24الإلكترونات في الأجسام الصلبة

حل التمرين 24.1.

(أ) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$. (ب) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$. (ج) أي نحو 110 ثوابت شبكة. (د) والإلكترون الذي يبحر بجانب مئة أيون من دون انتثار لا يمكن أن يكون مرتدًّا عن الأيونات نفسها — فلا بدّ أن تكون الشبكة شفافةً له، وهو بالضبط ما تبرهنه مبرهنة بلوخ (المبرهنة 24.3) لاحقًا.

حل التمرين 24.2.

(أ) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — أي دون ميليمتر في الثانية. (ب) ونحو 23 دقيقة. (ج) والمجال يترسّخ على طول السلك بسرعة تكاد تكون سرعة الضوء فيجعل بحر الإلكترونات كله ينجرف دفعةً واحدة: فالمسيرون بطيئون، وأمر المسير ليس كذلك. (د) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$: فالنقل انحياز غير محسوس على حركة كمومية عنيفة، لا سيلان كلاسيكي هادئ.

حل التمرين 24.3.

(أ) عصابة نصف مملوءة: فلز، و $\dd\rho/\dd T > 0$. (ب) وإلكترونان كانا ليملآ عصابته تمامًا — والمغنيزيوم ينقل لأن عصابته الممتلئة تتراكب مع الفارغة التالية: فلز، و $\dd\rho/\dd T > 0$. (ج) وعصابة ممتلئة بفجوة $5.5\,\mathrm{eV}$: عازل (وشكليًّا $\dd\rho/\dd T < 0$، لكن بلا حاملات تُذكر تُحصى). (د) نصف ناقل: $\dd\rho/\dd T < 0$، أي انقلاب الإشارة الأُسّي الذي يفضح الصنف.

حل التمرين 24.4.

(أ) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: فالسيليكون شفاف في تحت الأحمر وراء ذلك — ولذلك يمكن تزويد آلات التصوير تحت الحمراء بعدسات من سيليكون. (ب) $225\,\mathrm{nm}$، في فوق البنفسجي: فلا فوتون مرئي يُمتصّ، والألماس صافٍ كالماء. (ج) $365\,\mathrm{nm}$: أي فجوة واسعة بما يكفي للأزرق ($2.8\,\mathrm{eV}$) توجد في النتريدات ولا تكاد توجد في غيرها عمليًّا — فانتظر الديود الأزرق عقودًا على نموّ المواد. (د) وفجوته تثبّت فوتونه: فالإفراط في التشغيل يضيف حرارة لا عرضَ فجوة، ويُطهى الثنائي مظلمًا — فلون الديود الباعث للضوء ثابت مادّي لا ضبط سطوع.

حل التمرين 24.5.

(أ) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$. (ب) في حدود عشرة بالمئة من $L$. (ج) وإلكترونات سطح فيرمي نفسها تحمل الشحنة و الحرارة معًا، فيتلاشى زمن انتثارها في النسبة. (د) والمقلاة الفولاذية تنقل الحرارة إلى الطعام لأن إلكتروناتها تتحرك؛ أما المقبض الخشبي، وهو عازل بالمعنيين، فيبقيها — ويبقي الحرارة — خارج يدك.

حل التمرين 24.6.

(أ) خمسون بالمئة زائدة — وهي غائبة غيابًا صارخًا عن التجربة. (ب) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$: فالحدّ الإلكتروني مخنوق إلى ما دون واحد بالمئة. (ج) و $T^3$ الشبكة ينهار أسرع من $T$ الإلكترونات: فتحت بضعة كلفنات لا يبقى إلا الإلكترونات “المهمَلة”. (د) $C/T = \gamma + \beta T^2$: فالتقاطع $\gamma$ يزن الإلكترونات، و الميل $\beta$ يزن الشبكة — أي رسم واحد ونزيلان.

حل التمرين 24.7.

(أ) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$: ومنه $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$. (ب) $2a = 7.2\,\text{Å}$: أي الرتبة نفسها — فسطح فيرمي في النحاس يمتدّ نحو حدّ المنطقة، وتحدث فيزياء فتح الفجوة عند الطاقات التي تهمّ. (ج) وإحدى الموجتين الموقوفتين تكدّس شحنتها على الأيونات الموجبة (بطاقة كهرساكنة أدنى)، والأخرى بينها (بطاقة أعلى): أي طول موجي واحد وطاقتان — وهي الفجوة. (د) والمسير الحرّ البالغ 110 ثوابت شبكة: فأمواج بلوخ لا تنتثر عن شبكة تامّة، فلا يبقى إلا الاهتزازات والشوائب لتقاوم.

حل التمرين 24.8.

(أ) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$: ومنه $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$. (ب) وتنهار مقاومة المقاوم الحراري انهيارًا أُسّيًّا — أي منحنٍ حادّ حسّاس؛ أما مقاومة البلاتين فتتسلق برفق وخطيًّا (بمزيد من الفونونات). فأحدهما ميزان حرارة بعدّ الحاملات، والآخر بالانتثار. (ج) والحاملات تولد أزواجًا من إلكترون وثقب، و التوازن $np = n_{\text{i}}^2$ يقسم كلفة الفجوة بين الاثنين — ومنه $E_{\text{g}}/2$. (د) وتبلغ $n_{\text{i}}$ القيمة $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ قرب $760\,\mathrm{K}$: فيغرق التطعيم وتنسى الدارة تصميمها. والأجهزة الحقيقية تستسلم أبكر — إذ تسيء تسرّباتها العكسية، المتضاعفة كل عشرة كلفنات، التصرفَ أولًا.

حل التمرين 24.9.

(أ) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — أي خمسة ملايين ضعف $n_{\text{i}}$. (ب) والعامل نفسه $\sim5\times10^6$: فذرّة واحدة لكل مليون ذرة تملك الناقلية ملكًا تامًّا. (ج) لأن جزءًا عارضًا من المليون كان ليفعل الشيء نفسه من غير دعوة: فلا تكون الناقلية ملكًا للمصمّم إلا في بلورة نقية إلى أجزاء من المليار. (د) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$، أي عشرة أضعاف مدار $2.4\,\mathrm{nm}$: فالمانحات هدروجينات معزولة؛ وارفع التطعيم مئة ضعف تتلامسِ المدارات — فتنشأ عصابة شوائب، وفلز في النهاية.

حل التمرين 24.10.

(أ) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (وقيمة الفوسفور المقيسة، $45\,\mathrm{meV}$، تبقي المقياس أمينًا). (ب) وهي مقارنة مع $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$: فكل المانحات مؤيَّنة عمليًّا عند حرارة الغرفة — وهو مسلَّمة التعريف 24.5. (ج) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$. (د) والمدار الذي يمتدّ على عشرات الخلايا يرى البلورة وسطًا أملس — وهو بالضبط الشرط الذي يكون فيه استعمال $\varepsilon_{\text{r}}$ كتلي و $m^*$ متوسَّط على العصابة مشروعًا: فالتقريب يصدّق نفسه.

حل التمرين 24.11.

(أ) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$. (ب) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$: فالنسبة $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — فالثنائي طريق باتجاه واحد بثمانية أرقام. (ج) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$: أي الأُسّي نفسه في التمرين 24.8، ومنه تضاعف القاعدة التقريبية. (د) والثنائيات الأربعة تكوّن معيّنًا: ففي كل نصف دورة، يسوق الزوج المنحاز أمامًا التيارَ عبر الحمل في الاتجاه نفسه — أي تيار متناوب داخلًا، ومستمر متعرّج خارجًا.

حل التمرين 24.12.

(أ) ضيّق الفجوة تعبرْها فوتونات أكثر لكن لا يعطي كلٌّ منها إلا طاقة الفجوة الصغيرة؛ ووسّعها يدفعْ كل فوتون أكثر لكن يقلّ المؤهلون: فيبلغ الحصاد $\times$ الجهد ذروته بينهما. (ب) وهو دون الأمثل $1.3\,\mathrm{eV}$ بقليل: فسقف السيليكون المثالي $\sim30\,\%$ — وهو قريب بما يكفي ليفوز برخصه. (ج) والخلية العليا الواسعة الفجوة تأخذ الأزرق عند جهد عالٍ، وتمرّر الأحمر إلى الخلية الضيقة الفجوة تحتها: فيُحصد كل فوتون قرب طاقته هو، ويتقلّص التحرير الحراري، ويتسلق سقف الكدس نحو الأربعينيات. (د) والحرارة ترفع $I_0$ رفعًا أُسّيًّا، فتجرّ جهد الدارة المفتوحة $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ نزولًا؛ وتضيق الفجوة نفسها قليلًا، فتقايض الجهد بتيار لا تستعيده كاملًا.