الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

4التحريك النسبي

تصنع الأشعة الكونية، حين تصطدم بأعالي الغلاف الجوّي، ميونات على ارتفاع خمسة عشر كيلومترًا — وهي جسيمات غير مستقرة تعيش، في المتوسط، ميكروثانيتين. وميكروثانيتان بسرعة تقارب سرعة الضوء هما ستّمئة متر؛ ومع ذلك تنقر كواشف الميونات عند مستوى البحر نقرًا مطّردًا، فتحصي جسيمات قطعت عشرين ضعف مداها المقرَّر. وحلّ هذا التناقض ليس تفصيلًا من تفاصيل فيزياء الجسيمات، بل مراجعة للمفاهيم التي تقوم تحت الفيزياء كلها: فالزمن ينقضي على الميون المتحرك غير ما ينقضي علينا، والمسافات تنكمش على منحى حركته. ويبني هذا الفصل تلك المراجعة — أي النسبية الخاصة (أينشتاين، 1905) — انطلاقًا من مسلَّمتيها: قوانين الفيزياء واحدة في كل مرجع عطالي، وللضوء في الخلاء السرعة نفسها فيها جميعًا. وكل ما سوى ذلك يتبع بتحريك أمين: تشابك الفضاء مع الزمن في تحويل لورنتز، وتمدد الزمن، وتقلص الأطوال، والقاعدة الجديدة لجمع السرعات، والهندسة — أي الزمكان وفاصله الثابت — التي يصير فيها ذلك كله طبيعيًا كالدورانات.

4.1 مسلَّمتان في وجه الزمن المطلق

ملاحظة 4.1 (من أين يأتي التعارض)

كان للميكانيك دائمًا مبدأ نسبية: ففي سفينة تبحر بسلاسة لا تفضح أيّ تجربة بالكرات والبنادول حركتَها (غاليلي)، وتصحّ قوانين نيوتن في كل مرجع عطالي، أي في المراجع المتحركة بسرعة ثابتة بعضها بالنسبة إلى بعض. لكن كهرطيسية كتاب السنة الثانية تشتقّ للضوء سرعة محددة، $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، من ثوابت الطبيعة، من دون ذكر لمن يقيسها — والتجارب توافق: فسرعة ضوء النجوم الواصل إلى الأرض المتحركة، مقيسةً عبر الفصول، لا تتغير أبدًا (ميكلسون ومورلي، 1887، وكل من تلاهما). والتحريك الغاليلي، الذي تُجمع فيه السرعات، لا يستطيع هضم سرعة واحدة للجميع. فلا بدّ أن يتنازل شيء، وهو افتراضنا أن الزمن والتزامن مطلقان.

مبرهنة 4.2 (مسلَّمتا النسبية الخاصة)

(1) النسبية: تأخذ قوانين الفيزياء الصورة نفسها في كل مرجع عطالي؛ ولا تجربة تميّز السكون من الحركة المنتظمة. (2) الضوء: ينتشر الضوء في الخلاء بالسرعة نفسها $c$ في كل مرجع عطالي، مهما تكن حركة المنبع أو حركة الراصد.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

تعريف 4.3 (الأحداث والتزامن)

الحدث وقوع نقطي: مكان محدد ولحظة محددة — شرارة أو نقرة كاشف أو تفكك. ويسند كل مرجع عطالي إلى الحدث إحداثياته $(t, x, y, z)$ ، مستعملًا مساطر ساكنة فيه وساعات متزامنة موزعة عليه. ويكون حدثان متزامنين في مرجع حين تسند ساعات ذلك المرجع إليهما الزمن $t$ نفسه — وأول ضحايا المسلَّمتين أن هذا المفهوم يتوقف على المرجع.

مثال 4.4 (القطار والصاعقتان)

تضرب الصاعقة طرفَي قطار سريع فتترك أثرين على القطار وعلى السكة. فبالنسبة إلى راصدة على الأرض تقف في منتصف المسافة بين الأثرين، يصل الوميضان معًا: فالضربتان متزامنتان عندها. أما المسافر الجالس في منتصف القطار فيتحرك نحو أحد الوميضين ومبتعدًا عن الآخر؛ ولمّا كان الضوء يسير بالسرعة $c$ في مرجعه هو أيضًا، بلغه الوميض الأمامي أولًا — ولمّا كان على مسافة واحدة من الأثرين على القطار، وجب أن يستنتج أن الضربة الأمامية وقعت قبل الأخرى. ولا أحد منهما مخطئ: فتزامن حدثين متباعدين ليس واقعة عن العالم بل عن المرجع. وهنا ينحلّ كل “تناقض” نسبي.

ضربتان تتركان أثرًا على القطار وعلى السكة. فالراصدة الأرضية، وهي في منتصف المسافة بين الأثرين، تتلقى الوميضين معًا: أي إنهما متزامنان عندها. أما المسافر فيجري نحو الوميض B؛ فيبلغه أولًا، وهو — على مسافة واحدة من الأثرين في مرجعه — يستنتج أن B ضربت أولًا. فالتزامن نسبي.

4.2 تحويل لورنتز

مبرهنة 4.5 (تحويل لورنتز)

ليتحرك المرجع $\mathcal R'$ بالسرعة $v$ على محور $x$ من المرجع $\mathcal R$ ، ولينطبق مبدآهما عند $t = t' = 0$ . عندئذٍ يكون للحدث $(t, x)$ من $\mathcal R$ في $\mathcal R'$ الإحداثيات

x' = \gamma\,(x - vt) , \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{v\,x}{c^2}\Big) , \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} ,

مع $y' = y$ و $z' = z$ ؛ والتحويل العكسي هو نفسه مع $v \to -v$ . ومن أجل $v \ll c$ يكون $\gamma \to 1$ فنستعيد صيغتَي غاليلي $x' = x - vt$ و $t' = t$ . والعامل $\gamma \ge 1$ — وهو $1$ بالكاد عند السرعات اليومية، و $1.15$ عند $c/2$ ، و $7.1$ عند $0.99c$ — يقيس كل أثر نسبي في هذا الفصل.

برهان جزئي. يفرض تجانس الفضاء والزمن أن يكون التحويل خطيًا؛ ويرجعه التناظر بين المرجعين ومسلَّمة النسبية إلى $x' = \gamma(x - vt)$ و $x = \gamma(x' + vt')$ بدالة مجهولة واحدة هي $\gamma(v)$ . ولنتابع وميضًا ضوئيًا يُطلق من المبدأ المشترك: تقتضي المسلَّمة (2) أن يكون $x = ct$ و $x' = ct'$ . وبالتعويض نجد $ct' = \gamma t(c - v)$ و $ct = \gamma t'(c + v)$ ؛ وبضرب المعادلتين نجد $c^2 = \gamma^2(c^2 - v^2)$ ، وهو $\gamma$ المذكور. وبحذف $x'$ بين العلاقتين الخطيتين نجد صيغة الزمن. (أما الخطوة من “الضوء يوافق” إلى “التحويل الكامل محدَّد” — من دون تمديد متبقٍّ للمناحي المستعرضة أو إعادة تحجيم — فتستعمل حجج التناظر المفصَّلة في التمرين 4.11.) ∎

قضية 4.6 (تمدد الزمن)

ساعة ساكنة في $\mathcal R'$ — تنقر عند $x'$ ثابتة — تُرى من $\mathcal R$ بطيئة: فبين نقرتين منها يفصل بينهما الزمن الذاتي $\Delta\tau$ (وهو زمن المرجع الذي تسكن فيه الساعة)، يقيس المرجع $\mathcal R$

\Delta t = \gamma\,\Delta\tau \ge \Delta\tau .

فالساعات المتحركة بطيئة — كلها، البيولوجية والذرّية ودون الذرّية، لأن الزمن نفسه هو الذي يتمدد، لا آلية من الآليات.

برهان. نقرتان عند $x'$ نفسها: يعطي التحويل العكسي $\Delta t = \gamma(\Delta t' + v\,\Delta x'/c^2) = \gamma\,\Delta\tau$ لأن $\Delta x' = 0$ . وتعطي صورة الساعة الضوئية (التمرين 4.2) العامل $\gamma$ نفسه انطلاقًا من فيثاغورس وحده. ∎

قضية 4.7 (تقلص الأطوال)

قضيب طوله الذاتي $L_0$ (أي طوله في مرجع سكونه)، يتحرك على منحى طوله بالسرعة $v$ ، يُقاس في المخبر

L = \frac{L_0}{\gamma} \le L_0 .

ولا تتغير الأبعاد المستعرضة. فقياس قضيب متحرك يعني تعيين طرفيه في اللحظة المخبرية نفسها — ولمّا كان التزامن يتوقف على المرجع، توقف الطول عليه كذلك.

برهان. نعلّم الطرفين عند الزمن المخبري $t$ نفسه: فيعطي التحويل $\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t) = \gamma\,\Delta x$ مع $\Delta t = 0$ ، ومع $\Delta x' = L_0$ : ومنه $\Delta x = L_0/\gamma$ . ∎

الساعة الضوئية: فوتون يرتدّ بين مرآتين. فمن المرجع الذي تتحرك فيه الساعة، يقطع الفوتون مسلكًا أطول ومائلًا بالسرعة c نفسها: فتطول النقرة، ويكون t = \,، بفيثاغورس وحده. — الساعة الضوئية: فوتون يرتدّ بين مرآتين. فمن المرجع الذي تتحرك فيه الساعة، يقطع الفوتون مسلكًا أطول ومائلًا بالسرعة $c$ نفسها: فتطول النقرة، ويكون $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ ، بفيثاغورس وحده.

مثال 4.8 (الميون، مفسَّرًا مرتين)

ميون سرعته $v = 0.995c$ له $\gamma = 10$ . ففي مرجعنا تسير ساعته الداخلية أبطأ عشر مرات: فتمتد ميكروثانيتا عمره الذاتي إلى عشرين، ويقطع ستة كيلومترات بدل ستمئة متر. وفي مرجع الميون يكون عمره $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ العادية — لكن الجبل المندفع نحوه متقلص عشر مرات، فيسعه المدى. ويتفق المرجعان على الواقعة الفيزيائية الوحيدة، وهي هل يبلغ الميون الكاشف: فالنسبية تعيد خلط الأزمنة والأطوال، لا النتائج (المسألة 4.1).

طريقة 4.9 (إبقاء الآثار في نصابها)

(1) نعيّن الأحداث (إصدار أو وصول أو نقرة أو تفكك)، لا “الأجسام”. (2) الزمن الذاتي $\Delta\tau$ يخصّ الساعة الوحيدة الحاضرة عند الحدثين معًا: وكل مرجع آخر يقيس أكثر، أي $\gamma\Delta\tau$ . (3) والطول الذاتي $L_0$ يخصّ مرجع سكون القضيب: وكل مرجع آخر يقيس أقلّ، أي $L_0/\gamma$ . (4) وحين يقع “التناقض”، ابحث عن الحدثين المتباعدين مكانيًا اللذين يُسمَّيان متزامنين في صمت، واسأل: في أيّ مرجع؟ (5) وتحقق من النهاية $v/c \to 0$ ، وتذكّر أن $\gamma - 1 \approx \tfrac12 v^2/c^2$ عند السرعات الصغيرة — وهو حجم التصحيحات النسبية اليومية.

4.3 تركيب السرعات؛ ظاهرة دوبلر

قضية 4.10 (التركيب النسبي للسرعات)

إذا تحرك جسم بالسرعة $u'$ على المحور $x'$ في المرجع $\mathcal R'$ ، وكان هذا الأخير يتحرك بالسرعة $v$ بالنسبة إلى $\mathcal R$ ، فإن $\mathcal R$ لا يقيس $u' + v$ بل

u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2} .

فمن أجل السرعات اليومية يكون المقام $1$ فيعود غاليلي؛ ومن أجل $u' = c$ تعطي الصيغة $u = c$ مهما تكن $v$ — فالضوء عند $c$ عند الجميع، كما بُني في الصياغة؛ ولا تركيب لسرعات دون $c$ يبلغ $c$ أبدًا.

برهان. $u = \dd x/\dd t$ مع التحويل العكسي: $\dd x = \gamma(\dd x' + v\,\dd t')$ و $\dd t = \gamma(\dd t' + v\,\dd x'/c^2)$ ؛ ثم نقسم. ∎

مثال 4.11 (تفسير معامل فرينل)

ينتقل الضوء في ماء ساكن بالسرعة $c/n$ . وفي ماء يجري بالسرعة $v$ قاس فيزو (1851) القيمة المحيّرة $c/n + v(1 - 1/n^2)$ : لا الجرّ الكامل $c/n + v$ . ولنركّب $u' = c/n$ مع $v$ :

u = \frac{c/n + v}{1 + v/nc} \approx \Big(\frac{c}{n} + v\Big)\Big(1 - \frac{v}{nc}\Big) \approx \frac{c}{n} + v\Big(1 - \frac{1}{n^2}\Big) ,

حتى المرتبة الأولى في $v/c$ . فنتيجة مخبرية من القرن التاسع عشر، لم يكن لها تفسير حينذاك، ليست إلا قانون تركيب السرعات مقروءًا في المرتبة الأولى — وهي من التأكيدات الهادئة التي ذكرها أينشتاين سنة 1905.

قضية 4.12 (ظاهرة دوبلر الطولية)

منبع تواتره الذاتي $f_0$ يبتعد بالسرعة $v = \beta c$ على خط النظر، يُستقبل عند

f = f_0\,\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}} \qquad \text{(في حالة الاقتراب: } \beta \to -\beta\text{)} .

ويتركب أثران: التمديد الكلاسيكي لأزمنة الوصول، إذ تنطلق كل قمة من مسافة أبعد، والتباطؤ النسبي لساعة المنبع — أي العامل $\gamma$ الذي يبقى حتى عند $90^\circ$ (وهي ظاهرة دوبلر المستعرضة، أي تمدد الزمن الصرف).

برهان. في مرجع المستقبِل يصدر المنبع قمة كل $\gamma/f_0$ (بالتمدد)، وتنطلق كل واحدة من مسافة أبعد بالمقدار $v\gamma/f_0$ ، فتصل القمم كل $\gamma(1 + \beta)/f_0 = \sqrt{(1+\beta)/ (1-\beta)}\,/f_0$ . ∎

مثال 4.13 (تباعد المجرّات)

خط الهدروجين المصدَر عند $656.3\,\mathrm{nm}$ يصل من مجرّة بعيدة عند $689\,\mathrm{nm}$ : أي $f/f_0 = 0.953$ ، ومنه $\beta \approx 0.048$ — فالمجرّة تبتعد بسرعة $14\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . وبتطبيق هذه الصيغة الواحدة على السماء كلها تحوّلت الأطياف إلى خريطة للكون المتمدد؛ ويتابع فصل هذا الكتاب الأخير هذه القصة.

4.4 الزمكان والفاصل الثابت

مبرهنة 4.14 (الفاصل الثابت)

من أجل أيّ حدثين، فإن التركيب

\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

له القيمة نفسها في كل مرجع عطالي — وهو المقدار الذي تحفظه النسبية بينما تتلوّى الأزمنة والأطوال. وإشارته تصنّف الزوج: زمني ( $\Delta s^2 > 0$ ): فيوجد مرجع يجمع الحدثين في المكان نفسه، ويكون $\Delta s/c$ الزمن الذاتي بينهما؛ وفضائي ( $\Delta s^2 < 0$ ): فيوجد مرجع يجعلهما متزامنين، ولا إشارة تصل بينهما؛ وضوئي ( $\Delta s^2 = 0$ ): فلا يصل بينهما إلا الضوء.

برهان. بالتعويض المباشر بتحويل لورنتز: $c^2t'^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2 \big] = \gamma^2(1 - \beta^2)(c^2t^2 - x^2) = c^2t^2 - x^2$ . وأما التصنيف: فجمع الحدثين في المكان نفسه يحتاج إلى مرجع سرعته $v = \Delta x/\Delta t$ ، وهو ممكن لمّا $|\Delta x| < c\,|\Delta t|$ (الحالة الزمنية)؛ وجعلهما متزامنين يحتاج إلى $v = c^2\Delta t/\Delta x$ ، وهو ممكن لمّا $|\Delta x| > c\,|\Delta t|$ (الحالة الفضائية). ∎

ملاحظة 4.15 (للسببية هندسة)

يمرّ بكل حدث مخروط ضوئه: أي الأحداث التي يستطيع التأثير فيها (المخروط المستقبلي)، وتلك التي أمكنها أن تؤثر فيه (المخروط الماضي)، و“الأمكنة الأخرى” الفضائية المقطوعة سببيًا. ولمّا كان ترتيب زوج فضائي يتوقف على المرجع — فبعض المراجع يرى A قبل B وبعضها يرى B قبل A — فإن أيّ إشارة أسرع من الضوء كانت ستتيح لراصد أن يشاهد أثرًا يسبق سببه. فحدّ السرعة في النسبية ليس شأنًا يخصّ المحركات؛ بل هو ثمن تاريخ متسق.

الزمكان حول حدث واحد (النقطة عند المبدأ). يفصل مخروط ضوئه بين ما يستطيع التأثير فيه (المستقبل)، وما أمكنه أن يؤثر فيه (الماضي)، والأمكنة الأخرى الفضائية. وتبقى خطوط كون المادة أشدّ ميلًا من 45 — أي داخل المخروط دائمًا. — الزمكان حول حدث واحد (النقطة عند المبدأ). يفصل مخروط ضوئه بين ما يستطيع التأثير فيه (المستقبل)، وما أمكنه أن يؤثر فيه (الماضي)، والأمكنة الأخرى الفضائية. وتبقى خطوط كون المادة أشدّ ميلًا من $45^\circ$ — أي داخل المخروط دائمًا.

مثال 4.16 (التوأم المسافر)

يطير أحد التوأمين إلى نجم يبعد $8$ سنوات ضوئية بسرعة $0.8c$ (أي $\gamma = 5/3$ ) ثم يعود. فزمن الأرض $2 \times 8/0.8 = 20\,\mathrm{yr}$ . أما زمن المسافر الذاتي فهو $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ — أي أصغر بثماني سنوات، ولا تناقض: فوضعا التوأمين ليسا متناظرين، إذ إن أحد خطَّي الكون مستقيم (عطالي طوال الرحلة) وللآخر انكسار عند الاستدارة. وبين حدثين ثابتين، يكون خط الكون المستقيم صاحب أطول زمن ذاتي — ففي هندسة الزمكان يكون الالتفاف أقصر عمرًا. والأثر مقيس روتينيًا: إذ تخالف الساعات الذرّية المحمولة حول العالم شقيقاتها المقيمات بالنانوثواني المتنبَّأ بها بالضبط (المسألة 4.1).

محطة أشعة كونية على ارتفاع. الميونات التي تحصيها، وقد وُلدت على ارتفاع عشرة كيلومترات فوقها، لا تبلغها إلا لأن الساعات المتحركة بطيئة — أي تمدد الزمن، مقيسًا كل ليلة على قمم الجبال.

4.5 تمارين

تمرين 4.1 ★

احسب $\gamma$ من أجل $v/c = 0.1$ و $0.5$ و $0.9$ و $0.99$ و $0.999$ . ومن أجل محطة الفضاء الدولية ( $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ )، احسب $\gamma - 1$ بتقريب السرعات الصغيرة، والزمن الذي “يكسبه” طاقمها (أم يخسره؟) في مهمة مدتها ستة أشهر بالنسبة إلى ساعة على الأرض، مع إهمال الثقالة.

حل

حل التمرين 4.1.

$\gamma = 1.005$ و $1.155$ و $2.294$ و $7.09$ و $22.4$ . وفي محطة الفضاء الدولية: $\beta = 2.57 \times 10^{-5}$ و $\gamma - 1 \approx \beta^2/2 = 3.3 \times 10^{-10}$ ؛ وعلى مدى ستة أشهر ( $1.6 \times 10^{7}{}\,\mathrm{s}$ ) تتأخر ساعة الطاقم تأخرًا مقداره $\approx5\,\mathrm{ms}$ (بأثر السرعة وحده؛ فعلى ارتفاع المحطة المنخفض يقلّل الأثر الثقالي هذا التأخر ولا يعكسه).

تمرين 4.2 ★

الساعة الضوئية في الشكل: (أ) اكتب النقرة $\Delta\tau = 2d/c$ للساعة الساكنة (حيث $d$ تباعد المرآتين)؛ (ب) انطلاقًا من فيثاغورس في المرجع الذي تتحرك فيه بالسرعة $v$ ، استنتج $\Delta t = \gamma\Delta\tau$ ؛ (ج) لماذا تقتضي الحجة أن تكون المسافة المستعرضة $d$ نفسها في المرجعين؟ (د) أعطِ الحجة (مسطرتان متطابقتان تمرّ إحداهما بالأخرى) التي تبيّن أن الأطوال المستعرضة لا يمكن أن تتغير.

حل

حل التمرين 4.2.

(أ) $\Delta\tau = 2d/c$ . (ب) في كل نصف نقرة يقطع الفوتون الوتر: $(c\Delta t/2)^2 = (v\Delta t/2)^2 + d^2$ مع $d = c\Delta\tau/2$ ؛ وبالحل: $\Delta t = \Delta\tau/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ . (ج) لو تغيّرت $d$ مع الحركة لكانت خطوة فيثاغورس خاطئة. (د) لتمرّ مسطرتان متطابقتان، تحمل كل منهما في طرفها فرشاة تشير إلى الأخرى. فلو قلّصت الحركة الأطوال المستعرضة، لتنبأ كل مرجع بأن مسطرته ترسم أثرًا وراء طرف الأخرى — أي واقعتان متناقضتان عن ضربتَي الفرشاة نفسيهما عند حدث المرور نفسه. والتناقض عند حدث واحد غير مسموح: فلا يمكن أن تتغير الأطوال المستعرضة.

تمرين 4.3 ★

يُخلق ميون على ارتفاع $15\,\mathrm{km}$ بسرعة $v = 0.999c$ . (أ) ما $\gamma$ له وما عمره المتوسط في مرجعنا؟ (ب) ما المسافة المتوسطة التي يقطعها؟ (ج) ما سماكة الغلاف الجوّي في مرجعه؟ (د) ما نسبة هذه الميونات التي تبلغ الأرض، مع النسبية ومن دونها (وقانون التفكك $\eu^{-t/\tau}$ مع $\tau = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ )؟

حل

حل التمرين 4.3.

$\gamma = 22.4$ . (أ) $\gamma\tau = 49\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (ب) $v\gamma \tau = 14.8\,\mathrm{km}$ . (ج) $15/22.4 = 670\,\mathrm{m}$ . (د) زمن الطيران في المخبر $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : فمن دون النسبية $\eu^{-50/2.2} \approx 10^{-10}$ — أي لا شيء؛ ومع النسبية يكون الزمن الذاتي $50/22.4 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ، والنسبة $\eu^{-1} \approx 0.37$ .

تمرين 4.4 ★

حدثان على المحور $x$ : الحدث A عند $(t = 0, x = 0)$ ، والحدث B عند $(t = 2\,\text{µ}\mathrm{s}, x = 300\,\mathrm{m})$ . (أ) احسب $\Delta s^2$ : أهو زمني أم فضائي؟ (ب) هل يمكن أن يكون A سببًا للحدث B؟ (ج) أوجد سرعة المرجع الذي يقع فيه A و B في المكان نفسه، والزمن الذاتي بينهما هناك. (د) الأسئلة الثلاثة نفسها من أجل B عند $(1\,\text{µ}\mathrm{s}, 600\,\mathrm{m})$ — فأيّ مرجع يوجد الآن، وأيّها لا يوجد؟

حل

حل التمرين 4.4.

(أ) $c\Delta t = 600\,\mathrm{m}$ و $\Delta x = 300\,\mathrm{m}$ : ومنه $\Delta s^2 = (600^2 - 300^2)\,\mathrm{m}^{2} > 0$ ، أي زمني. (ب) نعم: تكفي إشارة بالسرعة $\Delta x/\Delta t = c/2$ . (ج) وهي سرعة المرجع نفسها، $v = 0.5c$ ؛ والزمن الذاتي $\Delta s/c = \sqrt{600^2 - 300^2}/c = 520/c = 1.73\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (د) الآن $c\Delta t = 300 < \Delta x = 600$ : أي فضائي؛ فلا رابط سببي ممكن؛ ولا مرجع يجمعهما في المكان نفسه، لكن المرجع الذي سرعته $v = c^2\Delta t/\Delta x = 0.5c$ يجعلهما متزامنين.

تمرين 4.5 ★★

تدور سواتل نظام تحديد المواقع بسرعة $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (أ) احسب $\gamma - 1$ . (ب) بكم تتأخر ساعة الساتل عن ساعة أرضية في اليوم، بتمدد الزمن وحده؟ (ج) يعمل تحديد الموضع بتوقيت إشارات تسير بالسرعة $c$ : فأيّ خطأ في الموضع يقابل يومًا واحدًا من الانزياح النسبي الخاص غير المصحَّح؟ (د) التصحيح الكامل (مع الثقالة، معالجًا بروح الفصل الأخير) هو $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم، إذ يغلب الانزياح الثقالي نحو الأزرق تمدد الزمن: فماذا تقول لك الإشارة عن أيّ الأثرين أكبر على ارتفاع $20\,200\,\mathrm{km}$ ؟

حل

حل التمرين 4.5.

(أ) $\beta = 1.29 \times 10^{-5}$ : ومنه $\gamma - 1 = 8.3 \times 10^{-11}$ . (ب) $86400\,\mathrm{s} \times 8.3 \times 10^{-11} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم. (ج) $c \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 2.2\,\mathrm{km}$ — فالملاحة كانت ستموت في يوم واحد. (د) المحصلة $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ تعني أن الانزياح الثقالي نحو الأزرق ( $+45.7$ ) يفوق التباطؤ الحركي ( $-7.2$ ): فعلى ارتفاع $20\,200\,\mathrm{km}$ ، يسرّع الجلوس أعلى في كمون الأرض الساعةَ أكثر ممّا تبطئها السرعة المدارية.

تمرين 4.6 ★★

(أ) سفينة تسير بسرعة $0.8c$ تطلق مسبارًا إلى الأمام بسرعة $0.8c$ بالنسبة إليها: فما سرعة المسبار عندنا؟ (ب) سفينتان تقتربان إحداهما من الأخرى، كل منهما بسرعة $0.9c$ في مرجعنا: فما سرعتهما النسبية؟ (ج) بيّن انطلاقًا من قانون التركيب أن $u' < c$ و $v < c$ يستلزمان $u < c$ (حلّل العبارة $c - u$ ). (د) مؤشر ليزر يُمسح على وجه القمر يمكن أن يرسم بقعة تتحرك أسرع من $c$ : فلماذا لا يخرق هذا أيّ قانون؟

حل

حل التمرين 4.6.

(أ) $1.6c/1.64 = 0.976c$ . (ب) $1.8c/1.81 = 0.994c$ . (ج) $c - u = \dfrac{(c - u')(c - v)}{c\,(1 + u'v/c^2)}$ : والعاملان موجبان، ومنه $u < c$ . (د) البقعة نقش متحرك لا شيء مادي: فلا مادة ولا طاقة ولا معلومة تنتقل من نقطة من وجه القمر إلى التالية — إذ سار كل فوتون نحو القمر بالسرعة $c$ .

تمرين 4.7 ★★

ثنائي الصوديوم عند $589.0\,\mathrm{nm}$ يصل من نجم عند $575.0\,\mathrm{nm}$ . (أ) أهو مقترب أم مبتعد؟ وبأيّ سرعة؟ (ب) بأيّ سرعة ينزاح ضوء مرئي ( $550\,\mathrm{nm}$ ) إلى ما تحت الأحمر القريب ( $1100\,\mathrm{nm}$ )؟ (ج) من أجل $\beta \ll 1$ ، بيّن أن $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ وأعطِ القاعدة التقريبية بالكيلومتر في الثانية لكل $\text{Å}$ عند $600\,\mathrm{nm}$ . (د) منبع يدور على مسافة ثابتة يُظهر انزياحًا مع انعدام الحركة القطرية: فأيّ أثر هذا، ومن أيّ مرتبة في $\beta$ ؟

حل

حل التمرين 4.7.

(أ) طول الموجة أقصر: إذًا هو مقترب. $f/f_0 = 589/575 = 1.024$ ؛ و $(1+\beta)/(1-\beta) = 1.049$ : ومنه $\beta = 0.024$ ، أي نحو $7200\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (ب) النسبة $2$ : ومنه $(1+\beta)/(1-\beta) = 4$ و $\beta = 0.6$ . (ج) بنشر الجذر التربيعي نجد $\Delta\lambda/\lambda \approx \beta$ ؛ وعند $600\,\mathrm{nm}$ يعطي المقدار $1\,\text{Å} = 0.1\,\mathrm{nm}$ القيمة $\beta = 1.7 \times 10^{-4}$ : أي نحو $50\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ لكل أنغستروم — وهو الردّ المألوف عند الفلكي. (د) ظاهرة دوبلر المستعرضة: أي تمدد الزمن الصرف، من المرتبة $\beta^2$ — ولا تُقاس إلا بدقة ذرية.

تمرين 4.8 ★★

العمود والحظيرة. عمود طوله $20\,\mathrm{m}$ يُحمل عند $\gamma = 2$ نحو حظيرة طولها $10\,\mathrm{m}$ لها بابان. (أ) ما طول العمود في مرجع الحظيرة: هل يسعه المكان؟ (ب) في مرجع العدّاء تكون الحظيرة طولها $5\,\mathrm{m}$ : فكيف يصحّ الأمران معًا؟ عيّن الحدثين (“يُغلق الباب الأمامي” و“يُفتح الباب الخلفي”) وقارن ترتيبهما الزمني في المرجعين. (ج) احسب الزمن بين هذين الحدثين في كل مرجع من أجل إغلاق متزامن في الحظيرة. (د) اذكر العبرة في جملة واحدة (أيّ افتراض صامت وقع فيه “التناقض”؟).

حل

حل التمرين 4.8.

(أ) $20/2 = 10\,\mathrm{m}$ : فيسعه المكان بالكاد، ويمكن إغلاق البابين في آن واحد (في مرجع الحظيرة). (ب) في مرجع العدّاء يكون حدثا “يُغلق الباب الأمامي” و“يُفتح الباب الخلفي” غير متزامنين: فيُفتح المخرج قبل أن يُغلق المدخل، ويخترق العمود ذو الطول $20\,\mathrm{m}$ حظيرةً طولها $5\,\mathrm{m}$ من دون أن يُحبس قط. (ج) في مرجع الحظيرة: $\Delta t = 0$ على المسافة $\Delta x = 10\,\mathrm{m}$ . وفي مرجع العدّاء: $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 2 \times 0.866c \times 10/c^2 = 58\,\mathrm{ns}$ . (د) قولنا “العمود محبوس” يزعم في صمت أن حدثين متباعدين (إغلاق البابين معًا) متزامنان — وهي عبارة تتوقف على المرجع، لا واقعة.

تمرين 4.9 ★★

صاروخ طوله الذاتي $100\,\mathrm{m}$ يمرّ بمحطة فضائية بسرعة $0.6c$ . (أ) كم تستغرق ساعة المحطة بين مرور المقدمة ومرور المؤخرة؟ (ب) السؤال نفسه من أجل ساعة على الصاروخ تراقب المحطة (طولها الذاتي $300\,\mathrm{m}$ ) وهي تمرّ. (ج) تطلق المحطة ملقطَي إرساء في آن واحد (في مرجعها)، والمسافة بينهما $80\,\mathrm{m}$ : فما الزمن بين الإطلاقين عند الصاروخ، وأيّهما ينطلق أولًا؟ (د) تحقق من توافق $\Delta s^2$ بين المرجعين من أجل زوج حدثَي الملقطين.

حل

حل التمرين 4.9.

$\gamma = 1.25$ عند $0.6c$ . (أ) الطول المتحرك $100/1.25 = 80\,\mathrm{m}$ بالسرعة $1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أي $444\,\mathrm{ns}$ . (ب) $240/1.8 \times 10^{8} = 1.33\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (ج) $|\Delta t'| = \gamma v\Delta x/c^2 = 200\,\mathrm{ns}$ ؛ ومن $t' = \gamma(t - vx/c^2)$ ، ينطلق الملقط ذو $x$ الأكبر — أي الأمامي — أولًا عند الصاروخ. (د) عند المحطة: $\Delta s^2 = 0 - 80^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ . وعند الصاروخ: $\Delta x' = \gamma\,\Delta x = 100\,\mathrm{m}$ و $c\Delta t' = 60\,\mathrm{m}$ : ومنه $60^2 - 100^2 = -6400\,\mathrm{m}^{2}$ — أي ثابت.

تمرين 4.10 ★★★

التوأمان بالتفصيل. تطير ستيلّا بسرعة $0.8c$ إلى نجم يبعد $8\,\mathrm{ly}$ (في مرجع الأرض) وتعود بالسرعة $0.8c$ ؛ وتبقى تيرّا. (أ) احسب زمن كل من التوأمين. (ب) في مرجع ذهاب ستيلّا، كم يبعد النجم، وكم تستغرق رحلة الذهاب عندها؟ (ج) قبيل الاستدارة وبُعيدها، ماذا تحسب ستيلّا بشأن “الزمن الآن على الأرض” (استعمل الحدّ $vx/c^2$ )؟ بيّن أن حسابها يقفز سنوات عند الانكسار — وأن هذه القفزة هي بالضبط ما يوفّق بين المجموعين. (د) فسّر لماذا لا يمكن إجراء أيّ حجة متناظرة من جهة ستيلّا.

حل

حل التمرين 4.10.

(أ) تيرّا: $20\,\mathrm{yr}$ ؛ وستيلّا: $20/\gamma = 12\,\mathrm{yr}$ . (ب) تتقلص المسافة إلى $8/\gamma = 4.8\,\mathrm{ly}$ ، وتُقطع في $4.8/0.8 = 6\,\mathrm{yr}$ من زمنها — وهو متسق مع $12\,\mathrm{yr}$ في الرحلة كاملة. (ج) التزامن مع حدث الاستدارة $(t = 10\,\mathrm{yr},\ x = 8\,\mathrm{ly})$ : يسند مرجع الذهاب إلى ساعة الأرض القيمة $t - vx/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\,\mathrm{yr}$ ؛ ويسند مرجع العودة $10 + 6.4 = 16.4\,\mathrm{yr}$ . فيقفز “الآن على الأرض” عندها $12.8\,\mathrm{yr}$ عند الانكسار؛ ويطابق دفترها $3.6 + 12.8 + 3.6 = 20\,\mathrm{yr}$ تيرّا بالضبط. (د) تشغل ستيلّا مرجعين عطاليَّين اثنين يصل بينهما تسارع تحسّ به؛ أما تيرّا فتشغل مرجعًا واحدًا. وخط الكون المستقيم بين حدثَي المغادرة واللقاء يحمل أطول زمن ذاتي؛ وخط ستيلّا وحده هو المنكسر.

تمرين 4.11 ★★★

اشتقاق لورنتز بأمانة. (أ) استدلّ من التجانس على أن التحويل يجب أن يكون خطيًا. (ب) بفرض $x' = \gamma(x - vt)$ و، بمبدأ النسبية، $x = \gamma(x' + vt')$ ، استنتج $t'$ بدلالة $t$ و $x$ من دون استعمال الضوء. (ج) بيّن أن اشتراط $x = ct \Rightarrow x' = ct'$ يحدّد $\gamma$ بقيمته المذكورة. (د) أين بالضبط استعملت الحجة كلًّا من المسلَّمتين؟

حل

حل التمرين 4.11.

(أ) لو كان التطبيق لاخطيًا لما بدت حركة منتظمة منتظمةً في المرجع الآخر، فتمايزت نقاط الفضاء والزمن المتجانسين. (ب) بتعويض إحدى العلاقتين في الأخرى: $t' = \gamma t + (1 - \gamma^2)x/\gamma v$ . (ج) وبوضع $x = ct$ و $x' = ct'$ : $\gamma(c - v)t = c\gamma t + c(1 - \gamma^2)ct/\gamma v$ ، وحلّها $\gamma^2 = 1/(1 - v^2/c^2)$ . (د) أعطت النسبية العامل $\gamma$ نفسه للاتجاهين (فلا مرجع مفضَّل)؛ وحوّلت مسلَّمة الضوء الدالة الحرة المتبقية إلى العامل المحدد $\gamma(v)$ .

تمرين 4.12 ★★★

السرعة الزائدية. عرّف $\varphi$ بالعلاقة $\tanh\varphi = \beta$ . (أ) بيّن أن تحويل لورنتز يُكتب $ct' = ct\cosh\varphi - x\sinh\varphi$ و $x' = x\cosh\varphi - ct\sinh\varphi$ : أي “دوران” بزاوية تخيلية، يحفظ $c^2t^2 - x^2$ كما تحفظ الدورانات $x^2 + y^2$ . (ب) بيّن أن تركيب السرعات يجمع السرعات الزائدية: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ ، واستعد قانون التركيب من $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2)$ . (ج) صاروخ يتسارع بالتسارع $g$ في مرجعه الذاتي: بتسليم أن سرعته الزائدية تنمو وفق $\dd\varphi = g\, \dd\tau/c$ ، أوجد $\beta(\tau)$ وكم من الزمن الذاتي يلزمه ليبلغ $0.99c$ . (د) لماذا يمكن للسرعة الزائدية أن تنمو إلى الأبد بينما لا يستطيع $\beta$ ذلك؟

حل

حل التمرين 4.12.

(أ) مع $\cosh\varphi = \gamma$ و $\sinh\varphi = \gamma\beta$ ، يكون التحويل بالضبط الدوران الزائدي المذكور، ويحفظ $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ المقدار $c^2t^2 - x^2$ . (ب) $\tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = (\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2)/(1 + \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2)$ : وهو بالضبط قانون التركيب — فالسرعات لا تُجمع، بل السرعات الزائدية. (ج) $\varphi = g\tau/c$ ، ومنه $\beta = \tanh(g\tau/c)$ ؛ و $\operatorname{artanh}(0.99) = 2.65$ يعطي $\tau = 2.65c/g \approx 8.1 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.6$ سنة من زمن السفينة. (د) يمسح $\varphi$ الأعداد الحقيقية كلها بينما يتشبّع $\tanh\varphi$ عند $1$ : فيمكن التسارع إلى الأبد، وكسب السرعة الزائدية خطيًا، بينما تزحف السرعة نحو $c$ لا غير.

ألبرت أينشتاين (صورة بعدسة أورن جاك تورنر، 1947، ملك عام). أعاد بحث النسبية سنة 1905 بناء التحريك انطلاقًا من مسلَّمتين — وهذا الفصل، من دون تغيير يُذكر، هو ذلك البحث مع تمارين.

4.6 مسألة: التجربة في السماء

مسألة 4.1

مسألة نهاية الأسبوع — الميونات وساعات الجبل والبرهان على تمدد الزمن

لم يستعمل أنظف اختبار مبكر لتمدد الزمن أيّ جهاز مخبري: فالطبيعة تزوّدنا بساعات نسبية بالآلاف، تمطر على كل جبل. وتعيد هذه المسألة بناء تجربة فريش–سميث (1963)، ثم تنزل بالفيزياء نفسها إلى الطائرات وسواتل الملاحة. المعطيات: عمر الميون الذاتي المتوسط $\tau = 2.20\,\text{µ}\mathrm{s}$ ؛ والتفكك أسّي، إذ تبقى النسبة $\eu^{-t/\tau}$ من الميونات بعد زمن ذاتي $t$ ؛ و $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وجبل واشنطن: فرق الارتفاع $h = 1907\,\mathrm{m}$ بين الكاشفين.

الجزء الأول — ساعات تمطر من السماء.

تصطدم البروتونات الكونية بنوى في أعالي الغلاف الجوّي، وتتفكك الشظايا إلى ميونات على ارتفاع نحو $15\,\mathrm{km}$ . فلماذا يكون جمهور من جسيمات غير مستقرة متطابقة ساعة؟
احسب $c\tau$ ، وهو المدى الطبيعي لعمر الميون المتوسط.
من دون النسبية، ما نسبة الميونات المولودة على ارتفاع $15\,\mathrm{km}$ والمتحركة بسرعة $c$ تقريبًا التي تبلغ الأرض؟ (أعطِ الأسّ؛ فالعدد نفسه عبثي.)
تحصي الكواشف عند مستوى البحر ميونات بوفرة: اذكر التناقض في جملة واحدة.
التدفق عند مستوى البحر نحو ميون واحد في السنتيمتر المربع في الدقيقة: قدّر كم ميونًا يعبر كفّك الممدودة في كل ثانية، وكم يعبر جسمك بين نبضتين.
اختارت التجربة ميونات سرعتها $0.995c$ : احسب العامل $\gamma$ لها.
أحصى فريش وسميث $563 \pm 10$ ميونًا في الساعة على قمة الجبل. فلماذا نقيس على ارتفاعين من الوابل نفسه بدل الوثوق بقصة الخلق على $15\,\mathrm{km}$ ؟

الجزء الثاني — القياس على الجبل.

كم تستغرق رحلة $1907\,\mathrm{m}$ بالسرعة $0.995c$ في مرجع الجبل؟
من دون تمدد الزمن، ما النسبة الباقية بعد تلك الرحلة، وكم ميونًا في الساعة ينبغي أن يبلغ الكاشف السفلي؟
مع تمدد الزمن، كم ينقضي من الزمن الذاتي على الميون في أثناء الرحلة؟
تنبّأ بالنسبة الباقية وبالعدد في الساعة مع النسبية.
كان العدد المقيس في الأسفل $408 \pm 9$ في الساعة. قارن التنبؤين بالمعطيات، واذكر أيّ نظرية تنجو من لقائها بالجبل.
انطلاقًا من النسبة المقيسة $408/563$ ، استخرج عامل التمدد التجريبي وقارنه بالقيمة $\gamma = 10$ . (تتباطأ الميونات قليلًا في التدريع الشبيه بالصخر، فيكون $\gamma$ الفعّال أقلّ قليلًا من قيمته على القمة — وقد وجد فريش وسميث $8.8 \pm 0.8$ .)

الجزء الثالث — قصة الميون كما يرويها.

في مرجع الميون، كم يبلغ ارتفاع جبل واشنطن؟
كم يستغرق مرور الجبل، وما نسبة الميونات المتفككة في تلك المدة؟ تحقق من مطابقتها لتنبؤ الجزء الثاني.
يختلف المرجعان في ما تمدد (أزمننا؟ أم جبله؟) ومع ذلك يتفقان على العدد: فمن أيّ صنف من المقادير هو العدد، ولماذا يجب أن تتفق عليه كل المراجع؟
احسب الفاصل $\Delta s^2$ بين الخلق في الأعلى والوصول في الأسفل، في مرجع الجبل، وتحقق من أن $\Delta s/c$ يساوي زمن الميون الذاتي في الجزء الثاني.
يعترض متشكك: “ربما كان الارتفاع، لا السرعة، هو الذي يغيّر معدلات التفكك.” فأيّ ضبط يوفّره تعلق الأثر المقيس بالعامل $\gamma$ (فالميونات الأبطأ تتمدد أقلّ)؟
تحتجز الحلقات المخزِّنة الحديثة ميونات عند $\gamma = 29.3$ وتقيس أعمارها حتى $10^{-3}$ : فماذا تجد، وماذا يضيف المدار الدائري إلى الاختبار (فأيّ التوأمين هو الميون)؟

الجزء الرابع — على الأرض: الطائرات والسواتل.

تطير طائرة ركاب بسرعة $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في رحلة حول العالم مدتها $40\,\mathrm{h}$ . باستعمال $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ ، احسب تأخر ساعتها النسبي الخاص، بالنانوثانية.
تفصل ساعات السيزيوم النانوثواني بسهولة؛ وقد أكدت رحلات 1971 التنبؤ (بعد إدخال دفعة الثقالة المعاكسة، وهي أكبر على الارتفاع). فلماذا يجب فصل الأثرين بالطيران شرقًا وغربًا معًا؟
ساتل تحديد المواقع ( $v = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) يراكم كم من تأخر الساعة النسبي الخاص في اليوم، بالميكروثانية؟
من دون تصحيح، كم كيلومترًا من خطأ المدى ينتج عن أسبوع واحد من ذلك الانزياح وحده؟
التصحيح الكامل لنظام تحديد المواقع، وهو $+38\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم مع إدخال الثقالة، مهندَس في ساعات السواتل قبل الإطلاق: فماذا كان الملّاح سيشاهد في غضون ساعات لولاه؟
لخّص النتيجة الموسومة: جبل وعدّادان وساعات مقدارها $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ قاست تمدد الزمن عند $\gamma \approx 9$ في حدود $10\%$ سنة 1963 — والفيزياء نفسها تُصحَّح، كل ثانية، في كل هاتف يعرف أين هو.

حل

حل المسألة 4.1.

1. كل الميونات متطابقة تمامًا وتتفكك بمعدل إحصائي ثابت: فالنسبة الباقية من جمهور منها تقيس الزمن الذاتي المنقضي كما يقيسه عقرب ساعة. 2. $c\tau = 3.00 \times 10^{8}\, \times 2.2 \times 10^{-6}\, = 660\,\mathrm{m}$ . 3. $t = 15\,\mathrm{km}/c = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ : والنسبة $\eu^{-50/2.2} = \eu^{-22.7} \approx 1.4 \times 10^{-10}$ . 4. جسيمات “لا تستطيع” أن تقطع أكثر من كيلومتر تقطع خمسة عشر منها وتصل بأعداد وافرة. 5. كفّ مساحتها $\sim100\,\mathrm{cm}^{2}$ : أي ميونان في الثانية؛ وجسم مقطعه الأفقي $\sim10^{3}\,\mathrm{cm}^{2}$ : أي نحو خمسة عشر بين نبضتين — فالنسبية تمطر على الجميع، دائمًا. 6. $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$ . 7. مقارنة عدّتين من الجمهور المنتقى نفسه على فرق ارتفاع معلوم تلغي كل افتراض عن أين تولد الميونات وكم عددها. 8. $t = 1907/(0.995 \times 3 \times 10^{8}) = 6.39\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 9. $\eu^{-6.39/2.2} = 0.055$ : أي نحو $31$ في الساعة. 10. $t/\gamma = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ . 11. $\eu^{-0.64/2.2} = 0.75$ : أي نحو $420$ في الساعة. 12. المقيس $408 \pm 9$ : فتوافق قيمة النسبية $\approx 420$ في حدود التباطؤ الطفيف في ممتصّ الكاشفين؛ أما قيمة الفيزياء الكلاسيكية $31$ فتخطئ بعامل ثلاثة عشر. والجبل هو الحَكَم. 13. $408/563 = 0.725 = \eu^{-t_{\text{ذاتي}}/\tau}$ : ومنه $t_{\text{ذاتي}} = 0.71\,\text{µ}\mathrm{s}$ ، فيكون $\gamma_{\exp} = 6.39/0.71 = 9.0$ — وهو في صميم قيمة فريش وسميث $8.8 \pm 0.8$ . 14. $1907/10 = 191\,\mathrm{m}$ . 15. $191/(0.995c) = 0.64\,\text{µ}\mathrm{s}$ : أي التفكك نفسه بنسبة $25\%$ — وهي رواية الميون للعدّة نفسها. 16. عدّ النقرات مجموعة من أحداث التوافق الموضعي؛ والأحداث وإحصاؤها ثوابت لا تتوقف على المرجع — فقد تختلف المراجع في الأزمنة والأطوال، لا فيما قرأه عدّاد قط. 17. $\Delta s^2 = (c \times 6.39\,\text{µ}\mathrm{s})^2 - (1907\,\mathrm{m})^2 = (1917^2 - 1907^2)\,\mathrm{m}^{2} = (196\,\mathrm{m})^2$ : ومنه $\Delta s/c = 0.65\,\text{µ}\mathrm{s}$ — أي الزمن الذاتي، محسوبًا من دون مغادرة مرجع الجبل قط. 18. لو صحّ ذلك لتوقفت معدلات التفكك على الارتفاع عند كل سرعة سواء؛ في حين أن البقاء يتبع $\gamma$ — فالانتقاءات الأبطأ تتمدد أقلّ، تمامًا كما يقضي $\gamma(v)$ . 19. تجد أعمارًا مقدارها $\gamma\tau$ حتى جزء من ألف (في حلقات تخزين الميونات في سيرن)؛ وتجعل الحلقة الميون مسافرًا متسارعًا على الدوام — فيبقى “التوأم المسافر” فتيًا حتى حين تكون الرحلة استدارة لا تنتهي. 20. $\beta = 8.3 \times 10^{-7}$ : ومنه $\Delta t = \tfrac12\beta^2 \times 144\,000\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{ns}$ . 21. تُضاف سرعة الطائرة إلى سرعة الأرض الدائرة أو تُطرح منها، بينما يكون أثر الارتفاع (الثقالي) هو نفسه في الاتجاهين: فتفصل رحلتا الشرق والغرب المساهمتين فصلًا نظيفًا (وقد طابقت نتيجة 1971 كلتيهما). 22. انطلاقًا من التمرين 4.5: $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ في اليوم. 23. $7 \times 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} \times c \approx 15\,\mathrm{km}.$ 24. كانت المواضع ستنزاح مئات الأمتار في غضون ساعات، وكيلومترات في يوم — ولانهارت الملاحة انهيارًا ظاهرًا في الصباح الأول. 25. سنة 1963 قاس جبل وعدّادان وساعات مقدارها $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ القيمة $\gamma_{\exp} = 9.0$ في مقابل تنبؤ قدره $10$ (ومع التباطؤ، $8.8 \pm 0.8$ ): فتأكد تمدد الزمن في حدود $10\%$ — والفيزياء نفسها تُصحَّح في صمت، كل ثانية، في كل ساتل ملاحة فوق رأسك.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الأحداث والتزامن

عرض كل المصطلحات (431) في المسرد