18الجمهور القانوني الكبير

حل التمرين 18.1.

(أ) من العلبة الأكثف إلى الأرقّ: أي من $\mu = k_{\text{B}}T\ln(n\lambda_T^3)$ العالية إلى المنخفضة. (ب) وتساوي $T$ يجعل $\lambda_T$ مشتركًا: فتساوي $\mu$ هو تساوي $n$. (ج) $\mu_{\text{سائل}} = \mu_{\text{بخار}}$ — وهو تعريف الرطوبة المشبَعة. (د) وفي الهواء الجافّ يجلس $\mu$ البخار (وكثافته $n$ منخفضة) تحت كمون السائل: فيتبخر الماء هابطًا تلّ $\mu$ وإن لم يغلِ قط.

حل التمرين 18.2.

(أ) $\lambda_T = 1.9 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. (ب) $n\lambda_T^3 = 1.7 \times 10^{-7}$: ومنه $\mu = k_{\text{B}}T\ln(1.7 \times 10^{-7}) = -0.40\,\mathrm{eV}$. (ج) الحدّ الإنتروبي: فالجزيء الجديد يفتح $\sim1/n\lambda_T^3$ حالة، ويغلب $-TS$ أيّ كلفة حركية. (د) $n = \lambda_T^{-3} \approx 1.5 \times 10^{32}\,\mathrm{m}^{-3}$ — أي آلاف أضعاف كثافة السائل من أجل الهواء؛ و $n\lambda_T^3 \sim 1$ هو حدّ الانحلال الكمومي (التمرين 18.11).

حل التمرين 18.3.

$\Xi = 1 + \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)}$؛ و $\bar n = k_{\text{B}}T\, \partial_\mu\ln\Xi = \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)}/(1 + \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)})$، وهي الصورة المذكورة. والنهايات: $1$ في العمق تحت $\mu$، وذيل بولتزمان بعيدًا في الأعلى، و $\tfrac12$ بالضبط عند $\epsilon = \mu$. وهي الإشغال الحراري ذو المستويين في جسم شوتكي الصلب — أي المنحني نفسه بعنوان جديد.

حل التمرين 18.4.

(أ) $3.0\,\mathrm{eV}$ لكل إلكترون؛ وضربًا $\times N_{\text{A}}e$: $\approx290\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$. (ب) تختلف الكمونات الكيميائية بمقدار طاقات الروابط — أي إلكترون-فولتات: فترث البطاريات مقياس طاقة الكيمياء. (ج) ولا يعرض أيّ ثنائي كيميائي درجة $12\,\mathrm{eV}$ (فذلك يمزّق المنحلّ)؛ أما التكديس على التسلسل فيجمع هبوطات $\mu$ بأمان. (د) تكون كمونات إلكترونات مسريَيها قد تساوت: فلا تدرّج ولا دفع، مهما بقي من مادة.

حل التمرين 18.5.

(أ) متتالية هندسية نسبتها $\eu^{-\beta(\epsilon-\mu)} < 1$؛ ثم اشتقّ. (ب) وعند $\mu \to \epsilon_{\min}$ تتباعد المتتالية: فيستطيع المستوي أن يمتصّ جمهرة بلا حدّ — أي التكدّس العياني الذي يصير تكاثف بوز–أينشتاين. (ج) $\bar n = 9.51$ و $0.58$ و $0.052$ مقابل قيم بولتزمان $0.90$ و $0.37$ و $0.050$: أي متطابقة في الذيل المخلخل، ومعزَّزة تعزيزًا جامحًا قرب $\mu$. (د) وما دامت الجدران تخلق الفوتونات وتفنيها كما تشاء، فلا يمكن للتوازن أن يتوقف على عددها: فكلفة الطاقة الحرة لفوتون واحد إضافي معدومة، أي $\mu = 0$.

حل التمرين 18.6.

(أ) $P = P_0$؛ و $P = 9P_0$. (ب) الموقع المستقل الواحد يعطي الزائد $P/(P + P_0)$ — أي الميوغلوبين؛ أما مواقع الهيموغلوبين الأربعة المتفاعلة فتُحمَّل تعاونيًّا، فتحدّ المنحني إلى شكل S الذي يُحمَّل كاملًا في الرئتين ويُفرَّغ في الأنسجة. (ج) $\eu^{0.13/0.0267} \approx 130$: فعند ضغطين جزئيين متساويين يكسب CO المواقع بمئة ضعف — فأثر ضئيل من CO يطرد الأكسجين من الدم. (د) ورفع الضغط الجزئي للأكسجين O$_2$ يرفع $\mu$ له ويعيد ميل المنافسة: فمتساوية الحرارة يُتنازع فيها على قيم $\mu$، والأكسجين المضغوط يزايد لا غير.

حل التمرين 18.7.

(أ) اشتقّ $\langle N\rangle = k_{\text{B}}T\,\partial_\mu \ln\Xi$ مرة أخرى. (ب) $\langle N\rangle \propto \eu^{\beta\mu}$: ومنه $\partial_\mu\langle N\rangle = \beta\langle N\rangle$، أي $\operatorname{Var}N = \langle N\rangle$. (ج) الغاوسية ذات التباين $\bar n$ في ذلك التمرين هي عبارة بواسون هذه، مرئيةً في حجم جزئي. (د) $\operatorname{Var}n = \bar n(1 - \bar n)$: أي صفر حين يكون المستوي خاليًا يقينًا أو ممتلئًا يقينًا — فحجب باولي يُسكت التذبذبات في عمق بحر فيرمي.

حل التمرين 18.8.

(أ) المذاب يخفّف إنتروبيا الماء فيخفض $\mu$ له؛ والضغط يرفع $\mu$: فيثبّت التوازن $\Pi = ck_{\text{B}}T$. (ب) $\Pi = 3 \times 10^{26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 310 \approx 1.3\,\mathrm{MPa}$ — أي ثلاثة عشر جوًّا داخل عروقك، موازَنةً على الدوام. (ج) $\mu$ الماء النقي يفوق ما في داخل الخلية: فيغمرها الماء وتنفجر الخلايا (انحلال الدم) — ولذلك تكون الحقن ملحية لا ماءً نقيًّا قط. (د) وتدرّجات $\mu$ من الجذر إلى الورقة (بالمذابات والتبخر عند الورقة) تسحب الماء صعودًا بفروق ضغط تناضحية وشعرية: عشرات الأمتار من دون قطعة متحركة واحدة.

حل التمرين 18.9.

(أ) بكمون $\mu$ منتظم: $k_{\text{B}}T\ln n(h) + mgh =$ ثابت، أي الأُسّي البارومتري. (ب) $n(r) \propto \eu^{+m\omega^2r^2/2k_{\text{B}}T}$: فتتكدّس الأنواع الثقيلة عند الحافة. (ج) $\exp[\Delta m\,\omega^2r^2/2k_{\text{B}}T] = \exp[5 \times 10^{-27} \times 3.6 \times 10^{5}/(2 \times 4.4 \times 10^{-21})] \approx \eu^{0.2} \approx 1.2$ لكل مرحلة. (د) والانتقال من النسبة الطبيعية $0.7\%$ إلى درجة المفاعلات أو الأسلحة يتطلب عوامل $1.2$ كثيرة مركَّبة: ومنه سلاسل من آلاف النابذات — ولذلك يكون عدّ السلاسل دبلوماسيةً نووية.

حل التمرين 18.10.

(أ) كما في النص: خذ أُسّ موازنة $\mu$ بكمونات كيميائية للغاز المثالي ومع إزاحة الذرة $-E_{\text{I}}$. (ب) ومع $n_{\text{e}} = n_{\text{p}} = xn$ و $n_{\text{H}} = (1-x)n$: ينتج الخارج المذكور. (ج) وعند $5800\,\mathrm{K}$: $\lambda_{T,\text{e}} \approx 1.0\,\mathrm{nm}$، و $\eu^{-27.2} = 1.5 \times 10^{-12}$، و $1/n\lambda^3 \approx 1.1 \times 10^{4}$: ومنه $x^2/(1-x) \approx 1.6 \times 10^{-8}$، أي $x \approx 1.3 \times 10^{-4}$ — فالغلاف الضوئي الشمسي هدروجين متعادل بنسبة $99.99\%$. (د) وعند $10\,000\,\mathrm{K}$ (بالكثافة $n$ نفسها): $x \approx 6\%$ — أي مرتبتان ونصف في عامل $1.7$ من درجة الحرارة؛ وعند كثافات الإلكترونات الأدنى في الغلاف الضوئي يأتي الصعود أبكر بعد. فانتقالات ساها جروف.

حل التمرين 18.11.

(أ) $1.7 \times 10^{-7}$: أي سبع مراتب تحت العتبة — فالهواء كلاسيكي بأمان. (ب) ضع $n\lambda_T^3 = 1$: فيكون $T_{\text{deg}} = h^2n^{2/3}/2\pi mk_{\text{B}} \approx 6 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ من أجل إلكترونات النحاس — فكل فلز لمسته يومًا يحمل غاز إلكترونات كموميًّا عميقًا. (ج) ومن أجل الروبيديوم عند $10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$: $T_{\text{deg}} \sim 10^{-7}\,\mathrm{K}$ — أي حدود المئة نانوكلفن في الفصل 19. (د) الإلكترونات في الفلزات: كمومية دائمًا؛ وذرات المخبر: عند النانوكلفنات لا غير؛ و الهواء: أبدًا — فالانحلال يجري وفق $n^{2/3}/m$.

حل التمرين 18.12.

(أ) مع $\mu = 0$، تكون كثافة الأزواج هي المقدار المكبوت ببولتزمان $\lambda_T^{-3}\eu^{-\beta m_{\text{e}}c^2}$ متى صارت الأزواج لانسبوية. (ب) $m_{\text{e}}c^2/k_{\text{B}} = 5.9 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$، وتُبلَغ بعد نحو ثانية واحدة من البدء. (ج) والتبريد من $6 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ إلى $2 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ يضرب الأُسّ في ثلاثة: فتنهار الكثافة من $\eu^{-2} \to$ $\eu^{-6}$ في الأُسّي وحده وبمراتب أخرى مع المعامل الأمامي — ففي ثوانٍ تختفي البوزترونات، فانيةً في مقابل كل الإلكترونات إلا جزءًا من مليار. (د) و فوتونات الفناء انضمّت إلى حمّام الإشعاع وأعادت تسخينه قليلًا، وبقيّته الممطوطة هي خلفية الكون الميكروية — أي وصل الحدث عند $2.7\,\mathrm{K}$.