27الفيزياء الفلكية

حل التمرين 27.1.

(أ) $P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}$ — أي عشرة مليارات جوّ. (ب) $\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: ومنه $T \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K}$ — وهو تقدير خشن، أعلى برتبة من القيمة الحقيقية $1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$، لكن المقياس صحيح. (ج) وهو عند عتبة النفق تمامًا. (د) والنجم الأوّلي ينكمش ويسخن حتى يشتعل اللبّ، ثم يتوقف عن الانكماش: فكل كرة غاز ضخمة بما يكفي لا بدّ أن تبلغ الاشتعال — فالنجم يضبط نفسه على منظِّم الحرارة النووي.

حل التمرين 27.2.

(أ) $L = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. (ب) $T = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}$. (ج) وبفين: $\lambda_{\text{ذروة}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ — فقد تطورت العين على ذروة الشمس. (د) وتدفق التربيع العكسي (السنة الأولى)؛ و ستيفان–بولتزمان وفين: أي جسم الفصل 20 الأسود، مستنتَجًا من إحصاء الفوتونات.

حل التمرين 27.3.

(أ) سيريوس B: أقصى اليسار وأقصى الأسفل؛ وبيتلجوز: أقصى اليمين وأقصى الأعلى. (ب) $R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2$: فسيريوس B $\approx 0.009\,R_\odot \approx$ نصف قطر الأرض؛ وبيتلجوز $\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}$. (ج) وعطارد والزهرة و الأرض والمريخ كانت لتدور داخله. (د) وبحجم الأرض ومع ذلك بكتلة الشمس: فلا شيء إلا ضغط انحلال الإلكترونات (الفصل 19) — فسيريوس B هو القزم الأبيض الكلاسيكي.

حل التمرين 27.4.

(أ) $10\,\text{مليار سنة}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}$. (ب) و $0.5^{-2.5} \approx 5.7$: أي نحو 57 مليار سنة — فكل قزم أحمر وُلد قط لا يزال يحترق. (ج) والإضاءة تنمو وفق $M^{3.5}$ أما الخزان فوفق $M$ لا غير: فالأغنياء يحرقون ثروتهم أسرع مما يودعونها. (د) والنجوم الضخمة تموت في غضون بضعة ملايين سنة من ولادتها — قبل أن تنجرف إلى أيّ مكان: فتنفجر المستعرات العظمى داخل الأذرع الحلزونية المكوِّنة للنجوم التي صنعتها.

حل التمرين 27.5.

(أ) $E = -K$: فالإشعاع يجعل $E$ أشدّ سلبيةً، ومنه ترتفع $K$ — أي درجة الحرارة — ارتفاعًا: وهو توقيع الثقالة الترموديناميكي. (ب) $GM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}$. (ج) $E/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}$. (د) و شمس كلفن لم يكن ليتجاوز عمرها عشرات ملايين السنين، بينما كانت ديدان داروين وصخور لايل تطالب بالمليارات: و كان الحلّ وقودًا لم يعرفه أحد — أي الفصل 25، قبل سبعين سنة.

حل التمرين 27.6.

(أ) $\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: أي ملعقة صغيرة بتسعة أطنان. (ب) $g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — أي ثلاثمئة ألف ضعف ثقالة الأرض. (ج) و $n \propto M/R^3$: فالانحلال يعطي $P \propto M^{5/3}/R^5$، والثقالة تطلب $P \propto M^2/R^4$؛ وبالمساواة، $R \propto M^{-1/3}$. (د) والوزن الأكبر يحتاج إلى ضغط فيرمي أكبر، ولا يوفّره إلا الانضغاط — فتُكمِش الكتلة النجمَ إكماشًا؛ وللّولب جدار: فما إن تصير الإلكترونات نسبوية حتى يليّن قانون الضغط إلى $n^{4/3}$، ويخفق التوازن عند أيّ نصف قطر، وتكون $M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot$ حافة الجرف.

حل التمرين 27.7.

(أ) $V = M/\rho_{\text{نووي}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}$: ومنه $R \approx 14\,\mathrm{km}$ — أي نواة لها أفق مدينة. (ب) و $\omega \propto 1/R^2$: فالتسريع الدوراني بمقدار $(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7}$، ومنه تنكمش مدة 25 يومًا إلى ${\sim}40\,\mathrm{ms}$: أي أرض النوابض. (ج) $g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: فجبل هنا يكون ميليمترات هناك. (د) $B \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T}$ — والمحور المغناطيسي، وهو غير محاذٍ لمحور الدوران، يقمع الإصدار الراديوي على طول قطبيه: فتمسح الحزمة مسح المنارة، ونسمّي الومضات نابضًا.

حل التمرين 27.8.

(أ) $\tfrac12mc^2 = GMm/R$ يعطي $R = 2GM/c^2$. (ب) وللشمس: $3.0\,\mathrm{km}$؛ وللأرض: $8.9\,\mathrm{mm}$ — فاضغط أيًّا منهما داخل ذلك ولن يستطيع الضوء المغادرة. (ج) $R_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$: أي خُمس مدار عطارد — وتُشاهَد نجوم تسوط حوله. (د) $\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2$: فثقب بكتلة $10^8\,M_\odot$ أقلّ كثافة من الماء. فلا حاجة إلى “سحق” شيء عند الأفق — إذ هو نقطة لا عودة، لا سطح صخر.

حل التمرين 27.9.

(أ) $H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) $1/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14$ مليار سنة. (ج) $v = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$؛ و $z \approx v/c \approx 0.047$: فتصل الأطوال الموجية ممطوطةً 5 %. (د) والمعدّل لم يكن ثابتًا — إذ أبطأته المادة باكرًا، وسرّعته الطاقة المظلمة منذئذٍ: وكون $1/H_0$ يقع مع ذلك في حدود مليار سنة من القيمة الحقيقية 13.8 مصادفة كونية صغيرة.

حل التمرين 27.10.

(أ) $\lambda_{\text{ذروة}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}$: أي ميكرويّات، كما أُعلن. (ب) وممطوطة بمقدار $3000/2.725 \approx 1100$ — فالكون أكبر بألف ومئة مرة في كل اتجاه منذئذٍ. وإعادة الالتحام تنتظر عند $3000\,\mathrm{K}$، أي دون $13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}}$ بكثير، لأن توازن ساها (القضية 18.5) يميله ملياران من الفوتونات لكل باريون: فالذيل المؤيِّن يبقي الهدروجين مفكَّكًا طويلًا بعد ما تقوله الطاقات الساذجة. (ج) وهي نحو $1.6\times10^{9}$ فوتونًا لكل باريون — فالكون، بالعدّ، ضوء كله تقريبًا. (د) والخلفية ليست مكانًا بل السماء كلها: فكل خط رؤية ينتهي على ضباب الانتثار الأخير، ومنه يستقبلها كل هوائي، مصوَّبًا إلى أيّ مكان.

حل التمرين 27.11.

(أ) $n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20$. (ب) ومع $n/p = 1/7$: يكون 14 بروتونًا لكل نيوترونين؛ والنيوترونان يخطفان بروتونين إلى $^4$He واحد (كتلته 4) فيتبقّى 12 بروتونًا وحيدًا: أي $4/16 = 25\,\%$ بالكتلة. (ج) ولم يكن لأيّ نجم وقت ليجعل ربع كل شيء هليومًا؛ ووجود تلك الأرضية في أقدم الغازات وأفقرها بالمعادن هو الكون الفتيّ الساخن متلبّسًا — أي عامل بولتزمان مكتوبًا عبر السماء. (د) ولا توجد نواة مستقرة عند $A = 5$ أو $8$، وكانت الكثافة ودرجة الحرارة تهبطان في غضون دقائق: فالجسر إلى الكربون (بثلاثة هليومات دفعةً واحدة) لا ينفتح إلا في ألباب العمالقة الحمر الكثيفة الصبورة.

حل التمرين 27.12.

(أ) $mv^2/r = GM(r)m/r^2$. (ب) $M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot$. (ج) أي نحو العُشر: فتسعون بالمئة من المجرّة لا تضيء ولا تمتصّ. (د) و $v$ المسطَّحة تعني $M(r) \propto r$ — فالكتلة غير المرئية تظلّ تتراكم وراء القرص المرئي بكثير، في هالة مظلمة ممتدة (كثافتها $\sim1/r^2$) لا تكون فيها المجرّة المضيئة إلا اللبّ المنار.