الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · Bachelor Year 3

19الإحصاء الكمومي

إلكترونات الناقلية في النحاس غاز أكثف من الهواء بألف مرة — ومع ذلك لا تكاد تضيف شيئًا إلى سعة النحاس الحرارية، وهي فضيحة طاردت الفيزياء الكلاسيكية خمسين سنة. وسحابة من ذرات الروبيديوم، مبرَّدةً إلى مئة جزء من مليار من الكلفن، تنهار فجأةً إلى حالة كمومية واحدة عمقها عشرة آلاف ذرة. ونجم ميت بكتلة الشمس وحجم الأرض يأبى أن يزداد انكماشًا، ولا يسنده إلا مبدأ الاستبعاد. والثلاثة كلها فصل واحد من الفيزياء: أي ما يحدث لغاز حين $n\lambda_T^3 \sim 1$ وتفارق صيغ الإشغال في الفصل 18 بولتزمانَ. فالفرميونات تبني بحارًا — باردة صلبة مضغوطة؛ والبوزونات تبني تكاثفات — اجتماعية مترابطة فائقة الميوعة. وبين أغلبية بحر فيرمي الصامتة وهرولة التكاثف يقع أكثر فيزياء المادة المكثفة ودرجات الحرارة المنخفضة الحديثة، ومصير النجوم.

19.1 غازات من الإشغالات

قضية 19.1 (آلة الغاز الكمومي)

من أجل جسيمات غير متفاعلة في علبة، تصير المجاميع على المستويات تكاملات على كثافة الحالات في القضية 7.5 (لكل حالة سبين، $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ):

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

مع $\bar n$ إشغالَ فيرمي–ديراك أو بوز–أينشتاين. وتثبّت المعادلة الأولى $\mu(T, n)$ ؛ وتخرج الثانية الترموديناميك. وفي النهاية المخلخلة $n\lambda_T^3 \ll 1$ ينهار الإحصاءان معًا على بولتزمان ويعود الغاز الكلاسيكي؛ وتبدأ الأنظمة الكمومية حيث تتلامس الحزم الموجية.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

19.2 بحر فيرمي

مبرهنة 19.2 (غاز فيرمي المنحلّ)

عند $T = 0$ ، تملأ الفرميونات كل مستوٍ حتى طاقة فيرمي

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{سبين } \tfrac12) ,

بمتوسط طاقة $\tfrac35 E_{\text{F}}$ لكل جسيم، ومع ضغط الانحلال

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

أي ضغط عند الصفر المطلق، أصله كمومي محض — وهو صلابة غاز الإلكترونات في كل فلز وسند النجوم الميتة. وعند $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ ، لا يستطيع الاستجابة لأيّ شيء إلا الإلكترونات التي تقع في حدود $\sim k_{\text{B}}T$ من سطح بحر فيرمي هذا: فالنسبة $\sim T/T_{\text{F}}$ هي المفتاح الرئيسي للسلوك الفلزي.

برهان جزئي. املأ $g(\epsilon)$ حتى $E_{\text{F}}$ : فيعطي عكس $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ قيمةَ $E_{\text{F}}$ المذكورة (التمرين 7.8)؛ و $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ بتكامل آخر. وأما الضغط: فضغط العلبة يرفع كل مستوٍ وفق $V^{-2/3}$ ، ومنه $E \propto V^{-2/3}$ و $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — ومع $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ ينتج القانون المذكور. ∎

بحر فيرمي عند T T_ F: الإشغال درجة مملّسة قليلًا. فالإلكترونات العميقة لا تستطيع أن تنتثر أو تمتصّ أو تستجيب — إذ كل حالة متاحة مأخوذة؛ وتقع فيزياء الفلزات كلها في القشرة الحرارية الرقيقة عند السطح. — بحر فيرمي عند $T \ll T_{\text{F}}$ : الإشغال درجة مملّسة قليلًا. فالإلكترونات العميقة لا تستطيع أن تنتثر أو تمتصّ أو تستجيب — إذ كل حالة متاحة مأخوذة؛ وتقع فيزياء الفلزات كلها في القشرة الحرارية الرقيقة عند السطح.

مثال 19.3 (فضيحة السعة الحرارية، محلولةً)

كلاسيكيًّا، ينبغي لإلكترون النحاس الحرّ لكل ذرة أن يضيف $\tfrac32 k_{\text{B}}$ إلى السعة الحرارية — أي $50\%$ فوق ديولونغ–بتي. والمقيس: نحو $1\%$ عند حرارة الغرفة. والبحر يشرح: فمع $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ، لا يمكن إثارة إلا النسبة $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ من الإلكترونات حراريًّا، كلٌّ منها بمقدار $\sim k_{\text{B}}T$ :

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(وهو معامل زومرفلد المضبوط؛ التمرين 19.12). وهي خطية في $T$ ، ومدفونة تحت $T^3$ الشبكة عند درجات الحرارة العادية لكنها تهيمن تحت بضعة كلفنات — كما تجده المسعّرات بالضبط، فتحلّ بضربة واحدة لغز الإلكترونات التي تحمل التيار لا السعة الحرارية.

مثال 19.4 (نجوم يسندها الاستبعاد)

القزم الأبيض (التمرين 14.11) يوازن الثقالة بضغط انحلال الإلكترونات. وما دام $P \propto n^{5/3}$ يتصلّب أسرع من مطالب الثقالة كلما انكمش النجم، فثمة نصف قطر توازني عند أيّ كتلة متواضعة — مع التحجيم المخيف $R \propto M^{-1/3}$ : أي إن الأقزام الأثقل أصغر. وإذا زاد العصر، صارت الإلكترونات نسبوية، و ليّن قانون الضغط إلى $n^{4/3}$ ، وأخفق التوازن عند كتلة وحيدة، هي حدّ تشاندراسيخار $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (المسألة 19.1) — وما وراءه انهيار إلى نجم نيوتروني: أي بحر فيرمي من النيوترونات عند الكثافة النووية، وهي الفيزياء نفسها عند كثافة أكبر $10^{14}$ مرة.

19.3 هرولة بوز

مبرهنة 19.5 (تكاثف بوز–أينشتاين)

من أجل غاز من $N$ بوزونًا محفوظًا، لا تستطيع الحالات المثارة أن تحمل أكثر من $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ جسيمًا (وهو تكامل $g\bar n_{\text{BE}}$ عند سقفه $\mu \to 0$ ). وتحت درجة الحرارة الحرجة

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(أو بالمكافئ } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

لا يجد الفائض مذهبًا إلا الحالة الأساسية المفردة: أي جمهرة عيانية

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

تتكاثف في حالة كمومية واحدة — أي مادة تسلك سلوك دالة موجية عملاقة واحدة. تنبّأ بها أينشتاين سنة 1925 من إحصاء بوز للفوتونات؛ وتحققت في روبيديوم مخلخل سنة 1995 عند $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ (نوبل 2001)، وأعلنها توزيع السرعات ثنائي النمط الفارق: أي سحابة حرارية ينهض من مركزها إبرة من تكاثف عديم السرعة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

يسارًا: تحت T_ c تصير جمهرة الحالة الأساسية عيانية. ويمينًا: التوقيع الذي رُصد سنة 1995 — فحين أُطلقت السحابة وصُوّرت، أظهرت توزيعًا حراريًّا عريضًا مع شوكة ضيقة عديمة السرعة: أي حالة كمومية واحدة، مرئية لآلة تصوير. — يسارًا: تحت $T_{\text{c}}$ تصير جمهرة الحالة الأساسية عيانية. ويمينًا: التوقيع الذي رُصد سنة 1995 — فحين أُطلقت السحابة وصُوّرت، أظهرت توزيعًا حراريًّا عريضًا مع شوكة ضيقة عديمة السرعة: أي حالة كمومية واحدة، مرئية لآلة تصوير.

مثال 19.6 (الهليوم، المائع الفائق المخضرم)

الهليوم $^4$ He السائل (وهو بوزوني) يتحول عند $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ إلى مائع فائق: بلزوجة معدومة عبر أدقّ الشعيرات، وسيلان غشائي فوق جدران الأوعية، وآثار نافورية، و دوران مكمَّم بوحدات $h/m$ — أي طور تكاثف عياني في العمل، مزاحًا عن تنبؤ الغاز المثالي ( $3.1\,\mathrm{K}$ من أجل كثافة الهليوم) بالتفاعلات لكنه الظاهرة نفسها بلا لبس. أما $^3$ He الفرميوني فلا يستطيع التكاثف وحده: إذ يجب أن تتزاوج ذراته أولًا (مثل إلكترونات الناقل الفائق، الفصل 24) في بوزونات مركّبة — فتأتي الميوعة الفائقة كما ينبغي، لكن عند $2.6\,\mathrm{mK}$ ، أي أبرد بألف مرة: نظيران، ودرس واحد — الإحصاء قدر.

طريقة 19.7 (أيّ إحصاء، وأيّ نظام)

(1) احسب $n\lambda_T^3$ أولًا: فقيمة $\ll1$ تعني بولتزمان و يكفي الفصل 17. (2) والفرميونات المنحلّة: فكّر بدلالة $E_{\text{F}}$ و $T/T_{\text{F}}$ ؛ فالاستجابات (السعة الحرارية، و القابلية، والانتثار) تحمل العامل $T/T_{\text{F}}$ أو لا تعاين إلا سطح فيرمي. (3) والبوزونات المنحلّة: قارن $T$ مع $T_{\text{c}}$ ؛ وتحته، اقسم الغاز إلى تكاثف زائد سحابة حرارية. (4) والضغوط: صلابة فرميونية $n^{5/3}$ (أو $n^{4/3}$ نسبوية) في وجه ما يعصر. (5) والجسيمات المركّبة: أحصِ الفرميونات المكوِّنة لاختيار الإحصاء — وتذكّر أن التزاوج يستطيع تحويل إحصاء إلى آخر.

ناقل فائق يرفع مغنطًا بإبعاد خطوط مجاله: فتحت درجة حرارته الحرجة يتكاثف مائع الإلكترونات في حالة كمومية عيانية واحدة — أي فيزياء الانحلال، تمسك قرصًا في الهواء.

19.4 تمارين

تمرين 19.1 ★

احسب $E_{\text{F}}$ و $T_{\text{F}}$ من أجل (أ) النحاس ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ )؛ (ب) الصوديوم ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ )؛ (ج) الهليوم $^3$ He السائل ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، $m = 3u$ )؛ (د) رتّبها قياسًا إلى حرارة الغرفة وعلّق على مَن يكون منحلًّا ومتى.

حل

حل التمرين 19.1.

(أ) $7.1\,\mathrm{eV}$ و $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (ب) $3.2\,\mathrm{eV}$ و $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (ج) ومع $m = 3u$ : $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ و $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (وهي قيمة الغاز المثالي؛ والتفاعلات تخفضها). (د) إلكترونات الفلز: منحلّة عند كل درجة حرارة أرضية؛ و $^3$ He: تحت بضعة كلفنات لا غير؛ و $T = 300\,\mathrm{K}$ لا تلامس مقياس فيرمي لفلز قط.

تمرين 19.2 ★

(أ) بيّن أن $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ عند $T = 0$ . (ب) احسب السرعة الجذرية المتوسطة للإلكترونات في النحاس. (ج) وتلك السرعة توافق كلاسيكيًّا أيّ درجة حرارة؟ (د) ولماذا يحوي الفلز البارد إلكترونات تتحرك بجزء من مئة من سرعة الضوء من دون أن تشعّ تلك الطاقة؟

حل

حل التمرين 19.2.

(أ) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ انطلاقًا من $g \propto \sqrt\epsilon$ . (ب) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والجذرية المتوسطة $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : أي $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . (د) ولا مذهب لها: فكل حالة أدنى مملوءة، فلا يمكن إصدار فوتون ولا تستطيع أيّ تصادمة إبطاءها — أي سرعة بلا حرارة، بالاستبعاد.

تمرين 19.3 ★

ضغط انحلال إلكترونات النحاس: (أ) احسب $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ بالباسكال وبالجوّ. (ب) ولماذا لا ينفجر الفلز (فما الذي يشدّ إلى الوراء)؟ (ج) وهذا الضغط يقاوم الانضغاط: اربطه بانضغاطية الفلزات المنخفضة. (د) قدّر معامل الحجم $K \sim \tfrac53 P$ وقارنه بقيمة النحاس المقيسة $140\,\mathrm{GPa}$ .

حل

حل التمرين 19.3.

(أ) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ جوّ. (ب) جذب كولوم من شبكة الأيونات: فالفلز هدنة بين الاثنين (التمرين 19.11). (ج) والضغط يرفع $E_{\text{F}}$ ارتفاعًا حادًّا ( $n^{2/3}$ ): فتقاوم الفلزات. (د) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ في مقابل القيمة المقيسة $140\,\mathrm{GPa}$ : أي إن نصف صلابة النحاس استبعاد محض.

تمرين 19.4 ★

عتبات تكاثف بوز–أينشتاين. (أ) احسب $T_{\text{c}}$ من أجل الروبيديوم-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) عند $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ . (ب) ومن أجل $n$ نفسها، أيّ $T_{\text{c}}$ تكون لذرات الهدروجين؟ (ج) ولماذا تستعمل التجارب غازات مخلخلة عند النانوكلفنات بدل غازات كثيفة عند الميليكلفنات (فما الذي يحدث كيميائيًّا عند الكثافة العالية و الحرارة المنخفضة)؟ (د) تحقق من قاعدة الاتساق $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ على أعداد الروبيديوم عندك.

حل

حل التمرين 19.4.

(أ) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — وقد ظهر تكاثف JILA عند $170\,\mathrm{nK}$ : أي الفيزياء نفسها بكثافة ذروية أدنى قليلًا. (ب) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : ومنه $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ . (ج) وعند الكثافة العالية وذلك البرد، يتجمّد كل غاز إلا الهدروجين المستقطب سبينيًّا؛ وتصنع التصادمات الثلاثية جزيئات. والحيلة غاز مخلخل شبه مستقر بارد بما يكفي لأن يعوّض $\lambda_T$ التخلخلَ. (د) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ومنه $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ ، كما تقتضي القاعدة.

تمرين 19.5 ★★

سعتان حراريتان. في الفلز، $C = \gamma T + \beta T^3$ (للإلكترونات؛ وللشبكة). (أ) باستعمال المثال 19.3 وحدّ الشبكة الشبيه بديباي $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ ، قدّر درجة حرارة العبور من أجل النحاس ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ و $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ ). (ب) وعند $300\,\mathrm{K}$ ، احسب حصة الإلكترونات بالمئة. (ج) وعند $0.1\,\mathrm{K}$ ؟ (د) ولماذا يرسم المجرّبون $C/T$ بدلالة $T^2$ ، وماذا يعطي تقاطع ذلك الخط المستقيم وميله؟

حل

حل التمرين 19.5.

(أ) $\gamma T = \beta T^3$ عند $T^2 = \gamma/\beta$ : فمن أجل النحاس $T \approx 3\,\mathrm{K}$ . (ب) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ . (ج) وعند $0.1\,\mathrm{K}$ يكون حدّ الشبكة قد انهار وفق $T^3$ : فتحمل الإلكترونات أكثر بنحو $\sim10^3$ مرة — فيصير قياس الحرارة تحليلًا طيفيًّا للإلكترونات. (د) $C/T = \gamma + \beta T^2$ خط مستقيم في $T^2$ : فالتقاطع $\gamma$ يقيس كثافة الحالات عند مستوي فيرمي، والميل $\beta$ يقيس درجة حرارة ديباي — أي عددان لكل فلز من رسم واحد.

تمرين 19.6 ★★

قزم أبيض بكتلة شمسية واحدة ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) وبنصف قطر الأرض ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ )، بإلكترون واحد لكل نوويّين. (أ) احسب $n_{\text{e}}$ و $E_{\text{F}}$ (بالصيغة اللانسبوية). (ب) قارن $E_{\text{F}}$ مع $m_{\text{e}}c^2$ و مع $k_{\text{B}}T$ عند $10^{7}\,\mathrm{K}$ في الداخل: وبرّر “البارد” و“شبه النسبوي” في آن. (ج) قارن ضغط الانحلال $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ بتقدير الضغط الثقالي $\sim GM^2/R^4$ : أهما من الرتبة نفسها؟ (د) وماذا يحدث نوعيًّا لكل طرف من طرفي التوازن إذا نمت $M$ ؟

حل

حل التمرين 19.6.

(أ) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ؛ و $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ؛ و $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ . (ب) أي نصف طاقة سكون الإلكترون (على حافة النسبوية)، ومع ذلك ثلاثمئة ضعف $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ): فهو أبيض ساخن وكموميًّا بارد في آن. (ج) $P_{\text{deg}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ في مقابل $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : أي الرتبة نفسها — فالنجم هو هذا التوازن بالضبط. (د) وبمزيد من الكتلة: ينمو جانب الثقالة وفق $M^2$ ، و يجب أن ينكمش النجم ( $R \propto M^{-1/3}$ )، فتُساق $E_{\text{F}}$ نحو التليين النسبوي.

تمرين 19.7 ★★

مادة نيوترونية. نجم نيوتروني يحشر $M = 1.4\,M_\odot$ في $R \approx 11\,\mathrm{km}$ . (أ) احسب كثافة النيوترونات وقارنها بالكثافة النووية ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). (ب) احسب $E_{\text{F}}$ للنيوترونات (لانسبويًّا؛ مع $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) وتحقق من مقدار نسبويتها. (ج) ولماذا اختفت إلكترونات النجم (بتفكك بيتا العكسي: $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — فما الذي جعل $E_{\text{F}}$ الإلكترونات تدفع ثمنه)؟ (د) وملعقة صغيرة من هذه المادة، كم تزن؟

حل

حل التمرين 19.7.

(أ) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : أي ضعفَي الكثافة النووية تقريبًا — أي نواة بحجم مدينة. (ب) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : ومنه $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ ، أي عُشر $m_{\text{n}}c^2$ : فالنسبوية تطرق الباب. (ج) ارتفعت طاقة فيرمي للإلكترونات فوق كلفة $0.78\,\mathrm{MeV}$ للتفاعل $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ : فصار الاقتناص مربحًا، وقايض النجم إلكتروناته وبروتوناته بنيوترونات. (د) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : أي ملعقة أثقل من سلسلة جبال.

تمرين 19.8 ★★

بوزونات بلا عدد. (أ) للفوتونات $\mu = 0$ دائمًا: فلماذا لا تستطيع أن تخضع للتكاثف في المبرهنة 19.5 (وماذا يفعل الغاز بدلًا من ذلك عند التبريد)؟ (ب) وأيّ قانون حفظ تملكه ذرات الروبيديوم و يفتقده الفوتون؟ (ج) وفي سنة 2010 صُنع تكاثف فوتوني، في جوف مملوء بصبغة تتوازن فيه الفوتونات حراريًّا ويكون عددها ثابتًا فعليًّا: فأيّ مكوّن أعاده جوف الصبغة؟ (د) والفونونات في بلورة: أتكاثف أم لا، ولماذا؟

حل

حل التمرين 19.8.

(أ) تبريد جوف يزيل الفوتونات لا غير (فالجدران تمتصّها): وما دام لا عدد يُحفظ، تبقى $\mu$ مثبَّتة عند الصفر و لا يتكدّس أيّ فائض في النمط الأساسي أبدًا — فيخفت الغاز بدل أن يتكاثف. (ب) عدد الذرات محفوظ على كل مقياس زمني مخبري. (ج) والصبغة تمتصّ الفوتونات وتعيد إصدارها مرارًا من دون أن تفقدها على مقياس زمن التوازن الحراري: أي عدد فوتونات محفوظ فعليًّا (وكتلة فعّالة من الجوف) — فيظهر التكاثف كما ينبغي. (د) الفونونات: تُخلق وتُفنى بحرية، و $\mu = 0$ : فلا تكاثف — بل “غاز الفونونات” في بلورة يتجمّد لا غير.

تمرين 19.9 ★★

نظيرا الهليوم. (أ) احسب $T_{\text{c}}$ للغاز المثالي من أجل $^4$ He السائل ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، $m = 4u$ ) و قارنها مع $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (ب) ولماذا يكون التوافق تقريبيًّا لا غير (فما الذي يهمله “المثالي” في سائل)؟ (ج) و $^3$ He عند الكثافة نفسها تقريبًا يبقى عاديًّا نزولًا إلى الميليكلفنات: اذكر العائق والمخرج الذي وجدته الطبيعة. (د) تدقيق منطقي مركّب: زوج $^3$ He يحوي عددًا زوجيًّا من الفرميونات — فهو بوزون؛ و $^6$ Li يحمل $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ فرميونات: صنّفه، وسمِّ التجارب الشهيرة على الغازات الباردة التي تستغل تباين الليثيوم–الليثيوم هذا بالضبط.

حل

حل التمرين 19.9.

(أ) $T_{\text{c}}^{\text{مثالي}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ في مقابل القيمة المقيسة $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ . (ب) الهليوم السائل كثيف وشديد التفاعل: و“المثالي” يسقط التفاعلات التي تزيح (وتعيد تشكيل) الانتقال. (ج) وذرات $^3$ He فرميونات: فلا تكاثف بلا تزاوج؛ ولا تربط التفاعلات الجاذبة أزواجًا شبيهة بكوبر إلا تحت $2.6\,\mathrm{mK}$ ، وعندئذٍ يسيل السائل المتزاوج سيلانًا فائقًا. (د) تسعة فرميونات: والنظير $^6$ Li فرميون (بينما $^7$ Li بوزون) — وثنائي نظيرَي الليثيوم يتيح لمخبر واحد أن يدرس بحر فيرمي وتكاثفًا في الفرن نفسه.

تمرين 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ بأمانة. (أ) اكتب $N_{\text{مثار}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ عند $\mu = 0$ و اختزله، مع $x = \beta\epsilon$ ، إلى $N_{\text{مثار}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ . (ب) وبمعلومية $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ ، احصل على السقف وعلى $T_{\text{c}}$ . (ج) استنتج نسبة التكاثف $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ . (د) ولماذا لا تنتج الحجة نفسها أيّ تكاثف في علبة ثنائية البعد (فكيف تتغير $g( \epsilon)$ ، وماذا يصيب تقارب التكامل)؟

حل

حل التمرين 19.10.

(أ) عوّض $g \propto \sqrt\epsilon$ واستخرج $\beta$ بالتحجيم. (ب) وقيمة التكامل تعطي $N_{\text{مثار}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ؛ ووضع $N_{\text{مثار}} = N$ يعرّف $T_{\text{c}}$ . (ج) وتحت $T_{\text{c}}$ ، $N_{\text{مثار}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ؛ والباقي هو $N_0$ . (د) وفي بعدين تكون $g(\epsilon)$ ثابتة ويتباعد $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ عند الأسفل: فتستطيع الحالات المثارة أن تمتصّ الجميع دائمًا — فلا جمهرة عيانية في الحالة الأساسية عند أيّ $T > 0$ .

تمرين 19.11 ★★★

لماذا تتماسك الفلزات. نمذج فلزًا بإلكترونات كثافتها $n$ (وكلفة طاقة فيرمي $\propto n^{2/3}$ لكل إلكترون) منجذبة إلى خلفية أيونية معادِلة (وكسب كولوم لكل إلكترون $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ ). (أ) اكتب الطاقة لكل إلكترون $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ وبيّن أن لها أصغرية. (ب) بيّن أن تباعد الإلكترونات التوازني من رتبة $a_0$ — فكثافات الفلزات ليست مصادفات. (ج) قدّر مقياس طاقة التماسك عند الأصغرية، بوحدة eV. (د) وأيّ دور يؤديه ضغط الانحلال في هذه الحالة المرتبطة (فما الذي يوقف انهيار كولوم)؟

حل

حل التمرين 19.11.

(أ) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ عند $n^{1/3} = B/2A$ : وهي أصغرية حقيقية. (ب) ومع $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ و $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ ، يكون التباعد التوازني $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : فالفلزات كثيفة لأن نصف قطر بور يقول ذلك. (ج) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — أي تماسك بالإلكترون-فولت، كما قيس. (د) وضغط الانحلال هو النصف التنافري من الهدنة: فلولاه لسحق حدّ كولوم الشبكةَ إلى نقطة — فحجم المادة من باولي.

تمرين 19.12 ★★★

قشرة زومرفلد، مكمَّاةً. (أ) احتجّ: من $N$ إلكترونًا، لا يجلس في القشرة النشطة إلا $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ، كلٌّ منها يحمل طاقة زائدة $\sim k_{\text{B}}T$ : فاستنتج $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ في حدود ثابت. (ب) ومع $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ ، استعد $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ (والثابت المضبوط هو $\pi^2/2$ ). (ج) ومنطق القشرة نفسه يعطي قابلية باولي السبينية المستقلة عن درجة الحرارة: فلا يستطيع القلب إلا إلكترونات القشرة — لكن القشرة تنمو مثل $T$ بينما تهبط كل مساهمة مثل $1/T$ : بيّن التلاشي. (د) اذكر العبرة العامة للفرميونات المنحلّة: كل استجابة هي الكلاسيكية مضروبةً في $\sim T/T_{\text{F}}$ أو في نظيرها السطحي.

حل

حل التمرين 19.12.

(أ) الإلكترونات النشطة: $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ؛ وطاقة كلٍّ: $\sim k_{\text{B}}T$ ؛ ثم اشتقّ $E_{\text{زائدة}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ . (ب) و $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ تعطي $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — ويحلّ $\pi^2/2$ المضبوط محلّ العدد 3. (ج) والسبينات القابلة للقلب $\propto T$ ؛ وتسهم كلٌّ منها بمحاذاة $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ : فتتلاشى قيم $T$ — فقابلية باولي مسطَّحة حيث تهبط قابلية كوري (التمرين 17.11) وفق $1/T$ : وهي كاشفة للانحلال. (د) الفرميونات المنحلّة لا تستجيب إلا عند سطحها: فاضرب أيّ جواب كلاسيكي في $\sim T/T_{\text{F}}$ ، أو اقصره على قشرة فيرمي.

أول تكاثف بوز–أينشتاين (NIST/JILA، 1995، ملكية عامة): توزيعات سرعات ذرات الروبيديوم والغاز يبرد من اليسار إلى اليمين — فينهار التلّ الحراري إلى شوكة التكاثف، بعد سبعين سنة من التنبؤ.

19.5 مسألة: أثقل قزم أبيض ممكن

مسألة 19.1

مسألة نهاية الأسبوع — حدّ تشاندراسيخار، و الشموع التي أوقدها

في سنة 1930، وعمره تسع عشرة سنة، حسب سوبراهمانيان تشاندراسيخار على متن الباخرة إلى إنكلترا أن انحلال الإلكترونات لا يسند نجمًا ميتًا إلا حتى كتلة محددة. والنتيجة — وقد قاومها إدنغتون بمرارة — تقوم عليها النجوم النيوترونية والثقوب السود و “الشموع المعيارية” من المستعرات العظمى التي كشفت تسارع الكون. وتبني هذه المسألة النتيجة بالتحجيم. والمعطيات: $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ؛ وإلكترون واحد لكل $\mu_e = 2$ نوويّ؛ و $m_{\text{ n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ؛ و $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ؛ و $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ .

الجزء الأول — توازن طاقتين. من أجل نجم كتلته $M$ ونصف قطره $R$ ، عالج الطاقات لكل وحدة كتلة بالتحجيم.

الطاقة الثقالية: $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — تذكّر أصلها.
عدد الإلكترونات $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ و الكثافة $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : اكتب مقياس طاقة فيرمي اللانسبوي بدلالة $M$ و $R$ .
بيّن أن الطاقة الحركية (طاقة الانحلال) الكلية تُحجَّم وفق $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ .
صغّر $E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ بدلالة $R$ وبيّن أن نصف القطر التوازني هو $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ .
اقرأ التحجيم $R \propto M^{-1/3}$ : فالأقزام الأثقل أصغر. ولماذا تفوح من ذلك رائحة المشكلة أصلًا؟
احسب $R$ من أجل $M = 1\,M_\odot$ وقارنه بالقيمة المقيسة للنجم سيريوس B البالغة $\approx5800\,\mathrm{km}$ .

الجزء الثاني — النسبوية تسحب الأرضية من تحت.

مع انكماش $R$ تنمو $E_{\text{F}}$ : قدّر الكثافة التي عندها $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ ، ومنطقة كتل الأقزام الموافقة.
وفي النظام فوق النسبوي تكون طاقة كل إلكترون $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ : بيّن أن الطاقة الحركية تصير $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ .
وتُحجَّم الطاقتان الآن معًا وفق $1/R$ : استنتج أن التوازن لم يعد يختار نصف قطر — بل قارن المعاملين بدلًا من ذلك.
وبوضع $\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ ، استنتج عدد الإلكترونات الحرج والكتلة

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
احسب النسبة عديمة الأبعاد $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ — وهي من أعظم الأعداد الصرفة في الفيزياء — ثم احسب $M_{\text{Ch}}$ بالكتل الشمسية (والمعالجة المضبوطة تعطي $1.4\,M_\odot$ ).
فسّر الصيغة: فأيّ ثلاثة ثوابت تتآمر، و لماذا يحمل حدّ كمومي على نجم الثابتَ $\hbar$ ؟

الجزء الثالث — ما وراء الحدّ.

قزم دُفع وراء $M_{\text{Ch}}$ (بتراكم من رفيق): فما الذي يسنده بعدئذٍ، وعند أيّ مقياس لنصف القطر (ضع $m_{\text{n}}$ مكان $m_{\text{e}}$ و الواحدَ مكان $\mu_e$ في نصف قطر الجزء الأول)؟
بيّن أن الحدّ النسبوي للنجم النيوتروني نفسه من رتبة $M_{\text{Ch}}$ نفسها — فلا تسمح الطبيعة إلا بمهلة بعامل اثنين (والأعظمية المشاهَدة $\approx 2.2\,M_\odot$ ). فما الذي ينتظر وراء ذلك؟
وأثناء الانهيار إلى نجم نيوتروني، تُحرَّر طاقة ثقالية مقدارها $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ : احسبها من أجل $M = 1.4\,M_\odot$ و $R = 11\,\mathrm{km}$ ، و قارنها بكامل خرج الشمس على مدى $10\,\mathrm{Gyr}$ ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ).
وأكثرها كله يغادر نيوترينوهات في ثوانٍ: فأيّ مشاهدة سنة 1987 أكدت هذه الصورة تأكيدًا مذهلًا؟
وارتداد اللبّ المنهار ودفع النيوترينوات ينسفان الغلاف: أي مستعر أعظم بانهيار اللبّ. ميّزه، في جملة واحدة لكلٍّ، عن المستعر الأعظم النوويّ الحراري (من النمط Ia) لقزم أبيض يشتعل عند عتبة تشاندراسيخار.
ولماذا يجعل الانفجار عند كتلة كونية واحدة مستعرات النمط Ia شبه متطابقة — ومن ثمّ صالحة شموعًا معيارية؟

الجزء الرابع — الشموع و الكون.

سطوع الشمعة المعيارية الظاهري يعطي بعدها: اذكر منطق التربيع العكسي ولماذا تكون المعيارية هي الكلمة الفاعلة.
وفي سنة 1998 وجد فريقان أن مستعرات النمط Ia البعيدة أخفت مما هو متوقَّع: اذكر الاستنتاج (تسارع التمدد — أي الطاقة المظلمة) ولماذا كانت موثوقية الشمعة هي عقدة الأمر.
اذكر سلسلة هذه المسألة في سطر واحد: باولي $\to$ ضغط الانحلال $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ انفجارات منتظمة $\to$ تسارع كوني.
سخر إدنغتون من النتيجة (“نجم يرتكب سخافات”)؛ ونال تشاندراسيخار جائزة نوبل بعد ثلاث وخمسين سنة: فبمَ تعلّم الحادثة عن اتّباع المعادلات إلى ما وراء النتائج المريحة؟
طيف سيريوس B سنة 1915 كان يقتضي طنًّا في السنتيمتر المكعب — وهو “هراء” إلى أن شرح فاولر، في غضون أشهر من إحصاء فيرمي سنة 1926، النجمَ غازًا منحلًّا: اذكر لماذا كان اللغز مستعصيًا في سنة وروتينيًّا في التي تليها.
مسوح آلاف الأقزام البيض تجد كتلًا متجمّعة قرب $0.6\,M_\odot$ ولا شيء فوق $\approx1.4\,M_\odot$ : فأيّ تنبؤين من تنبؤات هذه المسألة يؤكدهما ذلك المدرَّج وحده؟
لخّص النتيجة الموسومة: $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — أي ثلاثة ثوابت طبيعية تضع أثقل قزم أبيض ممكن، وهي كتلة زناد انفجارات الكون المعايَرة.

حل

حل المسألة 19.1.

1. الطاقة المحرَّرة في تجميع النجم من مادة مبعثرة — سالبة، وأعمق كلما زاد الرصّ. 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ . 3. $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ . 4. تصغير $A/R^2 - B/R$ يعطي $R = 2A/B$ : أي $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ . 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : ومنه $R \propto M^{-1/3}$ — فإضافة الكتلة تكمش النجم، فتنمو الكثافة و $E_{\text{F}}$ بلا حدّ: أي إن السند اللانسبوي يعيش على دَين. 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : ومنه $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — وهي الرتبة الصحيحة إلى جانب $5800\,\mathrm{km}$ للنجم سيريوس B (فتحجيمنا أسقط عوامل من رتبة بضعة). 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ عند $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، أي $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : وهو نظام أثقل الأقزام. 8. لكل إلكترون: $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ؛ و الكلي: $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ . 9. وما دام الحدّان $\propto 1/R$ ، يسقط نصف القطر: فتتقرر الاستقرارية بما إذا كان المعامل الحركي يفوق المعامل الثقالي — أي معيار كتلة محض. 10. ساوِ: $N_{\text{e,حرج}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ ، و $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,حرج}}$ : أي الصيغة المذكورة. 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ؛ و $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — والحساب المضبوط يحدّ رتبة القدر إلى $1.4\,M_\odot$ . 12. $\hbar$ (فالضغط كمومي)، و $c$ (فتليينه نسبوي)، و $G$ (وهو الخصم): أي عدد بحجم نجم مبنيّ من ثلاثة ثوابت مجهرية — فالميكانيك الكمومي يشرّع لأجسام من $10^{57}$ جسيمًا. 13. انحلال النيوترونات، بنصف قطر أصغر بمقدار $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ (مضروبًا في مسك دفاتر $\mu_e$ ): أي كيلومترات — وهو النجم النيوتروني. 14. والثوابت الثلاثة نفسها مع $m_{\text{n}}$ في كل موضع تعطي مقياس الكتلة نفسه: فتتوقف النجوم النيوترونية قرب $2\,M_\odot$ ؛ وما وراء ذلك لا يفوز أيّ قانون ضغط — بل ثقب أسود. 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : أي مئات المرات من كامل خرج الشمس على مدى عشرة مليارات سنة، محرَّرةً في ثوانٍ. 16. المستعر الأعظم 1987A: أربعة وعشرون نيوترينو، وصلت قبل سطوع الضوء بساعات، وحملت الطاقة المتنبَّأ بها بالضبط — أي الانهيار مسموعًا مباشرةً. 17. انهيار اللبّ: لبّ حديدي لنجم ضخم ينهار متجاوزًا كل أرضية ضغط؛ ويُنسف الغلاف. وأما النمط Ia: فقزم أبيض غُذّي حتى العتبة يشعل كربونه في ومضة نووية حرارية تفكّ ارتباط النجم كله. 18. كتلة زناد واحدة، ووقود واحد، وإطلاق طاقة واحد: فمنحنيات ضوء شبه متطابقة — أي قنابل معايَرة. 19. بمعرفة السطوع المطلق، يعطي السطوع المشاهَد البعدَ بالتربيع العكسي؛ ومن دون “المعيارية” ينهار السلّم. 20. الخفوت الزائد يعني بعدًا زائدًا: فالتمدد يتسارع — أي الطاقة المظلمة، مستندةً برهانيًّا إلى انتظام الشموع (ومن هنا العناية بفيزيائها). 21. مبدأ الاستبعاد $\to$ ضغط الانحلال $\to$ كتلة حدّية شاملة $\to$ انفجارات معيارية $\to$ تسارع الكون المقيس. 22. اتبع الرياضيات حيث تقود: فالسلوك “السخيف” للنجوم وراء الحدّ تبيّن أنه نجوم نيوترونية وثقوب سود — وكلاهما مفهرس اليوم بالآلاف. 23. في سنة 1915 لم تكن أيّ فيزياء معروفة تسمح للمادة بطنّ في السنتيمتر المكعب؛ وفي سنة 1926 جعله إحصاء فيرمي–ديراك الحالةَ الافتراضية لأيّ غاز بارد كثيف: فقد انتظرت المشاهدة الإحصاء لا العكس. 24. أن الأقزام توجد مستقرة عبر مجال من الكتل (أي فرع $R(M)$ )، وأن الفرع ينتهي عند $1.4\,M_\odot$ : وكلاهما مرسوم في ذلك المدرَّج. 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : أي ثلاثة ثوابت تثبّت أثقل قزم أبيض — ومن ثمّ كتلة زناد الشموع المعيارية التي وزنت مصير الكون.