11ذرة الهدروجين

حل التمرين 11.1.

(أ) $u'' = (1/a^2 - 2/ar)u$؛ وتتطابق حدود $1/r$ حين يكون $\hbar^2/m_{\text{e}}a = k$، أي $a = a_0$، وتعطي الحدود الثابتة $E = -\hbar^2/2m_{\text{e}}a_0^2 = -E_{\text{I}}$. (ب) $C = 2/a_0^{3/2}$. (ج) $[\hbar^2/mk] = \mathrm{m}$؛ و $[mk^2/\hbar^2] = \mathrm{J}$. (د) تبيّن الحجة التغايرية في التمرين 7.12 أن $-E_{\text{I}}$ أدنى طاقة تستطيع أيّ حالة منظَّمة بلوغها: فمبدأ الارتياب هو أرضية الذرة.

حل التمرين 11.2.

(أ) $121.6\,\mathrm{nm}$؛ والحدّ $91.2\,\mathrm{nm}$. (ب) $656.3$ (أحمر) و $486.1$ (أزرق مخضرّ) و$434.0\,\mathrm{nm}$ (بنفسجي)؛ والحدّ $364.6\,\mathrm{nm}$ — والثلاثة الأولى مرئية. (ج) من $1875\,\mathrm{nm}$ نزولًا إلى $820\,\mathrm{nm}$: أي تحت الأحمر القريب. (د) $R_{\text{H}}c\,(1/109^2 - 1/110^2) = 5.01\,\mathrm{GHz}$.

حل التمرين 11.3.

(أ) $\dd(r^2\eu^{-2r/a_0})/\dd r = 0$ عند $r = a_0$. (ب) $\langle r\rangle = (4/a_0^3)\int_0^\infty r^3\eu^{-2r/a_0}\dd r = (4/a_0^3)\times 3!\,(a_0/2)^4 = \tfrac32 a_0$. (ج) ومع $x = 4$: $\tfrac12(16 + 8 + 2)\eu^{-4} = 0.24$: أي ربع الوقت يكون الإلكترون وراء $2a_0$. (د) ليس للإلكترون نصف قطر: فالدالة $P(r)$ توزيع له منوال ومتوسط وذيول طويلة — فالذرة ملطَّخة على مستوى عامل اثنين.

حل التمرين 11.4.

(أ) $l = 0$: واحدة؛ و $l = 1$: ثلاث؛ و $l = 2$: خمس — أي تسع. (ب) $2$ و $8$ و $18$. (ج) وهي بالضبط أطوال الصفوف الثلاثة الأولى: فالجدول الدوري سجلّ ملء هذه الأغلفة. (د) يبقى الانحلال في $m$ (فالفضاء ما زال متماثل المناحي)؛ وينكسر الانحلال في $l$ لأن الكمون المحجوب الذي يراه إلكترون التكافؤ لم يعد $1/r$ صرفًا — التمرين 11.8.

حل التمرين 11.5.

(أ) شبيه بالهدروجين مع $Z - 1$: $h\nu = (Z-1)^2E_{\text{I}}(1 - \tfrac14)$. (ب) $784 \times 10.2\,\mathrm{eV} = 8.0\,\mathrm{keV}$ — وهو يطابق الخط K$\alpha$ المقيس للنحاس. (ج) أن العدد الذي يرتّب العناصر هو الشحنة النووية، لا الوزن الذرّي: وقد عيّنت الفجوات في خطوط موزلي عناصر لم تُكتشف. (د) $42^2 \times 10.2 = 18.0\,\mathrm{keV}$ — وهو التكنيسيوم، الذي وُجد بعد عقود، فأذعن.

حل التمرين 11.6.

(أ) كتلتان متساويتان: $\mu = m_{\text{e}}/2$: فالربط $6.8\,\mathrm{eV}$ ونصف القطر $2a_0 = 0.106\,\mathrm{nm}$. (ب) $\tfrac34 \times 6.8 = 5.1\,\mathrm{eV}$: أي $243\,\mathrm{nm}$. (ج) فوتونان طاقة كل منهما $511\,\mathrm{keV}$، متعاكسان (بانحفاظ كمية الحركة في السكون). (د) التصوير المقطعي بالإصدار البوزيتروني: فزوج الفوتونين المستقيمَي الاتجاه عند $511\,\mathrm{keV}$ هو الإشارة التي تثلّثها كل حلقة تصوير.

حل التمرين 11.7.

(أ) $a_{\text{ex}} = 0.0529 \times 12.9/0.058 = 11.8\,\mathrm{nm}$. (ب) $E = 13.6 \times 0.058/12.9^2 = 4.7\,\mathrm{meV}$. (ج) حجم الزوج الطبيعي يفوق النقطة: فالجدار، لا التجاذب، هو الذي يشكّل الحالة — فيغلب $1/R^2$ المقدارَ $1/R$، كما وُعد. (د) $k_{\text{B}}T$ في درجة حرارة الغرفة خمسة أضعاف الربط: فتتأين الأزواج؛ وتعيش فيزياء الإكسيتونات دون $\sim50\,\mathrm{K}$ في بلورات نظيفة.

حل التمرين 11.8.

(أ) الحالة $3s$: إذ يغوص فصّها الأعمق داخل القلب حيث تكاد الشحنة النووية $+11$ لا تُحجب. (ب) $-13.6/9 = -1.51\,\mathrm{eV}$ يطابق $3d$ مطابقة تكاد تكون تامة: فالحالة $3d$ تدور خارج القلب وترى شحنة صافية $+1$؛ أما $3s$ (وجزئيًا $3p$) فتذوق الكمون العميق و تغرق. (ج) $\Delta E = 2.10\,\mathrm{eV}$: ومنه $\lambda = 590\,\mathrm{nm}$ — وهو أصفر الصوديوم في مصابيح الشوارع. (د) $n_{\text{فعّال}} = \sqrt{13.6/|E|}$: أي $1.63$ و $2.11$، ومنه $\delta_s = 1.37$ و $\delta_p = 0.89$.

حل التمرين 11.9.

(أ) نحو ربط $n = 100$، أي $\sim1.4\,\mathrm{meV}$، مضافًا إليه طاقة الإلكترون الحرارية الصغيرة: أي فوتون تحت أحمر بعيد أو راديوي. (ب) تقع خطوات $\Delta n = 1$ بجوار $n \approx 100$ في النطاق الراديوي بالجيغاهرتز — وهي خطوط إعادة التركيب. (ج) الخط H$\alpha$ هو الخطوة $3 \to 2$، قرب نهاية التدحرج. (د) خط لايمان $\alpha$، وإن كان الأقوى، فوق بنفسجي، وهو في سديم مملوء بهدروجين في حالته الأساسية ينتثر رنينيًا ويُحبس؛ أما H$\alpha$ فيفلت بحرية ويصبغ السديم بالأحمر.

حل التمرين 11.10.

(أ) $\langle 1/r\rangle = 1/a_0$: ومنه $\langle E_p\rangle = -k/a_0 = -27.2\,\mathrm{eV} = 2E_1$. (ب) $\langle E_k\rangle = E_1 - \langle E_p\rangle = +13.6\,\mathrm{eV}$: أي نسبة الفيريال $-\tfrac12$ في كل مدار $1/r$. (ج) $v = \sqrt{2E_k/m_{\text{e}}} = \alpha c = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (د) $I = ev/2\pi a_0 \approx 1\,\mathrm{mA}$ يدور عند $53\,\mathrm{pm}$: ومنه $B \sim \mu_0I/2a_0 \approx 12\,\mathrm{T}$ — وهو المجال الداخلي الهائل الذي ستتغذى منه البنية فوق الدقيقة.

حل التمرين 11.11.

(أ) انطلاقًا من التمرين 11.10(ج)، $v/c = \alpha$؛ وبالتحجيم: $Z\alpha/n$. (ب) $\alpha^2E_{\text{I}} = 0.72\,\mathrm{meV}$؛ وعند $n = 2$ تخرج الانفصامات بعشرات $\text{µ}\mathrm{eV}$ — أي نحو $10\,\mathrm{GHz}$، قابلة للقياس بالراديو (وقد قيست). (ج) $Z\alpha = 0.67$: أي ثلثا سرعة الضوء — فتخفق معالجة شرودنغر، وتتولّى معادلة ديراك. (د) عند $Z\alpha \to 1$ تغوص طاقة الحالة الأساسية صوريًا تحت $-2m_{\text{e}}c^2$: فيشرّر الخلاء نفسه أزواج إلكترون–بوزيترون — أي المجالات فوق الحرجة، المطلوبة في تصادمات الأيونات الثقيلة.

حل التمرين 11.12.

(أ) نشتقّ: $\dot{\vect p}\wedge\vect L = -(mk/r^3)\vect r\wedge(\vect r\wedge\dot{\vect r}\,m)$؛ وبنشر الجداء الشعاعي المزدوج نجد بالضبط $mk\,\dd\vect e_r/\dd t$: ومنه $\dot{\vect A} = \vect 0$. (ب) المحور المحفوظ تناظر وراء تماثل المناحي؛ والانحلال وسمٌ ناقص، والوسم الإضافي (وهو ابن عمّ $\vect A$ الكمومي) يصل بين قيم $l$ داخل $n$ واحد. (ج) مع $V = -k/r + \epsilon/r^2$ ينزاح العزم الحركي الفعّال، فلا يعود الدور الزاوي مطابقًا للدور القطري، ويدور محور الإهليلج بمعدل $\propto\epsilon$. (د) وتقوم تصحيحات النسبية مقام $\epsilon$ في الهدروجين نفسه: فالبنية الدقيقة في التمرين 11.11 هي بالضبط كسر الانحلال في $l$.