2ميكانيك هاميلتون

حل التمرين 2.1.

(أ) $p = m\dot x$ و $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k + E_p$. (ب) $\dot x = p/m$ و $\dot p = -kx$، ومنه $\ddot x = -(k/m)x$. (ج) $H = E$ هو القطع الناقص $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$: ونصفا محوريه $\sqrt{2E/k}$ و $\sqrt{2mE}$. (د) عند النقطة القصوى يمينًا ($x > 0$ و $p = 0$) يكون $\dot p = -kx < 0$: فتتحرك النقطة نزولًا — أي في اتجاه عقارب الساعة، دائمًا.

حل التمرين 2.2.

(أ) $p = mR^2\dot\theta$؛ و $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2 \sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{فعّال}}(\theta)$. (ب) تنحفظ (إذ ليس في $H$ زمن $t$ صريح)، لكنها $h$ لا الطاقة الميكانيكية: فشغل المحرك غائب عنها. (ج) خطوط المستوى هي $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{فعّال}})}$: فمن أجل الدوران البطيء، بيضاويات حول $(0, 0)$ ومنحنٍ فاصل يمرّ بالسرج عند $\theta = \pi$؛ ومن أجل الدوران السريع، عائلتان من البيضاويات حول $(\pm\theta_{\text{توازن}}, 0)$. (د) في الحالة السريعة: مركزان عند $\pm\theta_{\text{توازن}}$؛ وسرجان عند $\theta = 0$ وعند $\theta = \pi$؛ ويمرّ بالنقطة $\theta = 0$ منحنٍ فاصل على شكل ثمانية يحصر المركزين (فالاهتزازات الصغيرة تقفز فوق الأسفل)، ويمرّ بالنقطة $\pi$ المنحني الفاصل الخارجي الذي تدور الخرزة وراءه فوق القمة.

حل التمرين 2.3.

(أ) الطيران الواحد هو القوس $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — أي قطع مكافئ مضطجع، يُقطع من $(0, +p_0)$ صعودًا إلى $(z_{\max}, 0)$ ثم نزولًا إلى $(0, -p_0)$. (ب) ينقل الارتداد $(0, -p_0)$ إلى $(0, +p_0)$: أي قطعة شاقولية تغلق الحلقة. (ج) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z = \tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$، والفعل $I$ هو ذلك مقسومًا على $2\pi$. (د) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: فمن أجل نترون، $z_1 = (6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وهي الرتبة الصحيحة: إذ وجدت تجربة غرونوبل أدنى حالة كمومية ثقالية قرب $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (وتعطي المعالجة المضبوطة، بالدوال الموجية الحقيقية، $14\,\text{µ}\mathrm{m}$).

حل التمرين 2.4.

(أ) $\{x^2, p\} = 2x$. (ب) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k - x\,E_p'$: وعلى حركة مقيدة ينعدم المتوسط الزمني للمقدار $\dd(xp)/\dd t$، ومنه $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — وهي مبرهنة الفيريال (من أجل $E_p \propto x^2$: $\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle$؛ ومن أجل $\propto -1/r$: $2\langle E_k\rangle = -\langle E_p\rangle$). (ج) $\{L_z, x\} = y$ و $\{L_z, p_x\} = p_y$: أي إن $L_z$ يولّد دورانات المواضع وكميات الحركة معًا. (د) جاكوبي مع $h = H$: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$.

حل التمرين 2.5.

(أ) $E_{\text{فاصل}} = mg\ell$ (وهي طاقة وضع السكون المقلوب)؛ وأكبر قيمة $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ في الأسفل. (ب) انطلاقًا من $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$. (ج) تنفصل $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ فتعطي $\omega_0t = \ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$، وهي تتباعد لمّا $\theta \to \pi$: فالقمة تُقارَب ولا تُبلَغ أبدًا. (د) تحت المنحني الفاصل بقليل تتبع الحركة ظله: فيزحف البندول إلى جوار السرج، ويتلكأ — وذلك هو اللوغاريتم — ثم يعود ساقطًا؛ وكل نقطة سرج تبطئ المسارات لوغاريتميًا، ولهذا تبدو عصا موازَنة على غير إتقان مترددة قبل سقوطها.

حل التمرين 2.6.

(أ) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ و $\dot p_x = -\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect A$ وما إليها؛ وبحذف $\vect p$ نستعيد $m\ddot x = qB\dot y$ و $m\ddot y = -qB\dot x$. (ب) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$: أي الطاقة الحركية وحدها — وهي ثابتة، لأن القوة المغناطيسية عمودية على $\vect v$. (ج) مع $m\dot x = p_x + \tfrac12 qBy$: يكون $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$، وانحفاظه هو معادلة الحركة الأولى (وكذلك $\pi_y$)؛ وفي القوس لا يبقى إلا حدّان: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12 qB$ و $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$، والمجموع $-qB$. (والمقداران $\pi_x/qB$ و $\pi_y/qB$ هما، إلى إشارة، إحداثيا مركز التوجيه للدائرة.) (د) بحسب التمرين 2.4(د) ينحفظ قوس مقدارين محفوظين — وهو هنا الثابت $-qB$، وانحفاظه بديهي ولا يعلّم جديدًا: فلا يظهر مقدار ثالث.

حل التمرين 2.7.

(أ) التطبيق $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ قصّ: فقاعدة المستطيل وارتفاعه لا يتغيران، والمساحة كذلك (المحدد $1$). (ب) بالمتغيرين $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ يكون التدفق دورانًا صلبًا بالسرعة $\omega$؛ والدورانات تحفظ المساحة، ومحدد تغيير المتغيرات $1$. (ج) مجال السرعات $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ تباعده $-\gamma$: فأيّ مساحة تتقلص وفق $\eu^{-\gamma t}$، لولبيةً نحو المبدأ — وهو مستحيل على تدفق هاميلتوني. (د) إلى درجات الحرية المهمَلة: جزيئات الهواء وفونونات السلك، التي ينمو حجمها الطوري بما لا يقلّ عن ذلك — وهي بذرة المبدأ الثاني.

حل التمرين 2.8.

(أ) $\dot r = p_r/m$ و $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$ و $\dot p_r = p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$ و $\dot p_\varphi = 0$. (ب) لا تحوي $H$ المتغير $\varphi$: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi = 0$؛ وهو انحفاظ العزم الحركي. (ج) $H_{\text{قطري}} = p_r^2/2m + U_{\text{فعّال}}(r)$ مع $U_{\text{فعّال}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$. (د) $U_{\text{فعّال}}' = 0$: ومنه $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$، و $E = U_{\text{فعّال}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$.

حل التمرين 2.9.

(أ) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: فالأقواس القانونية غير المعدومة وحدها تعطي $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z, p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$. (ب) والتسمية الدورية $x \to y \to z \to x$ تعطي القوسين الآخرين. (ج) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} + 2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$. (د) من أجل $H = L^2/2J$، يكون $\{L_i, H\} = 0$ في الحالات الثلاث: أي إن $\vect L$ ثابتة. أما مع $H = \sum L_i^2/2J_i$ وعزوم $J_i$ غير متساوية: فيكون $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — ولا يبقى إلا $L^2$ و $H$، فيتقلب الجسم (وهنا تعيش مبرهنة مضرب التنس الواردة في فصل الجسم الصلب من كتاب السنة الثانية).

حل التمرين 2.10.

(أ) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ يعطي $E_n = n\hbar\omega$. (ب) ذهابًا وإيابًا عند $|p|$ ثابتة: $2pa = nh$ و $p = nh/2a$ و $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — وهي بالضبط بئر كتاب السنة الثانية اللانهائية. (ج) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ و $\lambda = hc/ \hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: أي الأشعة تحت الحمراء المتوسطة (وهو النطاق الأساسي لأحادي أكسيد الكربون، المستعمل لتقفّي الغاز في الفضاء). (د) لا: فالفروق بين المستويات لا يغيّرها النصف المشترك. وتظهر طاقة النقطة الصفرية في مقارنات تتوقف على المستوى المطلق — كانزياحات النظائر في طاقات التفكك (H$_2$ في مقابل D$_2$)، أو الاهتزازات التي تبقى عند الصفر المطلق في البلورات.

حل التمرين 2.11.

(أ) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$، فيكون على طول الحركة $\dot E = \partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$. (ب) على دور واحد عند $k$ ثابتة عمليًّا، $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$، ومنه $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$. (ج) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k$؛ ولمّا كان $\omega = \sqrt{k/m}$، كان $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ أيضًا: فالمقدار $E/\omega$ ثابت. (د) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ يكبر بالعامل $\sqrt2$، فتكبر $E$ بالعامل $\sqrt2 \approx 1.41$. ومع $E = \tfrac12 mg\ell\theta_0^2$ يكون $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: أي $\theta_0' = 5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$. والطاقة يقدّمها من يشدّ الخيط: فالشدّة تفوق $mg\cos\theta$ في المتوسط (بسبب الحدّ الطاردي)، فيؤدي الرفع شغلًا صافيًا موجبًا على التأرجح.

حل التمرين 2.12.

(أ) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0 \cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2) \big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$. (ب) $\omega_0 = 9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: ومنه $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 = 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، أي $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ حالة: فالخشونة الكمومية لبندول مخبري تقع ثلاثين رتبة تحت كل ما يمكن مشاهدته. (ج) $16 \times 10^{-26} \times 10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، أي $N \approx 240$: فالتأرجح الجزيئي لا يحوي إلا بضع مئات من الحالات الكمومية، وتفصل المطيافية مستوياته الدنيا واحدًا واحدًا. (د) الحدّ هو حيث تكون مساحات الحركة الطورية مضاعفًا متواضعًا للمقدار $h$: فالجزيئات وما دونها كمومية، وكل ما يُرى كلاسيكي.