الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

3ميكانيك الأوساط المتصلة والمرونة

ألصق أذنك بسكة فولاذية طويلة بينما يطرقها عامل بعيد: تسمع رنّتين — واحدة عبر الفولاذ وأخرى عبر الهواء، بينهما ثانية أو أكثر. فالصخر والفولاذ والعظم والمطاط تحمل القوى والأمواج كما يحمل المائع الضغط، لكن معها ما ليس لأيّ مائع: إذ تقاوم تغيرات الشكل، لا تغيرات الحجم وحدها. وقد بنى كتاب السنة الثانية ميكانيك الموائع على فكرتين، هما الجسيم المادي ومجال الضغط؛ وهذا الفصل يمدّهما إلى الأجسام الصلبة. فيصير انتقال كل جسيم مجالًا، ويصير تشويهه الموضعي تشوّهًا، وتصير القوى الداخلية إجهادًا، وبينهما تقف بطاقة هوية الجسم الصلب، أي قانون هوك بثابتَي مرونته. والمردود يمتدّ من اليومي — لماذا تستطيل الكابلات، ولماذا تنفجر القوارير، وكيف ينحني لوح الغطس — إلى الكوكبي: فالزلازل ترسل عبر الأرض صنفَي الموجة المرنة اللذين يتنبأ بهما هذا الفصل بالضبط، وكانت أزمنة وصولهما أول إصغاء لباطن كوكبنا.

3.1 التشوّه: وصف التغير في الشكل

تعريف 3.1 (مجال الانتقال وموتّر التشوّه)

حين يتشوّه جسم صلب، ينتقل الجسيم الذي كان في $\vect r$ إلى $\vect r + \vect u(\vect r)$ : فالمجال $\vect u$ هو مجال الانتقال. ومن أجل التشوّهات الصغيرة يُقاس التشويه الموضعي بواسطة موتّر التشوّه، وهو الجدول المتناظر

\varepsilon_{ij} = \frac12\Big( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .

والمركبة القطرية $\varepsilon_{xx}$ هي الاستطالة النسبية للمادة على المنحى $x$ (وهي عديمة الأبعاد، ومقدارها مثلًا $10^{-3}$ في كابل فولاذي في الخدمة)؛ أما المركبة غير القطرية $\varepsilon_{xy}$ فهي نصف انغلاق الزاوية بين المنحيين الماديين $x$ و $y$ — أي قصّ. وأثر الموتّر هو التغير النسبي في الحجم، أي التمدد الحجمي:

\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .

مثال 3.2 (ثلاثة تشوّهات أولية)

تمدد منتظم $\vect u = \alpha\vect r$ : فيكون $\varepsilon_{ij} = \alpha\,\delta_{ij}$ ، والتغير الحجمي $3\alpha$ ، ولا قصّ. وقصّ بسيط $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ : فيكون $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ وتنعدم المركبات القطرية كلها — فيتغير الشكل دون الحجم. ودوران صلب $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ : فيكون $\varepsilon_{ij} = 0$ تطابقيًا — إذ إن الجزء المتخالف التناظر من $\partial u_i/\partial x_j$ ، الذي تطرحه المناظرة، هو بالضبط الجزء الذي يدير من دون أن يشوّه. فالتشوّه لا يقيس إلا التشوّه.

لا يرى موتّر التشوّه إلا التشوّه الحقيقي: الاستطالة (المركبات القطرية) والقصّ (المركبات غير القطرية) — ولا يرى الدوران الصلب البتة.

3.2 الإجهاد: وصف القوى الداخلية

تعريف 3.3 (الشدّ وموتّر الإجهاد)

اقطع الجسم الصلب، بالفكر، على سطح صغير $\dd S$ ناظمه $\vect n$ : تجذب المادة الواقعة في جهة $+\vect n$ الجهة الأخرى بقوة $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — وهي شعاع الشدّ. وتتعلق هذه القوة خطيًا بالناظم $\vect n$ (كوشي)، فيرمّزها موتّر الإجهاد $\sigma_{ij}$ :

\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,

مقيسًا بالباسكال. فالمركبة $\sigma_{xx}$ جذب ( $> 0$ : شدّ) أو دفع ( $< 0$ : ضغط) عبر وجه ناظمه $x$ ؛ والمركبة $\sigma_{xy}$ قوة على المنحى $x$ يحملها وجه ناظمه $y$ — أي إجهاد قصّ. والمائع الساكن هو الحالة الخاصة $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$ : فالضغط يدفع كل وجه بالمقدار نفسه ولا يقصّ أيّ وجه، ولهذا تسيل الموائع — إذ لا تستطيع حمل قصّ ساكن.

قضية 3.4 (التوازن والتناظر)

في جسم صلب متوازن تحت قوة حجمية $\vect f$ في وحدة الحجم (مثل $\rho\vect g$ )،

\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0

في كل نقطة داخلية؛ ويكون موتّر الإجهاد متناظرًا، أي $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ .

برهان جزئي. نوازن القوى على مكعب صغير ضلعه $a$ : فتختلف قوى الشدّ على الوجهين الناظميين للمنحى $x$ بالمقدار $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ في وحدة المساحة، وكذلك من أجل الزوجين الآخرين؛ فتكون القوة السطحية المحصلة في وحدة الحجم $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ ، ويجب أن تقاصّ $f_i$ — وهي المحاسبة نفسها التي أعطت $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ في سكون الموائع في كتاب السنة الأولى. وأما التناظر: فعزم إجهادات القصّ حول مركز المكعب هو $(\sigma_{xy} - \sigma_{yx})a^3$ في المرتبة الغالبة، بينما يتغير عزم عطالته وفق $a^5$ ؛ فإجهاد غير متناظر يجعل المكعبات الصغيرة تدور بسرعة لانهائية. أما الحجة المتصلة الكاملة فمُسلَّم بها. ∎

مركبات الشدّ الثلاث على وجه واحد من مكعب مادي: واحدة ناظمية (شدّ أو ضغط) واثنتان مماسّيتان (قصّ). وتؤلف المركبات التسع على الأوجه الثلاثة موتّر الإجهاد.

3.3 قانون هوك وثوابت المرونة

مبرهنة 3.5 (المرونة الخطية المتماثلة المناحي)

من أجل التشوّهات الصغيرة، يستجيب جسم صلب متماثل المناحي استجابة خطية: فالإجهاد يتناسب مع التشوّه،

\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} + \varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,

بثابتين ماديين هما معاملا لامي $\lambda$ و $\mu$ (ويُكتب $\mu$ أيضًا $G$ ، وهو معامل القصّ). وفي تجربة الشدّ البسيط — قضيب يُجذب على المنحى $x$ وجانباه حرّان — يأخذ القانون نفسه صيغة المهندس

\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad \varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,

فتُعرَّف معامل يونغ $E$ (الصلابة أمام الاستطالة) و نسبة بواسون $\nu$ (التقلص الجانبي)، مع

\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad \lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .

وهذا هو قول هوك “كما الاستطالة تكون القوة” (1678)، مرقّى إلى موتّر. وهو صالح حتى حدّ مرونة يتوقف على المادة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 3.6 (رتب المقادير)

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ في الفولاذ، و $70\,\mathrm{GPa}$ في الألمنيوم وزجاج النوافذ، و $50\,\mathrm{GPa}$ في الغرانيت، و $15\,\mathrm{GPa}$ في العظم والخرسانة، و $10\,\mathrm{GPa}$ في الخشب على منحى الليف، وبضعة ميغاباسكالات فقط في المطاط — أي خمس رتب من المقدار، وهي المسافة بين جسر ورباط مطاطي. وتقع $\nu$ بين $0$ (الفلين، تقريبًا) و $1/2$ (المطاط): فالقيمة $\nu = 1/2$ تعني تشوّهًا يحفظ الحجم، والقيمة $\nu \approx 0.3$ نموذجية في الفلزات. وتشوّه قدره $10^{-3}$ في الفولاذ يعني حقًّا $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ ، وهو قريب من إجهاد الخضوع في الأصناف العادية: فالمرونة اليومية تعيش دون جزء من ألف.

مثال 3.7 (كابل مصعد)

كابل فولاذي طوله $60\,\mathrm{m}$ ومقطعه $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ يحمل مقصورة كتلتها $1000\,\mathrm{kg}$ : فيكون $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$ و $\varepsilon = \sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$ ، والاستطالة $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — ويسلك الكابل سلوك نابض صلابته $k = ES/L = 6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : والصيغة $k = ES/L$ هي الطريقة التي يعيد بها الوسط المتصل نوابض كتاب السنة الأولى.

قضية 3.8 (الطاقة المرنة)

يخزّن جسم صلب مشوَّه، في وحدة الحجم، كثافة الطاقة

w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij} \qquad\text{(شدّ بسيط: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 = \sigma^2/2E\text{)} ,

وهي المقابل الثلاثي البعد للمقدار $\tfrac12 kx^2$ .

برهان جزئي. في الشدّ البسيط، يؤدي رفع الإجهاد من $0$ إلى $\sigma$ في وحدة الحجم الشغل $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' = \int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12 E\varepsilon^2$ — وهي المساحة تحت خط الإجهاد–التشوّه، تمامًا كما في نابض. أما الشكل التربيعي العام فينتج بتراكب المركبات؛ وهو مُسلَّم به. ∎

على اليسار: تجربة الشدّ تعرّف E (الاستطالة النسبية) و (الترقق الجانبي، مضخَّمًا). وعلى اليمين: منحني الإجهاد–التشوّه لفلز — مرونة خطية حتى حدّ المرونة، ثم سيلان لدن لا رجعة فيه، ثم كسر. ويعيش هذا الفصل على الجزء المستقيم. — على اليسار: تجربة الشدّ تعرّف $E$ (الاستطالة النسبية) و $\nu$ (الترقق الجانبي، مضخَّمًا). وعلى اليمين: منحني الإجهاد–التشوّه لفلز — مرونة خطية حتى حدّ المرونة، ثم سيلان لدن لا رجعة فيه، ثم كسر. ويعيش هذا الفصل على الجزء المستقيم.

طريقة 3.9 (حل مسائل المرونة الصغيرة)

(1) نعيّن الهندسة والتحميل؛ ونخمّن أيّ مركبات الإجهاد غير معدومة (قضيب مجذوب: $\sigma_{xx}$ وحدها؛ سلك مفتول: قصّ؛ غلاف مضغوط: شدّ مماسّي). (2) نكتب موازنة القوى على قطعة مختارة جيدًا — نصف أسطوانة أو شريحة أو مكعب. (3) نحوّل الإجهاد إلى تشوّه بقانون هوك، والتشوّه إلى انتقال بالمكاملة. (4) نحسب الطاقات بالمقدار $w = \sigma^2/2E$ (أو $\sigma^2/2G$ في القصّ). (5) نتحقق دائمًا من بقاء التشوّه صغيرًا والإجهاد دون حدّ المرونة — وإلا كان الجواب يصف جسمًا صلبًا لم يعد موجودًا.

3.4 الأمواج المرنة

قضية 3.10 (صوتا الجسم الصلب)

في جسم صلب مرن غير محدود كثافته $\rho$ ، تنتشر الاضطرابات الصغيرة على شكل صنفين مستقلين من الأمواج: أمواج طولية (P) تهتز فيها المادة على منحى الانتشار بالانضغاط والتمدد، وسرعتها

c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,

وأمواج مستعرضة (S) تنقصّ فيها المادة جانبيًا، وسرعتها

c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .

وفي المائع $\mu = 0$ : فلا أمواج S — إذ لا يمكن نقل القصّ — وترجع سرعة P إلى سرعة الصوت في كتاب السنة الثانية. ومن أجل $\nu = 1/4$ (وهي قيمة نموذجية للصخر) يكون $\lambda = \mu$ و $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .

برهان جزئي. لنأخذ اضطرابًا مستويًا $\vect u = \vect u(x, t)$ . قانون نيوتن في وحدة الحجم هو $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (أي معادلة التوازن مع إعادة العطالة). ومن أجل المركبة الطولية، يعطي قانون هوك $\sigma_{xx} = (\lambda + 2\mu)\,\partial_xu_x$ (إذ تنعدم التشوّهات الجانبية في موجة مستوية، لأن المادة المجاورة تمنع التحرر الجانبي)، ومنه $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$ : أي دالامبير بالسرعة $c_{\text{P}}$ . ومن أجل المركبة المستعرضة، $\sigma_{yx} = 2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$ ، ومنه $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$ : أي السرعة $c_{\text{S}}$ . أما انفصال اضطراب عام إلى هاتين العائلتين فمُسلَّم به. ∎

الموجتان المرنتان. الموجة P: تتقارب مستويات المادة وتتباعد على منحى السير (موجة انضغاط — وهي موجودة في الأجسام الصلبة والسوائل والغازات). والموجة S: تنقصّ المادة جانبيًا (ولا توجد إلا حيث يُقاوَم القصّ: أي في الأجسام الصلبة).

مثال 3.11 (السكة والزلزال)

في الفولاذ $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — فطرقة على سكة تبعد $2\,\mathrm{km}$ تصل عبر الفولاذ في $0.34\,\mathrm{s}$ وعبر الهواء (بالسرعة $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) في $5.9\,\mathrm{s}$ : أي رنّتان. وفي الغرانيت ( $E = 75\,\mathrm{GPa}$ و $\nu = 1/4$ و $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . ولذلك يعلن الزلزال عن نفسه مرتين: هزّة P حادّة، ثم، بعد ثوانٍ، رجّة S الأبطأ والأقوى — والتأخر يقيس المسافة (المسألة 3.1). وتعيش أنظمة الإنذار المبكر بالزلازل داخل ذلك التأخر: إذ تسبق الموجة P، والرسالة اللاسلكية التي تطلقها، الموجةَ S التي تُحدث الدمار.

ملاحظة 3.12 (استعادة الأوتار والقضبان والصوت)

أمواج كتاب السنة الثانية كلها حالات حدية لهذا الفصل. فالقضيب الرفيع، الحرّ في الترقق جانبيًا، يحمل أمواج انضغاط بالسرعة $\sqrt{E/\rho}$ (وهي أبطأ من $c_{\text{P}}$ : إذ يليّن التحرر الجانبي الاستجابة)؛ والوتر المشدود يحمل أمواجًا مستعرضة بالسرعة $\sqrt{T/\rho_\ell}$ ، حيث تحلّ الشدّة محل الصلابة؛ والمائع لا يبقي إلا $\lambda$ — أي معامل انضغاطه الحجمي — وسرعة الصوت الوحيدة $\sqrt{\lambda/\rho}$ .

لوح غطس محمَّل: إجهاد وتشوّه موزّعان عبر وسط متصل، منحنيان في جانبية الانحراف التكعيبية للعارضة الناتئة — وهو نابض على وشك أن يعيد طاقته المرنة.

3.5 تمارين

تمرين 3.1 ★

(أ) تحقق من الوحدات: ما الباسكال بدلالة الكيلوغرام والمتر والثانية، وما وحدة التشوّه؟ (ب) كابل فولاذي يعمل عند $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$ : احسب تشوّهه. (ج) رباط مطاطي ( $E \approx 2\,\mathrm{MPa}$ ) يُمدّ إلى ضعف طوله: أيّ “تشوّه” هذا، ولماذا لا ينطبق إطار هذا الفصل عليه حقًا؟ (د) رتّب بحسب كثافة الطاقة المرنة المخزَّنة عند إجهاد التشغيل: الفولاذ عند $200\,\mathrm{MPa}$ ، والمطاط عند $1\,\mathrm{MPa}$ .

حل

حل التمرين 3.1.

(أ) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ ؛ والتشوّه عدد صرف. (ب) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$ . (ج) مضاعفة الطول تعني $\varepsilon = 1$ : أي ألف مرة وراء “الصغير”، واستجابة المطاط هناك لاخطية بقوة (وأصلها مختلف، إذ هو أصل إنتروبي) — فقانون هوك لا يفتتح المنحني إلا افتتاحًا. (د) $w = \sigma^2/2E$ : ففي الفولاذ $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ وفي المطاط $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — فالمادة الليّنة تخزّن أكثر في وحدة الحجم عند إجهاد التشغيل، ولهذا تُصنع المقاليع من المطاط لا من الفولاذ.

تمرين 3.2 ★

احسب موتّر التشوّه لكل مجال انتقال وصف التشوّه: (أ) $\vect u = \alpha(x, y, z)$ ؛ (ب) $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$ ؛ (ج) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$ ؛ (د) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — وأيّ تجربة تحققه؟

حل

حل التمرين 3.2.

(أ) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$ : تمدد متماثل المناحي، و $\delta V/V = 3\alpha$ . (ب) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} = \gamma/2$ والباقي معدوم: أي قصّ صرف، والحجم لا يتغير. (ج) $\varepsilon_{ij} = 0$ : دوران صلب، ولا تشوّه. (د) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$ : وهي تجربة الشدّ — استطالة على المنحى $x$ وتقلص بواسون عرضيًا.

تمرين 3.3 ★

تحمل قاعدة عمود غرانيتي ارتفاعه $h$ الإجهاد $\sigma = \rho gh$ . (أ) استنتج ذلك من معادلة التوازن مع الثقالة. (ب) ينسحق الغرانيت عند نحو $200\,\mathrm{MPa}$ : فما أطول عمود ممكن؟ (ج) ارتفاع إفرست $8.8\,\mathrm{km}$ : علّق. (د) لماذا يمكن أن يكون الجبل أعلى قليلًا من عمود من صخره نفسه (فكّر في الشكل)؟

حل

حل التمرين 3.3.

(أ) مع $\sigma_{zz}(z)$ وحدها والثقل: $\partial_z\sigma_{zz} = \rho g$ (بأخذ الضغط موجبًا نحو الأسفل)، ومنه $\sigma_{zz} = \rho gh$ عند القاعدة. (ب) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g = 2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$ . (ج) إفرست عند حدّ انسحاق قاعدته نفسها — فجبال الأرض في أعلى ما تسمح به متانة الصخر، ولا أعلى. (د) المخروط ذو الارتفاع $h$ يحمّل قاعدته $\rho gh/3$ فقط (أي ثلث العمود: لأن الكتلة تنمو مع المقطع)، فيمكن لكومة على شكل جبل أن تقف أعلى بنحو ثلاث مرات من عمود.

تمرين 3.4 ★

قضيب فولاذي ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ و $\nu = 0.30$ ) يُمدّ بالمقدار $\varepsilon = 10^{-3}$ . (أ) ما التشوّه الجانبي؟ (ب) ما التغير الحجمي النسبي؟ (ج) من أجل أيّ $\nu$ لا يتغير الحجم البتة، وأيّ مادة شائعة تقترب من ذلك؟ (د) لماذا يستحيل $\nu > 1/2$ (انظر في الانضغاط الهدروستاتيكي)؟

حل

حل التمرين 3.4.

(أ) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$ . (ب) $\delta V/V = (1 - 2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$ . (ج) $\nu = 1/2$ : أي تشوّه غير قابل للانضغاط — وهو المطاط. (د) من أجل $\nu > 1/2$ يصير معامل الانضغاط الحجمي $K = E/3(1 - 2\nu)$ سالبًا: فالعصر من كل الجهات كان يكبّر الحجم، وكانت المادة تحرّر الطاقة بالانهيار — ولا جسم صلب مستقر يفعل ذلك.

تمرين 3.5 ★★

إجهاد الطوق. أسطوانة رقيقة الجدار (نصف قطرها $R$ وسمك جدارها $t \ll R$ ) تحوي ضغطًا $p$ . (أ) بموازنة القوى على نصف أسطوانة طوله واحدي، بيّن أن الجدار يحمل الإجهاد المماسّي $\sigma_\theta = pR/t$ . (ب) بيّن أن الإجهاد الطولي (بالموازنة على مقطع عرضي) هو $pR/2t$ : فالأسطوانة مجهدة حول محيطها ضعف ما هي مجهدة على طولها — فبأيّ اتجاه تنشقّ النقانق؟ (ج) قارورة غطس: $p = 200\,\mathrm{bar}$ و $R = 9\,\mathrm{cm}$ و $t = 5\,\mathrm{mm}$ : احسب $\sigma_\theta$ وقارنه بإجهاد خضوع فولاذي قدره $700\,\mathrm{MPa}$ . (د) لماذا تكون نهايات الخزانات عالية الضغط نصف كروية؟

حل

حل التمرين 3.5.

(أ) على نصف أسطوانة طوله واحدي، يدفع الضغط بالمقدار $p \times 2R$ (وهي المساحة المسقطة) ويجذب الجداران المقطوعان بالمقدار $2\sigma_\theta t$ : ومنه $\sigma_\theta = pR/t$ . (ب) وعلى مقطع عرضي، $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$ : ومنه $\sigma_z = pR/2t$ — أي النصف. ولذلك تنشقّ النقانق طوليًا: فإجهاد الطوق الأكبر يمزّق الغلاف على المحور. (ج) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times 0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$ : أي بعامل $2$ دون الخضوع — ولهذا تُختبر القوارير وتُفحص. (د) الكرة تحمل $pR/2t$ في كل اتجاه: فالنهايات نصف الكروية تنصّف الإجهاد وتتجنب الزوايا التي كانت النهايات المسطحة ستركّزه فيها.

تمرين 3.6 ★★

كتلة مطاطية ( $E = 3.0\,\mathrm{MPa}$ و $\nu \approx 0.5$ )، قاعدتها $10 \times 10\,\mathrm{cm}$ وارتفاعها $2\,\mathrm{cm}$ ، ملصوقة بين صفيحتين؛ وتُدفع الصفيحة العليا جانبيًا بقوة $150\,\mathrm{N}$ . (أ) احسب $G$ . (ب) احسب إجهاد القصّ وزاوية القصّ $\gamma = \sigma_{xy}/G$ ؛ ثم الانتقال الجانبي للصفيحة العليا. (ج) لماذا تكون $\nu \approx 1/2$ في المطاط (ما الصعب وما السهل على كومة متشابكة من السلاسل البوليميرية)؟ (د) تحمل كتل مطاطية كهذه مبانيَ بأكملها في مناطق الزلازل: فأيّ خاصية من خواصّ هذا السند تحمي المبنى، الصلابة في الضغط أم الليونة في القصّ؟

حل

حل التمرين 3.6.

(أ) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$ . (ب) $\sigma_{xy} = F/S = 150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$ ؛ و $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$ ؛ والانتقال $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$ . (ج) تغيّر الشبكة المطاطية شكلها بمجرد إعادة توجيه سلاسلها (وذلك سهل)، أما تغيير الحجم فيعني رصّ السلاسل أكثر، وهو بصعوبة ضغط سائل: ومنه $G \ll K$ ، ومن ثمّ $\nu \to 1/2$ . (د) الليونة في القصّ: إذ يدع السند الأرض ترتجّ أفقيًا تحته من دون أن ينقل قوة تُذكر، ويبقى مع ذلك صلبًا في الضغط بما يكفي لحمل وزن المبنى.

تمرين 3.7 ★★

حبل تسلق طوله $L = 20\,\mathrm{m}$ ومقطعه $S = 80\,\mathrm{mm}^{2}$ ومعامله الفعّال $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$ . (أ) احسب صلابته $k = ES/L$ . (ب) يسقط متسلق كتلته $80\,\mathrm{kg}$ سقوطًا حرًا $4\,\mathrm{m}$ قبل أن يشتغل الحبل: بمساواة الطاقات، أوجد أقصى استطالة للحبل (حل المعادلة من الدرجة الثانية؛ وأهمل في المحاولة الأولى استمرار السقوط أثناء الكبح). (ج) استنتج القوة القصوى والتباطؤ الأقصى بوحدة $g$ . (د) لماذا يجب إحالة حبل تحمّل سقطة عنيفة إلى التقاعد (أين ذهبت الطاقة، وماذا يقول منحني الإجهاد–التشوّه)؟

حل

حل التمرين 3.7.

(أ) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ . (ب) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$ : ومنه $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$ و $x = 1.3\,\mathrm{m}$ . (ج) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$ ؛ والتباطؤ $F/m \approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — وهو سبب صنع الحبال مطّاطة عمدًا. (د) ذهب جزء من الطاقة الممتصّة إلى قطع الألياف وإعادة ترتيب لدنة: فصار الحبل على منحني إجهاد–تشوّه متدهور، أصلب وأضعف، وستكون السقطة التالية أقسى بالمعنيين.

تمرين 3.8 ★★

الفتل. سلك نصف قطره $a$ وطوله $L$ ومعامل قصّه $G$ يُفتل بزاوية $\theta$ . (أ) بيّن أن أنبوبًا نصف قطره $r$ داخله يعاني زاوية القصّ $\gamma(r) = r\theta/L$ . (ب) إجهاد القصّ فيه $G\gamma$ : كامل $r \times$ الإجهاد على المقطع لتجد عزم الإرجاع $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (ج) الأسّ $a^4$ : انصف نصف القطر، فبأيّ عامل تهبط صلابة الفتل؟ (د) هذه الليونة الشديدة هي سبب تعليق كافنديش (1798) ميزانه بسلك رفيع: من أجل $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ و $L = 1\,\mathrm{m}$ و $G = 40\,\mathrm{GPa}$ ، احسب $C = \pi Ga^4/2L$ والدور من أجل قضيب عزم عطالته $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ .

حل

حل التمرين 3.8.

(أ) يدور أعلى أنبوب نصف قطره $r$ بالقوس $r\theta$ على الطول $L$ : ومنه $\gamma = r\theta/L$ . (ب) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\, 2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$ . (ج) بالعامل $2^4 = 16$ . (د) $C = \pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 = 2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$ ؛ و $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/ 2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — أي ربع ساعة لكل تأرجحة: وهي حساسية تكفي للإحساس بثقالة كرات من الرصاص.

تمرين 3.9 ★★

(أ) انطلاقًا من اشتقاق الموجة المستوية في القضية 3.10، احسب $c_{\text{P}}$ و $c_{\text{S}}$ في الفولاذ ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ و $\nu = 0.29$ و $\rho = 7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (ب) قارن $c_{\text{P}}$ بسرعة القضيب الرفيع $\sqrt{E/\rho}$ وفسّر الفرق في جملة واحدة. (ج) من أجل الماء ( $\mu = 0$ ، ومعامل انضغاطه الحجمي $2.2\,\mathrm{GPa}$ ): ما سرعة S وما سرعة P؟ (د) بأيّ زاوية تختلف حركة المادة في موجة P عنها في موجة S، وكيف يميّز بينهما مقياس زلازل بثلاث مركبات؟

حل

حل التمرين 3.9.

(أ) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$ و $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 107\,\mathrm{GPa}$ : ومنه $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ و $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (ب) يعطي القضيب الرفيع $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : ففي القضيب تنتفخ الجوانب بحرية (تحرر بواسون)، فتليّن الاستجابة؛ أما في الكتلة فتمنع المادة المحيطة ذلك. (ج) $c_{\text{S}} = 0$ ؛ و $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — وهي سرعة الصوت في الماء. (د) تحرّك P الأرض على منحى الشعاع (وهو شبه شاقولي من أجل مصدر عميق)، وتحرّكها S عرضيًا: فتفصل مركبات مقياس الزلازل الثلاث بين الاستقطابين، ثم يؤرّخ تأخر S عن P المسافة.

تمرين 3.10 ★★★

الانحناء. تُحنى عارضة إلى نصف قطر تقعّر $R$ ؛ فتقصر أليافها الداخلية وتستطيل أليافها الخارجية، ويحفظ سطح محايد بينهما طوله. (أ) بيّن أن الليف الواقع على المسافة $y$ من السطح المحايد تشوّهه $\varepsilon = y/R$ ، ومن ثمّ إجهاده $Ey/R$ . (ب) بجمع العزوم على المقطع العرضي، بيّن أن عزم الانحناء هو $M = EI/R$ مع $I = \int y^2\,\dd S$ (وهو العزم الثاني)؛ واحسب $I$ من أجل مستطيل عرضه $b$ وارتفاعه $h$ . (ج) الأسّ $h^3$ : لماذا يتدلى لوح محنيّ على وجهه العريض تدليًا ظاهرًا بينما يبدو اللوح نفسه على حرفه صلبًا؟ احسب النسبة من أجل $b/h = 5$ . (د) من أجل عارضة ناتئة طولها $L$ محمَّلة بقوة $F$ في طرفها، يكون تدلي الطرف $\delta = FL^3/3EI$ (وهو مُسلَّم به): قدّر $\delta$ من أجل لوح غطس ( $L = 1.8\,\mathrm{m}$ و $b = 50\,\mathrm{cm}$ و $h = 3.5\,\mathrm{cm}$ ، خشب $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) تحت غطّاس كتلته $75\,\mathrm{kg}$ ، وعلّق.

حل

حل التمرين 3.10.

(أ) للقوس عند نصف القطر $R + y$ الطول $(R + y)\alpha$ في مقابل $R\alpha$ عند السطح المحايد: ومنه $\varepsilon = y/R$ و $\sigma = Ey/R$ . (ب) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$ ؛ ومن أجل المستطيل $I = bh^3/12$ . (ج) على الوجه العريض: $I = bh^3/12$ ؛ وعلى الحرف: $hb^3/12$ — والنسبة $(b/h)^2 = 25$ من أجل $b/h = 5$ : أي الخشب نفسه، أصلب خمسًا وعشرين مرة، بالهندسة وحدها. (د) $I = 0.50 \times 0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$ و $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ؛ ومنه $\delta = FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx 7\,\mathrm{cm}$ : وهي بالضبط الليونة المستحبّة في لوح الغطس.

تمرين 3.11 ★★★

الانبعاج. عمود نحيل (طوله $L$ وصلابته الانحنائية $EI$ )، مفصلي الطرفين، يحمل حمولة محورية $P$ . لنفترض أنه ينحني جانبيًا وفق $y(x)$ . (أ) بيّن أن الحمولة تمارس حينئذٍ عزم الانحناء $M(x) = -Py(x)$ حول المحور المنزاح، ومنه $EI\,y'' = -Py$ . (ب) مع $y(0) = y(L) = 0$ ، بيّن أن انحناءً غير معدوم يصير ممكنًا أول ما يصير عند حمولة أويلر الحرجة $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ . (ج) احسب $P_{\text{c}}$ من أجل مسطرة مترية ( $b = 3\,\mathrm{cm}$ و $h = 1.5\,\mathrm{mm}$ و $E = 12\,\mathrm{GPa}$ ) وقارنها بدفعة يدك. (د) فسّر انطلاقًا من $I$ لماذا تكون العظام والخيزران وهياكل الدراجات أنابيب.

حل

حل التمرين 3.11.

(أ) في الوضع المنحني تؤثر الحمولة المحورية $P$ بذراع $y(x)$ حول المقطع عند $x$ : ومنه $M = -Py$ ، ومع $M = EIy''$ نجد $EIy'' = -Py$ . (ب) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ مع $y(L) = 0$ : فتظهر $A$ غير المعدومة أول ما تظهر عند $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$ ، أي $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$ ؛ ودونها يكون العمود المستقيم الحل الوحيد، وفوقها لا يكلّف الانحناء أيّ قوة. (ج) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 = 8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$ : ومنه $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times 8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — أي وزن تفاحة: فالمسطرة المترية تنبعج تحت إصبع. (د) ينمو $I$ كلما ابتعدت المادة عن المحور: فالأنبوب يضع مقطعه كله عند $y$ الكبيرة، فيعظّم $I$ (ومن ثمّ $P_{\text{c}}$ ) من أجل وزن معطى من المادة — وهو تصميم العظام والخيزران وهياكل الدراجات.

تمرين 3.12 ★★★

سرعة الصوت في جسم صلب، انطلاقًا من الذرات. نمذج الجسم الصلب سلاسلَ من الذرات تباعدها $a$ ، موصولة بواسطة “نوابض” صلابتها $\kappa$ ؛ وكتلة الذرة $m$ . (أ) بيّن أن مدّ السلسلة يقابل شدّ الوسط المتصل مع $E = \kappa/a$ (أحصِ النوابض في وحدة المساحة، والاستطالة في كل نابض). (ب) بيّن أن $\rho = m/a^3$ واستنتج $c = \sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$ . (ج) قدّر $\kappa$ من عمق رابطة بين ذرتين ( $\sim3\,\mathrm{eV}$ على مدى $\sim 0.1\,\mathrm{nm}$ ): تجد $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ؛ ومع $a = 2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ و $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ، قدّر $c$ . (د) قارن بسرعات الصوت المقيسة في الفلزات، واستنتج ممّ صُنعت المرونة اليومية.

حل

حل التمرين 3.12.

(أ) سلسلة واحدة لكل مساحة $a^2$ ؛ والمدّ بتشوّه $\varepsilon$ يمدّ كل نابض بالمقدار $\delta = \varepsilon a$ ، فتكون القوة $\kappa \varepsilon a$ لكل سلسلة، والإجهاد $\kappa\varepsilon/a$ : ومنه $E = \kappa/a$ . (ب) $\rho = m/a^3$ ، ومنه $E/\rho = \kappa a^2/m$ و $c = a\sqrt{\kappa/m}$ . (ج) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx 5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (د) وهي في صميم بضعة كيلومترات في الثانية المقيسة في الفلزات: فصلابة كل ما هو صلب — وسرعة كل موجة زلزالية — هي صلابة الرابطة الكيميائية.

3.6 مسألة: الإصغاء إلى الأرض

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — كيف كشفت الزلازل عن اللبّ السائل

زلزال واحد يرنّ الكوكب كله، وموجتا هذا الفصل المرنتان، إذ تعبرانه، تصوّرانه بالأشعة. وتتابع هذه المسألة الفيزياء من قانون هوك في الغرانيت إلى اكتشاف أولدهام سنة 1906 أن للأرض لبًّا — مع تقدير حجمه بالأشعة المستقيمة. خذ من أجل صخر القشرة والوشاح $E = 75\,\mathrm{GPa}$ و $\nu = 1/4$ و $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ ونصف قطر الأرض $R_{\text{E}} = 6371\,\mathrm{km}$ .

الجزء الأول — الصخر بوصفه جسمًا صلبًا مرنًا.

احسب معاملَي لامي $\mu$ و $\lambda$ لهذا الصخر، ولاحظ أن $\nu = 1/4$ يجعلهما متساويين.
احسب $c_{\text{P}}$ و $c_{\text{S}}$ ، وتحقق من أن $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
ينزلق الزلزال بوجهين صخريين أمتارًا في ثوانٍ: قدّر التشوّه المحرَّر إذا أرخى انزلاق قدره $2\,\mathrm{m}$ الصخر على مقياس $50\,\mathrm{km}$ ، وقدّر الإجهاد الذي كان قد تراكم.
انطلاقًا من كثافة الطاقة $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ ، قدّر الطاقة المرنة في المتر المكعب، ثم الطاقة في حجم $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ؛ وقارنها بميغاطن ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
لماذا ترجّ الموجة S المباني عادةً أشدّ ممّا ترجّها الموجة P (فكّر في اتجاه حركة الأرض من أجل موجة قادمة من الأسفل)؟
في أيّ الموجتين يتغير حجم الأرض؟

الجزء الثاني — وصولا مقياس الزلازل.

تسجّل محطة وصول الموجة P، ثم وصول الموجة S بعدها بالمدة $\Delta t$ . من أجل مصدر على المسافة $d$ (قصيرة بما يكفي لاعتماد الأشعة المستقيمة)، بيّن أن

$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} - \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$
قدّر المعامل: كم كيلومترًا لكل ثانية من تأخر S عن P؟
تقيس محطة $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : فكم يبعد الزلزال؟
محطة واحدة تعطي مسافة لا موضعًا: فكم محطة يلزم لتحديد مركز الزلزال السطحي، وكيف، هندسيًا؟
تدوّي صفارات الإنذار المبكر في اليابان قبل الرجّة القوية بثوانٍ: من أجل زلزال على عمق $80\,\mathrm{km}$ تحت مدينة، كم من الإنذار يتيحه تأخر S عن P وحده؟
تضيف الإنذارات الحديثة سرعة الضوء: إذ تُذاع الموجة P المكشوفة قرب المصدر سبقًا للموجتين معًا. من أجل مدينة تبعد $200\,\mathrm{km}$ عن مركز الزلزال، متى تصل الموجة S بعد التمزق، وأيّ إنذار تتيحه رسالة لاسلكية تُرسل عند أول وصول للموجة P على مسافة $20\,\mathrm{km}$ من المصدر؟

الجزء الثالث — أمواج تعبر الكوكب.

عند ضغوط الوشاح العميق تكبر المعاملات: فتبلغ سرعات P $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ عند قاعدة الوشاح. بأخذ متوسط تقريبي $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ، كم يلزم موجة P لتعبر الأرض على قطرها؟
تسجّل المحطات زلازل من الجهة المقابلة من الكرة: فماذا يقول مجرد وجود هذه الوصولات عن باطن الأرض العميق (أهو مرن؟ أهو منصهر بأكمله؟)؟
عرّف الزاوية المركزية $\Delta$ (وهي الزاوية عند مركز الأرض بين المصدر والمحطة). من أجل الأشعة المستقيمة، بيّن أن طول الوتر هو $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
قدّر الوتر وزمن انتقاله بالشعاع المستقيم من أجل $\Delta = 60^\circ$ عند المتوسط $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
نحو سنة 1900 لاحظ أولدهام أن أمواج S تُسجَّل حتى $\Delta \approx 103^\circ$ ثم تختفي: فلا موجة S مباشرة وراء ذلك. فأيّ خاصية لمنطقة عميقة داخل الأرض تقتل أمواج S، وأيّ حالة من حالات المادة لها تلك الخاصية؟
أمواج P وراء $103^\circ$ ليست غائبة بل ضعيفة ومتأخرة ومزاحة (وهي “منطقة ظل” تمتد حتى $\approx 142^\circ$ ): فلماذا تؤخّر منطقة سائلة أمواج P وتكسرها من دون أن توقفها؟
استنتج في جملة واحدة ما الذي يقبع في مركز الأرض.

الجزء الرابع — وزن اللبّ بمسطرة.

شعاع S مستقيم يغادر المصدر يماسّ اللبّ إذا كان أقرب اقتراب له من المركز يساوي نصف قطر اللبّ $R_{\text{c}}$ . بيّن أن هذا الشعاع المماسّ يبلغ السطح عند الزاوية المركزية $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
انطلاقًا من $\Delta^* = 103^\circ$ ، احسب $R_{\text{c}}$ .
القيمة الحديثة $3480\,\mathrm{km}$ : احسب خطأك، وفسّر إشارته: فالأشعة الحقيقية تنحني عائدة نحو السطح كلما كبرت السرعة مع العمق — ناقش هل تبالغ الأشعة المستقيمة في تقدير اللبّ أم تقلّل منه.
سنة 1936 وجدت إنغه ليمان وصولات P ضعيفة داخل منطقة الظل: فماذا استنتجت أنه يقبع داخل اللبّ السائل؟
نصف قطر اللبّ الداخلي $1220\,\mathrm{km}$ وهو صلب: اقترح المشاهدة الموجية التي تؤكد صلابته (أيّ موجة توجد هناك ويمنعها اللبّ الخارجي؟).
لخّص النتيجة الموسومة: سرعتان مرنتان في الصخر ( $5.8$ و $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ )، وموجة مفقودة وراء $103^\circ$ ، ومسطرة، تعطي لبًّا سائلًا نصف قطره $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — في حدود $15\%$ من القيمة الحديثة $3480\,\mathrm{km}$ ، مقيسًا عبر $6000\,\mathrm{km}$ من الصخر الصلب.

حل

حل المسألة 3.1.

1. $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ ؛ و $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$ : فمن أجل $\nu = 1/4$ يكون $\lambda = \mu$ . 2. $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700} = 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ و $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ؛ والنسبة $\sqrt3$ . 3. $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$ ؛ و $\sigma = E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — و“هبوط الإجهاد” المقيس في الزلازل الحقيقية هو حقًّا بضعة ميغاباسكالات. 4. $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ؛ وعلى $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$ : نجد $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ، أي نحو ثلاثة أرباع الميغاطن — وهو زلزال كبير. 5. من الأسفل، تحرّك P الأرض شاقوليًا — والمباني مبنية لحمل الحمولات الشاقولية؛ أما S فتحرّكها أفقيًا، وهو الاتجاه الذي تكون فيه المباني أضعف ما تكون. 6. الموجة P وحدها: فهي موجة انضغاط؛ أما الموجة S فقصّ صرف، بحجم ثابت. 7. $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$ و $t_{\text{S}} = d/c_{\text{S}}$ : ومنه $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$ ، مقلوبةً كما ذُكر. 8. $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx 7.9\,\mathrm{km}$ لكل ثانية من التأخر — وهي “الثمانية كيلومترات في الثانية” التي يعرفها عالم الزلازل الميداني. 9. $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$ . 10. ثلاث محطات (في العموم): فكل محطة تعرف دائرة من مراكز الزلزال الممكنة؛ ودائرتان تتقاطعان في نقطتين، والثالثة تحسم. 11. $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$ و $t_{\text{S}} = 80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$ : أي نحو $10\,\mathrm{s}$ من الإنذار بين الهزّة والرجّة المدمّرة. 12. تصل S عند $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$ . وتبلغ P مسافة $20\,\mathrm{km}$ عند $3.5\,\mathrm{s}$ ؛ والرسالة اللاسلكية آنية عمليًّا، فيمكن أن تنال المدينة إنذارًا يقارب الدقيقة — وتحقق الأنظمة الحالية عشرات الثواني. 13. $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$ ، أي نحو عشرين دقيقة. 14. يقول إن الأمواج المرنة تعبره أصلًا: فباطن الأرض العميق ليس منصهرًا بأكمله — إذ ينقل الأمواج، بل (وأمواج S تعبر الوشاح) ينقصّ أيضًا، كالجسم الصلب. 15. نصفا قطر والزاوية $\Delta$ بينهما: فالوتر هو $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ . 16. $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$ ؛ و $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$ . 17. وراء $103^\circ$ يجب أن يمرّ كل شعاع بمنطقة مركزية عميقة؛ فإذا كانت تلك المنطقة مائعة ( $\mu = 0$ ) لم تحمل أيّ موجة قصّ: فتموت أمواج S هناك. والموائع هي حالة المادة التي لا تستطيع مقاومة القصّ. 18. المائع يبقى حاملًا للانضغاط: فأمواج P تعبر اللبّ، لكن أبطأ — فتنكسر انكسارًا حادًّا عند حدّه، وتترك الأشعة المنحرفة ظلًا حلقيًا بدل قطع نظيف. 19. في مركز الأرض لبّ سائل. 20. أقرب اقتراب للوتر من المركز هو $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$ ؛ والمماسّة تعني $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$ ، أي $\Delta^* = 2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ . 21. $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx 3970\,\mathrm{km}$ . 22. أكبر بالمقدار $+14\%$ . فالسرعة تنمو مع العمق، ولذلك تنحني الأشعة الحقيقية عائدة نحو السطح: فالشعاع الذي يلامس أعمق نقطة فيه اللبَّ يخرج عند زاوية أصغر من الوتر المستقيم المارّ بالعمق نفسه — ومن ثمّ، انطلاقًا من $103^\circ$ المشاهَدة، يضع القلب بالأشعة المستقيمة نقطة المماسّة أعلى مما ينبغي، أي يبالغ في تقدير اللبّ. 23. وجود طاقة P ضعيفة داخل منطقة الظل يعني أن شيئًا داخل اللبّ السائل يعيد ثني الأشعة إلى الخارج: أي لبّ داخلي متمايز (ليمان، 1936). 24. أمواج القصّ لا توجد إلا في الأجسام الصلبة: فتحوّل موجة P إلى موجة قصّ داخل اللبّ الداخلي ثم عودتها (وهو الطور المسمّى PKJKP) يبرهن على صلابته — وكشفه، الذي طال البحث عنه، هو الدليل المقبول. 25. سرعتان في الصخر ( $5.8$ و $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ )، وموجة مفقودة وراء $103^\circ$ ، وهندسة الوتر، تعطي لبًّا سائلًا نصف قطره $\approx4000\,\mathrm{km}$ — في حدود $15\%$ من القيمة الحديثة $3480\,\mathrm{km}$ : أي قانون هوك مقروءًا على مقياس كوكبي.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد