الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

5الديناميك النسبي

سنة 1964 صوّر ويليام برتوتزي إلكترونات تنطلق في مسرّع خطي: إذ كانت كل دفقة تُعطى طاقة مقيسة، وتُقاس سرعتها على مدى $8.4\,\mathrm{m}$ من الطيران. وقد تنبأ نيوتن بأن إلكترونات طاقتها $15\,\mathrm{MeV}$ ينبغي أن تطير بثمانية أضعاف سرعة الضوء؛ لكن الميقاتة قالت $0.9999c$ وأبت أن تتجاوز ذلك مهما دُفعت الإلكترونات. لقد أخبرنا التحريك في الفصل السابق أن $c$ حدّ؛ وعلى الديناميك الآن أن يفسّر ما يحلّ بالدفع — أي أين يذهب الشغل حين تكفّ السرعة عن النمو. والجواب يعيد تنظيم الميكانيك حول كمية حركة جديدة وطاقة جديدة، تجمعهما أشهر معادلة في الفيزياء: فالطاقة المخزَّنة كتلة، والكتلة طاقة مقيمة، $E = mc^2$ . ويبني هذا الفصل هذا الديناميك، ثم يشغّله حيث يعيش كل يوم — في التفككات المشعّة وتصادمات الجسيمات والمسرّعات التي تحوّل الحركة إلى مادة جديدة.

5.1 إعادة بناء كمية الحركة والطاقة

ملاحظة 5.1 (لماذا وجب أن يذهب $m\vect v$ )

كمية الحركة الكلاسيكية $m\vect v$ محفوظة في كل مرجع إذا تحوّلت السرعات على طريقة غاليلي. وهي لا تفعل (القضية 4.10): فتصادم يحفظ $\sum m\vect v$ في مرجع لا يحفظه في مرجع آخر، فلا يمكن أن تكون كمية الحركة القديمة قانونًا للطبيعة — بل هي في أحسن الأحوال ظلّها عند السرعات الصغيرة. والإصلاح هو أن نقيس السرعة بساعة الجسيم هو: فالمقدار $\dd\vect r/\dd\tau = \gamma\,\vect v$ يتحوّل تحوّلًا نظيفًا، والمقدار $m\,\dd\vect r/\dd\tau$ يتبيّن أنه محفوظ في كل المراجع في آن واحد.

تعريف 5.2 (كمية الحركة والطاقة النسبيتان)

جسيم كتلته $m$ وسرعته $\vect v$ (مع $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ) يحمل كمية الحركة والطاقة

\vect p = \gamma m\vect v , \qquad E = \gamma mc^2 .

وفي السكون $E_0 = mc^2$ : وهي طاقة السكون. والطاقة الحركية هي ما تضيفه الحركة، $E_k = E - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$ ، وهي من أجل $v \ll c$ ترجع إلى المقدار المألوف $\tfrac12 mv^2$ (انشر $\gamma$ ). وفي كل سيرورة معزولة ينحفظ مجموع $\vect p$ ومجموع $E$ — بما فيه طاقات السكون.

مبرهنة 5.3 (علاقة الطاقة–كمية الحركة)

من أجل أيّ جسيم،

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 , \qquad \vect v = \frac{\vect p\,c^2}{E} :

وللتركيب $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ القيمة نفسها في كل مرجع — وهو للطاقة وكمية الحركة ما الفاصل للزمن والفضاء. وثمة نظامان: عند السرعات الصغيرة $E \approx mc^2 + p^2/2m$ ؛ وعند الطاقات العالية ( $E \gg mc^2$ ) يكون $E \approx pc$ و $v \to c$ : فالدفع الأقوى يضيف طاقة وكمية حركة، ولا يكاد يضيف سرعة.

برهان. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - v^2/c^2) = m^2c^4$ ؛ و $pc^2/E = \gamma mvc^2/\gamma mc^2 = v$ . وينتج ثبات المقدار بتغيير المرجع لأن $m$ و $c$ لا يتوقفان على المرجع. ∎

قضية 5.4 (الجسيمات عديمة الكتلة)

للجسيم المعدوم الكتلة $E = pc$ ويتحرك بالسرعة $c$ بالضبط في كل مرجع؛ ولا يمكن إبطاؤه، بل إزاحته نحو الأحمر فقط. والفوتون هو الحالة النموذجية: $E = h\nu$ و $p = h\nu/c = h/\lambda$ — وهما علاقتا بلانك–أينشتاين في كتاب السنة الأولى، منظورًا إليهما الآن بوصفهما ركن $m = 0$ من الميكانيك.

برهان. نضع $m = 0$ في المبرهنة 5.3: فنجد $E = pc$ و $v = pc^2/E = c$ . ∎

على اليسار: تجربة برتوتزي في “السرعة القصوى” — إذ تتبع سرعات الإلكترونات المقيسة (النقاط) المنحني النسبي وتتشبّع عند c، بينما يمضي خط نيوتن متجاوزًا إياه. وعلى اليمين: قطع الطاقة–كمية الحركة الزائد؛ وإزاحته عند p = 0 هي طاقة السكون، ومقاربه هو العلاقة E = pc للفوتون. — على اليسار: تجربة برتوتزي في “السرعة القصوى” — إذ تتبع سرعات الإلكترونات المقيسة (النقاط) المنحني النسبي وتتشبّع عند $c$ ، بينما يمضي خط نيوتن متجاوزًا إياه. وعلى اليمين: قطع الطاقة–كمية الحركة الزائد؛ وإزاحته عند $p = 0$ هي طاقة السكون، ومقاربه هو العلاقة $E = pc$ للفوتون.

مثال 5.5 (رتب المقادير)

تحصي فيزياء الجسيمات الطاقة بالإلكترون-فولط والكتل بواحدة $\mathrm{MeV}/c^2$ : فالإلكترون $0.511$ ، والبروتون $938.3$ ، والميون $105.7$ ، والبيون $139.6$ . وللإلكترون ذي الطاقة الحركية $1\,\mathrm{MeV}$ عامل $\gamma = 2.96$ وسرعة $v = 0.94c$ — أي إنه نسبي تمامًا، ولهذا تبقى الإلكترونيات كلاسيكية ( $\mathrm{eV}$ ) ولا تبقى الفيزياء النووية كذلك ( $\mathrm{MeV}$ ). ولبروتون المصادم الهدروني الكبير ذي الطاقة $6.8\,\mathrm{TeV}$ عامل $\gamma = 7250$ ، وهو يتخلف عن فوتون بمقدار $2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ لا غير.

5.2 الكتلة طاقة مقيمة

مبرهنة 5.6 (تكافؤ الكتلة والطاقة)

كتلة جسم هي الطاقة الكلية لمحتوياته، مقسومة على $c^2$ ، مقيسةً في مرجع سكونه: فسخّن جسمًا، أو اشدد نابضه، أو أثِر ذراته، يزدد وزنه بالمقدار $\Delta E/c^2$ ؛ واربط أجزاءه بعضها ببعض يصر وزنه أقلّ بمقدار طاقة الربط على $c^2$ — وهو النقص الكتلي. وبالعكس يمكن تحرير طاقة السكون: فكلما كان مجموع الكتل النهائية أقلّ من مجموع الكتل الابتدائية، ظهر الفرق $\Delta m\,c^2$ طاقةً حركية أو إشعاعًا.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 5.7 (دفتر حساب $c^2$ )

$c^2 = 9 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ : فغرام واحد من فرق الكتلة هو $9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ ، أي طاقة مدينة صغيرة ليوم كامل. والروابط الكيميائية (بضعة إلكترون-فولط للجزيء) تزيح الكتل بأجزاء من $10^{10}$ — وهو ما لا يمكن وزنه أبدًا، ولهذا لم تلحظه الكيمياء قط. أما الربط النوويّ فيزيحها بنحو $1\%$ : فالهليوم أخفّ بمقدار $0.7\%$ من مكوّناته الهدروجينية الأربعة، وتلك النسبة المفقودة، إذ تنساب من الشمس ضوءًا، تكلّفها $\Delta m = L_\odot/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ في كل ثانية — أي أربعة ملايين طن من ضوء الشمس. ويُصفّي الإفناء الحساب كله: فإلكترون يلاقي بوزيترونًا لا يترك غير فوتونين طاقة كل منهما $511\,\mathrm{keV}$ ، وهي الإشارة التي تراقب بها ماسحات الإصدار البوزيتروني دماغًا حيًا.

ملاحظة 5.8 (ما معنى “التحوّل”)

لا شيء مادي “يتحوّل إلى” طاقة: فالطاقة الكلية كانت محفوظة طوال الوقت. وإنما الذي يتغير هو مقامها — من طاقة سكون تزن، إلى طاقة حركية وإشعاع يطيران. والقول العميق في $E = mc^2$ هو أن العطالة نفسها محتوًى من الطاقة: فعلبة غاز ساخن تقاوم التسارع أكثر من العلبة نفسها باردة.

5.3 التصادمات والتفككات

تعريف 5.9 (رباعي كمية الحركة والكتلة الثابتة)

نحزم طاقة الجسيم وكمية حركته في رباعي كمية حركته $P = (E/c, \vect p)$ . ومن أجل جملة من الجسيمات نجمع مركبةً مركبةً: $E_{\text{كلي}} = \sum E_i$ و $\vect p_{\text{كلي}} = \sum\vect p_i$ . وتُعرَّف الكتلة الثابتة $M$ للجملة بالعلاقة

M^2c^4 = E_{\text{كلي}}^2 - \|\vect p_{\text{كلي}}\|^2c^2 :

وهي العدد نفسه في كل مرجع، ويساوي الطاقة الكلية (مقسومة على $c^2$ ) في مرجع مركز كميات الحركة حيث $\vect p_{\text{كلي}} = \vect 0$ . ولاحظ أن $M$ تفوق مجموع كتل الأجزاء كلما تحركت بعضها بالنسبة إلى بعض — ففوتونان يتباعدان لهما $M > 0$ وإن كان كل منهما عديم الكتلة.

طريقة 5.10 (حلّ تصادم نسبي)

(1) نكتب انحفاظ رباعي كمية الحركة: أي $E$ و $\vect p$ معًا، لا أحدهما وحده. (2) نحسب الثابت $E^2 - p^2c^2$ لأيّ حزمة تناسبنا — إذ يمكن تقديره في أسهل مرجع واستعماله في أيّ مرجع آخر. (3) العتبات: يكون التفاعل ممكنًا حين تبلغ الكتلة الثابتة للحالة الابتدائية مجموع كتل السكون للحالة النهائية. (4) التفككات في السكون: تكون كميتا حركة الناتجين متعاكستين ومتساويتين في القيمة؛ وتتبع الطاقات من الكتل وحدها. (5) ولا نحوّل إلى سرعات، إن طُلب ذلك، إلا في النهاية عبر $v = pc^2/E$ .

مثال 5.11 (بصمة البيون)

يتفكك بيون مشحون ساكن وفق $\pi^+ \to \mu^+ + \nu$ (والنيوترينو عديم الكتلة عمليًّا). ويجعل انحفاظ كمية الحركة الناتجين متعاكسين بقيمة $p$ واحدة؛ ويُكتب انحفاظ الطاقة $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ . وبالحل:

pc = \frac{(m_\pi^2 - m_\mu^2)c^2}{2m_\pi} = 29.8\,\mathrm{MeV} ,

فيولد كل ميون آتٍ من بيون متفكك ساكن بطاقة حركية مقدارها $4.1\,\mathrm{MeV}$ بالضبط — أي خط أحادي الطاقة، وقد كانت مشاهدته (باول، 1947) هي الطريقة التي وُزنت بها كتلة البيون أول مرة. والتفككات الثنائية تعطي دائمًا خطوطًا كهذه؛ أما التفككات الثلاثية فتلطّخها أطيافًا، وهي بالضبط الطريقة التي شُكّ بها أول مرة في وجود النيوترينو في التفكك النوويّ $\beta$ .

قضية 5.12 (العتبات: استبداد الهدف الثابت)

لخلق جسيمات جديدة لا تتوفر إلا طاقة مركز كميات الحركة $Mc^2$ . وحزمة طاقتها $E$ تضرب هدفًا كتلته $m_{\text{t}}$ ساكنًا تعطي

M^2c^4 = m_{\text{b}}^2c^4 + m_{\text{t}}^2c^4 + 2\,E\,m_{\text{t}}c^2 :

فالطاقة النافعة لا تنمو إلا وفق $\sqrt E$ — والباقي يُهدر في دفع الشظايا إلى الأمام. أما حزمتان متطابقتان تتصادمان وجهًا لوجه فتعطيان $Mc^2 = 2E$ : أي كلها نافعة. وهذه الصيغة الواحدة هي سبب كون آلات الحدود القصوى مصادمات (المسألة 5.1).

برهان. نقدّر $E_{\text{كلي}}^2 - p_{\text{كلي}}^2c^2$ في المخبر: $(E + m_{\text{t}}c^2)^2 - p^2c^2$ حيث $p$ كمية حركة الحزمة؛ ننشر ونستعمل $E^2 - p^2c^2 = m_{\text{b}}^2c^4$ . وأما في المصادم فيكون $\vect p_{\text{كلي}} = \vect 0$ و $Mc^2 = E_{\text{كلي}}$ . ∎

صنع المادة من الحركة: فعلى هدف ثابت، يفرض انحفاظ كمية الحركة على النواتج أن تظلّ طائرة، ولا تنمو طاقة مركز كميات الحركة النافعة إلا وفق √ E؛ أما في تصادم وجهًا لوجه فهي 2E كلها. — صنع المادة من الحركة: فعلى هدف ثابت، يفرض انحفاظ كمية الحركة على النواتج أن تظلّ طائرة، ولا تنمو طاقة مركز كميات الحركة النافعة إلا وفق $\sqrt E$ ؛ أما في تصادم وجهًا لوجه فهي $2E$ كلها.

5.4 القوة والآلات

قضية 5.13 (معادلة الحركة النسبية)

يبقى قانون نيوتن صالحًا في الصورة

\vect F = \frac{\dd\vect p}{\dd t} = \frac{\dd(\gamma m\vect v)} {\dd t} , \qquad \frac{\dd E}{\dd t} = \vect F\cdot\vect v .

والمجال المغناطيسي، وهو عمودي على $\vect v$ دائمًا، لا يغيّر أيّ طاقة ويثني المسار إلى دائرة نصف قطرها

r = \frac{p}{qB}

— وهي الصيغة نفسها الواردة في كتاب السنة الأولى، مع $p$ النسبية. لكن تواتر الدوران $qB/\gamma m$ صار الآن يهبط كلما كسب الجسيم طاقة: فدفعة السيكلوترون ذات التواتر الثابت تخرج عن الطور قرب مقياس الميغا إلكترون-فولط، وآلات الطاقات العالية — أي السنكروترونات — ترفع بدلًا من ذلك مجالها وتواترها جنبًا إلى جنب مع $\gamma$ ، فتُبقي الحزمة على حلقة واحدة.

برهان جزئي. قانون القوة هو تعريف الديناميك المتسق مع كمية الحركة الجديدة (ويتبع $\dd E/\dd t$ من $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ : إذ $E\,\dot E = c^2\vect p\cdot\dot{\vect p}$ ). وأما الدائرة: فإن $|\dd\vect p/\dd t| = qvB$ مع ثبات $|\vect p|$ يعني أن متجهة كمية الحركة تدور بالمعدل $qvB/p$ ، فيكون نصف القطر $v/(qvB/p) = p/qB$ . ∎

مثال 5.14 (قراءة المصادم الهدروني الكبير كتمرين)

بروتونات طاقتها $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ في ثنائيات قطب مجالها $B = 8.3\,\mathrm{T}$ : لدينا $p \approx E/c$ (فوق نسبي)، ومنه $r = p/qB = 2.7\,\mathrm{km}$ — وبالفعل فإن نصف قطر الثني المغناطيسي للحلقة $2.8\,\mathrm{km}$ ، ومحيطها $27\,\mathrm{km}$ معظمه مغانط. وتوفّر التصادمات وجهًا لوجه $Mc^2 = 13.6\,\mathrm{TeV}$ ؛ ولبلوغ ذلك على هدف ثابت لزمت حزمة طاقتها $2E^2/m_{\text{p}}c^2 \approx 10^{17}\,\mathrm{eV}$ — أي مئة ضعف مدى أيّ آلة بُنيت يومًا. فصيغة المصادم، لا مغانط أقوى، هي التي اشترت حدود الطاقة الحديثة.

جسيمات مشحونة تعبر غرفة غيوم. آثار كهذه — تلتفّ في المجالات المغناطيسية وتظهر أزواجًا — حوّلت E = mc2 من صيغة إلى مسك دفاتر يومي: فقد اكتُشف البوزيترون على صورة من هذا القبيل. — جسيمات مشحونة تعبر غرفة غيوم. آثار كهذه — تلتفّ في المجالات المغناطيسية وتظهر أزواجًا — حوّلت $E = mc^2$ من صيغة إلى مسك دفاتر يومي: فقد اكتُشف البوزيترون على صورة من هذا القبيل.

5.5 تمارين

تمرين 5.1 ★

إلكترون ( $mc^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ ) يتحرك بسرعة $0.99c$ . احسب $\gamma$ وكمية حركته بواحدة $\mathrm{MeV}/c$ وطاقتيه الكلية والحركية. والأسئلة نفسها من أجل بروتون ( $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ ) طاقته الحركية $1\,\mathrm{GeV}$ .

حل

حل التمرين 5.1.

الإلكترون: $\gamma = 7.09$ ؛ و $pc = \gamma\beta\,mc^2 = 3.59\,\mathrm{MeV}$ ، ومنه $p = 3.59\,\mathrm{MeV}/c$ و $E = 3.62\,\mathrm{MeV}$ و $E_k = 3.11\,\mathrm{MeV}$ . والبروتون: $E = 938 + 1000 = 1938\,\mathrm{MeV}$ و $\gamma = 2.07$ و $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2} = 1696\,\mathrm{MeV}$ و $\beta = pc/E = 0.875$ .

تمرين 5.2 ★

(أ) كم من الطاقة ينام في غرام واحد من المادة؟ (ب) حرّر انفجار هيروشيما نحو $6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ : فأيّ فرق كتلة هذا؟ (ج) تشعّ الشمس $L = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ : فكم كتلة تفقد في الثانية، وأيّ نسبة من كتلتها $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ في عشرة مليارات سنة؟ (د) تخزّن بطارية هاتفك $5 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : فبكم يزداد وزن هاتف مشحون؟

حل

حل التمرين 5.2.

(أ) $10^{-3} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ . (ب) $6 \times 10^{13}/ 9 \times 10^{16} \approx 0.7\,\mathrm{g}$ — فالقنبلة حوّلت أقلّ من غرام. (ج) $L/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ؛ وعلى مدى $10^{10}\,\mathrm{yr}$ ( $3.2 \times 10^{17}{}\,\mathrm{s}$ ): $1.3 \times 10^{27}{}\,\mathrm{kg}$ ، أي نحو $0.07\%$ من الشمس. (د) $5 \times 10^{4}/9 \times 10^{16} \approx 0.6\,\mathrm{ng}$ — وهو واقعي، ولا يمكن وزنه أبدًا.

تمرين 5.3 ★

(أ) أيّ كمية حركة تحملها حزمة مؤشر ليزر قدرته $5\,\mathrm{mW}$ في الثانية، وأيّ قوة يحسّها المؤشر؟ (ب) أيّ قوة يمارسها ضوء الشمس ( $1.4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) على شراع شمسي عاكس عكسًا تامًّا مساحته $100\,\mathrm{m}^{2}$ ؟ (ج) انطلاقًا من السكون، بأيّ سرعة تتحرك مركبة شراعية كتلتها $10\,\mathrm{kg}$ بعد شهر؟ (د) لماذا يشير ذيل الغبار لمذنَّب بعيدًا عن الشمس؟

حل

حل التمرين 5.3.

(أ) $p = P/c$ في الثانية: فالقوة $F = P/c = 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ من الارتداد. (ب) يضاعف الانعكاس المنقول: $F = 2\Phi A/c = 2 \times 1400 \times 100/3 \times 10^{8} \approx 0.9\,\mathrm{mN}$ . (ج) $a \approx 9 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ؛ وبعد $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v \approx 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي بداية بطيئة، لكن المحرك لا ينضب أبدًا. (د) تدفع كمية حركة ضوء الشمس (مع الرياح الشمسية) الغبار دفعًا متصلًا إلى الخارج: فينساب الذيل بعيدًا عن الشمس، لا خلف المذنَّب.

تمرين 5.4 ★

تمرّن على الوحدات. (أ) بيّن أن $\mathrm{MeV}/c^2$ وحدة كتلة وحوّل كتلة الإلكترون إلى الكيلوغرام. (ب) كم يساوي $1\,\mathrm{GeV}/\mathrm{c}$ بواحدة $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؟ (ج) مربع كتلة ثابتة يخرج بالقيمة $s = 16\,\mathrm{GeV}^{2}$ (بوحدات $c = 1$ ): فأيّ طاقة لمركز كميات الحركة هذه؟ (د) لماذا يضع فيزيائيو الجسيمات $c = 1$ ، وما الذي يجب على القارئ أن يعيد إدخاله ليحصل على أعداد بالنظام الدولي؟

حل

حل التمرين 5.4.

(أ) $m = E_0/c^2$ : $0.511 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}/9 \times 10^{16} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ . (ب) $10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 5.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) $\sqrt s = 4\,\mathrm{GeV}$ من طاقة مركز كميات الحركة. (د) مع $c = 1$ تتقاسم الطاقة وكمية الحركة والكتلة وحدة واحدة، وتتخلص كل صيغة من عوامل $c$ ؛ وللعودة إلى النظام الدولي نعيد إدخال قوة $c$ الوحيدة التي تصحّح الأبعاد.

تمرين 5.5 ★★

كانت الطاقات الحركية في تجربة برتوتزي $0.5$ و $1$ و $4.5$ و $15\,\mathrm{MeV}$ . (أ) احسب تنبؤ نيوتن $v^2 = 2E_k/m$ من أجل كل منها، بوحدة $c^2$ . (ب) احسب $v^2/c^2$ النسبي. (ج) زمن طيرانه على $8.4\,\mathrm{m}$ عند $15\,\mathrm{MeV}$ : فماذا قرأت الميقاتة، وبم كان نيوتن سيتنبأ؟ (د) قيست طاقة الإلكترونات أيضًا بالمسعّرية — أي بحرارتها عند الارتطام: فلماذا كانت تلك الخطوة هي مغزى التجربة الحقيقي؟

حل

حل التمرين 5.5.

(أ) $2E_k/mc^2$ : أي $1.96$ و $3.9$ و $17.6$ و $59$ — وهي عبثية بعد الأولى. (ب) $1 - (1 + E_k/mc^2)^{-2}$ : أي $0.74$ و $0.89$ و $0.990$ و $0.9989$ . (ج) $8.4/0.99946c = 28.0\,\mathrm{ns}$ ؛ في حين أن سرعة نيوتن $7.7c$ كانت ستعطي $3.7\,\mathrm{ns}$ . (د) أثبت المسعّر أن الإلكترونات حملت فعلًا كامل $15\,\mathrm{MeV}$ إلى الهدف: فالطاقة كانت كلها هناك، ومع ذلك كفّت السرعة عن النموّ — فالشغل صار يشتري كمية حركة وطاقة، لا سرعة.

تمرين 5.6 ★★

يتفكك البيون المشحون في السكون: $\pi^+ \to \mu^+\nu$ مع $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ و $m_\mu c^2 = 105.7\,\mathrm{MeV}$ و $m_\nu \approx 0$ . (أ) بيّن أن $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2$ وقدّرها. (ب) احسب طاقة الميون الحركية وسرعته. (ج) احسب طاقة النيوترينو. (د) في الطيران عند $\gamma_\pi = 50$ ، ما أكبر وأصغر طاقة مخبرية لميون التفكك (تفكك إلى الأمام وإلى الخلف)؟

حل

حل التمرين 5.6.

(أ) $m_\pi c^2 = \sqrt{p^2c^2 + m_\mu^2c^4} + pc$ ؛ نعزل الجذر ونربّع: $pc = (m_\pi^2 - m_\mu^2)c^4/2m_\pi c^2 = (139.6^2 - 105.7^2)/(2 \times 139.6) = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (ب) $E_\mu = \sqrt{29.8^2 + 105.7^2} = 109.8\,\mathrm{MeV}$ : ومنه $E_k = 4.1\,\mathrm{MeV}$ و $\beta = 29.8/109.8 = 0.27$ . (ج) $E_\nu = pc = 29.8\,\mathrm{MeV}$ . (د) بالتعزيز: $E_{\text{مخبر}} = \gamma(E^* \pm \beta p^*c)$ مع $\beta \approx 1$ : أي بين $50 \times (109.8 - 29.8) = 4.0\,\mathrm{GeV}$ و $50 \times (109.8 + 29.8) = 7.0\,\mathrm{GeV}$ .

تمرين 5.7 ★★

الكتلة الثابتة في العمل. (أ) فوتونان طاقة كل منهما $200\,\mathrm{MeV}$ يطيران بزاوية $60^\circ$ بينهما: احسب الكتلة الثابتة للزوج. (ب) يتفكك بيون متعادل ( $m_{\pi^0}c^2 = 135\,\mathrm{MeV}$ ) إلى فوتونين: فما الكتلة الثابتة لزوج الفوتونين، في كل مرجع؟ (ج) اشرح كيف “تكتشف” تجربة جسيمًا بوصفه نتوءًا في توزيع الكتلة الثابتة لنواتج تفككه. (د) فوتونان متساويا الطاقة يطيران متوازيين تمامًا: فما الكتلة الثابتة؟ وماذا يقول هذا عن مرجع سكون حزمة ضوء؟

حل

حل التمرين 5.7.

(أ) من أجل كمّين عديمي الكتلة، $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta) = 2 \times 200^2 \times \tfrac12$ : ومنه $M = 200\,\mathrm{MeV}/c^2$ . (ب) هي $m_{\pi^0}$ بالضبط — فالكتلة الثابتة هي كتلة الجسيم، في كل مرجع. (ج) نحسب $M$ لكل زوج فوتونات في الحدث: فالأزواج العشوائية تنتشر انتشارًا سلسًا، أما بنات جسيم حقيقية فتتكدس عند كتلته — وهو النتوء. (د) عند $\theta = 0$ يكون $M = 0$ ؛ فحزمة ضوء متوازية لا مرجع سكون لها — إذ تتحرك بالسرعة $c$ ككلّ، كما يفعل كل فوتون منها.

تمرين 5.8 ★★

مسك دفاتر المصادم الهدروني الكبير (بروتونات $E = 6.8\,\mathrm{TeV}$ ). (أ) احسب $\gamma$ و نقص السرعة $c - v$ (استعمل $c - v \approx c/2\gamma^2$ ). (ب) احسب تواتر الدوران على الحلقة $27\,\mathrm{km}$ وعدد اللفات في الثانية. (ج) احسب الطاقة المخزَّنة في حزمة من $3 \times 10^{14}$ بروتون، بالكيلوغرام من مادة تي إن تي ( $4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ). (د) احسب الكتلة المكافئة للطاقة الحركية للحزمتين، بالميكروغرام — أي المادة الموشكة على الصنع.

حل

حل التمرين 5.8.

(أ) $\gamma = 6.8 \times 10^{12}/9.38 \times 10^{8} = 7250$ ؛ و $c - v \approx c/2\gamma^2 = 2.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) $f = v/L \approx 3 \times 10^{8}/27000 = 11.1\,\mathrm{kHz}$ : أي أحد عشر ألف لفة في الثانية. (ج) $3 \times 10^{14} \times 6.8\,\mathrm{TeV} = 3.3 \times 10^{8}\,\mathrm{J} \approx 78\,\mathrm{kg}$ من مادة تي إن تي — في حزمة أرقّ من شعرة. (د) $2 \times 3.3 \times 10^{8}/9 \times 10^{16} \approx 7\,\text{µ}\mathrm{g}$ : وهو مخزون المادة الموشكة على الوجود.

تمرين 5.9 ★★

فوتونات تتصادم. (أ) بيّن أن فوتونًا واحدًا في الخلاء لا يمكن أن يتفكك إلى زوج إلكترون–بوزيترون، مهما تكن طاقته (استعمل الثابت). (ب) في مواجهة فوتون ثانٍ طاقته $\epsilon$ وجهًا لوجه، بيّن أن خلق الزوج يقتضي $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (ج) فوتون طاقته $511\,\mathrm{keV}$ يحتاج إلى أيّ شريك؟ وأشعة سينية طاقتها $50\,\mathrm{keV}$ ؟ (د) الكون مملوء بضوء النجوم وبإشعاع الخلفية الكونية الميكروي: فبم يتنبأ السؤال (ب) في شأن مدى أشعة $\gamma$ ذات التيرا إلكترون-فولط عبر الفضاء بين المجرّات؟

حل

حل التمرين 5.9.

(أ) الكتلة الثابتة لفوتون هي $0$ ؛ وكتلة زوج $e^+e^-$ لا تقلّ عن $2m_{\text{e}}c^2$ . ولا يمكن أن يتغير الثابت في تفكك معزول: إذًا فهو ممنوع. (وبالمثل: لا يمكن أن تتوازن كمية الحركة في أيّ مرجع.) (ب) وجهًا لوجه، $M^2c^4 = 4E\epsilon$ ؛ وخلق الزوج يقتضي $Mc^2 \ge 2m_{\text{e}}c^2$ ، أي $E\epsilon \ge (m_{\text{e}}c^2)^2$ . (ج) فوتون آخر طاقته $511\,\mathrm{keV}$ ؛ ومن أجل $50\,\mathrm{keV}$ ، شريك طاقته $0.511^2/0.05 = 5.2\,\mathrm{MeV}$ . (د) فوتون بالتيرا إلكترون-فولط يلاقي عتبة $(m_{\text{e}}c^2)^2/E \sim 0.3\,\mathrm{eV}$ على ضوء النجوم العادي: فالسماء نفسها تمتصّ أشعة $\gamma$ ذات التيرا إلكترون-فولط على المسافات الكونية — فالكون ليس شفافًا عند كل الطاقات.

تمرين 5.10 ★★★

كومبتون برباعيات كمية الحركة. فوتون طول موجته $\lambda$ يصدم إلكترونًا ساكنًا وينتثر بالزاوية $\theta$ . (أ) اكتب انحفاظ رباعي كمية الحركة واعزل ثابت الإلكترون النهائي. (ب) استنتج

\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_{\text{e}}c}\,(1 - \cos\theta) .

(ج) قدّر $h/m_{\text{e}}c$ والانزياح الأقصى؛ ولماذا يكون الأثر غير مرئي بالضوء المرئي وحاسمًا في الأشعة السينية؟ (د) ماذا أثبت قياس كومبتون سنة 1923 عن الضوء ولم يكن الأثر الكهرضوئي قد أثبته؟

حل

حل التمرين 5.10.

(أ) $P_{e'} = P_\gamma + P_e - P_{\gamma'}$ ؛ نربّع الطرفين (بالثوابت): $m_{\text{e}}^2c^4 = m_{\text{e}}^2c^4 + 2P_\gamma\! \cdot\!P_e - 2P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e - 2P_\gamma\!\cdot\!P_{\gamma'}$ . (ب) ومع $P_\gamma\!\cdot\!P_e = E m_{\text{e}}$ و $P_{\gamma'}\!\cdot\!P_e = E'm_{\text{e}}$ و $P_\gamma\!\cdot\! P_{\gamma'} = EE'(1 - \cos\theta)/c^2$ : $m_{\text{e}}c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta)$ ، وهي بأطوال الموجات ( $E = hc/\lambda$ ) الانزياح المذكور. (ج) $h/m_{\text{e}}c = 2.43\,\mathrm{pm}$ ، وأقصى انزياح $4.9\,\mathrm{pm}$ : أي جزء من $10^5$ من الضوء المرئي (فلا يُرى)، وبضعة بالمئة من أشعة سينية طولها $100\,\mathrm{pm}$ (فتُقاس). (د) أثبت أن الفوتون يصطدم كما تصطدم كرة بلياردو — حاملًا كمية حركة $h/\lambda$ تُتبادل في أحداث مفردة، لا مجرد طاقة في كتل.

تمرين 5.11 ★★★

نهاية طيف الأشعة الكونية. يستحمّ الكون في فوتونات ميكروية طاقتها النموذجية $\epsilon = 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ . وبروتون طاقته $E$ يصطدم بأحدها وجهًا لوجه يمكن أن يُثار إلى رنين $\Delta$ (مع $m_\Delta c^2 = 1232\,\mathrm{MeV}$ )، فيخسر طاقة في كل مرة. (أ) بيّن أن شرط العتبة هو تقريبًا $4E\epsilon = (m_\Delta^2 - m_{\text{p}}^2)c^4$ . (ب) احسب طاقة العتبة $E$ . (ج) فوق تلك العتبة يصير الكون معتمًا أمام البروتونات وراء نحو $100\,\mathrm{Mly}$ : فبم يتنبأ ذلك في شأن طيف الأشعة الكونية المشاهَد (قطع غرايزن–زاتسيبين–كوزمين)؟ (د) سُجّلت أشعة كونية طاقتها $3 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ — وهي جسيمات “يا إلهي”: فماذا يقتضي وجودها من مصادرها؟

حل

حل التمرين 5.11.

(أ) $M^2c^4 = m_{\text{p}}^2c^4 + 4E\epsilon$ وجهًا لوجه (والبروتون فوق نسبي)؛ والعتبة عند $M = m_\Delta$ . (ب) $E = (1232^2 - 938^2)\,\mathrm{MeV}^{2}/(4 \times 6 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}) \approx 2.7 \times 10^{20}\,\mathrm{eV}$ من أجل الفوتون المتوسط — ويهبط الذيل الحراري لخلفية الميكروويف بالقطع الفعّال إلى $\sim6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ . (ج) تخسر البروتونات فوق القطع طاقتها لصالح $\Delta$ في غضون $\sim10^{8}\,\mathrm{ly}$ : فينبغي أن ينتهي الطيف قرب $6 \times 10^{19}\,\mathrm{eV}$ من أجل المصادر البعيدة — وهو الكبت المشاهَد. (د) يجب أن تكون مصادرها مسرّعات استثنائية وقريبة كونيًا — داخل عنقودنا العظيم — وهذا جزء من سبب استمرار البحث عن أصلها.

تمرين 5.12 ★★★

صاروخ الفوتونات. صاروخ كتلته الابتدائية $m_{\text{i}}$ يقذف عادمه حزمةَ ضوء موجَّهة فيبلغ السرعة $\beta c$ . (أ) بانحفاظ الطاقة وكمية الحركة بين البداية والنهاية، بيّن أن

\frac{m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}} = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} = \eu^{\varphi} ,

وهو أسّ السرعة الزائدية — أي معادلة تسيولكوفسكي النسبية بأفضل عادم ممكن. (ب) ما نسبة الكتلتين لبلوغ $0.9c$ ؟ ولبلوغ $0.9c$ ثم التوقف عند الوجهة؟ (ج) لا بدّ من صنع الحزمة بطريقة ما: فبإفناء المادة والمادة المضادّة بمردود تامّ، كم كيلوغرامًا من المادة المضادّة لكل كيلوغرام من الحمولة في رحلة ذهاب واحدة عند $0.9c$ ؟ (د) إنتاج العالم من مضادات البروتون نانوغرامات في السنة: استنتج، في جملة واحدة، حكمًا على صواريخ الفوتونات.

حل

حل التمرين 5.12.

(أ) الطاقة: $m_{\text{i}}c^2 = \gamma m_{\text{f}}c^2 + E_\ell$ ؛ وكمية الحركة: $\gamma m_{\text{f}}\beta c = E_\ell/c$ . وبحذف $E_\ell$ : $m_{\text{i}} = \gamma(1 + \beta)m_{\text{f}} = m_{\text{f}}\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}$ . (ب) $\sqrt{19} = 4.4$ ؛ والتسريع والكبح يربّعانها: أي $19$ . (ج) يجب أن تكون الكتلة المستهلكة $m_{\text{i}} - m_{\text{f}} = 3.4\,m_{\text{f}}$ وقودًا مُفنى، نصفه مادة مضادة: أي $1.7\,\mathrm{kg}$ من المادة المضادّة لكل كيلوغرام مسلَّم (ذهابًا بلا كبح). (د) مع إنتاج عالمي بالنانوغرام في السنة، تبقى صواريخ الفوتونات حسابًا لا هندسة.

اكتشاف المادة المضادّة (كارل د. أندرسون، 1932، ملك عام): بوزيترون واحد يصعد عبر صفيحة الرصاص في غرفة الغيوم، منحنيًا في الاتجاه الخطأ بالنسبة إلى إلكترون وأضيق مما ينبغي لبروتون — أي دفتر E = mc2 ملتقطًا وهو يجري بالمقلوب. — اكتشاف المادة المضادّة (كارل د. أندرسون، 1932، ملك عام): بوزيترون واحد يصعد عبر صفيحة الرصاص في غرفة الغيوم، منحنيًا في الاتجاه الخطأ بالنسبة إلى إلكترون وأضيق مما ينبغي لبروتون — أي دفتر $E = mc^2$ ملتقطًا وهو يجري بالمقلوب.

5.6 مسألة: صنع المادة — مضاد البروتون والبيفاترون

مسألة 5.1

مسألة نهاية الأسبوع — كيف سعّر انحفاظ كمية الحركة العالمَ المضاد

اقتضت معادلات ديراك، منذ 1931، أن يكون للبروتون توأم مرآوي معاكس الشحنة. وصنع واحد منه كان يعني شراء طاقة سكونه بطاقة الحزمة — وقد حدّد انحفاظ كمية الحركة الثمن. وتسعّر هذه المسألة ذلك الثمن، وتصمّم الآلة التي دفعته، وتتابع اكتشاف 1955. المعطيات: $m_{\text{p}}c^2 = 938.3\,\mathrm{MeV}$ ؛ وتنحفظ الشحنة والعدد الباريوني (وهو $+1$ للبروتونات والنترونات، و $-1$ لمضادات البروتون) في كل تفاعل.

الجزء الأول — عدّة رباعي كمية الحركة.

من أجل جسيم واحد، بيّن أن $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ انطلاقًا من تعريفَي $E$ و $\vect p$ .
من أجل جملة، لماذا يكون $E_{\text{كلي}}^2 - p_{\text{كلي}}^2c^2$ هو نفسه في كل المراجع، وبم يساوي في مرجع مركز كميات الحركة؟
حزمة بروتونات طاقتها $E$ تصدم بروتونًا ساكنًا: بيّن أن $M^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2E\,m_{\text{p}}c^2$ .
تحقق من الحالتين الحديتين: عند الطاقة المنخفضة $Mc^2 \to 2m_{\text{p}}c^2$ ؛ وعند الطاقة العالية $Mc^2 \approx \sqrt{2E\,m_{\text{p}}c^2}$ — أي قانون الجذر التربيعي.
لا يُسمح بالتفاعل إلا إذا بلغ $Mc^2$ مجموع كتل السكون للنواتج، مع سكون النواتج كلها في مرجع مركز كميات الحركة عند العتبة: برّر هذا الشرط الأخير.
لماذا لا يمكن أبدًا استعادة الطاقة الحركية للنواتج في المخبر من أجل خلق الجسيمات على هدف ثابت؟

الجزء الثاني — تسعير مضاد البروتون.

في تصادمات $p + p$ ، يجب على أرخص تفاعل يصنع مضاد بروتون $\bar p$ أن يصنع أيضًا بروتونًا إضافيًا: اكتبه، وبرّره بالشحنة والعدد الباريوني.
بيّن أن العتبة تقتضي $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ .
استنتج طاقة الحزمة اللازمة $E = 7m_{\text{p}}c^2$ والطاقة الحركية $T = 6m_{\text{p}}c^2$ ؛ وقدّر $T$ .
عند العتبة، أيّ نسبة من الطاقة الحركية للحزمة صارت فعلًا كتلة سكون جديدة (منها $2m_{\text{p}}c^2$ )؟ وأين الباقي؟
في مصادم $p$ – $p$ وجهًا لوجه، أيّ طاقة حركية لكل حزمة يقتضيها التفاعل نفسه؟ قارن التصميمين.
سنة 1954 لم يكن ثمة مصادم (فالحزم كانت أرقّ من أن تتلاقى): فأيّ واقعة عملية فرضت اختيار الهدف الثابت، وكم كلّف ذلك من طاقة الحزمة؟

الجزء الثالث — تصميم البيفاترون. بلغت الآلة المبنية في بيركلي $T = 6.2\,\mathrm{GeV}$ — أي فوق العتبة براحة — بمجالات ثنائيات قطب قدرها $B = 1.56\,\mathrm{T}$ .

احسب طاقة الحزمة الكلية وكمية حركتها عند الطاقة القصوى.
احسب نصف قطر الثني $r = p/qB$ وقارنه بالقيمة $15.2\,\mathrm{m}$ للآلة.
احسب سرعة البروتون وتواتر الدوران على الحلقة $2\pi r$ .
عند الحقن تصل البروتونات بطاقة حركية $10\,\mathrm{MeV}$ : احسب سرعتها، وفسّر لماذا وجب أن يمسح تواتر التسريع في أثناء كل دورة (فأيّ مقدارين يتغيران كلما نمت $E$ ؟).
بكسب نحو $1.5\,\mathrm{kV}$ في كل لفة، كم لفة تلزم وكم تستغرق دورة تسريع واحدة؟
جاء اسم “البيفاترون” من BeV، أي مليارات الإلكترون-فولط: اذكر في سطر واحد أيّ فيزياء حدّدت رقم التصميم عند $6$ وكسر من هذه المليارات.

الجزء الرابع — الاكتشاف، 1955.

يثني مغنط كل مرشَّح على دائرة: فسّر لماذا ينتقي هذا الجسيمات بحسب كمية الحركة ( $r = p/qB$ )، لا بحسب الطاقة أو السرعة — ولماذا تبقى حزمة منتقاة بكمية الحركة خليطًا من الأصناف.
أنتجت الحزمة على هدف نحاسي سيولًا من البيونات السالبة ( $m_\pi c^2 = 139.6\,\mathrm{MeV}$ ) اختبأت بينها بضعة مضادات بروتون. وانتقى المطياف السوالب ذات كمية الحركة $p = 1.19\,\mathrm{GeV}/c$ : احسب سرعة مضاد البروتون وسرعة البيون عند كمية الحركة تلك.
على مسار طيران طوله $12\,\mathrm{m}$ ، احسب زمنَي الطيران: فأيّ تمييز زمني اقتضاه الاكتشاف؟
استعملت بصمة ثانية مستقلة عدّادات تشيرنكوف، لا تشتغل إلا فوق عتبة سرعة: فأيّ جسيم رُتّب ليشغّلها، ولماذا تهمّ الوفرة في اكتشاف؟
أحصى تشيمبرلين وسيغري نحو مضاد بروتون واحد لكل $44\,000$ بيون: فلماذا ضمنت حجة العتبة أن يبقى المعدل ضئيلًا حتى فوق العتبة؟
يلاقي مضاد البروتون في النهاية بروتونًا فيفنيان: فكم من الطاقة تتحرر في كل حدث، وإلى ماذا، نموذجيًا؟
لخّص النتيجة الموسومة: سعّر انحفاظ رباعي كمية الحركة مضادَ البروتون عند $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ على هدف ثابت؛ ودفعه سنكروترون طاقته $6.2\,\mathrm{GeV}$ ونصف قطره $15\,\mathrm{m}$ ، فصار العالم المضاد واقعة مخبرية — وجائزة نوبل لسنة 1959.

حل

حل المسألة 5.1.

1. $E^2 - p^2c^2 = \gamma^2m^2c^4(1 - \beta^2) = m^2c^4$ . 2. يتحوّل $E_{\text{كلي}}$ و $\vect p_{\text{كلي}}$ كما يتحوّل $E$ و $\vect p$ لجسيم واحد (فهما مجموعان)، فيعطي الجبر نفسه مقدارًا ثابتًا؛ وحيث $\vect p_{\text{كلي}} = \vect 0$ يكون مربع الطاقة الكلية: $Mc^2 = E_{\text{CM}}$ . 3. $(E + m_{\text{p}}c^2)^2 - p^2c^2 = m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2 + m_{\text{p}}^2c^4$ . 4. $E \to m_{\text{p}}c^2$ يعطي $M = 2m_{\text{p}}$ ؛ و $E \gg m_{\text{p}}c^2$ يعطي $Mc^2 \to \sqrt{2Em_{\text{p}}c^2}$ . 5. أيّ حركة نسبية للنواتج تضيف طاقة حركية في مرجع مركز كميات الحركة فوق كتل سكونها؛ وأصغر $Mc^2$ — أي العتبة — يتركها كلها ساكنة بعضها بالنسبة إلى بعض. 6. كمية الحركة المخبرية $\vect p_{\text{كلي}} \neq \vect 0$ يجب أن تنجو من التصادم: فالنواتج محكوم عليها بالحركة، وطاقتها الحركية محبوسة بعيدًا عن صنع الكتلة. 7. $p + p \to p + p + p + \bar p$ : فالشحنة $+2 \to +2$ ؛ والعدد الباريوني $+2 \to 1 + 1 + 1 - 1 = +2$ . أما صنع $\bar p$ وحده، أو مع أقلّ من باريون إضافي كامل، فيخرق أحد القانونين. 8. أربع كتل بروتونية ساكنة بعضها بالنسبة إلى بعض: $Mc^2 = 4m_{\text{p}}c^2$ . 9. $16m_{\text{p}}^2c^4 = 2m_{\text{p}}^2c^4 + 2Em_{\text{p}}c^2$ : ومنه $E = 7m_{\text{p}}c^2$ و $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.63\,\mathrm{GeV}$ . 10. كتلة السكون الجديدة $2m_{\text{p}}c^2$ من أصل $T = 6m_{\text{p}}c^2$ — أي الثلث؛ ويطير الثلثان الآخران طاقةً حركية للنواتج، يحميهما انحفاظ كمية الحركة. 11. وجهًا لوجه، $Mc^2 = 2(T' + m_{\text{p}}c^2) = 4m_{\text{p}}c^2$ : ومنه $T' = m_{\text{p}}c^2 = 0.94\,\mathrm{GeV}$ لكل حزمة — أي أقلّ ست مرات من حزمة الهدف الثابت، وأقلّ اثنتي عشرة مرة في الطاقة الحركية الكلية. 12. كانت حزم الخمسينيات أرقّ من أن تتصادم بعضها ببعض على نحو مفيد؛ في حين يقدّم هدف صلب $10^{22}$ بروتونًا في السنتيمتر المكعب. والثمن: $5.6\,\mathrm{GeV}$ بدل $2 \times 0.94\,\mathrm{GeV}$ . 13. $E = 6.2 + 0.94 = 7.14\,\mathrm{GeV}$ ؛ و $pc = \sqrt{7.14^2 - 0.938^2} = 7.08\,\mathrm{GeV}$ . 14. $p = 7.08 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-19}/3 \times 10^{8} = 3.8 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : ومنه $r = p/qB = 15.1\,\mathrm{m}$ — أي الآلة كما بُنيت. 15. $\beta = pc/E = 0.991$ ؛ والمدار $2\pi r = 95\,\mathrm{m}$ : ومنه $f = 3.1\,\mathrm{MHz}$ . 16. عند $10\,\mathrm{MeV}$ ، $\beta = 0.145$ : ومنه $f = 0.46\,\mathrm{MHz}$ . وكلما تسلقت الطاقة تغيّرت السرعة (ومنها $f$ ) وكمية الحركة (ومنها المجال اللازم عند نصف قطر ثابت) معًا: فوجب أن يرتفع المجال والتواتر الراديوي معًا — وهي الحيلة التي تعرّف السنكروترون. 17. $6.19 \times 10^{9}/1500 \approx 4 \times 10^{6}$ لفة؛ وبتواتر متوسط من مرتبة الميغاهرتز، تكون دورة التسريع من رتبة ثانية أو ثانيتين. 18. عتبة مضاد البروتون $T = 6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ ، مع هامش: فحسابات هذه المسألة هي حرفيًا ما اختيرت من أجله طاقة الآلة — واسمها. 19. لا تحوي العلاقة $r = p/qB$ أيّ كتلة: فيثني المغنط كميات الحركة المتساوية ثنيًا واحدًا، مهما يكن الجسيم — ولذلك تبقى الحزمة المنتقاة خليطًا من البيونات والكاونات و(نادرًا) مضادات البروتون، كلها عند $1.19\,\mathrm{GeV}/c$ . 20. من أجل $\bar p$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.938^2} = 1.51\,\mathrm{GeV}$ و $\beta = 0.79$ . ومن أجل $\pi^-$ : $E = \sqrt{1.19^2 + 0.140^2} = 1.20\,\mathrm{GeV}$ و $\beta = 0.993$ . 21. $t_{\bar p} = 12/(0.785c) = 51\,\mathrm{ns}$ ؛ و $t_\pi = 40\,\mathrm{ns}$ : ففجوة $11\,\mathrm{ns}$ اقتضت توقيتًا بالنانوثانية — وهو متاح، بالكاد، سنة 1955. 22. ضُبطت العدّادات لتشتغل على البيونات السريعة وتبقى مظلمة أمام مضادات البروتون البطيئة (أي نقض بالسرعة)؛ ومع إبرة مقدارها $1$ من $44000$ ، لم يكن بوسع غير بصمتين مستقلتين (زمن الطيران وعتبة تشيرنكوف) أن يستبعد التوافقات الزائفة. 23. فوق العتبة بقليل تولد النواتج ساكنةً تقريبًا بعضها بالنسبة إلى بعض: فلا يكاد يكون للتفاعل فضاء طور، في حين أن إنتاج البيونات، وهو فوق عتبته بكثير، غزير — فالندرة كانت مضمونة بالتحريك نفسه الذي حدّد الثمن. 24. $2m_{\text{p}}c^2 = 1.9\,\mathrm{GeV}$ في كل إفناء، وتذهب نموذجيًا إلى حفنة من البيونات التي تتفكك لاحقًا إلى فوتونات وميونات ونيوترينوات. 25. سعّر انحفاظ رباعي كمية الحركة مضادَ البروتون عند $6m_{\text{p}}c^2 = 5.6\,\mathrm{GeV}$ على هدف ثابت؛ ودفعه بيفاترون طاقته $6.2\,\mathrm{GeV}$ ونصف قطره $15.1\,\mathrm{m}$ ؛ ووجد زمن الطيران ونقض تشيرنكوف جسيمًا واحدًا من العالم المضاد لكل $44000$ منتحل — وصدّقت جائزة نوبل لسنة 1959 هذا الدفتر.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد