17الجمهور القانوني

حل التمرين 17.1.

(أ) $\mathcal P_2/\mathcal P_1 = (g_2/g_1)\eu^{-\beta\epsilon}$. (ب) $\beta\epsilon = 2.1/(8.62\times10^{-5} \times 2500) = 9.7$: أي نسبة $3\eu^{-9.7} \approx 2 \times 10^{-4}$. (ج) يحمل اللهب $\sim10^{15}$ ذرة صوديوم في cm$^3$: فحتى $10^{-4}$ منها، وهي تدور كل نانوثوانٍ قليلة، تصبّ $10^{19}$ فوتونًا أصفر في الثانية — فتعمي البصر. (د) من $3\eu^{-\beta\epsilon} = 0.1$: $T = \epsilon/(k_{\text{B}}\ln30) \approx 7200\,\mathrm{K}$ — أي غلاف ضوئي نجمي، لا لهبًا.

حل التمرين 17.2.

(أ) $z = 1 + \eu^{-\beta\epsilon} + \eu^{-2\beta\epsilon}$. (ب) $\langle E\rangle = \epsilon(\eu^{-\beta\epsilon} + 2\eu^{-2\beta\epsilon})/z$: أي $\to 0$ عند $T$ المنخفضة، و $\to \epsilon$ (المستوي المتوسط) عند المرتفعة. (ج) $\mathcal P_1 = 1/(\eu^{\beta \epsilon} + 1 + \eu^{-\beta\epsilon})$ تتزايد رتيبًا مع $T$، ولا تدنو من حدّها الأعلى $1/3$ إلا عند $T \to \infty$. (د) أوزان بولتزمان لا تنقص إلا مع الطاقة عند $T > 0$؛ وقلب الجمهرات يحتاج إلى درجات الحرارة السالبة في المثال 16.8، وهي بعيدة المنال على أيّ خزان.

حل التمرين 17.3.

(أ) عامل بولتزمان على $E_p = mgh$ عند $T$ منتظم. (ب) $h_0 = k_{\text{B}}T/mg = 8.4\,\mathrm{km}$. (ج) $\eu^{-8848/8440} \approx 0.35$: أي ثلث جوّ — ولذلك يحمل قاصدو القمم الأكسجين. (د) الجوّ الحقيقي ليس متساوي الحرارة: فدرجة الحرارة تهبط مع الارتفاع، ومنه ينحرف المنحني عن أُسّي واحد.

حل التمرين 17.4.

(أ) ثلاث حركات انسحابية: $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$، موافقةً تمامًا. (ب) أضف دورانين: $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$، كما قيس: فالاهتزاز مجمَّد. (ج) المتنبَّأ به $\tfrac72 R = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$؛ والقيمة المقيسة $\approx26$ تبيّن أن الاهتزاز ذاب جزئيًّا لا غير ($\theta_{\text{اهتزاز}} \approx 3400\,\mathrm{K}$). (د) $3R = 24.9\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$: أي ديولونغ–بتي، تطيعه أكثر الفلزات عند حرارة الغرفة و يخفق فيه الألماس — وهي حكاية التجمّد في التمرين 17.6.

حل التمرين 17.5.

(أ) $z = \eu^{-\beta\hbar\omega/2}/(1 - \eu^{-\beta\hbar\omega})$. (ب) $\langle E\rangle = -\partial_\beta\ln z$ يعطي الصورة المذكورة مع $\langle n\rangle = 1/(\eu^{\beta\hbar\omega} - 1)$. (ج) $C \to k_{\text{B}}$ عند $T$ المرتفعة؛ و $C \approx k_{\text{B}}(\beta \hbar\omega)^2\eu^{-\beta\hbar\omega} \to 0$ عند المنخفضة. (د) ومع $\hbar\omega$ طاقةً لكمّ ضوئي، يكون $\langle n\rangle$ هو عدد الفوتونات الحرارية لكل نمط: فقانون بلانك على بعد فصل واحد.

حل التمرين 17.6.

(أ) عدديًّا، $C = \tfrac12 \times 3Nk_{\text{B}}$ قرب $T/\theta_{\text{E}} \approx 0.34$. (ب) $\theta_{\text{E}}/T = 4.3$: ومنه $C/3Nk_{\text{B}} = 4.3^2\eu^{-4.3}/(1 - \eu^{-4.3})^2 \approx 0.26$ — فالألماس عند حرارة الغرفة لا يكاد يبلغ ربع السعة الحرارية الكلاسيكية: أي إن “الشذوذ” تجمّد كمومي على مرأى من الجميع. (ج) $\theta_{\text{E}} = 90\,\mathrm{K}$ تضع الرصاص في عمق النظام الكلاسيكي عند $300\,\mathrm{K}$. (د) الفرضية المخفقة هي فرضية التواتر الواحد: فللأجسام الصلبة الحقيقية طيف من الأنماط نزولًا إلى الصوت الطويل الموجة، وكمّاته الرخيصة تعطي قانون $T^3$ — أي إصلاح ديباي، في الفصل 20.

حل التمرين 17.7.

(أ) $f(v) \propto v^2\eu^{-mv^2/2k_{\text{B}}T}$: ومنه $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_{\text{B}}T/m}$: أي $413\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ من أجل N$_2$، و $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ من أجل H$_2$. (ب) $mv_{\text{إفلات}}^2/2k_{\text{B}}T \approx 730$ من أجل N$_2$، و $52$ من أجل H$_2$. (ج) $\eu^{-730}$ يعني أبدًا؛ و $\eu^{-52} \sim 10^{-23}$ لكل زمن مكوث بطيء — لكن الجوّ العلوي الساخن ($\sim1000\,\mathrm{K}$) يليّن أُسّ الهدروجين إلى $\sim15$: فينزف الهدروجين على المدى الجيولوجي، ويبقى الآزوت. (د) سرعة الإفلات ودرجة حرارة الغلاف الخارجي: فبئر المشتري البالغ $60\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ يجعل أُسّ الهدروجين نفسه فلكيًّا — فالعمالقة الغازية تحفظ ما تفقده العوالم الصغيرة الدافئة.

حل التمرين 17.8.

(أ) $\partial_\beta^2\ln Z = \langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2$، و $C = \partial_T\langle E\rangle = -k_{\text{B}}\beta^2\partial_\beta\langle E\rangle$. (ب) يعطي الطرفان $Nk_{\text{B}}(\beta\epsilon)^2\eu^{\beta\epsilon}/( \eu^{\beta\epsilon} + 1)^2$. (ج) $\langle E\rangle \propto N$، و $\Delta E \propto \sqrt N$. (د) مقدار استجابة جملة للتسخين يساوي مقدار ارتجاف طاقتها تلقائيًّا — فالاستجابة والتذبذب قراءتان للمشتق الثاني نفسه، وهو نمط (التذبذب–التبديد) يتكرر في الفيزياء كلها.

حل التمرين 17.9.

(أ) $\ln2 = E_a\,\Delta T/k_{\text{B}}T^2$ مع $\Delta T = 10\,\mathrm{K}$ و $T = 298\,\mathrm{K}$: ومنه $E_a = 0.693\,k_{\text{B}}T^2/10 \approx 0.55\,\mathrm{eV}$. (ب) من $298$ إلى $278\,\mathrm{K}$: أبطأ بعامل $\eu^{E_a(1/278 - 1/298)/k_{\text{B}}} \approx 4.4$ — ولذلك تحفظ الثلاجات الطعام. (ج) من $373 \to 366\,\mathrm{K}$: تهبط السرعة بمقدار $\approx1.4$: فتحتاج بيضة الإحدى عشرة دقيقة إلى ربع ساعة. (د) التفاعلات يكسبها الذيل الأُسّي للجزيئات فوق الحاجز: فأزح درجة الحرارة قليلًا تنزح جمهرة الذيل انزياحًا هائلًا — ولا يكاد المتوسط يعني شيئًا.

حل التمرين 17.10.

(أ) $f_{\text{منطوي}} = 1/(1 + \eu^{-\beta(\Delta E - T\Delta S)})$ مع إدماج إنتروبيا الحالة المنشورة في طاقتها الحرة. (ب) عند $T_{\text{m}} = \Delta E/\Delta S$ تتعادل الطاقتان الحرتان: نصفًا بنصف. (ج) $T_{\text{m}} = 4.8 \times 10^{-19}/1.38 \times 10^{-21} = 348\,\mathrm{K}$ (أي $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$)؛ والعرض $\delta T \sim k_{\text{B}}T_{\text{m}}^2/\Delta E \approx 3.5\,\mathrm{K}$. (د) التعاونية تضرب $\Delta E$ و $\Delta S$ كليهما في عدد التماسات المنكسرة معًا، فتبقي $T_{\text{m}}$ وتقلّص العرض $\propto 1/\Delta E$: فتنفصل خيوط الحمض النوويّ في حدود كلفنين، وهو ما يتيح لآلة PCR أن تدور نظيفًا بين “المنصهر” و“المُلدَّن”.

حل التمرين 17.11.

(أ) $z = 2\cosh(\beta\mu B)$؛ و $M = N\mu\tanh(\beta\mu B) \approx N\mu^2B/k_{\text{B}}T$ من أجل وسيط صغير: أي $1/T$ كوري. (ب) $\mu_{\text{B}}B/k_{\text{B}}T$: أي $2.2 \times 10^{-3}$ عند $300\,\mathrm{K}$؛ و $0.67$ عند $1\,\mathrm{K}$ — أي من اللامبالاة إلى المحاذاة القوية. (ج) تتوقف $S$ على $\mu B/k_{\text{B}}T$ وحده؛ وإنقاص $B$ عند إنتروبيا ثابتة يجرّ $T$ نزولًا بالتناسب: $1\,\mathrm{K} \to 0.1\,\mathrm{K}$. (د) حين يبلغ $k_{\text{B}}T$ طاقة التفاعل بين سبين وسبين لا تعود الإنتروبيا محكومة بالمجال: $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a^3 \approx 7 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \sim 5\,\mathrm{mK}$ — وهي الأرضية الكلاسيكية (وأما العزوم النووية، وهي أضعف بألف مرة، فتدفعها إلى الميكروكلفنات).

حل التمرين 17.12.

(أ) $z_{\text{دوران}} = \sum_J(2J+1)\eu^{-\beta BJ(J+1)} \to \int(2J+1)\eu^{-\beta BJ(J+1)}\dd J = k_{\text{B}}T/B$: ومنه $\langle E\rangle = k_{\text{B}}T$ و $C_{\text{دوران}} = k_{\text{B}}$. (ب) من أجل H$_2$: $\theta_{\text{دوران}} = 87\,\mathrm{K}$ — فتقع الدرجة في مجال المخبر؛ ومن أجل N$_2$: $2.9\,\mathrm{K}$، ولا تتجمّد إلا قرب الهليوم السائل، فيظهر الآزوت دائمًا $\tfrac52 R$. (ج) المصاطب: $\tfrac32 R$ (تحت $\sim50\,\mathrm{K}$)، و $\tfrac52 R$ (من $\sim200$ إلى $\sim1000\,\mathrm{K}$)، صاعدةً نحو $\tfrac72 R$ قرب $\theta_{\text{اهتزاز}} \approx 6000\,\mathrm{K}$. (د) قيم $J$ الفردية والزوجية تنتمي إلى نوعين نوويين من السبين يتحول أحدهما إلى الآخر ببطء، فتتوقف $C_V$ للهدروجين البارد على تاريخه الأورثو–بارا — أي إحصاء نوويّ يدقّقه مسعّر.