16الجمهور الميكروقانوني

حل التمرين 16.1.

(أ) $1, 4, 6, 4, 1$. (ب) على $16$: $6.25\%$، $25\%$، $37.5\%$، $25\%$، $6.25\%$. (ج) $S/k_{\text{B}} = 0$، $\ln4$، $\ln6$، $\ln4$، $0$. (د) $n = 2$، ولا يحمل إلا $37.5\%$ من الاحتمال: فعند $N = 4$ لا يكون “التوازن” إلا أغلبية نسبية — والحدّة التي تشرّع الترموديناميك تُشترى بفضل $N$ الكبيرة.

حل التمرين 16.2.

(أ) $N = 10$: $13.0$ مقابل $15.1$ (بفارق $14\%$)؛ و $N = 100$: $360.5$ مقابل $363.7$ (بفارق $0.9\%$). (ب) الحدّ المهمَل هو $\tfrac12\ln(2\pi N)$: أي خطأ نسبي $\sim\ln N/N$. (ج) طبّق ستيرلنغ على العواملات الثلاثة. (د) عند $N = 10^{23}$ يكون الحدّ المطروح $\sim26$ مقابل $N\ln2 \sim 10^{23}$: أي اثنتان وعشرون رتبة تحت الحدّ الرئيسي.

حل التمرين 16.3.

(أ) $\ln(\Omega_1\Omega_2) = \ln\Omega_1 + \ln\Omega_2$. (ب) $\Delta S = k_{\text{B}}\ln2$ — أي جسيم واحد عُرض عليه حجم مضاعف. (ج) $S = 156\,k_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. (د) تحمل الإنتروبيات الترموديناميكية عوامل مقدارها $10^{23}$: فكل الخلط في كل ملهى قمار على الأرض لا يُرى إلى جانب نفَس من هواء دافئ.

حل التمرين 16.4.

(أ) $\Delta S = N_{\text{A}}k_{\text{B}}\ln2 = R\ln2 = 5.76\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. (ب) $2^{-N_{\text{A}}} \sim 10^{-1.8\times 10^{23}}$. (ج) حتى لو عوينت التشكيلات كل $10^{-10}\,\mathrm{s}$، يقزّم زمن الانتظار المتوقَّع المقدارَ $4 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$ بعامل أُسّه من ثلاثة وعشرين رقمًا. (د) ليس مستحيلًا — بل غير قابل للمشاهدة: فالقانون احتمالي من حيث المبدأ ومطلق في أيّ عالم يحوي راصدين ذوي صبر منتهٍ.

حل التمرين 16.5.

(أ) خذ لوغاريتم الجداء. (ب) بمضاعفة $V, N$ عند $E/N$ ثابت: من دون $N!$ تكسب $S$ فائضًا زائدًا من نمط $N\ln2$ — وهو إخفاق غيبس. (ج) ستيرلنغ على $\ln N!$ يخرج التركيبين $V/N$ و $E/N$. (د) خلية بلانك $h^3$ تثبّت صفر الإنتروبيا؛ وتطابق الجسيمات يثبّت $N!$ — أي معطيان كموميان يختبئان في الترموديناميك الكلاسيكية.

حل التمرين 16.6.

(أ) $1/T = \tfrac32 Nk_{\text{B}}/E$. (ب) $P/T = Nk_{\text{B}}/V$: أي قانون الغاز المثالي، من الإحصاء. (ج) عند $S$ ثابت: يثبت $\ln(V/N) + \tfrac32\ln(E/N)$، ومنه $VE^{3/2}$ ثابت؛ ومع $E \propto T$: يثبت $TV^{2/3}$، وهو يكافئ $PV^{5/3}$. (د) قانون الغاز، وعلاقة الطاقة بدرجة الحرارة، والأُسّ الكظوم — وهي ثلاث ركائز تجريبية في كتاب السنة الأولى — صارت الآن مبرهنات.

حل التمرين 16.7.

(أ) التناظر (كتلتان متساويتان). (ب) لكلٍّ $\ln\Omega \propto \tfrac32 N\ln E_i$: فينتج نشرُه حول التوزيع المتساوي غاوسيةً في $x$ تباينها $\sim1/N$. (ج) $x_{\text{جذري}} \sim 10^{-11}$. (د) $\Delta T/T \sim x_{\text{جذري}}$: أي نانو-نانوكلفنات — فالتذبذبات موجودة، وهي غير قابلة للقياس البتة على مقياس المخبر.

حل التمرين 16.8.

(أ) $\Omega = \binom Nn$، و $S = k_{\text{B}}\ln\binom Nn$. (ب) $1/T = \partial S/\partial E = (k_{\text{B}}/\epsilon)[\ln(N-n) - \ln n]$؛ ثم حلّ من أجل $n/N$. (ج) ترتفع $E(T)$ من $0$ إلى قيمة الإشباع $N\epsilon/2$؛ وتنعدم $C = \dd E/\dd T$ عند $T$ المنخفضة (فلا يُستطاع دفع ثمن كمّ) وعند $T$ المرتفعة (فالمستويان مملوءان بالسواء، ولم يبقَ ما يُمتصّ): وبينهما حدبة — أي البصمة المسعّرية لأيّ جمهرة ذات مستويين، تُستعمل لكشف الشوائب المغناطيسية في الأجسام الصلبة. (د) إنها إشغال حراري ذو مستويين — ومع $\epsilon \to E - \mu$ ستعود حرفيًا في صورة توزيع فيرمي–ديراك.

حل التمرين 16.9.

(أ) $1/T \propto \ln[(N-n)/n] < 0$ بالضبط حين $n > N/2$. (ب) $T = \epsilon/[k_{\text{B}}\ln(2/3)] = -2.9\,\mathrm{K}$. (ج) الجسم ذو $T$ السالبة يكسب إنتروبيا بفقد الطاقة، والجسم ذو $T$ الموجبة يكسبها بتلقّيها: فيرتفع الإحصاءان معًا حين تسيل الطاقة من السالب $\to$ الموجب — أي إن الجملة المقلوبة هي المتبرّع الشامل، ومن ثمّ أسخن من كل شيء. (د) مع طاقة غير محدودة لا ينقلب $\Omega(E)$ أبدًا: فيبقى $\partial S/\partial E$ موجبًا عند أيّ طاقة منتهية.

حل التمرين 16.10.

(أ) يضاعف كل غاز حجمه المتاح: $\Delta S = 2Nk_{\text{B}}\ln2$. (ب) تمتصّ عواملات $N!$ للجمهرتين الممزوجتين الكسبَ الظاهري بالضبط: $\Delta S = 0$. (ج) زيادة الإنتروبيا هي فقدان الفرز: فلم يتحرك أيّ متغير عياني، لكن إعادة الفصل تتطلب الآن شغلًا — أي إن الزيادة مخزونة فاتورةً آجلة. (د) $W_{\min} = T\Delta S = 2Nk_{\text{B}}T\ln2$؛ ومعامل فصل النظائر (كسلاسل نابذات اليورانيوم واستخلاص الهليوم-3) يدفع هذا الحدّ الترموديناميكي الأدنى أضعافًا مضاعفة في الواقع.

حل التمرين 16.11.

(أ) $\lambda_T = 1.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. (ب) $V/N = k_{\text{B}}T/P = 4.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{m}^{3}$: ومنه $V/N\lambda_T^3 = 1.0 \times 10^{7}$، أي $S/Nk_{\text{B}} = \ln(1.0 \times 10^{7}) + 2.5 = 18.6$. (ج) مطابق تمامًا للقيمة المسعّرية $18.6$. (د) الإنتروبيا المطلقة تحوي $h$ (عبر $\lambda_T$) وتحوي $N!$: فقياسات الحرارة من عصر البخار تؤكد، بثلاثة أرقام، كمّ الفعل وتطابق الذرات.

حل التمرين 16.12.

(أ) $v = (550\,\mathrm{nm})^3 = 1.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{3}$: ومنه $\bar n = 4.2 \times 10^{6}$، و $\delta_{\text{جذري}} = 1/\sqrt{\bar n} \approx 5 \times 10^{-4}$. (ب) الوسط المنتظم انتظامًا تامًّا لا ينتثر شيئًا جانبيًا (المسألة 13.1، الجزء الثالث): فهذه التموّجات $\sqrt N$ التي لا تُختزل في كل خلية ضوئية هي بالضبط الاضطراب الذي يتيح للسماء أن توجد. (ج) عند $\bar n = 100$: يكون $v \approx (16\,\mathrm{nm})^3$. (د) السماء زرقاء لأن الهواء مصنوع من جزيئات معدودة تتذبذب أعدادها وفق $\sqrt N$ — واستعمل أينشتاين هذا بالضبط ليحتجّ بأن الجزيئات حقيقية.