espuma se hincha más deprisa cerca de la superficie. La figura siguiente sigue una riolita con un $5\,\%$ de agua y un basalto con un $1\,\%$. La riolita se satura a $127\,\mathrm{MPa}$, a unos $5\,\mathrm{km}$ de profundidad; a $10\,\mathrm{MPa}$ su gas ya llena el $82\,\%$ del volumen. En un modelo publicado de flujo en el conducto el magma se fragmenta cuando el gas llena el $85\,\%$ de su volumen, un nivel que esta riolita alcanza a $8.2\,\mathrm{MPa}$, unos $330\,\mathrm{m}$ por debajo de la boca para un gradiente de presión de $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. El basalto solo se satura a $8.7\,\mathrm{MPa}$ y alcanza la misma espuma a $1.8\,\mathrm{MPa}$, a menos de cien metros de la superficie.

Así pues, un basalto también se fragmentaría si su gas se quedara en él; y en una fuente de lava hawaiana lo hace, cerca de la boca. Lo que hace suaves la mayoría de las erupciones basálticas es que el gas no tiene por qué quedarse. En un fundido de baja viscosidad, las burbujas suben a través del líquido, se fusionan y escapan, y una vez que las burbujas se conectan en una red permeable, lo que ocurre con fracciones de gas de entre el $30\,\%$ y el $78\,\%$ en los experimentos, el gas se escapa por las paredes y por la boca sin arrastrar el fundido: el magma se desgasifica en sistema abierto y llega a la superficie como lava. Un magma viscoso retiene sus burbujas y en cambio se fragmenta, y el fundido se rompe como un vidrio cuando se estira más deprisa de lo que puede fluir. La velocidad de ascenso decide entre ambos casos tanto como la composición: en muchas erupciones, la actividad efusiva va asociada a ritmos de descompresión cercanos a $0.0001\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$ y las erupciones explosivas a ritmos cercanos a $1\,\mathrm{MPa}/\mathrm{s}$, y un cambio de viscosidad del fundido de media unidad logarítmica, un factor de unos tres, puede hacer pasar una erupción de un régimen al otro. El primer domo de lava del Pinatubo y su erupción paroxísmica una semana después fueron el mismo magma: la primera porción tuvo tiempo de perder su gas, la siguiente no.

El agua exterior hace lo mismo que el propio gas del magma. El agua subterránea, un lago o el mar que se encuentran con el magma se convierten bruscamente en vapor, y la expansión del agua sobrecalentada hace añicos el magma: los experimentos muestran que más del $30\,\%$ del calor disponible puede convertirse en energía mecánica. Incluso un magma pobre en gas puede entonces entrar en erupción de forma explosiva.

6.2 Estilos eruptivos

Los vulcanólogos dan nombre a las erupciones a partir de ejemplos clásicos. Los nombres describen el aspecto de una erupción, y se gradúan unos en otros; una sola erupción pasa a menudo por varios estilos.

Definición 6.3 (Estilos eruptivos)

Por orden de explosividad creciente, entre las erupciones impulsadas por el propio gas del magma:

• una erupción hawaiana produce fuentes de lava basáltica muy fluida, de decenas a centenares de metros de altura, que alimentan coladas de lava;
• una erupción estromboliana es una serie de explosiones discretas que lanzan coágulos incandescentes de magma basáltico a andesítico-basáltico hasta un centenar de metros, sin una columna sostenida;
• una erupción vulcaniana es una explosión breve y violenta del gas acumulado bajo un tapón de lava solidificada, que hace añicos el tapón y lanza bloques y una columna oscura de ceniza fina, típicamente de un magma intermedio;
• una erupción pliniana es un chorro sostenido de gas y de magma fragmentado, por lo general silícico, que alimenta una columna que sube hasta la estratosfera durante horas o días y extiende un manto de pómez y ceniza sobre miles de kilómetros cuadrados.

Cuando es el agua exterior la que impulsa la fragmentación, una erupción freatomagmática expulsa vapor junto con fragmentos de magma fresco, mientras que una erupción freática es una explosión impulsada por el vapor de agua subterránea o superficial calentada por el magma o por roca caliente, que expulsa vapor y fragmentos de roca antigua pero nada de magma fresco.

Cada estilo tiene sus erupciones tipo. El Pu‘u ‘Ō‘ō, en el Kīlauea, fue hawaiano durante la mayor parte de sus treinta y cinco años y sesenta y un episodios, con fuentes que subían típicamente de $10\text{ a }100\,\mathrm{m}$ y en ocasiones más de $500\,\mathrm{m}$. El Estrómboli, el «faro del Mediterráneo», ha dado nombre a las explosiones que construyen los conos de escorias. Las explosiones vulcanianas sacudieron el Trident, en Alaska, de forma intermitente entre 1953 y 1974. El Vesubio en el año 79, descrito por Plinio el Joven, dio nombre a las erupciones plinianas; el monte Santa Helena el 18 de mayo de 1980 y el Novarupta en 1912, cuya columna subió por encima de $30\,\mathrm{km}$ en una erupción que duró casi tres días, son ejemplos modernos. Los casos intermedios, con columnas por debajo de unos $20\,\mathrm{km}$, sostenidas pero inestables, se llaman subplinianos. Con agua, una erupción estromboliana se vuelve surtseyana, por la erupción de 1963 de Surtsey, frente a la costa de Islandia, y construye bajos anillos de toba y maares; una pliniana se vuelve freatopliniana. En el Pinatubo, las explosiones de vapor abrieron tres cráteres en el flanco norte en marzo y abril de 1991, dos meses antes de la erupción paroxísmica: fueron freáticas.

Definición 6.4 (Domo de lava)

Un domo de lava es un montículo de flancos empinados de lava viscosa, típicamente dacita o riolita, extruido lentamente por una boca y que se apila sobre ella en lugar de fluir lejos.

Los domos son lo que forma un magma viscoso cuando ha perdido su gas: el primer magma del Pinatubo en junio de 1991, y el domo que creció en el cráter del monte Santa Helena en diecisiete episodios entre 1980 y 1986 hasta $267\,\mathrm{m}$ por encima del fondo del cráter. Un domo puede ser también el tapón bajo el que se gesta la siguiente explosión vulcaniana, y su colapso puede liberar la presión sobre el magma rico en gas que tiene debajo. Las fotografías siguientes muestran los dos extremos de la gama.

6.3 Las columnas eruptivas

Definición 6.5 (Columna eruptiva)

Una columna eruptiva es la masa ascendente de gas y fragmentos que se alza sobre una boca explosiva. Tiene tres partes: un chorro, o región de empuje del gas, en la que la mezcla sale de la boca deprisa pero más densa que el aire y sube por su cantidad de movimiento; una región convectiva, en la que la mezcla, tras englobar y calentar aire suficiente para volverse más ligera que su entorno, sube por flotabilidad; y una nube en paraguas, que se extiende lateralmente al nivel en el que la densidad de la columna iguala la de la atmósfera.

La altura que alcanza una columna depende ante todo del calor que aporta cada segundo, es decir, del caudal másico eruptivo $Q$. El análisis dimensional da la forma de la ley.

Proposición 6.6 (Altura de una pluma flotante)

Si la altura de la cima $H$ de una pluma flotante sobre una fuente puntual estacionaria depende solo del flujo de flotabilidad $F$ de la fuente (de dimensión $\mathrm{m^4\,s^{-3}}$) y de la frecuencia de flotabilidad $N$ de una atmósfera establemente estratificada (de dimensión $\mathrm{s^{-1}}$), entonces

$$H = c\,F^{1/4}N^{-3/4}$$

con $c$ una constante adimensional. Como $F$ es proporcional al flujo de calor, y por tanto al caudal másico eruptivo, $H \propto Q^{1/4}$ en una atmósfera dada.

La constante $c$ procede de la rapidez con que la pluma engloba aire, que la teoría de plumas trata con un coeficiente de arrastre medido en experimentos; aquí se admite. Las columnas reales no son fuentes puntuales estacionarias en una atmósfera en calma, de modo que los vulcanólogos ajustan la ley a erupciones cuya altura y cuyo caudal másico eruptivo se midieron ambos.

Proposición 6.7 (Altura de la columna y caudal másico eruptivo)

Con la altura de la cima $H$ sobre la boca en kilómetros y el caudal másico eruptivo $Q$ en kilogramos por segundo, la compilación de erupciones bien documentadas da

$$H = 0.304\,Q^{0.241},$$

y un conjunto de datos mayor e independiente, de 130 sucesos, da $H = 0.345\,Q^{0.226}$. La dispersión es grande: el error cuadrático medio relativo en $H$ es de un $53\text{ a }60\,\%$.

Ambos exponentes están cerca del $1/4$ de la teoría de plumas. La figura siguiente muestra los dos ajustes y las erupciones de ejemplo en las que se basan los parámetros de fuente que usan los centros de pronóstico de ceniza. Una columna de $15\,\mathrm{km}$ de altura, como la del monte Santa Helena, necesita $10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, diez mil toneladas cada segundo; duplicar la altura requiere casi dieciocho veces ese caudal. Leída al revés, una altura medida da el caudal, pero solo con un margen de un factor de varios, porque $Q$ va como $H^4$ (Ejercicio 6.3). Los vulcanólogos expresan el caudal mediante la intensidad $I = \log_{10}Q + 3$, con $Q$ en kilogramos por segundo.

Una columna también puede no lograr subir. El chorro sale de la boca más denso que el aire; si se queda sin cantidad de movimiento antes de haber englobado aire suficiente para volverse flotante, por ejemplo porque baja su contenido en gas, la columna colapsa y la mezcla desciende por los flancos como una corriente caliente y densa. Las columnas plinianas pueden colapsar de este modo, y en el Pinatubo los flujos piroclásticos de 1991 rellenaron valles con depósitos de hasta $200\,\mathrm{m}$ de espesor.

6.4 Los productos piroclásticos

Definición 6.8 (Tefra y piroclastos)

Un piroclasto es un fragmento producido por la fragmentación explosiva del magma o de las rocas que lo rodean. La tefra es el nombre colectivo de todos los piroclastos lanzados al aire, sea cual sea su tamaño. Por tamaño, los piroclastos de menos de $2\,\mathrm{mm}$ forman la ceniza volcánica; los de $2\text{ a }64\,\mathrm{mm}$ son lapilli; los de más de $64\,\mathrm{mm}$ son bloques si eran sólidos al ser expulsados y son angulosos, y una bomba volcánica si estaban total o parcialmente fundidos y tomaron en vuelo una forma redondeada o de huso.

La tefra cae de la nube en paraguas y de la columna, a sotavento, como un depósito de caída que cubre el terreno: grueso cerca de la boca, más delgado y fino lejos de ella. Su espesor se cartografía mediante isópacas, líneas de igual espesor, y, por regla general, decrece exponencialmente con la distancia. Como el viento estira las isópacas en elipses, la distancia se mide mejor por la raíz cuadrada del área que encierra cada isópaca.

Proposición 6.9 (Volumen de un depósito que se adelgaza exponencialmente)

Si el espesor de un depósito de caída decrece con la raíz cuadrada $x = \sqrt A$ del área de la isópaca como $T = T_0\,e^{-kx}$, su volumen aparente es

$$V = \frac{2T_0}{k^2}.$$

La mitad de ese volumen queda más allá de la isópaca $x_{1/2} = 1.678/k$.

Los depósitos reales se adelgazan con dos o más pendientes, fuerte cerca de la boca y suave lejos, porque los lapilli gruesos caen deprisa de la columna y la ceniza fina deriva. Cada segmento se ajusta por separado y la integral se calcula por tramos.

Método 6.10 (Volumen de un depósito de caída a partir de sus isópacas)

Represéntese $\ln T$ frente a $\sqrt A$ para cada isópaca y ajústese una recta a cada serie de puntos alineados. Para dos segmentos, $T_0e^{-k_1x}$ dentro del punto de corte $X$ de las dos rectas y el segundo más allá, el volumen es

$$V = \frac{2T_0}{k_1^2} + 2T_0e^{-k_1X}\left[\frac{k_2X + 1}{k_2^2} - \frac{k_1X + 1}{k_1^2}\right]$$

(Ejercicio 6.10). El volumen aparente se convierte en un equivalente en roca densa, el volumen de la misma masa como magma sin burbujas, mediante $V_{\mathrm{DRE}} = V\rho_{\mathrm{deposit}}/\rho_{\mathrm{magma}}$.

La figura siguiente aplica el método a una caída de escorias emitida por el Cotopaxi, en Ecuador, hace unos $1200$ años. Dos segmentos se ajustan a las seis isópacas, con distancias de reducción del espesor a la mitad, $\ln 2/k$, de $1.9\,\mathrm{km}$ y $5.0\,\mathrm{km}$ (el estudio publicado, cuyo ajuste difiere ligeramente, halla $1.9\,\mathrm{km}$ y $5.3\,\mathrm{km}$), y el volumen resulta de $0.29\,\mathrm{km}^{3}$, como en ese estudio. Más del $40\,\%$ de él está en el delgado segmento distal, y por eso la ceniza distal, fácilmente erosionada o nunca cartografiada, pesa tanto en el total. La ceniza recién caída tiene una densidad aparente de $500\text{ a }1500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, muy por debajo de la del magma, de modo que el equivalente en roca densa es aproximadamente la mitad del volumen aparente o menos.

No toda la tefra cae del cielo. Cuando una columna colapsa, un domo se desmorona o una explosión lateral abre el flanco de un volcán, la mezcla caliente corre a ras de suelo.

Definición 6.11 (Corrientes de densidad piroclástica)

Una corriente de densidad piroclástica es una mezcla de gas caliente y piroclastos pegada al suelo que fluye pendiente abajo o hacia fuera porque es más densa que el aire. Un flujo piroclástico es una corriente concentrada de fragmentos de roca, ceniza y gas, en general de $200\text{ a }700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, que se desplaza a decenas de metros por segundo; una oleada piroclástica es una nube más diluida de ceniza, roca y gas, de varios cientos de grados, que se desplaza a la velocidad de un viento huracanado. Una ignimbrita es la roca depositada por las corrientes de densidad piroclástica, que puede quedar soldada por su propio calor.

El 18 de mayo de 1980 el colapso del flanco norte del monte Santa Helena, el mayor deslizamiento de la historia registrada, con unos $2.8\,\mathrm{km}^{3}$, destechó el magma y liberó una explosión lateral que barrió unos $600\,\mathrm{km}^{2}$ a velocidades de hasta $480\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; flujos piroclásticos de al menos $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ llegaron después a $8\,\mathrm{km}$ del cráter. Los flujos de 1991 del Pinatubo seguían a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en su interior cinco años después.

Definición 6.12 (Lahar)

Un lahar es una mezcla rápida de agua y derrubios volcánicos que desciende por un valle fluvial, con una consistencia que va del agua fangosa al hormigón húmedo. Los lahares se forman cuando las corrientes piroclásticas funden la nieve y el hielo, cuando caen lluvias intensas sobre depósitos volcánicos sueltos, cuando se rompe un lago represado por depósitos volcánicos, o a partir de una avalancha de derrubios.

Los lahares sobreviven a las erupciones. Alrededor del Pinatubo, las lluvias del monzón y de los tifones convirtieron la ceniza de 1991 en lahares durante años, y causaron más destrucción que la propia erupción.

Definición 6.13 (Caldera)

Una caldera es una gran depresión volcánica en forma de cuenca, de $2\text{ a }50\,\mathrm{km}$ de diámetro y mucho más ancha que cualquier boca de su interior, formada por el hundimiento del terreno en un reservorio magmático somero que una erupción ha vaciado en parte.

Las calderas del Pinatubo y del Novarupta miden ambas unos $2.5\,\mathrm{km}$ de diámetro, en el extremo inferior de la gama. Una caldera se distingue de un cráter, que es menor y está excavado por explosiones.

6.5 Medir y contar las erupciones

Definición 6.14 (Índice de explosividad volcánica)

El índice de explosividad volcánica (VEI) es un entero de 0 a 8 que mide el tamaño de una erupción, sobre todo por el volumen aparente de su tefra: VEI 0 para menos de $10^{4}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 1 hasta $10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, y luego un escalón por cada factor diez, hasta VEI 8 por encima de $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$, $1000\,\mathrm{km}^{3}$. La altura de la columna y las descripciones de la erupción se usan cuando no se conoce el volumen. Una erupción no explosiva tiene VEI 0, sea cual sea el volumen de su lava.

VEI	volumen aparente de tefra ($\mathrm{m}^{3}$)	altura de la columna ($\mathrm{km}$)	estilo habitual
0	$< 10^{4}$	$< 0.1$	hawaiano
1	$10^{4}$–$10^{6}$	0.1–1	hawaiano, estromboliano
2	$10^{6}$–$10^{7}$	1–5	estromboliano, vulcaniano
3	$10^{7}$–$10^{8}$	3–15	vulcaniano
4	$10^{8}$–$10^{9}$	10–25	vulcaniano, pliniano
5	$10^{9}$–$10^{10}$	$> 25$	pliniano
6	$10^{10}$–$10^{11}$	$> 25$	pliniano
7	$10^{11}$–$10^{12}$	$> 25$	pliniano
8	$> 10^{12}$	$> 25$	pliniano

El índice es logarítmico como una magnitud sísmica, pero más grueso. El monte Santa Helena en 1980, con $1.3\,\mathrm{km}^{3}$ de ceniza, recibió un VEI 5 «por los pelos»; el Pinatubo en 1991, un VEI 6; el Tambora en 1815, que expulsó de treinta a ochenta veces más ceniza que el monte Santa Helena, un VEI 7, la mayor erupción explosiva de los tiempos históricos. Para el trabajo cuantitativo los vulcanólogos prefieren la magnitud $M = \log_{10}m - 7$, con $m$ la masa emitida en kilogramos, que evita la densidad aparente del depósito, y la intensidad definida más arriba para el caudal.

Las erupciones pequeñas son frecuentes y las grandes, raras. El catálogo mundial de erupciones del Holoceno hace cuantitativa la relación, una vez que se tienen en cuenta sus lagunas: una erupción solo figura en el catálogo si alguien la registró o encontró su depósito, y las erupciones pequeñas lejos de los observadores, o de más de unos pocos siglos de antigüedad, a menudo se pasaron por alto. El registro de las grandes erupciones es completo durante más tiempo que el de las pequeñas. En el panel izquierdo de la figura siguiente, las erupciones de cada tamaño registradas desde 1500 se acumulan con el tiempo; un registro completo a ritmo constante seguiría la diagonal. Las erupciones de VEI 3 o más se agolpan en el último siglo, porque la mayoría de las anteriores nunca se registraron; el registro de VEI 6 está cerca de la diagonal.

Datos de 2026

El catálogo del Global Volcanism Program recoge $7747$ erupciones holocenas confirmadas con un VEI. Contando desde el inicio de una ventana hasta el final de 2024, hubo 399 erupciones de VEI 3 o más desde 1950, 95 de VEI 4 o más desde 1900, 22 de VEI 5 o más desde 1800 y 8 de VEI 6 o más desde 1500 (la más reciente, el Pinatubo en 1991). Solo se registran dos erupciones de VEI 7 desde el año 1000: el Rinjani en 1257 y el Tambora, cuya erupción empezó en 1812 y culminó en 1815.

Proposición 6.15 (Ley frecuencia–tamaño de las erupciones)

Sea $\lambda_v$ el número medio de erupciones de VEI $\ge v$ por año en la Tierra, estimado cada uno en una ventana en la que su registro es casi completo (desde 1950 para $v = 3$, 1900 para $v = 4$, 1800 para $v = 5$, 1500 para $v = 6$). Entonces, por mínimos cuadrados,

$$\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v .$$

Cada escalón de VEI es unas siete veces más raro que el anterior.

La ley es empírica, un ajuste a cuatro puntos, y su exponente depende de las ventanas elegidas; predice una erupción de VEI 7 o más cada $470$ años, cerca de las dos de los últimos mil años, que no se usaron para ajustarla. Como las erupciones son casi independientes entre sí, se comportan como un proceso de Poisson, y la probabilidad de al menos una erupción de VEI $\ge v$ en $t$ años es $1 - e^{-\lambda_vt}$ (problema de fin de semana).

6.6 Vigilar los volcanes

El magma no llega a la superficie sin avisar. Debe romper la roca para abrirse camino, empuja el terreno hacia arriba a medida que se acumula, libera gas a medida que baja la presión que soporta, y calienta el terreno. Los observatorios volcanológicos vigilan las cuatro cosas.

Sismicidad. El magma que se mueve por la corteza rompe la roca y desencadena enjambres de pequeños terremotos. Antes del 18 de mayo de 1980 el monte Santa Helena produjo más de $10\,000$ en dos meses; el Pinatubo produjo miles entre abril y junio de 1991, por un magma que subía desde más de $32\,\mathrm{km}$ de profundidad. Las magnitudes y los momentos sísmicos del volumen de primer año se aplican sin cambios; lo que difiere son las fuentes: grietas que se abren y conductos llenos de fluido que resuenan, además de las fallas.

Deformación. Un reservorio que se llena se hincha y levanta el terreno que tiene encima. La nivelación, los inclinómetros y el posicionamiento por satélite miden el levantamiento; la interferometría radar desde satélite lo cartografía sobre volcanes enteros, una técnica que explica el volumen de tercer año de esta serie. El modelo más sencillo trata el reservorio como una pequeña esfera.

Proposición 6.16 (Fuente de Mogi)

Una pequeña fuente esférica a la profundidad $z_0$ en un semiespacio elástico homogéneo con coeficiente de Poisson $\nu$, cuyo volumen cambia en $\Delta V$, una fuente de Mogi, levanta la superficie a la distancia horizontal $r$ en

$$u_z(r) = \frac{(1 - \nu)\,\Delta V}{\pi}\,\frac{z_0}{(r^2 + z_0^2)^{3/2}} .$$

El levantamiento es máximo sobre la fuente, $u_z(0) = (1 - \nu)\Delta V/(\pi z_0^2)$, y cae a la mitad en $r = z_0\sqrt{2^{2/3} - 1} = 0.766\,z_0$: la anchura del abombamiento da la profundidad de la fuente, y su altura da entonces el cambio de volumen. Como solo interviene $\Delta V$, la presión en el reservorio y su tamaño no pueden separarse, de modo que lo que publican los geodestas son cambios de volumen, no presiones. La fórmula es el primer término de una solución exacta para una esfera de radio $a$; la corrección es del $12\,\%$ cuando $a = z_0/2$ y del $3\,\%$ cuando $a = z_0/3$.

Gas y calor. A medida que el magma sube y se desgasifica, el flujo de dióxido de azufre en la superficie aumenta, y se mide desde el suelo, desde aviones y desde satélites; el Pinatubo emitió muchos miles de toneladas en las semanas anteriores a su erupción. El calor del magma somero se ve en las imágenes térmicas del terreno y de la boca.

A partir de estos datos un observatorio fija un nivel de alerta. En Estados Unidos, el nivel de alerta volcánica en tierra (Volcano Alert Level), en uso desde 2006, tiene cuatro escalones, NORMAL, ADVISORY, WATCH y WARNING, y un código de colores paralelo para la aviación, de GREEN a RED, advierte a los aviones de la ceniza. No hay umbrales fijos: cada cambio lo deciden los científicos del observatorio a partir de todos los datos de vigilancia, del comportamiento pasado del volcán y de lo que se sabe de los procesos en curso. El pronóstico sigue siendo probabilístico: cuándo empezará una erupción y cuál será su tamaño es difícil de prever. En el Pinatubo, el pronóstico de 1991 permitió que la población que vivía cerca del volcán se alejara a tiempo y salvó al menos $5000$ vidas. Cómo entran esos pronósticos en las decisiones sobre peligro y riesgo corresponde al Capítulo 28.

Sobre el terreno — En un observatorio volcanológico

Un observatorio vigila sus volcanes día y noche. Los sismómetros de los flancos envían sus señales por radio a pantallas en las que los científicos de guardia buscan enjambres, tremor, la vibración continua del fluido que se mueve en un conducto, y cambios en la profundidad de los sucesos. Las estaciones de posicionamiento y los inclinómetros registran la hinchazón del terreno, las cámaras la boca, los espectrómetros de gas el flujo de dióxido de azufre en la pluma. Cuando una señal se aparta del fondo habitual del volcán, los científicos la comparan con episodios anteriores, se reúnen y deciden si el nivel de alerta debe cambiar; el aviso que publican indica lo que se observa y lo que puede seguir, sin exagerar ni lo uno ni lo otro.

6.7 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

Dese el VEI que indica el solo volumen aparente de tefra para: (a) la ceniza del monte Santa Helena, 18 de mayo de 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$; (b) la caída de la capa 5 del Cotopaxi, $0.29\,\mathrm{km}^{3}$; (c) una pequeña erupción de $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. (d) El material expulsado por el Pinatubo en 1991 se da como «más de $5\,\mathrm{km}^{3}$», y sin embargo la erupción tiene un VEI 6. ¿Qué volumen aparente implica como mínimo esa clasificación?

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

(a) $1.3\,\mathrm{km}^{3} = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$, entre $10^9$ y $10^{10}$: VEI 5. (b) $2.9 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$: VEI 4. (c) $2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, entre $10^6$ y $10^7$: VEI 2. (d) El VEI 6 empieza en $10^{10}\,\mathrm{m}^{3}$, de modo que el volumen aparente de tefra debe ser de al menos $10\,\mathrm{km}^{3}$; «más de $5\,\mathrm{km}^{3}$» es una cota inferior, no una contradicción.

Ejercicio 6.2 ★

Nómbrese cada piroclasto: (a) una esquirla de vidrio de $0.5\,\mathrm{mm}$ de longitud; (b) un fragmento de pómez de $3\,\mathrm{cm}$ de diámetro; (c) un trozo anguloso de lava antigua de $20\,\mathrm{cm}$ de diámetro; (d) un coágulo en forma de huso de $8\,\mathrm{cm}$ de longitud con los extremos retorcidos.

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

(a) Ceniza (de menos de $2\,\mathrm{mm}$). (b) Un lapillo ($2\text{ a }64\,\mathrm{mm}$). (c) Un bloque: de más de $64\,\mathrm{mm}$, anguloso, sólido al ser expulsado. (d) Una bomba volcánica, una bomba en huso: de más de $64\,\mathrm{mm}$ y modelada mientras estaba fundida, en vuelo.

Ejercicio 6.3 ★

Con $H = 0.304\,Q^{0.241}$ ($H$ en kilómetros sobre la boca, $Q$ en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$): (a) calcúlese $H$ para $Q = 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ y $10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; (b) calcúlense el caudal másico eruptivo que implica una columna de $35\,\mathrm{km}$ de altura y su intensidad $I = \log_{10}Q + 3$; (c) ¿en qué factor cambia $Q$ si la altura medida es un $20\,\%$ demasiado alta?

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

(a) $0.304\times(10^6)^{0.241} = 0.304\times27.9 = 8.5\,\mathrm{km}$; $0.304\times(10^8)^{0.241} = 0.304\times84.7 = 25.8\,\mathrm{km}$. (b) $Q = (35/0.304)^{1/0.241} = 115.1^{4.149} = 3.6 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, e $I = 8.55 + 3 = 11.6$. (c) $Q \propto H^{4.15}$, de modo que una altura un $20\,\%$ demasiado alta sobrestima $Q$ en un factor $1.2^{4.15} = 2.1$.

Ejercicio 6.4 ★

La caída de la capa 5 del Cotopaxi tiene un volumen aparente de $0.29\,\mathrm{km}^{3}$. Tomando una densidad aparente de $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para el depósito y de $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ para el magma, calcúlense su volumen equivalente en roca densa, su masa y su magnitud $M = \log_{10}m - 7$.

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

$V_{\mathrm{DRE}} = 0.29\times1000/2500 = 0.116\,\mathrm{km}^{3}$; $m = 0.29 \times 10^{9}\times1000 = 2.9 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$; $M = \log_{10}(2.9 \times 10^{11}) - 7 = 11.46 - 7 = 4.46$.

Ejercicio 6.5 ★★

Un depósito de caída tiene $40\,\mathrm{cm}$ de espesor en la isópaca de $\sqrt A = 5\,\mathrm{km}$ y $10\,\mathrm{cm}$ en la de $\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$, y se adelgaza según una sola exponencial. Calcúlense $k$, $T_0$, la distancia de reducción del espesor a la mitad, $\ln 2/k$, el volumen aparente y el VEI.

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

$k = \ln(40/10)/(15 - 5) = 1.386/10 = 0.139\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 40\,e^{0.139\times5} = 40\times2.00 = 80\,\mathrm{cm}$; $\ln2/k = 5.0\,\mathrm{km}$. Con $T_0 = 8.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}$: $V = 2\times8.0 \times 10^{-4}/0.139^2 = 0.083\,\mathrm{km}^{3} = 8.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, VEI 3.

Ejercicio 6.6 ★★

(a) Demuéstrese que el volumen dentro de la isópaca $x = \sqrt A$ de un depósito que se adelgaza como $T_0e^{-kx}$ es $\frac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Resuélvase $(1 + u)e^{-u} = 1/2$ con tres cifras significativas por sustitución sucesiva o por bisección. (c) Para el depósito del Ejercicio 6.5, ¿más allá de qué isópaca está la mitad del volumen? Compárese con la distancia a la boca de la isópaca más externa que se cartografió.

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

(a) $\int_0^x T_0e^{-ky}2y\,dy = 2T_0\big[-\tfrac{y}{k}e^{-ky} - \tfrac{1}{k^2}e^{-ky}\big]_0^x = \tfrac{2T_0}{k^2}[1 - (1 + kx)e^{-kx}]$. (b) Iterando $u = \ln(2(1 + u))$ a partir de $u = 1$: $1.386$, $1.564$, $1.635$, $1.662$, $1.672$, …, que converge a $u = 1.678$, para el que $(1 + u)e^{-u} = 2.678\times0.1867 = 0.500$. (c) $x_{1/2} = 1.678/0.139 = 12.1\,\mathrm{km}$, dentro de la isópaca más externa ($\sqrt A = 15\,\mathrm{km}$); y sin embargo el volumen más allá de esa isópaca es $(1 + 2.09)e^{-2.09} = 38\,\%$ del total. Casi dos quintas partes del depósito están donde no se midió nada: el volumen descansa en la extrapolación.

Ejercicio 6.7 ★★

Un magma riolítico a $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1123\,\mathrm{K}$) contiene un $5.0\,\%$ de agua, con solubilidad $s = 0.444$ por ciento por $\sqrt{\mathrm{MPa}}$; su fundido tiene una densidad de $2300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Calcúlense su presión de saturación y la profundidad a la que se alcanza para un gradiente de presión de $0.025\,\mathrm{MPa}/\mathrm{m}$. (b) Calcúlese la fracción de volumen de gas a $10\,\mathrm{MPa}$ si el gas permanece en el magma ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $M = 0.018\,015\,\mathrm{kg}/\mathrm{mol}$). (c) ¿Por qué los magmas basálticos se fragmentan con mucha menos frecuencia, aunque a $1\,\mathrm{MPa}$ un basalto en sistema cerrado con un $1\,\%$ de agua sería en un $92\,\%$ gas?

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

(a) $p_s = (5.0/0.444)^2 = 127\,\mathrm{MPa}$, a $127/0.025 = 5.1\,\mathrm{km}$. (b) $x = (5.0 - 0.444\sqrt{10})/100 = (5.0 - 1.404)/100 = 0.0360$; $V_g = 0.0360\times8.314\times1123/(0.018015\times10^7) = 1.86 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$; $V_m = 0.964/2300 = 4.19 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$; $\phi = 1.86/(1.86 + 0.419) = 0.82$. (c) Un fundido basáltico es de miles a miles de millones de veces menos viscoso que uno riolítico (Capítulo 5): sus burbujas suben, se fusionan y escapan, y el gas sale por una espuma permeable o por la boca, de modo que el magma se desgasifica en sistema abierto en lugar de conservar su gas; su fragmentación, cuando se produce, se limita a una fuente cerca de la boca. Un ascenso más lento deja más tiempo para ello.

Ejercicio 6.8 ★★

(a) Una fuente de Mogi a $5\,\mathrm{km}$ de profundidad crece en $10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$. Calcúlese el levantamiento sobre ella ($\nu = 0.25$). (b) Otro abombamiento cae a la mitad de su máximo a $3.8\,\mathrm{km}$ de su centro: ¿a qué profundidad está su fuente? (c) ¿Qué fracción del levantamiento máximo registra una estación situada a una distancia horizontal igual a la profundidad de la fuente?

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

(a) $u_z(0) = 0.75\times10^7/(\pi\times(5000)^2) = 0.095\,\mathrm{m} = 95\,\mathrm{mm}$. (b) $z_0 = 3.8/0.766 = 5.0\,\mathrm{km}$. (c) $(1 + 1)^{-3/2} = 0.35$ del máximo.

Ejercicio 6.9 ★★

Una explosión vulcaniana lanza bloques fuera de un cráter. Despreciando el rozamiento del aire y la altura del borde del cráter, calcúlese el alcance máximo de un bloque lanzado a $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, y luego a $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Con rozamiento del aire, ¿son estos alcances una cota superior o inferior? ¿Por qué una zona de peligro balístico alrededor de una boca crece como el cuadrado de la velocidad de lanzamiento?

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

El alcance máximo se da a $45{}^{\circ}$: $R = v^2/g = 100^2/9.81 = 1.0\,\mathrm{km}$, y $200^2/9.81 = 4.1\,\mathrm{km}$. El rozamiento del aire acorta el vuelo, de modo que son cotas superiores, cercanas a la realidad para los bloques grandes y demasiado largas para los pequeños. Como $R = v^2/g$, la zona de peligro crece como el cuadrado de la velocidad de lanzamiento: duplicar la velocidad de la explosión cuadruplica su radio.

Ejercicio 6.10 ★★★

(a) Dedúzcase el volumen de un depósito con dos segmentos exponenciales dado en el recuadro del método, suponiendo que el espesor es continuo donde se cortan las rectas. (b) Para la caída de la capa 5 del Cotopaxi, los segmentos ajustados son $T = 1285\,\mathrm{cm}\times e^{-0.365x}$ y un segmento distal de pendiente $k_2 = 0.138\,\mathrm{km}^{-1}$, que se cortan en $X = 8.56\,\mathrm{km}$. Calcúlense el volumen y la parte de él situada más allá del punto de corte.

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

(a) Con $T = T_0e^{-k_1x}$ para $x < X$ y $T = T_Xe^{-k_2(x - X)}$ más allá, $T_X = T_0e^{-k_1X}$ (continuidad), úsense $\int_0^X ye^{-ky}dy = \frac{1}{k^2} - e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$ y $\int_X^\infty ye^{-ky}dy = e^{-kX}\big(\frac{X}{k} + \frac{1}{k^2}\big)$: la parte proximal da $2T_0\big[\frac{1}{k_1^2} - e^{-k_1X}\frac{k_1X + 1}{k_1^2}\big]$ y la parte distal $2T_Xe^{k_2X}\int_X^\infty ye^{-k_2y}dy = 2T_X\frac{k_2X + 1}{k_2^2}$; con $T_X = T_0e^{-k_1X}$ su suma es la fórmula del recuadro del método. (b) $T_0 = 0.012\,85\,\mathrm{km}$: $2T_0/k_1^2 = 0.0257/0.1332 = 0.193\,\mathrm{km}^{3}$; $e^{-0.365\times8.56} = 0.0440$; $(0.138\times8.56 + 1)/0.138^2 = 114.5$ y $(0.365\times8.56 + 1)/0.365^2 = 30.96$; la corrección es $0.0257\times0.0440\times83.6 = 0.094\,\mathrm{km}^{3}$ y $V = 0.287\,\mathrm{km}^{3}$, los $0.29\,\mathrm{km}^{3}$ publicados. Más allá de $X$ quedan $2T_X(X/k_2 + 1/k_2^2) = 2\times5.65 \times 10^{-4}\times114.5 = 0.129\,\mathrm{km}^{3}$, es decir, un $45\,\%$.

Ejercicio 6.11 ★★★

(a) Con la Proposición 6.6, ¿en qué factor aumenta la altura de una columna cuando el caudal eruptivo se multiplica por 100? Compárese con los exponentes empíricos $0.241$ y $0.226$. (b) ¿En qué sentido cambia la altura una atmósfera más fuertemente estratificada, y en cuánto si $N$ crece un $20\,\%$? (c) Dense dos razones por las que los exponentes medidos pueden quedar por debajo de $1/4$.

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

(a) $100^{1/4} = 3.16$; las leyes empíricas dan $100^{0.241} = 3.03$ y $100^{0.226} = 2.83$. (b) $H \propto N^{-3/4}$: una atmósfera más fuertemente estratificada detiene la columna más abajo; para una $N$ un $20\,\%$ mayor, $1.2^{-0.75} = 0.87$, una altura un $13\,\%$ menor. (c) Las plumas débiles las dobla el viento, lo que las rebaja, mientras que el aire húmedo libera calor latente en ellas, lo que las eleva; estos efectos pesan de forma distinta en las erupciones pequeñas y en las grandes y no están en la ley simple. Y los caudales solo se conocen con un margen de factores de varios, un error en la variable del eje horizontal que sesga hacia cero la pendiente ajustada.

Ejercicio 6.12 ★★★

El catálogo mundial recoge 132 erupciones de VEI 4 o más que empezaron entre 1500 y 1899, y 95 entre 1900 y 2024. (a) Calcúlese el ritmo por siglo en cada periodo. (b) Si el ritmo desde 1900 es el verdadero, ¿qué fracción de las erupciones anteriores se registró? (c) Un estudio de grandes erupciones halla 21 erupciones de magnitud 4 a 4.9 por siglo entre 1500 y 1900 y 56 desde 1900; compárese. (d) ¿Por qué depende esta fracción del tamaño de las erupciones?

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

(a) $132/400\times100 = 33$ por siglo antes de 1900; $95/125\times100 = 76$ por siglo desde entonces. (b) $33/76 = 43\,\%$. (c) $21/56 = 38\,\%$: el mismo subregistro, en un factor de dos a tres. (d) Las erupciones mayores se ven desde más lejos y dejan depósitos más gruesos y extensos que resisten la erosión más tiempo; una erupción de VEI 4 en una isla remota en 1700 podía pasar sin registrarse, una de VEI 6 difícilmente.

6.8 Problema: leer un depósito pliniano

Problema 6.1

Problema de fin de semana — de las isópacas de una caída de pómez al tamaño de su erupción, la altura de su columna y la frecuencia con que se producen tales erupciones

Un volcán imaginario ha dejado una caída de pómez de una sola fase pliniana que duró $10\,\mathrm{h}$. Sus isópacas, una vez eliminado el alargamiento debido al viento mediante la raíz cuadrada de sus áreas, son:

$\sqrt A$ ($\mathrm{km}$)	10	20	40	80	120
espesor $T$ ($\mathrm{cm}$)	200	100	48	14	4.0

Datos: densidad aparente del depósito $900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; densidad del magma $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; altura de la columna medida a partir de los clastos mayores, $31\,\mathrm{km}$ sobre la boca; tropopausa a $16\,\mathrm{km}$. Úsense $H = 0.304\,Q^{0.241}$ y $H = 0.345\,Q^{0.226}$ ($H$ en kilómetros, $Q$ en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$).

Parte I — El depósito.

1. Calcúlese $\ln T$ para cada isópaca y demuéstrese que los puntos caen sobre dos segmentos rectos cuando se representan frente a $\sqrt A$. ¿Dónde está la ruptura?
2. Calcúlense la pendiente $k_1$ y la ordenada en el origen $T_0$ del segmento proximal que pasa por las dos primeras isópacas.
3. La recta de mínimos cuadrados que pasa por las tres isópacas distales es $T = 167\,\mathrm{cm}\times e^{-0.0311\sqrt A}$. Compruébese que pasa a menos de un $5\,\%$ de cada una de ellas.
4. Calcúlese el valor de $\sqrt A$ en el que se cortan las dos rectas.
5. Calcúlense las distancias de reducción del espesor a la mitad, $\ln 2/k$, de los dos segmentos.
6. Calcúlese el volumen que tendría el depósito si se adelgazara con la pendiente proximal en todas partes.
7. Calcúlense el volumen aparente con los dos segmentos y la parte que aporta la corrección por el segmento distal, más suave.
8. ¿En qué factor se subestimaría el volumen si solo se hubiera cartografiado el depósito proximal? ¿Por qué es un riesgo real en los depósitos antiguos?

Parte II — El tamaño de la erupción.

9. Dese el VEI de la erupción.
10. Calcúlese el volumen equivalente en roca densa.
11. Calcúlese la masa emitida.
12. Calcúlese la magnitud $M = \log_{10}m - 7$.
13. ¿Cuántas veces mayor que la caída de ceniza del monte Santa Helena en 1980, $1.3\,\mathrm{km}^{3}$, es este depósito?
14. ¿Qué altura de columna asocia la tabla del VEI a esta erupción, y qué estilo?

Parte III — La columna.

15. Calcúlense el caudal másico eruptivo medio durante la fase pliniana y su intensidad $I = \log_{10}Q + 3$.
16. Calcúlese la altura de la columna que predice la primera ley empírica.
17. Lo mismo con la segunda ley.
18. Compárese con los $31\,\mathrm{km}$ medidos a partir de los clastos, teniendo en cuenta la dispersión de las leyes.
19. ¿Qué caudal másico eruptivo implicarían $31\,\mathrm{km}$ según la primera ley? ¿En qué factor difiere del de la pregunta 15, y qué podría explicarlo?
20. ¿Inyectó la columna gas en la estratosfera? ¿Qué consecuencias podría tener para el clima, y cuál sería el gas clave?

Parte IV — ¿Con qué frecuencia?

21. A partir de los recuentos del catálogo (399 erupciones de VEI $\ge 3$ de 1950 a 2024, 95 de VEI $\ge 4$ desde 1900, 22 de VEI $\ge 5$ desde 1800, 8 de VEI $\ge 6$ desde 1500, todas las ventanas terminan en 2024 inclusive), calcúlense los cuatro ritmos anuales y sus logaritmos.
22. Compruébese que la recta $\log_{10}\lambda_v = 3.28 - 0.85\,v$ pasa a menos de un $10\,\%$ de cada ritmo.
23. ¿Por qué cada ventana empieza más atrás para las erupciones mayores?
24. A partir de la recta, calcúlense el ritmo de erupciones de VEI $\ge 5$, su periodo de retorno medio y la probabilidad de al menos una en los próximos 10 años.
25. A partir de la recta, calcúlese el ritmo de erupciones de VEI $\ge 7$ y compárese con las dos registradas desde el año 1000.
26. A partir de la recta, calcúlense el ritmo de erupciones de VEI $\ge 6$ y la probabilidad, en tanto por ciento, de al menos una en algún lugar de la Tierra en los próximos 100 años, el número clave de este problema. ¿En qué supuesto se basa?

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. $\ln T = 5.298$, $4.605$, $3.871$, $2.639$, $1.386$. Las pendientes entre isópacas sucesivas son $-0.0693$, $-0.0367$, $-0.0308$ y $-0.0313$ por km: un segmento empinado entre 10 y $20\,\mathrm{km}$, uno suave de 40 a $120\,\mathrm{km}$; la ruptura está entre 20 y $40\,\mathrm{km}$.

2. $k_1 = \ln(200/100)/10 = 0.0693\,\mathrm{km}^{-1}$; $T_0 = 200\,e^{0.693} = 400\,\mathrm{cm}$.

3. $167e^{-1.244} = 48.1\,\mathrm{cm}$, $167e^{-2.488} = 13.9\,\mathrm{cm}$, $167e^{-3.732} = 4.00\,\mathrm{cm}$: a menos de un $1\,\%$ de 48, 14 y 4.0.

4. $400e^{-0.0693X} = 167e^{-0.0311X}$ da $X = \ln(400/167)/(0.0693 - 0.0311) = 0.873/0.0382 = 22.9\,\mathrm{km}$.

5. $\ln2/0.0693 = 10.0\,\mathrm{km}$ y $\ln2/0.0311 = 22.3\,\mathrm{km}$.

6. $T_0 = 0.0040\,\mathrm{km}$: $V = 2\times0.0040/0.0693^2 = 1.67\,\mathrm{km}^{3}$.

7. $e^{-0.0693\times22.9} = 0.205$; $(0.0311\times22.9 + 1)/0.0311^2 = 1770$; $(0.0693\times22.9 + 1)/0.0693^2 = 539$; corrección $2\times0.0040\times0.205\times1231 = 2.02\,\mathrm{km}^{3}$; $V = 1.67 + 2.02 = 3.68\,\mathrm{km}^{3}$, del que la corrección es el $55\,\%$.

8. $3.68/1.67 = 2.2$. La ceniza distal fina es delgada, fácil de erosionar, de removilizar, o puede caer al mar; en un depósito antiguo a menudo se ha perdido o nunca se ha cartografiado, y el volumen queda entonces subestimado en un factor de dos o más.

9. $3.68 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ está entre $10^9$ y $10^{10}$: VEI 5.

10. $V_{\mathrm{DRE}} = 3.68\times900/2400 = 1.38\,\mathrm{km}^{3}$.

11. $m = 3.68 \times 10^{9}\times900 = 3.31 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$.

12. $M = \log_{10}(3.31 \times 10^{12}) - 7 = 12.52 - 7 = 5.52$.

13. $3.68/1.3 = 2.8$ veces.

14. Una columna de más de $25\,\mathrm{km}$, y un estilo pliniano.

15. $Q = 3.31 \times 10^{12}/36000 = 9.2 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $I = 7.96 + 3 = 11.0$.

16. $0.304\times(9.2 \times 10^{7})^{0.241} = 0.304\times83.0 = 25.2\,\mathrm{km}$.

17. $0.345\times(9.2 \times 10^{7})^{0.226} = 0.345\times63.1 = 21.8\,\mathrm{km}$.

18. Los $31\,\mathrm{km}$ medidos están un $23\,\%$ por encima de la primera predicción y un $42\,\%$ por encima de la segunda, dentro de la dispersión de un $53\text{ a }60\,\%$ de las leyes: coherente.

19. $Q = (31/0.304)^{1/0.241} = 102.0^{4.149} = 2.2 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, 2.3 veces el caudal medio. Los clastos registran la columna más alta, en el máximo de la erupción, mientras que la pregunta 15 promedia sobre toda la fase; y parte de la masa puede faltar en el depósito (ceniza distal, flujos piroclásticos).

20. Sí: de 22 a $31\,\mathrm{km}$, muy por encima de la tropopausa, a $16\,\mathrm{km}$. El gas llevado a la estratosfera se extiende alrededor del planeta; el gas clave es el dióxido de azufre, y los veinte millones de toneladas que el Pinatubo inyectó allí en 1991 enfriaron el planeta cerca de medio grado durante dos años.

21. $\lambda_3 = 399/75 = 5.32$, $\lambda_4 = 95/125 = 0.760$, $\lambda_5 = 22/225 = 0.0978$, $\lambda_6 = 8/525 = 0.0152$ por año; logaritmos $0.726$, $-0.119$, $-1.010$, $-1.817$.

22. La recta da $10^{0.73} = 5.37$, $10^{-0.12} = 0.759$, $10^{-0.97} = 0.107$ y $10^{-1.82} = 0.0151$: a menos del $1\,\%$, el $0\,\%$, el $10\,\%$ y el $1\,\%$ de los recuentos.

23. El registro de las grandes erupciones sigue siendo completo más atrás en el tiempo, porque se perciben desde más lejos y sus depósitos sobreviven más; una ventana que empezara en 1500 contaría muy por debajo las erupciones de VEI 3, mientras que una ventana que empezara en 1950 apenas contendría erupciones de VEI 6.

24. $\lambda_5 = 0.107$ por año, un periodo de retorno de $1/0.107 = 9.3\text{ años}$; $1 - e^{-1.07} = 1 - 0.343 = 66\,\%$ en diez años.

25. $\lambda_7 = 10^{3.28 - 5.95} = 10^{-2.67} = 0.00214$ por año, una cada 470 años; el registro da $2/1025 = 0.00195$ por año: coincidencia con un margen del $10\,\%$, para un punto no usado en el ajuste.

26. $\lambda_6 = 10^{3.28 - 5.10} = 10^{-1.82} = 0.0151$ por año; $\lambda t = 1.51$ y $1 - e^{-1.51} = 1 - 0.220 = 0.780$: la probabilidad de al menos una erupción de VEI 6 o más en algún lugar de la Tierra en los próximos cien años es $78\,\%$. Se basa en un ritmo constante, en erupciones independientes entre sí (un proceso de Poisson) y en un catálogo completo dentro de sus ventanas.