7معادلة شرودنغر في ثلاثة أبعاد

حل التمرين 7.1.

(أ) $\int|\psi|^2\dd^3r = |A|^2\,4\pi\int_0^\infty r^2\eu^{-r^2/2 \sigma^2}\dd r = |A|^2(2\pi\sigma^2)^{3/2}$: ومنه $A = (2\pi\sigma^2)^{ -3/4}$. (ب) بتماثل المناحي $\langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle = 3\sigma^2$، ومنه $\Delta x = \sigma$. (ج) $\vect\jmath = \vect 0$: لأن الدالة الموجية حقيقية. (د) $\langle\vect p\rangle = \hbar\vect k_0$ و $\vect\jmath = \rho\,\hbar\vect k_0/m$: أي السحابة نفسها، وقد صارت منجرفة.

حل التمرين 7.2.

$3\,(1)$ و $6\,(3)$ و $9\,(3)$ و $11\,(3)$ و $12\,(1)$ و $14\,(6)$ — ثم لا شيء حتى $17$. والمستوي $27$: $(3,3,3)$ وتباديل $(5,1,1)$ — أي أربع حالات، إذ $27 = 9+9+9 = 25+1+1$. والتناظر المكعبي لا يبدّل إلا المحاور، ولا تبديل يربط $(3,3,3)$ بالثلاثي $(5,1,1)$: فالتصادف حسابي (أي تمثيلان لعدد بمجموع ثلاثة مربعات)، لا هندسي.

حل التمرين 7.3.

(أ) $\vect\jmath = |A|^2\hbar k/m\,\vect e_x$. (ب) معدوم: فالدالة حقيقية. (ج) $j = (|A|^2\hbar k/m)(1 - r^2)$: أي التدفق الوارد ناقص التدفق المنعكس — إذ تتقاصّ الحدود المتقاطعة. (د) $j = \rho\,\hbar m/Mb$ مع $\rho = 1/2\pi$ (في وحدة الزاوية): أي دوران دائم، وهو السلف المجهري للتيارات المستديمة.

حل التمرين 7.4.

المعامل هو $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$. (أ) عند $R = 3\,\mathrm{nm}$: $0.42\,\mathrm{eV}$. (ب) $E = 2.16\,\mathrm{eV}$: ومنه $\lambda = 1240/2.16 = 575\,\mathrm{nm}$، أي أصفر مخضرّ. (ج) كلما صغر $R$ كبرت $E$: أي نحو الأزرق. (د) في المادة الكتلية ينعدم حدّ الحصر: فالفجوة ثابتة $1.74\,\mathrm{eV}$ و $\lambda = 713\,\mathrm{nm}$، أي الأحمر الغامق نفسه مهما تكن العينة.

حل التمرين 7.5.

(أ) أحادية القيمة: فالشرط $\psi(\varphi + 2\pi) = \psi(\varphi)$ يفرض $\eu^{2\pi\iu m} = 1$. (ب) $E_m = \hbar^2m^2/2Mb^2$؛ والحالتان $\pm m$ تدوران في اتجاهين متعاكسين ويتبادلان بالانعكاس المرآوي (أو بقلب الزمن) — وهو تناظر للحلقة، ومنه الانحلال. (ج) تحمل الحلقة التيارية $I = q\hbar m/2\pi Mb^2$ العزم المغناطيسي $\mu = I\pi b^2 = m\,q\hbar/2M$ — مكمَّمًا بخطوات $q\hbar/2M$، وهو نقش مغنطون بور الوارد في الفصل 10. (د) $\hbar^2/2m_{\text{e}}b^2 = 1.9\,\mathrm{eV}$؛ وتملأ الإلكترونات الستة المستويات $m = 0, \pm1$، وتكلّف أول إثارة $\pm1 \to \pm2$ المقدار $(4-1) \times 1.9 \approx 5.8\,\mathrm{eV}$، أي $\lambda \approx 210\,\mathrm{nm}$ — وهو الجوار فوق البنفسجي الصحيح، من حلقة لا غير.

حل التمرين 7.6.

(أ) نختار $n_x = 0..n$ و $n_y = 0..n - n_x$: فيكون $\sum_{n_x}(n - n_x + 1) = (n+1)(n+2)/2$. (ب) مع السبين: $2, 6, 12, 20$؛ والتراكمي $2, 8, 20, 40$. (ج) الأعداد $2$ و $8$ و $20$ سحرية؛ ويقول الإخفاق بعدها إن البئر النووية ليست توافقية — بل أبسط قاعًا، وفيها قبل كل شيء تقارن سبيني–مداري قوي يعيد خلط الأغلفة إلى $28, 50, 82$. (د) تحتاج بنية الأغلفة إلى مستويات متكدّسة تفصلها فجوات؛ ومستويات العلبة تنتشر انتشارًا غير منتظم بلا فجوات كبيرة، فلا ينشأ نقش استقرار شبيه بالنووي.

حل التمرين 7.7.

(أ) $u_n = \sqrt{2/R}\sin(n\pi r/R)$ و $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$. (ب) $E_1 = \pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939 \times 25) = 8.2\,\mathrm{MeV}$. (ج) وهو المقياس الصحيح: فالنويّات في النوى حالات كمومية متباعدة بالميغا إلكترون-فولط، كما تُظهر أطيافها. (د) تبلغ $|u_1|^2$ ذروتها عند $r = R/2$: فالاحتمال القطري أكبر ما يكون في منتصف الطريق إلى الخارج (إذ يدفع العامل $r^2$ من عنصر الحجم، المختبئ في $u = r\varphi$، الأعظمية بعيدًا عن المركز)، بينما تبلغ $|\varphi|^2$ في علبة البُعد الواحد ذروتها عند المركز.

حل التمرين 7.8.

(أ) نضع $N = 2N_{\text{حالات}}(E_{\text{F}})$ ونقلب الإحصاء. (ب) في النحاس: $E_{\text{F}} = 7.1\,\mathrm{eV}$. (ج) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$. (د) الإلكترونات فرميونات متطابقة: ومبدأ الاستبعاد لباولي (الفصل 14) لا يسمح بأكثر من اثنين في كل حالة مدارية، فوجب أن تتكدّس الجمهرة حتى طاقات بالإلكترون-فولط.

حل التمرين 7.9.

(أ) $k = \sqrt{2M(V_0 - |E|)}/\hbar$ و $\kappa = \sqrt{2M|E|}/\hbar$؛ واستمرار $u'/u$ عند $R$ يعطي $k\cot kR = -\kappa$. (ب) لمّا $|E| \to 0$ يكون $\kappa \to 0$: ومنه $\cot kR = 0$ و $kR = \pi/2$، وعندئذٍ $V_0 = \hbar^2k^2/2M = \pi^2\hbar^2/8MR^2$. (ج) مع $\mu c^2 = 469\,\mathrm{MeV}$ و $R = 2.1\,\mathrm{fm}$: $V_{0,\min} = 23\,\mathrm{MeV}$. (د) يجعل الجدار $u(0) = 0$ الحالة $s$ الثلاثية البعد نظيرًا لحالة فردية في بُعد واحد، وهي يجب أن تسع ربع موجة داخل البئر: فالبئر الضحلة لا تستطيع، بينما في البُعد الواحد تربط الحالة الزوجية العديمة العُقد دائمًا.

حل التمرين 7.10.

(أ) $\kappa = \sqrt{2\mu c^2B}/\hbar c = \sqrt{2 \times 469 \times 2.22}/197.3 = 0.231\,\mathrm{fm}^{-1}$: وطول الذيل $1/\kappa = 4.3\,\mathrm{fm}$، أي ضعف مدى القوة. (ب) $k = \sqrt{2\mu(V_0 - B)}/\hbar$ و $\cot kR = -\kappa/k$. (ج) وبالتكرار: $kR = 1.83$ و $k = 0.87\,\mathrm{fm}^{-1}$ و $V_0 - B = (\hbar ck)^2/\mu c^2\cdot\tfrac12 \approx 31\,\mathrm{MeV}$: ومنه $V_0 \approx 34\,\mathrm{MeV}$. (د) في الداخل: $\int_0^R\sin^2kr\,\dd r \approx 1.19\,\mathrm{fm}$؛ وفي الخارج: $\sin^2(kR)/2\kappa \approx 2.0\,\mathrm{fm}$: أي نحو $63\%$ من الاحتمال يقع وراء البئر — فالديوترون يسكن معظم وقته المنطقة التي انتهت فيها قوة ربطه، وهو هالة كمومية صرفة.

حل التمرين 7.11.

(أ) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,\partial_t\rho\,\dd^3r = -\int x\operatorname{div}\vect\jmath\,\dd^3r = \int j_x\,\dd^3r = \langle p_x\rangle/m$ (بالتجزئة، مع انعدام الحدود الحدّية). (ب) نشتقّ $\langle\vect p\rangle = -\iu\hbar\int\psi^*\vect\nabla \psi$، ونستعمل المعادلة مرتين؛ فتتقاصّ الحدود الحركية بالتجزئة، ويبقى $-\int|\psi|^2\vect\nabla V$. (ج) أن يكون $V$ تربيعيًا على الأكثر: فعندئذٍ $\langle\vect\nabla V(\vect r)\rangle = \vect\nabla V(\langle \vect r\rangle)$ بالضبط. (د) خلف شقّين تكون الحزمة فصّين؛ وينزلق $\langle\vect r\rangle$ على محور التناظر، حيث لا يهبط الجسيم عمليًّا أبدًا: فالمتوسط يصف مركز ثقل الجمهور، لا مسار أحد.

حل التمرين 7.12.

(أ) الحركية: التدرجات ذات المقياس $1/a$ تعطي $\hbar^2/2m_{\text{e}} a^2$؛ والكامنة: السحابة تقع على مسافات $\sim a$، فتعطي $-ke^2/a$ (ويصادف أن يكون المعاملان الدقيقان $1$). (ب) $\dd E/\dd a = 0$ عند $a = \hbar^2/m_{\text{e}}ke^2 = a_0$؛ و $E(a_0) = -ke^2/2a_0 = -13.6\,\mathrm{eV}$. (ج) دون $a_0$ تنمو الكلفة الحركية وفق $1/a^2$، أسرع من المكسب $-1/a$: فالتوطين يفرض عليه مبدأ الارتياب ضريبة، وتطفو الذرة عند الحجم المتعادل. (د) نستبدل بالمقدار $ke^2$ المقدارَ $Gm_{\text{e}}m_{\text{p}} = 1.0 \times 10^{-67}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: فنجد $a_{\text{ثقالي}} = \hbar^2/m_{\text{e}}G m_{\text{e}}m_{\text{p}} \approx 1.2 \times 10^{29}\,\mathrm{m}$ — أي أكبر من الكون المرصود: فالثقالة أوهن من أن تغلق مدارًا كموميًا، وهي تبني النجوم بدل الذرات.